Introducción CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE DR. BASIL M. AL-HADITHI

Transcripción

1 Itroduccó E este capítulo se comeza realzado ua descrpcó de la evolucó hstórca de la Teoría de Cotrol. E la seccó 2 se realza ua breve troduccó al Cotrol de Estructura Varable (VSC, Varable Structure Cotrol) co Modos Deslzates (SM, Sldg Mode). CONTROL DE ESTRUCTURA VARIABLE A cotuacó se preseta las propedades del VSC-SM por las que ha tedo tato éxto. E el apartado 4 se explca los pasos a segur para dseñar el VSC-SM. Falmete, e el últmo apartado se mecoa los trabajos que trata de reducr o evtar el rudo cotuo. DR. BASIL M. AL-HADITHI 1 2 1

2 Tema: Itroduccó Itroduccó al cotrol VSC-SM. El sstema de cotrol de Estructura Varable (VSC) co modos deslzates (SM) se caracterza por la facldad co la que se trata o lealdades e certdumbres e los sstemas de cotrol. Etre los sstemas susceptbles de aplcar la teoría del VSC se tee: sstemas o leales, sstemas co retraso, sstemas de gra escala, sstemas multvarables, etc. Aparte de su aplcacó prcpal, que es la establzacó de sstemas, las téccas del VSC comeza a aplcarse al cotrol de sstemas de segumeto de movmetos, cotrol óptmo y al cotrol adaptatvo. El cotrol VSC co el modo deslzate (SM, Sldg Mode) fue propuesto y eleborado por prmera vez por [Emelyaov, 1967] y varos vestgadores [Utk, 1977], [España, 1984] dode era aplcado al cotrol de ua plata de proceso modelada e el plao de fases medate u sstema leal de segudo orde. No obstate, e sus cos la teoría del VSC o atrajo mucha atecó e aplcacoes dustrales. La razó pudo ser doble: prmero, las téccas más populares de dseño de sstemas de cotrol hcero sombra al VSC; segudo, las propedades mportates de robustez del VSC o se había recoocdo o aprecado etoces

3 Desde 1980, dos desarrollos ha cremetado e gra medda la atecó sobre el VSC [Hug, 1993]. El prmero la exsteca de u método geeral de dseño de VSC para sstemas complejos. El segudo es el recoocmeto total de la robustez perfecta del VSC co respecto a las perturbacoes. Como resultado, la vestgacó y el desarrollo se ha acelerado e los campos teórcos y de aplcacoes. Tras haber recorrdo ua larga hstora de vestgacó y desarrollo, el VSC se ha establecdo como u método geeral de cotrol. Su vabldad es cada vez más recoocda por los profesoales del cotrol, auque queda todavía problemas por vestgar. El VSC resulta muy atractvo para los geeros de cotrol, ya que sus coceptos báscos so fácles de compreder y ha dado u redmeto satsfactoro e muchas áreas práctcas de la electróca dustral. El VSC es aplcable a muchos sstemas de cotrol dode o está be desarrollados otros métodos de dseño. Auque las cotrbucoes e el dseño y aálss teórco de sstemas co VSC cotúa mejorado, resulta mportate drgr també la vestgacó expermetal haca toda clase de problemas dustrales. Los resultados de estos estudos mejorará dudablemete la cofaza de los geeros e el uso del VSC [Hug, 1993]

4 Se puede cosderar el SM como ua cotuacó del VSC y el método de la asgacó de autovalores, porque e el método del modo deslzate los estados del sstema sgue la ecuacó de líea de comutacó s(x)=0. Esto es smlar al caso de asgacó de los autovalores, pero la dfereca es que este método es sólo aplcable a sstemas leales y que los autovalores depede de los parámetros del sstema a cotrolar; metras el cotrolador e el SM es sesble a varacoes e los parámetros del sstema orgal. Se ha mplemetado e aplcacoes de cotrol de robots [Sabaovc, 1981] y cotrol de motores, dado lugar a la publcacó de muchos estudos teórcos [Hug, 1993]. 4. Fudametos y Característcas del VSC-SM. El cotrol deslzate (SM, Sldg Mode) es de terés recete [Itks, 1976], [Utk, 1977], debdo al progreso de la mcroelectróca y de la electróca de poteca [Utk, 1977], [Hug, 1993], [Itks, 1976]. Fgura 1. Cotrol de Estructura Varable

