TEMA24. Funciones en forma de tabla. Interpolación y extrapolación

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1 TEMA 4. Fucoes e orma de Tabla terpolacó etrapolacó TEMA4. Fucoes e orma de tabla. Iterpolacó etrapolacó. Itroduccó. Fucó e orma de tabla. La Naturaleza es umérca matemátca así umerosos eómeos aturales establece relacoes umércas etre dos o más magtudes. E este tema sólo estudaremos relacoes baras dode sólo tervee dos magtudes e que llamaremos varables depedete depedete respectvamete. Los cetícos e su aá de coocer utlzar predecr la aturaleza ecesta establecer ua relacó matemátca etre las deretes magtudes. ara este propósto se obtee epermetalmete parejas de putos valores correspodetes de ambas magtudes a partr de los cuales se desea obteer el resto de posbles valores. El problema cosste e ecotrar ua ucó le que os relacoe ambas magtudes: a partr de u úmero to de parejas de putos. Esta ucó así deda se llama ucó e orma de tabla La terpolacó etrapolacó cosste e a partr de u cojuto to de parejas {} de putos obteer ua ucó e dode se cumpla que el error e los putos epermetales sea ulo e el resto de putos sea el meor posble. La terpolacó se cetra e el rago de que cotee a los putos sedo la etrapolacó la apromacó de la ucó uera de este rago. or lo geeral las ucoes obtedas por terpolacó so más eactas que las de etrapolacó como es lógco. La etrapolacó se utlza cuado o podemos medr e u determado rago de la varable depedete ejemplo etrapolar el resultado magtudes termodámcas e el cero absoluto valor que es alcazable. Mucas de las relacoes matemátcas de la Naturaleza o se obtee de orma epermetal so de la relacó co otras epresoes. Este las deomadas ecuacoes báscas de la Naturaleza a partr de las que se apoa las demás que se obtee de orma epermetal. U ejemplo de ua ecuacó básca es las uerzas gravtatora electromagétca: q M M F r Fr G. Estas epresoes que os relacoa dversas magtudes geera uas Costates de la aturaleza como so e este caso la costate gravta- 4 πε r r coal G o la permetbldad del medo ε. A la ora de obteer u le epermetal la terpolacó o sempre es la mejor solucó especalmete cuado teemos u úmero grade de parejas de putos estos sometdos a posbles errores de medda que so evtables. ara estos casos obteer ua ucó de terpolacó que pase por todos los putos obtedos de orma epermetal os puede geerar ua ucó demasada compleja que o sea sempre la mejor solucó. Otra orma de obteer la le epermetal es obteer ua ucó que se aprome a los valores epermetales pero s egr que pase por ellos. Este método se deoma ajuste por regresó al gual que e la terpolacó teemos que jar el tpo de ucó que queremos utlzar auque puede ser más seclla que la epresó de la terpolacó. La terpolacó surge e el sglo XVIII de maos de matemátcos como Talor Lebz Newto Lagrage. La teoría utlzada e la actualdad es la creada por Cebsev Weerstrass e sglo XIX Fucó e tabla Iterpolacópolómca Regresóleal Jose Lus Lorete preparador oposcoes secudara

2 TEMA 4. Fucoes e orma de Tabla terpolacó etrapolacó. Formas de epresar ua ucó Lo más deseable a la ora de coocer ua ucó es obteer ua epresó aalítca de orma que podamos calcular la mage de cualquer valor s más que susttur el valor de e la epresó. ero a veces o es posble obteer ua epresó aalítca de ua ucó por o ajustarse los datos a gua o ser ua epresó más complcada de lo deseada. Uas de las ucoes e orma de tablas más mportates quzás más atguas so las tablas que teía e la Greca clásca para descrbr el seo coseo e ucó de los águlos cada grado teía su valor. E la actualdad podemos ecotrar mucas ucoes e orma de tabla por ejemplo los dspostvo electrócos como MOSFET o trasstores bpolares o la probabldad ormal que vee descrtas por tablas que utlza e bacllerato los alumos que cursa las matemátcas para las cecas socales. 3. Iterpolacó polómca 3.. Decó La terpolacó polómca cosste e obteer el polomo de grado a a..a - - a a partr de u cojuto de parejas de putos { } La eleccó de los polomos como ucó de terpolacó es porque tee las sguetes vetajas: Secllez de estos característca que tee la aturaleza. Fácles de calcular a partr de los putos de terpolacó or teorema de Werstrass toda ucó cotua se puede represetar co u error prejado a partr de u polomo to. Como veremos e el sguete apartado sempre es posble ecotrar u polomo de grado que sea solucó de terpolacó de putos. ero o es el úco polomo que lo cumple a que estrá polomos de maor grado que també cumpla las propedades de terpolacó. Nos cetraremos e el polomo de meor grado. 3.. Esteca ucdad del polomo terpolador. Teorema: Sea putos deretes el polomo terpolador de grado o meor este es úco. Demostracó: Sea a a a el polomo terpolador a de cumplr solucó de los putos co { } por lo que geera el sguete sstema de ecuacoes co cógtas: a a o o a a a a o A b a a a Jose Lus Lorete preparador oposcoes secudara

