Asignatura: PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y MÉTODOS INFORMÁTICOS Asgatura: PROGRAMACIÓN Y MÉTODOS NUMÉRICOS Tema: INTERPOLACIÓN POLINÓMICA Prof. Carlos Code Lázaro Prof. Arturo Hdalgo López Prof. Alfredo López Beto Marzo, 7

2 ÍNDICE Pág.. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA.... INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE LAGRANGE. 3.. La fórmula de terpolacó de Lagrage La fórmula del error e la terpolacó de Lagrage La fórmula de terpolacó de Newto Iterpolacó co soportes equdstates: fórmulas co dferecas ftas INTERPOLACIÓN POLINÓMICA DE HERMITE Iterpolacó de Hermte de prmer orde: la fórmula de terpolacó de Hermte Iterpolacó polómca de Hermte: caso geeral Aálss del error e la terpolacó de Hermte Iterpolacó de Hermte: la fórmula de Newto Plateameto Geeralzacó del cocepto de dfereca dvdda La fórmula de Newto para el cálculo del polomo terpolador de Hermte ANEXO: Otra forma de defr las dferecas dvddas co putos repetdos.. 35 BIBLIOGRAFÍA SOBRE EL TEMA... 43

3 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca. Itroduccó hstórca E umerosos procesos físcos y téccos debe trabajarse co fucoes de las que ta sólo se cooce su valor (o el de sus dervadas) e u úmero fto de putos llamado soporte- pero de las que es descoocda la expresó a la que respode. Ua de las maeras más exteddas para operar co dchas fucoes cosste e aproxmarlas por otras fucoes, de expresó coocda (y, e la medda de lo posble, fácl de mapular). Ua de las formas e que se puede buscar esta fucó aproxmada cosste e oblgar a que la fucó aproxmadora (o sus dervadas) tome e los putos del soporte los msmos valores que la fucó que se quere aproxmar. E tal caso se dce que se ha terpolado la fucó orgal sedo la fucó terpoladora aquella que la aproxma. Las téccas de terpolacó puede clasfcarse, e ua prmera subdvsó, segú el tpo de expresoes co las que se busque la fucó terpoladora. Así exste la terpolacó polomal o polómca (e la que las fucoes terpoladoras so polomos), la terpolacó trgoométrca (cuado la fucó terpoladora es ua combacó de fucoes trgoométrcas), la terpolacó expoecal (s las fucoes terpoladoras so ua combacó de expoecales), etc... De etre todas ellas, las más frecuetemete utlzadas so la terpolacó polómca y, e meor medda, la trgoométrca. Al estudo de la prmera de ellas dedcaremos este tema. Au s el desarrollo de ua teoría rgurosa, el uso de la terpolacó polómca se perde e la hstora de los tempos. Recordemos por ejemplo

4 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd que umerosos matemátcos gregos calcularo aproxmacoes del úmero π terpolado el área del círculo etre los valores de las áreas de dos polígoos regulares de lados, uo scrto e la crcufereca permetral del círculo y el otro crcuscrto a dcha crcufereca. O que e el sglo IX los matemátcos árabes del calfato de Bagdad, sabía resolver certas ecuacoes o leales medate el método de regula fals. E cada teracó de dcho método, coocdos dos valores de ua fucó f(x ) y f(x + ) (tales que f(x ) f(x + ) < ) se debe buscar la recta que terpola a f(x) e los putos (x, f(x )) y (x +, f(x + )) para determar a cotuacó el puto e que corta al eje de abscsas, reducédose así el tervalo de certdumbre e el que se buscará ua raíz de la fucó f(x). Pero fue e la msma época e que se fraguó y acó el cálculo ftesmal e la que se puede cosderar que se cosoldaro las téccas de terpolacó polómca y, juto a ellas, las de dervacó e tegracó umérca. Numerosos problemas práctcos, fudametalmete vculados al comerco, a la cartografía y a la avegacó, exgía e los sglos XVI y XVII el cálculo de áreas ecerradas bajo curvas o la determacó de tagetes a ua curva e u puto. El prmero de dchos problemas, el cálculo de áreas ecerradas bajo tramos de curvas, sólo se sabía resolver e casos de curvas muy cocretas. Del segudo, que ates de esta época se cosderaba s relacó co el prmero, hubo que esperar a que el matemátco fracés Perre de Fermat (Beaumot de Lomage,7 de agosto de 6 Castres, de eero de 665) deara los prmeros métodos sufcetemete geerales para el cálculo de la tagete a ua curva e u puto. Y puesto que sí se sabía calcular el área exstete bajo líeas polgoales resulta fácl compreder que el cálculo de las áreas ecerradas por otras curvas más geerales se comezase a realzar aproxmado aquellas terpoládolas medate líeas polgoales compuestas por segmetos rectlíeos o, a lo sumo, parabólcos. Como podrá comprobar el lector de los apartados sguetes, las fórmulas y métodos de terpolacó, así como los de tegracó umérca, lleva e Cosúltese los aputes sobre los métodos de resolucó de ecuacoes o leales. Así por ejemplo, Arquímedes de Sracusa (87 a.c a.c) ecotró ua fórmula que permtía calcular el área ecerrada bajo u tramo de parábola.

5 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca muchos casos el ombre de sges matemátcos de esta época. Auque o está muy claro que fue el prmero e utlzar cada ua de tales fórmulas (y revsoes hstórcas modfca a meudo el papel que cada uo de aquellos matemátcos jugó e la determacó de cada fórmula) tetaremos e las líeas sguetes realzar u pequeño esbozo de las cotrbucoes de los prcpales matemátcos que da ombre a las fórmulas más usuales que se ecuetra e estos temas. E termología actual, el problema de terpolacó que etoces se abordaba puede formularse e la forma sguete: Dadas (+) abscsas x < x <...< x y coocdos los valores f, f,..., f que e ellas toma ua certa fucó f(x), determar u polomo p (x) de grado meor o gual que cuyo grafo pase por los (+) putos (x, f ), (x, f ),..., (x, f ). Como veremos e apartados posterores sólo exste u úco polomo p (x) que sea solucó del problema ateror. S se deota a tal polomo por: p (x) = α + α x + α x α x los (+) coefcetes {α, α,..., α } so la solucó del sstema de (+) ecuacoes:.α + x α + (x ) α (x ) α = f.α + x α + (x ) α (x ) α = f......α + x α + (x ) α (x ) α = f Pero exste otras formas más cómodas de calcular este polomo. Ua de ellas es la desarrollada por los matemátcos gleses del sglo XVII y a la cual os referremos a cotuacó. A pesar de o ser croológcamete el prmero, parece oblgado comezar por el más grade de todos ellos: Sr Isaac Newto (4 de eero de 643, Woolsthorpe (Lcolshre, Iglaterra) - de marzo de 77, Lodres (Iglaterra)). La descrpcó de las umerosas aportacoes cetífcas de este gra matemátco y físco desbordaría co mucho los objetvos de esta breve troduccó hstórca. Baste recordar que los trabajos de Newto e mecáca, co la 3

