Números complejos. Números complejos. Las tribulaciones del estudiante Törless LITERATURA Y MATEMÁTICAS

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1 Números complejos SOLUCIONARIO Números complejos LITERATURA Y MATEMÁTICAS Las trbulacoes del estudate Törless Dme, etedste be todo esto? Qué? Ese asuto de los úmeros magaros. Sí, o es ta dfícl. Lo úco que hay que teer presete es que la raíz cuadrada de meos uo es la udad de cálculo. De eso precsamete se trata. Tal cosa o exste. Todo úmero, ya sea postvo, ya sea egatvo, da como resultado, s se lo eleva al cuadrado, algo postvo. Por eso o puede haber gú úmero real que sea la raíz cuadrada de algo egatvo. Completamete certo. Pero, por qué, de todos modos, o habría de tetarse aplcar també a u úmero egatvo la operacó de la raíz cuadrada? Desde luego que el resultado o puede teer gú valor real; por eso el resultado se llama magaro. Es como cuado uo dce: aquí, ates, sempre se setaba algue; pogámosle hoy etoces també ua slla. Y au cuado la persoa haya muerto, obramos como s todavía pudera acudr a osotros. Pero, cómo puede hacerse tal cosa, cuado se sabe, co toda precsó matemátca, que es mposble? A pesar de ello se hace precsamete como s fuera posble. Quzás pueda obteerse algú resultado. Y qué otra cosa ocurre, a f de cuetas, co los úmeros rracoales? Ua dvsó que uca terma, ua fraccó cuyo valor uca puedes agotar, au cuado te pases la vda hacedo la operacó. Y, qué pesas de las paralelas, que se corta e el fto? Creo que o habría matemátcas s pretedéramos saberlo todo a coceca y exactamete. E eso tees razó. Cuado uo cosdera las cosas así, todo parece bastate correcto; pero lo curoso está precsamete e que se pueda hacer cálculos reales y se pueda llegar por f a u resultado compresble co semejates valores magaros, que de algua maera so mposbles. [ ] Cosdero muy posble que aquí los vetores de las matemátcas haya dado u traspés. Porque, e efecto, por qué aquello que está más allá de uestro etedmeto o podría permtrse gastarle precsamete semejate broma al etedmeto? Pero la cuestó o me preocupa mucho, pues sé que todas estas cosas o coduce a ada. ROBERT MUSIL Törless es u dealsta y su amgo es u pragmátco. Es verdad que o es u úmero real? Explca la refereca que hace el amgo a los úmeros rracoales cuado los compara co. Es correcto lo que dce? o es u úmero real, porque gú úmero real elevado al cuadrado da como resultado u úmero egatvo. La refereca del texto es: «Y qué otra cosa ocurre, a f de cuetas, co los úmeros rracoales? Ua dvsó que uca terma, ua fraccó cuyo valor uca puedes agotar, au cuado te pases la vda hacedo la operacó». Lo que el amgo dce de los úmeros rracoales o es certo, e realdad está hablado de úmeros peródcos, pues se refere a fraccoes cuya expresó decmal o es u úmero exacto. 8

2 SOLUCIONARIO ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Po tres ejemplos de úmeros reales que o sea racoales, y otros tres ejemplos de úmeros reales que o sea rracoales. Respuesta aberta. Tres úmeros reales que o sea racoales:, π y Tres úmeros reales que o sea rracoales:, y 00 Calcula las raíces reales de los sguetes radcales. a) b) c) d) e) 0 a) ± c) e) b) No tee raíces reales. d) Resuelve: Expresa e radaes estos águlos. a) b) 0 c) 0 d) 0 e) 00 π π π a) rad c) 0 rad e) 00 rad π π b) 0 rad d) 0 rad 00 Expresa e grados los águlos. π π π π a) rad b) rad c) π rad d) rad e) rad π π a) rad 0 c) π rad 80 e) rad 08 π π b) rad 90 d) rad 00 tg Calcula: cos 80 0 se ( cos 0 se 90 ) se 0 80 tg 0 cos se cos 0 90 ( ) se se 0 + 9

3 Números complejos 007 Determa el sgo del seo, el coseo y la tagete de estos águlos. π π a) 0 b) c) 0 d) 0 e) Águlo Seo Coseo Tagete 0 + π 0 No exste π + ACTIVIDADES 00 Escrbe estos úmeros como úmeros complejos. a) b) c) d) a) c) + 0 b) + d) Resuelve las sguetes ecuacoes, y expresa sus solucoes como úmeros complejos. a) x x + 0 b) x x + 0 a) x x + 0 x x ± ± + 9 x b) x x + 0 x x ± ± + x 00 Escrbe dos úmeros complejos cuya parte real sea, y otros dos cuya parte magara sea. Dos úmeros complejos cuya parte real sea : + y +. Dos úmeros complejos cuya parte magara sea : y. 0

4 SOLUCIONARIO 00 Determa x e y para que estos úmeros complejos sea guales. a) x + y y b) x + y y 7 a) x x x + y y y b) x + y 7 x 7 x 7 y y Dado el úmero complejo z x +, determa el valor de x e y para que sea: a) U úmero real. b) U úmero magaro puro. c) U úmero complejo que o sea real magaro puro. a) y 0 b) x 0 c) x 0, y 0 Halla el opuesto y el cojugado de los sguetes úmeros complejos. a) c) e) g) + b) + d) f) h) 0 Opuesto Cojugado Represeta gráfcamete los sguetes úmeros complejos. a) c) e) g) + b) + d) f) h) 0 Ahora cotesta, dóde estará stuado u úmero real? Y s el úmero es magaro puro? U úmero real estará stuado e el eje de abscsas. U úmero magaro puro se stuará e el eje de ordeadas. f) b) e) a) h) d) c) g)

