Álgebra Lineal. Juan Núñez Olmedo Iván Sandoval Palis Escuela Politécnica Nacional

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1 Álger Lel Ju Núñez Olmedo Ivá Sdovl Pls Escuel Polécc Ncol

2

3 Dedcmos ese rjo los esudes de l Escuel Polécc Ncol

4

5 PRÓLOGO Es or esá drgd los esudes que esá cdo sus esudos superores e ls dferees crrers de geerí, sí mé como los docees y persos e geerl que eces u or de cosul. El ojevo fudmel de es or es proporcor u guí, pr pler, lzr y resolver prolems de los dferees ems del álger Lel. El álger lel es u rm de ls memács que esud cocepos les como: mrces, deermes, ssems de ecucoes leles y, su efoque más forml que so los espcos vecorles y sus rsformcoes leles. Es u espco que ee muchs coeoes co muchs áres dero y fuer de ls memács como el cálculo vecorl y ls ecucoes dferecles, l geerí, ec. L hsor del álger lel se remo los ños de 8 cudo Wllm Row Hmlo (de que provee el uso del érmo vecor creo los cueroes; y de 8 cudo Herm Grssm pulcó su lro L eorí de l eesó. De mer forml el álger lel esud ls esrucurs memács deomds espcos vecorles, ls cules cos de u cojuo de vecores defdo e u cmpo, co u opercó de sum de vecores, y, or de produco ere esclres y vecores que ssfce cers propeddes. El lecor dee preder l pre eórc, ls propeddes que se descre e cd cpíulo de ese lro, pr lzr cómo se plc e los ejerccos resuelos e clses y luego dee proprse de sus méodos de álss y de solucó, pr resolver los ejerccos propuesos. L fvorle cogd que se rde ese eo, servrá pr cour rjdo fvor del proceso de eseñz y predzje. Ls sugerecs que perm mejorr ese rjo, será de much yud pr fclr l compresó y el esudo. Desemos epresr uesros sceros grdecmeos ods ls persos que de u u or mer coruyero l elorcó del msmo. Lo uores

6 ISBN: Prmer Edcó Sepemre 8 de 5 Reservdos odos los derechos N odo el Lro, pre de él, puede ser reproducdos, rchvdos o rsmdos e form lgu o mede lgú ssem, elecróco, mecáco de reproduccó, memor o culquer oro, s permso escro de los uores. Hecho e Quo Ecudor Sudámerc COPI LEGL

7 I CONTENIDO CPÍTULO... MTRICES... DEFINICIÓN... OPERCIONES CON MTRICES... SUM DE MTRICES... DIFERENCI DE MTRICES... MULTIPLICCIÓN POR UN ESCLR... MULTIPLICCIÓN DE MTRICES...6 MTRIZ TRNSPUEST... TRZ DE UN MTRIZ...6 MTRIZ INVERTIBLE...7 OPERCIONES ELEMENTLES... OPERCIONES ELEMENTLES INVERSS... MTRICES ELEMENTLES... MTRICES EQUIVLENTES... FORM ESCLOND DE UN MTRIZ...7 MTRIZ ESCLOND POR FILS...7 MTRIZ ESCLOND REDUCID POR FILS...7 LGORITMO PR EL CLCULO DE... PROBLEMS PROPUESTOS... CPÍTULO...9 DETERMINNTES...9 DEFINICIÓN...9 DESRROLLO POR MENORES Y COFCTORES...5 PROPIEDDES...5 DETERMINNTES DE MTRICES ELEMENTLES...57 INVERS DE UN MTRIZ...6 PROBLEMS PROPUESTOS...6 CPÍTULO...8 SISTEMS DE ECUCIONES LINELES...8 SISTEMS EQUIVLENTES...8 SOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES...8 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN...8 MÉTODO DE GUSS...85 MÉTODO DE GUSS-JORDN...85 MÉTODO DE CRMER...85 PROBLEMS PROPUESTOS...89 CPÍTULO... ESPCIOS VECTORILES... DEFINICIÓN... SUBESPCIOS VECTORILES... COMBINCIÓN LINEL...5 CONJUNTO GENERDOR...6 CÁPSUL LINEL...6 DEPENDENCI E INDEPENDENCI LINELES...7 BSE... DIMENSIÓN... CMBIO DE BSE... PROBLEMS PROPUESTOS...7

8 II CPÍTULO PRODUCTO INTERNO...6 DEFINICIÓN...6 EJEMPLOS...6 NORM DE UN VECTOR...6 VECTORES ORTOGONLES...67 PROYECCIÓN ORTOGONL...67 CONJUNTO ORTOGONL...68 VECTOR UNITRIO...69 NORMLIZCIÓN DE UN VECTOR...69 CONJUNTO ORTONORML...69 BSE ORTONORML...69 PRODUCTO CRUZ EN R...7 DEFINICIÓN...7 DEFINICIÓN...7 PROBLEMS PROPUESTOS...75 CPÍTULO TRNSFORMCIONES LINELES...89 DEFINICIÓN...89 NÚCLEO...9 IMGEN...9 INYECTIVIDD, SOBREYECTIVIDD Y BIYECTIVIDD...9 CONJUNTO DE LS TRNFORMCIONES LINELES L ( V, W...96 IGULDD...96 OPERCIONES CON TRNFORMCIONES LINELES...97 SUM...97 MULTIPLICCIÓN POR UN ESCLR...97 COMPOSICIÓN DE TRNSFORMCIONES LINELES...98 TRNSFORMCIONES LINELES INVERTIBLES... MTRIZ SOCID UN TRNSFORMCIÓN LINEL... REDEFINICIÓN DE NÚCLEO E IMGEN...7 MTRIZ SOCID UN COMPOSICIÓN DE FUNCIONES...8 SEMEJNZ DE MTRICES...9 PROBLEMS PROPUESTOS... CPÍTULO 7... VLORES Y VECTORES PROPIOS... DEFINICIÓN... VLORES Y VECTORES PROPIOS DE MTRICES... POLINOMIO CRCTERÍSTICO DE UN MTRIZ...5 ECUCIÓN CRCTERÍSTIC DE UN MTRIZ...5 CÁLCULO DEL POLINOMIO CRCTERÍSTICO...6 MULTIPLICIDD LGEBRIC...6 MULTIPLICIDD GEOMÉTRIC...6 MTRICES SEMEJNTES Y DIGONLIZCIÓN...7 DIGONLIZCIÓN DE MTRICES SIMÉTRICS...5 TEOREM DE CLEY - HMILTON...5 FORMS CUDRÁTICS Y CNÓNICS...57 SECCIONES CÓNICS...6 PROBLEMS PROPUESTOS...65

9 MTRICES Cpíulo MTRICES DEFINICIÓN U mrz de m es u ordemeo recgulr de m por úmeros dsrudos e u orde defdo de m fls y colums: m... m j j... j j m j es el elemeo,j-ésmo (pereece l fl y l colum j. por coveec se escre j. Ls mrces se deo co lers myúsculs. M, es el cojuo de ods ls mrces de orde m por, defds e el cmpo m K. L -ésm fl de es:... j... y cosuye l mrz fl de L j-ésm colum de es:.. j j j mj y cosuye l mrz colum puede ser represed por mrces fl, sí:,,,,, m j puede ser represed por mrces colum, sí:,,,,, j ÁLGEBR LINEL

10 MTRICES ÁLGEBR LINEL IGULDD Se ls mrces m j y m j B, j j B Ejemplos. Ls sguees mrces so gules B. Ls sguees mrces o so gules B MTRIZ CUDRD Se m j. es mrz cudrd s y sólo s m. El cojuo de mrces cudrds se o M ó M. Ejemplos B MTRIZ NUL Se m j O. O es u mrz ul s y sólo s j, es decr, es u mrz cuyos elemeos so gules cero. Ejemplos Ls sguees mrces so uls: O O O

11 MTRICES ÁLGEBR LINEL OPERCIONES CON MTRICES SUM DE MTRICES Se ls mrces m j y m j B. L sum de B y es l mrz B de m fls y colums, dd por: m m m m m m j j B L sum de mrces esá defd cudo ms mrces ee el msmo mño. Ejemplo DIFERENCI DE MTRICES Se ls mrces m j y m j B. L dferec de B y es l mrz B de m fls y colums, dd por: ( B B Ejemplos

12 MTRICES ÁLGEBR LINEL MULTIPLICCIÓN POR UN ESCLR S m j y es u esclr, eoces esá dd por: m m m j Es decr, se oee mulplcdo por cd compoee de. Ejemplos Dds ls mrces y B, hllr B y B B Solucó: 9 5 B B DEFINICIÓN (

