CAPITULO 1 VECTORES EN R 3

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "CAPITULO 1 VECTORES EN R 3"

Transcripción

1 CPITULO Nuestrs lms, cuys fcultdes puede compreder l mrvllos rqutectur del mudo, y medr el curso de cd plet vgbudo, ú escl trs el coocmeto fto Chrstopher Mrlowe. ECTORES EN R. Mgtudes esclres y vectorles.. Sstem coordedo trdmesol, gráfco de putos e R.. Álgebr ectorl; sum, producto de u esclr por u vector, propeddes..4 Defcoes mporttes del Álgebr Lel..5 Producto tero, propeddes, proyeccoes y plccoes..6 Producto extero, propeddes y plccoes..7 Productos trples, plccoes.

2 CPITULO ectores e R. MGNITUDES ESCLRES Y ECTORILES Imgémoos que queremos mer el desplzmeto de u puto e el plo. Co u poco de cretvdd podrímos compreder que el rreglo, b serí sufcete pr mer este desplzmeto; dode el úmero rel represetrí l sombr del desplzmeto sobre u ee horzotl cotrol horzotl del desplzmeto y el úmero rel b l sombr de este desplzmeto sobre u ee vertcl cotrol vertcl del desplzmeto; de est form covemos que el pr ordedo, b represet l poscó de u puto y solo uo e R Flosofí de Descrtes. Co gul rzometo u rreglo, b, c represetrí l poscó de u puto e R y sí podrímos coclur que u rreglo,,,.., represet l poscó de uo y solo u puto e R. Mgtudes, como el desplzmeto de u puto e u espco culquer, que ecest de u rreglo umérco pr su detfccó, se llm MGNITUDES ECTORILES y el rreglo umérco que ls represet es l TERN del vector, los úmeros reles que compoe el rreglo so ls coordeds del vector, bo este crtero e Físc teemos mgtudes vectorles como l fuerz, velocdd, celercó, etc. que ecestrí de u ter pr su totl detfccó. Ls mgtudes que co u smple vlor umérco qued totlmete detfcds, como cutro estudtes, dos árboles, cco edfcos, so MGNITUDES ESCLRES y o ecest de u ter pr su detfccó. U puto, u vector o u ter l detfcremos como u mgtud vectorl. Empleremos l sguete otcó pr l rect rel, el plo, el espco trdmesol y el espco dmesol: R o smplemete R pr l rect rel R pr todos los pres ordedos x, y R pr tods ls ters ordeds x, y, z R pr tods ls ters ordeds x, x, x,., x Eemplo - L ter,, -6; represet u vector o puto e R. L ter -, 4, -, 8, 0; represet u vector o puto e R 5. Covemos co los lectores e usr letrs myúsculs pr represetr mgtudes vectorles excepto,, k que se us pr represetr los vectores utros e R y e que usremos pr represetr vectores utros e R, y músculs pr represetr mgtudes esclres. Co este crtero escrbremos l vector e R como: x, y, z o l vector e R como: x, x, x,., x recordr que e l ter el orde de los úmeros reles que l compoe o puede cmbr.

3 . Mgtudes Esclres y ectorles Decmos que dos vectores x, y, z y x, y, z so gules s, y solo s: x x, y y, z z. So prlelos s, y solo s: x x y y z z Propeddes de l guldd vectorl C C Reflexv Smétrc Trstv EL ECTOR CERO, que lo desgremos como φ, será: φ 0,0 Є R φ 0, 0, 0 Є R φ 0, 0, 0,.., 0 Є R NORM DE UN ECTOR Se,,,... Є R II II... L orm de u vector será sempre u úmero rel o egtvo, l orm del vector φ es cero. ECTOR UNITRIO S es u vector utro etoces II II Todo vector, que o se el vector cero, puede hcerse utro dvdédolo pr su orm:

4 4 CPITULO ectores e R,,,... Є R Â Â Los vectores utros so mporttes pr dr l crcterístc vectorl culquer mgtud esclr. Eemplo - Ecotrr u vector utro e l dreccó del vector, -4,, 4, 4 Solucó:, 4,, 4,. SISTEM COORDENDO TRIDIMENSIONL, GRÁFICO DE PUNTOS EN R. Los putos e el espco R puede represetrse de mer álog como se lo hce e el plo crteso. Pr relzr est represetcó escogemos tres rects drgds perpedculres etre sí que se corte e u puto comú del espco, ests rects se ls cooce como: ee x, ee y, ee z, y el puto comú de corte se lo llm orge, como se muestr e l fgur -. Se defe u escl decud sobre cd uo de los ees y se represet los úmeros reles de l ter x, y, z de tl form que el vlor de x se lo represet sobre el ee x, postvos delte del orge y egtvos trás, el vlor y, sobre el ee y, postvos l derech del orge y egtvos l zquerd, el vlor z, sobre el ee z, postvos rrb del orge y egtvos bo es comú llmr este couto de ees como Sstem de Coordeds Crtess e el Espco, l crcterístc de este sstem es que exste u correspodec buívoc etre los putos del espco R y l ter x, y, z.

5 . Sstem Coordedo Trdmesol 5 z y x Fgur - L fgur - represet el gráfco de los putos, -, 5, -,, 6 y, 5, -4 Fgur -

6 6 CPITULO ectores e R. ÁLGER ECTORIL SUM ECTORIL Ddos los vectores:,,,..., R, b, b, b,..., b R, el vector sum ; es el vector defdo por: b, b, b,..., b R CONDICIÓN: Pr que exst l sum vectorl los vectores sumr debe perteecer l msmo espco. Se y dos vectores culquer e R, C es u vector que cerr el polígoo formdo por los vectores y fgur - colocdos uo cotucó de otro, el vector será l dferec etre los vectores C y ; esto es el vector poscó etre los putos C y. Etoces ddos dos putos P x, y, z y P x, y, z el vector poscó etre estos putos o vector P P es: P P x x, y y, z z C Fgur - Propeddes:. Comuttv. C C soctv. φ Idétco dtvo 4. φ ; es el vector opuesto de Cceltv

7 .4 Defcoes Importtes del Álgebr Lel 7 Eemplo - Ddos los vectores, -6,, -, 0, -5 Solucó: -, -6 0, -5, 4, -4 PRODUCTO POR UN ESCLR α Ddo el esclr α R y el vector,,,..., R, el producto por u esclr est defdo por: α α, α, α,..., α R - : opuesto de Propeddes:. α α Comuttv. α β αβ soctv. α β α β Dstrbutvs α α α 4. 0 φ Cceltv Eemplo -4 Ddos los vectores, 5, -, -, -, 7, ecotrr - Solucó:, 5, - --, -, 7 6, 5, -6 6,, -4, 7, -0.4 DEFINICIONES IMPORTNTES DEL ÁLGER LINEL pesr de que o es uestro obetvo estudr los tópcos del Álgebr Lel, es mportte que lcemos certs defcoes de est rm de ls mtemátcs que se cosder mporttes pr l meor smlcó de los coceptos del Cálculo ectorl:

