Luego diremos que las raíces o soluciones de la ecuación planteada son 1 3; 2. 2o que los ceros de la función f( x) x x 6 son 1 3; 2

Transcripción

1 ECUACIONES NO LINEALES Dd u fució o ul f :, resolver l ecució f( ) es hllr los vlores que ul dich fució. A dichos vlores se les deomi ríces o solucioes de l ecució, o tmié ceros de l fució f ( ). Los métodos de resolució de ecucioes y sistems de ecucioes se clsific e directos e iterdos. Los métodos directos os proporcio l solució medite u úmero fiito de opercioes elemetles, mietrs que los iterdos produce u sucesió covergete l solució del prolem. Defiició : Dd l ecució ( ) Diremos que es u ríz de l ecució f( ) si y solo si f ( ). f, dode l fució está defiid y es cotiu e el itervlo,. Ejemplo : Determir ls ríces de l ecució 6 Solució: Como se puede oservr uestr fució es f( ) 6, si clculmos ls ríces trvés de u método directo serí resolver l ecució de segudo grdo u otro método serí fctorizr el triomio, es decir, 6 Luego diremos que ls ríces o solucioes de l ecució plted so ; o que los ceros de l fució f( ) 6 so ;, ddo que f y f ( ). Esto se muestr e l figur siguiete. f ( ) 6 f ( ) f () El cálculo proimdo de ls ríces reles de f( ), se efectú e dos etps: i) Seprció de ríces. Estlecer los itervlos más pequeños posiles, que coteg u y solo u ríz de f( ). ii) Mejorr los vlores de ls ríces proimds. Mipulrlos hst que represete el grdo de ectitud requerido.

2 Teorem : Si u fució cotiu sume vlores de sigo opuesto e los etremos de u itervlo,, es decir f( ) f( ), etoces el itervlo cotedrá l meos u ríz de f( ). Esto es eiste, tl que f ( ). por lo meos u úmero Ejemplo : Determir el úmero de ríces de l ecució f ( ) Solució: Primero licemos l gráfic de est fució plicdo ls técics de l derivd. f f ( ) '( ) Iguldo cero l primer derivd pr determir los vlores críticos (es decir, dode l curv tiee u máimo o u míimo) f '( ) Por tto eiste dos vlores críticos ; Clculdo l segud derivd se tiee f ''( ) 6, luego evludo los vlores críticos se tiee: 6 Si f '', por tto e eiste u míimo y su vlor es f( ), Si f '', por tto e eiste u máimo y su vlor es f( ), Por tto l gráfic de est fució se muestr e l figur siguiete f ( )

3 Como se puede oservr e l grfic est ecució tiee u sol ríz rel. Tmié de l gráfic se puede oservr que el itervlo más pequeño cuyos etremos so úmeros eteros que cotiee l ríz es, Pr justificr est situció podemos plicr el Teorem e l form siguiete: f ( ) ( ) 85 f ( ) Luego, se tiee f( ) f ( ) ( 5)() 5 f( ) f( ) Por tto l ríz perteece l itervlo,. Oservció : Es coveiete veces sustituir f( ) por u ecució equivlete (por lo que tiee ls misms ríces). Esto es f ( ) h( ) g( ) dode ls fucioes h y g so más secills de grficr que f, etoces ls sciss de los putos de itersecció de ls gráfics de h y g so ls ríces deseds. Alicemos el ejemplo terior plicdo este método, ddo que f ( ), etoces como f( ) podemos propoer ls siguietes fucioes h ( ) y g( ), cuys gráfics so meos complicds de relizr, como se muestr e l figur siguiete: f ( ) h ( ) g ( ) Como se puede oservr el vlor de l scis del puto que itersect el eje X de l fució f ( ), es l mism que el puto de itersecció de ls curvs h ( ) y g( ), por tto podemos decir que est form de grficr pr determir ls ríces reles de u ecució es

