Álgebra Lineal. Juan Núñez Olmedo Iván Sandoval Palis Escuela Politécnica Nacional
|
|
- Alfonso Tebar Correa
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Álger Lel Ju Núñez Olmedo Ivá Sdovl Pls Escuel Polécc Ncol
2
3 Dedcmos ese rjo los esudes de l Escuel Polécc Ncol
4
5 PRÓLOGO Es or esá drgd los esudes que esá cdo sus esudos superores e ls dferees crrers de geerí, sí mé como los docees y persos e geerl que eces u or de cosul. El ojevo fudmel de es or es proporcor u guí, pr pler, lzr y resolver prolems de los dferees ems del álger Lel. El álger lel es u rm de ls memács que esud cocepos les como: mrces, deermes, ssems de ecucoes leles y, su efoque más forml que so los espcos vecorles y sus rsformcoes leles. Es u espco que ee muchs coeoes co muchs áres dero y fuer de ls memács como el cálculo vecorl y ls ecucoes dferecles, l geerí, ec. L hsor del álger lel se remo los ños de 8 cudo Wllm Row Hmlo (de que provee el uso del érmo vecor creo los cueroes; y de 8 cudo Herm Grssm pulcó su lro L eorí de l eesó. De mer forml el álger lel esud ls esrucurs memács deomds espcos vecorles, ls cules cos de u cojuo de vecores defdo e u cmpo, co u opercó de sum de vecores, y, or de produco ere esclres y vecores que ssfce cers propeddes. El lecor dee preder l pre eórc, ls propeddes que se descre e cd cpíulo de ese lro, pr lzr cómo se plc e los ejerccos resuelos e clses y luego dee proprse de sus méodos de álss y de solucó, pr resolver los ejerccos propuesos. L fvorle cogd que se rde ese eo, servrá pr cour rjdo fvor del proceso de eseñz y predzje. Ls sugerecs que perm mejorr ese rjo, será de much yud pr fclr l compresó y el esudo. Desemos epresr uesros sceros grdecmeos ods ls persos que de u u or mer coruyero l elorcó del msmo. Lo uores
6 ISBN: Prmer Edcó Sepemre 8 de 5 Reservdos odos los derechos N odo el Lro, pre de él, puede ser reproducdos, rchvdos o rsmdos e form lgu o mede lgú ssem, elecróco, mecáco de reproduccó, memor o culquer oro, s permso escro de los uores. Hecho e Quo Ecudor Sudámerc COPI LEGL
7 I CONTENIDO CPÍTULO... MTRICES... DEFINICIÓN... OPERCIONES CON MTRICES... SUM DE MTRICES... DIFERENCI DE MTRICES... MULTIPLICCIÓN POR UN ESCLR... MULTIPLICCIÓN DE MTRICES...6 MTRIZ TRNSPUEST... TRZ DE UN MTRIZ...6 MTRIZ INVERTIBLE...7 OPERCIONES ELEMENTLES... OPERCIONES ELEMENTLES INVERSS... MTRICES ELEMENTLES... MTRICES EQUIVLENTES... FORM ESCLOND DE UN MTRIZ...7 MTRIZ ESCLOND POR FILS...7 MTRIZ ESCLOND REDUCID POR FILS...7 LGORITMO PR EL CLCULO DE... PROBLEMS PROPUESTOS... CPÍTULO...9 DETERMINNTES...9 DEFINICIÓN...9 DESRROLLO POR MENORES Y COFCTORES...5 PROPIEDDES...5 DETERMINNTES DE MTRICES ELEMENTLES...57 INVERS DE UN MTRIZ...6 PROBLEMS PROPUESTOS...6 CPÍTULO...8 SISTEMS DE ECUCIONES LINELES...8 SISTEMS EQUIVLENTES...8 SOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES...8 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN...8 MÉTODO DE GUSS...85 MÉTODO DE GUSS-JORDN...85 MÉTODO DE CRMER...85 PROBLEMS PROPUESTOS...89 CPÍTULO... ESPCIOS VECTORILES... DEFINICIÓN... SUBESPCIOS VECTORILES... COMBINCIÓN LINEL...5 CONJUNTO GENERDOR...6 CÁPSUL LINEL...6 DEPENDENCI E INDEPENDENCI LINELES...7 BSE... DIMENSIÓN... CMBIO DE BSE... PROBLEMS PROPUESTOS...7
8 II CPÍTULO PRODUCTO INTERNO...6 DEFINICIÓN...6 EJEMPLOS...6 NORM DE UN VECTOR...6 VECTORES ORTOGONLES...67 PROYECCIÓN ORTOGONL...67 CONJUNTO ORTOGONL...68 VECTOR UNITRIO...69 NORMLIZCIÓN DE UN VECTOR...69 CONJUNTO ORTONORML...69 BSE ORTONORML...69 PRODUCTO CRUZ EN R...7 DEFINICIÓN...7 DEFINICIÓN...7 PROBLEMS PROPUESTOS...75 CPÍTULO TRNSFORMCIONES LINELES...89 DEFINICIÓN...89 NÚCLEO...9 IMGEN...9 INYECTIVIDD, SOBREYECTIVIDD Y BIYECTIVIDD...9 CONJUNTO DE LS TRNFORMCIONES LINELES L ( V, W...96 IGULDD...96 OPERCIONES CON TRNFORMCIONES LINELES...97 SUM...97 MULTIPLICCIÓN POR UN ESCLR...97 COMPOSICIÓN DE TRNSFORMCIONES LINELES...98 TRNSFORMCIONES LINELES INVERTIBLES... MTRIZ SOCID UN TRNSFORMCIÓN LINEL... REDEFINICIÓN DE NÚCLEO E IMGEN...7 MTRIZ SOCID UN COMPOSICIÓN DE FUNCIONES...8 SEMEJNZ DE MTRICES...9 PROBLEMS PROPUESTOS... CPÍTULO 7... VLORES Y VECTORES PROPIOS... DEFINICIÓN... VLORES Y VECTORES PROPIOS DE MTRICES... POLINOMIO CRCTERÍSTICO DE UN MTRIZ...5 ECUCIÓN CRCTERÍSTIC DE UN MTRIZ...5 CÁLCULO DEL POLINOMIO CRCTERÍSTICO...6 MULTIPLICIDD LGEBRIC...6 MULTIPLICIDD GEOMÉTRIC...6 MTRICES SEMEJNTES Y DIGONLIZCIÓN...7 DIGONLIZCIÓN DE MTRICES SIMÉTRICS...5 TEOREM DE CLEY - HMILTON...5 FORMS CUDRÁTICS Y CNÓNICS...57 SECCIONES CÓNICS...6 PROBLEMS PROPUESTOS...65
9 MTRICES Cpíulo MTRICES DEFINICIÓN U mrz de m es u ordemeo recgulr de m por úmeros dsrudos e u orde defdo de m fls y colums: m... m j j... j j m j es el elemeo,j-ésmo (pereece l fl y l colum j. por coveec se escre j. Ls mrces se deo co lers myúsculs. M, es el cojuo de ods ls mrces de orde m por, defds e el cmpo m K. L -ésm fl de es:... j... y cosuye l mrz fl de L j-ésm colum de es:.. j j j mj y cosuye l mrz colum puede ser represed por mrces fl, sí:,,,,, m j puede ser represed por mrces colum, sí:,,,,, j ÁLGEBR LINEL
10 MTRICES ÁLGEBR LINEL IGULDD Se ls mrces m j y m j B, j j B Ejemplos. Ls sguees mrces so gules B. Ls sguees mrces o so gules B MTRIZ CUDRD Se m j. es mrz cudrd s y sólo s m. El cojuo de mrces cudrds se o M ó M. Ejemplos B MTRIZ NUL Se m j O. O es u mrz ul s y sólo s j, es decr, es u mrz cuyos elemeos so gules cero. Ejemplos Ls sguees mrces so uls: O O O
11 MTRICES ÁLGEBR LINEL OPERCIONES CON MTRICES SUM DE MTRICES Se ls mrces m j y m j B. L sum de B y es l mrz B de m fls y colums, dd por: m m m m m m j j B L sum de mrces esá defd cudo ms mrces ee el msmo mño. Ejemplo DIFERENCI DE MTRICES Se ls mrces m j y m j B. L dferec de B y es l mrz B de m fls y colums, dd por: ( B B Ejemplos
12 MTRICES ÁLGEBR LINEL MULTIPLICCIÓN POR UN ESCLR S m j y es u esclr, eoces esá dd por: m m m j Es decr, se oee mulplcdo por cd compoee de. Ejemplos Dds ls mrces y B, hllr B y B B Solucó: 9 5 B B DEFINICIÓN (
13 MTRICES PROPIEDDES 5 TEOREMS, K,, B, C M m. ( B C ( B C. B B. O. ( O 5. = B B 9.. O, se cumple que: Se demosrrá los eorems, y 5 los reses eorems se dej como ejercco. DEMOSTRCIONES. +(B+C=+(B+C om reflevo ( j ( j cj Cmo de ocó ( j j cj (( j j cj Defcó de sum Propedd de cmpo =(+B+C. +O=+O om reflevo ( j j Nocó ( j Propedd de cmpo = ÁLGEBR LINEL
14 MTRICES 5. ( ( om reflevo 6 ( j ( ( j Nocó Propedd de cmpo ( MULTIPLICCIÓN DE MTRICES Se ls mrces j y m jk p B. El produco de y B es l mrz C c k mp, dode c k j j jk. E form desrrolld: ck k k j jk ppk. Eso se muesr e l fgur m m p p p mp p p k k pk c c p cm c c cm ck c c m Oservcoes. El elemeo, k -ésmo de B es el produco esclr de l -ésm fl de y l k -ésm colum de B.. Dos mrces y B se puede mulplcr solo s el úmero de colums de l prmer es gul l úmero de fls de l segud. De or mer el produco o esrá defdo. ÁLGEBR LINEL
15 MTRICES Ejemplo 7 U empres frc e su pl producos, B y C. Los lmcees prcples se ecuer e Quo, Guyqul, Cuec y Loj. Ls ves dure el ño eror e Quo se cfrro e, y 5 uddes de los producos, B y C e orde; ls del lmcé de Guyqul e, 5 y ; ls del lmcé e Cuec e, y ; y ls del lmcé de Loj e,5 y. Los precos de ve de los producos fuero 5, 5 y 8 USD pr los producos,b y C respecvmee. Epresr ls ves de l empres mede u mrz de orde. Epresr mede u mrz X de orde el preco de cd produco. c Qué es X? Solucó: Ls ves e el ño eror se puede represer e u mrz de orde de l form que e cd fl prezc ls ves relzds por cd uo de los lmcees prcples y e cd colum ls proporcods cd po de produco. sí: Los precos uros de cd produco se puede escrr e X de orde e l form 5 X 5 8 c S se cosder ls mrces y X defds e los prdos y, se ee que X X es u mrz e l que se especfc los gresos oedos e el ño eror por cd uo de los curo lmcees prcples de l empres. ÁLGEBR LINEL
16 8 MTRICES ÁLGEBR LINEL Ejemplo Compror que ls sguees deddes lgercs B B B ( ( B B B o so cers s B y so mrces cudrds de orde, usdo ls mrces B Por qué ls deddes dds o so cers? Modfcr el segudo memro de ms deddes de mer que el resuldo se váldo pr culesquer B y mrces cudrds. Solucó: - B B B B B Por lo o B B B ( ( B B B Ls epresoes que se dc e el eucdo pr B y ( ( B B so verdders s B y so esclres, pero o so válds s B y so mrces, y que el produco de mrces o cumple l ley comuv dferec del produco de esclres. Ls deddes lgercs correcs pr culesquer m M B, so B B B B ( ( B B B B B
17 MTRICES y como ordrmee Por lo que B B B B B B B O 9 B B B ( B( B B Oservcó No ese ley comuv pr l mulplccó de mrces. PROPIEDDES TEOREMS K, M m,. ( B ( B. ( B ( B. ( B ( B M B, C M m, B M p. ( B C B C, B M m, C M p. ( B C C BC M, B M, C m, 5. ( B C ( BC p p pq DEMOSTRCIONES. ( B ( B om reflevo ( j ( jk ( ( j ( jk (B Nocó Mulplccó esclr por mrz Nocó ÁLGEBR LINEL
