10. Optimización no lineal

Transcripción

1 0. Optzcó o lel Coceptos báscos Prcpos y teores pr l búsqued de óptos lobles Optzcó s restrccoes e desó Optzcó s restrccoes e desó > Modelos co restrccoes de uldd Codcoes de uh-tucker Alortos uércos báscos Coceptos báscos Proble eerl de prorcó o lel (PN): zr o zr zf( 2... ) (obetvo) S.A. ( 2... ) / / b 2 ( 2... ) / / b 2... (restrccoes) ( 2... ) / / b Proble de prorcó o lel o restrdo: PN s restrccoes Reó fctble: couto de putos que stsfce ls restrccoes. Solucó ópt de u PN tpo zr: puto de l reó fctble que stsfce f() f() pr todo de l reó fctble.

2 Etreos locles Pr u PN u puto fctble ( 2... ) es u áo (ío) locl s pr u ε sufceteete pequeño culquer puto fctble ( 2... ) verfcdo - <ε stsfce f() ( ) f( ) U puto que es u áo o ío locl se ll etreo locl o reltvo Fucoes cócvs y coves (I) U fucó f ( 2... ) es u fucó estrctete cove (cócv) e u couto coveo S s pr culesquer S dsttos f(c +(-c) ) < (>) cf( )+(-c)f( ) pr 0 < c <. Teore Se cosder u PN co reó fctble S cove. Etoces s el proble es de có (zcó) y l fucó f es estrctete cócv (cove) e S etoces culquer áo (ío) locl del PN es u solucó ópt de este proble.

3 Fucoes cócvs y coves(ii) Teore 2 S f () este pr culquer e u couto coveo S etoces f() es u fucó cove (cócv) e S s y sólo s f () ( ) 0 pr todo de S Teore 3 S f ( 2... ) tee dervds prcles de seudo orde cotus pr cd puto ( 2... ) de u couto coveo S etoces f() es u fucó estrctete cove (cócv) e S s y sólo s su trz Hess es defd postv (etv) e S Fucoes cócvs y coves (III) 2 A 3 M M M M 2 H k 3 M k M k M k 3 k 2k 3k M kk k 2 Teore Supoos A sétrc. A es defd postv s y sólo s det(h k )>0 pr k2 A es sedefd postv s y sólo s det(h k ) 0 pr k2 A es defd etv s y sólo s so(det(h k ))(-) k pr k2 A es sedefd etv s y sólo s so(det(h k ))(-) k ó0 pr k2 A es defd s det(a) 0 y A o cuple u de ls frcoes terores

4 Prcpos y teores pr l búsqued de óptos lobles. Teore de Weerstrss (codcó sufcete de solucó) Se el proble eerl de prorcó teátc: optzr F() defd e D R sueto S s XD S es copcto (cerrdo y cotdo) y o vcío y l fucó obetvo es cotu etoces dch fucó posee u áo y u ío lobl e X. Teore locl-lobl S F es cotu y X coveo etoces: S F es cócv e X etoces todo áo locl es lobl S F es cove e X etoces todo ío locl es lobl Adeás s F es estrct el ópto es úco Optzcó s restrccoes e desó Mzr o zr f() f cotu e [b] Pr ecotrr l solucó ópt de este proble buscos prero todos los áos (o íos) locles. solucó ópt será el áo locl (o ío) co el yor (o eor) vlor de f(). S - ób el proble puede o teer solucó. Hy tres tpos de putos que puede ser áo o íos locles: Putos estcoros de f: <<b y f ()0 Putos dode o este f () Putos etreos del tervlo [b]

5 Optzcó s restrccoes e desó Teore S f (0)0 y f (0)<(>)0 etoces 0 es u áo (ío) locl. Teore S f (0)0 y. S l prer dervd o ul e 0 de f es de orde pr etoces 0 o es u etreo locl 2. S l prer dervd o ul de f e 0 es postv y de orde pr etoces 0 es u ío locl 3. S l prer dervd o ul de f e 0 es etv y de orde pr etoces 0 es u áo locl Métodos uércos pr desó Método de búsqued drect Idetfcr el tervlo de certdubre que cluye el ópto detfcr Reducr el tño del tervlo de certdubre hst ecotrr el ópto Método de búsqued de putos crítcos S l fucó obetvo es dervble trtos de loclzr los putos e los que se ul l dervd utlzdo por eeplo el étodo de Newto

