c, se ha demostrado que el método converge cuando se cumple alguna de las siguientes condiciones:

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1 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Met.Itertivos: covergeci y GS Fech Diciembre Autor Césr Meédez Ferádez Ejercicio.- Se dese resolver por u método itertivo el sistem liel Ax b del que se cooce ls siguietes crcterístics sobre sus coeficietes: i j i i i, i, co i, i, j ji b dode ls costtes, y so coocids. () (b) (c) Demostrr que el método de cobi es covergete. Obteer, depediedo de, y, el úmero de itercioes ecesris pr obteer u error meor que prtiedo de x. Relizr itercioes excts del método de cobi pr resolver el sistem 9 x x 7 x 5 Acotr el error cometido utilizdo l y comprrlo co el error rel sbiedo que x=(.5, -.5,.5). (d) Qué se puede decir e el sistem terior sobre l covergeci del método de Guss-Seidel?. Aprtdo () Covergeci del método Ddo u método itertivo de l form k x x k c, se h demostrdo que el método coverge cudo se cumple lgu de ls siguietes codicioes: k A. x :lim x x= - b lim < pr lgu orm mtricil () < - Los vlores de y c del método de cobi, est ddos por D L U y c - D b, esto es, SLMI_Ejr.doc

2 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Met.Itertivos: covergeci y GS Fech Diciembre Autor Césr Meédez Ferádez y por tto j ji y c b b b b j mx i i, lo que demuestr que el método es covergete. i i Aprtdo (b) Número de itercioes Ddo u método itertivo pr el que, se tiee l siguiete cotció del error cometido x x x x k k Como x, etoces x x c c y x x c. Por tto c mx b i bi i mx i i i i mi i i Pr grtizr que k k se debe verificr que x x k k c k k log log c, esto es Aprtdo (c) Aplicció 9 x Ddo el sistem x 7 se tiee que x 5 El cálculo de ls sucesivs itercioes viee ddo por k k 9 x x 6 x 7 x 6 x 5 x 6 Tomdo x se v obteiedo y c SLMI_Ejr.doc

3 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Met.Itertivos: covergeci y GS Fech Diciembre Autor Césr Meédez Ferádez 9 9 x 6 6 x x x x x x x x El error rel será por tto x x Pr cotr el error se utiliz l relció x x x x k k mx,, x x c y l cot vedrá dd por xx.8 56 dode cuyo vlor es muy superior l error rel obteido. Puesto que se cooce l solució exct, tmbié se podrí hber utilizdo l expresió k k xx xx xx x.65 Aprtdo (d) Método de Guss-Seidel 6 De ls codicioes iiciles se observ que l mtriz es de digol estrictmete domite, por lo que el método de Guss-Seidel tmbié será covergete. Es más, puesto que l mtriz es. tridigol, podemos comprobr que P GS SLMI_Ejr.doc

4 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Met.Itertivos: covergeci y GS Fech Diciembre Autor Césr Meédez Ferádez GS 6 P GS GS 8 SLMI_Ejr.doc

5 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Covergeci GS co mtrices DD Fech Diciembre Autor Césr Meédez Ferádez Ejercicio.- Demostrr que el método de Guss-Seidel es covergete cudo l mtriz del sistem es de digol domite y hy l meos u fil co digol estrictmete domite. Aprtdo () Covergeci del método Se v demostrr por iducció, supoiedo que l fil co digol estrictmete domite es - B= D L U l primer, prtir de l expresió de l mtriz de iterció N= A co DL B B mx, puesto que N=, tmbié A co y por tto B y el método es covergete. DL B Clculdo los máximos por fils se lleg que B y el método es covergete. N= SLMI_Ejr.doc

6 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Covergeci GS co mtrices DD Fech Diciembre Autor Césr Meédez Ferádez A co DL dode, Comezmos clculdo y B Y usmos el resultdo pr obteer los máximos por fils SLMI_Ejr.doc

7 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Covergeci GS co mtrices DD Fech Diciembre Autor Césr Meédez Ferádez se lleg que B y el método es covergete. Flt demostrr l iducció (supuesto verificr pr +) SLMI_Ejr.doc