18 MTRICES. ( B C ( B C ( j ( jk c jk om reflevo Nocó j ( jk c jk Mulplccó de mrces j ( j jk jc jk Propedd de cmpo j j jk jc jk j j Propedd del sumor B C Nocó 5. ( BC ( BC om reflevo p ( j jkckl k Nocó j p j k j p k j j (B C j jk jk jk c ( c kl c kl kl Mulplccó de mrces Propedd del sumor Mulplccó de mrces Nocó MTRIZ TRNSPUEST Se l mrz j m. L rspues de od por ls colums de, es decr,, es l mrz ( j m. m oed l ercmr ls fls y Ejemplo 5 5 ÁLGEBR LINEL
19 MTRICES PROPIEDDES TEOREMS, B M m, 6. ( B B 7. ( K, M m, 8. ( M m, 9. ( B B M B p DEMOSTRCIONES 6. ( B ( B ( j j ( j j om reflevo Nocó Defcó de rspues B Nocó 8. ( ( om reflevo ( j ( j ( j Nocó Defcó de rspues Defcó esclr por mrz Nocó 9. j jk j kj, umércmee ( B ( ck j jk j Produco de mrces ÁLGEBR LINEL
20 MTRICES j kj j kj j j B Defcó de rspues Propedd de cmpo Nocó DEFINICIÓN Se l mrz M, se defe.. veces MTRIZ SIMÉTRIC Se l mrz j m. es u mrz smérc s y sólo s Ejemplos.,, es smérc..,, es smérc. TEOREM S y B so mrces smércs, B es mrz smérc. ÁLGEBR LINEL
21 MTRICES DEMOSTRCIÓN B B ( ( Hpóess Sumdo ( y ( B B ( B (Teorem 6 MTRIZ NTISIMÉTRIC Se l mrz j. es smérc s y sólo s. Ejemplo S es mrz smérc. MTRICES CONMUTBLES Se ls mrces, B. M y B so comules s y sólo s B B. DIGONL DE UN MTRIZ L dgol esá defd pr mrces cudrds y form pre de es los elemeos j, les que, j. Ejemplo m m ÁLGEBR LINEL
22 MTRICES MTRIZ TRINGULR SUPERIOR Se l mrz j. es mrz rgulr superor s y sólo s j, j. m MTRIZ TRINGULR INFERIOR Se l mrz j. es mrz rgulr feror s y sólo s j, j. m m m MTRIZ DIGONL Se l mrz j. es mrz dgol s y sólo s Ejemplos. j, j y es esclr, j. j. I. D ÁLGEBR LINEL
23 MTRICES MTRIZ ESCLR Se l mrz j. 5 es mrz esclr s y sólo s j, j y es cose, j. j MTRIZ IDENTIDD Se l mrz I j. I es mrz dedd s y sólo s j, j y, j. j Ejemplos I,, I I, I MTRIZ NILPOTENTE Se l mrz j. es mrz lpoee de orde k, s k es el meor eero posvo l que k O. Ejemplos. es mrz lpoee de orde, pues, O. B es mrz lpoee de orde, pues, B O ÁLGEBR LINEL
24 MTRICES TRZ DE UN MTRIZ 6 Se. M L rz de es l sum de los elemeos de l dgol. sí: j Tr(. Ejemplos. S, eoces Tr( S, eoces Tr( 5 6 Propeddes. Tr (. Tr(. Tr ( B Tr ( Tr ( B. Tr ( B Tr ( B TEOREM M m, I M, l que. I DEMOSTRCION Se ( j m I (, dode, j k, j k jk jk jk c k j j jk c k k k j jk k ÁLGEBR LINEL
25 MTRICES s k= c j j 7 c s k= c c j j s k=j c j j j j jj j c k c j j c k j j jk j Por lo o. I TEOREM M I M,l que. I. m, mm Corolro Se ls mrces, I M. I I. MTRIZ INVERTIBLE Se l mrz. M es mrz verle s y sólo s ese u mrz. B B. I. B M, l que ÁLGEBR LINEL
26 MTRICES Nos. B es mrz vers de, I.. B es mrz verle, BB B B I B, de l defcó, B, de l defcó, 8 TEOREM Se, M S es mrz verle, eoces su vers es úc. DEMOSTRCION Por cordccó: Se supoe que l vers de o es úc, es decr, ese mrces B y B, verss de, les que B B. B B B ( ( I B ( ( ( I B B I ( Reemplzdo ( e ( B B( B B ( B B Reemplzdo ( e ( B IB B B Lo que cordce l suposcó. Por lo o l vers de es úc. TEOREM Se, mrz verle, eoces M ÁLGEBR LINEL
27 MTRICES DEMOSTRCION I, ( ( 9 es mrz verle, por lo o cumple que: I Iguldo,,,,,,,,,, TEOREM 5 Se, B, mrces verles, eoces M B mé es verle y cumple que: B B DEMOSTRCION S y B so verles ese mrces y B P.D. Ese u mrz D l que: ( B D D ( B ( B B ( BB ( I B ( B B ( B I ( B ( I B B B I ( Iguldo ( y ( ( B B B ( B I D D Por lo o ( B B ÁLGEBR LINEL
28 MTRICES TEOREM 6 Se,,, M, mrces verles, eoces:.,. MTRIZ ORTOGONL Se l mrz. M es orogol s y sólo s.. I, es decr, Ejercco Compror que l mrz dd es orogol TEOREM 7 M O M, l que O. O m, p DEMOSTRCION Se ls mrces ( O (, dode, j m jk p jk O ( j ( jk j jk j j O j. ÁLGEBR LINEL
29 MTRICES TEOREM 8 M O M,l que, O. O p, m DEMOSTRCION Se dej como ejercco. TEOREM 9 M m, B M p, se cumple que Fl -ésm de B=Fl -ésm de.b DEMOSTRCION =,,,,, m P B= B, B,, B, B Fl -ésm de B= B, B, B,, B =. B =Fl -ésm de.b p TEOREM Se e l fl -ésm de Fl -ésm de e. I M, eoces: DEMOSTRCION Fl -ésm de I e. (Teorem 9 I., eoces Fl -ésm de e. ÁLGEBR LINEL
30 MTRICES TEOREM Se M m, B M p S ee fl de ceros, B mé ee fl de ceros. DEMOSTRCION es l Fl -ésm de (, dode j j B ( jk p Fl -ésm de B=Fl -ésm de.b (Teorem 9.B =O.B O p Por lo o B ee fl de ceros. TEOREM Se M S ee fl de ceros, eoces o es verle. DEMOSTRCION Por cordccó. Se supoe que es verle, por lo o I ee fl de ceros (Teorem I ee fl de ceros Lo que cordce l hpóess, pues, l mrz dedd o ee fl de ceros. Por lo o: o es verle. ÁLGEBR LINEL
31 MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES U opercó elemel se represe por e y se l puede plcr sore mrces. Ese res pos de opercoes elemeles:. Iercmo de fls o colums ( e I F F, j C C j. Mulplccó de u fl o colum por u esclr e F F, C C. Sumr u fl o colum mulplcd por u esclr or fl o colum ( e III ( II F F C C j, j, OPERCIONES ELEMENTLES INVERSS Se epres por e ' y so quells que cumple que: ' e e I I ' e e II II ' e e III III MTRICES ELEMENTLES U mrz elemel se l represe por E, y se l puede oeer mede l plccó de u opercó elemel sore l mrz dedd. TEOREM e ( E., sedo e, u opercó elemel que se plc o e como e I. ÁLGEBR LINEL
32 MTRICES MTRICES EQUIVLENTES es equvlee por fls o colums B s y sólo s B se oee por medo de u plccó sucesv e f de opercoes elemeles sore. B B e e e e. K K TEOREM Se M m, es equvlee, es decr, Tod mrz es equvlee sí msm. DEMOSTRCION B e e B K ek e e e e e, K K,, e e B, e K Susuyedo ( e (,, e e, e K Cmdo l ocó es equvlee. ( ( Corolro Se, B. M m S es equvlee B, B es equvlee. TEOREM 5 Se, B, C. M m S es equvlee B y B es equvlee C, eoces es equvlee C. ÁLGEBR LINEL
33 MTRICES DEMOSTRCION S es equvlee B, B e K ek e e S B es equvlee C, C ej ej e e B ( ( 5 Susuyedo ( e ( C e e ek ek e J J e Por lo o es equvlee por fls C. TEOREM 6 Tod mrz elemel es verle y su mrz vers es elemel. DEMOSTRCION E mrz elemel E mrz vers de I e,, ei e e I e(=e P.D. EE =E E=I EE =I e e, e I I, E I (Teorem EE =I ( E E=I e, ei I e (E=I (Teorem EE =I ( Iguldo ( y ( EE =E E=I ÁLGEBR LINEL
34 MTRICES 6 TEOREM 7 es equvlee por fls B s y sólo s B es u produco de mrces elemeles por. DEMOSTRCION S es equvlee por fls B, eoces B es u produco de mrces elemeles por S es equvlee por fls B, B e e e e, K K B e e e E, (Teorem K K B e e e E E, K K Por lo o: B E K E K EE S B es u produco de mrces elemeles por, eoces es equvlee por fls B. S B es u produco de mrces elemeles por. B E K E K EE B E B E K E K E ( E K E K E e (Teorem B e e e e, K K Por lo o: es equvlee B. Corolro Se, B. M m es equvlee B s y sólo s B P, dode P es u produco de mrces elemeles por. ÁLGEBR LINEL
35 7 MTRICES ÁLGEBR LINEL FORM ESCLOND DE UN MTRIZ MTRIZ ESCLOND POR FILS Es u mrz cuyos elemeos gules cero ume de zquerd derech, fl fl. Ejemplos 5 5 MTRIZ ESCLOND REDUCID POR FILS Es u mrz esclod cuyos prmeros elemeos so gules, y e sus respecvs colums so los úcos dferees de cero. Ejemplos 5 5
36 MTRICES 8 TEOREM 8 Se. M m es equvlee por fls u mrz esclod por fls. TEOREM 9 Se. M m es equvlee por fls u mrz esclod reducd por fls. TEOREM Se M. es u mrz esclod reducd por fls. S I, eoces ee fl de ceros. DEMOSTRCION S o ee fl de ceros, eoces I (Cor recíproc S o ee fl de ceros,, (,,,, I ÁLGEBR LINEL
37 MTRICES 9 TEOREM Se. M es verle s y sólo s es equvlee por fls I. DEMOSTRCION S es verle, eoces es equvlee por fls I Por Cordccó: Se supoe que: es equvlee por fls B B I E K E K E E B S B I B ee fl de ceros (Teorem E E EE B ee fl de ceros (Teorem K K ee fl de ceros o es verle (Teorem Lo que cordce l suposcó. Por lo o: es equvlee por fls I. S es equvlee por fls I, eoces es verle S es equvlee por fls I, I es equvlee por fls (Corolro, Teorem E E E E I, (Teorem 7 K K E E, K K EE Por lo o: (Teorem es verle. (Teorems 5, 6 Corolro es verle s y sólo s es u produco de mrces elemeles. ÁLGEBR LINEL
38 MTRICES ÁLGEBR LINEL TEOREM S es verle y reducle l mrz dedd por sucesó de opercoes elemeles, l plcr I es sucesó, se oee. DEMOSTRCION S es verle, es equvlee por fls I, (Teorem E E E E I K K ( (Teorem 7 E E E E I K K ( ( E E E E I K K I E E E E K K ( I e e e e K K e e e e I K K ( LGORITMO PR EL CLCULO DE Se l mrz de loques ( B l plcr opercoes elemeles I e e e e K K, es decr, e e e e K K I e e e e K K ( I. Ejemplo Hllr l vers de l mrz
39 MTRICES ÁLGEBR LINEL PROBLEMS PROPUESTOS. Se ls mrces: B C 5 D E Clculr: C+E, B, B, C-E, CB+D, B+D, (, 6
40 MTRICES (BD, (BD, (C+E, C+E, +, 5 ÁLGEBR LINEL
41 MTRICES c,, (B, B, (C+E, (B, (B ÁLGEBR LINEL
42 MTRICES. Se. Hllr,, z y. Se ls mrces del prolem eror y B. Deermr l 6 7 que B. ÁLGEBR LINEL
43 5 MTRICES ÁLGEBR LINEL. Compror que es ríz de I X X X X F 5 (. 5. Ls mrces y B so comules s B B. Hllr ods ls mrces comules co B s d c y B.
