Calculo Integral. Centro de Desarrollo Educativo [CDE] [Acuerdo No. MSB de Fecha 15 de Marzo 2005] [C.T. 14PBJ0076Z]

Transcripción

1 Clculo Itegrl 007 Cetro de Desrrollo Eductvo [CDE] [Acuerdo No. MSB0050 de Fech 5 de Mrzo 005] [C.T. PBJ0076Z] Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

2 SECRETARÍA DE EDUCACIÓN JALISCO COORDINACIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR, SUPERIOR Y TECNOLÓGICA DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN DEL BACHILLERATO EN LA MODALIDAD INTENSIVA SEMIESCOLARIZADA BMIS MATEMÁTICAS VI DOCUMENTO BASE Gudljr, Jlsco Febrero de 008 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

3 SECRETARÍA DE EDUCACIÓN JALISCO MATEMÁTICAS VI DIRECTORIO SECRETARIO DE EDUCACIÓN JALISCO LIC. MIGUEL ANGEL MARTÍNEZ ESPINOSA COORDINADOR DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR, SUPERIOR Y TECNOLÓGICA LIC. EDUARDO DÍAZ BECERRA DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR MTRO. JOSE MANUEL BARCELÓ MORENO DIRECCIÓN DEL BACHILLERATO EN LA MODALIDAD INTENSIVA SEMIESCOLARIZADA MTRA. DIMNA SILVIA GONZÁLEZ HERNÁNDEZ Acdem: Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

4 UNIDAD. Dferecles e tegrl defd.. L dferecl. Defcoes de y f ' Itroduccó. Hst hor hemos represetdo l dervd de y f () por l otcó: dy f '( ) d est frccó ordr es u símbolo que represet el límte del cocete y cudo tede cero. Defcó. S f '( ) es l dervd de f () pr u vlor prtculr de, y es u cremeto de, rbtrrmete elegdo, l dferecl de f (), que se represet por el símbolo df (), se defe por l guldd dy df ( ) f '( ). (A) d S f ( ), etoces f '( ) y (A) se reduce d Así, cudo es l vrble depedete, l dferecl de ( d) es détc. Por tto, s y f (), (A) puede, e geerl, escrbrse e l form: dy dy f '( ) d d (B) d L dferecl de u fucó es gul l producto de su dervd por l dferecl de l vr ble depedete. Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

5 Iterpretcó gráfc de dy. Costruymos l curv y f () sguete fgur: dy Se f '( ) el vlor de l dervd de P. Tomemos dy PQ. Etoces, f '( ) d tg PQ QT PQ QT PQ Luego dy, o se df (), es el cremeto ( QT) de l orded de l tgete, correspodete d. Esto d l sguete terpretcó de l dervd como frccó: S se represet por d u cremeto rbtrrmete elegdo de l vrble depedete pr u puto P (, y) e l curv y f (), etoces l dervd: dy f '( ) tg, d dy represet el cremeto correspodete de l orded de l tgete e P. 5 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 5

6 Regls de l dfereccó. Puesto que l dferecl de u fucó es el producto de su dervd por l dferecl de l vrble depedete, se sgue medtmete que ls fórmuls pr hllr ls dferecles so ls msms pr obteer ls dervds, co sólo multplcr cd u de ells por d. E cosecuec, ls fórmuls pr dfereccó so:. d ( c) 0.. d( ) d. d( u v w) du dv dw. d( cv) cdv 5. d( uv) udv vdu 6. d( v ) v dv 7. u vdu udv d( ) d 8. d v v 9. u du dv d 0. d(l v) c c v 0ª. log e v v d(log v) dv. d( ) l dv v ª. v v d( e ) e dv. v v v d( u ) vu dv l u u dv. d( sev) cos vdv. d(cos v) sevdv 5. d( tgv) sec vdv 6. d( ctgv ) csc vdv 7. d(sec v) sec v tgvdv 8. d(csc v) csc v ctgvdv 9. d( rcsev) dv dv 0. d(rccos v) v v. dv dv d( rctgv ). d( rcctgv ) v v. d ( rcsec v) dv. dv d ( rccsc v) v v v v Pr hllr dferecles, lo más fácl es hllr l dervd, y multplcr el resultdo por d. L opercó de hllr dferecles se llm dfereccó. Ejemplo. Hllr l dferecl de y Solucó: ( ) d( ) ( ) d( ) dy d ( ) 6 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 6

7 ( ) d ( )d ( ) ( 6 ) d. ( ) Ejemplo. Hllr dy de l epresó b y b. Solucó: b d ydy 0 dy b d b d y y Ejemplo. Hllr d de cos se Solucó: d se d d d Ejemplo. Hllr drcse (t t ) d(t t Solucó: drcse (t t ) (t t ) ) dt t PROBLEMAS: Hllr l dferecl de cd u de ls sguetes fucoes:. y. y. y b. y 5. bt s e 6. u l cv 7. se 8. y l se t 9. cos 0. s e cost. v y. u e. y. y t 5. se 6. s e sebt ctg 8. y l d 9. S y, demostrr que dy y L dferecl como promcó del cremeto. 7 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 7

8 E l fgur del rtículo teror de l terpretcó gráfc de dy, es clro que y( QP' e l fgur) y dy( QT) so promdmete gules cudo d( PQ) es pequeño. Cudo solmete se dese u vlor promdo del cremeto de u fucó, es más dfícl, l myor prte de ls veces, clculr el vlor de l dferecl correspodete y empler este vlor. Ejemplo. Hllr u vlor promdo del volume de u cáscr de 00mm de dámetro eteror y mm de espesor. Solucó. El volume V de u esfer de dámetro es: () V. 6 Evdetemete, el volume de ecto de l cáscr es l dferec V etre los volúmees de dos esfers mczs de dámetros 00mm y 98mm, respectvmete. Pero como se pde solmete u vlor promdo de V, hllremos dv. De () y (B) teemos: dv dv d, puesto que d Susttuyedo = 00, d = -, obteemos dv = 5,600mm, promdmete, o teedo e cuet el sgo cuyo sgfcdo es, t sólo, el de epoer que V dsmuye l umetr. El vlor ecto es V,00mm. Advértse que l promcó es ceptble porque d es reltvmete pequeño, es decr, es pequeño e comprcó co (=00); s o, el método serí ceptble. Ejemplo. Clculr u vlor promdo de tg 6, empledo dferecles, ddos tg 5 =, sec 5 =, = rdes. Solucó. Se y = tg 6, etoces segú (B) dy sec d. () Al psr + d, y ps, promdmete, y + dy. Susttuymos e (), = ¼ (5 ) y dy = Se obtee dy = 0.050, y como que y = tg5 =, result y + dy =.050 = tg6, promdmete. (Tbls de cutro decmles d tg6 =.055.) Errores pequeños. U segud plccó de ls dferecles es l de determr l fluec que tee pequeños errores e los dtos e el cálculo de mgtudes. 8 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 8