13 MTRICES PROPIEDDES 5 TEOREMS, K,, B, C M m. ( B C ( B C. B B. O. ( O 5. = B B 9.. O, se cumple que: Se demosrrá los eorems, y 5 los reses eorems se dej como ejercco. DEMOSTRCIONES. +(B+C=+(B+C om reflevo ( j ( j cj Cmo de ocó ( j j cj (( j j cj Defcó de sum Propedd de cmpo =(+B+C. +O=+O om reflevo ( j j Nocó ( j Propedd de cmpo = ÁLGEBR LINEL

14 MTRICES 5. ( ( om reflevo 6 ( j ( ( j Nocó Propedd de cmpo ( MULTIPLICCIÓN DE MTRICES Se ls mrces j y m jk p B. El produco de y B es l mrz C c k mp, dode c k j j jk. E form desrrolld: ck k k j jk ppk. Eso se muesr e l fgur m m p p p mp p p k k pk c c p cm c c cm ck c c m Oservcoes. El elemeo, k -ésmo de B es el produco esclr de l -ésm fl de y l k -ésm colum de B.. Dos mrces y B se puede mulplcr solo s el úmero de colums de l prmer es gul l úmero de fls de l segud. De or mer el produco o esrá defdo. ÁLGEBR LINEL

15 MTRICES Ejemplo 7 U empres frc e su pl producos, B y C. Los lmcees prcples se ecuer e Quo, Guyqul, Cuec y Loj. Ls ves dure el ño eror e Quo se cfrro e, y 5 uddes de los producos, B y C e orde; ls del lmcé de Guyqul e, 5 y ; ls del lmcé e Cuec e, y ; y ls del lmcé de Loj e,5 y. Los precos de ve de los producos fuero 5, 5 y 8 USD pr los producos,b y C respecvmee. Epresr ls ves de l empres mede u mrz de orde. Epresr mede u mrz X de orde el preco de cd produco. c Qué es X? Solucó: Ls ves e el ño eror se puede represer e u mrz de orde de l form que e cd fl prezc ls ves relzds por cd uo de los lmcees prcples y e cd colum ls proporcods cd po de produco. sí: Los precos uros de cd produco se puede escrr e X de orde e l form 5 X 5 8 c S se cosder ls mrces y X defds e los prdos y, se ee que X X es u mrz e l que se especfc los gresos oedos e el ño eror por cd uo de los curo lmcees prcples de l empres. ÁLGEBR LINEL

16 8 MTRICES ÁLGEBR LINEL Ejemplo Compror que ls sguees deddes lgercs B B B ( ( B B B o so cers s B y so mrces cudrds de orde, usdo ls mrces B Por qué ls deddes dds o so cers? Modfcr el segudo memro de ms deddes de mer que el resuldo se váldo pr culesquer B y mrces cudrds. Solucó: - B B B B B Por lo o B B B ( ( B B B Ls epresoes que se dc e el eucdo pr B y ( ( B B so verdders s B y so esclres, pero o so válds s B y so mrces, y que el produco de mrces o cumple l ley comuv dferec del produco de esclres. Ls deddes lgercs correcs pr culesquer m M B, so B B B B ( ( B B B B B

17 MTRICES y como ordrmee Por lo que B B B B B B B O 9 B B B ( B( B B Oservcó No ese ley comuv pr l mulplccó de mrces. PROPIEDDES TEOREMS K, M m,. ( B ( B. ( B ( B. ( B ( B M B, C M m, B M p. ( B C B C, B M m, C M p. ( B C C BC M, B M, C m, 5. ( B C ( BC p p pq DEMOSTRCIONES. ( B ( B om reflevo ( j ( jk ( ( j ( jk (B Nocó Mulplccó esclr por mrz Nocó ÁLGEBR LINEL

18 MTRICES. ( B C ( B C ( j ( jk c jk om reflevo Nocó j ( jk c jk Mulplccó de mrces j ( j jk jc jk Propedd de cmpo j j jk jc jk j j Propedd del sumor B C Nocó 5. ( BC ( BC om reflevo p ( j jkckl k Nocó j p j k j p k j j (B C j jk jk jk c ( c kl c kl kl Mulplccó de mrces Propedd del sumor Mulplccó de mrces Nocó MTRIZ TRNSPUEST Se l mrz j m. L rspues de od por ls colums de, es decr,, es l mrz ( j m. m oed l ercmr ls fls y Ejemplo 5 5 ÁLGEBR LINEL

19 MTRICES PROPIEDDES TEOREMS, B M m, 6. ( B B 7. ( K, M m, 8. ( M m, 9. ( B B M B p DEMOSTRCIONES 6. ( B ( B ( j j ( j j om reflevo Nocó Defcó de rspues B Nocó 8. ( ( om reflevo ( j ( j ( j Nocó Defcó de rspues Defcó esclr por mrz Nocó 9. j jk j kj, umércmee ( B ( ck j jk j Produco de mrces ÁLGEBR LINEL

20 MTRICES j kj j kj j j B Defcó de rspues Propedd de cmpo Nocó DEFINICIÓN Se l mrz M, se defe.. veces MTRIZ SIMÉTRIC Se l mrz j m. es u mrz smérc s y sólo s Ejemplos.,, es smérc..,, es smérc. TEOREM S y B so mrces smércs, B es mrz smérc. ÁLGEBR LINEL

21 MTRICES DEMOSTRCIÓN B B ( ( Hpóess Sumdo ( y ( B B ( B (Teorem 6 MTRIZ NTISIMÉTRIC Se l mrz j. es smérc s y sólo s. Ejemplo S es mrz smérc. MTRICES CONMUTBLES Se ls mrces, B. M y B so comules s y sólo s B B. DIGONL DE UN MTRIZ L dgol esá defd pr mrces cudrds y form pre de es los elemeos j, les que, j. Ejemplo m m ÁLGEBR LINEL

22 MTRICES MTRIZ TRINGULR SUPERIOR Se l mrz j. es mrz rgulr superor s y sólo s j, j. m MTRIZ TRINGULR INFERIOR Se l mrz j. es mrz rgulr feror s y sólo s j, j. m m m MTRIZ DIGONL Se l mrz j. es mrz dgol s y sólo s Ejemplos. j, j y es esclr, j. j. I. D ÁLGEBR LINEL

23 MTRICES MTRIZ ESCLR Se l mrz j. 5 es mrz esclr s y sólo s j, j y es cose, j. j MTRIZ IDENTIDD Se l mrz I j. I es mrz dedd s y sólo s j, j y, j. j Ejemplos I,, I I, I MTRIZ NILPOTENTE Se l mrz j. es mrz lpoee de orde k, s k es el meor eero posvo l que k O. Ejemplos. es mrz lpoee de orde, pues, O. B es mrz lpoee de orde, pues, B O ÁLGEBR LINEL

24 MTRICES TRZ DE UN MTRIZ 6 Se. M L rz de es l sum de los elemeos de l dgol. sí: j Tr(. Ejemplos. S, eoces Tr( S, eoces Tr( 5 6 Propeddes. Tr (. Tr(. Tr ( B Tr ( Tr ( B. Tr ( B Tr ( B TEOREM M m, I M, l que. I DEMOSTRCION Se ( j m I (, dode, j k, j k jk jk jk c k j j jk c k k k j jk k ÁLGEBR LINEL

25 MTRICES s k= c j j 7 c s k= c c j j s k=j c j j j j jj j c k c j j c k j j jk j Por lo o. I TEOREM M I M,l que. I. m, mm Corolro Se ls mrces, I M. I I. MTRIZ INVERTIBLE Se l mrz. M es mrz verle s y sólo s ese u mrz. B B. I. B M, l que ÁLGEBR LINEL

26 MTRICES Nos. B es mrz vers de, I.. B es mrz verle, BB B B I B, de l defcó, B, de l defcó, 8 TEOREM Se, M S es mrz verle, eoces su vers es úc. DEMOSTRCION Por cordccó: Se supoe que l vers de o es úc, es decr, ese mrces B y B, verss de, les que B B. B B B ( ( I B ( ( ( I B B I ( Reemplzdo ( e ( B B( B B ( B B Reemplzdo ( e ( B IB B B Lo que cordce l suposcó. Por lo o l vers de es úc. TEOREM Se, mrz verle, eoces M ÁLGEBR LINEL

27 MTRICES DEMOSTRCION I, ( ( 9 es mrz verle, por lo o cumple que: I Iguldo,,,,,,,,,, TEOREM 5 Se, B, mrces verles, eoces M B mé es verle y cumple que: B B DEMOSTRCION S y B so verles ese mrces y B P.D. Ese u mrz D l que: ( B D D ( B ( B B ( BB ( I B ( B B ( B I ( B ( I B B B I ( Iguldo ( y ( ( B B B ( B I D D Por lo o ( B B ÁLGEBR LINEL