44 6 MTRICES ÁLGEBR LINEL 6. Se ls mrces e I. S R, clculr I 7. Clculr B B
45 7 MTRICES ÁLGEBR LINEL 8. Dds ls mrces B C Ecorr el vlor de l qué B C Tr. Clculr el rgo (úmero de fls o uls de l mrz esclod equvlee de C sí. 9. Escrr u mrz smérc M, j l que j j j, s j
46 8 MTRICES ÁLGEBR LINEL. Reducr ls sguees mrces su form esclod y luego su form esclod reducd por fls
47 9 MTRICES ÁLGEBR LINEL c. Deermr l mrz vers de
48 MTRICES ÁLGEBR LINEL c d e
49 MTRICES. Dds ls mrces P y J. Hllr P y J. l que PJP. c PJ P. Verfcr que I y. ÁLGEBR LINEL
50 MTRICES cos se Se l mrz. Hllr se cos Deducr l ley y demosrr por duccó. y. Se l mrz. Hllr. Usr el Teorem del Bomo. ÁLGEBR LINEL
51 MTRICES 5. Se l mrz. Hllr. Usr el Teorem del Bomo. 6. S K es u mrz dgol cuyos elemeos, sore l dgol, so odos gules k, demosrr que K k. 7. Demosrr que l sum de dos mrces rgulres ferores es u mrz rgulr feror. ÁLGEBR LINEL
52 MTRICES 8. S es u mrz smérc pror que y so smércs. 9. Se u mrz cudrd sore u cmpo K,, K, y B.. I (I es l mrz dedd del msmo orde que. Demosrr que y B comu co el produco usul de mrces. ÁLGEBR LINEL
53 5 MTRICES ÁLGEBR LINEL Dds l mrces C B Deermr l mrz X dcdo su úmero de fls y colums que cumple: B X C X c BB B CX
54 MTRICES 6. U mrz es dempoee s y sólo s. Dds ls mrces dedd de orde, eso es, I y l mrz M Demosrr que es u mrz dempoee. B, se defe I B B B B.. U mrz es dempoee s y sólo s. Pror que s es dempoee, eoces B I es dempoee y demás B B O. ÁLGEBR LINEL
55 MTRICES 7. Pror que s ssfce I O, ese u mrz vers de.. Demosrr que od mrz cudrd es l sum de u mrz smérc y u mrz smérc. ÁLGEBR LINEL
56 8 MTRICES 5. Demosrr que R, j m se cumple que. O O. 6. Cosderdo m X Om y m X Bm, ssems defdos sore los reles, demosrr que: S H es solucó de X O, R, H es solucó de X O. S H y K so solucoes de X O, H K es solucó de X O. c S H y K so solucoes de X B, H K es solucó de X O. ÁLGEBR LINEL
57 DETERMINNTES 9 Cpíulo DETERMINNTES DEFINICIÓN El deerme es u fucó que eslece u correspodec ere el cojuo de mrces cudrds y el cmpo rel o complejo. s: f : M K f ( de( NOTCIÓN Se ( j, el deerme de se o sí: de( O mé DEFINICIÓN Se M S, eoces de( ÁLGEBR LINEL
58 DETERMINNTES 5 DEFINICIÓN Se M S, eoces de( DESRROLLO POR MENORES Y COFCTORES MENOR Se l mrz ( j y j M l sumrz de de orde (, oed por elmcó de l -ésm fl y l j-ésm colum de. El deerme deom meor de j. Mj se COFCTOR Se l mrz ( j. El cofcor j del elemeo j se defe como: j j ( M j TEOREM DE L EXPNSIÓN DE LPLCE Se (. j de( j ( de( j j j j j M j, ó ÁLGEBR LINEL
59 DETERMINNTES PROPIEDDES 5 TEOREMS Se (. j. S ee fl o colum de ceros, el de(.. S l -ésm fl de o l j-ésm colum de, se mulplc por (esclr y se oee u mrz B, de( B de(.. K, de( de(.. S ls mrces, B, C, so décs, ecepo e l j-ésm colum (fl l que l j-ésm colum (fl de C es l sum de ls j-ésms colums (fls de y B, de( C de( de( B 5. S se ercm dos fls (colums de, pr oeer l mrz B, de( B de(. 6. S l mrz ee dos fls (colums gules, de(. 7. S u fl (colum de es u múlplo de u fl (colum de, de(. 8. S u múlplo de u fl (colum de, se sum or fl (colum de, el deerme o se ler. 9. de( de(.. El deerme de u mrz rgulr es gul l produco de los elemeos de l dgol. DEMOSTRCIONES. Se u mrz co u fl de ceros j, j Se l fl de ceros j. j j ÁLGEBR LINEL
60 DETERMINNTES 5 de( B B j. j j de( B j B j de( B j de( B j j j de(., de( de( Por duccó ( de(.de( K de( de( K K P.D. de( K de( K K de( j K ( j j j K de( j K ( j K j j de( K j K ( j j j K de( K de( K. P.D. de(,,,, de(,, B,, de(,, B,, j de(,, B,, ( ( j j j j segú l -ésm fl ( j j ( j j j j j j de(,,,, de(,, B,, ÁLGEBR LINEL
61 5 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL 5 Se,, B,,,, P.D. de( de( B j j j de( j j j B B,, de( ( ( j j N ( ( ( j j N j j j de( 6. Se,, l que ls fls,+ so gules l ercmr ls fls,+: de( de( B (Teorem 8 de( de( Ordedo l guldd
62 5 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL de( de( 7. Se B,, de( de( B Pero, de(, Por lo o de( B 8. Se,, Se oee B l sumr: fl + +.fl B,, l plcr el Teorem 7
63 DETERMINNTES 55 de( B +,, de( B de( de( 9. Se demuesr por duccó S, de( ( de( ( Iguldo ( y ( de( de( S k de( de( K K s k de( K de( K Se B j K j K j j Desrrolldo B segú l fl : j B ( j B j j K ( Desrrolldo de cuerdo l colum : K j ( j K j ( ÁLGEBR LINEL
64 DETERMINNTES Pero, j j B j j B j j, es decr, 56 B j j De ( j B ( j j K j B de( K de( K, de( de(. Se demuesr por duccó S, S k K K Hpóess ducv K K Tess ducv K K j K ( j segú l fl K K, j K, j K ( K, K, K ÁLGEBR LINEL K ( K, K K, K K ( K K K, K
65 DETERMINNTES 57 K K, K K DETERMINNTES DE MTRICES ELEMENTLES. E es u mrz elemel po I oed por ercmo de fls o colums, eoces: E I.. E es u mrz elemel po II oed l mulplcr l -ésm fl o colum por (esclr, eoces: E I.. E es u mrz elemel po III oed l sumr veces l fl o colum j l fl o colum, eoces: E I. Oservcó E. TEOREM S E es u mrz elemel, eoces: E E, y E E DEMOSTRCION Iercmo de dos fls o colums E E se oee ercmdo dos fls o colums de E ( Por lo o: E E Se mulplc u fl o colum por (esclr E I ÁLGEBR LINEL
66 DETERMINNTES 58 E E E c Se reemplz u fl o colum por l sum de u de ells mulplcd por E E E E De mer semeje se demuesr que E E Corolro S y B so equvlees: B E E K K E E TEOREM Se M es verle s y sólo s DEMOSTRCION. S es verle, eoces " S es verle, es produco de mrces elemeles, E E (M, Teorem K K EE E E (Teorem K K E E, pueso que E. S, eoces es verle. Se demuesr l corrrecíproc: S o es verle, eoces S o es verle, es equvlee u mrz B que ee fl de ceros, ÁLGEBR LINEL
67 59 DETERMINNTES E E E E B es mrz co fl de ceros (M, Teorem K K E E E E B (Teorem K K TEOREM Se ls mrces, B M B B DEMOSTRCION. es verle S es verle E K E K EE ( E K E K E E ( B E K E K E E B B E E K K E E B ( Susuyedo ( e ( B B. o es verle S o es verle (Teorem ( B o es verle (M, Teorems, B B. B Por lo o: B B ÁLGEBR LINEL
68 6 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL INVERS DE UN MTRIZ TEOREM Se M k k k, s k DEMOSTRCION Se B es l mrz oed l reemplzr l k-ésm fl de por l -ésm fl de, sí: k k k B B es u mrz co dos fls gules, es decr, B Desrrolldo B segú l k-ésm fl de B por meores y cofcores: k k k DEFINICIÓN Se M, se defe como mrz dju de l rspues de l mrz de los cofcores de los elemeos j. Ejemplo ( Cof dj
69 DETERMINNTES 6 TEOREM 5 Se M dj.. dj I DEMOSTRCION. dj k k k El elemeo, k -ésmo de l mrz.dj es: k k k, s k, s k (Teorem k k k es decr,. dj dj.. dj I Corolro Se y, eoces M. dj ÁLGEBR LINEL
70 6 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL Ejemplo Dd l mrz 8 Clculr. Hllr l mrz ( dj. c Compror que I dj dj.. ( (. d Clculr. Solucó: 6 ( 6 ( dj( c (. dj ( dj d ( dj / /6 / 7 / /6 / 9 /6 8 / /
71 6 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL PROBLEMS PROPUESTOS. Ecorr el vlor de los sguees deermes c
72 6 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL d e f , dode es el úlmo dígo del ño cul.
73 65 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL. Deermr el vlor de
74 DETERMINNTES 66 c c c c c c ÁLGEBR LINEL
75 67 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL d e z y z y z y f C C C se B B B se se cos cos cos cos cos cos
76 68 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL g Demosrr que:
77 69 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL. Demosrr que el deerme ( 5. Hllr el vlor de
78 DETERMINNTES 6. Demosrr que: 7 c c c c c c c Verfcr prmero que: c c Hllr el vlor del deerme c c c c c c ÁLGEBR LINEL
79 DETERMINNTES 7. Demosrr que 7 c d c d c d c d 8. Pr qué vlores, R, el sguee deerme es dferee de cero? ÁLGEBR LINEL
80 7 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL 9. Pror que c c c c c c. Demosrr que Cuál es l geerlzcó de ese resuldo deermes de orde?
81 DETERMINNTES. plccoes l Geomerí líc S P, y, P (, y, P (, ( y so res puos o coleles, l 7 ecucó de l práol y B C que ps por los puos P, P P, puede escrrse de l form: y y y y Hllr l ecucó de l práol que ps por los puos: (,5,(,6,(,. = ÁLGEBR LINEL
82 DETERMINNTES S P, y, P (, y, P (, ( y so res puos o coleles, l 7 ecucó del círculo que ps por los puos P, P, P, puede escrrse: y y y y y y y y Hllr l ecucó del círculo que ps por los puos: (,5,(,6,(,. ÁLGEBR LINEL
83 DETERMINNTES c S se cooce que: L : y, 75 L L : y : y,, so res recs o prlels, el áre deermd por L, L, L vlor soluo de: es gul l Dode j es el cofcor de j e : Hllr l superfce del rágulo cuyos ldos so ls recs: 5 7y 7, 9 y 5, 5y. ÁLGEBR LINEL
84 76 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL d El volume de eredro deermdo e el espco por los puos,, (,,, (,,, (,,, ( z y P z y P z y P z y P, esá ddo por el vlor soluo de D 6, sedo D el deerme de: z y z y z y z y,,,6,(, 5,(,,6,(,, (.
85 DETERMINNTES. Se 77 Deermr los vlores de pr que pr que se verle. Hllr l vers de cudo ese. ÁLGEBR LINEL
86 DETERMINNTES. Se 78 Deermr el vlor de pr que se verle. Clculr co el vlor de pr el cul. ÁLGEBR LINEL
87 79 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL. Se Deermr los vlores de pr que pr que se verle. Hllr l vers de cudo ese.