9 Ejemplo. Se mde el dámetro de u círculo, y se hll que es 5. cm co u error mámo de 0.05 cm. Hll u vlor promdo del mámo error que puede cometerse l clculr el áre del círculo por l fórmul: () A. ( = dámetro) Solucó. Evdetemete, el error mámo ecto co que se obtee A será l ltercó ( A) de su vlor, hlldo segú l fórmul teror, cudo cmb de 5. cm 5.5 cm. U vlor promdo del error e el áre es el vlor correspodete de da. Por tto, da d X 5.X cm. Errores reltvos y errores epresdos e tto por ceto. S du es el error de u, l rzó es: du () error reltvo; u du () 00 error epresdo e tto por ceto. u El error reltvo puede hllrse drectmete por dervcó logrítmc. Ejemplo. Hllr el error reltvo y el error epresdo e tto por ceto e el ejemplo teror. Solucó. Tomdo e () logrtmos turles l A l l da da d Dervdo:, y A d A Susttuyedo, 5., d 0. 05, hllmos: 9 Error reltvo de A 0. 09; error epresdo e tto por ceto %. 00 PROBLEMAS.. S A es el áre de u cudrdo de ldo, hllr da. Costrur u fgur que muestre el cudrdo, da y A. Sol. da d 9 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 9

10 . Hllr u fórmul promd del áre de u coro crculr de rdo r y chur dr. Cuál es l fórmul ect?. Sol. da rdr; A (r r) r. Cuál es u vlor promdo del error que puede cometerse l clculr el volume y el áre de u cubo de rst 6 cm, s se comete u error de 0.0 cm l medr l rst?. Sol. Volume,.6cm ; áre,.cm. Ls fórmuls pr el áre y el volume de u esfer so: S r y V /r S l medr el rdo se obtee m., ) Cuáles so los errores mámos promdos de S y V s ls medds so segurs hst 0.0 m?, b) Cuál es e cd cso el error mámo epresdo e tto por ceto?. Sol. ) S. 0. m ; V. 0.6 m ; b) S./% ; V.% 5. Demostrr por medo de dferecles que, promdmete: d d 6. Hllr u fórmul promd pr el volume de u cáscr clídrc delgd de etremddes berts s el rdo es r, l ltur es l y el espesor e. Sol. rle. 7. Se h de costrur u cj e form de cubo, de dm de cpcdd. Co qué ecttud debe costrurse l rst teror pr que el error e el volume o se myor de cm de más o de meos? Sol. error 0.0cm. 8. S y / y el error posble e l medcó de es 0.9 cudo =7, Cuál es el error posble de vlor de y? Empléese este resultdo pr obteer vlores promdos de (7.9) / y (6.) /. Sol. 0.; 9.; 8.8. Usdo dferecles, hllr u vlor promdo de cd u de ls sguetes epresoes: / S l0. 0, obteer u vlor promdo de l 0. por medo de dferecles. Sol.. 8. S e 7. 9, obteer u vlor promdo de. e por medo de dferecles. Sol 8. 0 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 0

11 9. Ddos se , cos y rdes, clculr, empledo dferecles, los vlores de cd u de ls sguetes fucoes, co cutro decmles: ) se 6 ; b) cos 6 ; c) se 59, d) cos 58 Sol. ) ; b) ; c) ; d) L tegrl defd. Atdervds. E el cálculo dferecl hemos preddo clculr l dervd f '( ) de u fucó dd f (), opercó que se dc por: d f ( ) f '( ), d o be, s emplemos dferecles, por: df ( ) f '( ) d. Los problems del cálculo tegrl depede de l opercó vers (Atdervds), sber: Hllr u fucó f () cuy dervd: () f '( ) ( ) es coocd. O be, puesto que e el Cálculo tegrl es usul empler dferecles, podemos escrbr: () df ( ) f '( ) d ( ) d y eucr el problem del Cálculo tegrl como sgue: Dd l dferecl de u fucó, hllr l fucó. L fucó f () que sí se obtee se llm u tegrl de l epresó dferecl dd; el procedmeto de hllrl se llm tegrcó; l opercó se dc escrbedo el sgo tegrl delte de l epresó dferecl dd; sí, () f '( ) d f ( ), que se lee l tegrl de f '( ) d es gul f (). E geerl, el sgo tegrl o tegrl de. Por ejemplo, ) S f ( ), etoces f '( ) d d, y d. b) S f ( ) se, etoces f '( ) d cos d, y cos d se se lee Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

12 d c) S f ( ) rctg, etoces f '( ) d, y d rctg Not: L dfereccó y l Itegrcó so opercoes verss. Costte de tegrcó. Itegrl defd. Del rtículo teror se sgue que: por ser d( ) d, teemos d ; por ser d( ) d, teemos d ; por ser d( 7) d, teemos d 7 ; E geerl, como: d( C) d, sedo C u costte culquer, teemos: d C L costte rbtrr C se llm costte de tegrcó y es u ctdd depedete de l vrble de tegrcó. Puesto que podemos dr C cutos vlores quermos, se sgue que s u epresó dferecl dd tee u tegrl, tee tmbé u fdd de tegrles que dfere sólo e costtes. Por tto, f '( ) d f ( ) C ; y puesto que C es descoocd e defd, l epresó tegrl defd de f '( ) d. f ( ) C se llm l El vlor de C puede determrse e el cso e que se coozc el vlor de l tegrl pr lgú vlor de l vrble, y de eso veremos muchos ejemplos e el sguete tem. Determcó de l costte de tegrcó por medo de codcoes cles. Como se h dcdo terormete, l costte de tegrcó puede hllrse, e u cso ddo, cudo coocemos el vlor de l tegrl pr lgú vlor prtculr de l vrble. E reldd, pr poder determrl es ecesro teer lguos dtos demás de l epresó dferecl que se h de tegrr. Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