8 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Ejemplo x cobi y Guss Seidel Fech Febrero Autor Césr Meédez Ferádez Ejercicio.- Ddo el sistem liel X b () (b) (c) (d) Clculr ls mtriz de iterció de cobi y su rdio espectrl. Cuáts itercioes so ecesris pr obteer u error meor que. utilizdo l orm o ifiito? Clculr ls mtriz de iterció de Guss y su rdio espectrl. Cuáts itercioes so ecesris pr obteer u error meor que. utilizdo l orm o ifiito? Seleccior justificdmete el método itertivo más decudo. Obteer el vector c del método itertivo selecciodo de form que l solució se el vector (,,) T. Defiir el codiciomieto de u sistem liel y su iterpretció. Aprtdo () Método de cobi A prtir de l descomposició A DL U, dode D, L y U se obtiee l mtriz de iterció de cobi como D LU El poliomio crcterístico se obtiee hciedo P x xi x Por tto tiee u vlor propio ulo úico de multiplicidd tres y su rdio espectrl e meor que, lo que implic que el método de cobi es covergete. Clculdo ls orms de l mtriz de iterció, mx,, mx,, Puesto que mbs so myores que l uidd, o es posible plicr l relció xx x x SLMI_Ejr.doc

9 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Ejemplo x cobi y Guss Seidel Fech Febrero Autor Césr Meédez Ferádez Si embrgo, plicdo el teorem de Cyley-Hmilto, se lleg que P Utilizdo etoces l relció obtiee e tres itercioes. Aprtdo (b) Método de Guss-Seidel x x x x L mtriz de iterció de Guss-Seidel se obtiee como. se observ que l solució exct se - G DL U El poliomio crcterístico se obtiee hciedo G P x xi x x G Por tto sus vlores propios so y, co multipliciddes respectivs de y. El rdio espectrl de l mtriz es y el método de Guss-Seidel es divergete. No tiee setido hblr de úmero de itercioes. Aprtdo (c) Selecció del método A l vist de los rdios espectrles, se seleccio el método de cobi, que coverge y d l solució exct e tres itercioes. El de Guss Seidel qued descrtdo l o ser covergete. Pr obteer el vector c teemos dos ltertivs. Obteció de c medite el cálculo previo del vector b b Ax c D b 5. Obteció direct de c medite l fórmul del método itertivo x xcci x 5 Aprtdo (d) Codiciomieto Ddo u sistem A x b se defie el codiciomieto de l mtriz del sistem, segú l orm p, l vlor cod A p A A. El codiciomieto de u sistem mide l sesibilidd, p p de l solució del sistem ls vricioes de los coeficietes del sistem o del segudo miembro. Así, cudo el codiciomieto es bjo, pequeñs vricioes de los coeficietes puede producir pequeñs modificcioes de l solució. Por el cotrrio, pequeñs vricioes de los coeficietes puede origir cmbios muy importtes de l solució cudo el SLMI_Ejr.doc

10 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Ejemplo x cobi y Guss Seidel Fech Febrero Autor Césr Meédez Ferádez codiciomieto es lto. E los sistems co éste tipo de codiciomieto, el residul, defiido como r ba x o es u bue idicdor de l clidd de l ríz. SLMI_Ejr.doc

11 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Tridigol co Fctorizció y cobi Fech uio Autor Césr Meédez Ferádez Ejercicio.- Dd l mtriz A () (b) (c) Demostrr por iducció que todos los determites priciples so positivos cudo >, y por tto, plicdo criterio de Silvester, l mtriz es defiid positiv. Dds ls crcterístics de l mtriz, seleccior justificdmete el método de fctorizció más decudo. Aplicrlo cudo A. Obteer l mtriz de iterció de cobi. Demostrr que el método coverge cudo >, Cómo serí el método cudo =7/ y A? Aprtdo () Mtriz defiid positiv El meor pricipl de orde de l mtriz A viee ddo por A A A A Vmos demostrr por iducció que j j A A A y A A A A A A y A A A 5 A A A A y A A A A SLMI_Ejr.doc