8 8 CPITULO ectores e R ESPCIO ECTORIL Imgémoos que u club uvel orgz u fest pr óvees de mbos sexos etre 8 y 8 ños l cul se le mpoe ls codcoes de cudr e pre y e tre forml, co u poco de esfuerzo podemos otr que e este eemplo hy u couto que so los óvees de mbos sexos etre 8 y 8 ños, y dos codcoes: el teer que cudr e pre y vestr tre forml; como podemos ver est estructur de u couto y dos codcoes defe est fest uvel. De gul form se defe u espco vectorl ; como u couto de obetos que se los llm vectores, uque e lguos csos puede ser mtrces o fucoes, y dos codcoes que so: U opercó deotd co que pr cd pr de vectores, e el espco soc otro vector que tmbé perteece l espco, llmdo sum. U opercó llmd multplccó por u esclr, que pr cd esclr α perteecete R y cd vector perteecete l espco soc u vector α que tmbé perteece l espco. L estructur lgebrc {,,α} defe u espco vectorl. } elemetos ; ; α 44 codcoes SUESPCIO ECTORIL Es todo subcouto de u espco vectorl que cumple co ls msms codcoes de sum y multplccó por u esclr. COMINCIÓN LINEL α α α,..., α Se,,,..., R,, R dcó de l form, culquer lel de los vectores e R. α α α... α se llm combcó

9 .4 Defcoes Importtes del Álgebr Lel 9 Eemplo -5 Escrbr -, 5, -5 como combcó lel de los vectores -,, 0, 0,, - y, 0, Solucó: Ecotremos vlores c, c, c tles que: -, 5, -5 c -,, 0 c 0,, - c, 0, de quí: - -c c 5 c c -5 -c c ; que d como solucó c, c, c - -, 5, -5 DEPENDENCI E INDEPENDENCI LINEL Dd l combcó lel del vector cero: φ α α α... α S α 0 tl que l combcó lel teror, del vector cero, se cumpl,,..., so vectores lelmete depedetes. α, De lo cotrro s l combcó lel teror del vector cero solo es posble 0, etoces se dce que los vectores so lelmete depedetes. Eemplo -6 Demostrr que los vectores, 0, 0, 0,, 0, 0, 0, so lelmete depedetes. Solucó: 0, 0, 0 α, 0, 0 α 0,, 0 α 0, 0, 0, 0, 0 α, 0, 0 0, α, 0 0, 0, α 0,0,0 α, α, α

10 0 CPITULO ectores e R SE DE UN ESPCIO ECTORIL U bse de u espco vectorl l costtuye el meor úmero posble de vectores lelmete depedetes cpz de geerr todo el espco vectorl, los vectores, 0, 0, 0,, 0, k 0, 0, costtuye u bse de R y se l llm bse cóc de R, e, 0, 0,.,0, e 0,, 0,., 0,. e 0, 0, 0,, costtuye l bse cóc de R. Eemplo -7 Demostrr que los vectores,, k, costtuye u bse e R Solucó:, b, c R, b, c,0,0 0, b,0 0,0, c, b, c,0,0 b 0,,0 c 0,0,, b, c b ck Por lo tto culquer vector e R puede expresrse como u combcó lel de,, k sí:,,4 4k L myor ctdd de vectores lelmete depedetes que se puede defr e u Espco ectorl determ l dmesó del espco..5 PRODUCTO INTERNO, PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCLR Coocdo como o tmbé ; Se:,,,..., R b, b, b,..., b R b b b b R,..., Etoces b

11 .5 Producto Itero Propeddes: b C C Comuttv Dstrbutv de l sum vectorl c φ 0 Cceltv d e Desguldd de Swrtz Demostrcó de l propedd d :,...,... Demostrcó de l propedd e : Se y R IIII IIII cos cos 0 Cos θ por lo tto θ θ IIII IIII El lector debe probr demostrr ls propeddes, b, c. Eemplo -8 Solucó: Ecotrr el producto esclr de los vectores -, 4, -7 y 4 - k - x 4 x 4-7 x -

12 CPITULO ectores e R INTERPRETCIÓN GEOMÉTRIC DEL PRODUCTO ESCLR: E l fgur -4, plcdo l ley del coseo los ldos del trágulo que so ls orms de los vectores, teemos: θ cos plcdo l propedd d del producto esclr: IIII IIII θ cos plcdo l propedd dstrbutv θ cos Como el producto esclr es comuttvo IIII IIII θ cos IIIIIII cos θ θ Fgur -4

13 .5 Producto Itero PLICCIONES. El producto esclr srve pr determr s dos vectores so ortogoles o o. k k k k 0 k k S 0. El producto esclr srve pr ecotrr el águlo que form dos vectores. θ cos Pr ecotrr proyeccoes: Esclr ectorl θ D Proyeccó ectorl D D Proyeccó Esclr Fgur -5 D cos θ D D D D D D Proyeccó Esclr

14 4 CPITULO ectores e R D D Proyeccó ectorl Eemplo -9 Determr l proyeccó del vector, -, 7 e l dreccó P P, dode P,, 4 y P :, 5, - Solucó: D -, 5 -, ,, -5 D,, 5 0 D D ,, 5 4,84, , 7 7 D 5, COSENOS DIRECTORES DE UN ECTOR EN R S es u vector culquer e el espco fgur -6 R, etoces, Como se observ e l γ β Cos α Cos β Cos γ So los coseos drectores del vector α Fgur -6 Esto mplc que: Cos α Cos β Cos γ k

15 .6 Producto Extero 5 Se sugere l lector demostrr ls expresoes de los coseos drectores del vector. Eemplo -0 Demostrr que pr culquer vector: Cos α Cos β Cos γ Solucó: Se,, v v v v ; Cos α v v, v, v ; v v v k v v v Cos γ ; Cos β v v v v.6 PRODUCTO EXTERNO, PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO ECTORIL. R el producto extero, producto cruz o Se y dos vectores del espco producto vectorl deotdo por x, es u vector que tee como módulo o orm: x Se θ Su dreccó es perpedculr l plo formdo por los vectores y y su setdo sgue l regl de l mo derech o del torllo. Propeddes: No es comuttv b C C soctv; sempre que o se cmbe el orde

16 6 CPITULO ectores e R c C C Dstrbutv d 0 φ Cceltv e S es prlelo 0 PLICCIONES:. Pr ecotrr el vector orml otros dos plccó mportte. Pr hllr el áre del prlelogrmo que form vectores. k b b b b b b b b b bk b b k k k b k b k b k b b b k b b b bk b b k b b b,,,, b b b k x k x k k x x -k k x - x k - x x k x k 0 k Fgur -7