6 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd formulacó de sus tres leyes, proporcoaro u marco físco que cotuó sedo pleamete vgete hasta la aparcó de las teorías relatvstas a comezos del sglo XX (y que el marco ewtoao cotúa sedo e el que se platea los problemas para las escalas de velocdades pequeñas e comparacó co las de la luz). Recordemos també que los trabajos de Newto sobre óptca revolucoaro los coocmetos de dcha dscpla. O que el telescopo dseñado por él permtó amplar el horzote de observacó astroómca realzado medcoes mucho más precsas. E u terreo más puramete matemátco, debe comezarse señalado que Newto y Lebz so cosderados los creadores, de forma depedete, del Cálculo Iftesmal. Juto a ello, so debdos a Newto muchos otros avaces matemátcos: fue el prmero e demostrar la fórmula del cálculo de la poteca -ésma de u bomo (el teorema bomal), el prmero e hacer otar la relacó exstete etre la dervacó (cálculo de tagetes) y la tegracó (cálculo de áreas),... Juto a estos mértos, el ctar a Newto como el artífce de ua fórmula de terpolacó polómca puede parecer algo bastate sgfcate. Pero s embargo debe resaltarse que Newto fue u hábl calculsta y que e umerosos desarrollos por él realzados se utlza téccas de terpolacó. La dea que subyace e el procedmeto de Newto para calcular el polomo terpolador p (x) que pasa por los putos (x, f ), (x, f ),..., (x, f ) cosste e expresarlo e la forma: p (x) = a + a (x-x ) + a (x-x ) (x-x ) a (x-x ) (x-x ) (x-x - ) co lo que se puede calcular los coefcetes {a, a, a,..., a } medate: p (x ) = f a = f (= f[x ] ) p (x ) = f a + a (x -x ) = f a = f f x x (= f[x, x ]) p (x ) = f a + a (x -x ) + a (x -x ) (x -x ) = f a = f f f f x x x x x x (= f[x, x, x ] ).. 4

7 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca Los coefcetes así calculados so llamados dferecas dvddas y se suele represetar como a = f[x, x,..., x ]. Como se verá e apartados posterores, su cálculo puede realzarse de forma recursva de maera muy smple medate la fórmula: [ ] [ ] f x,...,x,x f x,x,...,x f [ x,x +,...,x + k,x+ k] = xk x co lo que el polomo terpolador buscado respode a la fórmula: + + k + k + + k [ ] [ ] ( ) p (x) = f x + f x,..,x (x x ) j = j= Esta forma de proceder (aplcada a ejemplos cocretos y obvamete descrta co ua termología dferete a como se ha realzado aterormete) fue publcada e la obra de Newto Methodus dfferetals aparecda e 7, s be era utlzada por Newto y otros matemátcos desde años ates. Debdo a ello la fórmula ateror se cooce co el ombre de fórmula de Newto para el cálculo del polomo terpolador. Nótese que, a f de cuetas, la fluxó f de ua fucó termología co la que Newto trodujo el cálculo ftesmal- o deja de ser más que la dfereca dvdda de prmer orde: f(x + h) f(x) f(x + h) f(x) f[ x,x+ h] = = (x + h) x h cuado h se hace teder haca cero. Icluso métodos dseñados para otros fes e esa época puede terpretarse de algua forma como métodos basados e terpolacó. Así, de forma depedete, Sr Isaac Newto y Joseph Raphso utlzaba u método de resolucó de ecuacoes o leales de la forma f(x) = que hoy es coocdo co el ombre de ambos. E cada teracó del método de Newto-Raphso 3, se determa ua aproxmacó x + de la raíz a partr de la aproxmacó precedete x medate la fórmula: 3 Cosúltese los aputes sobre los métodos de resolucó de ecuacoes o leales 5

8 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd x + = x f(x ) / f (x ) por lo que x + puede cosderarse el puto de corte co el eje de abscsas de la recta (polomo de prmer grado) que e x tee el msmo valor que la fucó f(x) y cuya prmera dervada tee el valor f (x ). Ello costtuye uo de los prmeros ejemplos de lo que después sería coocdo co el ombre de terpolacó de Hermte. f(x) x Precursor de alguos trabajos de Newto fue el matemátco escocés James Gregory (638, Drumaoak (Escoca) 675, Edmburgo (Escoca)). Este matemátco se atcpó e muchos aspectos a Isaac Newto y otros matemátcos posterores. Escrtos suyos, o publcados auque recogdos e la correspodeca que matuvo co otros cetífcos de su época, parece dcar que utlzaba téccas de cálculo ftesmal e los años e que Newto aú estaba dseñado estas herrametas. Ua de sus obras Optca promota publcada e 663- fue la base e la que se basó Newto para costrur su telescopo de refraccó. No obstate ua agra dsputa que matuvo co el holadés Chrsta Huyges le hzo muy retraído a la hora de publcar sus resultados. Gra parte de sus hallazgos so hoy coocdos por la aparcó de su correspodeca cetífca. Etre las cartas ecotradas puede resaltarse la que e 67 drge a u membro de la Royal Socety y que dca que James Gregory coocía la expresó de los desarrollos e sere de Taylor muchos años ates de que estos fuese publcados por Brook Taylor e 75. Asmsmo, la correspodeca hallada de él cofrma que había demostrado ates de 67, atcpádose al propo Newto, la fórmula de cálculo de las 6

9 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca potecas de u bomo así como la msma fórmula de terpolacó de Newto. Hoy, recoocedo parcalmete ese hecho, se cooce co el ombre de fórmulas de Newto-Gregory a los casos partculares de la fórmula de Newto e la que el soporte de terpolacó está formado por putos e los que cada uo de ellos dsta la msma magtud del que le precede y le sgue (llamados soportes equdstates) y las dferecas dvddas so susttudas por dferecas ftas progresvas o regresvas. També se debe a Gregory ua de las prmeras fórmulas de tegracó umérca hallada por él e 67. Cotemporáeo de Newto fue otro matemátco glés co ua produccó de resultados mucho meor: Roger Cotes ( de julo de 683, Burbage (Iglaterra) 5 de juo de 76, Cambrdge (Iglaterra) ). Este matemátco, que sólo publcó u artículo e vda, trabajó e cálculo tegral y fue el ecargado de coordar la publcacó de la seguda edcó de la prcpal obra de Newto, Phlosophe Naturals Prcpa Matemátca (abrevadamete coocda como Prcpa). Por publcacoes posterores que recogía alguos de sus trabajos, edtadas por Thomas Smpso, se pudo coocer el gra trabajo que desarrolló e el cálculo de tablas de dferecas dvddas y su aplcacó al cálculo de tegrales. Recoocédole este esfuerzo hoy se cooce como fórmulas de Newto- Cotes a aquellas fórmulas de tegracó umérca que utlza soportes equdstates. De la msma época y també glés, es el matemátco James Strlg (acdo e mayo de69 e Garde (Escoca) y fallecdo e Edmburgo (Escoca) el 5 de Dcembe de 77). Este matemátco es fudametalmete recordado por la fórmula de Strlg que proporcoa ua expresó de! utlzado el úmero e. E el año 73 publcó ua obra, també ttulada Methodus Dfferetals, e la que aborda el estudo de métodos de terpolacó y de cuadratura. Por sus aportes e este campo y el uso de los factorales que e ella aparece, ua de las fórmula de terpolacó e la que se utlza deferecas ftas cetradas co u soporte equdstate se cooce hoy e día co el ombre de fórmula de Strlg. Lgeramete posteror a los aterores y etusasta segudor de las deas troducdas por Newto, es el matemátco glés Thomas Smpso ( de agosto de 7 Market Bosworth (Iglaterra) 4 de mayo de 76, Bosworth (Iglaterra)). Smpso, que ejercó como profesor partcular de matemátcas y logró ser membro de la Royal Socety, trabajó fudametalmete e teoría de 7