12 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Tridigol co Fctorizció y cobi Fech uio Autor Césr Meédez Ferádez y e geerl A A A A A A A A A Aprtdo (b) Selecció del método de fctorizció Puesto que l mtriz es defiid positiv, el método de fctorizció más decudo es el de Choleski. Aplicmos este método u mtriz de orde. l ll ll l l l l T A LL l l l l ll l l ll ll l l l l ll ll ll l l l Pltedo el sistem y despejdo l l ll l ll l l l l L ll ll l l l l l Aprtdo (c) Mtriz de iterció de cobi k k Ddo u método itertivo de l form x x c, se h demostrdo que el método coverge cudo se cumple lgu de ls siguietes codicioes: k A. x :lim x x= - b lim < pr lgu orm mtricil () < - El vlor de l mtriz de iterció del método de cobi se expres como D L U. y por tto y el método coverge pr >. Cudo =7/, se tiee que 8 7, lo que NO permite segurr su covergeci, pero SLMI_Ejr.doc

13 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Tridigol co Fctorizció y cobi Fech uio Autor Césr Meédez Ferádez y x P x x x x x 9, sí pues el método es covergete.. Por tto, 9 y SLMI_Ejr.doc

14 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Ejemplo x cobi y Guss Seidel Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez b b b Ejercicio. Ddo el sistem liel b X b () (b) (c) Qué relció debe hber etre y b pr que el sistem dmit solució úic? Clculr ls mtrices de iterció de cobi y de Guss Seidel. Determir l covergeci de los métodos de cobi y Guss-Seidel cudo se tom y b. Obteer simismo su rdio espectrl. (d) E cso de coverger el método de cobi co y b, cuáts itercioes so ecesris pr obteer u error meor que. utilizdo l orm? y l ifiito? (e) E cso de coverger el método de Guss-Seidel co y b, cuáts itercioes so ecesris pr obteer u error meor que. utilizdo l orm? y l ifiito? Aprtdo () Relció etre y b Pr que l solució se úic, el sistem debe ser regulr, esto es, A A b b b b b b b b b b Aprtdo (b) Mtrices de iterció de cobi y Guss-Seidel A prtir de l descomposició A DLU, dode D, L b y U b b se obtiee l mtriz de iterció de cobi como - b = D LU b b SLMI_Ej5r.doc

15 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Ejemplo x cobi y Guss Seidel Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez De form álog, l mtriz de iterció de Guss-Seidel viee dd por - = b G b DL U bb b b b b b G bb bb Aprtdo (c) Covergeci de cobi y Guss-Seidel co y b Sustituyedo por los vlores ddos, se tiee - b = D LU b b b b b b 6 8 G bb bb Comezmos comprobdo si ls orms más secills de ls mtrices de iterció so iferiores uo. Empezmos co l orm : G,, mx,,, 6, 8 mx,9, Como se puede ver l orm es myor que l uidd e mbos csos. Probmos co l orm ifiito G,, mx,,,, 6 8 mx,5, Puesto que igu permite segurr l covergeci, ecesitmos clculr el rdio espectrl, pr lo cul comezmos obteiedo el poliomio crcterístico: SLMI_Ej5r.doc

16 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Ejemplo x cobi y Guss Seidel Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez, i 6.75,.67 i.659 P x xi x x,5,.96,.96 P x xi x x x G G Se puede observr que e mbos csos el rdio espectrl es myor que uo, y por tto los métodos o coverge. Aprtdo (d) Número de itercioes de cobi El método de cobi es divergete. No tiee setido hblr de úmero de itercioes. Aprtdo (e) Número de itercioes de Guss-Seidel El método de Guss-Seidel es divergete. No tiee setido hblr de úmero de itercioes. SLMI_Ej5r.doc

17 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Ejemplo x Comprció Itertivos Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez Ejercicio.- Ddo el sistem liel Ax=b, () (b) x y Seleccior el método itertivo más decudo Clculr el úmero de itercioes pr logrr u error (respecto prtiedo del vector ulo. ) meor que -5, Aprtdo () Crcterizció de A: L mtriz del sistem es simétric y defiid positiv. Esto se puede ver medite su poliomio crcterístico: PA ( ) AI 68; ( A) {, } o bie cosiderdo que es de digol domite. Puesto que l mtriz es simétric, defiid positiv y de digol domite, todos los métodos itertivos estudidos v coverger. Cosideremos cd uo de ellos: ACOBI D ( L U ) ; ( ) {, }; GAUSS-SEIDEL G ( D L) U ; ( G ) {, 9}; G 9 Not: este cálculo es iecesrio, pues l ser l mtriz tridigol y defiid positiv, sbemos que ) S.O.R. ( G S ( ) D ( ) ( ) ( ) (( ) ) L D U D L D U ( ) 9 SLMI_Ej6r_.doc