17 .7 Productos Trples 7 Eemplo - Determe el producto vectorl de los vectores,, 4;, -, - Solucó:,, 4 x, -, - x k 4 -,, -5 Α x Β represet o mde el áre del prlelogrmo que form los vectores ;, ver fgur -8 θ h IIII se θ re bse x h IIII x IIII seθ II x II Fgur -8.7 PRODUCTOS TRIPLES x C Producto Trple Esclr x x C Producto Trple ectorl C No Exste Cosderdo ls propeddes de los productos esclr y vectorl; exste 6 forms posbles del trple producto esclr, ests so: x C x C x C C x C x C x

18 8 CPITULO ectores e R Probemos que culquer de estos trples productos esclres es u determte; por eemplo el producto x C, b, b b C c, c c,,, C bc bc bc bc bc bc k C b c b c b c b c b c b c C c b b c b c S cmbmos el orde lo úco que ocurre es que se permut dos fls del determte y este cmb de sgo. x C o cmb e tods ls forms posbles, y represet el volume del prlelepípedo formdo por los vectores xc θ θ h C h Cosθ ol. rebse h rebse C ol. C Cosθ ol. C C Fgur -9 EJERCICIOS Pr los prmeros dez problems usr los vectores e R : 4; k; C 4k. Ecotrr IIII, IIII, IICII. ; C; - 5C

19 Eerccos Cpítulo 9. II CII 4. Co qué vlores de α es IIα II? 5. Obteg los vectores utros que teg l msm dreccó de, y C 6. Tomdo y C como vectores poscó de los putos respectvos, grfque dchos putos y compruebe gráfcmete el vector sum C 7. Determe el águlo que form los vectores co ; co C y co C 8. Ecuetre ls proyeccoes esclres y vectorles de sobre y C 9. Ecuetre los coseos drectores de, y C 0. Clcule el áre del prlelogrmo formdo por los vectores y C y el volume del prlelepípedo formdo por, y C. Determe todos los vectores utros perpedculres l plo XZ. Escrb el vector P P como combcó lel de los vectores,, k; s P :,4,7; P : 4,-,6. Se: k, - k y. Determe los esclres s, t, y r; tles que 4 6 k s t r 4. Cuáles so los coseos drectores del vector k? 5. Demuestre l detdd cos cos β cos γ 6. Ddo los vectores 4 6k;,-,, ecotrr u vector perpedculr utro estos dos. 7. Ddos los vectores,, C e b c C C R, dcr cuál de ls sguetes es fls: d / es el áre del trágulo formdo por,. e C C C

20 0 CPITULO ectores e R 8. Hllr el águlo formdo por l dgol prcpl de u cubo y u de sus crs. 9. Clcule el áre del trgulo que tee sus vértces e los putos,,4 ;,,7 ; 4,,6. 0. Ecuetre u vector de compoetes postvs, mgtud y águlos drectores gules.. S l proyeccó vectorl de u vector e l dreccó de u vector utro e es 4e, y l proyeccó vectorl de e l dreccó de e es 5e. Cuál es? : L compoete esclr de sobre e. b L proyeccó vectorl de - sobre e. c L compoete esclr de sobre e.. vergur s los vectores,0; 0,;,- so o o lelmete depedetes.. vergur s los vectores, -, 0; 0,, ;, -5, - costtuye o o u bse de R. 4. vergur s los vectores, 0, ; -,, ; 0,, - costtuye o o u bse e R. 5. Demuestre que, geerlmete, tres vectores e R so sempre lelmete depedetes. 6. Demuestre que culquer couto de vectores que coteg l vector φ es lelmete depedete.

3. Unidad Aritmética Lógica (ALU)

3. Unidad Aritmética Lógica (ALU) 3. Udd rtmétc Lógc (LU) bordremos los spectos que permte l mplemetcó de l rtmétc de u computdor, trbuto fucol de l Udd rtmétc Lógc (LU). Prmero se revstrá lo relcodo l form de represetr los úmeros como

Más detalles

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS NÚMEOROS COMPLEJOS

MATEMÁTICA LIC. Y PROF. EN CS. BIOLÓGICAS NÚMEOROS COMPLEJOS NÚMEOROS COMPLEJOS Defcó: El cojuto de los úmeros complejos es C R R {(, / R y b R} C está formdo por todos los pres ordedos de úmeros reles etre los que defmos u relcó, l guldd, y dos opercoes brs que

Más detalles

Lenguaje humano. Representación de la información. Utiliza un conjunto de símbolos alfanuméricos. Puede representar Información

Lenguaje humano. Representación de la información. Utiliza un conjunto de símbolos alfanuméricos. Puede representar Información Leguje humo Represetcó de l formcó Utlz u cojuto de símbolos lfumércos Crcteres lfbétcos:, B, C,.Z,, b, c,...z Símbolos umércos 9 sgos de putucó... Puede represetr Iformcó umérc lfumérc Leguje del ordedor

Más detalles

CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Llamamos magnitud a toda propiedad física susceptible de ser medida.

CÁLCULO VECTORIAL 1.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Llamamos magnitud a toda propiedad física susceptible de ser medida. CÁLCULO VECTORIAL.- MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Llmms mgtud td prpedd físc susceptle de ser medd. Al lr ls mgtudes físcs pdems cmprr que este ds clses e dferecds: ) Mgtudes esclres: s quells que

Más detalles

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z ) Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres

Más detalles

a es la parte real, bi la parte imaginaria.

a es la parte real, bi la parte imaginaria. CAPÍTULOIX 55 NÚMEROS COMPLEJOS Coocmetos Prevos Supoemos coocdo que: ) El cojuto de úmeros complejos está e correspodec buívoc co el cojuto de los putos de u plo. b) U úmero complejo expresdo e form boml

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. b A =, es decir, la tercera parte 3 1.- INTRODUCCIÓN

INTEGRAL DEFINIDA. b A =, es decir, la tercera parte 3 1.- INTRODUCCIÓN INTEGRAL DEFINIDA.- INTRODUCCIÓN E este tem estudremos u cocepto uevo, el de tegrl defd. Auque será ecesro defrl de form eseclmete complcd, l tegrl vee formlzr u cocepto secllo, tutvo: el de áre. Ahor

Más detalles

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1 Epresoes Algebrcs es l uó de úmeros y vrbles medte opercoes de sum, rest, multplccó, dvsó, poteccó y rdccó. Epresó lgebrc rcol: se llm sí quells e ls que ls vrbles está fectds

Más detalles

(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO INTEGRAL LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA

(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO INTEGRAL LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA (Aputes s revsó pr oretr el predzje) CÁLCULO INTEGRAL LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA Sumtor Pr represetr e form revd determdo tpo de sums, se utlz como símolo l letr greg sgm. Ejemplos.

