Sistemas de Ecuaciones Lineales

Transcripción

1 étodos Numércos pr Igeeros Sstems de Ecucoes eles E l udd dos hemos usdo métodos umércos pr determr el vlor de que stsfce u ecucó, f(. Ahor, determremos los vlores de u couto de cógts que stsfce u sstem de ecucoes. Por lo tto, el oetvo de est Udd es troducr l estudte e los coceptos áscos del cálculo mtrcl. Al fl de l Udd, el estudte será cpz de hcer opercoes áscs sore ls mtrces (versó, determte, descomposcó U y de resolver sstems de ecucoes leles por métodos drectos e tertvos, sedo seleccor l herrmet decud e el mometo decudo. El estudte será gulmete cpz de dgostcr l cldd de l solucó oted. Como es e sdo, el cálculo mtrcl está lgdo umerosos prolems de geerí y srve de herrmet e l solucó de muchos otros métodos umércos. Por eemplo, e el pltemeto de ls ecucoes de coservcó de l ms y de coservcó de l eergí, se escre relcoes leles, que permte oteer l ctdd de mter que crcul e cd u de ls corretes de u plt. E l solucó de certos prolems de feómeos de trsporte, l trsformcó de ecucoes dferecles o e dervds prcles se otee trvés de u escrtur lel e dode prece mtrces d. El crácter t geerl de los sstems leles hce ecesr su presetcó. solucó de los sstems leles se muestr hcedo éfss sore l seleccó del tpo de método e fucó del tpo de mtrz. Udd III P- étodos Numércos pr Igeeros Sstems de Ecucoes eles - Defcoes y Termologí U mtrz cosste e u rreglo rectgulr de elemetos represetdo por u solo símolo. Tl como se oserv más o [A] es l otcó cort pr l mtrz y desg u elemeto dvdul de l mtrz. U couto horzotl de elemetos es llmdo regló o fl; y uo vertcl, colum. El prmer suídce sempre desg el úmero del regló e el cul está el elemeto. El segudo suídce desg l colum. mtrz podrá ser represetd por ls forms sguetes: A [ A] { } O m m m m mtrz A se llm de dmesó (u orde m. sum de dos mtrces de orde m, se defe por l relcó CA+B e dode cd uo de los térmos se otee por c +. mtrz E (de orde p resultte del producto de l mtrz A (de orde m y de l mtrz B (de orde mp se otee medte l relcó: m e Ce señlr que l sum de dos mtrces es comuttv, A+BB+A, metrs que el producto es dstrutvo co respecto l dcó C(A+BCA+CB. El producto o es comuttvo, es decr AB BA. U mtrz cuyo úmero de colums y de líes es el msmo, es u mtrz cudrd. dgol de u mtrz es el couto de elemetos tles que el ídce de l líe es gul l ídce de l colum (o se todos los coefcetes. mtrz ul está costtud eclusvmete de elemetos ulos. mtrz utr (o detdd, I, cotee e l dgol y e ls demás poscoes. I O Udd III P-