18 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Ejemplo x Comprció Itertivos Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez Puesto que l mtriz es tridigol y defiid positiv, se tiee que el vlor óptimo del prámetro de reljció viee ddo por op 8, y el rdio espectrl por mi j s op. O bie, se clcul los vlores propios de l mtriz y se busc el vlor pr el cul el rdio espectrl es míimo. x x x 6x6 ( S ) { x } 8 8 Sustiyuyedo este vlor, se lleg 7 6, 9, S 98 56,, 88 ( ) { 7, 7 } {, 9,, 9};, 758 S El método más decudo será pues el de reljció pr el vlor ddo de o, e su defecto, el de Guss-Seidel. Relizmos elgus itercioes co los tres métodos. Iterció cobi Guss-Seidel S.O.R. óptimo (; ) (; ) (; ) (,666667; -,666667) (,666667; -,888889) (,6869; -,979) (,888889; -,888889) (,9696; -,98765) (,9897; -,9966) (,9696; -,9696) (,995885; -,99868) (,9995; -,99988) (,98765; -,98765) (,9995; -,99988) (,99997; -,99999) 5 (,995885; -,995885) (,99999; -,99998) (,999999; -.) 6 (,99868; -,99868) (,99999; -,999998) 7 (,9995; -,9995) 8 (,99988; -,99988) 9 (,99999; -,99999) (,99998; -,99998) (,99999; -,99999) S Aprtdo (b) Número de Itercioes: El úmero máximo de itercioes ecesris pr que el error se meor que u ddo se clcul como: L x x x x x x L SLMI_Ej6r_.doc

19 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Ejemplo x Comprció Itertivos Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez de dode, G L, 75, 97 L(, 75) 5 L L 5,,, 5. L L G, 7 y SLMI_Ej6r_.doc

20 Asigtur Cálculo Numérico Pági de 5 Tem Sistems Lieles Mteri Itertivo x prmetros y GS Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez Ejercicio.- Ddo el sistem liel Ax=b, b b b b b x b b x x b () Clculr l mtriz de iterció del método de cobi y determir su poliomio crcterístico, determido prtir de él los vlores propios. Qué relció debe existir etre los coeficietes y b pr que el método itertivo de cobi se covergete?. (b) Tomdo =, b=, clculr ls mtrices de iterció de cobi y Guss Seidel. Cuál de los dos métodos coverge más rápido? Determir u cot del úmero de itercioes ecesris e cd método pr que, prtiedo del vector ulo, se segure que el error es meor que u milésim medido co l. (c) Tomdo =, b=, clculr ls mtrices de iterció de cobi y Guss Seidel. cuál de los dos métodos coverge más rápido?. Determir u cot del úmero de itercioes ecesris e cd método pr que, prtiedo del vector ulo, se segure que el error es meor que u milésim medido co l. Aprtdo () Mtriz de cobi L mtriz de iterció del método de cobi viee dd por b b D ( LU) b b. b b Clculdo su poliomio crcterístico se tiee P x j xi x b x b Aplicdo rufii, se tiee - b b. b - b b b b b SLMI_Ej7r_.doc

21 Asigtur Cálculo Numérico Pági de 5 Tem Sistems Lieles Mteri Itertivo x prmetros y GS Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez b b - b b b b - Los vlores propios so b doble y b simple., y el rdio espectrl es por tto b. Pr que el método se covergete es ecesrio que, y por tto es preciso que b. Aprtdo (b) Cso =, b= L mtriz de iterció del método de cobi viee dd por ( ) D L U cuyo poliomio crcterístico es x xi x x tiee Los vlores propios so P, j doble y Repitiedo el proceso pr Guss-Seidel, se tiee que simple., y el rdio espectrl es por tto. Aplicdo rufii, se. SLMI_Ej7r_.doc

