son las correspondientes probabilidades de que X tome los valores x1, x2,

Transcripción

1 CAÍTULO 6. VARIABLES ALEATORIAS L teorí de prolddes estud los sucesos letoros, ls vrles letors y los procesos letoros. Se llm vrle letor l cul cept u vlor que o puede predecrse co certez tes de u epermeto. S X deot u vrle de este tpo, X tomrá geerlmete vlores dferetes escogdos l zr desde u espco llmdo muestrl cd vez que se relce el epermeto. 6. Clses de vrles letors Ls vrles letors so vrles que e el epermeto puede ceptr uo u otro vlor el cul o es coocdo pror. or ejemplo: u úmero de lumos Y que rece l ot de e l clse de 0 lumos. Clro que el vlor Y e el epermeto puede ceptr culquer vlor etero desde 0 hst 0. Otro ejemplo de vrle letor es el tempo T, etre ls dos llegds de u vehículo l prd, que puede ceptr culquer vlor desde cero hst fto. L teorí de los sucesos letoros tmé se puede formulr e térmos de ls vrles letors. Co este f geerlmete se troduce u vrle crcterístc "X" correspodete l suceso A que cept el vlor cudo prece el suceso A y el vlor de 0 cudo este o prece. E este cso e lugr del estudo del suceso letoro A puede estudrse l vrle letor X que puede ceptr solmete dos vlores 0 o. Ls vrles letors se puede dvdr e dos grupos: vrles cotus y vrles dscrets. L vrle X se llm cotu s est puede ceptr todos los vlores ucdos etre dos putos sore el eje rel y dscret s los vlores posles de X sore el eje rel se puede eumerr, es decr, solo los vlores seprdos etre sí sore el eje rel. E otrs plrs, podemos decr que s l vrle X puede tomr culquer vlor etre dos vlores ddos se llm cotu, s o es sí, se deom vrle dscret. So ejemplos de vrles letors cotus: ls velocddes, ls eergís, ls coordeds de ls moléculs e u gs, los errores cometdos e ls medcoes de tempertur, presó, l tempertur del re, el tempo de solucó de u prolem, los tervlos etre dos llegds, el tempo de servco, l ltur del homre, l cocetrcó de los átomos rdctvos, los prámetros físcos de u medo o homogéeo, tles como: coefcetes de dfusó, cpcdd clorífc, coductvdd eléctrc y clorífc, l tempertur T regstrd cd med hor e u oservtoro, etc. So ejemplos de vrles letors dscrets: el úmero de átomos que choc cotr l pred de u recpete, el úmero de moléculs ectds, el úmero de epermetos correctos, l ot del eme, el úmero de lumos de l clse, el úmero de crs pr ses lzmetos de u moed, el úmero de los detes, l ctdd de dero, el úmero de lros e u estte de u lrerí, l sum de los putos otedos e u lzmeto de u pr de ddos, etc. U vrle se deot por u letr myúscul del lfeto, por ejemplo, X, Y, Z, y por l letrs músculs, y, z los vlores que puede tomr ests vrles detro de u cojuto llmdo domo de l vrle. r ls vrles letors o se puede decr pror, qué vlor cept e el epermeto, pero cs sempre se puede crcterzr ls poslddes de prcó de los vlores dferetes, es decr, se puede predecr que uo u otro vlor prezc co myor proldd. Co este f e l teorí de prolddes se troduce l desdd de dstrucó y l fucó de dstrucó de ls vrles letors. Co el propósto de clrr lguos coceptos cotucó se ct lgus defcoes de los coceptos áscos referdos sucesos letoros: 6. Vrles letors dscrets S X deot u vrle de este tpo, cd vez que se relce el epermeto, X podrá tomr vlores dferetes. Se deot por ( X ), l proldd del suceso correspodete que l vrle X tome el vlor ddo. De form álog, ( X ), represet l proldd de que l vrle X tome u vlor perteecete l tervlo X. S osotros pudérmos clculr l proldd ( X ) pr todos posles vlores y, tedrímos u coocmeto completo de ls prolddes co que l vrle tede tomr vlores e dferetes prtes del domo de l vrldd. E quellos csos e que esto se verfque, dremos, por cosguete, que coocemos l dstrucó de proldd, o smplemete l dstrucó, de l vrle X. U vrle letor perteece l tpo dscreto, s l ms totl de l dstrucó está cocetrd e certos putos sldos, cocedo co el eje X que es u rr ftmete delgd, sore l cul se hll dstrud u ms totl gul. S,, es u sucesó ft o ft de los vlores que puede ceptr l vrle letor X, y p, p, so ls correspodetes prolddes de que X tome los vlores,, etoces l dstrucó de l vrle letor se defe como: ( X ) p,,, (6.) uesto que e el resultdo de u epermeto l vrle X ceptrá uo de los posles vlores co l certez dee cumplrse l sguete detdd que se llm l codcó de ormlzcó: p (6.) dode l sum se etede todos posles de l vrle X. Cosderemos dos ejemplos de ls vrles letors dscrets: Ejemplo. Vrle crcterístc de u suceso letoro. A cd suceso letoro A que o sucede co l proldd q y sucede co l proldd p (p + q =) se puede poer e correspodec u vrle letor X que se llm crcterístc que dquere el vlor 0 ( 0 ) e el prmer cso, y el vlor,