5 Números complejos 008 Escrbe e forma bómca los úmeros complejos correspodetes a los afjos represetados. z (, ), z (0, ), z (, ), z (, 0), z (, ), z (, ) z z z z z z 009 Resuelve las sguetes operacoes. a) ( ) + ( + ) c) ( )( + ) ( + )( + ) b) d) + + a) ( ) + ( + ) + b) c) + ( )( ) + 9 ( + )( ) ( )( + ) d) ( + )( + ) ( )( ) + ( + )( ) 00 Calcula x para que el resultado sea u úmero real. x a) (x )( + 7x) b) + 7 a) (x )( + 7x) x + x + + 7x x + (x + ) b) Igualamos a cero la parte magara: x + 0 x x x 7 x ( )( ) + x + ( + 7)( 7) x + Igualamos a cero la parte magara: 0 x Determa la expresó polar de los úmeros complejos represetados. z r + tg α 8', 8'' z (, ) 8 ', 8 '' z z z z r ( ) + α ( 90, 80 ) tgα α ' '' z (, ) ' ''

6 SOLUCIONARIO 0 Expresa e forma polar. a) + c) + e) b) d) f) a) + ', '' d) 7 0 ', '' b) 0 ' '' e) 70 c) + f) 0 0 Expresa estos úmeros e formas bómca y trgoométrca. a) 0 c) b) 0 d) π π a) 0, (cos 0 + se 0 ) b) 0, (cos 0 + se 0 ) c) π π π, cos se d) π π π ( 0, ) + cos se 0 Expresa los sguetes úmeros complejos e forma polar. a) (cos + se ) b) (cos + se ) a) (cos + se ) b) (cos + se ) 0 Dados los úmeros complejos: z 0 z cos 0 + se 0 calcula. a) z z c) z z b) z z d) ( z ) z z π z 0 z 0 z a) c) 0 90 b) 0 d) ( 0 )

7 Números complejos 0 Dados los úmeros complejos: z 0 z [cos ( 0 ) + se ( 0 )] calcula. z ( z) z a) b) z z z 0 z 0 0 a) b) 0 0 ( 0 ) Dados los úmeros complejos: z 0 z cos 0 + se 0 z calcula. a) (z ) b) (z ) c) ( z ) z d) ( z ) z z 0 z 0 z a) ( 0 ) 0 00 b) ( 0 ) 0 ( ) c).0.0 d) ( 0 ) Resuelve esta operacó. [ (cos 0 + se 0 )] ( 0 ) [ (cos 0 + se 0 )] ( 0 ) Utlzado la fórmula de Movre, expresa cos αy se α e fucó de cos αy se α. Cosderamos u úmero complejo de módulo la udad: ( α ) (cos α+ se α) cos α+ se α Desarrollamos la prmera parte de la gualdad: cos α+ cos α se α cos α se α se α (cos α cos α se α) + ( cos α se α se α) Igualamos este resultado co la seguda parte de la gualdad: (cos α cos α se α) + ( cos α se α se α) cos α+ se α Igualado las partes reales y las partes magaras resulta: cos α cos α cos α se α se α cos α se α se α

8 SOLUCIONARIO 00 Calcula las sguetes raíces. 0 a) c) b) 7 d) + a) 0 El módulo de las solucoes será la raíz cuadrada del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal S k 0 β S k β 7 Por tato, las raíces so y. b) El módulo de las solucoes será la raíz cúbca del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal S k 0 β S k β S k β 00 Por tato, las raíces so 0, 80 y 00. c) 70 El módulo de las solucoes será la raíz cuarta del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal. S k 0 β ' S k β ' S k β ' S k β ' Por tato, las raíces so 7 0', 7 0', 7 0' y 7 0'.

9 Números complejos d) + El módulo de las solucoes será la raíz cúbca del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal S k 0 β + 0 S k β + 0 S k β 8 Por tato, las raíces so, y 8. 0 Resuelve estas ecuacoes. a) z 0 b) z + 0 c) z d) z 8 9 a) b) z El módulo de las solucoes será la raíz cuarta del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal. 0 S k β 0 0 S k + 0 β 90 0 S k + 0 β 80 0 S k + 0 β 70 Por tato, las raíces so 0, 90, 80 y 70. z 0 z z 80 El módulo de las solucoes será la raíz cuadrada del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal S k 0 β S k β 70 Por tato, las raíces so 90 y 70.