22 Asigtur Cálculo Numérico Pági de 5 Tem Sistems Lieles Mteri Itertivo x prmetros y GS Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez ( ) G D L U P 8 G 7 El poliomio crcterístico viee ddo por x xi x x x rices so y i. Clculdo el rdio espectrl se obtiee el vlor.., cuys El método que coverge más rápido es quel co meor rdio espectrl, lo que coduce l método de Guss-Seidel. Pr clculr el úmeo de itercioes de cd método, utilizmos l cotció vist e l teorí: L x x x x x x L Pr poder plicr l fórmul es ecesrio clculr l primer iterció del método. E mbos csos se tiee que x x c Puesto que x () es el vector ulo, se tiee que x () = c. Clculemos pues los vlores de c y l orm pr mbos métodos: cobi: c D b c, y como se tiee que L L G.-Seidel: L L cg ( D L) b cg , y como G se tiee que 7 Si se reliz los cálculos, se observ que ls cots teriores so muy grosers, pues l covergeci pedid se lcz co cobi e siete itercioes, y e seis co Guss.Seidel. SLMI_Ej7r_.doc

23 Asigtur Cálculo Numérico Pági de 5 Tem Sistems Lieles Mteri Itertivo x prmetros y GS Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez Aprtdo (c) Cso =, b= L mtriz de iterció del método de cobi viee dd por ( ) D LU, cuyo poliomio crcterístico es P 6 x j xi x x. Aplicdo rufii, se tiee Los vlores propios so doble y simple., y el rdio espectrl es por tto superior uo, el método o covergerá l solució del sistem, Repitiedo el proceso pr Guss-Seidel, se tiee que. Al ser G ( DL) U = El poliomio crcterístico viee ddo por P 8 8 x G xi x x x., cuys 7 7 rices so y i 5 8. Clculdo el rdio espectrl se obtiee el vlor. 7 Pr clculr el úmero de itercioes de cd método, utilizmos l cotció vist e l teorí: x x x x L x x L SLMI_Ej7r_.doc

24 Asigtur Cálculo Numérico Pági 5 de 5 Tem Sistems Lieles Mteri Itertivo x prmetros y GS Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez Pr poder plicr l fórmul es ecesrio clculr l primer iterció del método. E mbos csos se tiee que x x c Puesto que x () es el vector ulo, se tiee que x () = c. Clculemos pues los vlores de c y l orm pr mbos métodos: cobi: fórmul., y como o se puede plicr l - c D b c SLMI_Ej7r_.doc

25 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Itertivo tri. prmetros y GS Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez Ejercicio.- Ddo el sistem trigulr X b () (b) Demostrr que los métodos de cobi y Guss-Seidel obtiee l solució exct e lo sumo psos pr culquier de orde. Qué codicioes debe cumplir el sistem pr que el método de reljció coverj pr culquier vlor del prámetro de reljció?. Clculr el úmero de psos requeridos por cobi y Guss-Seidel pr proximr l solució del siguiete sistem co u error meor que -, prtiedo del vector ulo. 6 5 x 6 (c) Qué método de fctorizció serí el más decudo pr este tipo de sistems?. Aprtdo () Demostrció de covergeci Dd u mtriz regulr culquier, co térmios o ulos e l digol, los métodos itertivos estudidos l descompoe como A DL U siedo: i j j j i i j j i i j j i i j D L U i i i i j i j i j Y trsform el sistem iicil e u sistem de puto fijo Axb DLU x b x x c Al ser l mtriz del sistem trigulr superior, se tiee que L=, por tto l mtriz y el vector de iterció se reduce e mbos csos : SLMI_Ej8r_.doc

26 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Itertivo tri. prmetros y GS Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez ACOBI c D b D L U D U GAUSS-SEIDEL DL U D U c DL b D b Los sucesivos térmios de los métodos itertivos de resolució de sistems viee defiidos por x x x c Geerdo l sucesió de vectores x x c x x c x c c x I c I I I x x c x c c x c I x x c x c c x c x x c x I x x c x c E mbos métodos se tiee que: D U Teiedo e cuet el teorem de Cyley-Hmilto por el que tod mtriz verific su ecució crcterístic: I c SLMI_Ej8r_.doc