13 Por ejemplo: Hllr u fucó cuy prmer dervd se 5, y teg el vlor cudo. Solucó. ( 5) d es l epresó dferecl por tegrr. Ahor be, ( 5) d 5 C, sedo C l costte de tegrcó. Por ls codcoes de uestro problem, este resultdo debe ser gul cudo ; es decr, que 5 C, o se, que C=7. Por tto, 5 7 es l fucó buscd. Sgfcdo geométrco de l costte de tegrcó. Ilustrremos co ejemplos el sgfcdo geométrco de l costte de tegrcó. Ejemplo. Determr l ecucó de l curv cuy tgete e cd puto teg de pedete. Solucó. Puesto que l pedete de l tgete u curv e u puto dy culquer es, teemos, por hpótess, d dy d, o se, tegrdo dy d y d, o se, () y C sedo C l costte de tegrcó. Ahor be, s dmos C vros vlores, dgmos 6, 0, -, etoces () de ls ecucoes: y 6, y, y Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

14 cuyos lugres geométrcos so prábols (vése l sguete fgur), co sus ejes e el eje de ls y y que cort este eje ls dstcs 6, 0, -, respectvmete, del orge. Tods ls prábols () tee el msmo dy vlor de ; es decr, tee l msm dreccó d (o pedete) pr el msmo vlor de. Se dvertrá tmbé que l dferec de sus ordeds permece l msm pr todos los vlores de. Por tto, tods ls prábols puede obteerse trslddo u culquer de ells lo lrgo del eje de ls y, puesto que e este cso el vlor de C o fect l pedete de l curv. S e este ejemplo mpoemos l codcó dcol de que l curv pse por el puto (, ), etoces ls coordeds de ese puto debe stsfcer (), lo que d = + C, o se, C =. Luego l curv prtculr que se pde e l prábol y. Ejemplo. Hllr l ecucó de u curv tl que e u puto culquer de ell l pedete de l tgete se gul l rzó de l bscs l orded, cmbdo de sgo. Solucó. L codcó del problem se epres por l ecucó, dy d y o se, seprdo ls vrbles. ydy d tegrdo, y C o se, y C Est ecucó represet u fml de crcuferecs cocétrcs co el cetro e el orge. Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

15 S se mpoe l codcó de que l curv debe psr por el puto (, ), etoces = C. Luego l curv prtculr que se pde es l crcuferec y 5. Sgfcdo físco de l costte de tegrcó. Los sguetes ejemplos lustr lo que se etede por sgfcdo físco de l costte de tegrcó. Ejemplo. Hllr ls leyes que rge el movmeto de u puto que se mueve e líe rect co celercó costte. Solucó. Puesto que l celercó dv dt dv f dt o se, dv fdt. Itegrdo. () v ft C. es costte, dgmos f, teemos: Pr determr C, supogmos que l velocdd cl se v 0 ; es decr, se v v 0 cudo t 0. Esos vlores susttudos e (), d: v0 0 C. O se, C v0. s 0 Luego () se coverte e: () v ft v0 Puesto que Codcoes cles T V S o v 0 s 0 ds v obteemos de (), dt ds v 0 dt () s ft v t C. ft, o se, ds ftdt v0dt. Itegrdo, 0 Pr determr C, supogmos que l dstc cl se s 0, es decr, se s cudo t 0. Esos vlores, susttudos e (), d s0 0 0 C, o se, C s0. 5 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 5

16 Luego () se coverte e: () s ft v0t s0 Susttuyedo e () y () los vlores f = g, v 0 = 0, s 0 = 0, s = h, obteemos ls leyes del movmeto de u cuerpo que ce e el vcío prtedo del reposo, sber, v gt y h gt. Elmdo t etre ests ecucoes, teemos v gh. Ejemplo. Estudr el movmeto de u proyectl que tee u velocdd cl v 0, sedo el águlo de tro y desprecdo l resstec del re. Solucó. Tomemos el plo X0Y como el plo del movmeto, 0X como horzotl y 0Y como vertcl; y supogmos que el proyectl prte del orge. Supogmos que sólo l fuerz de l grvedd fluye e el proyectl. E este cso l celercó será cero e el setdo horzotl y g e el setdo vertcl. Luego, dv dv 0 y y g. Itegrdo, dt dt v y v y gt C C y Pero v 0 v 0 cos = compoete horzotl de l velocdd cl. se = compoete vertcl de l velocdd cl. Luego, C cos y v se, lo que d, v 0 v 0 C 0 v y gt v 0 (5) v cos y se. Pero segú, d v y dt dy v y, por tto (5) d, dt 6 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 6

17 o se, d dy v 0 cos y gt v se 0, dt dt d v cos dt y dy gtdt v sedt 0 0 Itegrdo, obteemos: (6) v cos t C y 0 y / gt v0se t C Pr determr C y C, observmos que cudo t = 0, = 0 y y = 0. Susttuyedo esos vlores e (6), teemos C = 0 y C = 0. Luego, (7) v0 cos t, y (8) y / gt v0se t Elmdo t etre (7) y (8), obteemos, (9) y tg v 0 g cos Est ecucó, que represet u prábol, es l ecucó de l tryector del proyectl. L tegrl defd y ls regls pr l tegrcó medt de dferecles lgebrcs, epoecles y trgoométrcs. El Cálculo dferecl os h proporcodo u regl geerl pr obteer l dervd y l dferecl. El Cálculo tegrl o d u regl geerl correspodete, que pued plcrse fáclmete e l práctc pr l opercó vers de l tegrcó. Cd cso ecest u trto especl, y se lleg l tegrl de u epresó dferecl dd por medo de uestro coocmeto de los resultdos de l dfereccó. Es decr, resolvemos el problem cotestdo l pregut, qué fucó, dferecd, producrá l epresó dferecl dd? L tegrcó es, pues, u procedmeto eseclmete de esyos. Pr fcltr el trbjo, se form tbls tegrles coocds, que se llm tbls de tegrles medts. Pr efectur u tegrcó culquer, comprmos l epresó dferecl dd co ls tbls. S se ecuetr regstrd e ells, se sbe l tegrl. S o está regstrd, mrremos por vros métodos, de reducrl u de ls forms regstrds. Como muchos de los métodos se srve de rtfcos que sólo práctc puede sugerr. De todo resultdo de dfereccó puede deducrse sempre u fórmul pr tegrcó. Ls dos regls sguetes so útles pr l reduccó de epresoes dferecles tegrles medts. 7 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 7

18 ) L tegrl de u sum lgebrc de epresoes dferecles es gul l msm sum lgebrc de ls tegrles de ess epresoes. Demostrcó. Dferecdo l epresó, du dv w, sedo u, v, w fucoes de u sol vrble, obteemos, du dv dw. ( du dv dw) du dv dw. () b) U fctor costte puede escrbrse o delte del sgo tegrl o después de él. Demostrcó. Dferecdo l epresó, dv obteemos, dv. () dv A cus de l mportc de ests dos regls, ls escrbremos como fórmuls l prcpo de l lst sguete de tegrles medts o forms elemetles ordrs. () ( du dv dw) du dv () dv dv () d C 8 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 8 dv INTEGRALES INMEDIATAS () v v dv C ( ) (5) dv l v C v l v l c l cv. [Hcedo C = l c.] (6) v v dv C l (7) v v e dv e C (8) sevdv cos v C dw