Más detalles

GUÍA EJERCICIOS: NÚMEROS NATURALES

GUÍA EJERCICIOS: NÚMEROS NATURALES UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ÁLGEBRA FMM COORD. PAOLA BARILE M. GUÍA EJERCICIOS: NÚMEROS NATURALES PROGRESIONES ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA EJERCICIOS CON RESPUESTAS.- Verfque s ls

Más detalles

Parte 1: Fundamentos matemáticos. Parte 2: Mecánica Cuántica.

Parte 1: Fundamentos matemáticos. Parte 2: Mecánica Cuántica. INTRODUCCIÓN L MECÁNIC CUÁNTIC Prte : Fudmetos mtemátos Prte : Meá Cuát Prte : FUNDMENTOS MTEMÁTICOS Espos etorles ompleos de dmesó ft Operdores leles Represetó mtrl Proyetores utolores y utoetores Operdor

Más detalles

- Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es:

- Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es: POLINOMIOS Defcó: Fucó Polóc - Fucó Polóc f es tod fucó de doo el cojuto de los úeros reles, tl que l ge de cd úero rel es: f = + + + + +, dode,,,,, so ueros reles y es turl Defcó: Poloo - Poloo de vrble

Más detalles

Parte 1: Fundamentos matemáticos. Parte 2: Mecánica Cuántica.

Parte 1: Fundamentos matemáticos. Parte 2: Mecánica Cuántica. INTRODUCCIÓN L MECÁNIC CUÁNTIC Prte : Fudmetos mtemátos Prte : Meá Cuát Prte : FUNDMENTOS MTEMÁTICOS Espos etorles ompleos de dmesó ft Operdores leles Represetó mtrl Proyetores utolores y utoetores Operdor

Más detalles

10. Optimización no lineal

10. Optimización no lineal 0. Optzcó o lel Coceptos báscos Prcpos y teores pr l búsqued de óptos lobles Optzcó s restrccoes e desó Optzcó s restrccoes e desó > Modelos co restrccoes de uldd Codcoes de uh-tucker Alortos uércos báscos

Más detalles

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales

Universidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Los Postulados de la Mecánica Cuántica.

Fundamentos matemáticos. Los Postulados de la Mecánica Cuántica. INTRODUCCIÓN L MECÁNIC CUÁNTIC Fudmetos mtemátos Los Postuldos de l Meá Cuát FUNDMENTOS MTEMÁTICOS L Meá Cuát se desrroll e espos etorles deomdos espos de Hlert Pr omezr, repsremos reemete ls des fudmetles

Más detalles

Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton

Guía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton Aulr: Igco Domgo Trujllo Slv Uversdd de Chle Guí ejerccos resueltos Sumtor y Bomo de Newto Solucó: ) Como o depede de j, es costte l sumtor. b) c) d) Aulr: Igco Domgo Trujllo Slv Uversdd de Chle e) f)

Más detalles

En este capítulo expondremos brevemente (a modo de repaso) conceptos básicos sobre los sistemas de numeración.

En este capítulo expondremos brevemente (a modo de repaso) conceptos básicos sobre los sistemas de numeración. Arquitectur del Computdor ots de Teórico SISTEMAS DE UMERACIÓ. Itroducció E este cpítulo expodremos brevemete ( modo de repso) coceptos básicos sobre los sistems de umerció. o por secillo el tem dej de

Más detalles

TEMA III ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA MATRICIAL

TEMA III ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA MATRICIAL TE III EEENTS DE ÁGER TRICI E este tem vmos repsr los coocmetos de mtrces que predmos e cursos terores y que vmos ecestr e est sgtur. I.- TRICES Qué es u mtrz? U mtrz es u dsposcó de úmeros pr l cul este

Más detalles

CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas 8.2. Cálculo del área en

CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.1. Cálculo de áreas en coordenadas cartesianas 8.2. Cálculo del área en CAPÍTULO 8. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y MECÁNICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA 8.. Cálculo de áres e coordeds crtess 8.. Cálculo del áre e coordeds prmétrcs 8.3. Cálculo del áre e coordeds polres 8.4. Cálculo

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Matemátcas EJERCICIOS RESUELTOS: Números Complejos Elea Álvare Sá Dpto. Matemátca Aplcada y C. Computacó Uversdad de Catabra Igeería de Telecomucacó Fudametos Matemátcos I Ejerccos: Números Complejos Iterpretacó

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA INTRODUCCIÓN

INTEGRAL DEFINIDA INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN U medo potete de l vestgcó e mtemátc, físc, mecác y otrs rms de l cec es l tegrl defd. El cálculo de áres lmtds por curvs, de ls logtudes de rcos, volúmees, trjo, velocdd, espco, mometos de

Más detalles

e x Integración numérica Tema 2: Cá álculo umérico Fórmulas de cuadratura. Fórmulas de Newton-Cotes. Fórmulas del trapecio y Simpson. Errores.

e x Integración numérica Tema 2: Cá álculo umérico Fórmulas de cuadratura. Fórmulas de Newton-Cotes. Fórmulas del trapecio y Simpson. Errores. Tem : Itegrcó umérc Tem : Itegrcó ó umérc Prolem Fórmuls de cudrtur. Fórmuls de Newto-Cotes. Fórmuls del trpeco Smpso. Errores. Clculr l sguete tegrl: e d Usremos l tegrcó umérc cudo, por el motvo que

Más detalles

ÍNDICE INTRODUCCIÓN 1

ÍNDICE INTRODUCCIÓN 1 ÍNDICE INTRODUCCIÓN CAPÍTULO. NOCIONES BÁSICAS DE ÁLGEBRA DE MATRICES. Cocepto prevo. Opercoe co mtrce.. Cálculo de l trpuet de u mtrz.. Sum de mtrce.. Multplccó por u eclr.. Producto de do mtrce.. Cálculo

Más detalles

ELECCIÓN ÓPTIMA DEL PLAZO DE UN PRÉSTAMO EN FUNCIÓN DE PREFERENCIAS INDIVIDUALES

ELECCIÓN ÓPTIMA DEL PLAZO DE UN PRÉSTAMO EN FUNCIÓN DE PREFERENCIAS INDIVIDUALES ELECCÓN ÓPTM DEL PLZO DE UN PRÉSTMO EN FUNCÓN DE PREFERENCS NDVDULES Jesús Mª Sáchez Motero jsmoter@us.es Mª Ágeles Domíguez Serro doser@us.es Jver Gmero Rojs jgm@us.es Deprtmeto Ecoomí plcd Uversdd de