88 DETERMINNTES 5. Dd l mrz 8 c c Hllr. Ecorr dj (. c Clculr. ÁLGEBR LINEL
89 SISTEMS DE ECUCIONES 8 Cpíulo SISTEMS DE ECUCIONES LINELES DEFINICIÓN Ecucó lel, es u epresó del po: ( dode = vrle,,,= vrles lres = coefcees de ls vrles = érmo cose, K K El cojuo solucó de l epresó ( es: CS,,, Se cosder los sguees csos: : K I. S se puede oeer depededo de los vlores II. S ÁLGEBR LINEL Reemplzdo e (,,, Pr gú vlor se verfc l guldd eror. L ecucó ( es cossee, por lo o, o ee solucó, o se dce que CS Ø
90 SISTEMS DE ECUCIONES 8 III. S De ( Se oee u dedd L ecucó ( se cumple pr odos los vlores de. DEFINICIÓN Los ssems de ecucoes leles so epresoes del po: m m m m ( El ssem ( es de m ecucoes y vrles ( m.. Oservcoes. S, ( se llm ssem o homogéeo.. S, ( se llm ssem homogéeo.. Resolver el ssem ( es hllr ls -úpls ordeds que l reemplzr e el msmo d deddes, es decr, ssfce el ssem.. S u de ls ecucoes de ( es del po, el ssem es cossee, es decr, o ee solucó, o o ese -úpls ordeds que ssfce el ssem (Teorem de Rouché-Fröeus. 5. S e u de ls ecucoes los coefcees y el érmo cose so gules cero, se ee u ssem de m ecucoes co cógs. E el sguee cudro se prese u resume de los dferees pos de ssems, sí: ÁLGEBR LINEL
91 SISTEMS DE ECUCIONES 8 SISTEMS DE ECUCIONES INCONSISTENTE CONSISTENTE NO HOMOGÉNEO HOMOGÉNEO Solucó Ifs Solucó Ifs úc solucoes úc solucoes o-rvl rvl + rvl SISTEMS EQUIVLENTES So quellos ssems que ee ls msms solucoes. Pr oeer u ssem equvlee de uo ddo, se puede relzr ls sguees opercoes:. Iercmr ecucoes E E. ( j. Mulplcr por u esclr dferee de cero u de ls ecucoes E E. (. Reemplzr u ecucó por l sum de or ecucó mulplcd por u esclr E E E. ( j SOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES Ls opercoes defds sore mrces y sore ecucoes so décs, por lo o, es posle rjr sore u ssem represedo e form mrcl. E ese prdo se descrrá méodos pr hllr ods ls solucoes (s ls hy de u ssem de m ecucoes co cógs. ÁLGEBR LINEL
92 8 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL Del ssem (, m m m m m m m m X B B X Es l ecucó mrcl del ssem (. m m m m ( L mrz ( es l mrz mpld ( B correspodee l ssem (. Oservcoes. odo ssem B X le correspode l mrz mpld (.. De od mrz mpld ( se puede escrr el ssem B X correspodee.. S l mrz mpld ( B es equvlee l mrz mpld (C D, los ssems B X y D CX so equvlees. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Pr resolver ssems de ecucoes se ulzrá los méodos de Guss (o de l rgulcó, Guss-Jord y Crmer, los msmos que se dell coucó.
93 SISTEMS DE ECUCIONES MÉTODO DE GUSS 85 Cosse e ecorr u mrz mpld esclod equvlee por fls l mrz correspodee l ssem orgl, se escre el ssem equvlee coforme l mrz esclod y se resuelve el ssem sí oedo. S l mrz ee fl de ceros y l mrz ( B o ee fl de ceros, el ssem es cossee. MÉTODO DE GUSS-JORDN Cosse e ecorr u mrz mpld esclod reducd por fls equvlee por fls l mrz correspodee l ssem orgl, se escre el ssem equvlee jusdo l mrz esclod reducd por fls y se resuelve el ssem sí oedo. MÉTODO DE CRMER Ese méodo srve pr resolver ssems que ee el msmo úmero de cógs que de ecucoes. TEOREM DE CRMER Se u ssem de ecucoes dode: es mrz de los coefcees es l fl -ésm de X (mrz de ls vrles es l mrz que ee los msmos elemeos de, ecepo los de l -ésm colum, e l que cos los érmos depedees. S, eoces DEMOSTRCIÓN Se epres el ssem e form mrcl. X B De cuerdo l hpóess: ÁLGEBR LINEL
94 86 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL es verle y ese B X ( B X dj B X. k k k dj sedo. Cosderdo l fl -ésm de X dj B F. ( c c c dj B F. ( ( Se clcul
95 87 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL Desrrolldo por cofcores de cuerdo l -ésm colum: c c c ( Iguldo ( y ( dj B F. ( Síess S M co, eoces B X ee como solucó úc: Oservcó Ese méodo es váldo úcmee s el ssem es. Ejemplo Resolver usdo el méodo de Crmer
96 SISTEMS DE ECUCIONES Solucó: 88 el ssem es de Crmer CS,, 6 Resume E cec y ecologí ese u gr vredd de sucoes que puede epresrse e érmos memácos mede ssems de ecucoes leles, o e cercrse u ssem de ese po, de hí el erés de su esudo. U vez que se h pledo u ssem lel de ecucoes, se dele res cuesoes mpores. L prmer de ells es coocer s ee o o solucó, l segud es l ucdd de l msm y, por úlmo, el cálculo de l solucó cudo ese. ls dos prmers cuesoes d respues el eorem de Rouché-Fröeus, l como se lusr e ese cpíulo. E ese puo del esudo es mpore omr e cue mé ls propeddes que prese los cojuos de solucoes de los ssems leles homogéeos y o homogéeos. L cuesó referee l cálculo de ls solucoes ee múlples respuess, y que ese dversos méodos pr deermrls. Ere ellos, ce descr el méodo de rgulcó de Guss y l regl de Crmer. ÁLGEBR LINEL
97 89 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL PROBLEMS PROPUESTOS. Resolver c Usr el méodo de Crmer
98 9 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL d 5 Usr el méodo de Crmer e f 6 5 5
99 9 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL g 6 5. Deermr los vlores de k les que el ssem co ls cógs,, eg Solucó úc, Ifs solucoes, No eg solucó. k k k
100 9 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL k k c k k
101 9 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL. Deermr los vlores de pr que el ssem ( ( ( Teg solucó úc. Hllrl Teg más de u solucó. Hllrls c No eg solucó.
102 9 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL. Deermr los vlores de pr que el sguee ssem: Teg solucó úc. Hllrl. Teg más de u solucó. Hllrls. c No eg solucó.
103 95 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL 5. Deermr los vlores de y pr que el sguee ssem: ( ( ( Teg solucó úc. Hllrl. Teg más de u solucó. Hllrls. c No eg solucó.
104 96 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL 6. Deermr los vlores de y pr que el sguee ssem: Teg solucó úc. Hllrl Teg más de u solucó. Hllrls. c No eg solucó.
105 SISTEMS DE ECUCIONES 7. Deermr los vlores m pr que el sguee ssem: (m m ( m ( m ( m ( m Teg solucó úc. Hllrl m Teg más de u solucó. Hllrls c No eg solucó. m 97 ÁLGEBR LINEL
106 98 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL 8. Deermr los vlores pr que el sguee ssem ( ( ( ( m m m m m m m m Teg solucó úc. Hllrl Teg más de u solucó. Hllrls c No eg solucó. m
107 99 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL 9. Deermr los vlores de pr que el ssem Teg solucó úc. Hllrl Teg más de u solucó. Hllrls c No eg solucó.
108 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL. Deermr los vlores k c y,, pr que el ssem k c k c Teg solucó úc. Hllrl Teg más de u solucó. Hllrls c No eg solucó.
109 ESPCIOS VECTORILES Cpíulo ESPCIOS VECTORILES DEFINICIÓN Se V u cojuo o vcío, K u cmpo, (+ u ley de composcó er sore V, llmd dcó, ( u ley de composcó eer, que relco V y K, llmd produco, eoces se dce que V ee esrucur de espco vecorl sore el cmpo K, od por V, K,, s cumple ls sguees propeddes:. (V, + es u grupo comuvo u, v V u v V om de clusur u, v, wv ( u v w u ( v w om de socvdd! e V, u V e u u e u e v om del euro dvo,,, v u V,! u V u u u u e om del verso dvo v u, v V u v v u om de comuvdd. K, u V u V om de clusur., K, u V ( u ( u Ley socv m.! e K, u V eu u ( e om del euro 5. K, u V ( u u u, Prmer ley de dsrucó 6. K u, v V ( u v u v, Segud ley de dsrucó EJEMPLOS R es el espco vecorl de ls úpls de úmeros reles.., R,, R S R, ÁLGEBR LINEL,,, R,,,, u, v R, u,,,, v,,,,, y u,,, u v, se defe
110 ESPCIOS VECTORILES. M m, R,, es el espco vecorl de ods ls mrces m. M m m m es u mrz de orde m, j R Dode + represe l sum usul de mrces y l mulplccó usul de u úmero rel por u mrz.. F, R,, F. f es el espco vecorl de ods ls fucoes reles. f : R R es u fucó Dode + represe l sum usul de fucoes y l mulplccó usul de u úmero rel por u fucó. P, R,, es el espco vecorl de odos los polomos de grdo. Dode + represe l sum usul de polomos y l mulplccó usul de u úmero rel por u polomo. Oservcoes. Los elemeos de V se llm vecores, los elemeos de K se llm esclres.. L opercó (+ se llm sum vecorl, l opercó ( se llm mulplccó por u esclr.. El vecor se llm vecor ulo o vecor cero. V El sguee eorem es de mucho erés TEOREM Se V, K,, u espco vecorl K, u, v, w K se cumple que: c d e u v v w u w. u O. O V v O. u O V V u O (. u ( u (. u V DEMOSTRCIONES ÁLGEBR LINEL
111 ESPCIOS VECTORILES u u V om del euro u ( v ( v u ( u v ( v u v w ( v u v ( v w u om del verso om de socvdd Hpóess om de socvdd w V =u om del verso u w om del euro c om del euro V V V ( V V V V V V om reflevo om reflevo ( om dsruvo. u.u ( om reflevo Sumdo ( y ( V ( V ( V V ( V V V V V V d Por Cordccó Se supoe que: ( u V om del verso om del euro u V K, l que, V V u V.u V u V, Hpóess om del verso Lo que cordce l suposcó u V ÁLGEBR LINEL
112 ESPCIOS VECTORILES SUBESPCIOS VECTORILES Se V y S dos espcos vecorles defdos e el cmpo K, eoces S es u suespco vecorl de V, s y sólo s, S V. De hecho, odos los espcos vecorles ee sucojuos que mé so espcos vecorles. Gráfcmee se ee V S TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, S V, S Ø, S es suespco vecorl de V s y sólo s cumple que:. u, v S u v S. K, u S u S DEMOSTRCION "" Se cumple pues S V. "" P.D. S, K,, es u espco vecorl S, es u grupo comuvo u, v S u v S om de clusur S cumple u, v, w S ( u v w u ( v w om de socvdd S cumple c! e S, u S e u u e e om del euro dvo ( v P.D. e S V S ÁLGEBR LINEL
113 ESPCIOS VECTORILES u u u V 5 S cumple,,, d u S,! u S u u u u e om del verso dvo P.D. S es decr, S cumple e u, v V u v v u Pueso que Oservcó S cumple V S u, u S u.u u u S V u S se cumple ls propeddes de los espcos vecorles. S S es espco vecorl y S V, eoces S es suespco vecorl de V. V pereece odo suespco vecorl de V. Corolro S V, s S es suespco vecorl de V, eoes se cumple que:. S, S Ø V. K, u, v S u v S COMBINCIÓN LINEL Se V, K,, u espco vecorl, T V, T,, Se dce que u V es comcó lel de T s y sólo s ese elemeos del cmpo K l que se verfc l sguee dedd: u ÁLGEBR LINEL
114 ESPCIOS VECTORILES CONJUNTO GENERDOR Se V, K,, u espco vecorl, S V, S s, s, s, u V. S u s s s,eoces S es cojuo geerdor de V. 6 CÁPSUL LINEL Se V, K,, u espco vecorl, S V, Ø, S S s s,, L cápsul de S es el cojuo de los vecores que so comcoes leles de los s elemeos de S, y se o por S v V S, es decr, v s s s, K TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, S V, S Ø L cápsul de S es suespco vecorl de V. DEMOSTRCION. S y S Ø v u S Se K u V u V v S. u, v S u v S u s v s s s s s u v s ( s ( s ( u v S ÁLGEBR LINEL
115 ESPCIOS VECTORILES 7. K, u S u S u s s u u s s s s s s s u S DEPENDENCI E INDEPENDENCI LINELES Se V, K,, u espco vecorl, T V, T,,,. T es lelmee depedee s y sólo s ese esclres o odos gules cero, les que: V. T es lelmee depedee s y sólo s ese esclres úcos e gules cero, les que: es se llm comcó lel rvl. V TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, S S V. S es lelmee depedee., eoces S mé lo es. S. S es lelmee epedee., eoces S mé lo es. S DEMOSTRCION S s s,,, S s, s,, s s r ÁLGEBR LINEL
