MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS NÚMEOROS COMPLEJOS

Transcripción

1 NÚMEOROS COMPLEJOS Defcó: El cojuto de los úmeros complejos es C R R {(, / R y b R} C está formdo por todos los pres ordedos de úmeros reles etre los que defmos u relcó, l guldd, y dos opercoes brs que llmmos sum y producto Iguldd: (, ( c, d ) s c y b d Sum: (, + ( c, d ) ( + c, b + d ) Producto: (, ( c, d ) ( c bd, d + bc ) Observcó: es comú desgr co l letr los elemetos del cojuto C Relcó etre R y C Cosderemos todos lo úmeros complejos de segud compoete ul, es decr úmeros de l form ( x, 0) Exste u correspodec buívoc etre el cojuto de los úmeros reles y el de los complejos de segud compoete ul E efecto, sg cd úmero complejo ( x, 0) el úmero rel x y recíprocmete, cd úmero rel x el úmero complejo es ( x, 0) x ( x, 0) Por otr prte est correspodec coserv ls opercoes de sum y producto y que: E l sum: ( x, 0) + ( y, 0) ( x + y, 0) x + y Y e el producto: ( x, 0) ( y, 0) ( x y 00, x0 + 0 y) ( x y, 0) x y A este tpo de correspodec se l llm somorfsmo x, 0 Por buso de otcó escrbmos ( ) x Udd mgr: Se llm udd mgr y se represet co l letr l úmero complejo ( 0,) ( 0,) Propedd: Demostrcó: ( 0, )( 0,) (00 ; 0+ 0) ( ; 0) Observcó: Llmmos los úmeros complejos de l form ( 0, mgros puros y se puede escrbr: ( 0, b ) b Form bómc de u úmero complejo Todo úmero complejo (, puede escrbrse de l form de l sguete form: (, (, 0) + ( 0, + b 3) (,3) ( 5, 6) 5 6 Represetcó gráfc de u úmero complejo:

2 Así como los úmeros reles se preset medte putos sobre u rect, los úmeros complejos se correspode co los putos de u plo e el cul se h elegdo u sstem de ejes coordedos ortogoles (perpedculres) Tommos el eje de bscss como el eje rel y el eje de ordeds como eje mgro Represetremos u úmero complejo + b medte el puto del plo de coordeds y b, o be medte el vector o segmeto oretdo, que ce e el orge de coordeds y tee su extremo e el puto (, Complejo cojugdo: Ddo u complejo + b se llm cojugdo de y se deot, l úmero complejo b ) S 3 +, etoces el cojugdo de es 3 S 5, etoces el cojugdo de es 5 c) S 3, etoces el cojugdo de es 3 Los cojugdos y sus propeddes: Se C C, + Re( ) 3 Im( ) 0 s 0 5 s es u úmero rel 6 s es u úmero mgro puro

3 9 s 0 0 s 0 Módulo de u úmero complejo: Se llm módulo de u úmero complejo + b y se represet, l úmero rel postvo ó ulo: + b ρ (letr greg rho) 5) S, etoces el módulo de es + ( ) 5 S, etoces el módulo de es ( ) + 0 Propeddes del módulo de u úmero complejo: Se 3 5 Re( ) 6 Im( ) Re() C y C, 9 s 0 0 s 0 Form trgoométrc o form polr de u úmero complejo: L poscó e el plo de u úmero complejo determd, s se cooce: ) El módulo de, es decr + b ρ + b qued tmbé perfectmete 3

4 ) El rgumeto ϕ () ( o smplemete ϕ -letr greg ph-) meddo, prtr del eje postvo de ls bscss y e el setdo postvo (thorro) y tl que 0 ϕ <, que se llm rgumeto prcpl de y que está uívocmete determdo por ls relcoes: cos ϕ ρ cosϕ ρ de lo que se deduce que se ϕ b b ρse ϕ ρ de lo que se deduce que Luego, + b ρ cos φ + ( ρ se φ ) ρ (cos φ + se φ ) ρ (cos ϕ+ se ϕ) ρϕ Expresó que se cooce como form trgoométrc o polr de u úmero complejo ) S + pr expresr l úmero complejo e form polr o trgoométrc, prmero hy que clculr el módulo y el rgumeto de complejo ρ + cosϕ ρ b seϕ ρ prtr de estos dtos, y teedo e cuet e qué cudrte se ecuetr el úmero complejo (e este cso, e el prmer cudrte), se obtee el vlor del rgumeto ϕ (utldo clculdor o vlores de ls fucoes trgoométrcs de los águlos otbles) Por lo tto, ϕ Etoces, l form polr o trgoométrc de es cos + se S ( perteece l eje egtvo de bscss) ρ ( ) + 0 c oϕ s ρ L u e, ϕg o b 0 s eϕ 0 ρ Etoces, l form polr o trgoométrc es ( cos + se ) Observcoes:

5 ) Dos úmeros complejos escrtos e form polr o trgoométrc so gules sí y sólo s tee gul módulo y rgumetos cogruetes ) es u úmero rel postvo s ϕ 0 3) es u úmero egtvo s ϕ ) es u úmero mgro puro de prte mgr postv s 5) es u úmero mgro puro de prte mgr egtv s Opercoes y propeddes e C: Relcó de guldd Prte rel Re() y prte mgr Im() ϕ 3 ϕ Form de pr ordedo Form bómc, b c, d s c y b + b c + d s c y b d ( ) ( ) d S (, Re( ) y Im( ) b S + b Re( ) y Im( ) b Sum (, + ( c, d ) ( + c, b + d ) ( + b ) + ( c + d ) ( + c) + ( b + d ) Producto (, ( c, d ) ( c bd, d + bc ) ( + b ) ( c + d ) ( c bd ) + ( d + bc ) Elemeto eutro de l sum Elemeto eutro del producto Opuesto de u úmero complejo: - Cojugdo de u úmero complejo Iverso multplctvo - Propedd: Dvsó Propedd: (, 0) 0 0 (, 0) (, (, S S + b b (, (, S S + b b S (, ( 0, 0) + b b ; + b S (, b ) ( c, d ), ( 0, 0 ) c + bd c + d ; bc d c + d S + b + b S + b c + bd c + d 0 b + + b c + d, 0 bc d + c + d Potec de u úmero complejo co expoete etero: S es u úmero turl o cero y es u úmero complejo etoces defmos: 0 ), 0 c) + ) ( ), 0 5

6 Potecs de l udd mgr: 0 3 ( ) 5 ( ) Estos vlores se repte cíclcmete E geerl, s N podemos escrbrlo segú el lgortmo de l dvsó como: k + r co 0 r < y dode k Z y r Z k r r r k r k r r r + ( ) dode r { 0,,, 3 } (que so los posbles restos de dvdr el úmero k por el úmero ) 90 ) porque s dvdmos 90 por os d cocete y resto r porque s dvdmos 7 por os d cocete y resto r3 Teorem de Movre: Se ρ ϕ y Z Etoces: ( ρϕ) ρ ϕ ρ (cos( ϕ) + se ( ϕ)) S S +, hllr 6 y Prmero debemos coocer el módulo y el rgumeto de : ρ + c oϕ s ρ b s eϕ ρ L u, eϕ g o Luego, l form polr es 6

7 ( + ) ρ ϕ ( ) ( ) 56 (+ ) ( ρ ϕ ) ( ) ( ) Ríces eésms de úmeros complejos Se C y N, se llm rí eésm de todo úmero complejo w tl que w Se trt de determr, ddos y todos los w que cumple l codcó de ser w Pr ello, se Deberá verfcr w ρ ϕ y w ρ' ϕ' ( ρ ' ϕ' ) ρ ϕ Aplcdo l fórmul de De Movre, ρ ' ϕ' ρ ϕ De dode se deduce l guldd de los módulos y l cogruec de los águlos ρ ' ρ ρ' ρ ϕ + k ϕ' ϕ + k ϕ' pr lgú k etero ϕ + k Luego, 0 < E cosecuec, El cojuto de todos ls ríces eésms de ϕ + k ρ, k Z y 0 k < Ejemplo: Ecotrr ls ríces cúbcs de -8 ρ ϕ es: Prmero debemos clculr su form polr: 8 (desrrollr) Luego, el cojuto de ls ríces cúbcs de es + k 3 8, k Z y 0 < 3 3 k, etoces, S k 0 w0 S k w S k w Por lo tto, w 0, w y w so ls tres ríces cúbcs de 7