19 (9) cos vdv sev C (0) sec vdv tgv C () csc vdv ctgv C () sec vtgvdv secv C () csc vctgvdv cscv C () tgvdv l cos v C l secv C (5) ctgvdv l sev C (6) sec vdv l(sec v tgv) C (7) csc vdv l(csc v ctgv ) C (8) dv v rctg C v (9) dv v l C v v (9ª) dv v l C v v (0) dv v rcse C v () dv l( v v ) C v () v v v dv v rcse C () v v dv v l( v v ) C EJEMPLOS ILUSTRATIVOS. Comprobr ls sguetes lustrcoes: d C C 6 7 / / /. d d C C / 5 d d 5 d d d. 9 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 9

20 5 d 5 d d d C Not: Auque cd tegrcó requere u costte rbtrr, escrbmos sólo u costte que represet l sum lgebrc de ells. b / /. c d d b d c d / 5 / / / d b d c d b c C / 5/ b 9 5 / c C / / / 7 / / 5 / 5. d C SUGESTION. E prmer lugr, desrrollr el cubo del bomo. b b / 6. b d C / SOLUCION. Est tegrl puede reducrse l form (). E efecto, se puede troducr el fctor después del sgo tegrl, delte de d, y su recíproco delte del sgo tegrl. Ests opercoes se compes mutumete. (Compárese co (), v b dv b.), /, d / / / v b d b b d v / dv C, segú() b b b b / C b d b c c 7. lb c C d Solucó. b c b d c 0 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 0 segú () Est tegrl se prece (5). S troducmos el fctor c después del sgo tegrl y su recíproco delte de él, o se lterrá el vlor de l epresó. (Compárese co (5), v b c, dv c d.) Luego, d c d dv l v C, segú(5) b c b c c l c C d 8. l C b c c v c b

21 Solucó. E prmer lugr, dvdedo el umerdor por el deomdor, result:. Susttuyedo e l tegrl, empledo () e tegrdo, obteemos l solucó. Solucó. Dvdedo. 9. d l C Susttur y empler (), etc. PROBLEMAS Verfcr ls sguetes tegrcoes: 5 d. d C. C 5 5 / / d. d C. C 5 / d 5. C 6. y dy y C dt 7. C 8. d C t t / d t 9. C 0. dt C t 5 / 5 / / / / d C 5 5. d C. d C 6 5 / / d C 5. d C 5 6 5l / b dy by 6. bd C 7. C b by b bt dt b 8. bt C t dt t 0. C. t d 6 9. t dt bt b bt C C Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

22 . se cos d se se se cos d C C v se, dv cos d, SUGERENCIA. Empler (), hcedo. tg sec d tg C d l s e ds s / l e s e 5. C 7. C. cos d b se. C b se d 6. l C e b d l e b e b 8. C Itegrcó por susttucó trgoométrc, de epresoes que cotee u ; u Ejemplo. Demostrr l sguete tegrcó: 9 d 9 rcse C Demostrcó. Compárese co () y se v, ; etoces dv d. Por tto, 9 d 9 d v dv. Empledo () y hcedo v,, teemos l solucó. Ejemplo. Demostrr l sguete tegrcó: 5 7d l 9 C Demostrcó. 7 / 5/9 v S v /, 5. Etoces, dv d. 7d v dv. Empledo () y hcedo v, 5, obteemos el resultdo. Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

23 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts PROBLEMAS Verfcr ls sguetes tegrcoes:. C d ) 9 l( C d l. C rcse d C rcse d 5. C d 5 l C d 0 l 9 0 0

24 UNIDAD : Itegrl defd y los métodos de tegrcó.. Itegrl defd. L otcó de sumtor. Pr u cálculo más coveete de ls estmcoes de áres, ecestmos u otcó más cocs pr l sum de vros úmeros. El símbolo utlz pr brevr l sum de los úmeros,,...,, : se. El símbolo (l letr greg sgm myúscul) dc l sum de los térmos cudo el ídce de l sum sume vlores eteros sucesvos de. Por ejemplo, l sum de los cudrdos de los prmeros 0 eteros postvos es: 0 = EJEMPLO. 7 K 6 5 j ( K ) j j Es fácl verfcr ls seclls regls pr ls sums, c c y () Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

25 5 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 5 b b desrrolldo cd sum. () Observe que s (u costte) pr.,,,,..., etoces l ecucó () mplc, b b b..., térmos y por tto, b b () E prtculr, () L sum de ls k-ésms potecs de los prmeros eteros postvos, k k k k k..., se utlz de mer comú e el cálculo de áres. Los vlores de est sum pr,, k está ddos por ls fórmuls sguetes: ) (. (5) 6 6 ) )( ( (6) ) ( (7) EJEMPLO EJERCICIOS. Use ls ecucoes terores del ( l 7) pr determr ls sums de los problems sguetes: j j k k k

26 8 5. r r r k k Áre lmtd por l gráfc de u fucó cotu, b y f 0. y f e u tervlo L sguete fgur. muestr l regó R que está bjo l gráfc de l fucó crecete f, co vlores postvos, y por rrb del tervlo [, b]. Pr promr el áre A de R, elegmos u etero fjo y dvdmos el tervlo [, b] e subtervlos y ], [, ], [, ],...[, [ 0, todos co l msm logtud, b ], (8) (Fgur.) E cd uo de estos subtervlos, levtmos u rectágulo scrto y u rectágulo crcuscrto. 6 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 6

27 Como se dc e l sguete fgur., el rectágulo scrto sobre el - ésmo subtervlo, f, metrs que el -ésmo tee ltur rectágulo crcuscrto tee ltur f. Como l bse de cd rectágulo tee logtud, ls áres de estos rectágulos so, f y f (9) respectvmete. Al sumr ls áres de los rectágulos scrtos pr obteemos l subestmcó, A f,,,...,, (0) del áre rel A. De mer álog, l sum de ls áres de los rectágulos crcuscrtos es l sobreestmcó, A f () l desguldd A A A mplc que f A f () ( A subestmcó, y A sobrestmcó) Ls desgulddes e () se verte s f () fuer decrecete (e ves de crecete) e [, b]. ( Por qué?) (Vése l sguete fgur). 7 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 7