28 MTRICES TEOREM 6 Se,,, M, mrces verles, eoces:.,. MTRIZ ORTOGONL Se l mrz. M es orogol s y sólo s.. I, es decr, Ejercco Compror que l mrz dd es orogol TEOREM 7 M O M, l que O. O m, p DEMOSTRCION Se ls mrces ( O (, dode, j m jk p jk O ( j ( jk j jk j j O j. ÁLGEBR LINEL

29 MTRICES TEOREM 8 M O M,l que, O. O p, m DEMOSTRCION Se dej como ejercco. TEOREM 9 M m, B M p, se cumple que Fl -ésm de B=Fl -ésm de.b DEMOSTRCION =,,,,, m P B= B, B,, B, B Fl -ésm de B= B, B, B,, B =. B =Fl -ésm de.b p TEOREM Se e l fl -ésm de Fl -ésm de e. I M, eoces: DEMOSTRCION Fl -ésm de I e. (Teorem 9 I., eoces Fl -ésm de e. ÁLGEBR LINEL

30 MTRICES TEOREM Se M m, B M p S ee fl de ceros, B mé ee fl de ceros. DEMOSTRCION es l Fl -ésm de (, dode j j B ( jk p Fl -ésm de B=Fl -ésm de.b (Teorem 9.B =O.B O p Por lo o B ee fl de ceros. TEOREM Se M S ee fl de ceros, eoces o es verle. DEMOSTRCION Por cordccó. Se supoe que es verle, por lo o I ee fl de ceros (Teorem I ee fl de ceros Lo que cordce l hpóess, pues, l mrz dedd o ee fl de ceros. Por lo o: o es verle. ÁLGEBR LINEL

31 MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES U opercó elemel se represe por e y se l puede plcr sore mrces. Ese res pos de opercoes elemeles:. Iercmo de fls o colums ( e I F F, j C C j. Mulplccó de u fl o colum por u esclr e F F, C C. Sumr u fl o colum mulplcd por u esclr or fl o colum ( e III ( II F F C C j, j, OPERCIONES ELEMENTLES INVERSS Se epres por e ' y so quells que cumple que: ' e e I I ' e e II II ' e e III III MTRICES ELEMENTLES U mrz elemel se l represe por E, y se l puede oeer mede l plccó de u opercó elemel sore l mrz dedd. TEOREM e ( E., sedo e, u opercó elemel que se plc o e como e I. ÁLGEBR LINEL

32 MTRICES MTRICES EQUIVLENTES es equvlee por fls o colums B s y sólo s B se oee por medo de u plccó sucesv e f de opercoes elemeles sore. B B e e e e. K K TEOREM Se M m, es equvlee, es decr, Tod mrz es equvlee sí msm. DEMOSTRCION B e e B K ek e e e e e, K K,, e e B, e K Susuyedo ( e (,, e e, e K Cmdo l ocó es equvlee. ( ( Corolro Se, B. M m S es equvlee B, B es equvlee. TEOREM 5 Se, B, C. M m S es equvlee B y B es equvlee C, eoces es equvlee C. ÁLGEBR LINEL

33 MTRICES DEMOSTRCION S es equvlee B, B e K ek e e S B es equvlee C, C ej ej e e B ( ( 5 Susuyedo ( e ( C e e ek ek e J J e Por lo o es equvlee por fls C. TEOREM 6 Tod mrz elemel es verle y su mrz vers es elemel. DEMOSTRCION E mrz elemel E mrz vers de I e,, ei e e I e(=e P.D. EE =E E=I EE =I e e, e I I, E I (Teorem EE =I ( E E=I e, ei I e (E=I (Teorem EE =I ( Iguldo ( y ( EE =E E=I ÁLGEBR LINEL

34 MTRICES 6 TEOREM 7 es equvlee por fls B s y sólo s B es u produco de mrces elemeles por. DEMOSTRCION S es equvlee por fls B, eoces B es u produco de mrces elemeles por S es equvlee por fls B, B e e e e, K K B e e e E, (Teorem K K B e e e E E, K K Por lo o: B E K E K EE S B es u produco de mrces elemeles por, eoces es equvlee por fls B. S B es u produco de mrces elemeles por. B E K E K EE B E B E K E K E ( E K E K E e (Teorem B e e e e, K K Por lo o: es equvlee B. Corolro Se, B. M m es equvlee B s y sólo s B P, dode P es u produco de mrces elemeles por. ÁLGEBR LINEL

35 7 MTRICES ÁLGEBR LINEL FORM ESCLOND DE UN MTRIZ MTRIZ ESCLOND POR FILS Es u mrz cuyos elemeos gules cero ume de zquerd derech, fl fl. Ejemplos 5 5 MTRIZ ESCLOND REDUCID POR FILS Es u mrz esclod cuyos prmeros elemeos so gules, y e sus respecvs colums so los úcos dferees de cero. Ejemplos 5 5

36 MTRICES 8 TEOREM 8 Se. M m es equvlee por fls u mrz esclod por fls. TEOREM 9 Se. M m es equvlee por fls u mrz esclod reducd por fls. TEOREM Se M. es u mrz esclod reducd por fls. S I, eoces ee fl de ceros. DEMOSTRCION S o ee fl de ceros, eoces I (Cor recíproc S o ee fl de ceros,, (,,,, I ÁLGEBR LINEL

37 MTRICES 9 TEOREM Se. M es verle s y sólo s es equvlee por fls I. DEMOSTRCION S es verle, eoces es equvlee por fls I Por Cordccó: Se supoe que: es equvlee por fls B B I E K E K E E B S B I B ee fl de ceros (Teorem E E EE B ee fl de ceros (Teorem K K ee fl de ceros o es verle (Teorem Lo que cordce l suposcó. Por lo o: es equvlee por fls I. S es equvlee por fls I, eoces es verle S es equvlee por fls I, I es equvlee por fls (Corolro, Teorem E E E E I, (Teorem 7 K K E E, K K EE Por lo o: (Teorem es verle. (Teorems 5, 6 Corolro es verle s y sólo s es u produco de mrces elemeles. ÁLGEBR LINEL

38 MTRICES ÁLGEBR LINEL TEOREM S es verle y reducle l mrz dedd por sucesó de opercoes elemeles, l plcr I es sucesó, se oee. DEMOSTRCION S es verle, es equvlee por fls I, (Teorem E E E E I K K ( (Teorem 7 E E E E I K K ( ( E E E E I K K I E E E E K K ( I e e e e K K e e e e I K K ( LGORITMO PR EL CLCULO DE Se l mrz de loques ( B l plcr opercoes elemeles I e e e e K K, es decr, e e e e K K I e e e e K K ( I. Ejemplo Hllr l vers de l mrz

39 MTRICES ÁLGEBR LINEL PROBLEMS PROPUESTOS. Se ls mrces: B C 5 D E Clculr: C+E, B, B, C-E, CB+D, B+D, (, 6

40 MTRICES (BD, (BD, (C+E, C+E, +, 5 ÁLGEBR LINEL

41 MTRICES c,, (B, B, (C+E, (B, (B ÁLGEBR LINEL

42 MTRICES. Se. Hllr,, z y. Se ls mrces del prolem eror y B. Deermr l 6 7 que B. ÁLGEBR LINEL

43 5 MTRICES ÁLGEBR LINEL. Compror que es ríz de I X X X X F 5 (. 5. Ls mrces y B so comules s B B. Hllr ods ls mrces comules co B s d c y B.

44 6 MTRICES ÁLGEBR LINEL 6. Se ls mrces e I. S R, clculr I 7. Clculr B B

45 7 MTRICES ÁLGEBR LINEL 8. Dds ls mrces B C Ecorr el vlor de l qué B C Tr. Clculr el rgo (úmero de fls o uls de l mrz esclod equvlee de C sí. 9. Escrr u mrz smérc M, j l que j j j, s j

46 8 MTRICES ÁLGEBR LINEL. Reducr ls sguees mrces su form esclod y luego su form esclod reducd por fls

47 9 MTRICES ÁLGEBR LINEL c. Deermr l mrz vers de

48 MTRICES ÁLGEBR LINEL c d e

49 MTRICES. Dds ls mrces P y J. Hllr P y J. l que PJP. c PJ P. Verfcr que I y. ÁLGEBR LINEL

50 MTRICES cos se Se l mrz. Hllr se cos Deducr l ley y demosrr por duccó. y. Se l mrz. Hllr. Usr el Teorem del Bomo. ÁLGEBR LINEL

51 MTRICES 5. Se l mrz. Hllr. Usr el Teorem del Bomo. 6. S K es u mrz dgol cuyos elemeos, sore l dgol, so odos gules k, demosrr que K k. 7. Demosrr que l sum de dos mrces rgulres ferores es u mrz rgulr feror. ÁLGEBR LINEL