27 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Itertivo tri. prmetros y GS Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez I Sustituyedo e ls relcioes teriores: i x = x I c c i i = I i x x c c x Qued sí demostrdo que e lo sumo psos se obtiee l solució exct. E el método de reljció se tiee: DL DU I D U c D L b D b Así pues. El método será covergete si Aprtdo (b) Número de itercioes, por tto. Del prtdo terior, y que l mtriz del sistem es trigulr superior, se tiee que e mbos métodos: x x c D Ux D b luego coseguirá proximr l solució del sistem co u error meor de - e el mismo úmero de psos. Comezmos clculdo ls mtrices del método: 6 6 y 6 D D U D U, c D b 6 Pero ls orms secills hbitules 6, so myores que uo, y por tto o es posible relizr l cotció del úmero de itercioes. El clculr l otr orm hbitul T 75 8 tmpoco permitirí utilizr l cot. Por tto o podemos cotr el úmero de itercioes, si bie sbemos que l plicció del teorem de Cyley-Hmilto os idic que l solució exct se lcz e itercioes. Relizdo ls itercioes prtiedo del vector ulo SLMI_Ej8r_.doc

28 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Itertivo tri. prmetros y GS Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez x x c x xc x x c x x c 6 Y como cbí esperr x x c x 6 Ls diferecis etre ls sucesivs itercioes os muestr x xx, x x x, x x x, x x x que er ecesrio hcer cutro itercioes pr que el error, co culesquier de ls tres orms hbitules, fuer iferior l milésim. Aprtdo (c) Selecció del método de fctorizció El método de fctorizció más decudo pr este tipo de sistems es el de Doolitle: A x b L U x b dode L es trigulr iferior de digol uidd y U es trigulr superior, obvimete e uestro cso l fctorizció y está hech, siedo L l mtriz idetidd y U l mtriz A del sistem. SLMI_Ej8r_.doc

29 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Trid+DPx: Ivers e itertivos y SOR Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez Ejercicio.- Ddo el sistem liel Ax=b, x y z 7 () Obteer el codiciomieto del sistem utilizdo (El cálculo de l ivers se debe relizr utilizdo el método de Guss-ord) (b) Obteer l mtriz de iterció del método de cobi y lizr su covergeci. Relizr dos itercioes prtiedo del vector ulo. A l vist de los resultdos, cuál será el comportmieto del método de Guss-Seidel?. (c) Clculr, utilizdo el método de cobi, el úmero de itercioes pr logrr u error (d) (respecto ) meor que -5, prtiedo del vector ulo. Existe lgú vlor pr el cul el método de reljció es covergete?. E cso firmtivo, obteer el vlor óptimo y clculr el rdio espectrl correspodiete. ) Ivers y codiciomieto del sistem L mtriz del sistem es tridigol, simétric y de digol estrictmete domite, y por tto, defiid positiv. Esto tmbié se puede ver medite su poliomio crcterístico: x PA x AxI x = x x= xx 6x7 x A.5858,.,. Por tto todos los métodos itertivos estudidos v coverger. Comezmos clculdo l ivers medite Guss-ord F F F F F F F F F F 8 F 8 F 8 F F F 8 F SLMI_Ej9r_.doc

30 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Trid+DPx: Ivers e itertivos y SOR Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez F F F F F 7 F F F A Puesto que j j A mx mx,5, 5 A mx,, se tiee que i i A, 5 5 A A b) Mtrices de cobi y covergeci A prtir de l descomposició A DLU, dode D, L y U se obtiee l mtriz de iterció de cobi y el vector idepediete - = - D LU c = D b 7 Al ser l mtriz de digol estrictmete domite, tto el método de cobi como el de Guss-Seidel so covergetes. Esto se comprueb fácilmete observdo que mx,,. Relizmos ls itercioes pedids SLMI_Ej9r_.doc