28 (Fgur.) 8 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 8

29 U lustrcó como l de l fgur teror sugere que s el úmero de subtervlos es muy grde, de modo que se muy pequeño, etoces l dferec etre ls áres A y A de los polígoos scrtos y crcuscrtos será muy pequeñ. Por tto, mbos vlores será cercos l áre rel A de l regó R. E reldd, s f es crecete o decrecete e todo el tervlo [, b], etoces los pequeños rectágulos de l fgur. (que represet l dferec etre A y A ) se puede order e u pl, como se dc l derech de l fgur. Esto mplc que, A A f ( b) f ( ) () Pero b 0 cudo. Así, l dferec etre ls sums del ldo zquerdo y el derecho de () tede cero cudo, metrs que A o cmb cudo. Esto mplc que el áre de l regó R está dd por, f A lm f lm () El sgfcdo de éstos límtes es smple: podemos determr A co el grdo de precsó desedo s clculmos culquer de ls sums e l ecucó () co u úmero sufcetemete grde de tervlos. Al plcr l ecucó () recordemos que pr 0. b (5) Observe tmbé que: (6) 0,,,,....,, pues está psos de logtud l derech de EJEMPLO. Clculr el áre que prommos e l fgur., el áre de l regó bjo l gráfc de f ( ) e el tervlo [0, ] e subtervlos, todos de l msm logtud. Solucó. Etoces ls ecucoes (5) y (6) mplc, y 0 pr 0,,,,....,.Por tto, 9 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 9

30 0 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 0 f 7 Etoces, l ecucó (6) pr mplc ) ( f. Cudo clculmos el límte cudo, co l ecucó () obteemos, lm A pues los térmos /() y /(6 ) tede cero cudo. EJEMPLO. Determe el áre bjo l gráfc de 00 f de 5. (Fgur.) Solucó. Como se muestr e l fgur., l sum f d el áre del polígoo rectgulr scrto. Co = y b = 5, los ecucoes (5) y (6) mplc, y.

31 Por tto, f ( ) [Hemos plcdo ls ecucoes () y (6)]. E cosecuec, el segudo límte de l ecucó () es, A lm76 76 que es el áre buscd. EJERCICIOS E los sguetes problems, clcule prmero (e térmos de ) l sum: f ( ) pr promr el áre A de l regó bjo y f () sobre el tervlo [, b]. Determe después A ectmete (como e los ejemplos y ) medte el límte cudo.. f ( ) e [0, ].. f ( ) e [0, ].. f ( ) e [0, ].. f ( ) e [0, ]. 5. f ( ) 5 e [0, ]. 6. f ( ) 9 e [0, ]. Cocepto de tegrl defd medte sumtors de Rem. E l seccó teror utlzmos rectágulos scrtos y crcuscrtos pr estblecer ls sums, Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

32 f y f ( ) () Ls sums de promcó de l ecucó () so mbs de l form, * f ( ) * dode es lgú puto seleccodo e el -ésmo subtervlo, (ver sguete fgur.). () (Fgur.) Ls sums de l form () prece como promcoes e u mpl vredd de plccoes y form l bse pr l defcó de l tegrl. L tegrl de f de b medte lgú límte, cudo 0 de sums como ls que prece e (). Nuestro objetvo es prtr de u fucó bstte geerl f y defr u úmero rel (l tegrl de f ) que e el cso especl f es cotu y co vlor postvo sobre [, b]- será gul l áre bjo l gráfc de y f (). Comezmos co u fucó f defd e [, b], que o ecesrmete es cotu o postv. U prtcó P de [, b] es u coleccó de subtervlos,,,,,,...,, 0, de [, b] de modo que 0 b L orm de l prtcpcó P es el mámo de ls logtudes, Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

33 de los subtervlos e P y se deot P. Pr obteer u sum como l de (), * ecestmos u puto e el -ésmo subtervlo pr cd,. U coleccó de putos, * * S * *,,,...., dode e, (pr cd ) es u seleccó pr l prtcó P. * Defcó Sum de Rem. Se f u fucó defd e el tervlo [, b]. S P es u prtcó de [, b] y S u seleccó pr P, etoces l sum de Rem pr f determd por P y S es: R f ( * ) () Tmbé decmos que est sum de Rem está socd co l prtcó P. * El puto e l ecucó () es smplemete u puto elegdo del -ésmo subtervlo,. Es decr, puede ser culquer puto de este subtervlo. Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

34 (Fgur.5) Pero cudo clculmos ls sums de Rem, por lo geerl elegmos los putos de l seleccó S de lgus forms sstemátcs, como se lustr e l fgur.5. Ahí mostrmos dferetes sums de Rem pr l fucó f ( ) 6 5 e el tervlo [0, ]. L fgur.5() muestr los rectágulos socdos co l sum segú los etremos zquerdos, R zq f ( ) () * e dode cd se elge como., el etremo zquerdo del -ésmo subtervlo, de logtud ( b ) /. L fgur.5(b) muestr los rectágulos socdos co l sum segú los etremos derechos, Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

35 R der f ( ) (5) * e dode cd se elge como, el etremo derecho de,. E cd fgur, lguos de los rectágulos está scrtos y otros está crcuscrtos. L fgur.5(c) muestr los rectágulos socdos co l sum segú los putos medos, R med f ( m ), (6) * dode m, es el puto medo del -ésmo subtervlo,. Ls líes puteds de l fgur.5(c) represet l orded de f e tles putos medos. EJEMPLO. E l fg.. clculr ls sums de los etremos zquerdos y derechos pr f ( ) e [0, ] co = 0 subtervlos, medte l otcó pr l sum, demás de clculr l sum álog utlzdo los putos medos. L fgur.6 muestr u rectágulo de promcó típco pr cd u de ests sums. (Fgur.6) Co = 0, b = y ( b ) /, vemos que el -ésmo puto de 0 subdvsó es,. 0 5 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 5

36 El -ésmo subtervlo, sí como su puto medo, m prece e l fgur.7., 0 * Co ecucó (), (Fgur.7), obteemos l sum segú los etremos zquerdos e l 0 R zq f ( ) [Usdo l ecucó (6) del tem de l otcó de sumtor]. Co 0, obteemos l sum segú los etremos derechos e l ecucó (5), R der otcó de sumtor] f [Usdo l ecucó (6) del tem de l * Por últmo, co m medos e l ecucó (6),, obteemos l sum segú los putos 0 R med f m L sum segú los putos medos es mucho más cerc, l vlor rel 9, que culquer sum segú los etremos (pr el áre bjo l gráfc de y e [0, ]). 6 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 6

37 EJEMPLO. L fgur.8 lustr ls sums de Rem pr f ) se 0, co bse e = subtervlos: 0, /, /, / y /, de logtud / co putos medos / 6, / y 5 / 6. ( e 7 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 7