10 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd probabldades, e terpolacó y e tegracó umérca. Él es el que da ombre a ua de las fórmulas más populares de tegracó umérca e la que el área bajo u tramo de curva es aproxmada por el área bajo u tramo parabólco que cocde co la fucó a tegrar al meos e los extremos del tervalo de tegracó así como e el puto medo de dcho tervalo. Ates de abadoar la Iglaterra de comezos del sglo XVIII debemos mecoar a otro matemátco de esa época: Brook Taylor (8 de agosto de 685, Edmoto (Iglaterra) 9 de dcembre de 73, Lodres (Iglaterra)). E el año 75 Taylor publcó su obra Methodus cremetorum drecta e versa e la que usa profusamete las dferecas ftas y proporcoa, s demostrar su covergeca, el desarrollo e sere de ua fucó e u puto que hoy se cooce co el ombre de desarrollo e sere de Taylor y que es ua de las herrametas más utlzadas e el aálss que volucra fucoes dferecables. Recordemos que la fórmula de Taylor es: (x x*) ( f(x) p (x) = f(x*) + f (x*)! = El uso de este desarrollo e sere permte aproxmar ua fucó por u polomo de grado e el que tato la fucó como sus prmeras dervadas cocde e u puto dado co el valor del polomo y los de sus prmeras dervadas. E su hoor se deoma terpolacó de Taylor al proceso medate el que, coocdos los valores f(x ), f (x ),..., f ( (x ), se determa ua fucó p(x) verfcado que p(x ) = f(x ), p (x ) = f (x ),..., p ( (x ) = f ( (x ). Muchos otros matemátcos cotuaro ocupádose de temas relatvos a la terpolacó. Pero hubo que esperar hasta fales del sglo XVIII para que Joseph Lous Lagrage (5 de eero de 736, Turí (Itala) de abrl de 83, París (Fraca)) dedcase alguos de sus trabajos a la terpolacó polómca de fucoes y dseñara u método dferete al basado e las tablas de dferecas ftas para costrur el polomo terpolador de ua fucó. Al gual que e el caso de Newto, los trabajos de Lagrage sobre terpolacó so cosderados como trabajos meores detro de su maga obra. E efecto, Lagrage fue, al gual que muchos de los cetífcos de su época, u matemátco y físco muy polfacétco. A él se le debe, e el campo matemátco, métodos de resolucó de ecuacoes dferecales, téccas de optmzacó co restrccoes, la troduccó del cálculo smbólco e el 8

11 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca cálculo ftesmal, la revalorzacó de la fórmula de Taylor,... Pero s duda su obra mayor es la Mécaque Aaltque e la que troduce u efoque etoces ovedoso y rguroso e el estudo de la mecáca: el cálculo de varacoes y los sstemas de coordeadas geeralzadas. E uo de sus tratados sobre astroomía, publcado e 79, Lagrage desarrolla su método de terpolacó para obteer polomos de grado que tome e (+) putos dferetes valores prefjados. El efoque ovedoso que adopta Lagrage para dseñar su método puede descrbrse dcedo que él busca el polomo terpolador p (x) que pasa por los putos (x, f ), (x, f ),..., (x, f ) expresádolo e la forma: p (x) = a (x-x ) (x-x )... (x-x ) + a (x-x ) (x-x )... (x-x ) a (x-x ) (x-x )... (x-x - ) = a (x x ) = j= j De esta forma, de las gualdades p (x k ) = f k (k =,,..., ) obtee que: j p(x ) = f a (x x) = f a = f j j= j= (x x ) j p(x ) = f. p(x ) = f a (x x) = f a = f j j= j j j= j (x x ).. a (x x) = f a = f j j= j= (x x ) j Co ello Lagrage proporcoa como expresó del polomo terpolador: p(x) = f (x x ) (x x ) j = j= j j 9

12 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd Esta fórmula es coocda desde etoces co el ombre de fórmula de terpolacó de Lagrage. E ella se expresa el polomo terpolador p (x) como ua combacó leal de los polomos: = (x x j) L(x) (x x ) j= j j que so deomados polomos de base de Lagrage (ya que costtuye ua base del espaco vectoral formado por todos los polomos de grado meor o gual que ). La fórmula de Lagrage fue gaádole terreo poco a poco a la fórmula de Newto y su uso se mostró más adecuado para el aálss de problemas de terpolacó co fucoes de varas varables. Téccas umércas posterores, como la de elemetos ftos, se apoyaro e la fórmula de Lagrage. Por todo ello, e hoor a este matemátco, hoy se deoma terpolacó lagragaa al proceso de obtecó de fucoes que e u cojuto de putos tome valores dados. La terpolacó sería objeto de atecó de otro de los grades matemátcos que vvero e el sglo XIX, llamado a meudo El Prícpe de los Matemátcos. Nos refermos a Joha Carl Fredrch Gauss (3 de abrl de 777, Bruswck (Alemaa) 3 de febrero de 855, Göttge (Alemaa)) que també tuvo ua produccó cetífca excepcoal o escapádose a su flujo práctcamete gua de las áreas de la Matemátca etoces exstetes: estadístca, teoría de úmeros, aálss complejo, seres, aálss de fucoes reales, cálculo tegral y dferecal, ecuacoes dferecales, álgebra, geometría,... A él se le debe el estudo de la mejor maera para tomar los (+) putos de u soporte de forma que se mmce el error de las fórmulas de tegracó umérca. Y e su hoor a tales fórmulas se las deoma hoy e día fórmulas de cuadratura gaussaa (o fórmulas de tegracó de Gauss). El últmo de los matemátcos del sglo XIX e que os detedremos es el fracés Charles Hermte (4 de dcembre de 8, Deuze, Lorea (Fraca) 4 de eero de 9, París (Fraca)). Hermte fue u matemátco muy creatvo, cotuador e buea medda de los trabajos de Abel, Galos y Louvlle sobre estructuras algebracas vculadas a la resolucó de ecuacoes. Fue Hermte