10 SOLUCIONARIO c) z z 8 z 880 El módulo de las solucoes será la raíz cúbca del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal S k 0 β S k β S k β 00 Por tato, las raíces so 0, 80 y 00. d) z 8 9 z 7 z 70 El módulo de las solucoes será la raíz cúbca del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal. 0 S k β 0 0 S k + 0 β 0 0 S k + 0 β 0 Por tato, las raíces so 0, 0 y 0. 0 Calcula y represeta las raíces cúbcas de este úmero. + + ( + )( + ) + ( )( ) + Módulo: Argumetos: S k 0 β S k β S k β 00 Por tato, las raíces so 0, 80 y

11 Números complejos 0 U cuadrado, co cetro e el orge de coordeadas, tee uo de sus vértces e el puto A(, ). Determa los demás vértces. Calculamos las raíces cuartas de +. Módulo: + Argumetos: tg α α ', '' Sumamos 90 al argumeto de cada vértce para obteer el sguete. ','' ','' ','' 0 ','' Por tato, las raíces so,, y. 0 Expresa los úmeros complejos e forma bómca. a) + b) c) 8 + a) b) c) Resuelve estas ecuacoes, y expresa sus solucoes e forma compleja. a) x + 0 b) x x + 0 c) x x + 0 a) x + 0 x x x b) x x + 0 x x ± ± + x c) x x + 0 x x ± ± x 9 8

12 SOLUCIONARIO 0 Expresa e forma bómca estos úmeros complejos. z + z + z + z z z z z z z 07 Represeta los úmeros e el plao complejo. a) + f) b) g) c) h) e) d) ) a) d) ) e) c) f) g) h) b) 08 Dbuja el cojugado y el opuesto de los úmeros complejos z y s. z s a) Cómo será la represetacó del cojugado de u úmero? b) Y de su opuesto? a) b) z s z s z s s z El cojugado de u úmero es smétrco respecto del eje de abscsas. El opuesto de u úmero es smétrco respecto del orge. 9

13 Números complejos 09 Represeta e el plao complejo los sguetes úmeros: + y. Obté sus cojugados y sus opuestos, y represétalos. 00 Ecuetra las solucoes de las ecuacoes. a) x x + 0 c) x x x + b) x x d) x + a) x x + 0 x x ± ± + x b) x x x ± 0 ± x + x c) x x x x ± 7 ± + x d) x + + x + 0 x + 8x x x 8 ± 8 ± + x 0 Calcula y represeta e el plao complejo los úmeros:,,,,,, Ivestga també lo que ocurre co:,,,,,,

14 SOLUCIONARIO 0 Realza las sguetes operacoes. a) ( ) + ( 7) + ( + 8) e) b) ( + ) ( + ) ( ) f) c) ( ) ( 7) ( ) g) d) ( ) ( + ) ( ) h) ( + ) ( + ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( + ) a) ( ) + ( 7) + ( + 8) b) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + ( ) + ( + ) c) ( ) ( 7) ( ) ( + ) + (7) + ( + ) + d) ( ) ( + ) ( ) e) ( + ) ( + ) ( + ) + ( ) 0 f) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) g) h) ( ) + ( ) ( + ) ( ) + ( + ) + ( + ) Haz estos productos y potecas. a) ( )( ) c) ( + ) e) ( ) ( + ) b) ( )( 7 ) d) ( )( + ) f) ( ) a) ( )( ) 8 b) ( )(7 ) + 8 c) ( + ) 0 0 d) ( )( + ) + e) f) ( )( + ) ( ) + 0 Efectúa las dvsoes a) b) c) 8+ + a) b) + ( + )( + ) ( )( + ) ( )( 8 ) ( 8+ )( 8 ) + c) + ( + )( + ) + 0 ( )( + )

15 Números complejos 0 Obté, e forma bómca, el resultado de las operacoes. 0( ) a) ( ) + ( b) + ) + 0 ( ) + 8 c) ( )( + ) 0 ( ) d) ( ) 0 + ( 8+ ) ( + ) ( + ) ( ) e) + a) b) c) d) e) 0( ) ( ) 9 ( ) ( ) ( ) ( )( + ) ( ) + 7 ( + ) ( ) ( ) 0 + ( ) ( 8+ ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) Represeta e el plao complejo los úmeros complejos y los resultados de las operacoes. Explca lo que sucede e cada caso. a) b) c) d) ( + ) + ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) + a) ( + ) + ( + ) + El resultado es otro úmero complejo que tee por coordeadas la suma de las coordeadas de los dos úmeros. Gráfcamete cocde co el vector suma. 7

16 SOLUCIONARIO b) ( + )( + ) El resultado es otro úmero complejo que tee: Parte real gual al producto de las partes reales de los úmeros, meos el producto de las partes magaras. Parte magara gual al producto de la parte real del prmero por la parte magara del segudo, más la parte magara del prmero por la parte real del segudo. c) ( + ) ( + ) 9 El resultado es otro úmero complejo que tee por coordeadas la resta de las coordeadas de los dos úmeros. Gráfcamete cocde co la dfereca de vectores. d) + ( + )( + ) 8 + ( )( + ) + El resultado es otro úmero complejo que tee: Parte real gual al producto de las partes reales de los úmeros, más el producto de las partes magaras, dvddo etre la suma de los cuadrados de la parte real e magara del dvsor. Parte magara gual al producto de la parte magara del prmero por la parte real del segudo, meos la parte real del prmero por la parte magara del segudo, dvddo etre la suma de los cuadrados de la parte real e magara del dvsor Represeta ( + ). Multplícalo por y represeta el resultado. Multplca dos veces por y explca qué se obtee. ( + ) + ( + ) Al multplcar por el puto se desplaza 90, medate u gro de cetro el orge, e el setdo cotraro a las agujas del reloj. Al multplcar por se obtee el puto smétrco respecto del orge (su opuesto). 7

