Programación y Métodos Numéricos: Integración Numérica Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas de Gauss

Transcripción

1 Programació y Métodos Numéricos: Itegració Numérica Fórmulas de Newto-Cotes Fórmulas de Gauss Prof. Carlos Code LázaroL Prof. Arturo Hidalgo LópezL Prof. Alfredo LópezL Marzo, 27 6

2 Programa Geeralidades Fórmulas de itegració umérica Fórmulas de itegració de tipo iterpolatorio Relació etre el orde de exactitud y los putos del soporte e las fórmulas de itegració umérica de tipo iterpolatorio. Aálisis del error e las fórmulas de tipo iterpolatorio Obteció de fórmulas de itegració umérica Fórmulas gaussiaas. 64

3 Fórmulas de de Newto-Cotes: defiició Se deomia fórmulas de Newto-Cotes a todas las fórmulas de itegració umérica de tipo iterpolatorio costruidas sobre soportes equidistates cetrados e el itervalo de itegració. Las fórmulas de Newto-Cotes se clasifica e: * Fórmulas de Newto-Cotes cerradas: El soporte icluye a los dos extremos del itervalo de itegració. * Fórmulas de Newto-Cotes abiertas: los extremos del itervalo de itegració o se icluye etre las abscisas que forma el soporte. 65

4 Fórmulas de de Newto-Cotes cerradas. h h h h h h h a = x x 1 x i x i+1 x -1 x = b h = (b-a)/ x i = a + i h (i =, 1,, ) 66

5 Fórmulas de de Newto-Cotes cerradas. b a b a f(x)dx = α i f( x i) + R D i= f ((a,b)) α j (j=,..., ) D R f ((a,b)) Nombre ( h / 12 ) f''( ξ) 5 (iv ( h /9) f ( ξ) 5 (iv ( h / 8 ) f ( ξ) 7 (vi ( 8h / 945) ( 27 ) 9 (viii ( 9h / 14 ) f Trapecio Simpso Re gla / f ( ξ) Mi l e h / 1296 f 7 (vi ( ξ) Weddle ( ξ) 67

6 Fórmulas de de Newto-Cotes cerradas. COMENTARIOS Las más usadas so la del trapecio y las que tiee u úmero impar de putos de soporte (pues añadir u puto más o reduce el orde del error) Las fórmulas de Newto-Cotes cerradas co más de 7 putos so muy sesibles a los errores de redodeo y por este motivo apeas so utilizadas. 68

7 Fórmulas de de Newto-Cotes abiertas. h h h h h h h a x x i x i+1 x b h = (b-a)/(+2) x i = a + (i+1) h (i =, 1,, ) 69

8 Fórmulas de de Newto-Cotes abiertas. b a b a f(x)dx = α i f( x i) + R D i= f ((a,b)) α j (j=,..., ) D R f ((a,b)) ( ) h / f"( ξ) ( ) h / 4 f "( ξ) Fórmula del Puto medio (o de Pocelet) ( 14h / ) 45 f ( ξ) 5 (iv ( ) 95h / 144 f 5 (iv ( ξ) 7

9 Fórmulas de itegració de Gauss Se deomia fórmulas de itegració de Gauss a toda fórmula de itegració de tipo iterpolatorio costruida sobre soportes {x,, x } de (+1) putos que verifica las (+1) igualdades siguietes: b a b a (x x )... (x x ) dx = x (x x )... (x x ) dx = b x (x x )... (x x ) dx = a So fórmulas de orde (2 +1) (ver teorema 2) NOTA: Este tipo de fórmulas se deomia tambié fórmulas de Gauss-Legedre. Existe otras fórmulas llamadas de Gauss-Lobato, Gauss-Radau, 71

10 Propiedad Fórmulas de itegració de Gauss Las abscisas del soporte de las fórmulas de itegració gaussiaa so simétricas respecto al puto medio del itervalo de itegració. Cometarios: 1º. Si el soporte tiee u úmero impar de putos, el puto medio del itervalo de itegració es ua de las abscisas del soporte. 2º. Es habitual calcular las fórmulas e el itervalo [-1, 1] para facilitar los cálculos de los putos y pesos de la fórmula para después geeralizarlas a itervalos geéricos. º. E las referecias bibliográficas se puede ecotrar tabulados los pesos y putos de fórmulas gaussiaas e [-1, 1] co 1, 2,,. putos. 4º. Por su alto orde de exactitud, las fórmulas de Gauss so muy utilizadas e la práctica. 72

11 1 2 Fórmulas de itegració de Gauss ± ξ j 1 1 1,, 5 5 (j=,,, ) ξ γj ξj j= g( ).dt.g( ) ξ = +, ξ 1 = 5 5 ξ 2 = -ξ 1, ξ = -ξ γ j 2 1, 1 (j=,,, ) 5/9, 8/9, 5/9 γ =γ = 5 27, γ=γ=

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