a, b y POSITIVA, se puede hacer una aproximación del área

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1 BLOQUE III: Aálss -ÁREA BAJO UNA CURVA Tem 5: Itegrles defds Dd u fucó (, y POSITIVA, se puede hcer u promcó del áre compredd etre el eje X y l gráfc de l fucó e el tervlo, del sguete modo: ) Se dvde el tervlo ) L fucó ( f CONTINUA e, e prtes gules: f es cotu e los tervlos, y que lo es e, puede grtzr que l fucó lcz u vlor mámo, M, y u vlor mímo, c) Se duj los rectágulos ferores de se y de ltur m d) Se duj los rectágulos superores de se y de ltur M, Por el teorem de Weerstrss, se m, e cd tervlo, e) Se sum el áre de los rectágulos ferores y se otee u promcó del áre por defecto Áre por defecto= m m m m [Se llm sums ferores ls dstts promcoes del áre por defecto que se puede clculr del recto segú el úmero de tervlos que se tome Se represet por: s m ] f) Se sum el áre de los rectágulos superores y se otee u promcó del áre por eceso Áre por eceso= M M M M [Se llm sums superores ls dstts promcoes del áre por eceso que se puede clculr del recto segú el úmero de tervlos que se tome Se represet por: S M ] Ls sums ferores y superores depede de, es decr, del úmero de tervlos que se tome e,, y se tee etoces que: g) Ls sums ferores so u sucesó s, s, s,, s, que correspoderá ls dstts dvsoes que se hg del tervlo, h) Ls sums superores so u sucesó S, S, S,, S, que correspoderá ls dstts dvsoes que se hg del tervlo, Se puede segurr que el áre del recto está compredd etre ests dos promcoes s m Áre del recto S M S se hce cd vez más tervlos e,, es decr, que, etoces los vlores de m y tervlo se promrá: S s lím s M de cd lím Y etoces tedremos que el áre será: Áre = líms Pág de 6

2 BLOQUE III: Aálss -INTEGRAL DEFINIDA (Iterpretcó geométrc de l tegrl defd ) Se (, f u fucó CONTINUA y POSITIVA e el tervlo Tem 5: Itegrles defds Llmmos, y lo leemos como tegrl defd etre y de f (, l vlor del áre compredd etre l gráfc de f (, el eje X y ls rects vertcles y Por tto: = lím s líms Al úmero se le llm límte feror de tegrcó; l úmero, límte superor de tegrcó, y l tervlo,, tervlo de tegrcó -PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Mootoí respecto el S f ( tegrdo y es cotu e el tervlo,, etoces S f ( y es cotu e el tervlo,, etoces Adtvdd respecto el tervlo de tegrcó Dds dos fucoes f ( y (,,, g(, etoces: g cotus e el tervlo que cumple que pr culquer 4 g( S c es u puto del tervlo, : c c Leldd respecto el tegrdo 5 6 Dds dos fucoes f ( y g ( cotus e el tervlo,, se cumple que: f ( g( g( Los fctores que cosdermos pr clculr ls sums superores e ferores ps ser, l tercmr los límtes de tegrcó; por tto, l tegrl cm de sgo 7 k k 8 Se f ( y ( f ( g( g cotus e el tervlo,, etoces: g( Pág de 6

3 BLOQUE III: Aálss Tem 5: Itegrles defds 4- TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL Se ( f cotu e el tervlo,, etoces c (, ): f( = f(c)( ) 5-TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Dd u fucó f cotu e,, pr culquer puto F :, IR F(, defmos l fucó: f ( t) dt Cosderdo como u vrle, oteemos u fucó que llmmos fucó tegrl, o fucó áre, y l desgmos por F ( Teorem fudmetl del cálculo tegrl: S f es u fucó cotu e el tervlo,, y cosdermos l fucó tegrl: F ( f ( t) dt co, y F ( pr culquer puto,, ; etoces F es dervle e t Ejemplo: Clcul l dervd de l fucó se t e dt 6-REGLA DE BARROW S ( f es u fucó cotu e el tervlo,, y F ( es UNA prmtv de f (, etoces: F( ) F( ) L regl de Brrow me permte clculr áres delmtds por curvs de u form rápd y cómod relco el cocepto de tegrl defd co el de prmtv El tem teror lo hemos dedcdo l cálculo de prmtvs Ejemplos: ) 5 ) e c) d) 5 se 4 e) 4 4 f) Pág de 6