4 stte opertivo y fcilit l visulizció e u form más secill y rápid que el método trvés de l derivd, como se muestr e el siguiete ejemplo. Ejemplo : Determir el úmero de ríces de l ecució e. Solució: Como se vio e el ejemplo si plicmos ls técics de l derivd el trjo es muy lrgo pr coocer el úmero de ríces reles y si trtmos de resolver l ecució plted, os ecotrmos co l siguiete prolemátic e e /l l Como se puede ver result u ecució igul o más complicd que l iicil pr determir los vlores de ls ríces reles, etoces podemos hcerlo e form gráfic, se h ( ) e y g( ) que result ser dos fucioes fáciles de grficr, como se muestr e l figur siguiete: g ( ) h ( ) e Como se puede oservr e l figur terior eiste dos ríces reles, ls cules podemos verificr trvés del teorem. U de ls ríces reles es l cul perteece l itervlo cerrdo ; ddo que: f() e () y f() e (), 87876, por tto: f() f() () (,87876),87876 f() f() ; L otr ríz que se oserv e l gráfic es que perteece l itervlo ;, pliquemos el teorem pr verificr est firmció: f() e (), y f() e (),895699, por tto, luego f() f() ;. Este álisis se cofirm si oservmos l grfic de l fució f ( ) e, e l siguiete figur. 4

5 f ( ) e Ahor lizremos los métodos uméricos más importtes pr resolver ecucioes o lieles, los cules so: El método de Bisecció, El método de Iterció o Puto fijo y El método de Newto. MÉTODO DE BISECCIÓN Supogmos que ( ) determir u ríz de ( ) y f ( ) f ( ). Pr deemos determir el puto medio del itervlo el cul es, evludo este vlor e l fució se tiee: i) Si f, etoces es l ríz desed. f dode f es u fució cotiu e, f e, ii) Si f, etoces hciedo, m, m, m se otiee dos itervlos, de tl mer que: Si f ( ) f ( m), etoces f( m) f( ), supogmos que este se el cso, etoces, luego sigdo y m,, este itervlo se divide por l mitd y se procede e form álog l terior. Gráficmete esto se ve sí: se otiee el siguiete itervlo 5

6 Al co de cierto úmero de itercioes tedremos l ríz ect de f( ) o u sucesió,,,,, cd vez más reducidos, tl que: ifiit de itervlos iv) Si f( ) f( m ), m, luego costruimos u uevo itervlo el cul será y m, de lo cotrrio ( f( ) f( m ) ) diremos que m y Se el úmero de decimles ectos que se quiere proimr l ríz de l ecució dd, por ( ) tto u criterio de prd será E 5, hor el prolem rdicrí e clculr el úmero de itercioes que se tedrí que relizr pr oteer el úmero de decimles ectos pedidos. Oservemos el siguiete esquem: f( ) f( ) (,, ) El tmño de cd itervlo es ;,,,, 4,.... Como los putos etremos,,,, form u sucesió cotd moóto o decreciete y los etremos derechos,,,, form u sucesió cotd o creciete, etoces eiste u límite comú: Ahor, lim( ) lim lim lim lim f( ) f( ) f lim f lim f f f f Esto es, es l ríz que etreg el método de l isecció pr f( ) Algoritmo. Dd u fució f ( ) cotiu sore el itervlo, y tl que f( ) f( ). i) Clculmos el puto medio del itervlo trvés de m,,, ii) Si f( m ), etoces el vlor de l ríz es m iii) Si f( m ), etoces tedremos dos itervlos tles que:,, m m,, etoces m m 6