2 e el segudo, es decr q X 0, p X sguete tl: Ejemplo. Vrle de Beroull Como otro ejemplo, cosderemos l vrle depedetes.. A est vrle le correspode l dstrucó dd por l p 0 q p Y correspodete l úmero de prcó del suceso A e epermetos Est vrle puede ceptr culquer úmero etero etre 0 y (e totl + vlores dferetes) co ls m m m! m m Y m C p q p q ; m 0,,,,. A est m! m! prolddes dds por l fórmul de Beroull, es decr vrle le correspode l dstrucó dd por l sguete tl: p C p q q C pq pq.. m+ m! C p q p q m! m! m m m m m... - C p q p q + C p q p 6. Vrles letors cotus. Fucó y Desdd de Dstrucó. Cosderemos u vrle letor X de tpo cotu que puede ceptr culquer vlor detro de u tervlo fto X, el cso cudo o el tervlo puede cosderrse como fto. L vrle X puede ceptr detro del tervlo cosderdo dferetes vlores co ls prolddes dferetes. Ests prolddes se defe trvés de dos crcterístcs de l dstrucó, fucó de dstrucó y l desdd de dstrucó. Defcó. L proldd de ecotrr l vrle X e u puto sore eje X l zquerd del puto se llm l FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN F ( ) F( ) ( X ) (6.). E 6.4 Fucó y Desdd de Dstrucó pr Vrles dscrets 6.5 Crcterístcs umércs de vrles letors. 6.6 Teorem de Movre-Lplce. 6.7 Teorem de Números Grdes y Teorem Cetrl de Límtes

3 U vrle letor y su dstrucó de proldd se dce que perteece l tpo cotuo s l ms totl se dstruye cotumete co u desdd f () cotu. L ctdd f () se deom desdd de proldd o fucó de frecuec de l dstrucó. L ctdd f ( ) d se deom elemeto de proldd de l dstrucó. L ms totl de l dstrucó es gul y puede epresrse medte: f ( ) d (B.5.) L fucó de frecuec es l dervd de l fucó de dstrucó y vee dd por: F ( ) f ( ) (B.5.) L ctdd de ms de u tervlo rtrro perteecete este tervlo, es: X, que correspod l proldd de que l vrle X tome u vlor ( (B.5.) X ) F( ) F( ) f ( ) d S hcemos, se otee que: F ( ) f ( ) d (B.5.4) Aálogmete pr y, f ( ) d (B.5.5) que sgfc que l ms totl de l dstrucó es l udd. E coclusó, podemos decr que culquer fucó f (), que stsfg ls terores codcoes de cotudd, defe u dstrucó de tpo cotuo, sedo f () l fucó de frecuec, sempre y cudo f () se postv pr todo vlor de y stsfg l ecucó (B.5.5) B.4. Dstrucoes de proldd de vrles letors dscrets U prte muy mportte de l teorí de prolddes pr el álss estdístco es l que estud ls dstrucoes de ls vrles letors. L dstrucó de proldd, se refere l coleccó de vlores de l vrle letor y l dstrucó de prolddes etre éstos. S emrgo, hcer referec l dstrucó de proldd de X o sólo mplc l estec de l fucó de proldd, so tmé l estec de l fucó de dstrucó cumultv de X. L fucó de dstrucó F () de l vrle letor X, puede epresrse medte F( ) ( X ). S y so dos úmeros reles, tles que De l regl de dcó se deduce que:, los sucesos X y X será mutumete ecluyetes y su sum será el suceso X. ( X ) ( X ) ( X ) (B.4..) y de quí:

4 ( X ) F( ) F( ). (B.4..) Esto sgfc que s coocemos l fucó de dstrucó F () pr todos los vlores de, l dstrucó de proldd de l vrle quedrá completmete determd. Culquer fucó de dstrucó F () es u fucó o decrecete de l vrle rel, dedo que tod proldd es u úmero o egtvo, por cosguete F( ) F( ). r vrles que solmete tom vlores ftos se tee ls sguetes relcoes: F( ) lím F( ) F( ) lm F( ) 0 (B.4..) (B.4..4) S e l ecucó (B.4..) se mtee fjo y hcemos que ted, y efectumos el proceso cotrro, tedremos: F( ) F( 0) ( X ) (B.4..5) F ( 0) F( ) 0 (B.4..6) L relcó (B.4..6) os dce que culquer fucó de dstrucó F () es cotu l derech pr todos los vlores de. E cmo l relcó (B.4..5) dc que F () es dscotu l zquerd e todo puto =, tl que ( X ) 0 y que e tl puto F () tee u slto de ltur ( X ). Iversmete, de l relcó (B.4..5) se deduce que s F () es cotu e certo puto, etoces ( X ) 0 U represetcó que se utlz frecuetemete cosste e cocer el eje X como u rr ftmete delgd sore l cul se hll dstrud u ms gul, dode su desdd puede vrr e dferetes prtes de l rr. S deotmos por F () l ctdd de ms stud l zquerd del puto, o e el msmo puto, etoces l fucó F () tee ls msms propeddes de l fucó de dstrucó. L ctdd de ms que perteece u tervlo rtrro X será gul F( ) F( ), que correspode l proldd de que l vrle tome u vlor perteecete este tervlo. Culquer fucó de dstrucó de proldd qued completmete crcterzd por medo de l fucó de dstrucó F () correspodete. L gr ctdd de dstrucoes de proldd perteece uo u otro de los dos tpos de dstrucoes coocds como dscret y cotu. U vrle letor y su dstrucó de proldd perteece l tpo dscreto, sí plcdo l logí teror, l ms totl de l dstrucó está cocetrd e certos putos sldos y s e u tervlo fto este u úmero fto de putos de ms. Se,, u sucesó ft de putos de ms, co sus correspodetes ctddes de ms p,,,, so los úcos vlores posles de l vrle X, y l proldd de que X tome u vlor ddo L ms totl de l dstrucó vee dd por: p, (B.4..7) e dode l sum dee etederse tod l sucesó ft o ft de los putos de ms. L fucó de dstrucó F () pr u dstrucó de este tpo es: F( ) p (B.4..8) U ejemplo de est fucó de dstrucó es l fucó esclod. E cd puto de ms u dscotudd, co u slto de ltur p. p es gul. Etoces p., l fucó de dstrucó preset

5 F () Fgur B.4.. Fucó de dstrucó dscret L fgur (B.4.) muestr el dgrm de proldd de l dstrucó mostrd e l fg. (B.4.). f () Fgur B.4.. Dstrucó de proldd de l fucó dscret de l fgur B.4. B.4. Crcterístcs umércs de u dstrucó Ls crcterístcs umércs so los prámetros de l dstrucó, que e form cocs reflej los rsgos más esecles de l dstrucó, sí como pr l estdístc descrptv so ls crcterístcs de tedec cetrl y crcterístcs de dspersó. Defcó : L esperz mtemátc de l vrle letor X es el úmero m que se defe medte l fórmul m (B.4..) pr ls vrles dscrets, y m = - f() d (B.4..) pr ls vrles cotus. Clro que ls fórmuls (B.4..) y (B.4..) so álogs ls fórmuls pr l med muestrl e ls estdístc descrptv, dode e lugr de ls prolddes y ()d (pr el tervlo etre y +d) se utlz ls frecuecs reltvs.

6 Ejemplo : Idvdulmete 4 lumos prepr ls tres co l proldd = 0.8. L vrle Y 4 es el úmero de lumos que preprro l tre. Cuál es l proldd mtemátc de l vrle Y 4?. Solucó: L vrle Y 4 puede ceptr los vlores de 0,,,,4, co ls prolddes que puede clculrse por medo de l fórmul de Beroull 4! Y 0 Y 4 0 q (B.4..) 0!4! 4! Y Y 4 q 4(0.8)(0.) (B.4..4)!! 4! Y Y 4 q 6(0.8) (0.) 0. 56!! (B.4..5) 4! Y Y 4 q 4(0.8) (0.) !! (B.4..6) 4! Y 4 Y 4 4 q (0.8) !0! (B.4..7) L tl correspodete l dstrucó es: y y De quí se deduce que l esperz mtemátc es 5 m y y. (B.4..8) 0 Este es u resultdo evdete, puesto que m y = = (4)(0.8) =. Ejemplo : Se l vrle letor X cotu que tee l desdd de dstrucó represetd e l gráfc (B.4..) 0; 0 f ( ) ; 0 (B.4..9) 0; Cuál es l fucó de dstrucó de l vrle X y su esperz mtemátc? f () Fgur B.4... Gráfc de l desdd de dstrucó pr u fucó cotu

7 0 Solucó: rmermete otremos que el áre totl jo l curv de l desdd de dstrucó es gul. r clculr l fucó de dstrucó utlzremos ls fórmuls f ( ) F( ); F( ) f ( ) d, que so stsfechs por l fucó sguete: 0; 0 F ( ) ; 0 (B.4..0) 4 ; L fucó (B.4..0) se represet e l fg. (B.4..) F(X) X Fgur B.4... Fucó cotu correspodete l ecucó (B.4..0) Además est fucó stsfce ls codcoes F ( ) F( ). r determr l esperz mtemátc de l vrle X utlzremos l fórmul (B.4..) 4 m f ( ) d d d (B.4..) Defcó : L mgtud defd por l fórmul 0 ( m ) ( m ) p ( ),, (B.4..) pr vrles letors dscrets, y por l fórmul: ( m ) f ( ) d;,,, (B.4..) pr ls vrles letors cotus, se llm -ésmo mometo cetrl de l vrle letor X. L terpretcó de los mometos cetrles es muy secll. Ls mgtudes - m crcterz ls desvcoes de l vrle letor X de su esperz mtemátc. De otro ldo los vlores crcterz l proldd pr ecotrr l desvcó m pr l vrle letor X y por lo tto puede terpretrse como l esperz mtemátc de ls desvcoes del vlor de l esperz mtemátc e el orde De ls defcoes (B.4..) y (B.4..) se deduce que:

8 , 0 (B.4..4) 0 Es decr, el mometo cetrl de orde cero es gul uo segú l codcó de ormlzcó y el mometo cetrl de orde uo es gul cero; de hí el terés de represetr solo los mometos cetrles prtr del segudo mometo. Defcó : El segudo mometo cetrl se llm l vrz de l dstrucó y está defdo por: D( ) - ( m ) ( m ) p ( ) f ( ) d pr vrles dscrets pr vrles cotus (B.4..5) Defcó 4: L ríz cudrd de l vrz se llm desvcó estádr y se deot por: Vr ( ) D ( m ) p ( ) (B.4..6) o todo Vr ( ) D (B.4..7) Defcó 5: L mgtud A s defd por l guldd A s (B.4..8) se llm smetrí de l dstrucó. Defcó 6: L mgtud E defd por l guldd E 4 (B.4..9) 4 se llm el eceso de l dstrucó. L terpretcó gráfc de los prámetros de dstrucó D,, A s y E es l msm que e l estdístc descrptv dscutd e el Apédce A. De ls defcoes (B.4..5) - (B.4..9) se deduce que los mometos cetrles,, y 4, determ ls crcterístcs mporttes. ero el cálculo de los mometos cetrles drectmete de ls fórmuls (B.4..) y (B.4..), veces o es cómodo y por eso se troduce los mometos cles. Defcó 7: L mgtud, defd por l fórmul p pr vrle dscret f ( ) d pr vrle cotu j (B.4..0) - se llm -ésmo mometo cl de l vrle X.

9 Este u otcó pr defr l esperz mtemátc de l vrle X. m M X (B.4..) que es muy cómod pr clculr ls esperzs mtemátcs de ls comcoes leles de ls vrles, puesto que: M C X C Y C M X C M X ; MC C (B.4..) Los mometos cles y los mometos cetrles segú est otcó, puede ser represetdos e l form: M[ X ] ; m M X (B.4..) M[( X m ) ]; D M[( X m ) ] (B.4..4) Ls fórmuls (B.4..) - (B.4..4) puede ser utlzds pr deducr ls relcoes etre los mometos cetrles y los mometos cles. or ejemplo: M[ X m ) M[ X M M M ] m m ] M[ X m Xm M[ X m ] M[ X ] m m ] m M ( X m ) M X X m Xm m X m M X m M X m X m M X m m X M[ m ] (B.4..5) (B.4..6) r osotros es más mportte l prmer guldd: D m ; m M X (B.4..7) Cosderemos dos ejemplos de utlzcó de l fórmul (B.4..7). Ejemplo : U lumo puede solucor uo de cd de tres prolem co l proldd L vrle Y es l ctdd de prolems solucodos. Hllemos l esperz mtemátc m, el segudo mometo cl, l vrz D y y l desvcó estádr y de l vrle Y. L vrle Y puede ceptr los vlores 0,,,. Segú l fórmul de Beroull pr el esquem de ls prues depedetes ( =, = 0.6, q = 0.4).! 0 Y 0 Y 0 q (B.4..8) 0!!! Y Y q (0.6)(0.4) 0. 8 (B.4..9)!!! Y Y q (0.6) (0.4) 0. 4 (B.4..0)!!! 0 Y Y q (B.4..)!0! L tl correspodete l dstrucó puede ser represetd de l form sguete:

10 y y 0 0,064 0,088 0,4 0,6,00 0 0,88 0,864 0,648,800 y 0 0,88,78,944,960 Segú est tl y, 8 (B.4..) y, 96 (B.4..) m,8 (B.4..4) y D m,96,4 0,7 (B.4..5) y y D 0,7 0,86 (B.4..6) y y Ejemplo : L desdd de dstrucó pr los tervlos T etre dos llegds u guguá tee l form dcd e l Fg.(B.4..). Fgur B.4... Desdd de dstrucó etre dos llegds de u guguá 0; t 0 f ( ) t ; 0 t 8 (B.4..7) 0; t 8 Hllemos ls crcterístcs mt, D t,, y pr l vrle t. rmermete clculremos los mometos cles de l dstrucó y 8 t ( t) dt t tdt 5, 0 () 0 96 tf (B.4..8) t 8 8 f ( t) dt t tdt 0 (4) 0 8 De quí: t (B.4..9)