17 Números complejos 08 Ecuetra el úmero complejo que es verso de +. + ( + )( ) 09 Calcula z e la sguete ecuacó. ( ) z ( + ) ( ) ( + ) + z z z ( + )( + ) ( )( + ) 8 z + 00 Calcula a, b, c,, para que se verfque las codcoes dcadas e cada apartado. a) ( ) + ( + a ) es u úmero real. b) (b + ) + ( + ) es u úmero magaro puro. c) (c + )( ) es u úmero real. d) (d + )( ) es u úmero magaro puro. e) 7+ e es u úmero real. f) 7+ f es u úmero magaro puro. a) ( ) + ( + a) + ( + a) a b) (b + ) + ( + ) (b + ) + b c) (c + )( ) (c + ) + ( c + 8) c c 9 d) (d + )( ) (d + ) + ( d + 8) d + 0 d e) 7+ ( )( e + ) e e ( e )( e+ ) e + + e + e + e + e + 0 e f) 7+ f ( )( f + ) f ( f )( f + ) f + + f + 7f f f f 7 0 Ecuetra p y q para que se cumpla: ( p+ )( + q) + 9 ( p + )( + q) + 9 (p q) + ( + pq) + 9 p p q + pq 9 p ; q ; q 7

18 SOLUCIONARIO 0 0 z Demuestra que el úmero complejo z verfca la gualdad z. z ( 8 ) z Represeta los sguetes úmeros complejos expresados e forma polar. 7 π a) 0 b) c) 0 d) e) 80 f) π π 0 π 0 Expresa estos úmeros complejos e forma polar. z z 0 z 80 z 70 z z 0 z z 0 Escrbe estos úmeros e forma polar y represétalos. a) b) + c) d) e) f) a) 0 ','' b) + 0 c) d) 70 e) 80 f) 90 0 Escrbe e forma bómca los sguetes úmeros complejos. π 7 π a) 0 b) c) d) π e) 0 f) g) h) π 00 a) + c) e) + g) b),, d) f) h) 7

19 Números complejos 07 Dados los úmeros complejos: z 0 z z π escrbe, e forma polar y bómca, el cojugado y el opuesto de cada uo de ellos. Teemos e cueta que el cojugado es el puto smétrco respecto del eje de abscsas y el opuesto es el smétrco respecto del orge. Número Cojugado Opuesto Polar Bómca Polar Bómca Polar Bómca 0, 0, 0, π,,, π, 7 π,, 08 Efectúa las sguetes operacoes. a) 0 0 e) ) b) π π f) 0 0 j) 7 c) g) π d) h) 0 ( ) π π π ( 0 ) ( ) π a) f) π b) π g) π 7 π π 7 π c) π h) ( 0 ) d) 0 ) e) j) π π π ( ) 7π 7 π 7

20 SOLUCIONARIO 09 Realza estas operacoes, expresado prmero los úmeros e forma polar. a) ( ) b) ( + ) c) ( + ) d) ( ) 7 80 a) ( ) ( ) c) b) ( + ) ( ) d) 90 ( + ) ( ) 7 ( ) 0 0 ' 8, '' 00 Calcula, usado la fórmula del bomo de Newto, esta poteca: ( ). Hazlo e forma bómca. Comprueba, expresado el úmero e forma polar, que se obtee el msmo resultado. ( ) ( 00 ) Represeta e el plao complejo estos úmeros y los resultados de sus operacoes. Explca lo que sucede e cada caso. 0 a) 0 0 b) c) π 0 ( ) a) El módulo del resultado es el producto de los módulos, y el argumeto es la suma de los argumetos de los úmeros dados. b) El módulo del resultado es el cocete de los módulos, y el argumeto es la resta de los argumetos de los úmeros dados. c) El módulo del resultado es la cuarta poteca del módulo, y el argumeto es el cuádruple del argumeto del úmero dado. 8 77

21 Números complejos 0 Realza las sguetes potecas, empleado la fórmula de Movre. a) ( ( cos + se )) 9 b) ( ( cos 0 + se 0 )) π π c) cos + se π π d) cos + se a) ( (cos + se )) 8 (cos 00 + se 00 ) b) ( (cos 0 + se 0 )) 9 (cos 0 + se 0 ) c) d) π π cos + cos π π se + se π π cos + se 8 ( cos 0+ se 0) Co la fórmula de Movre, expresa se αy cos αe fucó de se αy cos α. Cosderamos u úmero complejo de módulo la udad: ( α ) (cos α+ se α) cos α+ se α Desarrollamos la prmera parte de la gualdad: cos α+ cos α se α 0 cos α se α 0 cos α se α+ cos α se α+ + se α(cos α 0 cos α se α+ cos α se α) + + ( cos α se α 0 cos α se α+se α) Igualamos este resultado co la seguda parte de la gualdad: (cos α 0 cos α se α+ cos α se α) + + ( cos α se α 0 cos α se α+se α) cos α+ se α Igualado las partes reales y las partes magaras resulta: cos α cos α 0cos α se α + cos α se α se α cos α se α 0 cos α se α + se α Dbuja los úmeros 0 y 0. Por qué úmero complejo hay que multplcar al prmero para obteer el segudo? Hay que multplcar por 0. 78

