3.- Solución de sistemas de ecuaciones lineales

Transcripción

1 .- Solució de sistes de ecucioes lieles U siste de ecucioes lieles e icógits tiee l for geerl: (.) L solució de estos sistes de ecucioes lieles ls podeos ctlogr segú l tl. Siste de ecucioes lieles A Rgo A rgo B Rgo A = rgo B Icosistete Rgo A = Cosistete Rgo A < Si solució Solució úic Núero ifiito de solucioes Tl. Solucioes de sistes de ecucioes lieles E este curso os efocreos resolver los sistes de ecucioes lieles cosistetes co solució úic, es decir Rgo de A =.. Eliició de Guss Cosidérese el siguiete couto de ecucioes: [ w 4 y z=5 ] 4w 4 y 6z= w 5y z=9 4w 6y z=

2 L prier tre es eliir l icógit w. Lo cul se logr restdo u últiplo decudo de l ecució () de cd u de ls ecucioes (), () y (4) pr sí oteer ls siguietes ecucioes 5 6y z= 6 9/ yz=/ / 7 04y 5z=8 4 Ahor el prole se h reducido tres ecucioes co tres icógits. Al repetir este procediieto se otiee dos ecucioes co dos icógits, después u ecució co u icógit, l cul puede resolverse de iedito. w y z RHS SUMA () () () (4) (5) 6-6 ()-*() (6) - 9/ - / 6 ()-/*() (7) (4)+*() (8) (6)+/*(5) (9) 5/ 9/ 9 (7)-5/*(5) (0) 4 6 (9)- /*(8) y=/ 7 z =, =/6 yz =, w=/ 54 yz = Esto coplet l solució de ls ecucioes.. Algorito. Algorito: Dtos N= No. de ecucioes, A= Mtriz coeficiete, y vector de térios idepedietes.. Hcer DET=. Hcer I=. Mietrs I N- repetir psos 4 l 4 4. Hcer DET=DET*A(I,I) 5. Si DET = 0 ipriir ese Hy u cero e l digol pricipl y terir, de otro odo cotiur. 6. Hcer K = I + 7. Mietrs K N repetir los psos 8 l

3 8. Hcer J = I + 9. Mietrs J N repetir los psos 0 y 0. Hcer A(K,J)=A(K,J) A(K,I)*A(I,J)/A(I,I). Hcer J=J+. Hcer (K)(K) A(K,I)*(I)/A(I,I). Hcer K=K+ 4. Hcer I=I+ 5.Hcer DET=DET *A(N,N) 6.Si DET = 0 ipriir ese Hy u cero e l digol pricipl ) y terir, de otro odo cotiur. 7.Hcer (N) =(N)/A(N,N) 8.Hcer I=N- 9.Mietrs I repetir los psos Hcer (I)=(I). Hcer J=. Mietrs J N repetir los psos y 4. Hcer (I)=(I) A(I,J)*(J) 4. Hcer J = J+ 5. Hcer (I)=(I)/A(I,I) 6. Hcer I=I- 7.Ipriir y DET y terir. Eliició de Guss co pivoteo Desfortudete el utilizr el couto de ecucioes pivotes que escogios puede fllr si e est. Hcer DET=. Hcer R=0. Hcer I= 4. Mietrs I N- repetir psos 5 l 5. Ecotrr PIVOTE(eleeto de yor vlor solute e l prte relevte de l colu I de A) y P l fil dode se ecuetr PIVOTE 6. Si PIVOTE = 0 ipriir ese Mtriz sigulr, siste si solució, e cso cotrrio cotiur 7. Si P = I ir l pso 0, de otro odo relizr los psos 8 y Itercir l fil I co l fil P. 9. Hcer R= R + 0. Hcer DET=DET *A(I,I).Relizr los psos 6 l del lgorito terior.hcer I= I +. Hcer DET=DET *A(N,N)*(-)**R 4.Relizr los psos 7 6 del lgorito terior 5.Ipriir y DET y terir Al resolver u siste de ecucioes lieles por eliició, l eori de áqui requerid es proporciol l cudrdo del orde de A, y el tro coputciol es proporciol l cuo del orde de l triz coeficiete A. Deido esto, l solució de sistes lieles grdes (>50), co trices coeficietes dess (pocos ceros coo eleetos), se vuelve costoso y difícil e u coputdor co los étodos de eliició, y que se requiere de ucho espcio de eori; sí coo de el úero de opercioes que se dee relizr es uy grde.

4 Métodos itertivos Los étodos itertivos ás secillos y coocidos so u geerlizció del étodo de puto fio. Est técic se puede plicr pr relizr étodos pr deterir l solució de A (.) A prtir de l ecució (.) se puede oteer l ecució vectoril siguiete A = 0 (.) L cul correspode f() = 0 e el étodo de puto fio. Pr resolver f() e dicho étodo se propoe oteer u g() =, de er que osotros uscos u triz B y u vector c tl que: = B + c (.4) se u rreglo de l ecució (.), Es decir que l solució de u se tié solució de l otr. L ecució.4 correspoderí = g(). Así coo e el étodo de puto fio, quí tié se propoe u vlor iicil (0) coo prier proició l vector solució. Luego se clcul l sucesió vectoril (0), (),, de l siguiete er: dode ( + ) ( ) = B + c, = 0,,,... (.5) ( ) = [... ] T (.6) Pr que l sucesió (0), (),, (),, cover l vector solució es ecesrio que evetulete,, se proie tto,, que tods ls diferecis -, se eores que u vlor pequeño previete fido, y que se coserve eores pr todos los vectores siguietes de l iterció; es decir : li = (.7) L for coo se lleg l ecució.4 defie el lgorito y su covergeci. Ddo el siste A=, l er ás secill es desper de l prier ecució, de l segud, etc. Pr ello, es ecesrio que todos los eleetos de l digol pricipl de A, se distitos de cero. Eeplo Se el siguiete siste de ecucioes

5 co, y distitos de cero. Se despe de l prier ecució, de l segud y de l tercer co lo que se otiee: = = (.8) = Que e otció tricil qued: = = = (.8).4 Método de Jcoi Método de Jcoi = i + i ii = i + i.5 Método de Guss-Seidel, pr i (.8) i + = i + i + ii = = + + i i, pr i (.8)