Universidad de Cantabria

Transcripción

1 Smulacó dámca Pedro Corcuera Dpto. Matemátca Aplcada Cecas de la Computacó Uversdad de Catabra

2 Ídce Geeral Smulacó de cotrol PID Smulacó de cotrol de vel Ajuste de cotroladores PID Smulacó

3 Ecuacoes dferecales Ecuacó Dferecal: Ecuacoes que volucra varables depedetes sus dervadas co respecto a las varables depedetes. Ecuacó Dferecal Ordara: ecuacoes dferecales que volucra solamete UNA varable depedete. Ecuacó Dferecal Parcal: : ecuacoes dferecales que volucra dos o más varables depedetes. Smulacó 3

4 Solucó de EDOs: Aalítca Numérca Método de Solucó Aalítca Método de Solucó Numérca ()b t, t, t 3, 3 t, t t t t t Resolver la EDO para ecotrar ua famla de solucoes. Elje la solucó que satsface las codcoes cales correctas. Ecuetra ua fórmula aalítca parar ( Empeza co las codc. cales Resuelve para pequeños tamaños de paso (. Resuelve apro. e cada t Ecuetra pares de putos: (t, ), (t, ), Smulacó 4

5 Solucó de EDOs medate métodos de u solo paso El objetvo cosste e obteer u uevo puto a partr de u puto ateror (solucó e forma dscreta) Se basa e el método de Talor de orde : Sea ua EDO de prmer orde: ( ) [ ] (, ) a, b Se aplca la sere de Talor para apromar la solucó de la EDO, acedo: ' ' ( ) f Smulacó 5

6 Solucó de EDOs medate el método de Talor de orde Se platea el sguete algortmo: Dados Para :,,, 3,,, Sedo E el error de trucameto: E ( ) '! '' 3 3! '''! ( ) ( ξ ) < ξ <! ( ) Smulacó 6

7 Método de Euler Permte resolver ua EDO de prmer orde de la forma: d dt Algortmo: f ( t ) t ( t, ) Dado : t ( t, ) Para,,, f, ( t, ) Iterpretacó geométrca Smulacó 7

8 Método de Euler: característcas Secllo. La prmera dervada proporcoa ua estmacó de la pedete e La ecuacó se aplca teratvamete, co u paso pequeño para reducr el error Aálss del error: Error de trucacó - causado por la aturaleza de la técca empleada para apromar los valores de error global error local de trucacó (a partr de la Sere de Talor) propagacó del error de trucacó Error de Redodeo causado por el úmero lmtado de dígtos sgfcatvos que retee el ordeador Smulacó 8

9 Método de Euler: característcas U error fudametal del método de Euler es que se aplca la dervada asumda e el prcpo del tervalo e todo el tervalo. S dsmue aumeta la precsó a costa de la complejdad (tempo) del cálculo que crece. S dsmue demasado la precsó se ve afectada debdo a la acumulacó de errores de redodeo. Co ua smple modfcacó e el cálculo de la dervada, se puede obteer mejores resultados (RK). Smulacó 9

10 Ejemplo de aplcacó del método de Euler Resolver la sguete EDO: d( ( dt t ( ), t ma 3e 4t 4,. Para comparar la solucó eacta es: ( 5e 3e t 4t Smulacó

11 Resultados del programa ejemplo (Ecel) t eacto apro Eacto Euler Smulacó

12 Métodos de Ruge-Kutta Todos los métodos de Ruge-Kutta so geeralzacoes de la fórmula básca de Euler, e la que la fucó pedete f se remplaza por u promedo poderado de pedetes e el tervalo ( w w wmm dode las poderacoes w,,,, m so costates que satsface w w w m, es la fucó evaluada e u puto seleccoado (, ) para el cual. Smulacó )

13 Métodos de Ruge-Kutta El úmero m se llama el orde. S m, w, f(, ), equvale al método de Euler, que es u método de Ruge-Kutta de prmer orde. Método de RK de orde : (Heu) d d f (, ) ( ) Dado Para (, ) f f (, ) (, ) Smulacó 3,,,

14 Smulacó 4 Métodos de Ruge-Kutta Método de RK de orde 4: ( ) ( ), f d d (mu empleado) ( ) ( ) ( ) 6,,,,,,,, f f f f Para Dado

15 Smulacó de u cotrol PID Los cotroladores PID so mu utlzados e la dustra por su secllez. Es u cotrol co térmos Propocoal, Itegral Dervatvo que actúa sobre ua señal de error Ecuacó stadard: t u( K e( e( dt T T e( dode: u( es la salda del cotrolador e( etrada al cotrol, dfereca etre el valor de cosga o tarado (setpo la salda de la plata K gaaca proporcoal, T tempo tegral, T d tempo de dervacó d d dt Smulacó 5

16 Smulacó 6 Smulacó de u cotrol PID Forma paralela de la ecuacó: se puede covertr los parámetros de ua forma a otra: ) ( ) ( ) ( ) ( t e dt d K dt t e K t e K t u t d p d d p KT K T K K K K

17 Modelo de cotrol PID p Proportoal Error Itegral s Itegrator Add 3 Out d du /dt Dervatve ga Dervatve Smulacó 7

18 Smulacó del cotrol del vel de u depósto co PID Se desea cotrolar el vel de u depósto actuado sobre el caudal de etrada q q q out ( q ( ( out a d( ( A dt g( u( d( dt e( ref a A ( g( ( A u( Smulacó 8

19 Smulacó del cotrol del vel de u depósto co PID Se resuelve la ecuacó dferecal utlzado cualquer método vsto ates (p.e. RK4) se aplca al resultado el cotrol PID d( a g( dt A e( ( ( ref A u( Smulacó 9

20 Modelo de vel de u depósto Iput /A /A ut ut Add s Itegrator egt -K- a/a -K- sqrtg sqrt Square Root Smulacó

21 Modelo de cotrol del vel de u depósto co PID Itegrated PID Ta Model 5 Error Out Iput egt Costat ; ut5e-3; r.8e-; Re-; ap*r^; Ap*R^; p;.; d.; PID Ta Scope Smulacó

22 Efecto de las gaacas e cotroles PID Las gaacas de los cotroles PID tee los sguetes efectos : Kp reduce el tempo de subda el error de estado estacoaro s elmarlo K empeora la respuesta trastora pero elma el error de estado estacoaro Kd cremeta la establdad del sstema reducedo el sobrempulso Smulacó

23 Efecto de las gaacas e cotroles PID Gaaca Tempo de subda Sobrempulso Tempo de establecmeto Error estado estacoaro Kp Decrece Crece Cambo pequeño Decrece K Decrece Crece Crece Elma Kd Cambo pequeño Decrece Decrece Cambo pequeño Smulacó 3

24 Ajuste de cotroladores PID Para el ajuste de las gaacas de los cotroles PID se emplea los sguetes métodos: Basados e el error tegral Itegral of Itegral of Itegral of absolute error squared error tme wegted absolute error IAE ISE ITAE e( dt e ( dt t e( dt Smulacó 4

25 Ajuste de cotroladores PID Basados e téccas eurístcas. Ejemplo: método de osclacó Zegler-Ncols aplcable a platas estables e lazo aberto: Aumetar el valor de K p asta que el lazo comece a osclar ( osclacó leal detectada e la salda del cotrolador (u()) Regstrar la gaaca crítca K p K c el período de osclacó P c de u(, a la salda del cotrolador Ajustar los parámetros del cotrol segú la sguete tabla: Smulacó 5