13 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca el prmero e demostrar que el úmero e o era u úmero algebraco y el que allaó el camo para que poco después Ldema demostrase que π tampoco lo era (poedo, de esta forma, el broche fal al problema de la cuadratura del círculo que desde la época de los gregos ocupó a umerosos matemátcos). Juto a ello Hermte destacó otablemete e áreas matemátcas meos aplcadas (e varates algebracos, fucoes elíptcas,...). Pero afortuadamete, a pesar de las crítcas que muchos matemátcos le ha drgdo por ello, Hermte també dedcó u corto perodo de su vda, tres años haca 87, al estudo de problemas de aproxmacó e terpolacó troducedo téccas que permte calcular fucoes terpoladoras que, e los putos de u soporte, cocde tato ellas como sus prmeras dervadas co los valores de la fucó que se terpola y las dervadas correspodetes. De forma más cocreta, Hermte se ocupó, etre otros tópcos, de u problema de terpolacó más geeral que los de terpolacó de Lagrage e terpolacó de Taylor pues Hermte cosderó que e cada uo de los (+) putos x < x <... < x se coocía los valores de ua fucó f(x) y los de su prmera dervada f (x), buscado el polomo p + (x), de grado meor o gual que ( +), que verfcaba que: p + (x ) = f(x ) ( =,,, ) p (x ) f '(x ) ( =,,, ) ' + = Dcho polomo, que també puede demostrarse que es úco, fue obtedo por Hermte expresádolo como ua combacó leal de polomos e la forma: p (x) = f(x ) H (x) + f'(x ) H (x) +,, = = dode los polomos {H, (x), H, (x),..., H, (x), H, (x), H, (x),..., H, (x)} forma ua base del espaco formado por todos los polomos de grado meor o gual que ( +) y so deomados polomos de base de Hermte (y cuya expresó se obtedrá e apartados posterores). A la fórmula que proporcoa p + (x) e fucó de esta base se la cooce co el ombre de fórmula de terpolacó de Hermte. El problema de terpolacó de Hermte se geeralzó e años posterores dado cabda a que e cada puto x del soporte se supusera coocdos el valor de ua fucó f(x) y los de sus m prmeras dervadas, buscádose

14 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd etoces u polomo p α (x) de grado meor o gual que α, y dode el etero α está dado por α = + = m, verfcado: p (x ) f (x ) (j =,,..., m ) ( =,,..., ) (j (j α = E hoor a Charles Hermte este proceso se cooce co el ombre de terpolacó de Hermte. Obsérvese que la terpolacó de Lagrage es u caso partcular de la de Hermte e el que se toma ulos todos los valores m. Asmsmo, la terpolacó de Taylor es u caso partcular de la de Hermte e la que el soporte de terpolacó se reduce a u úco puto x. E el ttero se os ha quedado muchos otros matemátcos de los sglos XVII, XVIII y XIX que obtuvero resultados que coformaro ua sólda teoría sobre los métodos de terpolacó. El sglo XX, y especalmete su seguda mtad e la que las téccas de terpolacó pudero mplemetarse sobre ordeadores, coocó u autétco estalldo e el uso de la terpolacó, dervacó e tegracó umércas. Los métodos umércos de resolucó de ecuacoes dferecales, ordaras o parcales -que rge umerosos problemas de la físca, la químca o la geería- está basados e estas téccas. Así los métodos e dferecas ftas o elemetos ftos que se estuda e otras asgaturas puede ser cosderados como cotuadores de las téccas de terpolacó desarrolladas por Newto, Lagrage, Gauss, Hermte y muchos otros. Y baste recordar que la exsteca de tales métodos, juto a las máquas de cálculo, está presetes hoy e día e el estudo y dseño de avoes, cohetes, vehículos, edfcos, prótess, horos dustrales, establdad de galerías y taludes,... Esperamos que esta breve troduccó a las téccas de terpolacó permta al lector teer ua vsó geeral sobre el tema del que se ocupa estos aputes. Muchos y muy bueos matemátcos ha cotrbudo al desarrollo que ahora tee. Y muy umerosos so los campos e los que se ecuetra sus aplcacoes.

15 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca. Iterpolacó polómca de Lagrage Cosderaremos e esta seccó el problema de terpolacó de Lagrage formulado de la maera sguete: Problema de Iterpolacó Polómca de Lagrage Dados (+) putos dsttos {x, x,..., x,..., x } y (+) valores {f, f,..., f,..., f }, ecotrar u polomo p (x), de grado meor o gual que, verfcado las gualdades: p (x ) = f ( =,,..., ) E tal problema deomaremos soporte de terpolacó al cojuto de putos {x, x,..., x,..., x }. E los soportes que cosderaremos supodremos que el ídce es u etero estrctamete postvo (es decr que al meos hay putos e el soporte) y que los (+) putos del soporte so dsttos etre sí. Cuado la dstaca etre putos cosecutvos sea sempre la msma se drá que el soporte es u soporte equdstate. Al polomo p (x) se le deomará polomo terpolador de Lagrage sobre el soporte {x, x,..., x,..., x } para los valores {f, f,..., f,..., f }. Cuado estos valores sea los valores que toma ua certa fucó f(x) e los putos del soporte, se drá que p (x) es el polomo terpolador de Lagrage de la fucó f(x) sobre el soporte {x, x,..., x,..., x }. No obstate, cuado cosderemos que o hay cofusó sobre los putos del soporte utlzados así como sobre los valores e ellos, os referremos a p (x) dcedo smplemete que es el polomo terpolador de Lagrage. Ejemplos: º) El polomo p (x) = x + x + π π es el polomo terpolador de Lagrage de la fucó f(x) = cos(x) sobre el soporte 4 π π,,. E efecto, es u polomo de grado meor o gual que verfcado: 4 3 π π π π p () = (=cos()), p = =cos, p = 4 4 =cos Adoptaremos e todo cuato sgue el coveo de que, salvo que se especfque lo cotraro, los argumetos de las fucoes trgoométrcas se cosdera dados sempre e radaes. 3

16 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd º) El polomo p 3 (x) = -x 3 + x 3 x + es el polomo terpolador de Lagrage de la fucó f(x) = x 4 3 x 3 + x x + sobre el soporte de 4 putos {-,,, }. E efecto, habedo 4 putos el polomo dado es u polomo de grado 3 que, además, verfca que: p 3 (-) = 8 (= f(-)), p 3 () = (= f()), p 3 () = (= f()), p 3 () = -4 (= f()) E este apartado presetaremos dferetes téccas para resolver el problema de terpolacó de Lagrage aterormete formulado. Ua prmera forma de determar el polomo buscado cosste e cosderar que p (x) es u polomo de la forma p (x) = α + α x + α x α x para, a cotuacó, obteer u sstema de (+) ecuacoes leales a partr de las gualdades etre los valores coocdos e el soporte y los valores que debe tomar el polomo terpolador e los putos del soporte. Más cocretamete: p (x ) = f α +α x +α x α x = f p (x ) = f α +α x +α x α x = f p (x ) = f α +α x +α x α x = f.... p (x ) = f α +α x +α x α x = f El sstema ateror puede escrbrse co otacó matrcal e la forma: x α x... x f α x x... x f x α = x... x f x x... x α f S, como se ha supuesto, los putos del soporte so dsttos etre sí, la matrz del sstema ateror es ua matrz regular y por tato el sstema ateror admte ua úca 5 solucó (es decr que el polomo buscado queda defdo de forma úca a través de sus coefcetes obtedos como solucó del sstema plateado). 5 No os deteemos a demostrar esta afrmacó pues la exsteca y ucdad del polomo terpolador de Lagrage será demostrada posterormete. 4