3 TEMA 4. Fucoes e orma de Tabla terpolacó etrapolacó Que se puede epresar de orma matrcal como: A b co : or el teorema de Cramer tedrá solucó s el determate del sstema A tee determate o ulo matrz regular de orma que cocda el rago de la matrz del sstema de la amplada: ragaraga b. El determate es dstto de cero s todos los putos so deretes etre sí pues es el coocdo como determate de Vadermode gual al producto de todas las derecas de parejas j... j < j j El valor de los parámetros a que dee al polomo será los que resulta de resolver el sstema cua solucó se obtee como: a det A.. det A Veremos u método más secllo de calcular e especal para valor de grades dode los determates dícles de calcular Iterpolacó leal La epresó geeral para ua ucó leal polomo de prmer grado es de la orma ab. Teemos parámetros lbres luego váldo para obteer la ucó de terpolacó de dos parejas de putos:. El sstema de dos ecuacoes será: b a a b las solucoes para a b será: a b. Co lo que se puede epresar la recta de orma más seclla: - m- co m - / -. Este umerosas relacoes e la aturaleza de orma leal como la relacó de la poscó e el tempo e u movmeto de velocdad costate. Jose Lus Lorete preparador oposcoes secudara 3

4 TEMA 4. Fucoes e orma de Tabla terpolacó etrapolacó 3.4. Iterpolacó cuadrátca U polomo de orde dos o cuadrátca es de la orma a bc. Aora teemos tres parámetros lbres por lo que para derla ecestamos 3 parejas de putos dsttos 3 3. Teemos que ecotrar los valores de a b csolucó del sstema de ecuacoes: a b c a b c a 3 b3 c 3 La resolucó se ace de gual orma que e el apartado ateror aora el determate es de grado 3 áclmete resoluble. Ejemplos de ucoes e la aturaleza que sea cuadrátcos so la relacó de la eergía cétca co la velocdad o del espaco recorrdo co el tempo e u movmeto uormemete acelerado Iterpolacó polómca geeral La resolucó geeral para más de tres putos se complca bastate causado por la ecesdad de obteer el valor de determates de cuarto orde. Este deretes métodos que os smplca los cálculos para obteer el polomo terpolador que como vmos e el teorema ateror es úco olomo terpolador de Lagrage Cosste e obteer el polomo terpolador de grado a partr de las parejas de putos { } a partr de la sguete epresó: L L. Tee que cumplr que L j δ j dode L j se deoma ucoes terpoladoras de Lagrage. De esta orma se vercara que será polomo terpolador pues.. { }. ara que u polomo L se aule e valores a de ser por el teorema udametal del álgebra de la orma: L λ Tedremos que calcular el valor de λ I a partr de mpoer que L a que la codcó L j para j se cumple a. Despejado el valor de λ de la ecuacó teemos que: L A partr de las ucoes de terpolacó de Lagrage teemos que el polomo de terpolacó vedrá dedo por: j L j j j Ejemplo: co dos putos el polomo será ua recta: El polomo terpolador de Lagrage será el msmo que obtedríamos a partr de la resolucó del sstema de ecuacoes sólo que vedrá orgazado de derete orma. Su maor vetaja es que es ácl de calcular sus coveetes so: ara obteer el polomo ordeado por el grado de las potecas teemos que operar S deseamos añadr u uevo puto el o podemos utlzar el polomo terpolador ateror de Lagrage para el cálculo del uevo polomo terpolador Jose Lus Lorete preparador oposcoes secudara 4

5 Jose Lus Lorete preparador oposcoes secudara 5 TEMA 4. Fucoes e orma de Tabla terpolacó etrapolacó ara modcar el polomo de Lagrage aumetado su valdez para u uevo puto se puede obteer sumado al ateror polomo u polomo de grado que se aule e los aterores putos que valga e : k- -. Así se sgue cumpledo que para. ara obteer el valor de la costate k despejamos etas costate de la ecuacó. El valor de k será: k olomo Iterpolador de Newto El objetvo que teemos es el msmo que e el ateror apartado obteer el polomo terpolador. E este caso el polomo de terpolacó de las parejas de putos { } se epresa de la orma: A A - A - - A tal que cumpla Los coecetes se obtee de orma teratva: A A A - A - / - A A - A - - A La resolucó de este método tampoco es complcada tee como vetaja que s deseamos ecotrar el uevo polomo terpolador añadedo u uevo puto o teemos que modcar los cálculos aterores de orma que A - - co A Método de las derecas dvddas de Newto. ara epoer este método de terpolacó e prmer lugar vamos a der lo que se etede por derecas dvddas de cualquer orde. A cotuacó allaremos el polomo terpolador medate ua demostracó costructva. Se deoma dereca dvdda de prmer orde etre es la sguete epresó: Nota: or la decó teemos:. La dereca dvdda de prmer orde etre - será de orma aáloga la sguete epresó: Las derecas dvddas de orde superor se va a r calculado a partr de las de orde meor así ua dereca dvdda de orde será: E geeral se deoma dereca dvdda de orde etre a la sguete epresó:..