38 (fgur.8) Ls sum segú los etremos zquerdos es, R zq f se0 se se 0.8 Es clro de l fgur, que l sum segú los etremos derechos tee el msmo vlor. L sum correspodete segú los putos medos es, R med 5 se se se (El áre ect bjo u rco de l curv es ). E el cso de que u fucó f que teg vlores postvos y egtvos e [, b], es ecesro cosderr los sgos dcdos e l fgur.9 cudo terpretemos geométrcmete l sum de Rem de l ecucó (). E cd subtervlo,, teemos u rectágulo co cho y ltur f ( ). S f ( ) 0, etoces este rectágulo está rrb del eje ; s f ( ) 0, está bjo el eje. L sum de Rem R es etoces l sum de ls áres co sgo de estos rectágulos; es decr, l sum de ls áre de quellos rectágulos que está rrb del eje meos l sum de ls áres de quellos debjo del eje. 8 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 8

39 S los chos (Fgur.9) de estos rectágulos so todos muy pequeños (es decr, s l orm P es pequeñ), etoces prece que l sum de Rem R promrá el áre de b bjo y f () sobre el eje, meos el áre bjo el eje. Esto sugere que l tegrl de f de b deb defrse l obteer el límte de ls sums de Rem cudo l orm P tede cero: P 0 I lm f (7) L defcó forml de l tegrl se obtee l decr co precsó lo que sgfc que este límte est. E resume, sgfc que s P es sufcetemete pequeñ, etoces tods ls sums de Rem socds co P está muy cerc del úmero I. Defcó. L tegrl defd. L tegrl defd de l fucó f de b es el úmero I P 0 lm f (8) sempre que el límte est, e cuyo cso decmos que f es tegrble e [, b]. L ecucó (8) sgfc que, pr cd úmero 0, este u úmero 0 tl que I f ( ) pr cd sum de Rem socd co u prtcpcó rbtrr P de [, b] pr l que P. 9 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 9

40 L otcó usul pr l tegrl de f de b, debd l flósofo y mtemátco lemá G. W. Lebz, es I b f d f lm (9) P 0 Los úmeros y b so el límte feror y el límte superor de l tegrl, respectvmete; so los etremos del tervlo de tegrcó. L fucó f () que prece etre el sgo de tegrl y d es el tegrdo. Como el ídce de l sum, l vrble depedete es u vrble mud ; se puede reemplzr por culquer otr vrble s fectr el sgfcdo de l ecucó (9). Así, s f es tegrble e [, b], podemos escrbr b b f ( ) d f ( t) dt f ( u) du. b L defcó dd, de l tegrl defd, se plc solmete cudo b, pero es coveete clur tmbé los csos = b y > b. L tegrl se defe e estos csos como: y b f ( ) d 0 (0) ) d b f ( f ( ) d, () sempre que est l tegrl del ldo derecho. Así, el tercmbo de los límtes de tegrcó verte el sgo de l tegrl. L defcó de l tegrl se puede reformulr e térmos de sucesoes de sum de Rem, como sgue: L tegrl como límte de u sucesó. L fucó f es tegrble e [, b], co tegrl I s y sólo s lm R I () pr cd sucesó etr R de sums de Rem socds co u sucesó de prtcoes P de [, b] tles que P 0 cudo 0 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 0

41 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts Culquer sum de Rem socd co u prtcó regulr se puede escrbr e l form f. () dode l usec de u subídce e sgfc que l sum está socd u prtcó regulr. E tl cso, ls codcoes y P 0, 0 so equvletes, de modo que l tegrl de u fucó cotu se puede defr de mer u tto secll: b f f d f 0 ) ( lm ) ( lm ) ( () EJEMPLO. Utlce sums de Rem pr clculr b d dode < b. Solucó. Cosderemos f ) ( y, dode b y L sum de Rem de l ecucó () es etoces f ) ( ) ( ) ( ) ( b b [Utlzdo ls ecucoes e () y (5) del tem teror]. b b. Como 0 ) /( cudo, se sgue que b b d b b b b (5)

42 (Fgur.0 y.) Ls fgurs.0 y. lustr dos de los csos del ejemplo. E cd cso, l ecucó (5) cocde co l sum de ls áres co sgo dcds. El sgo meos de l fgur.0 represet el hecho de que el áre debjo del eje se mde co u úmero egtvo. EJERCICIOS. E los problems del l 0, clcule l sum de Rem f ( ) pr l fucó dcd y u prtcó regulr del tervlo ddo e subtervlos. Utlce,, el etremo derecho del -ésmo subtervlo.. f ( ) e [0, ]; = 5.. f ( ) e [0, ]; = 5.. f ( ) e [, 6]; = 5.. f ( ) e [0, 5]; = f ( ) e [, ]; = f ( ) e [, ]; = f ( ) e [, ]; = f ( ) e [, ]; = f ( ) cos e [0, ]; = f ( ) se e [0, ]; = 6. Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

43 . Téccs de tegrcó. Itegrcó por prtes. S u y v so fucoes de l msm vrble depedete, teemos, segú l fórmul pr l dfereccó de u producto. o se, trspoedo, d( uv) udv vdu, udv d uv) vdu (. Itegrdo, result l fórmul vers: (A) uv udv vdu, que se llm fórmul de tegrcó por prtes. Tl vez o podmos tegrr udv drectmete; pero est fórmul hce que su tegrcó deped de l de dv y vdu, que puede ser forms fácles de tegrr. Este método de tegrcó por prtes es uo de los más útles del cálculo tegrl. Pr plcr est fórmul e u cso ddo, debe descompoerse l dferecl dd e dos fctores, sber, u y dv. No puede drse struccoes geerles pr l eleccó de esos fctores, pero so útles ls sguetes: ) d es sempre u prte de dv ; b) debe ser posble tegrr dv ; c) cudo l epresó pr tegrr es el producto de dos fucoes, ordrmete es mejor elegr l de prec más complcd, co tl que pued tegrrse, como prte dv. Los sguetes ejemplos eseñrá e detlle como se plc l fórmul: EJEMPLO. Hllr cos d Solucó. Se u y dv cos d ; etoces, du d y v cos d se. Susttuyedo e (A), cos d se sed se cos C EJEMPLO. Hllr l d. Solucó. Se u l y dv d ; Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