17 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca Ejemplo: Determemos la expresó del polomo terpolador de Lagrage de la fucó f(x) = x 4 3 x 3 + x x + sobre el soporte {-,,, }. E estos putos se tee que: f = f(-) = 8, f = f() =, f = f() = y f 3 = f() = -4. Deotado al polomo buscado por: p 3 (x) = α + α x + α x + α 3 x 3, se tee que: p 3 (-) = f α - α + α - α 3 = 8 p 3 () = f α = p 3 () = f α + α + α + α 3 = p 3 () = f 3 α + α + 4 α + 8 α 3 = -4 es decr: α 8 α = α 4 8 α3 4 de dode: α =, α = -3, α =, α 3 = - por lo que: p 3 (x) = 3 x + x x 3. La fgura sguete recoge la gráfca de f(x) y de p 3 (x). f(x) p 3 (x) 5

18 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd Ejercco propuesto: Platéese el sstema de ecuacoes que permte calcular el polomo π π terpolador de Lagrage de la fucó f(x) = se(x) sobre el soporte,, 4. Resuélvase dcho sstema y escríbase la expresó del polomo terpolador. Esta forma de calcular el polomo terpolador de Lagrage, medate la resolucó de u sstema de (+) ecuacoes co (+) cógtas, es útl cuado se trabaja co u soporte formado por u úmero de putos relatvamete bajo. E el caso de que o sea así es ecesaro realzar u gra esfuerzo computacoal para resolver el sstema de ecuacoes al que se llega. Pero además, esta forma de proceder tee meos terés que otras que aalzaremos a cotuacó cuado se pesa e aplcarlas a los métodos de resolucó umérca de problemas de cotoro (y e cocreto al método de elemetos ftos) que se aborda e otras asgaturas. Por ello, e los subapartados que sgue, se estudará otras téccas de cálculo del polomo terpolador de Lagrage. 6

19 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca.. La fórmula de terpolacó de Lagrage Teorema (Exsteca y ucdad del polomo terpolador de Lagrage) Dados (+) valores {f, f,..., f,..., f }, y sedo L (x) (=,, ) los polomos de base de Lagrage asocados al soporte formado por las (+) abscsas dsttas {x, x,..., x,..., x }, exste u úco polomo de grado meor o gual que, p (x), verfcado las (+) gualdades: p (x ) = f ( =,,,..., ) () Demostracó: Como se ha vsto e el apartado ateror, el sstema () puede escrbrse co otacó matrcal e la forma: x α x... x f α x x... x f x α = x... x f x x... x α f [X] {α} = {f} La matrz del sstema, habda cueta de que las abscsas x, x,., x so todas ellas dsttas, tee su determate del tpo Vadermode y por ello dstto de. E otros témos es ua matrz regular que admtrá versa [X] -. Por ello exstrá u úco juego de coefcetes, dado por la expresó: {α} = [X] - {f} Que detfque al polomo terpolador p (x). c.q.d. Defcó Se deoma polomos de base de Lagrage asocados al soporte formado por las (+) abscsas dsttas {x, x,..., x,..., x }, y los deotaremos por L (x) (=,, ), a los (+) polomos de grado meor o gual a defdos por las expresoes: S = : L (x) = S > : = x xj L(x) ( =,,,..., ) () j= x xj j 7

20 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd El método dseñado por Lagrage para el cálculo del polomo terpolador, utlza los polomos de base de Lagrage que se acaba de defr. La forma e que se utlza, se recoge e el sguete teorema. Teorema (Fórmula de Lagrage para el polomo terpolador) Dados (+) valores {f, f,..., f,..., f }, y sedo L (x) (=,, ) los polomos de base de Lagrage asocados al soporte formado por las (+) abscsas dsttas {x, x,..., x,..., x }, se verfca que el polomo terpolador de Lagrage sobre el soporte cosderado y para los valores dados puede expresarse como: = p (x) f L(x) (3) = Demostracó: Basta co observar que los polomos de base de Lagrage dados por la expresó () so polomos de grado verfcado, sobre los putos del soporte, que verfca: s k L(x k) =δ k = s = k Por tato, el polomo dado por la fórmula de terpolacó de Lagrage (3) es u polomo de grado meor o gual que (al ser ua combacó leal de polomos de grado ) que además verfcará que: p (x k ) = k = f L(x ) = f k L k (x k ) = f k (k =,,..., ) Es, por ello, el polomo terpolador de Lagrage sobre el soporte cosderado y para los valores dados e el eucado. c.q.d. NOTA: La expresó (3) se cooce como fórmula de terpolacó de Lagrage. Cosecueca medata del teorema ateror es el sguete corolaro Corolaro S p(x) es ua fucó polómca de grado m, y es u etero estrctamete postvo tal que m <, el polomo terpolador de Lagrage p (x) de la fucó p(x) sobre cualquer soporte formado por (+) putos es la propa fucó p(x). 8

21 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca Demostracó: El grado del polomo terpolador de Lagrage sobre u soporte formado por (+) putos debe ser meor o gual que. La fucó p(x) se ha supuesto que es u polomo de grado m < por lo que verfca la codcó sobre el grado exgdo al polomo terpolador de Lagrage. Puesto que obvamete el valor de la fucó p(x) e los putos del soporte cocde co el valor p(x ) se puede coclur que p(x) es el polomo terpolador de Lagrage de ella msma. Y como e vrtud del teorema ateror el polomo terpolador de Lagrage es úco, puede coclurse que p (x) p(x). c.q.d. Ejemplo: Utlcemos la fórmula de Lagrage para determar el polomo terpolador de π π Lagrage de la fucó f(x) = se(x) sobre el soporte,, 4. E prmer lugar calculemos los valores de la fucó f(x) e los putos del soporte: f =f() = se() =, f = π π f = se = 4 4, f = f π π = = se Procedamos a cotuacó a calcular (y represetar gráfcamete) los polomos de base de Lagrage asocados a este soporte. π π x x 4 8 x 6 π x +π L(x) = = π π π 4 π ( x ) x 6 x + 8 π x L(x) = = π π π π 4 4 π ( x ) x 4 8 x π x L(x) = = π π π π 4 9

22 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd L (x) L (x) L (x) π/4 π/ Co ayuda de estos polomos de base se calcula el polomo terpolador utlzado la fórmula de terpolacó de Lagrage: ( + π 6 x 8 x) 8 x π x p (x) = f L (x) + f L (x) + f L (x) = + = π π = x π π x La fgura sguete recoge, además de las gráfcas de los tres polomos de base, la gráfca de la fucó f(x) = se(x) y la gráfca del polomo terpolador que se acaba de determar. π/4 π/ Ua aproxmacó del valor de se() puede obteerse etoces evaluado p (): se() p () =

