TEMA 2: CAPITALIZACIÓN SIMPLE

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1 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca TEMA 2: APITALIZAIÓN SIMPLE ÍNDIE 1. APITALIZAIÓN SIMPLE ONEPTO DESRIPIÓN DE LA OPERAIÓN ARATERÍSTIAS DE LA OPERAIÓN DESARROLLO DE LA OPERAIÓN ÁLULO DEL APITAL INIIAL ÁLULO DE LOS INTERESES TOTALES ÁLULO DEL TIPO DE INTERÉS ÁLULO DE LA DURAIÓN TANTOS EQUIVALENTES ONEPTO RELAIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES DESUENTO SIMPLE ONEPTO ARATERÍSTIAS DE LA OPERAIÓN DESUENTO RAIONAL DESUENTO OMERIAL TANTO DE INTERÉS Y DESUENTO EQUIVALENTES APITALIZAIÓN SIMPLE Las operacoes e régme de smple se caracterza porque los tereses a medda que se va geerado o se acumula y o geera tereses e períodos sguetes (o so productvos). De esta forma los tereses que se produce e cada período se calcula sempre sobre el msmo captal -el cal-, al tpo de terés vgete e cada período. Este régme facero es propo de operacoes a corto plazo (uo o Tema 2: aptalzacó Smple -1- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

2 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca meos de u año) ONEPTO La captalzacó smple es la operacó facera cuyo objeto es la susttucó de u captal presete por otro equvalete co vecmeto posteror, medate la aplcacó de la ley facera e régme de smple DESRIPIÓN DE LA OPERAIÓN Partedo de u captal () del que se dspoe calmete -captal cal-, se trata de determar la cuatía fal () que se recuperará e el futuro sabedo las codcoes e las que la operacó se cotrata (tempo -- y tpo de terés --). Este captal fal o motate se rá formado por la acumulacó al captal cal de los tereses que geera la operacó peródcamete y que, al o dspoerse de ellos hasta el fal de la operacó, se añade falmete al captal cal ARATERÍSTIAS DE LA OPERAIÓN Los tereses o so productvos, lo que sgfca que: A medda que se geera o se acumula al captal cal para producr uevos tereses e el futuro y, por tato Los tereses de cualquer período sempre los geera el captal cal, al tato de terés vgete e dcho período. Gráfcamete para ua operacó de tres períodos: I 3 I 1 I Itereses Ico F Tema 2: aptalzacó Smple -2- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

3 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca 1.4. DESARROLLO DE LA OPERAIÓN El captal al fal de cada período es el resultado de añadr al captal exstete al co del msmo los tereses geerados durate dcho período. De esta forma, la evolucó del motate cosegudo e cada mometo es el sguete: Mometo : Mometo 1: 1 I1 ( ) (1 ) Mometo 2: 2 I1 I2 ( ) ( ) (1 ) (1 2) Mometo 3: 3 I1 I 2 I3 ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 3) Mometo : I1 I 2... I ( ) ( )... ( )... (1... ) (1 ) (1 ) Expresó aplcable cuado el tpo de terés de la operacó se matee costate todos los períodos. A partr de la expresó ateror (deomada fórmula fudametal de la captalzacó smple) o solamete se puede calcular motates so que, coocdos tres datos cualesquera, se podría despejar el cuarto restate.. 1 Falmete, hay que teer e cueta que lo que dca es el úmero de veces que se ha geerado (y acumulado) tereses al captal cal, por tato, esa varable sempre ha de estar e la msma udad de tempo que el tpo de terés (o mportado cuál sea). 1 Para aplcar la fórmula fudametal de la captalzacó smple es precso que el tpo de terés esté expresado e tato por uo. Tema 2: aptalzacó Smple -3- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