11 m 5, (B.4..40) t D m 8,4,59 (B.4..4) t t D,59,89 (B.4..4) t t Más delte cosderremos certs dstrucoes mporttes que se ecuetr frecuetemete e l estdístc y dscutremos como puede clculrse ls crcterístcs de ests dstrucoes. B.5 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS L vrle letor cotu se dpt como modelo mtemátco pr feómeos físcos. Est puede tomr culquer vlor sore el eje rel. L vrle letor cotu es más turl que l dscret. Ls vrles físcs como logtud, ms, tempo, se trt como ctddes cotus. U velocdd puede ser: 0; 0.; 0.; 9.99 m/s. L flt de recursos pr hcer ls medcoes, os coduce promr ls medds de tles ctddes y lmtrls u cojuto de vlores dscretos. Como djmos terormete l vrle letor dee tomr todos los vlores sore el eje, pero dee eclurse los vlores reles egtvos, porque estos se les sg u proldd ul. U vrle letor y su dstrucó de proldd se dce que perteece l tpo cotuo s l ms totl se dstruye cotumete co u desdd f () cotu. L ctdd f () se deom desdd de proldd o fucó de frecuec de l dstrucó. L ctdd f ( ) d se deom elemeto de proldd de l dstrucó. L ms totl de l dstrucó es gul y puede epresrse medte: f ( ) d (B.5.) L fucó de frecuec es l dervd de l fucó de dstrucó y vee dd por: F ( ) f ( ) (B.5.) L ctdd de ms de u tervlo rtrro perteecete este tervlo, es: X, que correspod l proldd de que l vrle X tome u vlor ( (B.5.) X ) F( ) F( ) f ( ) d S hcemos, se otee que: F ( ) f ( ) d (B.5.4) Aálogmete pr y, f ( ) d (B.5.5) que sgfc que l ms totl de l dstrucó es l udd.

12 E coclusó, podemos decr que culquer fucó f (), que stsfg ls terores codcoes de cotudd, defe u dstrucó de tpo cotuo, sedo f () l fucó de frecuec, sempre y cudo f () se postv pr todo vlor de y stsfg l ecucó (B.5.5) Ejemplo: U vrle letor co fucó de frecuec f () defd por: f ) 0 pr ( (B.5.6) e otro cso se dce que tee u dstrucó rectgulr e el tervlo (, ) ó que se dstruye uformemete e el tervlo (, ). L fucó de dstrucó correspodete se otee tegrdo l fucó de frecuec (B.5.6), ddo por resultdo: 0, pr F( ), pr (B.5.7), pr Los gráfcos correspodetes l fucó de dstrucó de tpo cotuo (B.5.7) y l F() Fgur B.5.. Fucó de dstrucó de tpo cotuo fucó de frecuec (B.5.6) se dc e ls fgurs (B.5.) y (B.5.) respectvmete. Fgur B.5.. Fucó de frecuec correspodete l dstrucó de l fg. (B.5.) El vlor promedo de l vrle letor se otee de l sguete mer:

13 d ( ) El promedo del cudrdo de l vrle letor está dd por: d ( ) L vrz de se otee de l sguete form: ( ) 4 r el cso prtculr e el que =0 y =, etoces. ( ) B.6 FUNCION Y DENSIDAD DE DISTRIBUCION U prte muy mportte de l teorí de prolddes pr el álss estdístco, es l que estud ls dstrucoes de ls vrles letors. E geerl, u vrle letor dscret X, represet los resultdos de u espco muestrl e form tl que por ( X ) se etederá l proldd de que X tome el vlor de. De est mer es posle costrur u fucó mtemátc que sge u proldd cd vlor de l vrle letor X. Est fucó rece el omre de fucó de proldd de l vrle letor X. S l vrle letor dscret X cept los vlores:,,,, co ls prolddes: p, p,, p, respectvmete, etoces, deotdo por ( X ), l proldd del suceso correspodete que l vrle X tome el vlor ddo, l relcó etre y p geerlmete se deot por: X ) p ;,,,..., (B.6.) r ls prolddes p dee cumplrse l relcó p (B.6.) que se llm codcó de ormlzcó. S los vlores y so coocdos se dce que l dstrucó de l vrle letor es dd. L fucó ( ) ( ) F ( ) (, ) { }, (B.6.) dode - y + so vlores permtdos de, es llmd fucó de dstrucó de l vrle letor. ( ) S l dstrucó F ( ) es dferecle, etoces, su dervd co respecto es ( ) d ( ) f ( ) F ( ) (B.6.4) d y se deom desdd de proldd de e el puto. L fucó de desdd de prolddes (FD) de u vrle letor cotu es u fucó f (), tl que l proldd de X esté e el tervlo, d, dode el eje se h dvddo e u úmero sufcetemete grde de tervlos de logtud ftesml d. El áre jo l fucó de desdd de proldd (FD) e u tervlo, represet l proldd de que l vrle letor tome u vlor e ese tervlo, sí: X f ( ) d (B.6.5)