116 ESPCIOS VECTORILES S S es lelmee depedee,, les que: s s s Se puede escrr que: s, s s. s. sr dode o odos los coefcees so cero. S es lelmee depedee v v 8. Por cordccó: Se supoe que S es lelmee depedee S es lelmee depedee S S S es lelmee depedee Lo que cordce l suposcó. S es lelmee depedee. TEOREM 5 Se V, K,, u espco vecorl, S V. S es lelmee depedee s y sólo s s S, l que, s es comcó lel de los reses vecores. DEMOSTRCION. "" S S es lelmee depedee, eoces, les que: s s s s V, es decr, s s s s, (e cso corro se elge oro vecor Despejdo s s s Por lo o: s es comcó lel de los reses vecores. ÁLGEBR LINEL s s
117 ESPCIOS VECTORILES. "" Se s S, l que, es comcó lel de los reses vecores de S, 9 s s s s s s ( s s Sumdo ( y ( y reordedo s s s s s s S es lelmee depedee. V ( TEOREM 6 EL WRONSKINO D, f, S f, f, f es lelmee depedee s y sólo s D f, l que: W f f f f ' f ' f ' ( ( ( f f f f, f,, f DEMOSTRCION "" Por cordccó Se supoe que W, eoces U fl o colum de W es comcó lel de ls reses, por ejemplo: f f f Lo que cordce l suposcó. W, es decr, S es lelmee depedee. "" Por cordccó: Se supoe que S es lelmee depedee, eoces U fl o colum de W es comcó lel de ls reses, es decr, W, lo que cordce l suposcó Por lo o S es lelmee depedee. ÁLGEBR LINEL
118 ESPCIOS VECTORILES BSE DEFINICION Se V, K,, u espco vecorl y S V, S es u se de V, s y sólo s:. S geer V, y. S es lelmee depedee. TEOREM 7 Se V, K,, u espco vecorl y S V, S S s, s, s es u se del espco vecorl V, eoces odo vecor de S se puede epresr de u y solo u mer como comcó lel de los vecores de S. L comcó lel es úc. DEMOSTRCION Se u V Se supoe que l comcó lel o es úc, es decr, u s u s s s s s ( ( Resdo ( y ( u s ( u ( s ( s ( V ( ( s ( s s S S es se de V, eoces S es lelmee depedee,, ÁLGEBR LINEL
119 ESPCIOS VECTORILES Lo que cordce l suposcó. Por lo o: l comcó lel es úc. TEOREM 8 Se V, K,, u espco vecorl y S V, S S es u cojuo fo de vecores o ulos que geer V eoces, S coee u se T de V. DEMOSTRCION S S es lelmee depedee, eoces es se de V. // S S es lelmee depedee, ese u vecor que es comcó lel de los reses vecores (Teorem 6. S se cosder el cojuo es comcó lel de S s S S s s S s s geer V? s s s ( Se u V u es comcó lel de S u s s s s s s ( Se susuye ( e ( u s S es geerdor de V. s s s, es decr, S es lelmee depedee, eoces es se. // S s c S es lelmee depedee, se elm u vecor, que es comcó S lel de los reses, es decr, S S s, que es geerdor de V. l cour co el proceso se ecuer u sucojuo T de S que es lelmee depedee y que geer V. // ÁLGEBR LINEL
120 ESPCIOS VECTORILES TEOREM 9 Se V, K,, u espco vecorl y S, T V, S s s,, s eoces, T,,, r, es u se de V, y es u cojuo lelmee depedee de V, r. Eso es, odo cojuo lelmee depedee o ee más que vecores. DEMOSTRCION Se supoe que: r S S geer V es comcó lel de S s s s Se despej s (E cso corro, s se despej oro s S es comcó lel de V ( s s s, s,, s, geer V S V s s s V s s, eoces T es lelmee depedee Lo que cordce l suposcó. Por lo o dee( esr lgú(os E cso corro se elge oro ÁLGEBR LINEL
121 ESPCIOS VECTORILES s de dode, S geer V Repedo el proceso veces, se ecuer el cojuo (Teorem. S r ( s s s,, s,, S,,,, que es se de V, pues geer y es lelmee depedee, eoces T es lelmee depedee Lo que cordce l suposcó. Por lo o: r. s s TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, S, T V, S s s,, s, T,,, r, es u se de V, y es or se de V, eoces r DEMOSTRCION S S es se de V y T es lelmee depedee, r (Teorem 9 S T es se de V y S es lelmee depedee, r (Teorem 9 Se cocluye que r. Es decr, ls dferees ses de u msmo espco vecorl ee gul úmero de vecores. Corolro S S es se de V y ee vecores, u cojuo co depedee. vecores es lelmee ÁLGEBR LINEL
122 ESPCIOS VECTORILES DEFINICIÓN Ls coordeds de u vecor u V, respeco u se dd S, so los esclres que srve pr epresr u como comcó lel de S, sí: u s s s u S, es el vecor coordeds de u respeco S. DIMENSIÓN Se V, K,, u espco vecorl, S V, S s s,, s, es u se de V, eoces l dmesó de V es gul, y se o por dm V. L dmesó de espco vecorl rvl se cosder cero, eso es, dmv., DIMENSIÓN FINIT U espco vecorl V es de dmesó f s y sólo s l se de V ee u fo úmero de vecores. Ejemplos: R, C, P, M. m DIMENSIÓN INFINIT U espco vecorl V es de dmesó f s y sólo s l se de V ee u fo úmero de vecores. Ejemplo: P el espco vecorl de odos los polomos. TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, dm V, S V, S s s,, s,, eoces S S es lelmee depedee, S es u se de V. ÁLGEBR LINEL
123 ESPCIOS VECTORILES DEMOSTRCION Por cordccó Se supoe que S o es se de V, S S o es se, eoces S o geer V u V l que o es comcó lel de S, S s, s,, s, u es lelmee depedee 5 Lo que cordce l suposcó. Por lo o S es se de V. TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, dm V, S V, S s s,, s, S S es geerdor de V, eoces S es u se de V. DEMOSTRCION Por cordccó Se supoe que S o es se de V, S S o es se, eoces S es lelmee depedee (Teorem 9 s S, que es comcó lel de los reses, S S s s s s s s s. S es lelmee depedee, es se S dmv Lo que cordce l suposcó.. S es lelmee depedee, S S s S que es comcó lel de los reses vecores, S ÁLGEBR LINEL
124 ESPCIOS VECTORILES S S es lelmee depedee, es se y dmv Lo que cordce l suposcó. Por lo o S es se de V. 6 TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, dm V, S es u cojuo de vecores lelmee depedees, eoces ese u se T de V que coee S. DEMOSTRCION S s, s,, s j S S o es se, u V que es comcó lel de S, S s, s,, s j, u es lelmee depedee. S S es lelmee depedee y es geerdor, eoces es se S T, S T. S o es geerdor, o es se S. v V que es comcó lel de S, S s, s,, s j, u, v es lelmee depedee S S es lelmee depedee y es geerdor, eoces es se S T, S T S S. es lelmee depedee, pero o es geerdor, se repe el proceso hs ecorr u cojuo T geerdor de V. TEOREM Se V, K,, y W, K,, espcos vecorles de dmesó f, s W es suespco vecorl de V, eoces se cumple que dmw dmv ÁLGEBR LINEL
125 ESPCIOS VECTORILES DEMOSTRCION S W es suespco vecorl de V, W V, es decr, W V W V. S W V, dmw dmv 7. S W V, u V. q. u W, U se de W ee meor úmero de vecores que u se de V, dmw dmv Por lo o dmw dmv. TEOREM 5 Se V, K,, u espco vecorl. L erseccó de culquer coleccó de suespcos vecorles de V, es u suespco vecorl de V, es decr, s V,, V, V, so suespcos vecorles de V, eoces W V, es suespco vecorl de V. DEMOSTRCION. v W v V,,,,, pues V es suespco vecorl v W. u, v W u v W u V, u, V,,, v V, v V,,,..., u v u v W V ÁLGEBR LINEL
126 ESPCIOS VECTORILES. K, u W u W, eoces u u V, eoces u V V u V, eoces αu W..u W 8 DEFINICIÓN Se V, V, K,,, S V, V,,,,,, V, V suespcos vecorles del espco vecorl V, y los vecores v V, l sum de los suespcos de S se defe por V, v V V v v v v v V, v V, V dode TEOREM 6 V W Se, K,, u espco vecorl, y y W suespcos vecorles de V, eoces W W es u suespco vecorl de V TEOREM 7 V W Se, K,, u espco vecorl, y y W suespcos vecorles de V. S B y B so ses de y y W, eoces W W B B W DEFINICIÓN Se V, K,, u espco vecorl y U, W yw, suespcos vecorles de V, U W W defe l sum drec de W yw s W W v V v W! v W,! v v v ÁLGEBR LINEL
127 ESPCIOS VECTORILES 9 TEOREM 8 Se V, K,, u espco vecorl y U, W yw, suespcos vecorles de dmesó f de V. U W W, s y sólo s U W W y W W. V DEMOSTRCION u W, v W v u v u u v u v u v v u u W W v v W W u u u u v v v v V V V V Por lo o u v so úcos. Corolro Se V, K,, u espco vecorl y U, W yw, suespcos vecorles de dmesó f de V, eoces dm W W dmw dmw TEOREM 9 Se V, K,, u espco vecorl, y u suespco vecorl W de. eoces ese u suespco (complemeo W del espco V vecorl de V l qué V W W. ÁLGEBR LINEL
128 ESPCIOS VECTORILES DEMOSTRCION. W V W V W W V W W. V. W V W es suespco vecorl propo de V, dmv S,, se de W, r, v, v, v r S W S v, r, v r S S, dode v j S, j r,..., S W W W V W, v W v, v,, vr, vr, S, v S v, v,, v r, v r, es lelmee depedee y es se de V W W V S S V W W. V, eoces Ejercco Se W c d P c d c suespco vecorl de P. Hllr u suespco vecorl W l que P W W. TEOREM W Se y W suespcos vecorles de dmesó f de u espco vecorl V, K,,, eoces W W es u espco vecorl de dmesó f y demás: dmw dmw dm( W W dm( W W. ÁLGEBR LINEL
129 ESPCIOS VECTORILES DEMOSTRCION W W Se Ø S, se de W u, u, u k W S ee k vecores y es pre de u se de S u, u,, uk, w,, w m es se de W es se de S S u, u,, uk, v,, v, w,, wm ee vecores S S geer W W (Defcó P.D. es lelmee depedee y W k m u v w v ( Reordedo m ( w u v W S, u, u,, u k, v, v S S m S S Reordedo k m k ( w W m ( w W W m k ( w u u k m w V W Se oee u comcó lel de, se de W que ee k m vecores,,,, k,,,, m W S Se oee u comcó lel de S, se de W que ee k vecores k v u,,,, k ÁLGEBR LINEL V
130 ESPCIOS VECTORILES,,,, S S es lelmee depedee y geer W W dmw dmw ( k ( k m dmw dmw ( k m k dmw dmw dm( W W dm( W W. TEOREM Se y W suespcos vecorles de dmesó f de u espco vecorl V, K,,. W W W W. W es suespco vecorl de V s y sólo s W W o DEMOSTRCION "" Por cordccó Se supoe que: W W W W u u W u W u u W u W u u u u u W W W W W W, u W W u W W u W que es suespco vecorl, eoces u u W. S u u W u ÁLGEBR LINEL W u W u u u W u W
131 ESPCIOS VECTORILES Lo que cordce l suposcó.. S u u u W W u W u u u W u W Lo que cordce l suposcó. "" W W W W que es suespco vecorl Por lo o W W es suespco vecorl de V s y sólo s W W W W CMBIO DE BSE E ese prdo se esud l relcó ere dos vecores coordeds pr el msmo vecor, respeco ses dferees. Se el espco vecorl V, K,, y, S y T ses ordeds de V S s s,,, T, s,, v V v s v s s (I (II Cosderdo los vecores de S como comcó lel de T ÁLGEBR LINEL
132 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL ( ( ( Los vecores coordeds de respeco l se so: Eoces se cosruye l mrz T T T T S S S S P E form desrrolld T S P T S P es l mrz de cmo de se de. s s s S T T s T s T s S T
133 ESPCIOS VECTORILES Susuyedo (,(,,( e (I e guldo (II 5 ( + ( ( Reordedo ( + ( Escredo mrclmee O mé v T P S T v S Smlrmee v S Q T S v T QT S es l mrz de cmo de se de S, demás T Q T S P S T. Ejemplo Se los cojuos S T S y T ( 6,,, (,,, (5,5, (,, (,,, (,, ses ordeds del espco vecorl, y Hllr l mrz de cmo de se P de S T. Solucó: R, les que ÁLGEBR LINEL
134 ESPCIOS VECTORILES u ( 6,,, (,, (,, (,, 6 u v (,,, (,, (,, (,, w ( 5,, (,, (,, (,, v T T L mrz requerd es w T Resume E ese cpíulo se revel y se eseñ u pre mpore del Álger Lel, y que se lz l esrucur de espco vecorl, que es el mee de rjo del que se pre pr l oecó de los resuldos y desrrollos que se verá coucó e los sguees ems. Se comezó refleodo co vecores e el plo y e el espco cosderádolos como segmeos de recs oredos, juo co ls posles opercoes que puede relzrse ere ellos y sus propeddes. U vez coocdos los espcos ÁLGEBR LINEL R y R como cojuos de vecores, se procedó geerlzr, e u proceso de srccó, los specos que los crcerz, oeédose sí l esrucur de u espco vecorl. De l defcó de suespco vecorl W surge de mer med el cocepo de cojuo geerdor, que perme defr, prr de u úmero fo de vecores, odos los elemeos de W. Dero de los cojuos geerdores eres quellos que coee el meor úmero de elemeos y esos puede ecorrse co yud de los cocepos de depedec e depedec leles. Esos cojuos geerdores mímos P se cooce como ls ses de los espcos vecorles y, el úmero de elemeos que ls compoe, l dmesó de los msmos.