7 Cudo plicmos el método de Bisecció, primero clculmos el puto medio del itervlo, cuyo vlor es m, y su logitud es, si supoemos que l ríz de l ecució perteece l itervlo, m,, etoces deemos clculr el puto medio de este itervlo cuyo vlor será m y su mplitud es, reemplzdo l logitud del itervlo,, e est últim iguldd se tiee: 4 De est mer se otiee que el tmño de cd itervlo es ddo por y utilizdo el criterio de prd etoces teemos que: ( ) E 5 Como se puede oservr de l epresió terior podemos despejr, el cul idicrá el úmero de itercioes. log E E loglog E E log Ejemplo : Dd l ecució e, determir: ) Gráficmete sus ríces reles y cotrls e itervlos de eteros cosecutivos. ) El error después de siete itercioes trvés del Método de Bisecció. Solució: ) Se f( ) e g( ) e h( ), grficdo ests dos últims dos fucioes otedremos ls ríces reles e form gráfic. g ( ) e h ( ) 7

8 Como se puede oservr e l gráfic eiste u sol ríz rel, l cul perteece l itervlo ;, u justificció de est firmció es trvés de Teorem f() e f() e,78 f() f(),78 Por tto eiste u sol ríz e el itervlo ; ) Aplicdo el Método de Bisecció se tiee: m f f m f f m m m,5 - -, ,5,5,75 -,75696, ,5,5,75,65 -,75696, ,65 4,5,65,565 -, ,7876 +,5 5,565,65,5975 -,7876,7546 -,565 6,565,5975,5785 -,7876,694 -,785 7,565,5785,575 -,7876,878 -,965 8,565,575, ,7876 -,58 + Como se puede oservr e el cudro terior E,965,5 5 5 Por tto Luego podemos segurr que l solució de l ecució es,57 co dos cifrs decimles ectos. MÉTODO DE ITERACIÓN PUNTO FIJO Como se pudo ver teriormete u método de iterció cosiste e crer u sucesió covergete l solució de u prolem Defiició : U fució f : se dice cotrctiv si verific que f( ) f( ), Si l fució es derivle st compror que f '( ) q culquier que se el vlor de pr poder grtizr que se trt de u fució cotrctiv. Si se dese resolver l ecució f( ), se escrie est e l form g( ), dode g( ) es u fució cotrctiv, y prtiedo de u vlor iicil, se costruye l sucesió g ( ). L covergeci de est sucesió el siguiete teorem. 8

9 Teorem. (Teorem del puto fijo) Dd l ecució g( ) e l que g'( ) q ;, l sucesió,,,,, úic solució de l ecució e dicho itervlo. culquier que se ; e l que g y u puto coverge u vlor que es l Demostrció: Ddo que g ( ) g ( ) etoces g( ) g( ), pero plicdo el Teorem del Vlor Medio se tiee que: g ( ) g ( ) g'( c) ; c ; Etoces g' c Luego q Si etoces q Si etoces q qq q Si etoces q 4. Si k etoces k kk q k k Formemos l sum prcil de ls logitudes de los k primeros itervlos es decir: k k L sum prcil Sk k y l serie es solutmete covergete por estr cotdos sus térmios, e vlor soluto, por los térmios de u serie geométric de rzó q. U pltemieto gráfico diferete es el de seprr l ecució g( ) e dos prtes, como y (rect 45º) y y g ( ), ésts se puede grficr por seprdo. Los vlores de correspodietes ls iterseccioes de ests fucioes represet ls ríces de f( ). E l figur siguiete se muestr l covergeci () y () y que verific el teorem de l covergeci y l divergeci (c) y (d) e el método de Aproimcioes sucesivs. y g ( ) y y g ( ) y 9

