INTEGRAL DEFINIDA. b A =, es decir, la tercera parte INTRODUCCIÓN

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1 INTEGRAL DEFINIDA - INTRODUCCIÓN E este tem estudremos u cocepto uevo, el de tegrl defd Auque será ecesro defrl de form eseclmete complcd, l tegrl vee formlzr u cocepto secllo, tutvo: el de áre Ahor y o os dee cusr sorpres el ecotrros co que l defcó de u cocepto tutvo puede presetr grdes dfcultdes y certmete el áre o es gu ecepcó esto El cálculo de áres de rectos plos es uo de los prolems fudmetles del Cálculo Iftesml y tee sus orígees remotos e l Grec clásc E geometrí elemetl se deduce fórmuls pr l áres de muchs fgurs pls, pero u poco de refleó hce ver que rrmete se d u defcó ceptle de áre El áre de u regó se defe veces como el úmero de cudrdos de ldo udd que ce e l regó Pero est defcó es totlmete decud pr tods ls regoes co ecepcó de ls más smples Por ejemplo, el círculo de rdo tee por áre el úmero rrcol π, pero o está clro e soluto cul es el sgfcdo de π cudrdos Icluso s cosdermos u círculo de rdo cuy áre es, result dfícl eplcr de qué mer u cudrdo udd puede ller este π círculo, y que o prece posle dvdr el cudrdo udd e pedzos que pued ser yutpuestos de mer que forme u círculo Hstórcmete, el Cálculo Itegrl surgó de l ecesdd de resolver el prolem de l otecó del áre de fgurs pls Los gregos lo ordro, llegdo fórmuls pr el áre de polígoos, círculos, segmeto de práols, etc El método, que cosstí e promr ehustvmete l fgur-recto cuy áre se dese hllr medte polígoos de áres coocds, e el sglo XVI, se llmó método ehustvo o de ehucó, orgl de Eudoo (46 C 355 C) y fue utlzdo esporádcmete por Eucldes hc el ño 3 C y de form sstemátc por Arquímedes (86 C C) Pr coocer este método vmos plcrlo e el cálculo del áre de u segmeto de práol, regó lmtd por el eje OX, l curv y = y ls rects = y = Arquímedes demostró que el áre de est regó es del áre del rectágulo de se el tervlo [, ] y de ltur 3 A =, es decr, l tercer prte 3 IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg

2 Co des de Arquímedes, pero co otcó moder, vemos como se lleg ese resultdo: pr cd turl dvdmos el segmeto [, ] e prtes gules, cd u de logtud Sore cd u de ells costrumos dos rectágulos, uo co l ltur de l orded mím (rectágulo feror, por defecto o scrto) y otro co l ltur de l orded mám (rectágulo superor, por eceso o crcuscrto) Es clro que l sum de ls áres de los rectágulos ferores, S, es meor que el áre A del segmeto prólco, y que l sum de ls áres de los rectágulos superores, S, es myor que A, verfcádose que: S A S pr todo, es decr, ( ) ( ) ( ) ( ) S = A = S que se puede poer: ( ) A A msmo: ( ) o, lo que es lo ( + )( + ) Arquímedes y demostró que = E ests codcoes, se 6 lleg que ls desgulddes terores equvle : ( ) ( ) ( + )( + ) 3 3 A, ( )( ) ( + )( + ) 3 3 A váldo pr todo 6 6 S se hce que el úmero de dvsoes crezc defdmete, es decr, s se tom límte cudo, se otee ( )( ) 3 ( + )( + ) lm A lm, lm A lm por tto: A, co lo que 3 A = 3 Apoyádoos e el método de ehucó epuesto tes, podemos pesr e medr áres de fgurs más geerles, promdo su vlor medte sums de áres de rectágulos por defecto y sums de áres de rectágulos por eceso y luego tomdo límtes de lgu mer Los mtemátcos del sglo XVII (Newto, Lez, etc) trodujero el cocepto de tegrl defd de u fucó f ( ), cocepto que más trde fue mejordo por Cuchy ( ) y por Rem (86-866) IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg

3 - NOCIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO [, ] L de que sostee l defcó que vmos dr se dc e l sguete fgur El tervlo [, ] h sdo dvddo e cutro sutervlos [ t, t ], [ t, t ], [ t, t ] y [ t, t ] por medo de úmeros t, t, t, t3, t 4 co = t< t< t< t3< t4 = (l umercó de los suídces empez e de modo que el suídce myor será gul l úmero de sutervlos) Sore el prmer tervlo [ t, t ] l fucó f tee el vlor mímo m y el vlor mámo M ; álogmete, se t t m el vlor mímo y tervlo -ésmo [, ] L sum S m ( t t ) m ( t t ) m ( t t ) m ( t t ) M el vlor mámo de f sore el = represet el áre totl de los rectágulos que qued detro de l regó lmtd por l gráfc de l fucó, el eje OX y ls rects vertcles = y =, covee deotr est regó por R ( f,, ) S = M t t + M t t + M t t + M t t represet el Igulmete, l sum ( ) ( ) 3( 3 ) 4( 4 3) áre totl de los rectágulos que cotee l regó R ( f,, ) El prcpo que os v gur e uestro teto de defr el áre de R( f,, ) será l oservcó de que A tee que stsfcer S culquer que se l dvsó que se hg del tervlo [, ] A y A S y que esto dee ser verdd, Se f u fucó rel de vrle rel defd y cotd e [, ] Defcó: Se llm prtcó de u tervlo cerrdo [, ] putos de [, ] de los cules el prmero es y el últmo es El cojuto P {,,,, } de [, ] u cojuto ordedo y fto de = tl que = < < < < = es u prtcó IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg 3

4 δ = m =,,3,, A veces, por comoddd y s que supog pérdd de geerldd, se tom prtcoes de tl mer que los sutervlos [, ] so todos de l msm logtud E este cso, el dámetro de l prtcó es δ ( P) = Se llm dámetro de l prtcó P l úmero rel ( P) { } El tervlo [, ], medte l prtcó P, qued sudvddo e sutervlos; e cd uo de ellos defmos los úmeros reles: m = f f /, { ( ) [ ]} { ( ) / [, ]} M = sup f, que este por ser f cotd S l fucó f fuese cotu, estos úmeros mímo y el mámo de f e [ ], m y M serí respectvmete el Defcó: Se llm sum feror de f ( ) pr l prtcó P del tervlo [, ] por S( f, P ) l sum: (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) S f P = m + m + + m = m = m Δ = =, y se desg S f es postv e [, ] se oserv que, geométrcmete, l sum feror S( f, P ) mde l sum de ls áres de los rectágulos scrtos cuys ses so los tervlos [ ] y cuys lturs mde m, Defcó: Se llm sum superor de f ( ) pr l prtcó P del tervlo [, ] por S ( f, P ) l sum: (, ) ( ) ( ) ( ) ( ), y se desg S f P = M + M + + M = M = M Δ = = S f es postv e [, ] se oserv que, geométrcmete, l sum superor S ( f, P ) mde l sum de ls áres de los rectágulos crcuscrtos cuys ses so los tervlos [, ] y cuys lturs mde M U cos es evdete e relcó co ls sums ferores y superores: s P es u, S f, P S f, P, puesto que prtcó culquer del tervlo [ ], etoces ( ) ( ) S( f, P) = m( ), S ( f, P) = M( ) = = y pr cd teemos que m ( ) M ( ), IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg 4