52 MTRICES 8. S es u mrz smérc pror que y so smércs. 9. Se u mrz cudrd sore u cmpo K,, K, y B.. I (I es l mrz dedd del msmo orde que. Demosrr que y B comu co el produco usul de mrces. ÁLGEBR LINEL

53 5 MTRICES ÁLGEBR LINEL Dds l mrces C B Deermr l mrz X dcdo su úmero de fls y colums que cumple: B X C X c BB B CX

54 MTRICES 6. U mrz es dempoee s y sólo s. Dds ls mrces dedd de orde, eso es, I y l mrz M Demosrr que es u mrz dempoee. B, se defe I B B B B.. U mrz es dempoee s y sólo s. Pror que s es dempoee, eoces B I es dempoee y demás B B O. ÁLGEBR LINEL

55 MTRICES 7. Pror que s ssfce I O, ese u mrz vers de.. Demosrr que od mrz cudrd es l sum de u mrz smérc y u mrz smérc. ÁLGEBR LINEL

56 8 MTRICES 5. Demosrr que R, j m se cumple que. O O. 6. Cosderdo m X Om y m X Bm, ssems defdos sore los reles, demosrr que: S H es solucó de X O, R, H es solucó de X O. S H y K so solucoes de X O, H K es solucó de X O. c S H y K so solucoes de X B, H K es solucó de X O. ÁLGEBR LINEL

57 DETERMINNTES 9 Cpíulo DETERMINNTES DEFINICIÓN El deerme es u fucó que eslece u correspodec ere el cojuo de mrces cudrds y el cmpo rel o complejo. s: f : M K f ( de( NOTCIÓN Se ( j, el deerme de se o sí: de( O mé DEFINICIÓN Se M S, eoces de( ÁLGEBR LINEL

58 DETERMINNTES 5 DEFINICIÓN Se M S, eoces de( DESRROLLO POR MENORES Y COFCTORES MENOR Se l mrz ( j y j M l sumrz de de orde (, oed por elmcó de l -ésm fl y l j-ésm colum de. El deerme deom meor de j. Mj se COFCTOR Se l mrz ( j. El cofcor j del elemeo j se defe como: j j ( M j TEOREM DE L EXPNSIÓN DE LPLCE Se (. j de( j ( de( j j j j j M j, ó ÁLGEBR LINEL

59 DETERMINNTES PROPIEDDES 5 TEOREMS Se (. j. S ee fl o colum de ceros, el de(.. S l -ésm fl de o l j-ésm colum de, se mulplc por (esclr y se oee u mrz B, de( B de(.. K, de( de(.. S ls mrces, B, C, so décs, ecepo e l j-ésm colum (fl l que l j-ésm colum (fl de C es l sum de ls j-ésms colums (fls de y B, de( C de( de( B 5. S se ercm dos fls (colums de, pr oeer l mrz B, de( B de(. 6. S l mrz ee dos fls (colums gules, de(. 7. S u fl (colum de es u múlplo de u fl (colum de, de(. 8. S u múlplo de u fl (colum de, se sum or fl (colum de, el deerme o se ler. 9. de( de(.. El deerme de u mrz rgulr es gul l produco de los elemeos de l dgol. DEMOSTRCIONES. Se u mrz co u fl de ceros j, j Se l fl de ceros j. j j ÁLGEBR LINEL

60 DETERMINNTES 5 de( B B j. j j de( B j B j de( B j de( B j j j de(., de( de( Por duccó ( de(.de( K de( de( K K P.D. de( K de( K K de( j K ( j j j K de( j K ( j K j j de( K j K ( j j j K de( K de( K. P.D. de(,,,, de(,, B,, de(,, B,, j de(,, B,, ( ( j j j j segú l -ésm fl ( j j ( j j j j j j de(,,,, de(,, B,, ÁLGEBR LINEL

61 5 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL 5 Se,, B,,,, P.D. de( de( B j j j de( j j j B B,, de( ( ( j j N ( ( ( j j N j j j de( 6. Se,, l que ls fls,+ so gules l ercmr ls fls,+: de( de( B (Teorem 8 de( de( Ordedo l guldd

62 5 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL de( de( 7. Se B,, de( de( B Pero, de(, Por lo o de( B 8. Se,, Se oee B l sumr: fl + +.fl B,, l plcr el Teorem 7

63 DETERMINNTES 55 de( B +,, de( B de( de( 9. Se demuesr por duccó S, de( ( de( ( Iguldo ( y ( de( de( S k de( de( K K s k de( K de( K Se B j K j K j j Desrrolldo B segú l fl : j B ( j B j j K ( Desrrolldo de cuerdo l colum : K j ( j K j ( ÁLGEBR LINEL

64 DETERMINNTES Pero, j j B j j B j j, es decr, 56 B j j De ( j B ( j j K j B de( K de( K, de( de(. Se demuesr por duccó S, S k K K Hpóess ducv K K Tess ducv K K j K ( j segú l fl K K, j K, j K ( K, K, K ÁLGEBR LINEL K ( K, K K, K K ( K K K, K

65 DETERMINNTES 57 K K, K K DETERMINNTES DE MTRICES ELEMENTLES. E es u mrz elemel po I oed por ercmo de fls o colums, eoces: E I.. E es u mrz elemel po II oed l mulplcr l -ésm fl o colum por (esclr, eoces: E I.. E es u mrz elemel po III oed l sumr veces l fl o colum j l fl o colum, eoces: E I. Oservcó E. TEOREM S E es u mrz elemel, eoces: E E, y E E DEMOSTRCION Iercmo de dos fls o colums E E se oee ercmdo dos fls o colums de E ( Por lo o: E E Se mulplc u fl o colum por (esclr E I ÁLGEBR LINEL

66 DETERMINNTES 58 E E E c Se reemplz u fl o colum por l sum de u de ells mulplcd por E E E E De mer semeje se demuesr que E E Corolro S y B so equvlees: B E E K K E E TEOREM Se M es verle s y sólo s DEMOSTRCION. S es verle, eoces " S es verle, es produco de mrces elemeles, E E (M, Teorem K K EE E E (Teorem K K E E, pueso que E. S, eoces es verle. Se demuesr l corrrecíproc: S o es verle, eoces S o es verle, es equvlee u mrz B que ee fl de ceros, ÁLGEBR LINEL

67 59 DETERMINNTES E E E E B es mrz co fl de ceros (M, Teorem K K E E E E B (Teorem K K TEOREM Se ls mrces, B M B B DEMOSTRCION. es verle S es verle E K E K EE ( E K E K E E ( B E K E K E E B B E E K K E E B ( Susuyedo ( e ( B B. o es verle S o es verle (Teorem ( B o es verle (M, Teorems, B B. B Por lo o: B B ÁLGEBR LINEL

68 6 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL INVERS DE UN MTRIZ TEOREM Se M k k k, s k DEMOSTRCION Se B es l mrz oed l reemplzr l k-ésm fl de por l -ésm fl de, sí: k k k B B es u mrz co dos fls gules, es decr, B Desrrolldo B segú l k-ésm fl de B por meores y cofcores: k k k DEFINICIÓN Se M, se defe como mrz dju de l rspues de l mrz de los cofcores de los elemeos j. Ejemplo ( Cof dj

69 DETERMINNTES 6 TEOREM 5 Se M dj.. dj I DEMOSTRCION. dj k k k El elemeo, k -ésmo de l mrz.dj es: k k k, s k, s k (Teorem k k k es decr,. dj dj.. dj I Corolro Se y, eoces M. dj ÁLGEBR LINEL

70 6 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL Ejemplo Dd l mrz 8 Clculr. Hllr l mrz ( dj. c Compror que I dj dj.. ( (. d Clculr. Solucó: 6 ( 6 ( dj( c (. dj ( dj d ( dj / /6 / 7 / /6 / 9 /6 8 / /

71 6 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL PROBLEMS PROPUESTOS. Ecorr el vlor de los sguees deermes c

72 6 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL d e f , dode es el úlmo dígo del ño cul.

73 65 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL. Deermr el vlor de

74 DETERMINNTES 66 c c c c c c ÁLGEBR LINEL

75 67 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL d e z y z y z y f C C C se B B B se se cos cos cos cos cos cos

76 68 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL g Demosrr que:

77 69 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL. Demosrr que el deerme ( 5. Hllr el vlor de

78 DETERMINNTES 6. Demosrr que: 7 c c c c c c c Verfcr prmero que: c c Hllr el vlor del deerme c c c c c c ÁLGEBR LINEL

79 DETERMINNTES 7. Demosrr que 7 c d c d c d c d 8. Pr qué vlores, R, el sguee deerme es dferee de cero? ÁLGEBR LINEL

80 7 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL 9. Pror que c c c c c c. Demosrr que Cuál es l geerlzcó de ese resuldo deermes de orde?