44 d Etoces, du y v d. d Susttuyedo e (A), l d l l C EJEMPLO. Hllr Solucó. Se e d u e y d dv ; etoces, du e d y v d susttuyedo e (A), e d e e d e e d Pero tegrr e d es meos secllo que tegrr e d. Este hecho dc que o hemos elegdo uestros fctores coveetemete. E lugr de eso, se: u y dv e d ; etoces du d y e v e d. susttuyedo e (A), e e e d d e e e C C. E lguos csos es ecesro plcr l fórmul de tegrcó por prtes más de u vez, como e el ejemplo que sgue. EJEMPLO. Hllr e d. Solucó. Se u y dv e d ; etoces, du d y e v e d susttuyedo e (A), e e e d d () e e d. L tegrl del segudo membro puede hllrse plcdo otr vez l fórmul (A). De est mer obteemos, Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts

45 e e d C. Susttuyedo este resultdo e () se tee, e e e e d C EJEMPLO 5. Demostrr que, sec zdz / sec ztgz / l sec z tgz Demostrcó. Hgmos etoces, susttuyedo e (A), C u sec z y dv sec zdz ; du sec ztgzdz y v tgz. sec zdz sec ztgz sec ztg zdz. E l uev tegrl, efectuemos l susttucó tg z sec z. Etoces obteemos, sec zdz sec ztgz sec zdz l sec z tgz. C Trspoedo l prmer membro l tegrl del segudo membro y dvdedo por, teemos el resultdo buscdo. C EJEMPLO 6. Demostrr que, e se cos e sed C Demostrcó. Se u e y dv sed ; cos etoces du e d y v. Susttuyedo e l fórmul (A), el resultdo es, e cos () e sed e cos d Itegremos por prtes l uev tegrl. Se u e y dv cos d ; se etoces du e d y v. Luego, segú (A), e se () e cos d e sed. Susttuyedo e (), obteemos: e () e sed se cos e sed. Ls dos tegrles de () so détcs. Trspoedo l del segudo membro, y despejdo l tegrl se obtee el resultdo buscdo. 5 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 5

46 Etre ls plccoes más mporttes del método de tegrcó por prtes se ecuetr l tegrcó de: ) dferecles que cotee productos, b) dferecles que cotee logrtmos, c) dferecles que cotee fucoes trgoométrcs verss. PROBLEMAS. Demostrr ls sguetes tegrcoes. ). sed se cos C ). l d (l ) C ). se d se cos C cos se ). cos d C 5). usec udu utgu l cos u C 6). vsev vdv v vse6v cos 6v C cos y ysey y cos y 7). y seydy C 8). d C l l 9). l d l C 0). e d e C e ). e cos d se cos C ). t t e set cos t e cos tdt C 6 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 6

47 Cmbo de vrble. Itegrcó por susttucó de u uev vrble; rcolzcó. De ls fucoes lgebrcs o rcoles, es decr, ls que cotee rdcles, o se puede tegrr e térmos de fucoes elemetles so us pocs, hbldo reltvmete. E lguos csos, s embrgo, susttuyedo u uev vrble, ests fucoes puede trsformrse e fucoes equvletes que o so rcoles o se ecuetr e l lst de ls forms elemetles ordrs. El método de tegrr u fucó o rcol, reemplzdo l vrble por u uev vrble de mer que el resultdo se u fucó rcol, se llm veces tegrcó por rcolzcó. Este es uo de los rtfcos más mporttes e l tegrcó. Ahor vmos trtr lguos csos más mporttes de est clse. Dferecles que cotee solmete potecs frccors de. U epresó que cotee solmete potecs frccors de puede trsformrse e form rcol medte l susttucó, z sedo el meor deomdor comú de los epoetes frccoros de. E efecto,, d y cd rdcl puede etoces epresrse rcolmete e térmos de z. EJEMPLO. Demostrr que / d / / l Solucó. Aquí =. Por tto, se / C z. Etoces, / z, / z, d z dz. De dode, Susttuyedo hor / 5 d z z z dz dz / z z z z dz z z z l / z, teemos l solucó. C L form geerl de l epresó rrcol que se trt quí es, R d e dode R represet u fucó rcol de. 7 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 7

48 Dferecles que cotee solmete potecs frccors de + b. U epresó que cotee solmete potecs frccors de + b puede trsformrse e form rcol medte l susttucó, b z sedo el meor deomdor comú de los epoetes frccoros de l epresó + b. E efecto,, d y cd rdcl puede etoces epresrse rcolmete e térmos de z. EJEMPLO. Hllr d / / Solucó. Supógse que z. Etoces, d zdz. ( ) / z d zdz / / z z rctgz C. y z / C rctg después de susttur el vlor de z e térmos de. L tegrl geerl que se trt quí tee l form R, b d e dode R represet u fucó rcol. PROBLEMAS. 5 9d. l C / 9 d. l rctg C 6 / d. l C / / / / d 9 / /. C / 6 7 d C 5 / / / 8 / 8 d 8 / 8 6. l rctg C 5 / 8 / 8 / 8 d b 7. C / b b b 8 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 8 /. dz z

49 / 8 d l d / / l 8. y ydy y y C 9. C 0. C. t 5 dt t t rctg C t t Itegrcó de potecs de fucoes trgoométrcs. Cosderremos hor l tegrcó de lgus dferecles trgoométrcs que se preset co frecuec y que puede tegrrse fáclmete, trsformádose e tegrles medts por medo de reduccoes trgoométrcs seclls. Cso I. Itegrles de l form se m u cos udu. E el cso de que m o se u úmero etero postvo mpr, o mportlo que se el otro, es tegrcó puede prctcrse por medo de trsformcoes seclls y plcdo l fórmul sguete: v v dv C () Por ejemplo, s m es mpr, escrbmos, etoces l tegrl tom l form, se u cos u () (sum de térmos que cotee cos u) se u du. form Puesto que seudu d(cosu), cd térmo que se debe tegrr tee l v dv sedo v cos u. Aálogmete, s es el que es mpr, bst escrbr, cos u cos ucos u, y empler l susttucó cos u se u. Etoces l tegrl se coverte e, () (sum de térmos que cotee se u) cos u du. 9 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 9

50 5 EJEMPLO. Hllr se cos d. 5 Solucó. se cos d se cos cos d se se cos d 6 se se se cos d se cos d se cos (Segú se cos ) 6 d se cos d 5 7 se se se C Segú () 5 7 Aquí v se, dv cos d y,y6 respectvmete. EJEMPLO. Demostrr que se d cos cos C Demostrcó. Se u. Etoces u, d du. Susttuyedo, () se d se udu. Ahor be, se udu se u seudu cos useudu seudu cos useudu cos u cos u C Empledo este resultdo e el segudo membro de (), y susttuyedo u, teemos l solucó. PROBLEMAS. Verfcr ls sguetes tegrcoes:. se d cos cos C. se cos d se C. cos sed cos C. se d 6 cos 6 se 6 C 5. se d cos cos C 8 6. cos d csc csc C se 7. se d sec cos C cos 50 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 50