135 ESPCIOS VECTORILES PROBLEMS PROPUESTOS 7 ESPCIOS VECTORILES Y SUBESPCIOS. Se R el cojuo de -upls ordeds,,, e el cmpo R, co l ( dcó e R ( y l mulplccó por u esclr, defds por:,,,,,,,,, ( k,,, k, k,, k ( ( ( Dode,, k R. Demosrr que R es u espco vecorl sore R. ÁLGEBR LINEL
136 ESPCIOS VECTORILES 8. Se R el cojuo de prejs ordeds (, de úmeros reles. Demosrr que R o es espco vecorl sore R co l dcó e por u esclr sore R defds por: (, ( c, d ( d, c y k(, ( k, k R y l mulplccó (, ( c, d ( c, d y k(, (, c (, ( c, d (, y k(, ( k, k d (, ( c, d ( c, d y k(, (, ÁLGEBR LINEL
137 ESPCIOS VECTORILES. El cojuo ddo co ls opercoes dds o es u espco vecorl. Qué propeddes de l defcó o se ssfce? Los reles posvos sore los reles co ls opercoes + y. El cojuo de ls ers ordeds de úmeros reles co ls opercoes:,, (, y, z (, y, z r(, y, z (,, z,, (, y y, z z, y c El cojuo de ls mrces M l que, dode, y co ls opercoes usules e R.,, 9 ÁLGEBR LINEL
138 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL. Se el espco vecorl de. c c W c W c c c W Deermr s W es suespco vecorl de M. M
139 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL 5. Deermr s el cojuo es suespco vecorl de.,, ( y e z y W z y z y W,, ( c,, ( z z y W d,, ( z y z y W e,, ( z y z y W W R
140 ESPCIOS VECTORILES 6. Deermr s el cojuo W es suespco vecorl de P W p( c p( p( W p( c p' ( p' '( W p( c c c W p( c p( p' ( ÁLGEBR LINEL
141 ESPCIOS VECTORILES 7. Se el espco vecorl V f, : R, W V. Deermr cuáles de los sguees cojuos so suespcos vecorles de V. W f :, R f es coíu W f, : R f c W f, es dervle : R f ( d - d W f, e W f, : R f ( f ( : R f ( f W f, R f : ÁLGEBR LINEL
142 ESPCIOS VECTORILES COMBINCIONES LINELES Y CONJUNTOS GENERDORES. Ddo el espco vecorl lel de T cudo es posle. T T c T,, (, d T (, (,,(, ( (,,(, 5,(, R. Epresr vecor u ( como comcó ÁLGEBR LINEL
143 ESPCIOS VECTORILES. Escrr s es posle el vecor vecores de R (,,,((,, (,-,,(-,, c (,,-,(,-, d (,,,(,,,(,, u (,, R 5 como comcó lel los ÁLGEBR LINEL
144 6 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL. Deermr s el cojuo de vecores ddo geer l espco vecorl dcdo.. E R.. E R c, S. E M. d,, S. E P. e 6 5,,, S. E M.,,(, ( S,,,,(,,( ( S
145 ESPCIOS VECTORILES. Hllr l cápsul de S e el espco vecorl ddo. S (,,,,(,,,. E S,. E c S. E M. P. R. 7 ÁLGEBR LINEL
146 ESPCIOS VECTORILES 5. Pr qué vlor de el vecor (,, pereece l cápsul formd por el cojuo de vecores (,,,(,, B? 8 6. Ddo el cojuo de mrces S,, Clculr S. Ecorr u se pr S. ÁLGEBR LINEL
147 9 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL 7. Se el cojuo del espco vecorl. Hllr. Pror que l mrz pereece. c Demosrr que es suespco vecorl de., S M S F S S M
148 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL 8. E el espco vecorl dcdo deermr el vlor de pr que el cojuo de vecores ddo se lelmee depedee y lelmee depedee.,,,(,,,,(, ( T. E R.. E M. c. E P.,, T,, S
149 ESPCIOS VECTORILES 9. Hllr u cojuo lelmee depedee e P que coeg los polomos y. Sugerec : Oeer u p (,.. Hllr u cojuo lelmee depedee e (,, y (-,,. Cosderr l sugerec del ejercco eror. R que coeg los vecores ÁLGEBR LINEL
150 ESPCIOS VECTORILES. E el espco vecorl R demosrr que los vecores,,,,,,, c, c so lelmee depedees s, c y c. ÁLGEBR LINEL
151 ESPCIOS VECTORILES. Cuáles de los sguees cojuos de R so lelmee depedees? Pr los que lo se epresr uo de los vecores como comcó lel de los reses (relcó de depedec. (,,(,,,(,,,(,, c (,,,(,, (,,,(,,,(,,,(,, ÁLGEBR LINEL
152 ESPCIOS VECTORILES. Cosderr el espco vecorl P. Hcer lo msmo que e ejercco.,,,, c, 5, ÁLGEBR LINEL
153 ESPCIOS VECTORILES. Se el espco vecorl de ls fucoes cous de vlor rel. Hcer lo msmo que e el ejercco. c cos, se, e, e cos, se, se,cos 5 ÁLGEBR LINEL
154 6 ESPCIOS VECTORILES BSES Y DIMENSION. Cuáles de los sguees cojuos form u se e R? Epresr el vecor u (,, como u comcó lel de los vecores del cojuo que se se. (,,,(,,,(,, (,,,(,,,(,, c (,,,(,,,(,,,(, ÁLGEBR LINEL
Cap 3 La Integral Definida MOISES VILLENA MUÑOZ
Cp L Iegrl ed. EINICIÓN. TEOREMA E INTEGRABILIA. TEOREMA UNAMENTAL EL CÁLCULO. PROPIEAES E LA INTEGRAL EINIA.. PROPIEA E LINEALIA.. PROPIEA E AITIVIA.. PROPIEA E COMPARACIÓN.. PROPIEA E ACOTAMIENTO.. PROPIEA
Más detallesSupertriangular Subtriangular Diagonal Unidad
MT. EMPRESRILES TE RESOLVEMOS LS PRIMERS DUDS L eorí de mrices es l que v porr l form operiv de resolver u iumerle cidd de ejercicios de Álger. Por odo lo que supoe eso, os vmos proporcior los coocimieos
Más detallesTEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES
TEM VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES VECTORES Y MTRICES MTRICES: OPERCIONES ELEMENTLES Cocepo de riz Eleeos Tipos de rices Su y difereci de rices Produco de u úero por u riz Trsposició
Más detallesCAPÍTULO 6. CINEMÁTICA DIFERENCIAL DEL ROBOT PARALELO
CAÍUO. CNMÁCA DFRNCA D ROBO ARAO es seccó se descrbe el álss de elocddes y celercoes del robo prlelo, el cul puede llerse cbo mede ls ecucoes pr momeo geerl debdo que o ese deslzmeo e ls coeoes. ss ecucoes
Más detallesBLOQUE DE ÁLGEBRA TEMA 1: MATRICES
Álgebr Liel Memáics º chillero LOQUE DE ÁLGER TEM : MTRICES U mriz es u cojuo de úmeros reles colocdos recgulrmee ecerrdos ere préesis o corchee o doble brr. Pr or u mriz se uiliz o: u ler myúscul, por
Más detallesa es la parte real, bi la parte imaginaria.
CAPÍTULOIX 55 NÚMEROS COMPLEJOS Coocmetos Prevos Supoemos coocdo que: ) El cojuto de úmeros complejos está e correspodec buívoc co el cojuto de los putos de u plo. b) U úmero complejo expresdo e form boml
Más detallesUNIDAD 7.- Matrices (tema 1 del libro) = MATRICES
UNIDD.- Marces (ema del lbro). MTRICES Ua mar se puede eeder como ua abla de úmeros ordeados e flas columas Defcó.- Se llama mar de dmesó m a u cojuo de úmeros reales dspuesos e m flas columas de la sguee
Más detallesSOLUCIONES DE SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES Curso SOLUCIONES DE SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES Curso 03-04
SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - - Comprobr que culquier mriz cudrd M se puede expresr de form úic como sum de dos mrices, u siméric
Más detallesTEMA III ELEMENTOS DEL ÁLGEBRA MATRICIAL
TE III EEENTS DE ÁGER TRICI E este tem vmos repsr los coocmetos de mtrces que predmos e cursos terores y que vmos ecestr e est sgtur. I.- TRICES Qué es u mtrz? U mtrz es u dsposcó de úmeros pr l cul este
Más detallesDeterminantes y la Regla de Cramer
Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES.
punes de. Cbñó MTRICES Y DETERMINNTES. CONTENIDOS: Definición y erminologí básic. Operciones con mrices: sum y produco. Produco de un mriz por un esclr. Mriz opues. Mriz invers. Epresión mricil de un sisem
Más detallesDETERMINANTES K K. A cada matriz n-cuadrada A = (a ij ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o = K
DETERMINANTES A cd mtriz ncudrd A ( ij ) se le sign un esclr prticulr denomindo determinnte de A, denotdo por det (A), A o n n n n nn K Un tbl ordend n n de esclres situd entre dos línes verticles, llmd
Más detallesMATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
de Abril de MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (Clse ) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Ingenierí Universidd Centrl de Venezuel Álgebr Linel y Geometrí Anlític José Luis Quintero
Más detallesestá localizado en el renglón i-ésimo y la j-ésima columna del arreglo A.
