GUÍA EJERCICIOS: NÚMEROS NATURALES

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1 UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ÁLGEBRA FMM COORD. PAOLA BARILE M. GUÍA EJERCICIOS: NÚMEROS NATURALES PROGRESIONES ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA EJERCICIOS CON RESPUESTAS.- Verfque s ls sguetes progresoes so Artmétcs, y clcule l dferec e cso de que lo se.,,7,,... Sol.: SI d b,,,... Sol.: NO c,,,,... Sol.: SI d d,,,,,... Sol.: SI d e,,,,,... Sol.: SI d.- Ecotrr l P.A. sbedo que : d / Sol.: P.A. :, /,,7/,,... b - d Sol.: P.A. : -,,,,... c Sol.: P.A. :,,,,, d - Sol.: P.A. : -,-,,,,,....- Hllr el º térmo de l P.A.,,,... Sol.: b º térmo de l P.A.,,,... Sol.: c 7º térmo de l P.A.,,,... Sol.: - d º térmo de l P.A. 7,,-,... Sol.: -.- Determe l sum de los : Prmeros térmos de l P.A.,,,... Sol.: b Prmeros térmos de l P.A. 7,-,-,... Sol.: c Prmeros 7 térmos de l P.A.,-,,... Sol.: d Prmeros térmos de l P.A.,,,... Sol.:.- Los tres águlos de u trgulo está e P.A. de dferec º. Ecuétrelos. Sol.: º,º,º.- Hllr los cutro ldos de u cudrlátero, sbedo que está e P.A. de dferec mt y que su perímetro es mt. Sol.:,,, 7.- L sum de tres térmos cosecutvos de u P.A. es y l sum de sus cudrdos es. Determe cuáles so los úmeros. Sol.:,,,.- L sum de cutro térmos cosecutvos de u P.A. es y l sum de sus cudrdos es 7. Cuáles so los úmeros? Sol.:,,,.- El quto térmo de u P.A. es y el oveo es. Hllr el octvo térmo. Sol.:.- U perso v m el prmer dí y e cd dí posteror m meos de lo que recorró el dí teror. Cuáto hbrá recorrdo l cbo de dís? Sol.: m..- Crlos compró lbros. Por el prmero pgó $ y por cd uo de los demás $ más que el teror Hllr el mporte de l compr. Sol.: $

2 .- Verfque s ls sguetes progresoes so Geométrcs, y clcule l rzó e cso de que lo se.,,,... Sol.: SI r b,,,,... Sol.: SI r c,,,,... Sol.: NO d,,,,... Sol.: SI r e,,,,,-7,-,... Sol.: NO.- Ecotrr l P.G. sbedo que : r / Sol.: P.G. :,,,/ b - r Sol.: P.G. :,,7, c r Sol.: P.G. : 7,7/,7/,7/7 d 7 r /.- Hllr el º térmo de l P.G.,,, Sol.: b º térmo de l P.G., 7,... Sol.: - c º térmo de l P.G.,-, -,... Sol.: - d º térmo de l P.G,-,,... Sol.: -.- Hllr l sum de los prmeros térmos de l P.G.,,,... Sol.: b Los prmeros térmos de l P.G.,,-7,... Sol.: c Los prmeros térmos de l P.G.,,,.. Sol.: d Los 7 prmero térmos de l P.G.,,-,... Sol.: -.- Hllr el producto de los prmeros térmos de l P.G.,,,... Sol.: 7.- L rzó de u P.G. es y el quto térmo es. Hllr el prmer térmo. Sol.:.- El seto térmo de u P.G. es y l rzó es. Hllr el prmer térmo. Sol.:.- El quto térmo de u P.G. es y el prmer térmo es. Hllr l rzó. Sol.:.- L sum de tres térmos cosecutvos de u progresó geométrc es y su producto es 7. Hllr los úmeros. Sol.:,, PROBLEMAS PROPUESTOS:.- Determe: y S e l P.A.,,,... b y S 7 e l P.A., -,,... 7 c y S e l P.A.,,,....- El curto térmo de u P.A. es y el décmo es. Clcule l dferec y el tercer térmo..- L sum de tres úmeros de u P.A. es y el producto del prmero por el tercero es Cuáles so los úmeros?.- Cuátos térmos de P.A.,,,... debe cosderrse pr que sume?.- Determe tres úmeros de u P.A. tles que su sum se 7 y su producto.- Determe de modo que,, 7 esté e P.A. 7.- Determe:

3 y S 7 e l P.G.,,,... b y S e l P.G.,,,... c y S e l P.G.,,,....- E u P.G. ddos r y S 7, Clcule y 7.- El tercer térmo de u P.G. es y el séptmo térmo es, clcule l rzó y el prmer térmo de dch P.G..- Clcule l sum de los prmeros térmos de l P.G.,,....- U perso rred u pez e u pesó durte el ño. Acuerd co l dueñ reustr l ret mes mes e u ctdd f. El rredtro clcul que deberá pgr $. ules y que e el mes de dcembre deberá ccelr $.. Cuál fue l ret de Eero? b Cuál es el moto del reuste corddo?.-u dvduo covee e pgr u deud de $. e pgos prcles ules que form u P.A. Cudo de los pgos está cubertos, el duedor fllece dedo u tercer prte de l deud s ccelr. Clcule el vlor del prmer pgo..-a u empledo u empres A le ofrece u ret de $. ules co u umeto de $. ules, por u perodo de ños. Otr empres B, por el msmo perodo de tempo, le ofrece $. y ules u umeto de $. por ño Cuál ofrecmeto es más coveete pr el empledo?.- U cuerpo l cer recorre metros e el prmer segudo. S e cd segudo l dstc recorrd umet e, veces, de que ltur ce este cuerpo se demoró segudos e tocr el suelo.-u pelot de hule ce de u ltur de metros y rebot scededo cd vez hst u curt prte del sceso teror. Clculr l dstc totl recorrd por l pelot cudo peg e el suelo por set vez.

4 SUMATORIA EJERCICIOS RESUELTOS.- Clculr: Sol.:.7.- Clculr [ ] Sol.: [ ] 7.- Clculr Sol.:

5 .- Clculr el vlor de s se sbe que. Sol.:.- Clculr e fucó de. Sol.: [ ] [ ] TELESCÓPICA.- Clculr Sol: TELESCOPICA 7.- Clculr [ ] e fucó de Sol : [ ] [ ] [ ] [ ] % [ ] [ ] [ ] % [ ] [ ]

6 PROBLEMAS PROPUESTOS:. Clculr [ ]. Clculr [ ] e fucó de. Clculr e fucó de. Clculr e fucó de dccó : cosderr l detdd y plcr telescópc.. Clculr e fucó de y. Clculr 7. Clculr e fucó de INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROBLEMAS RESUELTOS..- Demostrr que,..., IN Sol : S pd : Pd E efecto :

7 . etoces u [ ],... IN. es dvsble por IN TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON. PROBLEMAS RESUELTOS.- E el desrrollo de, determr: El curto térmo. El coefcete de. El térmo depedete de. Solucó: Se tee, T represet u térmo culquer del desrrollo. Luego, 7 el curto térmo, T se obtee pr. Luego T. El coefcete de es pr u vlor de, tl que. El coefcete de es. El térmo depedete de es pr u vlor de tl que. El térmo depedete de es. E el desrrollo de, ecotrr el térmo depedete de, s se sbe que el coefcete del tercer térmo es myor que el coefcete del segudo térmo e uddes. Solucó: Coefcete tercer térmo: ; Coefcete seg.térmo:

8 Como IN. Luego o El térmo depedete de es dode es tl que. Flmete el térmo depedete de es..- Determr el vlor de pr que los qutos térmos de y se gules. Solucó: El quto térmo de es El quto térmo de es Luego..- Demostrr que IN Solucó: Teorem de Bomo: b. S b :. QED.

9 .- E el desrrollo de b, determr l codcó que debe cumplr pr que est el térmo depedete de. Solucó: b b b El térmo depedete de se obtee pr quel vlor de tl que. Como.,,,,... l codcó sobre es que debe ser múltplo de..- Determr el coefcete de e el desrrollo de Solucó: IN Luego, el coefcete de es PROBLEMAS PROPUESTOS..- Verfque s se cumple ls sguetes gulddes: b.- E cd cso, ecuetre el vlor de que stsfce l codcó dd. b

10 c.- Desrrolle: b 7 d b y c.- Determe: y d y El curto térmo de: y b El térmo cetrl de: c Los térmos cetrles de: d El térmo cetrl e:.- Determe el térmo depedete de e el desrrollo de: b c.- Determe: El coefcete de e el desrrollo de b El coefcete de e el desrrollo de c El coefcete de e el desrrollo de d El coefcete de 7 e el desrrollo de e El coefcete del térmo que está e l poscó e el desrrollo de :