81 DETERMINNTES. plccoes l Geomerí líc S P, y, P (, y, P (, ( y so res puos o coleles, l 7 ecucó de l práol y B C que ps por los puos P, P P, puede escrrse de l form: y y y y Hllr l ecucó de l práol que ps por los puos: (,5,(,6,(,. = ÁLGEBR LINEL

82 DETERMINNTES S P, y, P (, y, P (, ( y so res puos o coleles, l 7 ecucó del círculo que ps por los puos P, P, P, puede escrrse: y y y y y y y y Hllr l ecucó del círculo que ps por los puos: (,5,(,6,(,. ÁLGEBR LINEL

83 DETERMINNTES c S se cooce que: L : y, 75 L L : y : y,, so res recs o prlels, el áre deermd por L, L, L vlor soluo de: es gul l Dode j es el cofcor de j e : Hllr l superfce del rágulo cuyos ldos so ls recs: 5 7y 7, 9 y 5, 5y. ÁLGEBR LINEL

84 76 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL d El volume de eredro deermdo e el espco por los puos,, (,,, (,,, (,,, ( z y P z y P z y P z y P, esá ddo por el vlor soluo de D 6, sedo D el deerme de: z y z y z y z y,,,6,(, 5,(,,6,(,, (.

85 DETERMINNTES. Se 77 Deermr los vlores de pr que pr que se verle. Hllr l vers de cudo ese. ÁLGEBR LINEL

86 DETERMINNTES. Se 78 Deermr el vlor de pr que se verle. Clculr co el vlor de pr el cul. ÁLGEBR LINEL

87 79 DETERMINNTES ÁLGEBR LINEL. Se Deermr los vlores de pr que pr que se verle. Hllr l vers de cudo ese.

88 DETERMINNTES 5. Dd l mrz 8 c c Hllr. Ecorr dj (. c Clculr. ÁLGEBR LINEL

89 SISTEMS DE ECUCIONES 8 Cpíulo SISTEMS DE ECUCIONES LINELES DEFINICIÓN Ecucó lel, es u epresó del po: ( dode = vrle,,,= vrles lres = coefcees de ls vrles = érmo cose, K K El cojuo solucó de l epresó ( es: CS,,, Se cosder los sguees csos: : K I. S se puede oeer depededo de los vlores II. S ÁLGEBR LINEL Reemplzdo e (,,, Pr gú vlor se verfc l guldd eror. L ecucó ( es cossee, por lo o, o ee solucó, o se dce que CS Ø

90 SISTEMS DE ECUCIONES 8 III. S De ( Se oee u dedd L ecucó ( se cumple pr odos los vlores de. DEFINICIÓN Los ssems de ecucoes leles so epresoes del po: m m m m ( El ssem ( es de m ecucoes y vrles ( m.. Oservcoes. S, ( se llm ssem o homogéeo.. S, ( se llm ssem homogéeo.. Resolver el ssem ( es hllr ls -úpls ordeds que l reemplzr e el msmo d deddes, es decr, ssfce el ssem.. S u de ls ecucoes de ( es del po, el ssem es cossee, es decr, o ee solucó, o o ese -úpls ordeds que ssfce el ssem (Teorem de Rouché-Fröeus. 5. S e u de ls ecucoes los coefcees y el érmo cose so gules cero, se ee u ssem de m ecucoes co cógs. E el sguee cudro se prese u resume de los dferees pos de ssems, sí: ÁLGEBR LINEL

91 SISTEMS DE ECUCIONES 8 SISTEMS DE ECUCIONES INCONSISTENTE CONSISTENTE NO HOMOGÉNEO HOMOGÉNEO Solucó Ifs Solucó Ifs úc solucoes úc solucoes o-rvl rvl + rvl SISTEMS EQUIVLENTES So quellos ssems que ee ls msms solucoes. Pr oeer u ssem equvlee de uo ddo, se puede relzr ls sguees opercoes:. Iercmr ecucoes E E. ( j. Mulplcr por u esclr dferee de cero u de ls ecucoes E E. (. Reemplzr u ecucó por l sum de or ecucó mulplcd por u esclr E E E. ( j SOLUCIÓN DE SISTEMS DE ECUCIONES Ls opercoes defds sore mrces y sore ecucoes so décs, por lo o, es posle rjr sore u ssem represedo e form mrcl. E ese prdo se descrrá méodos pr hllr ods ls solucoes (s ls hy de u ssem de m ecucoes co cógs. ÁLGEBR LINEL

92 8 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL Del ssem (, m m m m m m m m X B B X Es l ecucó mrcl del ssem (. m m m m ( L mrz ( es l mrz mpld ( B correspodee l ssem (. Oservcoes. odo ssem B X le correspode l mrz mpld (.. De od mrz mpld ( se puede escrr el ssem B X correspodee.. S l mrz mpld ( B es equvlee l mrz mpld (C D, los ssems B X y D CX so equvlees. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Pr resolver ssems de ecucoes se ulzrá los méodos de Guss (o de l rgulcó, Guss-Jord y Crmer, los msmos que se dell coucó.

93 SISTEMS DE ECUCIONES MÉTODO DE GUSS 85 Cosse e ecorr u mrz mpld esclod equvlee por fls l mrz correspodee l ssem orgl, se escre el ssem equvlee coforme l mrz esclod y se resuelve el ssem sí oedo. S l mrz ee fl de ceros y l mrz ( B o ee fl de ceros, el ssem es cossee. MÉTODO DE GUSS-JORDN Cosse e ecorr u mrz mpld esclod reducd por fls equvlee por fls l mrz correspodee l ssem orgl, se escre el ssem equvlee jusdo l mrz esclod reducd por fls y se resuelve el ssem sí oedo. MÉTODO DE CRMER Ese méodo srve pr resolver ssems que ee el msmo úmero de cógs que de ecucoes. TEOREM DE CRMER Se u ssem de ecucoes dode: es mrz de los coefcees es l fl -ésm de X (mrz de ls vrles es l mrz que ee los msmos elemeos de, ecepo los de l -ésm colum, e l que cos los érmos depedees. S, eoces DEMOSTRCIÓN Se epres el ssem e form mrcl. X B De cuerdo l hpóess: ÁLGEBR LINEL

94 86 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL es verle y ese B X ( B X dj B X. k k k dj sedo. Cosderdo l fl -ésm de X dj B F. ( c c c dj B F. ( ( Se clcul

95 87 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL Desrrolldo por cofcores de cuerdo l -ésm colum: c c c ( Iguldo ( y ( dj B F. ( Síess S M co, eoces B X ee como solucó úc: Oservcó Ese méodo es váldo úcmee s el ssem es. Ejemplo Resolver usdo el méodo de Crmer

96 SISTEMS DE ECUCIONES Solucó: 88 el ssem es de Crmer CS,, 6 Resume E cec y ecologí ese u gr vredd de sucoes que puede epresrse e érmos memácos mede ssems de ecucoes leles, o e cercrse u ssem de ese po, de hí el erés de su esudo. U vez que se h pledo u ssem lel de ecucoes, se dele res cuesoes mpores. L prmer de ells es coocer s ee o o solucó, l segud es l ucdd de l msm y, por úlmo, el cálculo de l solucó cudo ese. ls dos prmers cuesoes d respues el eorem de Rouché-Fröeus, l como se lusr e ese cpíulo. E ese puo del esudo es mpore omr e cue mé ls propeddes que prese los cojuos de solucoes de los ssems leles homogéeos y o homogéeos. L cuesó referee l cálculo de ls solucoes ee múlples respuess, y que ese dversos méodos pr deermrls. Ere ellos, ce descr el méodo de rgulcó de Guss y l regl de Crmer. ÁLGEBR LINEL

97 89 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL PROBLEMS PROPUESTOS. Resolver c Usr el méodo de Crmer

98 9 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL d 5 Usr el méodo de Crmer e f 6 5 5

99 9 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL g 6 5. Deermr los vlores de k les que el ssem co ls cógs,, eg Solucó úc, Ifs solucoes, No eg solucó. k k k

100 9 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL k k c k k

101 9 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL. Deermr los vlores de pr que el ssem ( ( ( Teg solucó úc. Hllrl Teg más de u solucó. Hllrls c No eg solucó.

102 9 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL. Deermr los vlores de pr que el sguee ssem: Teg solucó úc. Hllrl. Teg más de u solucó. Hllrls. c No eg solucó.

103 95 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL 5. Deermr los vlores de y pr que el sguee ssem: ( ( ( Teg solucó úc. Hllrl. Teg más de u solucó. Hllrls. c No eg solucó.