5 Por otr prte, deerí cumplrse otr cos meos evdete: s P y P so dos prtcoes culesquer del tervlo [, ], etoces prece lógco pesr que S( f, P) S ( f, P ) puesto que S( f, P ) deerí ser áre R( f,, ), y S ( f, P ) deerí ser áre R( f,, ) Est oservcó o demuestr d (puesto que el áre de R ( f,, ) o h sdo todví squer defd), pero sí dc que s hemos de lergr lgu esperz de poder defr el áre de R ( f,, ), lo prmero que deemos cosegur es demostrr que S( f, P) S ( f, P) Esto depede de u Lem referete l comportmeto de ls sums ferores y superores l ñdr más putos u prtcó Defcó: Se dce que u prtcó Q de [, ] es más f que otr prtcó P de [, ] verfc que todo puto de P está e Q Se dc escredo P que o sempre so comprles dos prtcoes s se Q Hy que hcer costr Ahor estmos e codcoes de eucr u Lem y u Teorem de los que omtmos su demostrcó por o etederos demsdo Lem: S P y Q so dos prtcoes de [, ] y Q es más f que P se tee que S( f, P) S( f, Q) S ( f, Q) S ( f, P) Teorem: Se P y P prtcoes de [, ], y se f u fucó cotd sore [, ] (, ) (, ) S f P S f P Etoces Esto os dce que culquer sum feror es meor o gul que culquer sum superor depedetemete de l prtcó cosderd, lo cul er tutvo pr fucoes postvs El cojuto de ls sums ferores de tods ls prtcoes de [, ], { (, )} S f P, es o vcío y está cotdo superormete por culquer sum superor; por tto, por el Aom del etremo, este Sup{ S ( f, P )} S f, P es o vcío y está cotdo ferormete por { } Aálogmete, el cojuto ( ) culquer sum feror; por el msmo Aom del etremo se tee que este (, ) y se verfc { } { (, )} (, ) Sup S f P If S f P { } If S f P, Defcó: El úmero Sup{ S ( f, P )} se llm tegrl feror de f e [, ] I f,[, ] = Sup S f, P ( ) { ( )} y se escre sí: IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg 5

6 Defcó: { } ( ) { ( )} El úmero If S ( f, P ) se llm tegrl superor de f e [, ] I f, [, ] = If S f, P y se escre sí: Defcó: () U fucó f ( ) defd y cotd e [, ] de Rem) sore [, ] cudo [ ] (,, ) (,[, ]) I f = I f se dce que es tegrle (e el setdo E este cso, este úmero comú rece el omre de tegrl defd de f sore [, ] y se escre: I ( f, [, ]) o ( ) f d Ejemplos - Se f ( ) = k pr todo [, ], sedo k f ( ) = k = o = S P = { } es u prtcó culquer de [, ],,,, pr todo y sí:, y (, ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) S f P m k k k = = = (, ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) S f P M k k k = = = E este cso tods ls sums ferores y superores so gules y { (, )} (, ) { } ( ) Sup S f P = If S f P = k Se tee, pues, que l fucó f ( ) = k es tegrle e [, ] f ( ) d= kd= k( ) m = M = k, etoces y su tegrl vle: IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg 6

7 - Se l fucó de Drchlet, defd de l sguete form: f ( ) = s es rrcol s es rcol, se tee que m = pues S P= {,,,, } es u prtcó culquer de [, ] e [ ] M = puesto que e [ ], sempre este lgú úmero rrcol, y este lgú úmero rcol Así, S( f P) m ( ) ( ), = = = = = y S f, P M ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = = = { } { } E cosecuec, Sup S ( f, P ) = e (, ) If S f P, sempre = y f o es tegrle e [, ] 3- LA INTEGRAL DEFINIDA CONSIDERADA COMO UN LÍMITE Se f ( ) cotd e [, ] S e cd sutervlo [, ] ξ, etoces m f ( ξ) M m ( ) f ( ξ )( ) M ( ), es decr, elge u puto culquer ( ξ ) mδ f Δ M Δ, y sumdo (, ) = Δ ( ξ ) Δ Δ = (, ) S f P m f M S f P = = = S se tom P P P 3 P de u prtcó P se Result, pues que:, u sucesó culquer de prtcoes de [, ] e l que el úmero de putos de cd prtcó v umetdo de tl mer que el límte de lmδ P =, se tee que: sus dámetros se cero, ( ) ( ) ( ξ ) δ( P ) δ( P ) δ( P ) ( ) lm S f, P lm f Δ lm S f, P Por lo tto, f es tegrle precsmete s este el lm f ( ) ( ξ ) lm Δ f ( ξ) Δ ) Defcó: Esto os permte dr u uev defcó de l tegrl defd: U fucó f ( ) defd y cotd e [, ] de Rem) sore [, ] cudo este lm f ( ξ) Δ δ ( P ) ξ cosderdo e [ ] sucesó de prtcoes elegd y del puto Δ (tmé deotdo δ P se dce que es tegrle (e el setdo, depedetemete de l IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg 7,