Más detalles

POLINOMIOS. - Ejemplo: es un polinomio ordenado segun la variable x, cuyos coeficientes son: 2

POLINOMIOS. - Ejemplo: es un polinomio ordenado segun la variable x, cuyos coeficientes son: 2 POLINOMIOS Defcó: Fucó Polóc - Fucó Polóc f es tod fucó de doo el cojuto de los úeros reles, tl que l ge de cd úero rel x es: f x = x + x + + x + x+, dode,,,,, so ueros reles y es turl Defcó: Poloo - Poloo

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN VARIABLE ALEATORIA Y FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN - INTRODUCCIÓN E este tema se tratará de formalzar umércamete los resultados de u feómeo aleatoro Por tato, ua varable aleatora es u valor umérco que correspode

Más detalles

Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1

Tema 2 Sucesiones Matemáticas I 1º Bachillerato. 1 Tem Sucesioes Mtemátics I º Bchillerto. TEMA SUCESIONES. CONCEPTO DE SUCESIÓN DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Se llm sucesió u cojuto de úmeros ddos ordedmete de modo que se pued umerr: primero, segudo, tercero,...

Más detalles

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias.

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias. Cpítulo Series Numérics y Series de Potecis.. Itroducció. E este cpítulo le dremos setido l cocepto de sum ifiit de úmeros ó serie uméric, es decir, diremos que sigific sumr u ifiidd de úmeros... 4 El

Más detalles

Supongamos que divide también a 3n + 1, entonces divide a (3n + 1) (3n 3)=4 o divide a (3n + 3) (3n + 1) = 2, entonces a = 2.

Supongamos que divide también a 3n + 1, entonces divide a (3n + 1) (3n 3)=4 o divide a (3n + 3) (3n + 1) = 2, entonces a = 2. Hojs de Problems Algebr III 8. ) Demostrr que s es r, los úmeros turles y so rmos etre s. b) Demostrr que s m, etoces l ctdd de úmeros eteros ostvos dsttos de cero que o so myores que m y que o se dvde

Más detalles

suma sucesiva de los primeros m términos como se ve a continuación m 1

suma sucesiva de los primeros m términos como se ve a continuación m 1 A veces se ecest deterr l su de uchos téros de u sucesó ft. Pr expresr co fcldd ess sus, se us l otcó de sutor. Dd u sucesó ft,,,...,... el síbolo represet l sutor o su sucesv de los preros téros coo se

Más detalles

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU

MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU MODELOS DE REGRESIÓN LINEALES Y NO LINEALES: SU APLICACIÓN EN PROBLEMAS DE INGENIERÍA Clauda Maard Facultad de Igeería. Uversdad Nacoal de Lomas de Zamora Uversdad CAECE Bueos Ares. Argeta. maard@uolsects.com.ar

Más detalles

FUNDAMENTOS DE CLASE

FUNDAMENTOS DE CLASE FUNDAMENTOS DE CLASE b c r b c Rodrgo A. Ocoró Métodos Numércos Rodrgo A. Ocoró UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI FACULTAD: INGENIERIAS PROGRAMA: INGENIERÍA DE SISTEMAS ASIGNATURA: METODOS NUMERICOS PRERREQUISITO:

Más detalles

4ª Etapa. Contaminación de Alimentos

4ª Etapa. Contaminación de Alimentos 4ª Etp Cotmcó de Almetos *Cotmcó de lmetos. Almeto cotmdo: *lterdo *Adulterdo *Geuo,etc. Tpos de Cotmcó: * Bológc * Químc * Físc 3 3 Almeto cotmdo: *Alterdo: *Cotmdo: *Adulterdo: Almeto que h sufrdo, por

Más detalles

= se cumplen todas las igualdades: Por tanto, una solución del sistema se puede considerar como un vector ( s s s s )

= se cumplen todas las igualdades: Por tanto, una solución del sistema se puede considerar como un vector ( s s s s ) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Todo problem cuyo eucdo somete úmeros descoocdos vrs codcoes, es susceptble de ser epresdo por medo de gulddes o desgulddes que form u sstem de ecucoes o ecucoes. De hí

Más detalles

Se puede observar que una partición de un intervalo lo divide en n subintervalos, y a cada uno de ellos se les llama también celda.

Se puede observar que una partición de un intervalo lo divide en n subintervalos, y a cada uno de ellos se les llama también celda. Itegrl defd. Fucó tegrle Sum de Rem Se el tervlo [, ]. E cojuto de putos: P = { 0,,......., } Dode 0 = ; = ; < ; =,,....., Se llm prtcó o red de tervlo [, ] Se puede oservr que u prtcó de u tervlo lo dvde

Más detalles

UNIVERSIDAD DE GRANADA PONENCIA DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES PONENTE: PROF. FRANCISCO JIMÉNEZ GÓMEZ

UNIVERSIDAD DE GRANADA PONENCIA DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES PONENTE: PROF. FRANCISCO JIMÉNEZ GÓMEZ UNIVERSIDD DE GRND ONENCI DE MTEMÁTICS LICDS LS CIENCIS SOCILES ONENTE: ROF FRNCISCO JIMÉNEZ GÓMEZ RUE DE CCESO R MYORES DE ÑOS CONVOCTORI DE ENUNCIDOS Y RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS ROUESTOS EN MTEMÁTICS

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS:

ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS: SUBESPACIOS FINITAMENTE GENERADOS: Teorema S G={v, v,, v } es u sstema fto de geeradores de u subespaco S V K-EV, etoces G`= {v, v,, v,w} sedo w combacó leal de vectores de G, també geera a S. Demostracó

Más detalles

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági de 9 Álger pr igeieros de l Uiversidd Alfoso X -trices y sistems de ecucioes lieles Opercioes co mtrices: A= m m B= m p p q q pq Sum: - s mtrices sumr tiee que teer

Más detalles

Repaso general de matemáticas básicas

Repaso general de matemáticas básicas Repso geerl de mtemátics básics Expoetes y rdicles Regl de l multiplicció: Cudo dos ctiddes co l mism bse se multiplic, su producto se obtiee sumdo lgebricmete los expoetes. m m Expoete egtivo U térmio

Más detalles

está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A.

está localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A. Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos RICES Y DEERINNES E V V. DEFINICIÓN DE RIZ U mtrz es u cojuto de úmeros, ojetos u operdores, dspuestos e u rreglo dmesol

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5. Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..

Más detalles

Unidad 2: SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS.