104 96 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL 6. Deermr los vlores de y pr que el sguee ssem: Teg solucó úc. Hllrl Teg más de u solucó. Hllrls. c No eg solucó.

105 SISTEMS DE ECUCIONES 7. Deermr los vlores m pr que el sguee ssem: (m m ( m ( m ( m ( m Teg solucó úc. Hllrl m Teg más de u solucó. Hllrls c No eg solucó. m 97 ÁLGEBR LINEL

106 98 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL 8. Deermr los vlores pr que el sguee ssem ( ( ( ( m m m m m m m m Teg solucó úc. Hllrl Teg más de u solucó. Hllrls c No eg solucó. m

107 99 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL 9. Deermr los vlores de pr que el ssem Teg solucó úc. Hllrl Teg más de u solucó. Hllrls c No eg solucó.

108 SISTEMS DE ECUCIONES ÁLGEBR LINEL. Deermr los vlores k c y,, pr que el ssem k c k c Teg solucó úc. Hllrl Teg más de u solucó. Hllrls c No eg solucó.

109 ESPCIOS VECTORILES Cpíulo ESPCIOS VECTORILES DEFINICIÓN Se V u cojuo o vcío, K u cmpo, (+ u ley de composcó er sore V, llmd dcó, ( u ley de composcó eer, que relco V y K, llmd produco, eoces se dce que V ee esrucur de espco vecorl sore el cmpo K, od por V, K,, s cumple ls sguees propeddes:. (V, + es u grupo comuvo u, v V u v V om de clusur u, v, wv ( u v w u ( v w om de socvdd! e V, u V e u u e u e v om del euro dvo,,, v u V,! u V u u u u e om del verso dvo v u, v V u v v u om de comuvdd. K, u V u V om de clusur., K, u V ( u ( u Ley socv m.! e K, u V eu u ( e om del euro 5. K, u V ( u u u, Prmer ley de dsrucó 6. K u, v V ( u v u v, Segud ley de dsrucó EJEMPLOS R es el espco vecorl de ls úpls de úmeros reles.., R,, R S R, ÁLGEBR LINEL,,, R,,,, u, v R, u,,,, v,,,,, y u,,, u v, se defe

110 ESPCIOS VECTORILES. M m, R,, es el espco vecorl de ods ls mrces m. M m m m es u mrz de orde m, j R Dode + represe l sum usul de mrces y l mulplccó usul de u úmero rel por u mrz.. F, R,, F. f es el espco vecorl de ods ls fucoes reles. f : R R es u fucó Dode + represe l sum usul de fucoes y l mulplccó usul de u úmero rel por u fucó. P, R,, es el espco vecorl de odos los polomos de grdo. Dode + represe l sum usul de polomos y l mulplccó usul de u úmero rel por u polomo. Oservcoes. Los elemeos de V se llm vecores, los elemeos de K se llm esclres.. L opercó (+ se llm sum vecorl, l opercó ( se llm mulplccó por u esclr.. El vecor se llm vecor ulo o vecor cero. V El sguee eorem es de mucho erés TEOREM Se V, K,, u espco vecorl K, u, v, w K se cumple que: c d e u v v w u w. u O. O V v O. u O V V u O (. u ( u (. u V DEMOSTRCIONES ÁLGEBR LINEL

111 ESPCIOS VECTORILES u u V om del euro u ( v ( v u ( u v ( v u v w ( v u v ( v w u om del verso om de socvdd Hpóess om de socvdd w V =u om del verso u w om del euro c om del euro V V V ( V V V V V V om reflevo om reflevo ( om dsruvo. u.u ( om reflevo Sumdo ( y ( V ( V ( V V ( V V V V V V d Por Cordccó Se supoe que: ( u V om del verso om del euro u V K, l que, V V u V.u V u V, Hpóess om del verso Lo que cordce l suposcó u V ÁLGEBR LINEL

112 ESPCIOS VECTORILES SUBESPCIOS VECTORILES Se V y S dos espcos vecorles defdos e el cmpo K, eoces S es u suespco vecorl de V, s y sólo s, S V. De hecho, odos los espcos vecorles ee sucojuos que mé so espcos vecorles. Gráfcmee se ee V S TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, S V, S Ø, S es suespco vecorl de V s y sólo s cumple que:. u, v S u v S. K, u S u S DEMOSTRCION "" Se cumple pues S V. "" P.D. S, K,, es u espco vecorl S, es u grupo comuvo u, v S u v S om de clusur S cumple u, v, w S ( u v w u ( v w om de socvdd S cumple c! e S, u S e u u e e om del euro dvo ( v P.D. e S V S ÁLGEBR LINEL

113 ESPCIOS VECTORILES u u u V 5 S cumple,,, d u S,! u S u u u u e om del verso dvo P.D. S es decr, S cumple e u, v V u v v u Pueso que Oservcó S cumple V S u, u S u.u u u S V u S se cumple ls propeddes de los espcos vecorles. S S es espco vecorl y S V, eoces S es suespco vecorl de V. V pereece odo suespco vecorl de V. Corolro S V, s S es suespco vecorl de V, eoes se cumple que:. S, S Ø V. K, u, v S u v S COMBINCIÓN LINEL Se V, K,, u espco vecorl, T V, T,, Se dce que u V es comcó lel de T s y sólo s ese elemeos del cmpo K l que se verfc l sguee dedd: u ÁLGEBR LINEL

114 ESPCIOS VECTORILES CONJUNTO GENERDOR Se V, K,, u espco vecorl, S V, S s, s, s, u V. S u s s s,eoces S es cojuo geerdor de V. 6 CÁPSUL LINEL Se V, K,, u espco vecorl, S V, Ø, S S s s,, L cápsul de S es el cojuo de los vecores que so comcoes leles de los s elemeos de S, y se o por S v V S, es decr, v s s s, K TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, S V, S Ø L cápsul de S es suespco vecorl de V. DEMOSTRCION. S y S Ø v u S Se K u V u V v S. u, v S u v S u s v s s s s s u v s ( s ( s ( u v S ÁLGEBR LINEL

115 ESPCIOS VECTORILES 7. K, u S u S u s s u u s s s s s s s u S DEPENDENCI E INDEPENDENCI LINELES Se V, K,, u espco vecorl, T V, T,,,. T es lelmee depedee s y sólo s ese esclres o odos gules cero, les que: V. T es lelmee depedee s y sólo s ese esclres úcos e gules cero, les que: es se llm comcó lel rvl. V TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, S S V. S es lelmee depedee., eoces S mé lo es. S. S es lelmee epedee., eoces S mé lo es. S DEMOSTRCION S s s,,, S s, s,, s s r ÁLGEBR LINEL

116 ESPCIOS VECTORILES S S es lelmee depedee,, les que: s s s Se puede escrr que: s, s s. s. sr dode o odos los coefcees so cero. S es lelmee depedee v v 8. Por cordccó: Se supoe que S es lelmee depedee S es lelmee depedee S S S es lelmee depedee Lo que cordce l suposcó. S es lelmee depedee. TEOREM 5 Se V, K,, u espco vecorl, S V. S es lelmee depedee s y sólo s s S, l que, s es comcó lel de los reses vecores. DEMOSTRCION. "" S S es lelmee depedee, eoces, les que: s s s s V, es decr, s s s s, (e cso corro se elge oro vecor Despejdo s s s Por lo o: s es comcó lel de los reses vecores. ÁLGEBR LINEL s s

117 ESPCIOS VECTORILES. "" Se s S, l que, es comcó lel de los reses vecores de S, 9 s s s s s s ( s s Sumdo ( y ( y reordedo s s s s s s S es lelmee depedee. V ( TEOREM 6 EL WRONSKINO D, f, S f, f, f es lelmee depedee s y sólo s D f, l que: W f f f f ' f ' f ' ( ( ( f f f f, f,, f DEMOSTRCION "" Por cordccó Se supoe que W, eoces U fl o colum de W es comcó lel de ls reses, por ejemplo: f f f Lo que cordce l suposcó. W, es decr, S es lelmee depedee. "" Por cordccó: Se supoe que S es lelmee depedee, eoces U fl o colum de W es comcó lel de ls reses, es decr, W, lo que cordce l suposcó Por lo o S es lelmee depedee. ÁLGEBR LINEL

118 ESPCIOS VECTORILES BSE DEFINICION Se V, K,, u espco vecorl y S V, S es u se de V, s y sólo s:. S geer V, y. S es lelmee depedee. TEOREM 7 Se V, K,, u espco vecorl y S V, S S s, s, s es u se del espco vecorl V, eoces odo vecor de S se puede epresr de u y solo u mer como comcó lel de los vecores de S. L comcó lel es úc. DEMOSTRCION Se u V Se supoe que l comcó lel o es úc, es decr, u s u s s s s s ( ( Resdo ( y ( u s ( u ( s ( s ( V ( ( s ( s s S S es se de V, eoces S es lelmee depedee,, ÁLGEBR LINEL