14 El vlor de (), o represet u proldd, sólo es l medd de l desdd de l proldd e el puto. Los vlores de f f () o ecesrmete so meores que, pero dee cumplr ls sguetes codcoes: ) f ( ) 0 (B.6.6) ) f ( ) d (B.6.7) L dstrucó de u vrle letor dscret frecuetemete se preset e form de u tl. X Est tl correspode ls frecuecs reltvs de u muestr e estdístc descrptv y demás semos que cudo el volume de l muestr tede fto, ls frecuecs reltvs se trsform e ls prolddes. De quí se deduce que, l dstrucó de u vrle letor es u límte, l que tede l tl de frecuecs reltvs de u muestr, cudo el volume de l muestr tede fto. Igulmete se puede costrur u tl álog l de ls frecuecs reltvs cumulds, l cul costtuye l fucó de dstrucó de l vrle letor. Defcó: L fucó de dstrucó de u vrle letor X, es l fucó F(), que es gul l proldd de que l vrle letor X cept el vlor : F( ) X (B.6.8) Es clro que pr l vrle dscret, l proldd de que l vrle X se meor que, es gul l sum de ls prolddes pr tods ls que o so myores que. Es decr: F ( ) (B.6.9) L tl correspodete l fucó de dstrucó de u vrle letor dscret, geerlmete tee l form sguete: X... - > F() El gráfco correspodete l fucó de dstrucó de u vrle letor dscret F(), se muestr e l fg.(b.6.). F() Fgur B.6..

15 E el cso de repetcó de prues se troduce l vrle Y ( es el úmero totl de ls prues depedetes) que es gul l úmero de prues e que prece el suceso A. Clro que l vrle letor Y puede ceptr todos los vlores eteros desde 0 hst. Cosderremos u ejemplo de dstrucó dscret deomd dstrucó de scl: Supogmos que después de u eplccó, el lumo comprede el tem co l proldd 0.7. Itroducremos l vrle letor R que es gul l úmero de eplccoes pr que el lumo compred este tem. Clro que el úmero de ls eplccoes R puede ceptr todos los vlores eteros postvos =,,,... L proldd de que el lumo compred el tem después de l prmer eplccó es: {R= }= = 0.7 (= ) L proldd de que el lumo compred el tem después de l segud eplccó, es u suceso compuesto, que cosste de que el lumo o compred l prmer vez y compred l segud vez. {R= }= A A ) ( A ) ( A ) 0,(0,7) 0, (B.6.0) ( Aálogmete, pr después de l tercer, curt, qut y -ésm eplccó se otee: {R= }= ( A ) ( A ) ( A ) ( ) 0, (0,7) 0, 06 (B.6.) {R= 4}= ( A ) ( A ) ( A ) ( A ) ( ) 0, (0,7) 0, 08 (B.6.) {R= 5}= ( A ) ( A ) ( A ) ( A4 ) ( A5 ) ( ) 0, (0,7) 0, 0057 (B.6.) {R= }= ( A ) ( A )... ( A ) ( A ) ( (B.6.4) ) L dstrucó correspodete es: R Que gráfcmete puede represetrse del modo sguete (Fg.B.6.): Fgur 4 B R E este cso l vrle R puede ceptr u úmero fto, de dsttos vlores eteros desde hst fto, co ls sguetes prolddes: R ( ) ;,, (B.6.5) L dstrucó dd por l ecucó (B.6.5) se llm dstrucó de scl. E l teorí de prolddes se cosder tmé otros tpos de dstrucoes de vrles letors dscrets. Mecoremos ls dstrucoes de osso, de Bet y de Gmm. ero pr osotros so más mporttes ls dstrucoes de ls vrles letors cotus que se us más frecuetemete e estdístc.

16 Ahor cosderremos l vrle letor X que cept todos los vlores detro de u tervlo [, ]. r est vrle troducremos l fucó de dstrucó F(), que es l proldd de que l vrle X o se myor que. Es decr, l fucó de dstrucó e este cso se defe álogmete l defcó (B.6.8) pr ls vrles letors dscrets. L fucó de dstrucó tee ls sguetes propeddes geerles: ) F () es u fucó que o decrece e gú puto, es decr, s, etoces F( ) F( ). E efecto, como X X, pr, etoces F( ) F( ). ) F ( ) 0, puesto que F ( ) X 0. ) F ( ), puesto que F ( ) X. 4) L proldd de que l vrle X esté stud etre y, { X < }, puede clculrse trvés de l fucó de dstrucó. X F( ) F( ) (B.6.6) e efecto: X X X F( ) F( (B.6.7) ) Fgur B.6.. Fucó de dstrucó de tpo cotuo De lo teror se deduce que el gráfco de l fucó de dstrucó de l vrle letor cotu dee teer solo l form mostrd e l Fg. (B.6.). Se puede precr que l fucó de dstrucó de l vrle letor cotu es cotu, es decr, o preset sltos como l fucó de dstrucó de ls vrles dscrets. Ahor cosderremos u tervlo pequeño de vlores posles de l vrle X etre y de dstrucó ; segú l curt propedd de l fucó X F( ) F( ) (B.6.8) Es decr, l proldd de que l vrle X cept el vlor detro de este tervlo es gul l cremeto de l fucó de dstrucó. or otro ldo, del álss mtemátco se se que el cremeto de l fucó pr u tervlo pequeño puede epresrse e térmos de l dervd de l fucó F(): F( ) F( ) F( ), por cosguete, X F ) ( (B.6.9) L dervd de l fucó de dstrucó F (), tmé jueg u ppel mportte e l teorí de prolddes, se deom desdd de dstrucó y se deot por (). Es decr: f ( ) F( ) (B.6.0) L fucó de dstrucó tee ls propeddes geerles sguetes: ) f ( ) f ( ) 0 (B.6.) ) L proldd de que l vrle letor cept lgú vlor detro del tervlo X, ver Fg. (B.6.4), es gul l áre jo l curv del gráfco y = () e el tervlo [, ].