2 étodos Numércos pr Igeeros Sstems de Ecucoes eles - Defcoes y Termologí mtrz trspuest, A T, de u mtrz m es u mtrz de orde m e dode tods ls fls h sdo tercmds etre sí. U mtrz de dmesó se llm vector colum. trspuest del vector colum es u mtrz de dmesó, llmd tmé vector fl. Certs forms de mtrces tee u omre especl socdo. Por eemplo u mtrz smétrc, S, es u mtrz cudrd que es gul su mtrz trspuest tl que. U mtrz trgulr superor, U, cotee elemetos o ulos por ecm de (e clusve e l dgol metrs que l mtrz trgulr feror,, los tee por deo de l msm. S O trz Smétrc l l l l l l l l l O l trz Trgulr Iferor T A m m O m m trz Trspuest u U u u u u u u u u O u trz Trgulr Superor Udd III P- étodos Numércos pr Igeeros Sstems de Ecucoes eles - Defcoes y Termologí Se suele dr el omre de trgulr superor o feror utr u mtrz trgulr cuy dgol está coformd eclusvmete por. Se llm trz de u mtrz l sum de los vlores perteecetes su dgol. El rgo de u mtrz es l dmesó del espco mge de l mtrz, es decr, el espco de los vectores v tl que Av. Este espco h de estr costtudo prtr de u se vectorl, o se u couto de vectores lelmete depedete. Se llm verso de u mtrz deotd A - tl que su producto por l mtrz A se gul l mtrz detdd. Vle señlr que pr u mtrz de orde m, l mtrz vers puede ser defd de dos forms dstts, hcedo el producto co u mtrz vers zquerd A - I o co u mtrz vers derech A - tl como: D A- A I (m y (m (mm, I AA- D I (m y (m (. E el cso de mtrces cudrds, l mtrz vers zquerd y l mtrz vers derech so gules, por lo tto se tee l relcó: A - AAA - I. mtrz vers este, s y solo sí, el determte de A es dstto de cero. Se le d el omre de mtrz sgulr u mtrz cuyo determte es ulo. El determte, det(a, de u mtrz cudrd es el úmero correspodete l sum de los productos otedos relzdo tods ls permutcoes posles etre los coefcetes de u líe (o u colum y los demás coefcetes det( A A S cuyo úmero de líe y de colum se dstto. Udd III P-4

3 étodos Numércos pr Igeeros Sstems de Ecucoes eles - Defcoes y Termologí Dode S es el cofctor defdo como el determte de l sumtrz de orde (-(- e el cul se elmro l fl y l colum, multplcdo por el coefcete (- +. U propedd mportte del determte, propedd que permte e muchos csos clculr el vlor rel del determte por ví drect: AB C det (A det(b det(c. El determte de u mtrz se crcterz por us propeddes relevtes, etre ls cules se ct: S culquer fl o colum es el vector ulo, etoces el determte es ulo. S se multplc u fl o u colum por el esclr c, etoces el detrmte de l mtrz resultte es c det(a. S se multplc tods ls fls por c y sedo l mtrz de orde, el determte se trsform e c det(a. S se tercm dos fls o colums, el determte de l mtrz resultte es gul -det(a. S u múltplo de u fl (o colum de A se sum otro regló (o colum de A, etoces el vlor del determte o cm. El determte de u mtrz trgulr es el producto de los elemetos de l dgol. os utovlores so los vlores solucó del polomo del grdo tl como el determte de l dferec (A-λI se ulo. os utovlores puede ser compleos. U mtrz defd postv tee utovlores eclusvmete reles. Est formulcó provee de u relcó más mpl e dode se def los utovectores como (A-λIv, e dode λ es el couto de los utovlores y v los utovectores. Udd III P-5 étodos Numércos pr Igeeros Sstems de Ecucoes eles U sstem lel es u couto de ecucoes, tods leles que relco cógts. Se represet de l form sguete: ( Este couto de cógts puede ser escrto fáclmete e form mtrcl, oteédose el producto de u mtrz cudrd de dmesó por u vector colum de dmesó, sedo este producto gul otro vector colum de dmesó. otcó mtrcl equvlete es A. El vector solucó de este sstem de ecucoes puede ser otedo fáclmete de l form: ca -. Es decr, que el vector solucó puede ser otedo s y solo sí l mtrz vers puede ser clculd, o se cudo l mtrz o se sgulr. O E otrs plrs, el determte de l mtrz A dee ser dstto de cero. ctdd de cálculos ecesros pr l otecó del verso de u mtrz hce poco efcete el método. Se prefere utlzr dos métodos geércos dsttos que se crcterz por efoques fudmetlmete dferetes: métodos drectvos e tertvos. os métodos drectos se s e uos lgortmos de susttucó sstemátc que permte modfcr l form de l mtrz trvés de u secuec coocd de cálculos. Por otr prte, los métodos tertvos so métodos cuy ctdd de cálculos es pror descoocd. Udd III P-6