119 ESPCIOS VECTORILES Lo que cordce l suposcó. Por lo o: l comcó lel es úc. TEOREM 8 Se V, K,, u espco vecorl y S V, S S es u cojuo fo de vecores o ulos que geer V eoces, S coee u se T de V. DEMOSTRCION S S es lelmee depedee, eoces es se de V. // S S es lelmee depedee, ese u vecor que es comcó lel de los reses vecores (Teorem 6. S se cosder el cojuo es comcó lel de S s S S s s S s s geer V? s s s ( Se u V u es comcó lel de S u s s s s s s ( Se susuye ( e ( u s S es geerdor de V. s s s, es decr, S es lelmee depedee, eoces es se. // S s c S es lelmee depedee, se elm u vecor, que es comcó S lel de los reses, es decr, S S s, que es geerdor de V. l cour co el proceso se ecuer u sucojuo T de S que es lelmee depedee y que geer V. // ÁLGEBR LINEL

120 ESPCIOS VECTORILES TEOREM 9 Se V, K,, u espco vecorl y S, T V, S s s,, s eoces, T,,, r, es u se de V, y es u cojuo lelmee depedee de V, r. Eso es, odo cojuo lelmee depedee o ee más que vecores. DEMOSTRCION Se supoe que: r S S geer V es comcó lel de S s s s Se despej s (E cso corro, s se despej oro s S es comcó lel de V ( s s s, s,, s, geer V S V s s s V s s, eoces T es lelmee depedee Lo que cordce l suposcó. Por lo o dee( esr lgú(os E cso corro se elge oro ÁLGEBR LINEL

121 ESPCIOS VECTORILES s de dode, S geer V Repedo el proceso veces, se ecuer el cojuo (Teorem. S r ( s s s,, s,, S,,,, que es se de V, pues geer y es lelmee depedee, eoces T es lelmee depedee Lo que cordce l suposcó. Por lo o: r. s s TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, S, T V, S s s,, s, T,,, r, es u se de V, y es or se de V, eoces r DEMOSTRCION S S es se de V y T es lelmee depedee, r (Teorem 9 S T es se de V y S es lelmee depedee, r (Teorem 9 Se cocluye que r. Es decr, ls dferees ses de u msmo espco vecorl ee gul úmero de vecores. Corolro S S es se de V y ee vecores, u cojuo co depedee. vecores es lelmee ÁLGEBR LINEL

122 ESPCIOS VECTORILES DEFINICIÓN Ls coordeds de u vecor u V, respeco u se dd S, so los esclres que srve pr epresr u como comcó lel de S, sí: u s s s u S, es el vecor coordeds de u respeco S. DIMENSIÓN Se V, K,, u espco vecorl, S V, S s s,, s, es u se de V, eoces l dmesó de V es gul, y se o por dm V. L dmesó de espco vecorl rvl se cosder cero, eso es, dmv., DIMENSIÓN FINIT U espco vecorl V es de dmesó f s y sólo s l se de V ee u fo úmero de vecores. Ejemplos: R, C, P, M. m DIMENSIÓN INFINIT U espco vecorl V es de dmesó f s y sólo s l se de V ee u fo úmero de vecores. Ejemplo: P el espco vecorl de odos los polomos. TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, dm V, S V, S s s,, s,, eoces S S es lelmee depedee, S es u se de V. ÁLGEBR LINEL

123 ESPCIOS VECTORILES DEMOSTRCION Por cordccó Se supoe que S o es se de V, S S o es se, eoces S o geer V u V l que o es comcó lel de S, S s, s,, s, u es lelmee depedee 5 Lo que cordce l suposcó. Por lo o S es se de V. TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, dm V, S V, S s s,, s, S S es geerdor de V, eoces S es u se de V. DEMOSTRCION Por cordccó Se supoe que S o es se de V, S S o es se, eoces S es lelmee depedee (Teorem 9 s S, que es comcó lel de los reses, S S s s s s s s s. S es lelmee depedee, es se S dmv Lo que cordce l suposcó.. S es lelmee depedee, S S s S que es comcó lel de los reses vecores, S ÁLGEBR LINEL

124 ESPCIOS VECTORILES S S es lelmee depedee, es se y dmv Lo que cordce l suposcó. Por lo o S es se de V. 6 TEOREM Se V, K,, u espco vecorl, dm V, S es u cojuo de vecores lelmee depedees, eoces ese u se T de V que coee S. DEMOSTRCION S s, s,, s j S S o es se, u V que es comcó lel de S, S s, s,, s j, u es lelmee depedee. S S es lelmee depedee y es geerdor, eoces es se S T, S T. S o es geerdor, o es se S. v V que es comcó lel de S, S s, s,, s j, u, v es lelmee depedee S S es lelmee depedee y es geerdor, eoces es se S T, S T S S. es lelmee depedee, pero o es geerdor, se repe el proceso hs ecorr u cojuo T geerdor de V. TEOREM Se V, K,, y W, K,, espcos vecorles de dmesó f, s W es suespco vecorl de V, eoces se cumple que dmw dmv ÁLGEBR LINEL

125 ESPCIOS VECTORILES DEMOSTRCION S W es suespco vecorl de V, W V, es decr, W V W V. S W V, dmw dmv 7. S W V, u V. q. u W, U se de W ee meor úmero de vecores que u se de V, dmw dmv Por lo o dmw dmv. TEOREM 5 Se V, K,, u espco vecorl. L erseccó de culquer coleccó de suespcos vecorles de V, es u suespco vecorl de V, es decr, s V,, V, V, so suespcos vecorles de V, eoces W V, es suespco vecorl de V. DEMOSTRCION. v W v V,,,,, pues V es suespco vecorl v W. u, v W u v W u V, u, V,,, v V, v V,,,..., u v u v W V ÁLGEBR LINEL

126 ESPCIOS VECTORILES. K, u W u W, eoces u u V, eoces u V V u V, eoces αu W..u W 8 DEFINICIÓN Se V, V, K,,, S V, V,,,,,, V, V suespcos vecorles del espco vecorl V, y los vecores v V, l sum de los suespcos de S se defe por V, v V V v v v v v V, v V, V dode TEOREM 6 V W Se, K,, u espco vecorl, y y W suespcos vecorles de V, eoces W W es u suespco vecorl de V TEOREM 7 V W Se, K,, u espco vecorl, y y W suespcos vecorles de V. S B y B so ses de y y W, eoces W W B B W DEFINICIÓN Se V, K,, u espco vecorl y U, W yw, suespcos vecorles de V, U W W defe l sum drec de W yw s W W v V v W! v W,! v v v ÁLGEBR LINEL

127 ESPCIOS VECTORILES 9 TEOREM 8 Se V, K,, u espco vecorl y U, W yw, suespcos vecorles de dmesó f de V. U W W, s y sólo s U W W y W W. V DEMOSTRCION u W, v W v u v u u v u v u v v u u W W v v W W u u u u v v v v V V V V Por lo o u v so úcos. Corolro Se V, K,, u espco vecorl y U, W yw, suespcos vecorles de dmesó f de V, eoces dm W W dmw dmw TEOREM 9 Se V, K,, u espco vecorl, y u suespco vecorl W de. eoces ese u suespco (complemeo W del espco V vecorl de V l qué V W W. ÁLGEBR LINEL

128 ESPCIOS VECTORILES DEMOSTRCION. W V W V W W V W W. V. W V W es suespco vecorl propo de V, dmv S,, se de W, r, v, v, v r S W S v, r, v r S S, dode v j S, j r,..., S W W W V W, v W v, v,, vr, vr, S, v S v, v,, v r, v r, es lelmee depedee y es se de V W W V S S V W W. V, eoces Ejercco Se W c d P c d c suespco vecorl de P. Hllr u suespco vecorl W l que P W W. TEOREM W Se y W suespcos vecorles de dmesó f de u espco vecorl V, K,,, eoces W W es u espco vecorl de dmesó f y demás: dmw dmw dm( W W dm( W W. ÁLGEBR LINEL

129 ESPCIOS VECTORILES DEMOSTRCION W W Se Ø S, se de W u, u, u k W S ee k vecores y es pre de u se de S u, u,, uk, w,, w m es se de W es se de S S u, u,, uk, v,, v, w,, wm ee vecores S S geer W W (Defcó P.D. es lelmee depedee y W k m u v w v ( Reordedo m ( w u v W S, u, u,, u k, v, v S S m S S Reordedo k m k ( w W m ( w W W m k ( w u u k m w V W Se oee u comcó lel de, se de W que ee k m vecores,,,, k,,,, m W S Se oee u comcó lel de S, se de W que ee k vecores k v u,,,, k ÁLGEBR LINEL V