22 SOLUCIONARIO 0 Dbuja los úmeros 00 y 0. Por qué úmero complejo hay que dvdr al prmero para obteer el segudo? Hay que dvdr etre Calcula las solucoes de las sguetes raíces. 0 a) b) c) π 9 0 a) 0 El módulo de las solucoes será la raíz cúbca del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal S k 0 β S k β S k β 80 Por tato, las raíces so 0, 0 y 80. b) π El módulo de las solucoes será la raíz quta del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal S k 0 β + 0 S k β S k β S k β + 0 S k β Por tato, las raíces so, 7, 89, y. 79

23 Números complejos c) 9 0 El módulo de las solucoes será la raíz cuarta del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal. S k 0 β S k β S k β S k β Por tato, las raíces so,, y. 07 Realza las raíces y represeta los resultados e el plao complejo. a) b) c) a) El módulo de las solucoes será la raíz sexta del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal S k 0 β S k β S k β S k β S k β S k β 0 Por tato, las raíces so 0, 90, 0, 0, y 0.,, 80

24 SOLUCIONARIO b) 90 El módulo de las solucoes será la raíz cúbca del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal. S k 0 β S k β S k β Por tato, las raíces so 0, 0 y 70.,, c) 0 El módulo de las solucoes será la raíz quta del módulo:. Exstrá tatos argumetos como dque el radcal. S k 0 β S k β S k β S k β S k β Por tato, las raíces so, 8,, 8 y 00. 8

25 Números complejos 08 Los vértces del polígoo represetado so las raíces cuartas de u úmero complejo. Determa el úmero y sus raíces. Las raíces so: z + z z + z El úmero es: z E el gráfco se represeta las raíces de u úmero. Determíalas y descubre de qué úmero se trata. Las raíces so: z 0 z z 7 z 88 z El úmero es: z Ecuetra y z de maera que dos de las solucoes de z sea 0 y 0. Hay ua úca solucó? Cuál es el meor úmero que puedes ecotrar? Sea z r α. La raíz eésma de r debe ser. El argumeto debe ser múltplo de 0 y de 0. La solucó o es úca. El meor úmero que cumple las codcoes es. z.9 0 Otra solucó es 8. z Resuelve las ecuacoes. a) x + 0 c) x 0 e) x + 0 b) x + 0 d) x 0 f) x 8 0 a) x + 0 x 80 + k 0 S k 0 x 90 S k x 70 b) x + 0 x S k 0 x 0 S k x S k x 80 c) x 0 x k 0 80 k 0 S k 0 x 7 S k x 88 S k x S k x 0 S k x 00 8

26 SOLUCIONARIO d) x 0 x S k 0 x 7 S k x 88 S k x S k x 0 S k x e) x + 0 x S k 0 x S k x S k x S k x f) x 8 0 x k k 0 80 k 0 S k 0 x 0 S k x 0 S k x 0 0 Realza la sguete operacó ( + )( ) ( + )( ) 90 +k 0 S k 0 x, S k x 0, S k x, S k x 9, 0 Expresa e forma polar el verso de estos úmeros. a) 0 b) c) d) π π π Para calcular el verso de u úmero e forma polar, calculamos el verso del módulo y el opuesto del argumeto. a) b) c) d) π 0 π π 0 Calcula las sguetes raíces de úmeros complejos. a) b) c) d) e) f ) a) b) S k 0 x 80 S k x k k 0 S k 0 x 0 S k x 0 S k x 0 8

27 Números complejos c) 0 + k 0 S k 0 x 90 S k x 70 S k x 80 S k x 0 d) 90 + k 0 S k 0 x S k x e) 90 + k 0 S k 0 x 0 S k x 0 S k x 70 f) 90 + k 0 S k 0 x, S k x 0, S k x, S k x 9, 0 Observa el úmero complejo represetado. a) A qué expoete hay que elevarlo para obteer u úmero real? b) Y u úmero magaro puro? c) Hay ua úca solucó e cada caso? El argumeto es. a) 80 (k + ) 0 8 (k + ) b) 90 (k + ) 70 (k + ) c) E cada caso hay ftas solucoes. 0 Qué úmero complejo hay que sumarle a + para que resulte 70? Y para que resulte? π ( + ) + (a + b) a, b 7 ( + ) + (a + b) a, b 07 Calcula z sabedo que su módulo es magaro puro. y que z( ) es u úmero z α 9 ', '' α + 9 ','' 90 α ',8'' + 0 k α+9 ','' 70 α ',8'' + 0 k Por tato, teemos que: α ',8'' + 80 k. 8

28 SOLUCIONARIO 08 Escrbe qué codcoes debe cumplr a, b, c y d para que: a) (a + b)(c + d) sea u úmero real. b) (a + b)(c + d) sea u úmero magaro puro. a+ b c) sea u úmero magaro puro. c + d a+ b d) sea u úmero real. c + d (a + b )(c + d ) ac bd + (ad + bc) a+ b a b c d ac bd c+ d ( + )( ) + + ad + bc ( c+ d)( c d) c + d c + d a) Para que sea u úmero real: ad bc b) Para que sea u úmero magaro puro: ac bd c) Para que sea u úmero magaro puro: ac bd d) Para que sea u úmero real: ad bc 09 + b Calcula dos úmeros reales a y b, de modo que: a+ + b ( + b )( + ) b + b + ( )( + ) 7 7 b a 7 a + b a 7 + b + b 8 b Halla el valor de a para que este úmero complejo cumpla que su cuadrado sea gual a su cojugado. a + Calculamos el cuadrado: a+ a a + Hallamos el cojugado: a a a a a 8

