Cap 3 La Integral Definida MOISES VILLENA MUÑOZ

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1 Cp L Iegrl ed. EINICIÓN. TEOREMA E INTEGRABILIA. TEOREMA UNAMENTAL EL CÁLCULO. PROPIEAES E LA INTEGRAL EINIA.. PROPIEA E LINEALIA.. PROPIEA E AITIVIA.. PROPIEA E COMPARACIÓN.. PROPIEA E ACOTAMIENTO.. PROPIEA E SUSTITUCIÓN..6 PROPIEA E SIMETRÍA..7 PROPIEA E PERIOICIA..8 PROPIEA E LA ERIVAA E UNA INTEGRAL Ojevo: Se preede que el esude clcule egrles deds plcdo eorems y propeddes

2 Cp L Iegrl ed. EINICIÓN Y se h mecodo que u prolem resolver es l deermcó del áre jo u curv y. El cálculo egrl proporco ls herrmes pr dr solucó es prolemác. vdedo l regó e " " recágulos. Oserve l gur: Ls ses de los recágulos so de dmesó o ecesrmee gul. Ls lurs de cd recágulo esrí dds por el respecvo vlor que se oee e l ucó co el puo oserve l gur que se h deodo como. El áre del prmer recágulo serí A, el áre del segudo recágulo serí A ; y sí, el áre del -ésmo recágulo serí A.

3 Cp L Iegrl ed Oserve que s ommos,,,,, se ee recágulos crcuscros; e cmo s se om,,,, se edrí recágulos scros. L sum de ls áres de los recágulos serí: K Que de mer revd eemos: Be, lo que se quere es el áre de l regó, por o se deerí cosderr u sum de u cdd muy, pero muy grde de recágulos, es decr u sum. Por o, el áre de l regó esrí dd por: A e quí surge l decó de Iegrl ed. Se u ucó que esá ded e el ervlo [,]. Al se le deom l egrl ded o egrl de Rem de de " sguee mer: d. " "" y se deo de l Además, s ese ese e decmos que es egrle e [,]. Ahor, co el sguee eorem dejmos sedo el hecho de cudo u ucó es egrle.

4 Cp L Iegrl ed. TEOREMA E INTEGRABILIA S es cod e [ ], y s es cou ecepcó de u úmero o de puos, eoces es egrle [ ] E prculr s es cou e odo [ ] egrle e [, ],., eoces es Ejemplo Hllr el áre jo l curv e [,] Aplcdo l decó Sum de Rem se ee: A [ K ] PRIMER MÉTOO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS. Escogemos,,,, Represedo l regó, eemos: y {{ { Ahor e, oserve que s ommos ods ls prcoes de gul dmesó, edrímos y 6

5 Cp L Iegrl ed, 6 M Eoces: [ ] A A L SEGUNO MÉTOO. RECTANGULOS INSCRITOS. Escogemos,,,, Represedo l regó, eemos: 7

6 Cp L Iegrl ed Ahor, gul que el méodo eror: { { { y y Eoces: [ ] [ ] A A L 8

7 Cp L Iegrl ed Noe que el suo o es secllo. Se podrí volver ú más egorroso s l ucó uvese regl de correspodec complej. El eorem sguee os permrá evlur egrles deds de u mer muy rápd y secll, lerádoos de l des de clculr egrles deds empledo su decó.. TEOREMA UNAMENTAL EL CÁLCULO Se cou e [ ], y se culquer dervd de e [ ], eoces: d emosrcó: E l epresó, hcedo y eemos: Resdo y sumdo érmos, resul: [ ] [ ] [ [ ] K ] Aplcdo el eorem del vlor medo pr dervds e el ervlo [ ], Como es cou y derecle e [ ], eoces l que Como y eoces: espejdo resul:. 9

8 Cp L Iegrl ed Reemplzdo e [ ] eemos: Tomdo e qued: [ ] d, L pre derech de l úlm guldd, por decó es l egrl ded de e [ ]. Por o d L.Q.Q.. Ejemplo Hllr el áre jo l curv y e [,] El áre jo l curv esrá dd por A d, plcdo el eorem udmel del clculo A d C C C 7 6 Hemos ddo solucó u gr prolemác. Oserve que d y d d Porqué?

9 Cp L Iegrl ed. PROPIEAES E LA INTEGRAL EINIA.. PROPIEA E LINEALIA Supog que y g so egrles e el ervlo, ] y se k R, eoces: [. [ ± g ] d [ ] d ± [ g ] d. d k k d.. PROPIEA E AITIVIA S es egrle e u ervlo que coee los puos, y c o mporr su orde, eoces: c d d d c emosrcó: Por el eorem udmel del cálculo: c d d c c d PREGUNTA: Verddero o lso? c d d d

10 Cp L Iegrl ed Ejemplo Clculr dode d < ; ; Como ee dos regls de correspodec, es decr: Eoces plcdo l propedd de dvdd, eemos: [ ] d d d Ejemplo Clculr d Pr oeer ls regls de correspodec que dee, oeemos l grác de y Eoces:

11 Cp L Iegrl ed d d d d d.. PROPIEA E COMPARACIÓN S y g so egrles e [ ], y s g, [, ]; eoces: d g d.. PROPIEA E ACOTAMIENTO S es egrle e [ ], y s M m, [ ], ; eoces: M d m.. PROPIEA E SUSTITUCIÓN Supógse que g ee u dervd cou e [ ], y se cou e el rgo de g. Eoces: dode g g d d g g g Ejemplo Clculr 9 cos d