6 Métodos uércos pr desó Búsqued dcotóc (pr áos) Pr fucoes uodles sobre u tervlo [b] (fucoes pr ls que este u puto e [b] tl que f es crecete e [] y decrecete e [b]) Defr dos putos 2 sétrcete co respecto y b de odo que los tervlos [2] y [b] se superpo e u tervlo de lotud. Evlur f() y f(2). S f() > f(2) debe estr etre y 2 2. S f() < f(2) debe estr etre y b 3. S f()f(2) debe estr etre y 2 Repetr el proceso e el tervlo e el que se ecuetr hst que se sufceteete pequeño Métodos uércos pr desó Método de Newto Pr resolver l ecucó () 0 dervble Eler u vlor cl (0) Clculr pr k0... ( k ) ( k + ) ( k ) ( ) ( k ) ' ( ) Terr cudo (k+) - (k) < ε S es cotu el étodo covere cudrátcete cudo (0) está sufceteete próo u ríz sple de.

7 Optzcó s restrccoes e deso> Mzr o zr f ( 2... ) S. A. ( 2... ) R Supoeos que este ls dervds prcles de prer y seudo orde de f y que so cotus. Teore S es u etreo locl del PN etoces pr... se verfc f ( ) 0 es decr es u puto estcoro U puto estcoro que o es etreo locl es u puto de sll. Optzcó s restrccoes e deso> Teore S es u puto estcoro de f y H k ()>0 k2... (eor prcpl de orde k de l trz hess de f) etoces es u ío locl pr el PN. Teore S es u puto estcoro de f y H k () tee el so so que (-) k k2... etoces es u áo locl pr el PN. Teore S es u puto estcoro de f H () 0 y o se stsfce ls hpótess de los teores terores etoces es u puto de sll pr el PN.

8 Método del rdete Váldo pr optzr fucoes que so dferecbles cotuete dos veces. Ide: eerr putos sucesvos e l dreccó del rdete de l fucó Métodos: Método de Newto Método del desceso ás rápdo Método de Newto Resolver utlzdo el étodo de Newto el sste de ecucoes Método de Newto pr sstes Pr resolver l ecucó F(X)0 F co dervds prcles de prer orde Eler u vlor cl X0 Clculr ( k+) ( k ) ( k ) k X f ( X ) 0 X JF Repetr hst que X(k)-X(k-) < ε ( ) ( X ) F( X )

9 Método del sceso ás rápdo Pr zr f(x) Eler X(0) Clculr X(k+) X(k)+t(k) f(x(k)) sedo t(k) l solucó del proble zr f(x(k)+t f(x(k))) S.A. t 0 Repetr hst que X(k+)-X(k) < ε Modelos co restrccoes de uldd Optzr f( 2... ) sueto (... )b... (<) Puede utlzrse dos téccs: Susttucó: se despe vrbles e ls restrccoes y se susttuye e l fucó obetvo. Este étodo puede dr lur errores s se cosder putos e los que l fucó obetvo o ls restrccoes o está defds Método de re: se costruye u fucó s restrccoes de odo que los óptos de l fucó orl se ecuetr e los putos crítcos de l fucó de re

10 Multplcdores de re. ro: cluye u uev vrble (ultplcdor lro) por cd restrccó : ( ) f ( ) ( ( ) b ) Codcó ecesr de optzcó: ecotrr los putos crítcos del lro ( ) f b 0 0 Multplcdores de re. Teore (Cod. Necesr) S el ro del cobo de ls restrccoes e es (cod. de reulrdd) y es u ópto locl del proble etoces este u tl que ( ) es puto crítco de l fucó de re. Teore (Cod. Sufcete) Se ( ) u puto crítco de l fucó de re. Etoces S F es cócv e X y X es u couto coveo etoces es áo lobl del proble orl S F es cove e X y X es u couto coveo etoces es ío lobl del proble orl