23 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca Puede compararse esta aproxmacó del valor de se() co el valor exacto que es Examemos algua de las propedades de los polomos de base de Lagrage. Propedad Dado el soporte {x, x,..., x,..., x }, el -ésmo polomo de base de Lagrage: = x xj L(x) x x j= j j ( =,,...,) es el úco polomo de grado meor o gual que que verfca que: s k L(x k) =δ k = s = k (, k =,,..., ) Demostracó: Es evdete -s más que susttur e la expresó del polomo L (x) la varable x por la abscsa x k (k =,,...,,.., ) - que L (x) es u polomo de grado meor o gual que que se aula e todos los putos del soporte salvo e el puto x e el que toma el valor udad. La ucdad se fere del hecho de que, e vrtud del teorema de exsteca y ucdad del polomo terpolador, sólo puede haber u polomo de grado meor o gual que pasado por los (+) putos (x, ), (x, ),..., (x -, ), (x, ), (x +, ),..., (x, ). c.q.d. La gráfca sguete represeta el hecho que se acaba de demostrar recogedo los grafos de los 5 polomos de base asocados al soporte formado por las abscsas {.5,., 4.56, 8.33,.45}.

24 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd Propedad Dado el soporte {x, x,..., x,..., x }, los polomos de base de Lagrage asocados a dcho soporte: verfca que: Demostracó: = x xj L(x) x x j= j j = L (x) = x ( =,,..., ) La fucó udad, p(x) =, es u polomo de grado. Por tato perteece al cojuto de polomos de grado meor o gual que para cualquer eleccó del úmero atural que se haga. Puesto que, e vrtud del corolaro, el polomo terpolador de Lagrage p (x) de esta fucó p(x) sobre el soporte de abscsas dsttas {x, x,..., x,..., x } ha de cocdr co p(x), se verfcará que: = p(x) = p (x) = Ejerccos propuestos: p(x ) L (x) = L (x) = L (x) = = = c.q.d.

25 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca º) Demostrar que sedo Π(x) el polomo de grado (+) dado por la expresó: j= Π (x) = (x x ), se puede escrbr el -ésmo polomo de base de Lagrage sobre el soporte {x, x,..., x,..., x } como: j Π(x) L(x) = (x x ) Π'(x ) º) Demostrar que sedo L (x), L (x),..., L (x) los (+) polomos de base asocados al soporte {x, x,..., x,..., x } se verfca que: m = m = x L(x) x m 3º) Justfcar la veracdad o falsedad de la afrmacó sguete: Para cualquer polomo de base de Lagrage L (x) asocado a u soporte geérco {x, x,..., x,..., x } se verfca que: L (x) x ( x,x ) ( =,,..., ) 4º) Utlícese la fórmula de Lagrage para determar el polomo terpolador π π π de Lagrage de la fucó cos(x) sobre el soporte,,, 6 3. Represétese las gráfcas de los polomos de base asocados a este soporte e díquese el valor terpolado que aproxmaría cos(π/4). 5º) Determíese el polomo terpolador de Lagrage, p 5 (x), de la fucó f(x) = x 3 sobre el soporte {,,, 3, 4, 5}. Cuál es el error de terpolacó e el puto x =.5, es decr cual es el valor de f(.5) p 5 (.5)?. 6º) Demuéstrese que los polomos = x xj L(x) x x j= j j ( =,,..., ) asocados al soporte {x, x,..., x,..., x } forma ua base del espaco vectoral P formado por todos los polomos (de varable y coefcetes reales) de grado meor o gual que. 3

26 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd.. Fórmula del error e la terpolacó de Lagrage Las téccas de terpolacó de Lagrage descrtas hasta ahora (y las que se descrbrá e subapartados sguetes) permte ecotrar u polomo de grado meor o gual que que cocde co los valores de ua fucó f(x) e los putos del soporte de terpolacó {x, x,..., x }. Pero esta cocdeca de valor o tee por qué producrse e putos o perteecetes al soporte. Es por ello que se puede defr ua fucó error de terpolacó de la forma sguete: Defcó Sedo p (x) el polomo terpolador de Lagrage de la fucó f(x) sobre el soporte {x, x,..., x }, se deoma error de terpolacó (de Lagrage) a la fucó E(x) que a todo puto x le asoca el valor E(x) = f(x) p (x). f(x) p (x) p (x*) f(x*) E(x*) x x x* x E geeral, s o se tee formacó adcoal sobre la fucó f(x) que se está terpolado, poco se puede decr sobre el error de terpolacó (salvo que será ulo e los putos del soporte). Pero s se admte ua certa regulardad de la fucó f(x), más cocretamete, s se admte que tato la fucó f(x) como sus prmeras dervadas so cotuas y acotadas, es posble obteer cotas de la fucó error de terpolacó e el tervalo (a, b) al que perteezca los putos del soporte. Dedcaremos este subapartado a cocretar esta afrmacó. 4

27 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca Teorema 3 Sedo f(x) ua fucó cotua de clase C (+) ((a, b)) y deotado por p (x) al polomo terpolador de Lagrage de la fucó f(x) sobre el soporte {x, x,..., x }, formado por (+) putos dsttos de (a, b), para todo puto x* (a, b) se puede ecotrar algú puto ξ * (a, b), depedete del puto x* que se escoja, verfcado que: (+ f ( ξ *) E(x*) = f(x*) p (x*) = (x * x ) ( + )! = Demostracó: S el puto x* cocdera co alguo de los putos del soporte la gualdad ateror es evdete pues el error sería ulo y el productoro que aparece e la expresó del error també se aularía. Cosderemos pues el caso e que x* {x, x,..., x }. E esta stuacó se puede defr el polomo: q(x) = p (x) + f(x*) p (x*) (x x ) = (x * x ) = El polomo q(x) es u polomo de grado meor o gual que (+), pues es la suma de u polomo de grado meor o gual que (p (x)) más otro polomo de grado (+) (dado por f(x*) p (x*). (x * x ) = = (x x ) ) multplcado por la costate Además dcho polomo verfca que: q(x k ) = p (x k ) + f(x*) p (x*) k (x x ) = (x * x ) = = p (x k ) = f(x k ) (k =,,..., ) f(x*) p q(x*) = p (x*) + (x*) (x* x ) = p (x*)+ f(x*) - p (x*) = f(x*) = (x * x ) = Por tato q(x) es el polomo terpolador de Lagrage de la fucó f(x) sobre el soporte formado por los (+) putos: {x, x,..., x, x*}. 5