4 étodos Numércos pr Igeeros étodos Drectos - étodo de Guss o de trgulrzcó El método de Guss es el método más efcete de solucó de u sstem lel. s opercoes sucesvs tee como oeto reemplzr por elemetos ulos tods ls poscoes por deo de l dgol, rzó por l cul el método de Guss tmé es llmdo método de trgulrzcó. fórmul de susttucó se plc tto los elemetos de l mtrz como el vector colum, culquer se el ídce superor. ( ( ( ( ( ( ( ( El sstem de ecucoes otedo después de ls susttucoes terores es: ( ( ( solucó del sstem lel puede ser fáclmete recostrud prtr de l sguete fórmul, teedo cuddo e empezr por los vlores más grdes de : ( ( ( ( O ( ( ( ( ( + ( ( Udd III P-7 étodos Numércos pr Igeeros étodos Drectos - étodo de Guss o de trgulrzcó Ico Ddo,,,,,, +,, FIN Sum Fctor +,, +,, Sum Sum+ * Fctor* ( Sum Fctor* Udd III P-8

5 étodos Numércos pr Igeeros étodos Drectos Use l elmcó de Guss pr resolver. Efectúe los cálculos co 6 cfrs sgfctvs. Solucó: ultplcr l prmer fl ( por el fctor, /, (. / y restr l segud fl (. ultplcr l prmer fl ( por el fctor, /, (. / y restr l tercer fl (. ultplcr l segud fl ( por el fctor, /, (-.9 / 7. y restr l tercer fl ( Se resuelve ls ecucoes por susttucó hc trás ( (.5 +.( Udd III P-9 étodos Numércos pr Igeeros étodos Drectos - étodo de Guss-Jord o de dgolzcó El método de Guss-Jord pr l solucó de sstems leles es e reldd u modfccó del método de Guss orgl. Su úc dferec resde e el hecho que e vez de relzr ls susttucoes solmete e l líe por deo del pvote, ls relz sore tods ls líes, ecepto l del pvote. ( ( ( ( ( ( ( ( El sstem de ecucoes otedo después de ls susttucoes terores es: ( ( O ( ( ( ( solucó del sstem lel puede ser fáclmete recostrud prtr de l sguete fórmul: ( ( Udd III P-

6 étodos Numércos pr Igeeros étodos Drectos - étodo de Guss-Jord o de dgolzcó Ico Ddo,, FIN,,,, +,, Fctor,, Fctor* S Fctor* Udd III P- étodos Numércos pr Igeeros étodos Drectos Use l elmcó de Guss-Jord pr resolver. Efectúe los cálculos co 6 cfrs sgfctvs. Solucó: ultplcr l prmer fl ( por el fctor, /, (. / y restr l segud fl (. ultplcr l prmer fl ( por el fctor, /, (. / y restr l tercer fl (. ultplcr l segud fl ( por el fctor, /, (-. / 7. y restr l prmer fl (. ultplcr l segud fl ( por el fctor, /, (-.9 / 7. y restr l tercer fl (. ultplcr l tercer fl ( por el fctor, /, (-.488 /. y restr l prmer fl (. ultplcr l tercer fl ( por el fctor, /, (-.9 /. y restr l segud fl ( Susttumos e cd ecucó Udd III P-