29 Números complejos Halla el valor de m para que sea raíz del polomo x + m. m a + b Para que sea raíz del polomo debe cumplr: ( ) + a + b 0 ( + a) + ( 8 + b) 0 a, b 8 Calcula el valor de b para que el cocete de 9 + b etre tega módulo. 9 + b ( 9 + b )( + ) ( )( + ) 9 b + ( 8 + b) ( 9 b) + ( 8 + b) 8+ b+ b + b+ b 0 b + 0 b c Halla c sabedo que la represetacó gráfca de está sobre la bsectrz + del prmer cuadrate. Para que esté sobre la bsectrz del prmer cuadrate, la parte magara debe ser gual a la parte real. + c 0 + ( + c )( ) + c+ ( c) ( + )( ) c c c 7 Es certo que, sempre que multplcas u úmero real por u úmero complejo z, el resultado tee el msmo argumeto que z? S o es certo, euca ua propedad correcta. No es certo, ya que: Solo es certo s el úmero real es postvo. S multplcamos u úmero real postvo por u úmero complejo z, el resultado tee el msmo argumeto que z. Es certo que el cojugado del producto de dos úmeros complejos es el producto de sus cojugados? Sea z a + b y z c + d dos úmeros complejos. Calculamos el cojugado del producto: (a + b )(c + d ) ac bd + (ad + bc) El cojugado del producto es: ac bd (ad + bc) Hallamos el producto de sus cojugados: (a b )(c d ) ac bd + ( ad bc) ac bd (ad + bc) Luego es certo. 8

30 SOLUCIONARIO Demuestra que, s multplcas u úmero complejo por su cojugado, se obtee el cuadrado de su módulo. Sea z a + b. Calculamos su módulo: z a + b El cuadrado del módulo es: a + b Multplcamos por el cojugado: (a + b )(a b ) a + b Por tato, es certo. Qué dfereca exste etre las solucoes de la raíz cuadrada real de y la raíz cuadrada del úmero complejo + 0? No exste gua dfereca, pues ambos úmeros tee como raíz cuadrada y. Calcula las tres raíces cúbcas de 7 y comprueba que su suma es cero. Comprueba s sucede lo msmo co las tres raíces cúbcas de 88. Sucederá eso co todos los úmeros complejos? Justfca tu respuesta k 0 S k 0 z 0 + S k z 00 S k z 80 Sumamos las raíces: Calculamos las raíces cúbcas de ', '' +k ' 7,'': S k 0 x ',8'',98 + 9,9 S k x ',8'',90,097 S k x ',8'' 7,888 8,97 Sumamos las raíces:,98 + 9,9,90, ,888 8,97 0 Sucederá lo msmo co todos los úmeros complejos. Dado u úmero complejo, sus tres raíces cúbcas será: r α, r α+0 y r α+0. S multplcamos las raíces por el úmero complejo, da como resultado las raíces cúbcas de 7, cuya suma es cero: r α z z z ( rα+ rα+ 0 + r r α+0 ) α+ 0 Como 0 ( rα+ rα+ 0 + rα+ 0 ) 0, la suma de las tres raíces cúbcas r α+ 0 de cualquer úmero complejo dstto de cero es cero. 87

31 Números complejos 079 Uo de los vértces de u trágulo es el orge de coordeadas y los otros dos so los afjos de los úmeros complejos + y +. Calcula la logtud de sus lados. Sea O el orge de coordeadas, A +, B +. Calculamos la logtud del lado OA: ( ) + 9 Hallamos la logtud del lado OB: + 0 Determamos la logtud del lado AB: ( ) + ( ) 080 Dos vértces cosecutvos de u cuadrado so los afjos de los úmeros + y +. Determa el resto de sus vértces, sabedo que tee uo e el cuarto cuadrate. La varacó de la parte real de los dos úmeros es de udades y la varacó de la parte compleja es de udades. Por tato, s a partr de los vértces coocdos llevamos ua varacó de udades e la parte real y udades e la parte magara, resulta los otros dos vértces, obteédose dos solucoes: C (7, ) y D (0, ) C' (, ) y D' (, 8) De estas solucoes úcamete la prmera solucó tee u vértce e el cuarto cuadrate. 08 Uo de los vértces de u cuadrado co cetro e el orge tee coordeadas (, ). Utlza los úmeros complejos para determar los otros vértces y su área. z + Elevamos a la cuarta: z 00 7 ','' Calculamos el resto de las raíces: 00 0 S k 0 x 0 8 ',8'' + S k x 0 98 ',8'' S k x 0 08 ',8'' S k x 0 88 ',8'' 0 0 º + k 0 z (, ) y z (, ) Hallamos la logtud del lado: Por tato, el área es 0. ( ) + ( ) 0 08 U petágoo regular, co cetro e el orge de coordeadas, tee e (, ) uo de sus vértces. Halla los demás vértces usado úmeros complejos. z Elevamos a la quta: z ','' Calculamos el resto de las raíces: ', ''+k 0 S k 0 x ',8'' S k x 8 ',8'' S k x ',8'' S k x 8 ',8'' 88