Unidad 2: SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS. Uidd : SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS. U sucesió es u cojuto ordedo de elemetos que respode u ley de formció. L sucesió suele brevirse: (,...) ( ) =,, 3,..., 3 Siedo el primer térmio, el segudo térmio,

Más detalles

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSTARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID

DELTA MASTER FORMACIÓN UNIVERSTARIA C/ Gral. Ampudia, 16 Teléf.: 91 533 38 42-91 535 19 32 28003 MADRID / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: 9 5-9 55 9 ADRID FBRRO 5 UNIVRSIDAD PONTIFIIA D SALAANA ATÁTIAS DISRTAS FBRRO 5 (TARD) PROBLA : Se cooce el siguiete comportmieto de Luis e u resturte l que v comer: - No es verdd

Más detalles

1. ÁLGEBRA LINEAL Y VECTORES ALEATORIOS

1. ÁLGEBRA LINEAL Y VECTORES ALEATORIOS . ÁLGEBRA LINEAL Y VECTORES ALEATORIOS Vetores Ortogolzó de Grm-Shmdt Mtres ortogoles Atovlores tovetores Forms dráts Vetores mtres letors Mtrz de dtos DAGOBERTO SALGADO HORTA ALGEBRA LINEAL Vetores Mtrz

Más detalles

Unidad 1 Fundamentos de Algebra Matricial Parte 1

Unidad 1 Fundamentos de Algebra Matricial Parte 1 Udd Fudetos de lger trcl Prte Dr. Ruth. gulr Poce Fcultd de Cecs Deprteto de Electróc Propedeutco 8 Fcultd de Cecs trces U trz de es u rreglo rectgulr dspuesto e regloes y colus Trgulr feror O Trgulr superor

Más detalles

ANTES DE COMENZAR RECUERDA

ANTES DE COMENZAR RECUERDA ANTES DE COMENZAR RECUERDA 00 Po tres ejemplos de úmeros reales que o sea racoales, y otros tres ejemplos de úmeros reales que o sea rracoales. Respuesta aberta. Tres úmeros reales que o sea racoales:,

Más detalles

ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº 4 ESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR

ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº 4 ESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR 7 ÁLGEBA II (LSI PI) UNIDAD Nº 4 ESPACIOS ECTOIALES ESPACIOS ECTOIALES CON PODUCTO INTEIO Fcltd de Cecs Excts y Tecologís UNIESIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTEO Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE.-

Más detalles

Diagonalización de matrices

Diagonalización de matrices Dgolzcó de mtrces L tldd de l dgolzcó de mtrces se obser e: Forms cdrátcs Sstems dámcos leles Aálss mltrdo E térmos geerles cosste e obteer mtrz dgol D prtr de mtrz A de tl mer qe D cosere ls propeddes

Más detalles

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS

TEMA 2: LOS NÚMEROS COMPLEJOS Matemátcas º Bachllerato. Profesora: María José Sáche Quevedo TEMA : LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS Relacó etre los úmeros complejos y los putos del plao. Afjo de u úmero complejo. Cojugado

Más detalles

C n i V0 V10 V'0 V'10 1.000 10 0,05 7721,73493 12577,8925 8107,82168 13206,7872

C n i V0 V10 V'0 V'10 1.000 10 0,05 7721,73493 12577,8925 8107,82168 13206,7872 9. lcúlese los vlores cl y fl de u ret dscret, medt, formd por térmos de cutí. y vlord u tto perodl del %. Dstgur los csos prepgble y pospgble. Solucó: 7.7,7 ;.77,9 ; (pospgble).7, ;.,79 ; (prepgble).....

Más detalles

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple

Una Propuesta de Presentación del Tema de Correlación Simple Ua Propuesta de Presetacó del Tema de Correlacó Smple Itroduccó Ua Coceptualzacó de la Correlacó Estadístca La Correlacó o Implca Relacó Causa-Efecto Vsualzacó Gráfca de la Correlacó U Idcador de Asocacó:

Más detalles

3. ÁLGEBRA VECTORIAL

3. ÁLGEBRA VECTORIAL 3. ÁLGEBRA VECTORIAL Ojetivo: El lumno plicrá el álger vectoril en l resolución de prolems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3.2 Cntiddes esclres y cntiddes

Más detalles

Ejercicios Resueltos de Estadística: Tema 5: Inferencia: estimación y contrastes

Ejercicios Resueltos de Estadística: Tema 5: Inferencia: estimación y contrastes Ejerccos Resueltos de Estdístc: Tem 5: Iferec: estmcó y cotrstes . S X ~ N (40,0), clculr Pr (39 X 4) pr 0. E qué tervlo se obtedrá el 95% de los resultdos? 39 40 X Pr (39 X 4) Pr ( 0 40 4 40 ) Pr(-0.363

Más detalles

1.3.6 Fracciones y porcentaje

1.3.6 Fracciones y porcentaje Ejemplo : Se hor u situció e l que ecesitmos clculr l frcció de otr frcció. Por ejemplo de. Pr u mejor iterpretció de l regl terior, recurrimos l represetció gráfic. Represetemos l frcció de Es decir:

Más detalles

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS LOS NÚMEROS COMPLEJOS por Jorge José Osés Reco Departameto de Matemátcas - Uversdad de los Ades Bogotá Colomba - 00 Cuado se estudó la solucó de la ecuacó de segudo grado ax bx c 0 se aaló el sgo del dscrmate

Más detalles

INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO

INTEGRAL DE LÍNEA EN EL CAMPO COMPLEJO INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ARRERA: Igeería Electromecáca ASIGNATURA: DOENTES: Ig. Norberto laudo MAGGI Ig. Horaco Raúl DUARTE INGENIERÍA ELETROMEÁNIA INTEGRAL DE LÍNEA EN EL AMPO OMPLEJO ONEPTOS

Más detalles

4. En los axiomas A3) y A4) observe detenidamente la posición de los cuantificadores existencial y universal, y obtenga conclusiones.

4. En los axiomas A3) y A4) observe detenidamente la posición de los cuantificadores existencial y universal, y obtenga conclusiones. Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Udd Nº : MTRICES-DETERMINNTES Defó INTRODUCCIÓN ESTRUCTURS LGEBRICS de GRUPO y de CUERPO Se G y se * u operó e G. El pr ( G ) es u grupo s y sólo s: ) * es u ley de omposó

Más detalles

los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10, se saca el mayor factor común: 10, de las letras el factor 2

los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10, se saca el mayor factor común: 10, de las letras el factor 2 CASO I: CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN ) Fctor comú moomio. Ejemplos: descompoer e fctores ) fctor comú como coeficiete de u prétesis; detro de los prétesis se escrie

Más detalles

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- I FUNTAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1

RENTABILIDAD Y RIESGO DE CARTERAS Y ACTIVOS TEMA 3- I FUNTAMENTOS DE DIRECCIÓN FINANCIERA. Fundamentos de Dirección Financiera Tema 3- Parte I 1 RENTILIDD Y RIESGO DE CRTERS Y CTIVOS TEM 3- I FUNTMENTOS DE DIRECCIÓN FINNCIER Fudametos de Dreccó Facera Tema 3- arte I RIESGO y RENTILIDD ( decsoes de versó productvas) EXISTENCI DE RIESGO ( los FNC