12 Cp L Iegrl ed Tomdo el cmo de vrle eoces eemos d d, y pr los es de egrcó 9 cos por o l egrl e érmos de serí: d cosd se se se Noe que pr resolver l egrl eror o es ecesro plcr l propedd de susucó; l egrl puede ser resul como e el cso de ls egrles deds y luego ser evlud pr. cómo serí?...6 PROPIEA E SIMETRÍA. S es u ucó PAR eoces: d d. S es u ucó IMPAR eoces: d emosrremos sólo l prmer pre, l segud es de orm álog y se recomed l lecor que l relce. EMOSTRACIÓN Aplcdo l propedd de dvdd d d d Pr l prmer egrl plcdo l propedd de susucó: S ommos el cmo de vrle eoces d d y pr los es de egrcó. Susuyedo resul [ d] d

13 Cp L Iegrl ed Por hpóess es u ucó pr, por o se cumple que y demás s vermos los es de egrcó, eemos: d l úlm egrl s qued [ d] d lmee d d d d d L.Q.Q.. Ejemplo Clculr d Oegmos prmero pr. Oserve, por o es u ucó mpr y por l propedd de smerí, rápdmee coclumos que: d..7 PROPIEA E PERIOICIA S es peródc co período T, eoces: T d T d EMOSTRACIÓN E l egrl T T d, hcedo cmo de vrle T.

14 Cp L Iegrl ed el cmo de vrle se oee T T T T, d d y los es pr l uev vrle so: Reemplzdo, resul: d T d y como, por hpóess, es u ucó T peródc se cumple que T, eoces T d d T Que lmee, s quedrí d d L.Q.Q.. T..8 PROPIEA E LA ERIVAA E UNA INTEGRAL Alguos uores le llm Segudo Teorem udmel del Cálculo. Se cou e [ ] de,. Eoces:, y se " " u puo vrle d d d Ejemplo Clculr d 7 Aplcdo l propedd eror, rápdmee coclumos que: d 7 7 6

15 Cp L Iegrl ed Ejemplo Clculr 7 d Ivredo los es de egrcó y plcdo l propedd, coclumos que: 7 7 d L propedd eror puede ser geerlzd de l sguee mer: [ ] d du u d d d u Ejemplo Clculr 7 d Aplcdo l propedd, coclumos que: d Ejemplo Clculr 7 d Aplcdo l propedd de dvdd, eemos que: d d d ervdo cd érmo y plcdo l propedd, resul: 7

16 Cp L Iegrl ed d d d d d d INALMENTE: d Ejemplo Clculr d Oserve que por o: d d d d d d d 8

17 Cp L Iegrl ed Ejemplo 6 Clculr d L epresó prese u deermcó de l orm: Aplcdo l regl de L Hopl, eemos: [] d Ejerccos Propuesos.. Clculr,. d s. d c.,, < d d. d e. d. d g. [ ] d h. cos d. 9 d j. [ cos ] d k. se d l. 9 d e m. l. d 97 o. se d d. eerme el vlor de verdd de ls sguees proposcoes: S es verdder demuésrel y e cso de ser ls de u corejemplo.. S g e [, ], d g d 99. c d d 9

18 Cp L Iegrl ed T T c. S es peródc co período T, eoces: d d., d d e. S es u ucó pr [, ], eoces d. S g e [, ], eoces d g g. S G [, ], G G d d d h. Se g u ucó dervle y supógse que es u dervd de. Eoces g g d g C. Ecuere s om ls sguees regls de correspodec: se l. d sec. d l e c. d e l sec se d. d se e. cos se l 6 log. se cos d d. eerme:.. lm lm se se d d c. d. lm d d e d d 6

19 Cp L Iegrl ed Msceláeos. A cd u de ls proposcoes sguees, clíquels como Verdder o ls. E cd cso jusque su respues. S es u ucó cou e el ervlo, eoces [ ] d [ ] [ ] S eoces d pr [, ] c S es u ucó cou e d d d [ ] rcg d IR, eoces: rcg d ; IN g so ucoes mpres y cous e IR, eoces e S y o g d d g e h S y d 6 g so ucoes cous e el ervlo [,] eoces g d g d S eoces pr d, [ ] j se d sed k S d y d 7 eoces d l d d 6

20 Cp L Iegrl ed m S es u ucó cou e IR l que pr culquer úmero rel, d d eoces es u ucó mpr. S es u dervd de l ducó, eoces [,] o S es u ucó cou e el ervlo d 7 d y d 7 eoces p S es u ucó l que cos d eoces cos q S y g so ucoes les que e y g pr odo [,] eoces g d. r S [, ], eoces d [,] s S es u ucó cou e el ervlo [,] eoces e. se d cos d u lm cos v lm p cos y e d pr dode p m. { } p es u prcó del ervlo [,] w S d, eoces d. 6

21 Cp L Iegrl ed lm se g d y lm e e z, R, se d cos d. Clculr.. c. lm cos 6 cos se d. e. lm se d d d d 6. [ ] d g. h. d d d. l j. e l d 6 k. l. d d m. cos d. o. d se d lm e d se p. e d 6

22 Cp L Iegrl ed. S es u ucó l que e d, IR. eerme los ervlos dode el gráco de es cócv hc rr S y g so ucoes les que d, d y g d 6, eoces clcule el vlor de [ g ] d 7 6

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