Pág del Colego de temátcs de l ENP-UN trces y ermtes utor: Dr. José uel ecerr Espos RICES Y DEERINNES E V V. DEFINICIÓN DE RIZ U mtrz es u cojuto de úmeros, ojetos u operdores, dspuestos e u rreglo dmesol
Más detallesTEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.4. APLICACIONES
TEM. VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... Cálculo del rgo de u mtri.... Cálculo de l ivers de u mtri.... Resolució de ecucioes mtriciles.... Discusió resolució de sistems
Más detallesÁlgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X
Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági de 9 Álger pr igeieros de l Uiversidd Alfoso X -trices y sistems de ecucioes lieles Opercioes co mtrices: A= m m B= m p p q q pq Sum: - s mtrices sumr tiee que teer
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES
. Sistems de ecucioes lieles SISTEAS DE ECUACIONES Se deomi ecució liel quell que tiee l form de u poliomio de primer grdo, es decir, ls icógits o está elevds potecis, i multiplicds etre sí, i e el deomidor.
Más detallesMATRICES DE NÚMEROS REALES
MTRICES. MTURITS Luis Gil Guerr.- DEFINICIÓN MTRICES DE NÚMEROS RELES Llmmos mtriz de números reles de orden m x n un conjunto ordendo de m. n números reles dispuestos en m fils y en n columns i m i m
Más detallesExamen de Admisión a la Maestría 8 de Enero de 2016
Exmen de Admisión l Mtrí 8 de Enero de 1 Nombre: Instruccion: En cd rectivo seleccione l rput correct encerrndo en un círculo l letr corrpondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le proporcionron.
Más detallesGuía ejercicios resueltos Sumatoria y Binomio de Newton
Aulr: Igco Domgo Trujllo Slv Uversdd de Chle Guí ejerccos resueltos Sumtor y Bomo de Newto Solucó: ) Como o depede de j, es costte l sumtor. b) c) d) Aulr: Igco Domgo Trujllo Slv Uversdd de Chle e) f)
Más detallesTEMA 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Matemáticas CCSSII 2º Bachillerato 1
TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Mtemátics CCSSII 2º Bchillerto 1 TEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES.1 DETERMINANTES DE ORDEN 2.1.1 DEFINICIÓN: El determinnte de un mtriz
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN
Más detallesEspacios vectoriales y Aplicaciones Lineales I: Bases y coordenadas. Aplicaciones lineales.
UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUEA POITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 009/10 PRÁCTICA Nº9 Espcios vectoriles y Aplicciones ineles I: Bses y coordends. Aplicciones lineles. Recordemos
Más detalles= se cumplen todas las igualdades: Por tanto, una solución del sistema se puede considerar como un vector ( s s s s )
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Todo problem cuyo eucdo somete úmeros descoocdos vrs codcoes, es susceptble de ser epresdo por medo de gulddes o desgulddes que form u sstem de ecucoes o ecucoes. De hí
Más detallesFundamentos matemáticos. Los Postulados de la Mecánica Cuántica.
INTRODUCCIÓN L MECÁNIC CUÁNTIC Fudmetos mtemátos Los Postuldos de l Meá Cuát FUNDMENTOS MTEMÁTICOS L Meá Cuát se desrroll e espos etorles deomdos espos de Hlert Pr omezr, repsremos reemete ls des fudmetles
Más detalles3.- Matrices y determinantes.
3.- Mtrices y determinntes. 3.. Definición de mtriz, notción y orden. Se define un mtriz de orden m x n, un reunión de m x n elementos colocdos en m fils y n columns. Cd elemento que form l mtriz se denot
Más detallesDETERMINANTES. Los menores y los cofactores son de gran utilidad para encontrar determinantes de matrices de orden n>1.
DETERINNTES DETERINNTE DE UN TRIZ CUDRD socido cd mtri cudrd h un número llmdo determinnte de, denotdo como det. Los determinntes nos proporcionn un método pr el cálculo de l mtri invers (en cso de eistir)
Más detallesMATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES.
DP. - AS - 59 7 Mteátics ISSN: 988-79X 5 6 MATRICES. MATRIZ INVERSA. DETERMINANTES. () Define rngo de un triz. () Un triz de tres fils y tres coluns tiene rngo tres, cóo vrí el rngo si quitos un colun?
Más detallesCAPITULO 1 VECTORES EN R 3
CPITULO Nuestrs lms, cuys fcultdes puede compreder l mrvllos rqutectur del mudo, y medr el curso de cd plet vgbudo, ú escl trs el coocmeto fto Chrstopher Mrlowe. ECTORES EN R. Mgtudes esclres y vectorles..
Más detallesTEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
TEM. VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ . VECTORES Y MTRICES.. TRZ Y DETERMINNTE DE UN MTRIZ... Concepto de Trz.... Propieddes de l trz.... Determinnte de un mtriz.... Cálculo de determinntes
Más detallesVectores en el espacio 2º Bachillerato. Ana Mª Zapatero
Vectores en el espcio º Bchillerto An Mª Zptero El conjunto R Es un conjunto de terns ordends de números reles R { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primer componente Segund componente Tercer componente Iguldd
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES
Mtrices. Estudio de l comptibilidd de sistems Abel Mrtín & Mrt Mrtín Sierr MATRICES Y DETERMINANTES. ESTUDIO DE LA COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS. APLICACIONES. Actividd propuest Escribe un mtri A de dimensión
Más detalles1.1.- Concepto Definición de cono Definición de función homogénea Interpretación económica de la función homogénea
Fucoes homogéeas FUNCIONES HOMOGÉNEAS (ESQUEMA).- Cocepo y propedades...- Cocepo Defcó de coo Defcó de fucó homogéea Ierpreacó ecoómca de la fucó homogéea..- Propedades (Operacoes co fucoes homogéeas)
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES
Mtrices Tem MATRICES Y DETERMINANTES. DEFINICIÓN Y DESCRIPCIÓN DE MATRICES Un mtriz es un ordención rectngulr de elementos dispuestos en fils y columns encerrdos entre préntesis, por ejemplo A 3 4 Ls mtrices
Más detalles3. Unidad Aritmética Lógica (ALU)
3. Udd rtmétc Lógc (LU) bordremos los spectos que permte l mplemetcó de l rtmétc de u computdor, trbuto fucol de l Udd rtmétc Lógc (LU). Prmero se revstrá lo relcodo l form de represetr los úmeros como
Más detallesTEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)
TEMAS DE MATEMÁTICAS Oposcoes de Secudr TEMA 7 DESARROLLO DE UNA FUNCIÓN EN SERIE DE POTENCIAS. TEOREMA DE TAYLOR APLICACIONES AL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES.. Iroduccó.. Polomo de Tylor de grdo... Polomos
Más detalles3º.- Junio i) Producto de matrices: definición, condiciones para su realización. Si A M m n. (la matriz A tiene m filas y n columnas), B M n p
IES EL PILES SELECTIVIDD OVIEDO DPTO. MTEMÁTICS Mtrices deterinntes Mtrices deterinntes. Ejercicios de Selectividd. º.- Junio 99. i) Define rngo de un triz. ii) Un triz de tres fils tres coluns tiene rngo
Más detallesa ij= b ij ; para i = 1,2,...m y j = 1,2,..., n
Tem Álgebr Linel (Sistem de ecuciones lineles y álgebr mtricil) Mtrices Un mtriz de m n con elementos en C es un rreglo de l form M m KKK KKK m KKK n n mn donde,,..., mn Є y m, n Є Z. L mtriz es de orden
Más detalles- Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es:
POLINOMIOS Defcó: Fucó Polóc - Fucó Polóc f es tod fucó de doo el cojuto de los úeros reles, tl que l ge de cd úero rel es: f = + + + + +, dode,,,,, so ueros reles y es turl Defcó: Poloo - Poloo de vrble
Más detallesMatemática DETERMINANTES. Introducción:
Mtemátic Introducción: DETERMINANTES Clculndo el determinnte de un mtriz se puede determinr l cntidd de soluciones que tiene un sistem de ecuciones lineles de igul número de ecuciones que de incógnits.
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES Y DETERMINANTES. Introducción Ls mtrices y los determinntes son herrmients del álgebr que fcilitn el ordenmiento de dtos, sí como su mnejo. Los conceptos de mtriz y todos los relciondos fueron
Más detallesPrimer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )
Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres
Más detallesBLOQUE 1: ÁLGEBRA. Tema 4: Sistemas de Ecuaciones Lineales
MTEMÁTICS º Bch BLOQUE : ÁLGEBR José Rmón Pdrón Tem : Sistems de Ecuciones Lineles MTEMÁTICS º Bch Tem : Sistems de Ecuciones Lineles TEOREM DE ROUCHÉ José Rmón Pdrón Supongmos el sistem siguiente: z z
Más detallesDETERMINANTES. Determinante es la expresión numérica de una matriz. Según el orden de la matriz el determinante se resuelve de distintas formas:
ÁLGEBR Educgui.com DETERMINNTES Determinnte es l expresión numéric de un mtriz. Según el orden de l mtriz el determinnte se resuelve de distints forms: DETERMINNTE DE SEGUNDO ORDEN Pr poder solucionr un
Más detallesAlgoritmos matemáticos sobre matrices:
Algoritmos mtemáticos sobre mtrices: Representciones especiles de mtrices, Algoritmo de Strssen, multiplicción y tringulción de mtrices Jose Aguilr Mtriz Mtriz Un mtriz es un rreglo rectngulr de elementos
Más detallesDeterminantes de una matriz y matrices inversas
Determinntes de un mtriz y mtrices inverss Determinnte de un mtriz Está definido solmente pr mtrices cudrds. El determinnte de un mtriz cudrd es un número rel. Definición: Si = [ ij ] es un mtriz de dimensión
Más detallesINVERSA DE UNA MATRIZ
NVES E UN TZ l igul que pr hllr determinntes, restringiremos nuestro estudio mtrices cudrds utiliremos l mtri identidd de orden n ( n ). Podemos demostrr que si es culquier mtri cudrd de orden n, entonces
Más detallesAX = B. X es la matriz columna de las variables:
ÁLGEBR MTRICIL PRO. MRIEL SRMIENTO SESIÓN 9: METODO DE ELIMINCIÓN GUSSIN En est sesión, resolvemos sistems de ecuciones lineles de orden x y x. Pr ello escribimos el sistem en término de mtrices, por ejemplo:
Más detallesAspectos formales de la integral definida y la función integral
Iegrl ded segú Re Aspecos orles de l egrl ded y l ucó egrl A coucó se prese los specos orles vculdos ls ucoes egrles segú Re sguedo los leeos eslecdos e los cpíulos y 4 de Spv 996 Se coez el esudo pledo
Más detalles( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m
Igreso Potecició e R: Ddo u úmero rel, que le llmremos bse y u umero turl, l que le llmremos epoete. defiimos: =.... Propieddes de l potecició: veces ( epoete) Ests propieddes se eplic mejor si se etiede
Más detallesTEMA 3: RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES MEDIANTE DETERMINANTES.
TEM : RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES MEDINTE DETERMINNTES. º BCH(CN) TEM : RESOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES MEDINTE DETERMINNTES..-INTRODUCCIÓN. L resoluió de sistems de euioes está ligd l estudio
Más detallesUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID EJERCICIOS PAUS MATEMÁTICAS II (DESDE EL CURSO 07-08 AL 11-12) ÁLGEBRA: TEMAS 1-2-3
UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID EJERCICIOS PUS MTEMÁTICS II (DESDE EL CURSO 78 L ) ÁLGEBR: TEMS (Los ejercicios de selectividd resueltos los podéis encontrr en l págin web clsesdepooco) http://wwwclsesdepooco/docuents/es_serch
Más detallesAPLICACIONES LINEALES: Núcleo e Imagen de una aplicación lineal.
Universidd de Jén Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 2014/15 PRÁCTICA Nº 12 APICACIONES INEAES: Núcleo e Imgen de un plicción linel. Con est práctic se pretende revisr l definición de plicción
Más detalles71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
71 BAC CNyS VECTORES 1. PRESENTACIÓN DEL TEMA 2. VECTORES Y OPERACIONES 3. COORDENADAS DE UN VECTOR 4. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 5. APLICACIONES (EN UNA BASE ORTONORMAL) 6. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Vectores
Más detallesACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112
FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio
Más detallesLA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Definición.- Se denomin ritmo en bse de un número, l eponente que es preciso elevr pr que resulte. debe ser un número positivo y distinto de l unidd. Pr epresr que y es el ritmo
Más detalles4. En los axiomas A3) y A4) observe detenidamente la posición de los cuantificadores existencial y universal, y obtenga conclusiones.