17 y = f() Fgur B.6.4. Est propedd puede escrrse medte l fórmul: { X < }= f() d (B.6.) ) El áre totl jo l curv y = () dee ser gul. Est codcó se llm l codcó de ormlzcó y puede escrrse e form lítc. - f() d = (B.6.) 4) Etre l fucó de dstrucó F() y l desdd de dstrucó f () este ls sguetes relcoes: f() = F () ; F() = - f() d (B.6.4) 5) El vlor f ( ) d pr pequeños vlores de es gul l proldd de que l vrle X est stud detro del tervlo, d, es decr: f ( ) d X d (B.6.5)

18 AENDICE C TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE C. TEOREMA DE LOS NÚMEROS GRANDES Y MÉTODO EXERIMENTAL ARA DEFINIR LAS ROBABILIDADES DE SUCESOS ALEATORIOS L proldd (A) es u crcterístc umérc del suceso letoro A, que crcterz l posldd de su prcó e el epermeto. S es l ctdd de los epermetos y A es l ctdd de epermetos dode A precó ( A ), etoces el vlor ( / ) se llm frecuec reltv de prcó del suceso A. E l teorí de prolddes se demuestr el teorem que A se llm l ley de los grdes úmeros; l frecuec reltv pr sempre tee u límte fto (A) prolddes se cept como l proldd de prcó del suceso A e cd epermeto, es decr: A) lm A lm ( (C..), que e l teorí de Este teorem tee gr mportc pr l teorí de prolddes y estdístc, puesto que señl l estec de u vlor repetdo pr todos los epermetos, e los cules los resultdos puede ser dferetes. Segú l ley de los grdes úmeros pr todos los epermetos, ls frecuecs reltvs tee sempre solo u lmte, cudo el úmero de los epermetos crece defdmete y este límte puede ceptrse como l proldd de prcó del suceso A e cd epermeto. Los prolems fudmetles de l teorí de prolddes se reduce proostcr los resultdos posles del epermeto pr ls prolddes de los sucesos, los cules se supoe coocdos pror. or ejemplo, s l proldd de l prcó del suceso A e cd epermeto es gul, cuál es l proldd de que el suceso prezc m veces, e epermetos? (m ) Es u prolem típco de l teorí de prolddes. Los prolems fudmetles de l estdístc mtemátc so versos los prolems de l teorí de prolddes y se reduce e l myorí de csos l úsqued de ls prolddes (A) de los resultdos del epermeto. or lo tto e l teorí de prolddes, se supoe que ls prolddes de prcó de los sucesos so coocds pror y los vlores (A), (B), (C),..., so fjos. Además se supoe que estos vlores, puede ser hlldos posteror de los resultdos del epermeto, empledo los métodos de l estdístc mtemátc. C. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE E l teorí de prolddes este dos teorems sore límtes que se utlz e dferetes rms de l Físc. Estos teorems se refere u vrle letor, l cul es tmé u vlor promedo de ls otrs vrles letors: X = X (C..) = Supogmos que tods ests vrles so depedetes etre sí y que su vrz es gul. E este cso, ls crcterístcs correspodetes l vrle X, so respectvmete = y = (C..) dedo que este ls sguetes propeddes pr ls vrles depedetes:

19 M c X c X c M c X (C..) De l Ec. (C..) se deduce que, co el crecmeto del úmero de sumdos l vrz decrece y e el límte, cudo, y o es u vrle letor, so u vlor determst que cocde co su vlor esperdo. Est frmcó, es l cosecuec del prmer teorem de límte que se llm teorem de los úmeros grdes. L segud frmcó cosste e que, co el crecmeto de l dstrucó de l vrle X se hce más estrech y se cerc más y más u dstrucó orml. E el límte, cudo, l dstrucó de X sempre es orml. Esto es u frmcó muy fuerte. E efecto se sum vrles letors co ls dstrucoes rtrrs y sempre l sum tee l dstrucó orml!. Este teorem se formul del modo sguete: Se X, co =,,...,, us vrles letors depedetes co vlor esperdo y vrzs, ( =,,..., ). L sum X = = X tee l dstrucó orml co l desdd (- ) - () = e (C..4) co los prámetros ; (C..5) = = = cudo. Cosderemos dos plccoes de este teorem. L prmer plccó está relcod co l dstrucó de Beroull y l segud co u dstrucó homogée. Segú el teorem cetrl del límte pr vlores grdes de l dstrucó de Beroull se trsform e l dstrucó orml, y que y = X + X +...+X. L proldd m,, que e prues el suceso A prezc m veces, pr, es promdmete gul : m, = e pq (m-p) - pq Est es l llmd fórmul de Movre-Lplce. (C..6) Ejemplo de plccó de l fórmul (C..6). Cosderemos u prolem que es de much mportc, e l teorí de los gses, líqudos y sóldos compoetes, cudo estos cotee átomos de dos tpos: A y B y co cocetrcó c y (-c) respectvmete. Supogmos que escogemos u muestr co átomos y deotremos por cˆ l cocetrcó de los átomos A e l muestr. Evdetemete, l cocetrcó cˆ es u vrle letor y su dstrucó, segú l fórmul (.5..) tee u dstrucó orml, co desdd y vrz dds respectvmete por: (c)= e c( - c) = (c-c ˆ ) - ˆ ; (C..7)