4 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca EJEMPLO 1 alcular el motate obtedo al vertr 2. euros al 8% aual durate 4 años e régme de captalzacó smple. 2. 4? 8% 4 años 4 2. (1 4,8) 2.64 EJEMPLO 2 Se quere coocer qué captal podremos retrar detro de 3 años s hoy colocamos 1. euros al 5% de terés aual para el prmer año y cada año os sube el tpo de terés u puto porcetual. E este caso la fórmula geeral de la captalzacó smple o es aplcable al ser dferete el tpo de terés e cada período. El motate será, gualmete, el resultado de añadr al captal cal los tereses de cada período, calculados sempre sobre el captal cal pero al tpo vgete e el período de que se trate. 3 3 I1 I2 I 1. 1.,5 1.,6 1., ÁLULO DEL APITAL INIIAL Partedo de la fórmula de cálculo del captal fal o motate y coocdos éste, la duracó de la operacó y el tato de terés, bastará co despejar de la msma: despejado resulta: (1 ) 1 Tema 2: aptalzacó Smple -4- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

5 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca EJEMPLO 3 uáto deberé vertr hoy s quero dspoer detro de 2 años de 1.5 euros para comparme u coche, s me asegura u 6% de terés aual para ese plazo?? 1.5 6% 2 años ,6 1, , ÁLULO DE LOS INTERESES TOTALES Bastará co calcular los tereses de cada período, que sempre los geera el captal cal y sumarlos. Itereses Totales I1 I2... I ( 1) ( 2)... ( ) ( ) Itereses Totales ( ) S se cumple: Itereses Totales I1 I2... I ( ) ( )... ( ) ( ) Itereses Totales oocdos los captales cal y fal, se obtedrá por dferecas etre ambos: I EJEMPLO 4 Qué tereses producrá 3 euros vertdos 4 años al 7% smple aual? / Tema 2: aptalzacó Smple -5- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

6 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca / 3 I4? 4 7% 4 años Por suma de los tereses de cada período y teedo e cueta que el tpo de terés que se aplca durate los cuatro años o varía: I tereses Totales 3, També se puede obteer por dferecas etre el captal fal y el cal, para lo cual prevamete habrá que calcular el captal fal: 4 3 (1,7 4) 3 1, I EJEMPLO 5 Qué tereses producrá 6. euros vertdos 8 meses al 1% smple mesual? I tereses Totales 6., ÁLULO DEL TIPO DE INTERÉS S se cooce el resto de elemetos de la operacó: captal cal, captal fal y duracó, basta co teer e cueta la fórmula geeral de la captalzacó smple y despejar la varable descoocda. (1 A partr de esa fórmula se despeja la varable descoocda que es : 1 ) Tema 2: aptalzacó Smple -6- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

7 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca EJEMPLO 6 Determar el tato de terés aual a que debe vertrse 1. euros para que e 5 años se obtega u motate de 1.5 euros ? 5 años 1. (1 5 ) ,1 1% ÁLULO DE LA DURAIÓN oocdos los demás compoetes de la operacó: captal cal, captal fal y tpo de terés, s se parte de la fórmula geeral de la captalzacó smple, despejado la varable descoocda se puede calcular la duracó de la operacó. (1 ) A partr de esa fórmula se despeja la varable descoocda que es : EJEMPLO 7 U captal de 2. euros colocado a terés smple al 4% aual ascede a 2.64 euros. Determar el tempo que estuvo mpuesto. / Tema 2: aptalzacó Smple -7- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

8 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca / %? años 2. (1,4) años,4 2. TANTOS EQUIVALENTES Normalmete los tpos de terés suele ver expresados e térmos auales, pero o sempre se devega co esa perodcdad, so que, e la mayoría de las ocasoes, la acumulacó de los tereses al captal cal se hace e períodos más pequeños (meses, trmestres, semestres,...). La cuestó es por el hecho de modfcar la frecueca de cálculo de tereses me beefcaré o, por el cotraro, me veré perjudcado? E este setdo, lo lógco es pesar que cualquera que sea el úmero de veces que se calcule los tereses, al fal el mporte total de los msmos o haya varado, esto es, el resultado fal de la operacó o se vea afectado. E cosecueca, s se camba la frecueca de cálculo de los tereses habrá que cambar el mporte del tato de terés aplcado e cada caso. Surge el cocepto de tatos equvaletes ONEPTO Dos tatos cualesquera, expresados e dsttas udades de tempo, se dce que so tatos equvaletes cuado aplcados a u msmo captal cal durate u msmo período de tempo produce el msmo terés o geera el msmo captal fal o motate. Tema 2: aptalzacó Smple -8- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