31 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Trid+DPx: Ivers e itertivos y SOR Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez x x c x x c x Al ser l mtriz tridigol y defiid positiv (ver los utovlores clculdos), sbemos que G, por lo que cofirmmos de uevo que Guss-Seidel tmbié es covergete. c) Método de reljció Al ser l mtriz defiid positiv, el método coverge pr,. Puesto que tmbié es tridigol, se tiee que el vlor óptimo del prámetro de reljció viee ddo por optimo Lo que exige clculr el rdio espectrl de l mtriz de cobi x P x = 9 xi x x x x x x,.7 9 optimo.67, y el rdio será optimo optimo.67 d) Numero de itercioes El úmero máximo de itercioes ecesris pr que el error se meor que u ddo se clcul como: l x x xx x x l Obteemos los vlores ecesrios SLMI_Ej9r_.doc

32 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Sistems Lieles Mteri Trid+DPx: Ivers e itertivos y SOR Fech uio 7 Autor Césr Meédez Ferádez mx,, x x c 7 5 l 6 l.7 l l Se ecesit l meos 5 itercioes SLMI_Ej9r_.doc

33 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Autor Sistems Lieles (Itertivos x y GS) Césr Meédez Ferádez Ejercicio.- Ddo el sistem liel X b () (b) (c) (d) Clculr ls mtriz de iterció de cobi y su rdio espectrl. Cuáts itercioes so ecesris pr obteer u error meor que. utilizdo l orm o ifiito? Clculr ls mtriz de iterció de Guss y su rdio espectrl. Cuáts itercioes so ecesris pr obteer u error meor que. utilizdo l orm o ifiito? Seleccior justificdmete el método itertivo más decudo. Obteer el vector c del método itertivo selecciodo de form que l solució se el vector (,,) T. Defiir el codiciomieto de u sistem liel y su iterpretció. Aprtdo () Método de cobi A prtir de l descomposició A DLU, dode D, L y U se obtiee l mtriz de iterció de cobi como - = D LU El poliomio crcterístico se obtiee hciedo P x xi x Por tto tiee u vlor propio ulo úico de multiplicidd tres y su rdio espectrl e meor que, lo que implic que el método de cobi es covergete. Clculdo ls orms de l mtriz de iterció, mx,, mx,, Puesto que mbs so myores que l uidd, o es posible plicr l relció SLMI_Ejr.doc

34 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Autor Sistems Lieles (Itertivos x y GS) Césr Meédez Ferádez x x x x Si embrgo, plicdo el teorem de Cyley-Hmilto, se lleg que P. Utilizdo etoces l relció x x xx se observ que l solució exct se obtiee e tres itercioes. Aprtdo (b) Método de Guss-Seidel L mtriz de iterció de Guss-Seidel se obtiee como - = G DL U El poliomio crcterístico se obtiee hciedo G I P x x x x G Por tto sus vlores propios so y, co multipliciddes respectivs de y. El rdio espectrl de l mtriz es y el método de Guss-Seidel es divergete. No tiee setido hblr de úmero de itercioes. Aprtdo (c) Selecció del método A l vist de los rdios espectrles, se seleccio el método de cobi, que coverge y d l solució exct e tres itercioes. El de Guss Seidel qued descrtdo l o ser covergete. Pr obteer el vector c teemos dos ltertivs. Obteció de c medite el cálculo previo del vector b b Ax c D b 5. Obteció direct de c medite l fórmul del método itertivo x xcc= Ix 5 Aprtdo (d) Codiciomieto Ddo u sistem A x b se defie el codiciomieto de l mtriz del sistem, segu cod A p A A. El codiciomieto de u sistem, p p l orm p, l vlor mide l sesibilidd de l solució del sistem ls vricioes de los coeficietes del SLMI_Ejr.doc

35 Asigtur Cálculo Numérico Pági de Tem Autor Sistems Lieles (Itertivos x y GS) Césr Meédez Ferádez sistem o del segudo miembro. Así, cudo el codiciomieto es bjo, pequeñs vricioes de los coeficietes puede producir pequeñs modificcioes de l solució. Por el cotrrio, pequeñs vricioes de los coeficietes puede origir cmbios muy importtes de l solució cudo el codiciomieto es lto. E los sistems co éste tipo de codiciomieto, el residul, defiido como r b A x o es u bue idicdor de l clidd de l ríz. SLMI_Ejr.doc