5 El VSC se modela geeralmete e el plao de fases. La ley de cotrol del sstema de estructura varable camba cuado su estado cruza el plao de comutacó, del que se hablará posterormete. S la ley de cotrol Kx se elge de forma que K cambe etre valores dferetes, se modfca la estructura del sstema e cadea cerrada y e cosecueca se obtee trayectoras dferetes de las que se podría obteer co u valor de K fjo. E la fgura 2 se muestra u ejemplo de dos tpos de trayectoras que se podría obteer para u sstema de segudo orde. Fgura 2. Plaos de fase para dos valores de k dsttos

6 E la fgura 3 se muestra cómo sería las trayectoras del sstema e cadea cerrada y se puede observar que ésta costaría de trozos de las trayectoras de los sstemas etre los que tee lugar la comutacó. Precsamete el cotrol VSC se basa e guar la trayectora de estado del sstema haca u plao prefjado y e forzarla a deslzar sobre dcho plao medate comutacoes etre las estructuras resultates de aplcar u cotrol dscotuo. El plao deslzate o fucó de comutacó S(X) pasa por el orge del plao de fase, y este puto represeta el puto de establdad astótca absoluta. De modo que el forzar al estado del sstema a deslzar sobre dcho plao de comutacó tee ua doble fucó: O Prmero, oblgar a la salda del sstema a drgrse al orge del plao de fase. Fgura 3. Trayectora e cadea cerrada. O Segudo, prefjar la característca de la respuesta trastora del sstema

7 E el VSC, los algortmos de dseño cluye la seleccó de las fucoes deslzates S(X) deseadas, esto es, la eleccó de sus parámetros. Posterormete se mplemeta u cotrol dscotuo que asegura la exsteca de los modos deslzates e cada puto del plao deslzate S(X) = 0. E geeral las dámcas del VSC costa de dos codcoes: la codcó de alcace y la codcó deslzate. E la prmera, el objetvo es llegar al plao de comutacó e u tempo fto desde cualquer puto. També se deoma modo o deslzate. La seguda parte se deoma el modo deslzate, durate el cual la trayectora tede astótcamete al orge del espaco de estados. Los parámetros de la fucó de comutacó codcoa el comportameto fal del sstema durate el modo deslzate. Se puede observar cuatro característcas del sstema de estructura varable: Como el orge del espaco de estados represeta el estado de equlbro del sstema, el SM represeta el comportameto del msmo durate el perodo trastoro. E otras palabras, la superfce que descrbe S(x) = 0 defe la respuesta trastora del sstema durate el SM. Durate el SM, las dámcas de la trayectora so de u orde meor que el orde del sstema orgal

8 x& = x = 1..., x& = a x + f ( t) + u = 1 Durate el SM, la dámca de la trayectora está goberada solamete por los parámetros que descrbe la fucó deslzate. El SM es ua trayectora que o es herete a gua de las estructuras de cotrol. A cotuacó se explca los pasos a segur para dseñar u VSC-SM para u sstema de orde eésmo y de r etradas. Procedmeto de Dseño de u VSC-SM. Se cosdera el dseño de u VSC co SM [Emelyaov, 1967], [Utk, 1977], para u sstema de la sguete forma: [Eq.1] sedo: u la accó de cotrol a costates