28 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd Defmos etoces la fucó F(x) = f(x) q(x). Esta fucó es cotua y será de clase C (+) ((a, b)) pues es la dfereca de dos fucoes de dcho espaco. Además la fucó F(x) se aula e los (+) putos dsttos {x, x,..., x, x*}. Aplcado sucesvamete el teorema de Rolle 6 se tee etoces que F (x) se aulará e al meos (+) putos de (a, b), F (x) lo hará e al meos putos de (a, b), F (x) será ula e al meos (-) putos de (a, b),... y F (+ (x) se aulará e al meos u puto del tervalo (a, b). Deotemos por ξ * a alguo de los putos de (a, b) e los que se aula F (+ (x). Se tee así que: = F (+ ( ξ *) = f (+ ( ξ *) q (+ ( ξ *) = = f (+ ( ξ *) (+ f(x*) p (x*) p ( ξ*) (x x ) = (x * x ) = (+ = = f (+ ( ξ * ) f(x*) p (x*) ( + )! (x * x ) = (+ f ( ξ f(x*) p (x*) = *) (x* x ) ( + )! = c.q.d. Ua cosecueca medata del teorema ateror es el hecho, ya coocdo por el corolaro demostrado e el apartado ateror, de que s f(x) es ua fucó polómca de grado meor o gual que, al terpolarla co (+) abscsas dsttas de soporte el error que se comete es ulo (pues la dervada de orde (+) de u polomo de grado meor o gual que es la fucó ula). Pero el teorema ateror, tal cual está formulado, tee ua aplcacó práctca escasa pues su uso e la determacó del error de terpolacó de Lagrage cometdo e u puto x* exge el coocmeto prevo de la (+)-ésma dervada de la fucó f(x) (cuado lo habtual es que ta squera se coozca la expresó de f(x)) y además la abscsa ξ * e la que evaluar dcha dervada. Pero s embargo sí que os ofrece formacó cualtatva sobre el proceso de 6 Teorema de Rolle: S ua fucó g(x) cotua e el tervalo [a, b] es dervable e (a, b) y además verfca que f(a) = f(b), etoces exste al meos u puto c (a, b) e el que se verfca que f (c) =. 6

29 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca terpolacó. E efecto, ua cosecueca medata de dcho teorema es que s se deota por M al valor: (+ M= Sup f (x) se verfcará que: de dode: x ( a,b) x (a,b) : E(x) = f(x) p (x) x (a,b) : E(x) = f(x) p (x) M (x x ) ( + )! ( ) = M Sup (x x) ( + )! x x,x = S se deota por h a la logtud del tervalo (a,b) es evdete que, para todo puto x teror a dcho tervalo se verfcará que: x-x < h. Ello os permte expresar la cota de error e la forma: M + x (a,b): E(x) = f(x) p (x) h ( ) ( + )! Las desgualdades aterores recoge cotas superores del máxmo del valor absoluto de la fucó de error de terpolacó. Tales cotas puede ser alcazadas o o por la fucó de error (sedo frecuete que el error real de terpolacó sea ostesblemete meor que la cota así calculada). Por ello el terés de estas acotacoes se ecuetra cuado la cota calculada es sufcetemete pequeña, pues e ese caso se puede asegurar errores de terpolacó pequeños. Cuado la cota tee u valor alto poco se puede asegurar sobre el error de terpolacó. Por otra parte debe señalarse que las desgualdades ates obtedas puede ducr al lector que aborda por prmera vez el estudo de la terpolacó de Lagrage a sacar coclusoes erróeas. Por ejemplo es frecuete que a la vsta de esta expresó se pese (erróeamete) que u cremeto e el úmero de putos del soporte, s cremetar la logtud del tervalo, coduce a u meor error de terpolacó ya que al aumetar crece el valor de (+)!. Ello o sempre sucede así pues, auque es certo que el factoral (+)! acaba crecedo co más rápdamete que el valor de h, debe (+ teerse e cueta que el valor de M = Sup f (x) o es depedete de. ( ) x x,x Además el cremeto del úmero de putos del soporte puede coducr a polomos terpoladores de alto grado que presete osclacoes muy proucadas lo cual o sempre será acorde co la aturaleza de la fucó 7

30 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd f(x) que se terpole. U ejemplo de lo que se acaba de señalar se recoge a cotuacó. Ejemplo: Sea f la fucó defda medate f(x) = se(π x ). S, e el tervalo [, 4] se cosdera u soporte equdstate formado por los (+) putos: x = 4 / ( =,,, ) ua cota del error de terpolacó está dada por: (+ ) 4 x [,4 ]: E(x) sup f (x) ( + )! x,4 ( (+ ) ( ) E la tabla sguete se recoge, para alguos valores de, el valor de (+ ) 4 (+ α= M= sup f (x) y + x,4 Cota= ( )!, y los órdees de magtud de los valores de ( ) ( ) (+ ) 4 sup f (x) ( + )! x,4 ( (+ ) ( ). α O(M) O(Cota) Puede observarse como u cremeto e el úmero de putos del soporte de terpolacó o coduce a ua dsmucó de la cota de error. Pero aalcemos s estas cotas de error os proporcoa algua formacó útl. 8

31 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca Obsérvese que el polomo terpolador obtedo para = se obtedría co el soporte {x =, x =, x = 4} e el que la fucó toma los valores: f = se() =, f = se(4 π) =, f = se(6 π) = lo que os coduce a que p (x) = y a que el error de terpolacó realmete cometdo es: E(x) = se(π x) p (x) = se(π x). E otros térmos el error real de terpolacó toma valores compreddos etre - y por lo que la cota de error obteda e la tabla ateror es muy superor al máxmo del valor absoluto del error. Para = 4 los putos del soporte so {x =, x =, x =, x 3 = 3, x 4 = 4}. E ellos los valores de la fucó so: f = se() =, f = se(π) =, f = se(4 π) =, f 3 = se(9 π) =, f 4 = se(6 π) = lo que os coduce a que p 4 (x) = y a que el error de terpolacó realmete cometdo es: E(x) = se(π x) p (x) = se(π x). E otros térmos el error real de terpolacó toma valores compreddos etre - y por lo que la cota de error obteda e la tabla ateror es muy superor al máxmo del valor absoluto del error. Para = 6 el soporte de terpolacó está formado por los putos {x =, x = /3, x = 4/3, x 3 =, x 4 = 8/3, x 5 = /3, x 6 = 4,} sedo los valores (aproxmados por sus 4 prmeros decmales) de la fucó e él: f = se() =, f = se(4 π/9) =.9848, f = se(6 π/9) = -.648, f 3 = se(4 π) =, f 4 = se(64 π/9) = -.34, f 5 = se( π/9) = -.34, f 6 = se(6 π) = El dbujo sguete recoge las gráfcas de la fucó f(x) (puteada) y del polomo terpolador que se obtedría (e trazo cotuo) y permte 9

32 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd verfcar que també ahora la cota de error obteda supera co mucho el máxmo valor absoluto del error de terpolacó. No obstate, a pesar de que e los casos aterores las cotas de error so muy elevadas, ada hace pesar que u cremeto del úmero de putos pueda mejorar la caldad de la terpolacó. Para lustrar este hecho, los dbujos sguetes recoge las gráfcas obtedas co 3 y co 4 putos de soporte para esta fucó. E la seguda de ellas, los tramos o dbujados del polomo terpolador excede la escala de las ordeadas cosderadas y por ello se recoge e otra fgura la gráfca del polomo terpolador aumetado el rago de las ordeadas represetadas. Soporte co 3 putos 3