9 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca 2.2. RELAIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES Los tatos de terés equvaletes e smple so proporcoales, es decr, cumple la sguete expresó: k k dode «k» se deoma frecueca de captalzacó y se defe como el úmero de partes guales e las que se dvde el período de refereca (cosderado como tal el año), pudedo tomar los sguetes valores: k 2 semestre 2 tato de terés semestral k 3 cuatrmestre 3 tato de terés cuatrmestral k 4 trmestre 4 tato de terés trmestral k 12 mes 12 tato de terés mesual EJEMPLO 8 Determar el motate resultate de vertr 7 euros durate 3 años e las sguetes codcoes: a. Iterés aual del 12% 3 7 (1 3,12) 952 b. Iterés semestral del 6% k k,6 2, (1 3,12) 952 c. Iterés mesual del 1% k k,112, (1 3,12) DESUENTO SIMPLE 3.1. ONEPTO El descueto smple es la operacó facera que tee por objeto la susttucó de u captal futuro por otro equvalete co vecmeto presete, medate la aplcacó de la ley facera de descueto smple. Es ua operacó versa a la de captalzacó. Tema 2: aptalzacó Smple -9- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

10 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca 3.2. ARATERÍSTIAS DE LA OPERAIÓN Los tereses o so productvos, lo que sgfca que: A medda que se geera o se resta del captal de partda para producr (y restar) uevos tereses e el futuro y, por tato Los tereses de cualquer período sempre los geera el msmo captal, al tato de terés vgete e dcho período. E ua operacó de descueto el puto de partda es u captal futuro coocdo () cuyo vecmeto se quere adelatar. Deberemos coocer las codcoes e las que se quere hacer esta atcpacó: duracó de la operacó (tempo que se atcpa el captal futuro) y tato de terés aplcado. El captal que resulte de la operacó de descueto (captal actual o presete ) será de cuatía meor, sedo la dfereca etre ambos captales los tereses que el captal futuro deja de teer por atcpar su vecmeto. E deftva, s trasladar u captal desde el presete al futuro mplca añadrle tereses, hacer la operacó versa, atcpar su vecmeto, supodrá la moracó de esa msma carga facera. Gráfcamete: Ico F Tema 2: aptalzacó Smple -1- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

11 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca Elemetos: D Descueto o rebaja Valor fal o omal Valor actual, cal o efectvo ó d Tato de la operacó Por tato, el captal presete () es feror al captal futuro (), y la dfereca etre ambos es lo que se deoma descueto (D). Se cumple la sguete expresó: D Además, el descueto, propamete dcho, o es más que ua dsmucó de tereses que expermeta u captal futuro como cosecueca de adelatar su vecmeto, por lo tato se calcula como el terés total de u tervalo de tempo (el que se atcpe el captal futuro). Se cumple: D aptal Tpo Tempo Y, segú cuál sea el captal que se cosdere para el cómputo de los tereses, estaremos ate las dos modaldades de descueto que exste e la práctca: DESUENTO RAIONAL, MATEMÁTIO O LÓGIO DESUENTO OMERIAL O BANARIO E todo caso, y cualquera que sea la modaldad de descueto que se emplee, e este tpo de operacoes el puto de partda es u captal futuro () (coocdo) que se quere susttur por u captal presete () (que habrá de calcular), para lo cual será ecesaro el ahorro de tereses (descueto) que la operacó supoe DESUENTO RAIONAL El ahorro de tereses se calcula sobre el valor efectvo () empleado u tpo de terés efectvo (). Tema 2: aptalzacó Smple -11- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