10 Y y g ( ) Y y g ( ) y y COTA DEL ERROR A POSTERIORI X X Si f ( ) es u fució cotiu e el itervlo cerrdo ; y derivle e el itervlo ierto ;, semos por el Teorem del Vlor Medio que eiste u puto c ; tl que: f( ) f( ) f '( c) Se u solució de l ecució f( ) y se u proimció de ell oteid por u método de iterció culquier. Supogmos f ( ) cotiu e el itervlo cerrdo ; ó ; (depediedo que se myor o meor que ) y derivle e el itervlo ierto ; ó ;. Eiste etoces u puto c ; ó c ; tl que f( ) f( ) f '( c) f ( ) Como f ( ) y, etoces os qued que, oteiédose que f '( c) f( ) f( ) f( ) ; co ; f '( c) mi f '( ) mi f '( ) ; ; ; ; Lo úico que deemos eigir que l derivd de l fució o se ule e igú puto del itervlo ; Ejemplo 4: Determie l ríz rel de l ecució Solució: Como l ecució es, etoces, sumdo oteemos l siguiete iguldd g( ) Ahor lizremos si g es u fució cotrctiv. Primero clculemos l derivd de g( ) g ( ) g'( )

11 Clculmos el vlor soluto de g'( ), se tiee g'( ) Por tto g( ) es u fució cotrctiv, es decir, podemos grtizr que prtir de, el método covergerá l ríz cudrd de. Ls itercioes se muestr e l siguiete tl 4, ,75847, ,758695,75 7, , , ,7 9, ,777777, , , , , , , , , , , , , , f( ) El error vedrá ddo por dode f( ), si 6 etoces mi f '( ) ; 6, , mi ; Por tto 4, luego el vlor de, y este vlor correspode l vlor ecto de l. Oservció: Si e prolem terior quisiérmos clculr l ríz plicdo el método de isecció co u ectitud de 4 cifrs decimles, tedrímos que clculr el úmero de itercioes, es decir, log log 5 E 5 5 log 5 46,569 log log log Por tto deerímos relizr 47 itercioes Como se puede oservr el Método del puto fijo es meos lorioso que el Método de Bisecció, tmié podemos gregr que por lo geerl dismiuye el úmero de itercioes, recordemos que pr clculr l co el método de isecció es ecesrio relizr 46 itercioes (co 4 cifrs decimles ectos) y co el método del puto fijo sólo se ecesitro 6. Si emrgo cotiució veremos como se puede reducir ú más el úmero de itercioes plicdo el método coocido como El Método Newto.

12 METODO DE ITERACION DE NEWTON Supogmos que queremos resolver l ecució f( ) y lo que oteemos o es l solució ect sio sólo u ue proimció, pr oteer est proimció oservemos l siguiete figur P, f ( ) P f deemos recordr l ecució de l rect ddo u puto y l pediete, dode l pediete l podemos oteer derivdo l fució y evludo e, sí m f '( ), luego Pr clculr l ecució de l rect tgete que ps por el puto, ( ) f ( ) f( ) f '( ) Si despejmos otedremos l itersecció co el eje X y este vlor correspode, es decir f ( ) f '( ) De est mer podemos repetir el proceso pr el puto, f( oteiedo el vlor de, este proceso lo podemos repetir hst oteer l ecució e el puto, f( ), el cul os permite oteer el vlor de e l form siguiete f ( ) f '( ) Est epresió es coocid como l fórmul de Newto Rphso. Ejemplo 5 Clculr l ríz de, plicdo el método de iterció de Newto Rphso. Solució: Como l ecució resolver es, etoces f( ), luego el método de Newto Rphso os dice que l fució de iterció es dd por: f( ) f '( )