6 TEMA 4. Fucoes e orma de Tabla terpolacó etrapolacó or la aparete complcacó de las decoes aterores es coveete resolver el problema del cálculo de las derecas dvddas usado u esquema como el sguete: Teorema. El polomo de terpolacó de Newto de derecas dvddas de grado es: Demostracó: veamos de orma teratva como A A - A - - A - - despejado A A : o A A : A - A A : A - A [ A - ] - A A Veamos u ejemplo: orde orde orde orde / 3 3 Jose Lus Lorete preparador oposcoes secudara 6

7 TEMA 4. Fucoes e orma de Tabla terpolacó etrapolacó 3.6. Iterpolacó etre valores equdstates Cuado podemos modcar la varable depedete s restrccoes la orma deseada es tomar los valores de orma equdstate es decr sguedo ua progresó artmétca: co - /. Cuado elegmos así los valores de la varable depedete smplcamos los cálculos del polomo de terpolacó. Utlzaremos el método de Newto co la restrccó mpuesta para los valores de la varable depedete. Deamos las sguetes aplcacoes que utlzaremos e el método: E Decó: Se deoma operador avace al operador E dedo como: k k k Decó: Se deoma dereca progresva al operador dedo como k k k k k E-Id o E Id Se cumple que E! o susttuedo!! - teemos que se puede epresar como:..!! Así para u térmo e e geeral la solucó será:..!! Que es el polomo de Newto co: A A A! A! Veamos u ejemplo: orde orde orde orde Jose Lus Lorete preparador oposcoes secudara 7

8 TEMA 4. Fucoes e orma de Tabla terpolacó etrapolacó A A A! A 3 3! Error e la terpolacó Supogamos calculado el polomo terpolador para las putos deotados como { } demos el error de la terpolacó a la dereca estete etre el polomo terpolador la verdadera ucó : R -. El valor del error e los odos es ulo R pero e los demás valores de puede llegar a ser grade. ara cotrolar el valor mámo del error se puede acotar bajo certas premsas e ucó de la dervada -esma de la ucó. Teorema: dado el tervalo [ab] que cotee los valores de { } sea. las dervadas de la ucó eacta sedo estas ucoes cotuas e [ab] deda e ab etoces error de terpolacó vedrá dedo por: ' ξ R! para algú valor ξ ab Demostracó: demos la ucó g- λ Esta ucó se aula e todos los odos elegmos λ para que se aule e u valor α ab. Despejado λ α α teemos que λ. α α α Teemos ua ucó g cotua dervable que se aula e valores e el tervalo [ ]. odemos así aplcar el teorema de Rolle e cada dos parejas de putos cosecutvos por tato g se aula e putos e el msmo tervalo. Aplcado uevamete Rolle g se aulará e - putos almete teemos que g se aula e u valor ξ así g α α ξ ' ξ! dode emos aplcado que α α al ser u polomo de grado la dervada de es! Al ser u polomo de grado. ' ξ Despejado R α α α α α α co α! E la práctca es mposble coocer la dervada -esma de la ucó pero mucas veces podemos acotarla superormete por u valor e el tervalo que buscamos <M co co lo que el error del polomo de terpolacó está acotado por la epresó: M R.! Como podemos ver el error es meor cuato más úmero de odos eljamos más prómos etre s como parece lógco a smple vsta. Jose Lus Lorete preparador oposcoes secudara 8

9 TEMA 4. Fucoes e orma de Tabla terpolacó etrapolacó 5. Etrapolacó de datos Las órmulas de terpolacó suele orecer ua solucó satsactora al problema a que el error estará como emos vsto bastate acotado. La etrapolacó de datos se usa recuetemete para estudos prospectvos e stuacoes dode o se puede obteer valores de de las dsttas magtudes debdo a las dcultades aturales o téccas. Las ucoes de etrapolacó que se suele utlzar so las msmas que se utlza e la terpolacó s be como veremos el error puede ser muco maor que el estete e la terpolacó. La órmula que epresa el error e la etrapolacó es el msmo que el vsto aterormete co la salvedad que aora ξpuede perteecer a u tervalo uera de los odos. El error puede ser muco maor por dos actores: el posble crecmeto de uera del tervalo de los odos el producto crece rápdamete s os salmos del tervalo. Así podemos decr que la etrapolacó garatza valores váldos cuado se ecuetra próma a los etremos de terpolacó. 6. Coteto co secudara. E los currículos de secudara bacllerato o se estuda la terpolacó como tal. Eso sí e los cursos de 3º 4º de la ESO se utlza la terpolacó para calcular la epresó aalítca de las ucoes leales cuadrátcas. Jose Lus Lorete preparador oposcoes secudara 9