33 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca Soporte co 4 putos Soporte co 4 putos (ordeadas e [-, ]) NOTAS: ª. Cuado e u tervalo [a, b] se elge u soporte equdstate que cluya a los extremos del tervalo, es decr u soporte de la forma: se verfca 7 que: (b a) x = a+ ( =,,..., ) 7 Para ua demostracó detallada puede cosultarse M. Crouzex & A.L. Mgot (983) Aalyse umérque des équatos dfféretelles, Ed. Masso. 3

34 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd e Sup (x x ) C (b a) ( ) l() x x,x = (+ ) dode C es ua costate postva. ª. La acotacó del error aterormete obteda M x [ x,x ] : E(x) = f(x) p (x) Sup (x x) ( + )! ( ) x x,x = dca que s se quere mmzar el error de terpolacó mateedo el úmero de putos del soporte, estos putos debería ubcarse de forma que se mmzase el valor de Sup (x x ). El cálculo de la poscó de estos ( ) x x,x = putos coduce (tras u proceso algo laboroso) a que e u tervalo [a, b] la mejor eleccó de los (+) putos de soporte está dada por las fórmulas: a+ b b a ( + ) ξ= + cos π ( + ) ( =,,..., ) Los soportes así formados se cooce co el ombre de soportes de Chebyshev 8. Co ellos puede demostrarse que: Sup (x x ) = ( ) x x,x = (b a) (+ ) ( + ) lo que os permte establecer la cota de error: E(x) M (b a) ( + )! (+ ) ( + ) 8 E la determacó de los putos de este tpo de soportes juega u papel esecal los deomados polomos de Chebyshev: {T (x) =, T (x) = x, T = x T - (x) T - (x) ( =,...,) }. A partr de ellos puede costrurse los polomos t (x) =, t (x) = x, t (x) = (/ (-) ) T ( =,..., ), pudédose demostrar fáclmete que, e el tervalo [-, ], estos polomos forma ua base del espaco de polomos de grado meor o gual que y que ademas t (x) es el polomo de grado co coefcete drector utaro co meor orma.. Es por ello que este tpo de soportes se deoma soporte de Chebyshev e hoor al matemátco ruso Pafuty Lvovch Chebyshev (6 de mayo de 8, Okatovo (Rusa) 8 de dcembre de 894, Sa Petersburgo (Rusa)). Para u mayor detalle del proceso de costruccó de los soportes de Chebyshev, puede cosusltarse F. Mchavla & C. Code (987) Métodos de Aproxmacó, Ed. Depto. de Matemátca Aplcada y Métodos Iformátcos ETSI Mas Uversdad Poltécca de Madrd. 3

35 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca Ejemplos: º. Sea f la fucó f(x) = e x. S se desea terpolar esta fucó e u tervalo [a, b] utlzádose u soporte formado por (+) putos, ua cota del error de terpolacó es: (+ ) x (b a) b x [a,b] : E(x) Sup ( e ) Sup (x x ) = e ( + )! x (a,b) x (a,b) = ( + )! Puesto que la fucó factoral preseta u crecmeto mayor que la fucó potecal, el error de terpolacó, e este caso, tederá a cero cuado teda a fto. E otros térmos, los polomos terpoladores de Lagrage p (x) de la fucó e x obtedos para soportes co putos cada vez será más próxmos a e x (dcho más correctamete, la sucesó de polomos p (x) coverge a e x cuado tede a fto). º) S se desea terpolar e el tervalo [, ] la fucó f(x) = e x utlzado putos de soporte, ua cota del error de terpolacó será: e x [, ]: E(x) Sup((x x ) (x x )) x, ( ) Deotemos por q(x) = (x-x ) (x-x ) = x (x +x ) x + x x. Co esta otacó es evdete que la cota del error de terpolacó será más pequeña cuato meor sea el máxmo de q(x) e [, ]. Segú lo dcado e el cometaro realzado e la ª de las otas aterores, ello se logra ubcado los putos del soporte e las abscsas: ξ = + cos π = ξ = + cos π = 4 lo que os coduce a que el soporte de Chebyshev, e este caso, es: x = y x = +. La fgura sguete recoge el grafo de la fucó e x y de los polomos de grado (rectas) obtedos co el soporte {, } (recta superor ), co el soporte {.499,.5} (recta feror ) y co el soporte de Chebyshev (recta termeda ). 33

36 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd 3º. Sedo f(x) = se(5 x+), x = y x = π/ se tee que los polomos de base de Lagrage está dados por las expresoes: π x = x L(x) L(x) = π π L (x) L (x) El polomo terpolador de Lagrage de f(x) sobre este soporte es: π x π x p (x) = f() L (x) + f(π/) L (x) = se() + se( + ) = π π 4 +π = se() + se se() x = se() + ( cos( ) se() ) x π π 34

37 Programacó y Métodos Numércos Iterpolacó polómca p (x) f(x) El error de terpolacó e cada puto x* del tervalo [, π/], utlzado el teorema que os proporcoaba dcho error, respode a la expresó: π 5 se(5 ξ * + ) π x*,, ξ * =ξ (x*)/ E(x*)=f(x*)-p (x*) = x * x * Como e este caso hemos partdo de ua fucó f(x) de la que se cooce su expresó aalítca, el error de terpolacó també se podría obteer medate: se() cos() se() x π E(x*) = f(x*) p (x*) = se(5 x*+) - ( ) Ello os permtría, para cada puto x*, ecotrar algú puto ξ * e el que se satsfaga la expresó del error obteda medate el teorema. Así por ejemplo, para el puto x* = π/ se tedrá que utlzado la prmera expresó del error: π 5 se(5 ξ * + ) π π π π E( ) = = se(5 ξ * + ) 3 y de la seguda: π π π π E( ) = f( ) p ( ) = se + se() cos( ) se() 4 ( ) 35

38 Iterpolacó polómca. Carlos Code, Arturo Hdalgo, Alfredo López ETSI Mas de la Uversdad Poltécca de Madrd Idetfcado las dos expresoes del error se tee que e este caso el puto ξ * estará dado por la solucó de: π π se(5 ξ * + ) = se + se() cos( ) se() 3 4 ( ) por lo que: 6 π ξ * = + arcse se + se() cos() 5 5 π 4 Etre los dferetes águlos que verfca la expresó ateror, tomaremos el que perteezca al tervalo [, π/] que, aproxmado co dígtos decmales, es: * ξ.6844 rad. Puede verfcarse que para este valor ambas expresoes del error coduce a que: E(π/) = Ua cota del error de terpolacó e este tervalo puede obteerse de la forma sguete: π 5 π x, : E(x) sup se(5 x + ) sup x x π π x, x, E el tervalo [, π/] el argumeto α = (5 x+) de la fucó seo que tervee e la acotacó ateror toma valores compreddos etre: α = π α + α α f = +π/ Por tato los valores extremos de se(α) se alcazará e y e (+π/). Puesto que se() = y se(+π/) = puede coclurse que: M = sup se(5 x + ) = < π x, 36