13 Ddo que l ríz de es u úmero compredido etre y y l fució f '( ) o se ul e dicho itervlo, podemos plicr el método de Newto Rphso tomdo como vlor iicil oteiédose.,,75, , , , Como se puede oservr se h oteido l solució e 4 itercioes, si recordmos el método de Puto Fijo est solució se otuvo e 6 itercioes (Ejemplo 4), demás co el método de Bisecció se otiee e 47 itercioes. El prolem que deemos efretr l plicr este método es el puto iicil, pr poder determir este vlor relicemos el siguiete álisis. Supogmos que teemos cotd l fució e el itervlo,, u úic ríz de l ecució f( ) y que f '( ) y ''( ),, es decir, que ms derivds tiee sigos costtes e dicho itervlo. Osérvese que si f( ) f( ), ddo que f '( ), etoces por los teorem de Bolzo y Rolle semos que eiste u úic ríz e dicho itervlo. Además por ls codicioes eigids semos que o eiste, e, igú puto crítico (i etremo reltivo i puto de ifleió), est situció se preset e l figur siguiete f o se ul e igú puto del itervlo E culquier de los cutro csos posiles de l figur terior l fució cmi de sigo e los etremos del itervlo (deido que l primer derivd o se ul e dicho itervlo), es decir, ddo que l segud derivd tiee sigo costte e,, e uo de los dos etremos l fució tiee el mismo sigo que su segud derivd. E estos csos, el método de Newto Rphso es covergete deiédose tomr como vlor iicil

14 si f( ) f ''( ) si f( ) f ''( ) es decir, el etremo e el que l fució tiee el mismo sigo que su segud derivd. Lo terior es vldo por el siguiete teorem Teorem : (Regl de Fourier) Se f ( ) u fució cotiu de tl mer que eiste f '( ) y ''( ) demás: i) f( ) f( ) f e u itervlo, ii) f '( ) y ''( ),, etoces: Eiste u úic ríz de l ecució f( ) e dicho itervlo y se puede grtizr l covergeci del método de Newto Rphso tomdo como vlor iicil el etremo del itervlo e que l fució y su segud derivd tiee el mismo sigo. f y mtiee sigo Ejemplo 6: Hllr el puto de ifleió de l curv 5 4 y 6 ) Estlezc el esquem itertivo cudo se plic el método de Newto Rphso. ) Determie el vlor iicil que permitirá l covergeci de dicho método. c) Co u precisió de cico (5) cifrs decimles. Determir el puto de ifleió. Solució: Pr determir el puto de ifleió si eiste deemos lizr lo siguiete: i) Clculr l primer derivd, es decir, y ' ii) Clculr l segud derivd e igulr cero, es decir, y '' iii) Clculr l tercer derivd y evlur el vlor oteido e ii) si es distito de cero etoces e el vlor ecotrdo y y' 6 4 y'' Como y '', y y '', etoces plicdo el de Newto Rphso, ecesitmos u ecució f( ), l cul es f( ), Aplicdo el Teorem podemos seprr de mer tl que, luego podemos cocluir que teemos dos fucioes ls cules os permitirá visulizr y lizr ls ríces ls ríces de l ecució plted. 4

15 g ( ) h ( ) Como se puede oservr e l gráfic eiste u sol ríz rel,, segú el teorem dee cumplirse que f() f(), pr justificr est desiguldd clculemos f() ; f() Por tto f() f() Este resultdo se muestr e l figur siguiete f ( ) f () f () Luego u esquem itertivo pr plicr el método de Newto Rphso es: 5

16 f( ) f '( ) ) Pr determir el vlor iicil que os segure l covergeci deemos relizr lo siguiete i) L f '( ) y f ''( ), demás dee mteer sigo, ii) Eiste u, tl que f f '', etoces prtir de este vlor podemos segurr l covergeci. i) Si f ( ), etoces: f '( ) f ''( ) 6, el comportmieto de los sigos de f ( ), f '( ) y f ''( ), se muestr e l siguiete tl. i f ( i ) f '( i ) f ''( i ), + +, + +, + +, + +,4 + +,5 + +,6 + +,7 + +,8 + +, , ii) De l tl terior se puede oservr que,9 f( ) f ''( ), etoces el puto iicil que segur l covergeci del método de Newto es, 9 c) Pr clculr el puto de ifleió usremos el esquem itertivo de Newto determido e l prte ) f( ) f '( ),9,578778,847,894, ,696E 6, ,689E 4, Por tto el vlor del puto de ifleió es P, ;,