Más detalles

TERCER PERÍODO 2015 CASO I: CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN

TERCER PERÍODO 2015 CASO I: CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN TERCER PERÍODO 01 CASO I: CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN ) Fctor comú moomio. Ejemplos: descompoer e fctores ) fctor comú como coeficiete de u prétesis; detro de los prétesis

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA CAPITULO 28 FISICA TOMO 2. Tercera y quinta edición. Raymond A. Serway

PROBLEMAS RESUELTOS CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA CAPITULO 28 FISICA TOMO 2. Tercera y quinta edición. Raymond A. Serway PROBLEMAS RESUELTOS CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA CAPITULO 8 FISICA TOMO Tercer y qunt edcón Rymond A. Serwy CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA 8. Fuerz electromotrz 8. Resstores en sere y en prlelo 8.3

Más detalles

ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR RENTAS CONSTANTES. TEMA 5 TEMA 5: RENTAS

ADMINISTRACIÓN Y FINANZAS. GRADO SUPERIOR RENTAS CONSTANTES. TEMA 5 TEMA 5: RENTAS TEMA 5: RENTA. INTRODUCCIÓN Llmmos ret u sucesó de cptles que se hce efectvos e vecmetos peródcos. Ejemplo: lquler, slros, préstmos, etc. A cd uo de estos cptles se le deom térmos o ulddes (A. Llmmos durcó

Más detalles

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR

2. REPRESENTACIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UN VECTOR 1. INTRODUCCIÓN CÁLCULO VECTORIAL Mgnitud: Es todo quello que se puede medir eperimentlmente. Ls mgnitudes físics se clsificn en esclres ectoriles. Mgnitud esclr: Es quell que iene perfectmente definid

Más detalles

i = -1 / i = 1 se pueden calcular las raíces de índice par con cantidad subradical negativa, las que no tienen solución en IR. Ejemplos: d) 81 e) 121

i = -1 / i = 1 se pueden calcular las raíces de índice par con cantidad subradical negativa, las que no tienen solución en IR. Ejemplos: d) 81 e) 121 Los números gnros: Clse-15 En hy stucones que no tenen solucón; por ejemplo no exste nngún número cuyo cudrdo se gul -1. Pr dr solucón est stucón recurrremos l conjunto de los números mgnros, donde se

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN .5. SERIES DE FOURIER DE SENOS Y DE COSENOS. Es clro que si f SC[-,] es u fució pr, etoces (9) fx ( ) = + cosx, (CM) SERIE DE FOURIER DE COSENOS (SFC) = co () = f ( x )cos x dx, =,,,3,... Si f SC[-,] es

Más detalles

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

LA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic

Más detalles

. Si vamos calculando así las potencias n-ésimas de la unidad imaginaria, descubriremos que son cíclicas y que cada 4 términos se repiten: ( )

. Si vamos calculando así las potencias n-ésimas de la unidad imaginaria, descubriremos que son cíclicas y que cada 4 términos se repiten: ( ) Los úmeros complejos surje a ra de ecuacoes de la forma x + 0 Exste u certo paralelsmo etre este cuerpo el plao, cocretamete, lo que ha es ua correspodeca buívoca, es decr, ua relacó bectva etre C R R

Más detalles

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ESUELA TÉNIA SUPERIOR DE NÁUTIA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO OI ESKOLA TEKNIKOA UNDAMENTOS MATEMÁTIOS : ORMAS UADRÁTIAS orm blel Decó K Se E res espcos vecrles dedos sobre el

Más detalles

Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de fórmulas

Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de fórmulas Progrm del Dplom Mtemátcs NS y Amplcó de Mtemátcs NS: cuderllo de fórmuls Pr su uso durte el curso y e los eámees Prmeros eámees: 04 Publcdo e juo de 0 Orgzcó del Bchllerto Itercol, 0 5050 Ídce Coocmetos

Más detalles

51 EJERCICIOS DE VECTORES

51 EJERCICIOS DE VECTORES 51 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coorens e los vectores fijos e l

Más detalles

x x x x x Y se seguía operando

x x x x x Y se seguía operando . INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES UNIDAD : Números complejos Cuado se teta resolver ecuacoes de segudo grado como por ejemplo x 4x 0, se observa que o 4 6 5 4 6 tee solucoes reales x x, pues o exste raíces

Más detalles

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre Escuel Púlic Experimetl Descocetrd Nº Dr. Crlos Ju Rodríguez Mtemátic º Año Ciclo Básico de Secudri Teorí Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros rcioles Los úmeros rcioles so quellos que puede ser expresdos

Más detalles

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero

Vectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd

Más detalles

TEMA 8: SUCESIONES DE NÚMEROS. PROGRESIONES. a 1, a 2, a 3,, a n

TEMA 8: SUCESIONES DE NÚMEROS. PROGRESIONES. a 1, a 2, a 3,, a n TEMA 8: UCEIONE DE NÚMERO. PROGREIONE.- UCEIONE DE NÚMERO RACIONALE: U sucesió es u cojuto ordedo de úmeros reles:,,,, - Los úmeros turles se llm ídices. El subídice idic el lugr que el térmio ocup e l

Más detalles

INICIO. Elaborado por: Enrique Arenas Sánchez

INICIO. Elaborado por: Enrique Arenas Sánchez INICIO Elbordo or: Erque Ares Sáchez EL PROMEDIO El cálculo del romedo de u lst de vlores [,, K,,, ], 2 K ormlmete se clcul medte l coocd exresó: m...() U form geerl r clculr el romedo de u lst

Más detalles

Sucesiones de Números Reales

Sucesiones de Números Reales Apédice A Sucesioes de Números Reles A.. Defiicioes U sucesió de úmeros reles es u correspodeci A que soci, cd úmero turl, u úmero rel A ( ) El cojuto de los úmeros turles, cotiee ifiitos elemetos e u

Más detalles

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619

E-mail: grupociencia@hotmail.com 405 4466 Web-page: www.grupo-ciencia.jimdo.com 945 631 619 1. En el prlelogrmo mostrdo en l figur M N son puntos medios. Hlle = ++ en función de 3 + D + C +3. En l figur muestr los vectores de inscritos en un cudro de 6m de ldo. Determine el vector unitrio del

Más detalles

Tema 1: Números reales.