7 étodos Numércos pr Igeeros étodos Drectos - Desvets Dvsó etre cero S se us el método de elmcó de Guss pr resolver: ormlzcó de l prmer fl volucr u dvsó etre. Se puede presetr prolems cudo u coefcete es muy cerco cero. técc del pvoteo se h desrrolldo pr evtr e form prcl estos prolems. Errores de Redodeo Dedo que ls computdors me sólo u úmero lmtdo de cfrs sgfctvs, puede ocurrr los errores de redodeo y se dee cosderr l evlur los resultdos. S se us más cfrs sgfctvs, el error e los resultdos se puede reducr stte. S se us frccoes e lugr de decmles (y e cosecuec evtdo los errores de redodeo, los resultdos será ectos. El prolem de los errores de redodeo puede ser prtculrmete mportte cudo se trt de resolver u gr úmero de ecucoes. Esto se dee l hecho de que cd resultdo depede del teror. Por cosguete, el error e los prmeros psos tede propgrse. Udd III P- étodos Numércos pr Igeeros étodos Drectos - Téccs pr eorr ls Solucoes s sguetes téccs se puede corporr l lgortmo de elmcó de Guss, pr evtr lgus de ls desvets prevmete lzds. Uso de más cfrs sgfctvs El remedo más smple pr el ml codcometo es usr más cfrs sgfctvs e los cálculos. S ls computdors tee l cpcdd pr ser epdds co el f de mteer veles más grdes de cfrs, est crcterístc resolverá eormemete el prolem. Pvoteo Ocurre prolems ovos cudo el elemeto pvote es cero, y que el pso de ormlzcó org u dvsó etre cero. Puede tmé surgr prolems cudo el elemeto pvote es cerco cero, dedo que s l mgtud del elemeto pvote es pequeñ comprd co los otros elemetos, etoces se puede troducr errores de redodeo. Por lo tto, tes de ormlzr cd regló, es vetozo determr el coefcete más grde dspole e l colum que está por deo del elemeto pvote. Esclmeto El esclmeto tee utldd e l mmzcó de los errores de redodeo pr quellos csos e los que lgus de ls ecucoes de u sstem tee coefcetes más grdes que otros. Udd III P-4

8 étodos Numércos pr Igeeros étodos Drectos - étodo de Guss-Jord o de trgulrzcó Ico Guss(,,, tol Er,, s,,, p Bg / s,, / s < Tol p S,,, / s < Tol S Er,, > s, s, S +,, dm / s, dm> Bg S Bg dm +,, Fctor, /,,,,, Fctor*, S Er dm, p p,,, dm dm p p Er dm dm s p s p s s dm FIN S /,,, Sum P +,, Fctor* Sum Sum+ *, ( Sum/, Udd III P-5 étodos Numércos pr Igeeros étodos Itertvos os métodos tertvos se s e hcer u susttucó de u de ls vrles (dstt pr cd ecucó y epresr est vrle e fucó de ls otrs. El prolem se trsform por ede e u proceso tertvo y que se requere teer u prmer estmdo de lo que podrí ser l solucó. Co este prmer vector solucó se puede clculr u uevo vector modfcdo de l solucó. Al repetr ests opercoes umeross veces, se otee, e l medd que el proceso se covergete, u promcó cd vez meor de l solucó, deteédose el proceso tertvo cudo l solucó es sufcetemete estle etre dos opercoes cosecutvs. El prmer estmdo que suele usrse pr hllr el vector solucó es: (, Etre los métodos tertvos teemos: étodo tertvo de Jco étodo tertvo de Guss-Sedel étodo de Relcó Udd III P-6

9 étodos Numércos pr Igeeros étodos Itertvos - étodo de Jco De todos los métodos tertvos, el método de Jco es el más secllo de plcr y compreder. S emrgo, o es u proceso muy efcete e cuto l otecó del resultdo. ecucó ( puede ser modfcd y reescrt de l form: Este couto de ecucoes puede ser escrto e form mtrcl s se descompoe l mtrz A e l sum de tres mtrces (u trgulr feror co ceros e l dgol, u dgol y u trgulr superor co ceros e l dgol A+D+U. De l guldd orgl correspodete l sstem lel A se puede etoces oteer: ( + D+ U D ( + U Est últm form dc que el vector puede ser otedo prtr de u estmdo cl del msmo vector. Est form, coocd como form mplíct permte teer e form tertv u promcó cd vez meor del vector, se le suele dcr el orde de l tercó como superídce. epresó teror se trsform etoces e (+ D - (-(+U (. Sedo l mtrz D u mtrz dgol, su verso se otee smplemete reemplzdo el térmo de l dgol por su propo verso ( /. E cuto l opercó de cálculo propmete dcho, su epresó es:,,, Udd III P-7 étodos Numércos pr Igeeros étodos Itertvos Use l elmcó de Jco pr resolver. Efectúe los cálculos co 6 cfrs sgfctvs. Solucó: Itercó ( ( ( , ,7574 7,4,76 -, ,657,86 -, ,7, -,5 6, , ,5 6, , -,5 7, 6, -,5 7, Udd III P-8