8 escre: E este cso, este úmero rece el omre de tegrl defd de f sore [, ] y se I ( f, [, ]) o ( ) f d Est últm versó de l tegrl defd, ( ) lm ( ξ ) f d= f Δ, justfc el Δ empleo del sgo, troducdo por Lez e 675, u ese lrgd y estlzd como dctvo de que se está relzdo u sum de ftos térmos E tod l dscusó teror se h supuesto coveo f ( ) d= < Cudo = se tom como 4- INTEGRABILIDAD DE FUNCIONES Teorem: (Crtero de tegrldd de Rem) Se f u fucó cotd sore [, ] Etoces f es tegrle e [, ] precsmete s pr todo úmero rel ε > este u prtcó P tl que S f, P S f, P < ε ( ) ( ) El teorem sólo os proporco de otro modo l defcó de tegrldd; este crtero es mucho más opertvo que l defcó () puesto que y o tedremos que usr supremos e ífmos Apoyádoos e el teorem teror podrímos demostrr dos mporttes proposcoes Proposcó : Ls fucoes cotds y moótos e [, ] Proposcó : Ls fucoes cotus e [, ] Evtmos ls demostrcoes so tegrles so tegrles 5- PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL DEFINIDA L tegrl defd verfc ls sguetes propeddes: - Leldd respecto del tegrdo: S f ( ) y g( ) so fucoes tegrles e [, ] tmé lo es α f ( ) + β g( ) pr todo α, β y se tee: ( ) + ( ) = ( ) + ( ) α f β g d α f d β g d IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg 8

9 - Adtvdd respecto del tervlo de tegrcó: Se f ( ) u fucó tegrle e u tervlo [, ] S c es tl que < c <, etoces f ( ) es tegrle e [ c, ] y e [ c, ] Recíprocmete, s f ( ) es tegrle e [ c, ] y e [ c, ], etoces f ( ) es tegrle e [, ] E mos csos se verfc que: ( ) = ( ) + ( ) c f d f d f d c 3- Comprcó: S f ( ) y g( ) so fucoes tegrles e [, ] y g( ) f ( ) todo [, ] se verfc: ( ) ( ) g d f d pr 4- Comutcó del vlor soluto: S f ( ) es u fucó tegrle e u tervlo [, ] tmé lo es f ( ) y se verfc que: ( ) ( ) f d f d 6- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cudo f es o egtv e tegrle e [,, ] el áre de l regó lmtd por l gráfc de l fucó, el eje OX y ls rects vertcles = y = (áre de R( f,, ) ) es l tegrl f ( ) d Áre de R( f,, ) ( ) = f d IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg 9

10 Cudo f es egtv e tegrle e [, ], l tegrl ( ) recto, co sgo egtvo E este cso el áre de R( f,, ) vle: Áre de R( f,, ) = ( ) = ( ) = ( ) f d f d f d f d epres el áre del 7- TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Como s se trtr de u med rtmétc orml y correte, s tommos todos los, dode se tegrle (cosderdos como vlores de u fucó f e u tervlo [ ] rrs vertcles de ltur f ( ) sore cd puto del tervlo) y los summos, completmos l regó R ( f,, ), co lo que oteemos ( ) dvdmos por el úmero de vlores del tervlo ( ) med de f e [, ] Defcó: f d S est sum l (logtud del tervlo) llegmos l S u fucó f es tegrle e [, ], el vlor medo de f e [, ] se defe por: ( ) = ( ) Vm f f d Cudo f es o egtv, l fórmul teror se puede escrr ( ) ( ) ( ) Vm f = f d y epres que el rectágulo de se [, ] y ltur m ( ) jo l curv R ( f,, ) V f tee el msmo áre que l regó El prolem que se plte hor es s el vlor medo Vm ( f ) es lczdo por f e lgú puto de [, ] Es tutvo que, s f es cotu, s se lcz Teorem: (del vlor medo pr tegrles) S f es u fucó cotu e [, ], etoces este l meos u puto c (, ) tl que ( ) = ( ) f c f d IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg

11 Demostrcó: Cosdermos l prtcó P = {, } de [, ] (u solo tervlo, s putos termedos); se tee que S f, P = m y S f, P = M ( ) ( ) ( ) ( ) sedo m y M el mímo y el mámo de f e [, ] respectvmete Como S( f, P) f ( ) d S ( f, P) ( ) ( ) ( ), se puede escrr: m f d M, dvdedo por el úmero postvo teemos ( ), y plcdo l Propedd de Drou, este l meos u m f d M c, tl que puto ( ) ( ) = ( ) f c f d 8- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL REGLA DE BARROW E este prtdo relcoremos ls prmtvs de u fucó f ( ) co l tegrl defd de f ( ) e u tervlo [, ], lo que os permtrá oteer u método de cálculo de l tegrl defd Se f tegrle e cd sutervlo [, ] de [, ], es decr, tl que este l tegrl f () t dt, A = f t dt pr todo [, ] ; efectvmete es u fucó rel porque sg cd úmero rel u úco úmero rel que es el vlor de l tegrl A = f t dt os v ddo l medd del áre de l regó pr cd [ ] Etoces está defd l fucó ( ) ( ) Cudo f ( ), ( ) ( ) lmtd por l fucó, el eje OX etre ls scss y Teorem: S f ( ) es tegrle e [, ], l fucó A( ) = f ( t) dt es cotu e [, ] IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg

12 Demostrcó: Se ( ), vemos que lm ( ) = ( ), A A ( ) ( ) = () () = () + () = () A A f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt Como f está cotd e [, ], y que f es tegrle, este M > tl que M f () t M pr todo t [, ] >, tegrmos ls desgulddes terores e el tervlo [ ] y oteemos S S ( ) ( ) ( ) M f t dt M M ( ) A( ) A( ) M ( ) <, tegrmos ls desgulddes e el tervlo [, ] M ( ) A( ) A( ) M ( ) E mos csos, l tomr límtes cudo result lm lm = A( ) A( ) =, es decr ( ) ( ) A A, y oteemos Cudo se u etremo del tervlo, los límtes se cosder lterles y l demostrcó es álog Teorem: (Fudmetl del cálculo tegrl), S f ( ) es cotu e [ ] etoces l fucó A( ) f ( t) dt [, ] y A ( ) = f ( ) pr todo [, ], es decr, A( ) es u prmtv de f ( ) e [, ] = es dervle e Demostrcó: Se y + h putos de (, ), etoces + h + h + h ( + ) ( ) = () () = () + () = () A h A f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt ( + ) ( ) A h A h + f () t dt f ( ξ ) co (, h) Por lo tto: = = h h el teorem del vlor medo pr tegrles Tomdo límtes cudo h e l guldd oteemos ( + ) ( ) A h A A ( ) = lm = lm f = f lm = f h h h h ( ξ) ( ξ) ( ) ξ +, esto es por Ls últms gulddes se produce porque el límte comut co ls fucoes ξ, + h, cudo h etoces ξ A f cotus y f lo es; posterormete como ( ) E cosecuec ( ) este y cocde co ( ) Cudo se u etremo del tervlo, los límtes se cosder lterles y l demostrcó es álog IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg

13 Teorem: (Regl de Brrow) Se f ( ) cotu e u tervlo I y se F ( ) u prmtv culquer de f ( ) e I Etoces, pr cd pr de putos y de I se verfc: ( ) = ( ) ( ) f d F F Demostrcó: A Como ( ) = f ( t) dt y F( ) so prmtvs de f ( ) dfere e u costte, es decr A( ) F( ) = k Tomdo =, qued: A ( ) F( ) = k, como A ( ) = etoces F( ) Tomdo =, qued: A( ) F( ) k ; A( ) F( ) F( ) oteemos que A( ) = F( ) F( ), o lo que es lo msmo e I, ms fucoes = k = =, co lo que ( ) = ( ) ( ) f d F F De est fórmul, llmd regl de Brrow, se deduce l mportc decsv de coocer f pr poder clculr l tegrl defd lgu prmtv de ( ) CAMBIO DE VARIABLE EN UNA INTEGRAL DEFINIDA Se y = f ( ) u fucó cotu e u tervlo [, ] cotu y estrctmete moóto e [ t, t ] que verfc: g( t) =, g( t) = g () t es cotu e [ t, t] f g() t está defd e [ t, t ] t Etoces ( ) = () () f d f g t g t dt t y se = g() t otr fucó S l curv vee dd e ecucoes prmétrcs: () () = t y = y t Hcedo los cmos pertetes e l tegrl teemos que () () t y d = y t t dt, dode = ( t ) ( ) t, = t IES Pedro de Tolos Mtemátcs II Itegrl defd Pg 3