Tema 1: Números reales. Tem : Números reles. REALES se utiliz pr Medir mgitudes se obtiee Ctiddes todos so Números Errores viee fectds de errores Aproximcioes clses se represet Rect rel Aproximcioes decimles Redodeos Trucmieto

Más detalles

Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} TEMA Prelimires: Números y cojutos P- Números eteros: Se deomi úmeros turles (tmbié llmdos eteros positivos) los úmeros que os sirve pr cotr objetos:,,,4,5,... El cojuto de los úmeros turles se desig por

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Apédice A Sucesioes de úmeros reles Ejercicios resueltos. Está l sucesió de térmio geerl U cot iferior es pues 5 cotd? 5 5 4 4 lo cul se cumple culquier que se el úmero turl. U cot superior es pues 5 5

Más detalles

Olimpiada Costarricense de Matemáticas. II Eliminatoria Curso preparatorio Nivel B. Elaborado por: Christopher Trejos Castillo ÁLGEBRA

Olimpiada Costarricense de Matemáticas. II Eliminatoria Curso preparatorio Nivel B. Elaborado por: Christopher Trejos Castillo ÁLGEBRA Olimpid Costrricese de Mtemátics II Elimitori 011 Curso preprtorio Nivel B Elbordo por: Christopher Trejos Cstillo ÁLGEBRA Iicimos demostrdo dos resultdos que puede ser importtes pr resolver problems olímpicos.

Más detalles

VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3

VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R 2 Y R 3 Profesionl en Técnics de Ingenierí VECTORES, PLANOS Y RECTAS EN R Y R 3 1. Puntos en R y R 3 Un pr ordendo (, ) y un tern ordend (,, c) representn puntos de IR y IR 3, respectivmente.,, c, se denominn

Más detalles

Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos

Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos CIICp VLORES Y VECTORES PROPIOS Los vlores y vectores propios se cooce tmié como eigevlores y eigevectores. Estos vlores y vectores propios se utiliz geerlmete e sistems lieles de ecucioes homogéeos que

Más detalles

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria

Matemáticas 1 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesiones numéricas. Elena Álvarez Sáiz. Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación. Universidad de Cantabria Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Sucesioes umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Sucesioes umérics Sucesioes

Más detalles

MATRICES DE NÚMEROS REALES

MATRICES DE NÚMEROS REALES MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m

Más detalles

TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL

TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL Te Álgebr Liel Mteátics TEMA. ÁLGEBRA LINEAL - VECTORES DE R Defiició R {(,,..., )/,,..., R } (-tupls de os reles ordeds) Defiios e este cojuto opercioes: Su () Pr culesquier eleetos, (,,..., ), (y,y,...,y

Más detalles

MATEMÁTICA 4º. Prof. Sandra Corti

MATEMÁTICA 4º. Prof. Sandra Corti L rdccón de se negtv e índce pr no tene solucón en el conjunto de los números reles ( 4; 25, 16, etc.), y que no exste nngún número rel que elevdo un potenc pr dé por resultdo un número negtvo. Se defne

Más detalles

FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x)

FÓRMULA DE TAYLOR 1. Introducción formula de Taylor Brook Taylor 2. Objetivos Aproximación de funciones por polinomios f(x) P(x) f(x) FÓRMULA DE TAYLOR. Itroducció Los poliomios igur etre ls ucioes más secills que se estudi e Aálisis. So decuds pr trjr e cálculos uméricos por que sus vlores se puede oteer eectudo u úmero iito de multipliccioes

Más detalles

Números Reales y Complejos

Números Reales y Complejos Apéndce C Números Reles y Complejos C.. Los números reles Suponemos conocdo el conjunto de los números reles. Vmos defnr y estudr en lgunos conceptos como relcones de orden, ntervlos, cots y vlor bsoluto.

Más detalles

CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS

CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios MEMÁICS BÁSICS DEERMINNES CONCEPO DE DEERMINNE DEFINICIÓN Se u mtriz cudrd de orde. Se defie como ermite de (deotdo como,

Más detalles

CAPITULO 2º FUNCIONES DE VECTORES Y MATRICES_01. Ing. Diego Alejandro Patiño G. M.Sc, Ph.D.

CAPITULO 2º FUNCIONES DE VECTORES Y MATRICES_01. Ing. Diego Alejandro Patiño G. M.Sc, Ph.D. CPIULO 2º FUNCIONES DE VECORES Y MRICES_ Ig. Dego lejadro Patño G. M.Sc, Ph.D. Fucoes de Vectores y Matrces Los operadores leales so fucoes e u espaco vectoral, que trasforma u vector desde u espaco a

Más detalles

PROBLEMAS DE VARIABLE COMPLEJA. 1.-Demuestre que el inverso aditivo de todo número complejo z es único

PROBLEMAS DE VARIABLE COMPLEJA. 1.-Demuestre que el inverso aditivo de todo número complejo z es único PROBLEMAS DE VARIABLE COMPLEJA -Demuestre que el iverso ditivo de todo úmero compleo es úico Solució Supogmos que existe más de u iverso ditivo de Se esos iversos distitos Etoces * * * * = + + = + + =

Más detalles

VECTORES INGENIERO: PERCY ALFREDO AGRAMONTE LIMACHE

VECTORES INGENIERO: PERCY ALFREDO AGRAMONTE LIMACHE FILIL - REQUIP VECTORES INGENIERO: PERCY LFREDO GRMONTE LIMCHE En el tem nteror hímos menondo qe ls mgntdes físs según s ntrle peden ser lsfds omo eslres o etorles MGNITUD ESCLR: Es qell mgntd qe qed en

Más detalles

TEMA 2. Métodos iterativos de resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

TEMA 2. Métodos iterativos de resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales TEMA : Métodos tertvos de resolucó TEMA. Métodos tertvos de resolucó de Sstems de Ecucoes Leles. Métodos tertvos: troduccó Aplcr u método tertvo pr l resolucó de u sstem S A = b, cosste e trsformrlo e

Más detalles

2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

2.1 SUCESIONES 2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Sucesoes. SUCESIONES. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA Objetvos: Se pretede que el estudte: Determe covergec o dvergec de sucesoes. Alce Mootoí de sucesoes. Coozc ls propeddes de l otcó sgm. 5 Sucesoes.. SUCESIONES..

Más detalles

Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de fórmulas

Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS: cuadernillo de fórmulas Progrm del Dplom Mtemátcs NS y Amplcó de Mtemátcs NS: cuderllo de fórmuls Pr su uso durte el curso y e los eámees Prmeros eámees: 04 Edcó de 05 (. versó) Orgzcó del Bchllerto Itercol, 0 5050 Ídce Coocmetos

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática

1 Ce.R.P. del Norte Rivera Julio de 2010 Departamento de Matemática Notas para el curso de Fundamentos de la Matemática Ce.R.P. del Norte Rvera Julo de Departameto de Matemátca Notas para el curso de Fudametos de la Matemátca CONGRUENCIAS NUMÉRICAS Y ECUACIONES DE CONGRUENCIA. RECORDANDO CONCEPTOS: La cogrueca es ua relacó

Más detalles