10 étodos Numércos pr Igeeros étodos Itertvos - étodo de Guss-Sedel El método de Guss-Sedel es u smple modfccó del método orgl de Jco. Se dferec sólo por el hecho de que cudo se quere clculr el elemeto + del vector se cooce este vel del cálculo tods ls estmcoes recetes de + (co <. S el proceso es covergete estos vlores de + so más cercos los terores, rzó por l cul el proceso de covergec dee ser meor. escrtur mtrcl correspodete l método de Guss-Sedel es: ( D+ U,,, + El método de Guss-Sedel recort sustclmete el úmero de tercoes. uchos prolems que coverge co el método de Guss-Sedel o coverge co el método de Jco (de form geerl, s coverge co Jco, coverge más rápdmete co Guss-Sedel. Esto se dee s lugr duds l hecho de que el vector solucó se ve forzdo cercrse l solucó rel y por ede etr más rápdmete e el domo de covergec. Udd III P-9 étodos Numércos pr Igeeros étodos Itertvos Use l elmcó de Guss-Sedel pr resolver. Efectúe los cálculos co 6 cfrs sgfctvs. Solucó: Itercó ( ( ( ( +., , ,56, , ,9,87 -, ,99999,7 -,5 7, 4, -,5 7, (. + Udd III P-

11 étodos Numércos pr Igeeros étodos Itertvos - étodo de Relcó El método de relcó es u método propuesto por Frel e 95 pr reducr el úmero de tercoes e los cálculos de solucoes de sstems leles por el método de Guss-Sedel. Se s e oteer e cd tercó u promedo poderdo (solmete pr los elemetos del vector teror l poscó de cálculo de l solucó del método de Jco y de l solucó del método de Guss-Sedel. form mtrcl correspodete est descomposcó es: ω ((ω + D+ U dode ω es el prámetro de relcó,,, (ω + ω,, +, Y cuy epresó puede ser regrupd como:, (( ω + ω +,, El método de relcó puede ser clculdo culquer se el vlor de ω >. E el cso que ω se gul, el método es equvlete l método de Guss-Sedel. Se deom su-relcó l método cudo ω < y super-relcó cudo ω >. Pr reducr el úmero de tercoes es recomedle utlzr vlores de ω etre. y.. Udd III P- étodos Numércos pr Igeeros étodos Itertvos Use l elmcó de Relcó pr resolver. Efectúe los cálculos co 6 cfrs sgfctvs. Co ω Solucó: ( Itercó ( 7.4.(. ( (. ( + +., , ,66699,79 -, ,777,975 -,4997 7,4,5 -,57 6, , ,5 6, ,5 7 ( + Udd III P-

12 étodos Numércos pr Igeeros Blogrfí Chpr, S. y R. Cle, Numercl ethods for Egeers. d Ed. cgrw-hll Pulshg Compy, New Yor, 988 Curts, Gerrd, Aálss Numérco. d Ed. Alfomeg, éco, 99. edos, Je-re y otros, étodos Numércos Aplcdos e Igeerí. r Ed. cgrw-hll Pulshg Compy, Crcs, Nmur, Shochro, étodos Numércos Aplcdos co Softwre. r Ed. Pretce Hll, éco, 99 Udd III P-