4 BLOQUE III: Aálss g) (Selectvdd Juo 8) Tem 5: Itegrles defds 7-CÁLCULO DE ÁREAS 7-Áre compredd etre el eje X y l fucó ( Áre = Áre I + Áre II + Áre III = f e el tervlo Pr clculr el áre compredd etre l gráfc de u fucó f ( y el eje X e u tervlo e el que l gráfc prece por ecm y por dejo del eje X, es ecesro hllr cd u de ls áres por seprdo S l gráfc está por dejo del eje X, l tegrl será egtv; pr evtr esto, tomremos el vlor soluto e tod l tegrl F( ) F( ) F( F( ) F( ) F( [ CUIDADO! S clculmos, el resultdo que otedrímos es:, = Áre I Áre II Áre III] Ejemplos: Clcul el áre del recto lmtdo por el eje X y l fucó ( f e el tervlo, 4 Hll el áre ecerrd etre l fucó 4, el eje X y ls rects y 5 7-Áre compredd etre dos fucoes Áre = g( El áre compredd etre ls gráfcs de ls fucoes f ( y g ( e el tervlo, es l msm que el áre ecerrd etre l fucó dferec f g ( y el eje X e ese tervlo Ejemplos: Hll el áre compredd etre ls gráfcs de ls fucoes ( 9 f y g ( 4 Pág 4 de 6

5 BLOQUE III: Aálss Tem 5: Itegrles defds Clcul el áre compredd etre el eje X y l fucó E J E R C I C I O S Y P R O B L E M A S Se f : IR IR l fucó defd por e Esoz el recto lmtdo por l curv y f (, los ejes coordedos y l rect Clcul su áre (Selectvdd Juo ) Sol: Áre= Determ u polomo ( (Selectvdd Juo ) Hll l fucó : 5 5 P de º grdo sedo que: P ( ) P() y P( Sol: P ( 4 f IR IR, sedo que ''( 6 f y que l rect tgete l gráfc de f e el puto de scs tee de ecucó 4 y 7 (Selectvdd Septemre 6) Sol: 8 4 Clcul 9 (Septemre ) Sol: l 5 Se se que l fucó f : IR IR defd por c tee u etremo reltvo e el puto de scs y que su gráfc tee u puto de fleó e el puto de scs Coocedo demás que 6 y c (Selectvdd Juo ) Sol: 4' 75 6 Dds l práol de ecucó y y l rect de ecucó y, se pde: (Selectvdd Juo ) ) Áre de l regó lmtd por l rect y l práol ) Ecucó de l rect prlel l dd que es tgete l práol Sol: ) Áre= ; ) y '5 '5 6 Clcul, 9 7 Hll sedo que y el áre de l regó lmtd por y e y es (Selectvdd Juo 4) Sol: 8 Clcul el áre del recto cotdo que está lmtdo por l rect y y ls curvs y e y Sol: Áre 4 (Selectvdd Septemre 4) 9 Hll el áre de l superfce somred sedo y l (Selectvdd Septemre 4) Sol: Áre Se f :, IR l fucó defd por l( ) : (Selectvdd Septemre 7) ) Determ l ecucó de l rect tgete l gráfc de f e el puto de scs Sol:) y ; ) l ) Clcul el áre del recto lmtdo por l gráfc de f, l rect tgete oted e ) y l rect Se I (Selectvdd Juo 6) El áre del recto lmtdo por ls curvs de ecucoes Se f y g ls fucoes defds medte ) Epres I plcdo el cmo de vrle t ) Clcul el vlor de I ) Esoz ls gráfcs de f y de g clculdo sus putos de corte ) Clcul el áre de cd uo de los rectos lmtdos etre ls gráfcs de f y g 4 Se f l fucó defd por ( (Selectvdd Septemre 7) 5 Se f : IR IR l fucó defd por f y e y, co, vle Clcul el vlor de (Juo 6) y g ( (Selectvdd Juo 7) ) Estud l dervldd de f e ) Esoz l gráfc de f c) Clcul el áre del recto lmtdo por l gráfc de f y el eje de scss e (Selectvdd Juo 8) Pág 5 de 6

6 BLOQUE III: Aálss Tem 5: Itegrles defds ) Justfc que l rect de ecucó y e es l rect tgete l gráfc de f e el puto de scs ) Clcul el áre el recto lmtdo por l gráfc de f, el eje de ordeds y l rect tgete del prtdo teror 6 Se g : IR IR defd por g ( ) Esoz l gráfc de g (Selectvdd Septemre 8) ) Clcul g ( Pág 6 de 6