11 Codcó sufcete de optzcó Costruos l trz y ls trces que result de qutrle es trz ls últs p fls y colus p Pr cd puto crítco obteeos ls trces A 0 A...A -- : S el so del deterte de A p cocde co (-) pr todo p el puto crítco es u ío locl estrcto del proble S el so del deterte de A p cocde co (-) -p pr todo p el puto crítco es u áo locl estrcto del proble ( ) ( ) ( ) J Hess M M M M H J J T 0 Búsqued de íos S l fucó o es cócv cove los putos óptos puede estr e el teror o e el cotoro de l reó fctble. S l fucó es cócv los íos sólo puede lczrse e el cotoro de l reó fctble s ést es cove y copct. S l fucó es cove el ío puede estr e u puto teror o e el cotoro. Se puede utlzr el suete procedeto uque s rtís de lczr l solucó ópt: Deterr el ío locl s restrccoes: s stsfce ls restrccoes éste es el ío lobl E otro cso cosderos u restrccó y resolveos el proble co el étodo de susttucó o de re. S el ío clculdo de est for stsfce ls restrccoes: ópto lobl s o se ñde u uev restrccó y se repte el proceso

12 Codcoes de uh-tucker. Mzr f( 2... ) S.A. ( 2... ) b 2 ( 2... ) b 2... ( 2... ) b Sólo so plcbles s ls fucoes stsfce l codcó de reulrdd: Restrccoes lelete depedetes: cotus y los rdetes e l solucó ópt for u sste de vectores lelete depedete Codcoes de uh-tucker. Pr u proble de zcó s (... ) es u solucó ópt etoces debe stsfcer ls restccoes del proble y deás debe estr los ultplcdores 2... tles que ( ) ( ) f [ b ( )]

13 Codcoes de uh-tucker. Pr u proble de zcó s (... ) es u solucó ópt etoces debe stsfcer ls restccoes del proble y deás debe estr los ultplcdores 2... tles que ( ) ( ) ( ) [ ] b f Codcoes de uh-tucker. Mzr f( 2... ) S.A. ( 2... ) b S (... ) es u solucó ópt del proble teror etoces debe stsfcer ls restrccoes del proble y deás debe estr los ultplcdores 2... µ µ 2.µ tles que ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) f b f µ µ

14 Codcoes de uh-tucker. Mzr f( 2... ) S.A. ( 2... ) b S (... ) es u solucó ópt del proble teror etoces debe stsfcer ls restrccoes del proble y deás debe estr los ultplcdores 2... µ µ 2. µ tles que ( ) ( ) + [ b ( )] 0 f f ( ) ( ) µ 0 µ Codcoes sufcetes S f es u fucó cócv y so fucoes coves los putos que stsfce ls codcoes de uh-tucker so solucoes ópts del proble de zcó. S f es u fucó cove y so fucoes coves los putos que stsfce ls codcoes de uh-tucker so solucoes ópts del proble de zcó.

15 Alortos uércos báscos. Métodos de pelzcó y brrer Fucoes de pelzcó: fuerz l coverec hc l reó fctble (lorto de puto eteror) Fucoes de brrer: fuerz perecer detro de l reó fctble (lorto de puto teror) Método de pelzcó Pr pror l solucó de u proble de optzcó o lel del tpo: Optzr f( 2... ) sueto (... )b... se cosder l solucó del proble s restrccoes Optzr f()+p(p) dode P ( p ) p ( ( ) b ) co p>0 s el proble es zr y p<0 s el proble es zr 2 Al obteer el vlor ópto de l fucó de pelzcó se cuplrá que s p tede fto etoces () tede b.

16 Alorto de pelzcó Pr el proble de zcó Eler u secuec { p k } por eeplo Pr cd p k ecotrr u ío locl k de f()+p(p k ) Terr cudo P(p k k )/ p k se sufceteete pequeño Método de ls dreccoes fctbles. Pr resolver zr zf() S.A. A b 0: Eler 0 solucó fctble. Se d 0 solucó de zr z f( 0 ) d S.A. Ad b d 0 Eler 0 +t 0 (d 0-0 ) sedo t 0 l solucó de zr f( 0 +t 0 (d 0-0 )) 0 t 0 Cotur eerdo putos hst que k y k- esté sufceteete próos.