Transparencias de clase
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- Susana Pilar Iglesias Blanco
- hace 5 años
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1 Trasparecas de clase Dada ua tabla de datos se ha de ecotrar ua ucó que tome los valores requerdos e los putos dados; e el caso que os ocupa la ucó buscada será de carácter polómco Teorema: El polomo de terpolacó s este es úco Para calcular el polomo de terpolacó asocado a ua sere de odos utlzaremos dsttos métodos: Coecetes determados Polomo de Lagrage Polomo de Newto 4 a trozos 5 Sples cúbcos 6 Hermte Aálss de errores Resolucó de ecuacoes de ua varable polomal Derecacó e tegracó umérca Polomo de Lagrage Cosderemos ua tabla de + putos dsttos (odos: Etoces este u úco polomo de grado deomado polomo de Lagrage P ( tal que P ( para todo La epresó eplícta de dcho polomo es la sguete: P ( L ( ( ( ( ( + ( L ( ( ( ( ( ( + ( Polomo de Newto Polomo de Newto La órmula de terpolacó de Newto proporcoa ua maera de calcular el polomo P + a partr del polomo P añadedo u térmo uevo Lema: Sea P ( el polomo de terpolacó asocado a los putos los valores sea P + ( el polomo de terpolacó asocado a los putos + los valores + Este ua costate c + tal que: P + ( P ( + c + ( ( - Polomo de Newto Derecas dvddas Teorema (Método de Newto: E las codcoes aterores P ( ( c k ( ( + ck k k k k ( ( Cosderemos ua tabla de + putos dsttos (odos: [ coecete de e P ( [ ( [ coecete de e P ( ( ( [ AHEcas & Aracel Queruga Dos
2 Trasparecas de clase Derecas dvddas Derecas dvddas [ coecete de e P ( [ [ [ Teorema: El coecete del térmo -ésmo es: [ [ [ Cosderado como varables depedetes teemos que: [ + + [ + [ Así podremos escrbr la tabla: [ [ [ [ [ [ [ [ [ [ Derecas dvddas Derecas dvddas Derecas dvddas de orde k Se deoma derecas dvddas de prmer orde a los cocetes: + + [ + [ Se llama derecas dvddas de segudo orde a: + + [ + + [ Se llama derecas dvddas de orde k a: [ [ + + k + + k + + k [ [ [ [ [ [ [ [ [ + + k + k + k [ - k Derecas dvddas Derecas dvddas El polomo de Newto se puede reder de maera eplícta: P ( + (- + (- (- ++ (- (- (- - P + ( P ( + + ( - ( - Observacoes: - De acuerdo co las decoes dada la ucdad del polomo de terpolacó s z z z es ua permutacó de los putos se tee que: [z z z [ - Se verca que ( ( ( ( ( + Comparado métodos - El costo de escrbr el polomo de terpolacó es mámo e el método de los coecetes determados dode se requere resolver u sstema leal de + ecuacoes + cógtas Ese costo es ulo para la orma de Lagrage e termedo para la orma de Newto dode ha que costrur la tabla de derecas dvddas - E cuato al costo de evaluar el polomo e u puto es evdete que la orma de Lagrage es la más complcada AHEcas & Aracel Queruga Dos
3 Trasparecas de clase Derecas dvddas Derecas dvddas - S ua vez calculado P ( se desea costrur P + ( que terpola e u odo más basta añadr u térmo al polomo calculado s se utlza el método de Newto el coecete correspodete e la tabla de derecas dvddas E las ormas de coecetes determados de Lagrage o es medatamete posble utlzar los cálculos de la etapa ateror 4- E la orma de Newto cada sumado de los que compoe el polomo tee u sgcado So los térmos que ha que añadr a u polomo terpolador de certo grado para trasormarlo e el de u grado más que terpola e u puto más Por eso al r sumado sucesvamete es posble observar los eectos de pasar de la terpolacó leal a la cuadrátca de ésta a la cúbca etc E las otras dos ormas los sumados dvduales carece de sgcado aprovechable 5- E coclusó podemos decr que la orma de Newto es la más acoseable Es la que emplea Mathematca auque la orma de Lagrage també se emplea Error e el polomo de terpolacó Error e el polomo de terpolacó Error e el polomo de terpolacó Teorema Sea : [ab R ua ucó (+ veces dervable e (ab sea P ( el polomo terpolador e los putos: a ( ( b ( Etoces para todo [ab este u puto c (ab tal que + ( c ( P ( ( ( +! Además s (ⁿ+( M para todo (ab se tee la sguete cota para el error: M ( P ( ( ( +! - E las codcoes del eucado el teorema de Rolle garatza que etre dos raíces de ua ucó este al meos ua raíz de la ucó dervada - La órmula del error de terpolacó para u puto puede escrbrse como: Observacoes: ( P ( [ ( - S es dervable co cotudad e [ab hasta el orde + + so putos dsttos de [ab este + ξ (ab tal que ( ξ [ ( +! Error e el polomo de terpolacó Error e el polomo de terpolacó Cometaro: Dada ua ucó cotua sobre u tervalo [ab s se costrue polomos de terpolacó asocados a la ucó co odos equespacados de grados cada vez maores podríamos esperar que la sucesó de polomos (P covergera (uormemete a la ucó e el tervalo [ab Ello o sucede e geeral Los teoremas volucrados e este setdo queda uera de este vel Basta lustrar la stuacó co u eemplo debdo a Ruge e 9 S se terpola la ucó ((/(+² (que es derecable sobre el tervalo [-55 e + putos equespacados se obtee que P ( o coverge al valor de ( s >6 E el Notebook de Mathematca puede observarse los grades errores a que da orge P 4 Esto por supuesto o demuestra la dvergeca de la sucesó P ( Es decr e geeral o es certo que al aumetar el úmero de putos sobre los que se costrue el polomo terpolador el error dsmua Este ucoes para las cuales el error aumeta al aumetar AHEcas & Aracel Queruga Dos
4 Trasparecas de clase a trozos a trozos a trozos La aturaleza osclatora de los polomos de grado alto su alta sesbldad a pequeñas modcacoes lmta su utlzacó Además ha que resolver el problema de la covergeca cuado el úmero de odos es grade la solucó más recuete es la terpolacó polómca a trozos leal a trozos s ( [ + [ ( + s( s [ s( s [ s( s ( s [ a trozos LIeal Sea M ¹(P el couto de las ucoes cotuas e [ab que restrgdas a cada subtervalo [ + de la partcó cocde co u polomo de grado M ¹(P es u espaco vectoral co las operacoes habtuales S s M ¹(P decmos que es ua ucó leal a trozos e la partcó P Sea L ( la ucó leal a trozos de M ¹(P que vale e el odo cero e los restates ( s( + ( ( P( ( +! a trozos Leal Error e la leal a trozos K( + Covergeca cuadrátca: 8 ( s( K h 8 K má ''( [ a b lm s ( ( [ + No es derecable e los etremos de los tervalos ( a trozos Leal Comparacó co el polomo de terpolacó de grado : S es grade el costo de evaluar el polomo P es grade S embargo el coste de evaluar la ucó s de terpolacó leal a trozos o crece co No está garatzada la covergeca de P a aú supoedo que sea dedamete dervable S embargo co sólo supoer que tee dervada seguda acotada al rear la partcó sabemos que los terpolates leas a trozos coverge (cuadrátcamete a El polomo de terpolacó P es dedamete dervable metras que la ucó s de terpolacó leal a trozos o es dervable e geeral e los odos Esta alta de regulardad hace que a veces o se pueda aplcar esta terpolacó a trozos Cuadrátca por polomos a trozos de grado M ²(P el couto de todas las ucoes cotuas e [ab que restrgdas a cada subtervalo [ + de la partcó P cocde co polomos de grado S s M ²(P decmos que s (terpolate cuadrátco a trozos es ua ucó cuadrátca a trozos e la partcó P E los putos P las ucoes s M ²(P preseta saltos e las dervadas prmera seguda s( s( ( * * ( ( s( ( + + * + s + AHEcas & Aracel Queruga Dos 4
5 Trasparecas de clase a trozos Cuadrátca Error e la cuadrátca a trozos + ( ( P( ( +! 6 K h K má '''( [ a b ( s( [ + Covergeca cúbca lm s ( ( a trozos Cúbca: Sple cúbca a trozos SPLINE Polomo de grado e cada subtervalo De clase C e el tervalo [a b Iterpolatoro 4 Codcoes rotera: Lbre: s ( s ( Fa: s ( ( s ( ( No es derecable e los etremos de los tervalos ( a a b h c h d h b b c h d h c c + + dh a c c + 6d h a trozos Cúbca: Sple a trozos Cúbca: Sple ( c h ( h + h h c h ( h + h h c h ( h + h h ( ( a a ( a a c h h ( a a ( a a h h ( a a ( a a h h ( de Hermte a trozos Hermte El térmo terpolacó de Hermte se reere a la terpolacó de ua ucó de algua de sus dervadas e u couto de odos La terpolacó que hemos estudado hasta ahora se llama por dereca de esta terpolacó de Lagrage Teorema: Este u úco polomo P( de grado m que satsace las codcoes de terpolacó de Hermte: ( P ( c k a trozos Hermte cúbca de Hermte a trozos Dada ua ucó dervable : [a b R + putos a < < < - < b este ua úca ucó dervable g:[ab R de modo que e cada tervalo [ + g( está deda por u polomo de tercer grado P ( tal que: P ( s [ P P ' ( ( ( '( g( P ( + ( + P ' ( '( P ( s [ Co AHEcas & Aracel Queruga Dos 5
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