Álgebr II (LM-PM)-.C.E. y T.-UNSE Udd Nº : MTRICES-DETERMINNTES Defó INTRODUCCIÓN ESTRUCTURS LGEBRICS de GRUPO y de CUERPO Se G y se * u operó e G. El pr ( G ) es u grupo s y sólo s: ) * es u ley de omposó
Más detallesMATRICES. 1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes; , B= , C= 2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A
MTRICES. Determinr l mtriz trnspuest de cd un de ls siguientes;,, C 8. Efectú l siguiente operción con mtrices y clcul. Sen 8, y C determinr: ) t C ) (-C) t t c) -C( t -) d) - t -(C). Dds ls siguientes
Más detallesHacia la universidad Aritmética y álgebra
Solucionrio Solucionrio Hci l universidd riméic álger OPIÓN. Dds ls mrices ) lcul ls mrices. ) lcul l mri invers de. c) Resuelve l ecución mricil. ) 8 7 8 9 ) ( ), dj( ) c), [ ] 9 9 8 9. Resuelve el sisem
Más detallesTEMA 1 Matrices MATRICES A... es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a 2,3 = -3
. DEFINICIÓN. http://mtemticsconsole.wikispces.com/ TE trices TRICES Un mtriz de m fils n columns es un serie ordend de m n números ij, i=,,...m; j=,,...n, dispuestos en fils columns, tl como se indic
Más detallesUniversidad Eafit Universidad Eafit ISSN (Versión impresa): X COLOMBIA
Uversdd Eft Uversdd Eft revst@eft.edu.co ISSN (Versó mpres): -34X COLOMBIA Oscr Robledo MATEMÁTICAS FINANCIERAS CON ECUACIONES DE DIFERENCIAS FINITAS OTRA APROXIMACIÓN AL CÁLCULO DEL VALOR DEL DINERO EN
Más detallesFUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:
FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De
Más detallesEJERCICIOS UNIDADES 5 y 6: MATRICES Y DETERMINANTES
IES Pdre Poved (Gudix) Memáics II EJERCICIOS UNIDADES 5 y 6: MATRICES Y DETERMINANTES (4-M;Jun-B-) (5 punos) Consider ls mrices A = y B = Deermin, si exise, l mriz X que verific AX + B = A + m (4-M-B-)
Más detallesTEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES:
TEM: MTRICES Y DETERMINNTES: MTRICES: U triz de diesió, es u tbl ford por fils y colus. j i siedo ij,.,,., ) ( Por ejeplo: Se ll Mtriz Fil l que tiee u sol fil, ejeplo: Se ll Mtriz Colu l que tiee u sol
Más detallesVectores en el espacio. Producto escalar
Geometrí del espcio: Vectores; producto esclr Vectores en el espcio Producto esclr Espcios vectoriles Definición de espcio vectoril Un conjunto E es un espcio vectoril si en él se definen dos operciones,
Más detallesMATRICES. En forma simplificada A = ( a ij ) nxm y se le denomina
MTRICES Mtrices de números reles. Definimos mtriz rel de elementos pertenecientes R y de dimensión n fils por m columns, quel conjunto de números reles escritos de l form siguiente: n n mtriz nxm m m nm
Más detallesLos Números Racionales
Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =
Más detallesMATRICES Y DETERMINANTES
MATRICES Y DETERMINANTES ) Resolver el siguiente sistem de ecuciones lineles t t z emplendo el método de Guss utilizndo trnsformciones elementles de fils En qué csos es comptible? b) Relcionr ls mtrices
Más detallesLOGARITMO 4º AÑO DEF. Y PROPIEDADES
LOGARITMO º AÑO DEF. Y PROPIEDADES En l epresión n c, puede clculrse un de ests tres cntiddes si se conocen dos de ells resultndo de este odo, tres operciones diferentes: º Potenci º Rdicción º Logrito
Más detallesINTEGRAL DEFINIDA. b A =, es decir, la tercera parte 3 1.- INTRODUCCIÓN
INTEGRAL DEFINIDA.- INTRODUCCIÓN E este tem estudremos u cocepto uevo, el de tegrl defd. Auque será ecesro defrl de form eseclmete complcd, l tegrl vee formlzr u cocepto secllo, tutvo: el de áre. Ahor
Más detallesEcuaciones de Segundo Grado II
Alumno: Fech:. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO II Ecuciones de Segundo Grdo II Nturlez de Ríces depende = b - 4c Discriminnte si Propieddes de ls Ríces sum b x x producto c x. x Formción de l Ecución se debe
Más detallesUniversidad Central de Venezuela Facultad de Farmacia Matemática - Física Prof. J. R. Morales
Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Frmci Mtemátic - Físic Prof J R Morles Guí de Vectores (Resumen de l Teorí) 1 En físic distinguiremos dos tipos de cntiddes: vectoriles esclres Ls cntiddes vectoriles
Más detallesMatrices M - 1 MATRICES. Definición.- Una tabla de mxn elementos de K dispuestos en m filas y n columnas de la forma ...
Mtrices M - - Mtrices Se K un cuerpo MATRICES Definición- Un tl de n eleentos de K dispuestos en fils n coluns de l for recie el nore de tri de diensión n n n n En un tri el eleento ij ocup el lugr deterindo
Más detallesTEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Profesor: Rf Gozález Jiméez Istituto St Eulli TEM 2: SISTEMS DE ECUCIONES LINELES ÍNDICE 2..- Sistems de Ecucioes Lieles. Geerliddes. 2.2.- Sistems equivletes. 2.3.- Resolució de S.E.L. por mtriz ivers.
Más detallesTEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL
Te Álgebr Liel Mteátics TEMA. ÁLGEBRA LINEAL - VECTORES DE R Defiició R {(,,..., )/,,..., R } (-tupls de os reles ordeds) Defiios e este cojuto opercioes: Su () Pr culesquier eleetos, (,,..., ), (y,y,...,y
Más detallesSeminario de problemas. Curso Hoja 9
Semiario de prolemas. Curso 05-6. Hoja 9 49. Alero, Berardo y Carla se ha coocido e ua red social. Ellos pregua a Carla cuádo es su cumpleaños; e lugar de respoderles direcamee, ella decide poerles u prolema.
Más detalles1 Álgebra Lineal Taller N o 1 con matlab
Álger Linel Tller N o con mtl Tem: Vectores en R n : Sistems de m ecuciones con n incógnits. Suespcio generdo. Operciones con mtrices, independenci linel en R n : Suespcios fundmentles socidos con un mtri.
Más detallesMatemáticas 3º ESO Fernando Barroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA
Mtemátics º ESO Fernndo Brroso Lorenzo POLINOMIOS Y FACTORIZACIÓN POLINÓMICA. En cd cso escribe un polinomio que cumpl ls condiciones que se indicn. Con grdo coeficientes enteros. Trinomio de grdo sin
Más detallesTransformaciones lineales
Trsformcioes lieles [Versió prelimir] Prof. Isbel Arrti Z. 1 Se V y W espcios vectoriles sobre el cuerpo R de los úmeros reles. U trsformció liel o plicció liel de V e W es u fució T : V W que stisfce:
Más detallesLicenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos
CIICp VLORES Y VECTORES PROPIOS Los vlores y vectores propios se cooce tmié como eigevlores y eigevectores. Estos vlores y vectores propios se utiliz geerlmete e sistems lieles de ecucioes homogéeos que
Más detallesSOLUCIONARIO Poliedros
SOLUCIONARIO Poliedros SGUICES06MT-A16V1 1 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA Poliedros Ítem Alterntiv 1 D A Comprensión E B 5 D 6 C 7 D 8 B 9 D 10 C 11 E 1 D 1 A 1 C 15 E Comprensión 16 B Comprensión 17
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. TEMA 3. Métodos iterativos para Sistemas de Ecuaciones Lineales
TEMA3: Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles TEMA 3. Métodos tertvos pr Sstems de Ecucoes Leles 3. Métodos tertvos: troduccó Aplcr u método tertvo pr l resolucó de u sstem S A=b, cosste e trsformrlo
Más detalles3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m
LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener
Más detallesAplicaciones Lineales Entre Espacios Vectoriales
Aplicciones lineles Bloque 2 Lección 2.2.- Aplicciones Lineles Entre Espcios Vectoriles Progrm: 0.- Concepto de Homomorfismo. Propieddes. Homomorfimos de grupos, nillos y cuerpos. 1- Concepto de plicción
Más detallesVectores. Dr. Rogerio Enríquez
Vectores Dr. Rogerio Enríquez Objetivo Eductivo Reflexión sobre lo que y se sbe Dominr los conceptos como mestros Unir l geometrí con el álgebr Deducir lógicmente el álgebr Explorr el dominio mtemático
Más detalles1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de
Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo
Más detalles1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre
Más detallesACTIVIDADES INICIALES
Determinntes ACTIVIDADES INICIALES I. Enumer ls inversiones que precen en ls siguientes permutciones y clcul su pridd, comprándols con l permutción principl 34. ) 34 b) 34 c) 43 d) 34 e)43 f) 34 ) 3,4,
Más detallesEscuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre
Escuel Púlic Experimetl Descocetrd Nº Dr. Crlos Ju Rodríguez Mtemátic º Año Ciclo Básico de Secudri Teorí Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros rcioles Los úmeros rcioles so quellos que puede ser expresdos
Más detallesECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clasificación, formas y problemas bien planteados. Por Guillermo Hernández García
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clsificción, forms y problems bien plntedos Por Guillermo Hernández Grcí Clsificción Aquí se estudirán tres tipos de ecuciones diferenciles prciles: Ecuciones elíptics,
Más detallesTema 5. Trigonometría y geometría del plano
1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene
Más detallesPotencias y radicales
Potecis y rdicles Ojetivos E est quice prederás : Clculr y operr co potecis de epoete etero. Recoocer ls prtes de u rdicl y su sigificdo. Oteer rdicles equivletes uo ddo. Epresr u rdicl como poteci de
Más detalles1. Información básica
PRÁCTICA 7: IINTEGRAL DEFINIDA DE RIEMANN I I L ttegrrll deffd y ll rregll de Brrrrow Itegrte f,d f@d Recuerd que l orde @ @ D o el símolo que prece e l plet BscIput clcul u prmtv de l fucó f (), es decr,
Más detallesTEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.
TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones
Más detalleslasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.
Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..
Más detalles( ) 4. Colegio Diocesano Sagrado Corazón de Jesús. MATEMÁTICAS I / 1º Bachillerato C y T LOGARTIMOS. log. log. log. 1 log log 3.
Colegio Diocesno Sgrdo Corzón de Jesús MATEMÁTICAS I / º Bchillerto C y T LOGARTIMOS Logritmos El ritmo de un número, m, positivo, en bse, positiv y distint de uno, es el eponente l que hy que elevr l
Más detalles9 Proieddes del roducto de úmeros or mtrices: b y M m. socitiv: b b Distributiv e : b b Distributiv e M m : Elemeto eutro: =.. Producto de mtrices Pr
. OPERIONES ON MRIES.. Sum de mtrices Pr oder sumr dos mtrices ésts debe teer l mism dimesió. Etoces se sum térmio térmio: b b m m m Proieddes de l sum de mtrices: socitiv: omuttiv: Elemeto eutro: L mtriz
Más detallesSe traza la paralela al lado a y distancia la altura h a.
Hojs de Problems Geometrí IV 56. Construir un triángulo conocido el ldo, l medin reltiv l ldo b y l ltur reltiv l ldo. Tomndo como ldos de un rectángulo los ldos, b del triángulo nterior clculr los ldos
Más detallesÁLGEBRA MATRICIAL. INVERSA DE UNA MATRIZ
Cpíulo Álgebr mricil vers de u mriz Cpíulo ÁLEBRA MARCAL NVERSA DE UNA MARZ Mrices E el cpíulo erior se irodujo el cocepo de mriz, defiiédose u mriz A de mño m x co elemeos e u cuerpo (geerlmee cosiderremos
Más detalles1 Sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistems de ecuciones lineles Tem 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistems de ecuciones lineles tienen muchs plicciones en todos los cmpos y ciencis y y desde. C. se tenín métodos pr resolver los sistems.
Más detalles