9 La ecuacó de la líea de comutacó que se sgue e la mplemetacó es la propuesta por [Utk, 1977] s = c x, = 1 c = cost., c = 1 [Eq.2] Las sguetes pares de desgualdades so codcoes sufcete s para que el modo deslzate exsta lm s& > 0 s o y lm s& < 0 s + 0 [Eq.3] Para probar la varaza del SM co respecto a los parámetros y se susttuye e la ecuacó 1. Las ecuacoes resultates del SM so, x& = = 1 x , 2 x& = c x = 1 [Eq.4] Las cuales depede sólo de los parámetros c 1957]. [Emelyaov, a, se resulve la ecuacó s=0 para la varable X

10 El procedmeto de dseño basado e la propedad de varaza es el sguete: prmero, el SM deseado se costruye medate eleccó de los parámetros c. Segudo, se cosgue u cotrol dscotuo que garatza la exsteca de los modos deslzates e todos los putos del plao s=0, també deomado plao, Tercero, la accó de cotrol debe drgr el estado del sstema al plao deslzate, como se explcará a cotuacó. Se supoe que la accó de cotrol es ua fucó leal por tramos de x co coefcetes dscotuos [Utk, 1977], u = ψ x δ sg s, ψ = = 1 α β 1 k s s > 0 s x > = s 0 sg s 1 s s < 0 s x s < 0 α, β, δ cost. 0 [Eq.5] 19 10

11 Aplcado la ecuacó 3, está claro que las codcoes ecesaras y sufcetes para que el m odo deslzate exsta so. α c β c c a c 1 1 a cc a c c = c 1 a ca + c a = 1,..., k, c = 0 = k + 1,..., 0 [Eq.6] 6. Reduccó del Rudo Cotuo. Ua de las característcas del dseño y aálss de sstemas de vsc es que la accó de cotrol puede comutar de u valor a otro de forma ftamete rápda. s embargo, e sstemas práctcos, el rudo cotuo es deseable, porque es mposble cosegur el cotrol de alta comutacó ecesaro e la mayoría de dseños de vsc, debdo a muchas razoes. ua de ellas es la exsteca de u retraso e el cómputo de cotrol. la seguda razó es la lmtacó de los actuadores físcos. El rudo cotuo sempre ocurre e los modos deslzates y e régme permaete. E régme permaete, el rudo cotuo aparece como ua osclacó de alta frecueca alrededor del puto deseado de equlbro y puede resultar ua fuete de exctacó de las dámcas de alta frecueca del sstema o modeladas [Flugge-Lotz, 1959], [Kwaty y Youg, 1987] y [Slote y L, 1991]

12 Exste dsttas aproxmacoes para elmar el rudo cotuo. E varos dseños del VSC, el cotrol tee térmos smlares a u relé. Las propedades deales de u relé so cas mposbles de cosegur. Por ello u efoque para reducr rudo cotuo es reemplazar el relé por ua saturacó (aproxmacó cotua [Slote y L, 1991]. Otro efoque es el de [L, 1997] y [Slote y L, 1991], que sugrero añadr ua capa límte alrededor de la superfce de comutacó para alsar la dscotudad del cotrol como se ve e la fgura 2.5. Detro de esta capa el cotrol se elge para ser ua aproxmacó cotua de la fucó de comutacó

13 Otro método de cotuacó reemplaza el cotrol [Ambroso et al.,.d], [Brerley y Logchamp,1990] sedo δ ua costate postva que hace que el cotrol sea cotuo. Los efoques de cotuacó elma el rudo cotuo de alta frecueca a cambo de perder la varaza

14 Se puede mateer u alto grado de robustez co ua capa límte de pequeña achura, pero los retrasos sgfcates de los actuadores de cotrol mplca la ecesdad de ua ampla capa límte. Es teresate otar que los dferetes tpos de VSC so estables y sus trayectoras está lmtadas e ua bada o zoa e el espaco de estado. S la achura de la bada es sufcetemete estrecha, las dámcas detro de la bada se deoma modos cuas deslzates