130 ESPCIOS VECTORILES,,,, S S es lelmee depedee y geer W W dmw dmw ( k ( k m dmw dmw ( k m k dmw dmw dm( W W dm( W W. TEOREM Se y W suespcos vecorles de dmesó f de u espco vecorl V, K,,. W W W W. W es suespco vecorl de V s y sólo s W W o DEMOSTRCION "" Por cordccó Se supoe que: W W W W u u W u W u u W u W u u u u u W W W W W W, u W W u W W u W que es suespco vecorl, eoces u u W. S u u W u ÁLGEBR LINEL W u W u u u W u W

131 ESPCIOS VECTORILES Lo que cordce l suposcó.. S u u u W W u W u u u W u W Lo que cordce l suposcó. "" W W W W que es suespco vecorl Por lo o W W es suespco vecorl de V s y sólo s W W W W CMBIO DE BSE E ese prdo se esud l relcó ere dos vecores coordeds pr el msmo vecor, respeco ses dferees. Se el espco vecorl V, K,, y, S y T ses ordeds de V S s s,,, T, s,, v V v s v s s (I (II Cosderdo los vecores de S como comcó lel de T ÁLGEBR LINEL

132 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL ( ( ( Los vecores coordeds de respeco l se so: Eoces se cosruye l mrz T T T T S S S S P E form desrrolld T S P T S P es l mrz de cmo de se de. s s s S T T s T s T s S T

133 ESPCIOS VECTORILES Susuyedo (,(,,( e (I e guldo (II 5 ( + ( ( Reordedo ( + ( Escredo mrclmee O mé v T P S T v S Smlrmee v S Q T S v T QT S es l mrz de cmo de se de S, demás T Q T S P S T. Ejemplo Se los cojuos S T S y T ( 6,,, (,,, (5,5, (,, (,,, (,, ses ordeds del espco vecorl, y Hllr l mrz de cmo de se P de S T. Solucó: R, les que ÁLGEBR LINEL

134 ESPCIOS VECTORILES u ( 6,,, (,, (,, (,, 6 u v (,,, (,, (,, (,, w ( 5,, (,, (,, (,, v T T L mrz requerd es w T Resume E ese cpíulo se revel y se eseñ u pre mpore del Álger Lel, y que se lz l esrucur de espco vecorl, que es el mee de rjo del que se pre pr l oecó de los resuldos y desrrollos que se verá coucó e los sguees ems. Se comezó refleodo co vecores e el plo y e el espco cosderádolos como segmeos de recs oredos, juo co ls posles opercoes que puede relzrse ere ellos y sus propeddes. U vez coocdos los espcos ÁLGEBR LINEL R y R como cojuos de vecores, se procedó geerlzr, e u proceso de srccó, los specos que los crcerz, oeédose sí l esrucur de u espco vecorl. De l defcó de suespco vecorl W surge de mer med el cocepo de cojuo geerdor, que perme defr, prr de u úmero fo de vecores, odos los elemeos de W. Dero de los cojuos geerdores eres quellos que coee el meor úmero de elemeos y esos puede ecorrse co yud de los cocepos de depedec e depedec leles. Esos cojuos geerdores mímos P se cooce como ls ses de los espcos vecorles y, el úmero de elemeos que ls compoe, l dmesó de los msmos.

135 ESPCIOS VECTORILES PROBLEMS PROPUESTOS 7 ESPCIOS VECTORILES Y SUBESPCIOS. Se R el cojuo de -upls ordeds,,, e el cmpo R, co l ( dcó e R ( y l mulplccó por u esclr, defds por:,,,,,,,,, ( k,,, k, k,, k ( ( ( Dode,, k R. Demosrr que R es u espco vecorl sore R. ÁLGEBR LINEL

136 ESPCIOS VECTORILES 8. Se R el cojuo de prejs ordeds (, de úmeros reles. Demosrr que R o es espco vecorl sore R co l dcó e por u esclr sore R defds por: (, ( c, d ( d, c y k(, ( k, k R y l mulplccó (, ( c, d ( c, d y k(, (, c (, ( c, d (, y k(, ( k, k d (, ( c, d ( c, d y k(, (, ÁLGEBR LINEL

137 ESPCIOS VECTORILES. El cojuo ddo co ls opercoes dds o es u espco vecorl. Qué propeddes de l defcó o se ssfce? Los reles posvos sore los reles co ls opercoes + y. El cojuo de ls ers ordeds de úmeros reles co ls opercoes:,, (, y, z (, y, z r(, y, z (,, z,, (, y y, z z, y c El cojuo de ls mrces M l que, dode, y co ls opercoes usules e R.,, 9 ÁLGEBR LINEL

138 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL. Se el espco vecorl de. c c W c W c c c W Deermr s W es suespco vecorl de M. M

139 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL 5. Deermr s el cojuo es suespco vecorl de.,, ( y e z y W z y z y W,, ( c,, ( z z y W d,, ( z y z y W e,, ( z y z y W W R

140 ESPCIOS VECTORILES 6. Deermr s el cojuo W es suespco vecorl de P W p( c p( p( W p( c p' ( p' '( W p( c c c W p( c p( p' ( ÁLGEBR LINEL

141 ESPCIOS VECTORILES 7. Se el espco vecorl V f, : R, W V. Deermr cuáles de los sguees cojuos so suespcos vecorles de V. W f :, R f es coíu W f, : R f c W f, es dervle : R f ( d - d W f, e W f, : R f ( f ( : R f ( f W f, R f : ÁLGEBR LINEL

142 ESPCIOS VECTORILES COMBINCIONES LINELES Y CONJUNTOS GENERDORES. Ddo el espco vecorl lel de T cudo es posle. T T c T,, (, d T (, (,,(, ( (,,(, 5,(, R. Epresr vecor u ( como comcó ÁLGEBR LINEL

143 ESPCIOS VECTORILES. Escrr s es posle el vecor vecores de R (,,,((,, (,-,,(-,, c (,,-,(,-, d (,,,(,,,(,, u (,, R 5 como comcó lel los ÁLGEBR LINEL

144 6 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL. Deermr s el cojuo de vecores ddo geer l espco vecorl dcdo.. E R.. E R c, S. E M. d,, S. E P. e 6 5,,, S. E M.,,(, ( S,,,,(,,( ( S

145 ESPCIOS VECTORILES. Hllr l cápsul de S e el espco vecorl ddo. S (,,,,(,,,. E S,. E c S. E M. P. R. 7 ÁLGEBR LINEL

146 ESPCIOS VECTORILES 5. Pr qué vlor de el vecor (,, pereece l cápsul formd por el cojuo de vecores (,,,(,, B? 8 6. Ddo el cojuo de mrces S,, Clculr S. Ecorr u se pr S. ÁLGEBR LINEL

147 9 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL 7. Se el cojuo del espco vecorl. Hllr. Pror que l mrz pereece. c Demosrr que es suespco vecorl de., S M S F S S M

148 ESPCIOS VECTORILES ÁLGEBR LINEL 8. E el espco vecorl dcdo deermr el vlor de pr que el cojuo de vecores ddo se lelmee depedee y lelmee depedee.,,,(,,,,(, ( T. E R.. E M. c. E P.,, T,, S

149 ESPCIOS VECTORILES 9. Hllr u cojuo lelmee depedee e P que coeg los polomos y. Sugerec : Oeer u p (,.. Hllr u cojuo lelmee depedee e (,, y (-,,. Cosderr l sugerec del ejercco eror. R que coeg los vecores ÁLGEBR LINEL

150 ESPCIOS VECTORILES. E el espco vecorl R demosrr que los vecores,,,,,,, c, c so lelmee depedees s, c y c. ÁLGEBR LINEL

151 ESPCIOS VECTORILES. Cuáles de los sguees cojuos de R so lelmee depedees? Pr los que lo se epresr uo de los vecores como comcó lel de los reses (relcó de depedec. (,,(,,,(,,,(,, c (,,,(,, (,,,(,,,(,,,(,, ÁLGEBR LINEL

152 ESPCIOS VECTORILES. Cosderr el espco vecorl P. Hcer lo msmo que e ejercco.,,,, c, 5, ÁLGEBR LINEL

153 ESPCIOS VECTORILES. Se el espco vecorl de ls fucoes cous de vlor rel. Hcer lo msmo que e el ejercco. c cos, se, e, e cos, se, se,cos 5 ÁLGEBR LINEL

154 6 ESPCIOS VECTORILES BSES Y DIMENSION. Cuáles de los sguees cojuos form u se e R? Epresr el vecor u (,, como u comcó lel de los vecores del cojuo que se se. (,,,(,,,(,, (,,,(,,,(,, c (,,,(,,,(,,,(, ÁLGEBR LINEL

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