12 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca Tema 2: aptalzacó Smple -12- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de Al ser (el captal cal) aquel que geera los tereses e esta operacó, gual que ocurría e la captalzacó, resulta válda la fórmula de la captalzacó smple, sedo ahora la cógta el captal cal (). Así pues, a partr de la captalzacó smple se despeja el captal cal, para posterormete por dferecas determar el descueto racoal: ) (1 álculo del captal cal (): 1 álculo del ahorro de tereses (Dr): ) (1 1 D r 1 D r 3.4. DESUENTO OMERIAL Los tereses geerados e la operacó se calcula sobre el omal () empleado u tpo de descueto (d). E este caso resulta más teresate calcular prmero el descueto (Dc) y posterormete el captal cal (). omo el descueto es la suma de los tereses geerados e cada uo de los períodos descotados (), y e cada período tato el captal cosderado para calcular los tereses como el propo tato se matee costate, resulta: d d... d d D c d D c veces

13 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca El captal cal se obtee por dfereca etre el captal fal () y el descueto (Dc): ( d) d (1 d) Dc (1 d) EJEMPLO 9 Se pretede atcpar al mometo actual el vecmeto de u captal de 1 euros co vecmeto detro de 3 años a u tato aual del 1%. alcular el captal cal y el descueto de la operacó: aso 1: osderado que el captal sobre el que se calcula los tereses es el cal (descueto racoal): Dr? 1 o be: o be: aso 2:? 1% 3 años ,1 D 76,92 r 1 76,92 23,8 1 3,1 D 1 1 3,1 r D 23,8 r 76,92 3,1 23,8 osderado que el captal sobre el que se calcula los tereses es el omal (descueto comercal): Dc? 1? d1% 3 años / Tema 2: aptalzacó Smple -13- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

14 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca / Dc d 1 3,1 3 Dc Dc o be: (1 d) 1 (1 3,1) 7 4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESUENTO EQUIVALENTES S el tpo de terés () aplcado e el descueto racoal cocde e úmero co el tpo de descueto (d) empleado para el descueto comercal, el resultado o sería el msmo porque estamos trabajado sobre captales dferetes para el cómputo del cálculo de tereses; de forma que sempre el descueto comercal será mayor al descueto racoal (Dc> Dr) como ocurre e el ejemplo 1. No obstate resulta teresate, para poder hacer comparacoes, buscar ua relacó etre tpos de terés y de descueto que haga que resulte dferete ua modaldad u otra. Será ecesaro, por tato, ecotrar u tato de descueto equvalete a uo de terés, para lo cual oblgaremos a que se cumpla la gualdad etre ambas modaldades de descuetos: Dr Dc. Susttuyedo los dos descuetos por las expresoes obtedas aterormete: D r Dc 1 d Esta expresó la podemos smplfcar dvdedo por ( ) : d 1 Obteédose el tato de descueto comercal «d» equvalete al tato d 1 Aálogamete, coocdo «d» se podrá calcular el tato : Tema 2: aptalzacó Smple -14- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de

15 Matemátcas Faceras Prof. Mª Mercedes Rojas de Graca d d 1 d 1 d ( 1 ) d d d d d ( 1 d) d 1 d La relacó de equvaleca etre tpos de terés y descueto, e régme de smple, es ua fucó temporal, es decr, que u tato de descueto es equvalete a tatos tpos de terés como valores tome la duracó () de la operacó y al revés (o hay ua relacó de equvaleca úca etre u y u «d»). EJEMPLO 1 E el ejemplo 1 s cosderamos que el tato de terés es del 1% aual, qué tpo de descueto aual deberá aplcarse para que ambos tpos de descueto resulte equvaletes? S 1%, etoces se ha de cumplr: omprobacó,1,1 d, ,6923% 1 1 3,1,13 alculado el valor actual y el descueto cosderado u tpo de terés del 1% (descueto racoal): ,1 76,92 r 1 76,92 23,8 D alculado el valor actual y el descueto cosderado el tpo de descueto ates calculado del 7,6923% (descueto comercal): o be: Dc d 1 3, ,8 Dc 1 23,8 76,92 (1 d) 1 (1 3,76923) 76,92 Tema 2: aptalzacó Smple -15- La formacó de este tema está extraída cas e su totaldad de