32 SOLUCIONARIO 08 Qué úmero complejo forma u trágulo equlátero co su cojugado y co? Sea L la logtud del lado del trágulo equlátero, uo de los vértces es el complejo a + b y el otro vértce es su cojugado a b. L L b L se 0 a + L cos 0 + Todos los trágulos tee como el vértce stuado más a la zquerda. S el vértce estuvera stuado a la derecha del trágulo, las coordeadas de los otros vértces sería: L L b L se 0 a L cos 0 08 Las cuatro raíces cuartas de.09 descrbe u cuadrado. Calcula su área. Además, sus raíces cúbcas descrbe u trágulo equlátero. Determa su área. Las raíces cuartas de.09 so: z 8, z 8, ( ) ( ) z 8 (, ) z 8 (, ) Calculamos el lado: ( + ) + ( ) 8 Por tato, el área es de8. Las raíces cúbcas de.09 so: z 0 ( 8, 8 ) z 00 ( 8, 8 ) z 80 (, 0) Se forma u trágulo cuya base mde y su altura es de. Por tato, su área mde El úmero complejo + es ua de las raíces cúbcas de z. Halla las otras dos raíces. z + 9 ' 0,8'' Las raíces tedrá el msmo módulo. Calculamos el resto de las raíces: 0 9 ' 0, 8 ''+ k S k 0 x 9 ' 0,8'' S k x 99 ' 0,8'' S k x 79 ' 0,8'' 08 Escrbe ua ecuacó de segudo grado cuyas solucoes sea + y. Haz lo msmo co y +. (x + )(x ) 0 x x x x x + 0 x x (x + + )(x + ) 0 x + x x + x x x + x

33 Números complejos Demuestra que s ua ecuacó de segudo grado cuyos coefcetes so úmeros reales tee dos raíces complejas, estas debe ser úmeros cojugados. Teemos ua ecuacó de segudo grado: ax + bx + c 0 Resolvemos la ecuacó: b b ac x b b ac a x ± + ( + ) a b b x ( + ac ) a Luego sus solucoes so dos úmeros complejos cojugados. Qué codcó debe cumplr los úmeros reales a, b y c para que la ecuacó ax + bx + c 0 tega solucoes complejas? Se debe cumplr que: b ac < 0 Resuelve la ecuacó x + 0x t x x + 0 x t + 0t t t 0 ± ± + t Deshacemos el cambo de varable: + 7', '' x 8', 7'' x 8', 7'' 7 ' 8, 9'' x ', '' x 0 ', '' 090 Resuelve las sguetes ecuacoes. z a) + ( ) + 7 b) z( + ) z(+ 7 ) a) b) z z + ( ) z 9 0 z 9 0 z ( )( ) z( + ) z( + 7 ) z( + ) z( + 7) z( + ) 7 z( + 7) z( + ) z( + 7) + 7 z( + 7) + 7 z + 7 z 90

34 SOLUCIONARIO 09 Resuelve estas ecuacoes. a) x 8x b) x y 0 y x a) b) x 8x x ± ( ) ± 0 x y 0 x y y ( y) y + y y y x x ( ) + 09 Represeta el úmero complejo + y realza e este puto u gro de 0 cetrado e el orge. Halla las expresoes bómca y polar del úmero complejo resultate. z + 7 ', 9'' Hacemos u gro de 0 : ', 9'', +, La suma de dos úmeros complejos cojugados es y la suma de sus módulos es 0. Determíalos. Sea z a + b. a+ b + a b a 8 a + b + a + b ( ) 0 a + b 0 + b 00 b ± Los úmeros so: 8 + y 8. Ecuetra todos los úmeros complejos tales que su cubo es gual a su raíz cuadrada. U úmero complejo es de la forma r α. S poemos la codcó de que su cubo sea gual a su raíz cuadrada, teemos: ( r ) α ( r ) r r ( r ) α α α r α r r Para que sea guales es precso que: α α r r r 0 r α α α + 0 α α α Las solucoes so: z 0 0 +k 0, z 0 +k 0, z +k 0 α 9

35 Números complejos 09 Ivestga qué úmeros complejos cumple que su cuadrado es gual a su cojugado. Para realzarlo supó que el úmero está expresado e forma polar. z r α z r 0 α r α r 0 α Igualamos: r r r 0, r α0 α α0 Por tato, los úmeros cuyo cuadrado es gual a su cojugado so 0 α y Sea u +. Comprueba que s z +, etoces z, u z y u z so las tres raíces cúbcas de u úmero complejo. Demuestra que eso sucede para cualquer úmero z. Qué tee de partcular el úmero u? z + 9 8',07'' u z + ( + ) 0 9 8',07'' 9 8',07'' u z + ( + ) 0 9 8',07'' 9 8',07'' So las raíces cúbcas de 9 ',''. Esto sucede para cualquer úmero complejo, ya que las raíces cúbcas de u úmero complejo tee el msmo módulo y su argumeto se dfereca e 0. Al multplcar cualquer úmero por u, su módulo o varía y su argumeto aumeta Determa s es certa esta afrmacó. S dos úmeros complejos z y w cumple que z w, etoces z w. La afrmacó o es certa. Para cualquer úmero complejo z teemos otros dos complejos: 0 z y 0 z, cuyo cubo cocde co el cubo de z. ( 0 z) 0 z z ( 0 z) 70 z z 098 Del úmero complejo z se sabe que su argumeto es 0, y el módulo de z es. Calcula z y z sabedo que su producto es 8. z r 0 z α r 0 α 8 70 r 8 r z 0 + α 70 α 0 z 0 0 9