20 r est dstrucó se trsform e u fucó delt: c c c hce más estrech cudo crece. Otr plccó del teorem cetrl de límte, está relcod co l dstrucó homogée. Tomemos u vrle letor, r = Rdom -/ (C..8) y pr vlores grdes y ftos de, l dstrucó se como l vrle Rdom es u vrle homogée detro del segmeto [0,], l vrle r tee dstrucó homogée detro del segmeto [-/,/] y tee ls sguetes crcterístcs: < r >= 0; r = / (C..9) cosderemos l vrle X, dd por: ˆ ˆ X = = r (C..0) Est vrle tee u vlor esperdo 0, vrz y segú el teorem cetrl del límte su dstrucó es promdmete orml. Otr vrle X - m y = (C..) tee u dstrucó orml co vlor esperdo m y tee vrz. L vrle (C..0) o es precsmete u vrle orml, puesto que solo cept vlores detro de u segmeto [-6,6], metrs que l vrle orml los cept sore todo el eje rel. r oteer u vrle que teg u dstrucó orml más precs, es ecesro gregr más térmos e l sum: X = = r; =,,,... (C..) ero e l práctc, l myorí de veces l promcó (C..0) es sufcetemete ue y esto lo cofrm los epermetos umércos. S emrgo este u cso prtculr, pr el cul ls prolddes de prcó de los sucesos puede ser clculdos s epermeto. Este es el esquem clásco de ls urs. Deotremos por p ls prolddes correspodetes ls vrles dscrets p = {X = } (B...) y por () l desdd de dstrucó de l vrle cotu ()d = { X < +d} (B...) Bjo ests crcterístcs se dee cumplr l codcó de l ormlzcó p ; ( ) d (B...) tto pr el cso dscreto como pr el cso cotuo respectvmete, l cul es l frmcó trvl de que e el resultdo epermetl l vrle letor sólo cept uo de los vlores posles co l proldd del ceto por ceto.

21 Otr crcterístc mportte de ls vrles letors, es l fucó de dstrucó tegrl, e l cul cd puto sore el eje rel, d l proldd de que e el resultdo del epermeto l vrle letor cept uo de sus posles vlores l zquerd del puto. F() = {X < } (B...4) Ls crcterístcs más mporttes de ls vrles letors cotus so l desdd de dstrucó () y l fucó de dstrucó tegrl F (). Formulmos lgus de sus propeddes:. L fucó F() es u fucó que o decrece e gú puto, es decr >, etoces F( ) F( ). E efecto, como X ) ( X ) pr >, etoces F( ) > F( ) (. F(+ )=, puesto que F( )= {X < }=. F(- )= 0, puesto que F(- )= {X < -}= 0 4. Ls fucoes () y F() se relco trvés de: F() = (t)dt (B...5) () F () (B...6) 5. L proldd de que l vrle letor cepte u vlor detro del tervlo [, ) es gul : { X < }= F( ) - F( )= ()d (B...7) L terpretcó geométrc de est guldd cosste e que l proldd es gul l áre jo l curv (). Este otr posldd pr descrr crcterístcs geerles de vlores letoros y es trvés de ls crcterístcs umércs. Hy dos tpos de ésts: crcterístcs de tedec cetrl y ls crcterístcs de dspersó. L crcterístc más mportte del prmer tpo es el vlor esperdo: =< >. El vlor esperdo (o el vlor promedo) se clcul trvés de ls fórmuls: m y del segudo tpo es l vrz m =< >= = + - p pr X dscret ()d pr X cotu (B...8) y l vrz trvés de - < > = p p - p =< > - < > = = = Vr( ) = (B...9) - < > ()d = ()d - ()d B. VARIABLE CARACTERISTICA ARA UN SUCESO ALEATORIO

22 L vrle crcterístc de u suceso letoro A es X, que cept el vlor de 0 s el suceso A o prece y el vlor de s el suceso A prece. Se l proldd de prcó del suceso A etoces X A 0 (B..) X A (B..) Y l dstrucó de l vrle es Que se puede represetr gráfcmete (X) X 0 ( ) Fgur B... Dstrucó de l vrle letor X L fucó de dstrucó de l vrle letor X tee l form X Fgur B... Fucó de dstrucó de l vrle letor X correspodete l fg. B..