36 SOLUCIONARIO 099 Represeta el úmero +. Pásalo a forma polar y calcula sus 0 prmeras potecas. Represétalas e el plao complejo. Observa que los afjos de esos úmeros descrbe ua curva espral. z + z 90 z z 80 z z 8 70 z 7 8 z 8 0 z 9 z Calcula la suma de los 0 prmeros térmos de ua progresó artmétca de dfereca + y cuyo prmer térmo es. d + a a a + ( )d a 0 + (0 )( + ) + S S 0 ( a + a ) ( ) S el úmero complejo a + b tee módulo m y argumeto α, cómo expresarías e forma bómca u úmero complejo co módulo m y argumeto π α? π Y s el módulo es m y el argumeto es α +? Sea w c + d el úmero complejo que tee por módulo m y argumeto π α. c a + b cos (π α) a + b cos α d a + b se (π α) a + b se α π Sea v e + f el úmero complejo que tee por módulo m y argumeto α +. π e cos α + a + b a + b se α π f se α + a + b a + b cos α 9

37 Números complejos 0 Sea z r α u úmero complejo e forma polar y z su cojugado. Calcula el valor del cocete. cos α cos α cos α z z z z ( + ) [ + ( ) ] [ z + ( z ) ] z r α r (cos α+ se α) z r 0 α r (cos α se α) cos α cos α cos α ( z + z ) ( z + ( z) ) ( z + ( z ) ) cos α cos α cos α ( r( cosα+ seα) + r( cosα seα)) ( r ( cos α+ seα) + r ( cos α seα) ) cos α cos α cos α r cos α r cos α r cos α r + 0 Dada la ecuacó z + (a + b)z + c + d 0, co a, b, c y d úmeros reales, ecuetra la relacó etre ellos para que sus raíces tega el msmo argumeto. z + (a + b )z + c + d 0 a b a b c d a b a b ab z ± ( + ) ( + ) ± + c d Para que tega el msmo argumeto, el cocete etre la parte magara y la parte etera debe ser el msmo. a b + ab c d 0 a b c 0 ab d 0 Como solo teemos dos ecuacoes y cuatro cógtas teemos que dejar dos de las cógtas e fucó de las otras. a a ( ) + c + d + c c d c d ( ) + c + d + c c d c d b c + d c b c + d c a ( ) c + d + c c + d c d b c + d + c a ( ) c d c c d c d b c + d + c 9

38 SOLUCIONARIO PARA FINALIZAR... 0 k k 0 Calcula la suma, expresado el resultado lo más smplfcado posble. k k 0 k k0 S t, t S t, t S t, t S t, t k k0 k k0 k k0 0 0 Demuestra que s el úmero complejo z es ua raíz del polomo P(x) ax + bx + c, co a, b y c, z es també ua raíz. z d + e P(d + e ) a(d + e ) + b(d + e ) + c a(d e + de ) + bd + eb + c ad ae + ade + bd + eb + c 0 Por tato, resulta que: ad ae + bd + c 0 ade + eb 0 P(d e ) a(d e) + b(d e ) + c a(d e de ) + bd eb + c ad ae ade + bd eb + c ad ae + bd + c (ade + eb ) 0 0 Halla u polomo de cuarto grado co coefcetes reales, cuyas raíces sea y +. (x + )(x )(x ( + ))(x ( )) x x + x 8x Obté la suma y el producto de las raíces -ésmas de la udad. Sea. 0 k 0 La suma de las raíces es: ( ) El producto de las raíces es: P ( ) 0 ( + ) 9

39 Números complejos Calcula las solucoes complejas de esta ecuacó. x + x + x + x + x + 0 El prmer térmo es la suma de los térmos de ua progresó geométrca. ( x ) a, r x S x x x ( x ) x Por tato, resulta que: 0 x 0 x x x x x Las solucoes so: x, x, x, x y x. Resuelve el sstema de ecuacoes co cógtas z y w. z ( + ) w ( + ) z+ w w w z z + w + + ( ) z w ( w+ ) + z+ w z ( ) w 8 w w z + ( ) w + + z Halla la expresó de z sabedo que los afjos de los úmeros complejos, z y z está aleados. z z Las coordeadas de los úmeros complejos so: A(, 0) B(a, b) C(a b, ab) Calculamos los vectores: AB (a, b) AC (a b, ab) Los putos está aleados s los vectores so proporcoales. AB tac (a, b) t (a b, ab) t a t a b ( ) a a ( a b ) b t ab a a a+ b b a Por tato, resulta que: z a + (a ) 9

40 SOLUCIONARIO U hexágoo regular está cetrado e el orge de coordeadas y uo de sus vértces es el puto A(, 0). A Halla los vértces de otro hexágoo regular co el msmo cetro, lados paralelos al ateror y u área que es veces mayor. S los dos polígoos so semejates y la razó etre sus áreas es, la razó etre sus logtudes es. ( ) U vértce es el puto, 0 y los otros vértces so 0, 0, 80, 0 y 00. Esto sería equvalete a calcular las raíces sextas de ( ). 97