51 cos se d cos cos C se d cos cos cos C cos d se se se C 5 Frccoes prcles. Itegrcó de frccoes rcoles. U frccó rcol es quell cuyo umerdor y deomdor so fucoes rcoles eters, es decr, fucoes e que l vrble o está fectd de epoetes egtvos o frccoros. S el grdo del umerdor es gul o myor l del deomdor, l frccó puede reducrse u epresó mt dvdedo el umerdor por el deomdor. Por ejemplo, 5 El últmo térmo es u frccó reducd su más smple epresó, co umerdor cuyo grdo es meor que el del deomdor. Fáclmete se ve que los otros térmos puede tegrrse medtmete; por tto, solmete teemos que cosderr l frccó reducd. Pr tegrr u epresó dferecl que coteg tl frccó, meudo es ecesro descompoerl e frccoes prcles más smples, es decr, reemplzrl por l sum lgebrc de frccoes cuys forms os permt completr l tegrcó. Cso. Los fctores del deomdor so todos de prmer grdo, y gú fctor se repte. Correspode cd fctor o repetdo de prmer grdo, como, u frccó prcl de l form, A, sedo A costte. L frccó dd puede epresrse como u sum de frccoes de est form. Los ejemplos muestr el método. d EJEMPLO. Hllr. Solucó. Los fctores del deomdor so,,. Supogmos, A B C (). ( )( ) e dode A, B, C so costtes por determr. Qutdo deomdores de (), obteemos: 5 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 5

52 () A B C A B C A B C A. Puesto que est ecucó es u detdd, gulmos los coefcetes de ls msms potecs de e los dos membros y obteemos tres ecucoes smultáes, () A B C 0 A B C A Resolvedo el sstem formdo por ls ecucoes (), obteemos, 5 A, B, C. 6 Susttuyedo estos vlores e (), result: 5. 6 d 5 d d d ( )( ) 6. l 5 l( ) l( ) l c 6 5 c( ) l ( ) 6 U método ms breve pr obteer de () los vlores de A, B y C es el sguete: Se el fctor = 0; etoces A ; Se el fctor 0, o se, ; etoces 5 B ; Se el fctor 0, o se, etoces 6C ;. A. B 5. C. 6 E todos los csos, el úmero de costtes por determr es gul l grdo del deomdor. Cso. Los fctores del deomdor so todos de prmer grdo, y lguos se repte. E este cso todo fctor de prmer grdo repetdo veces, como, correspode l sum de frccoes prcles de l form, A B L..., 5 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 5

53 e dode A, B,...,L so costtes. Ests frccoes prcles se tegr fáclmete. Por ejemplo: Ad A A ( )( ) d C EJEMPLO. Hllr d. Solucó. Puesto que etr tres veces como fctor, supoemos, ( ) A B C D. Qutdo deomdores. B C D A. A D A C D A B C D A Iguldo los coefcetes de ls msms potecs de, obteemos ls ecucoes smultáes, A + D = - A + C D = 0 A + B C + D = 0 - A =. Resolvedo este sstem, se obtee A = -, B =, C =, D =, y d l l l C... C 5 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 5

54 5 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 5 PROBLEMAS. Verfcr ls sguetes tegrcoes:. C d l. C d l 5. C d l 8. C d l 5. C d l 5 6. C z z z z dz z l 7. C y y y y y y y dy y l 8

55 UNIDAD : Teorem fudmetl del cálculo... El teorem fudmetl del cálculo y sus plccoes. Itegrcó promd: regl trpecl y regl de Smpso. Fórmul de los trpecos. Ahor demostrremos dos regls pr determr promdmete el vlor de: () f ( ) d b Ests regls so útles cudo l tegrcó e () es dfícl o o se puede efectur e térmos de fucoes elemetles. El vlor umérco ecto de () es l medd del áre de l superfce lmtd por l curv, () y f (), el eje de ls y ls ordeds =, = b. El vlor de es áre puede determrse, promdmete, sumdo trpecos, como sgue: Dvídse el segmeto b- de OX (Fg.) e prtes gules; se l logtud de u prte. Se ls bscss sucesvs de los putos de dvsó, 0,,,... ( b). (Fgur.) Levátese e estos putos ls ordeds correspodetes de l curv (). Se ests, y f ( 0 ), y f ), y f ), , y f ). 0 ( ( ( 55 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 55

56 Úse ls etremddes de ls ordeds cosecutvs por líes rects (cuerds); de est mer se form trpecos. Etoces, como que el áre de u trpeco es gul l semsums de ls bses por l ltur, obteemos, y y áre del prmer trpeco, 0 y y áre del segudo trpeco, y y áre del eésmo trpeco. Sumdo, obteemos l fórmul de los trpecos, (T) Áre y y y... y y 0. Es evdete que cuto myor se el úmero de tervlos (es decr, cuto ms pequeño se ), tto más se cercrá l sum de ls áres de los trpecos l áre bjo l curv. EJEMPLO. Clculr e oce tervlos. b d por l fórmul de los trpecos, dvdedo de Solucó. Aquí. El áre de que se trt est bjo l curv y. Susttuyedo e est ecucó ls bscss,,,,,...,. obteemos ls ordeds y,,9.... Luego segú (T), Are Por tegrcó, d 575. Luego, e este ejemplo el error de l fórmul de los trpecos es meor que u prte etre trescetos. 56 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 56

57 EJEMPLO. Hllr el vlor promdo de =. I d segú (T), tomdo 0 Solucó. Se y. E este cso, 0. 5, Hágse u tbl de vlores de y y como l que se muestr. Aplcdo (T). Y 0,000 y0 0.5,0 y,6 y.5,76 y,6 y,000,0,6,76,7x 0.5, 858 I. S tommos = 0, obteemos I =,86, mejor promcó. PROBLEMAS. Clculr los vlores promdos de ls sguetes tegrles por l fórmul de los trpecos, empledo los vlores dcdos de. Verfcr los resultdos efectudo ls tegrcoes.. 0 d ; = d ; = d ; = d ; 0 = 6. d 5. 0 ; =. Sol.,7 6. d ; =., Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 57

58 d ; = d ; = d 9. = d ; = d ; = d ; = 5... d 0 d 0 ; = 6. ; =. Fórmul de Smpso (fórmul prbólc). E vez de ur ls etremddes de ls ordeds sucesvs por cuerds y formr trpecos, podemos obteer u myor promcó del áre uédols por rcos de prábols y sumdo ls áres bjo esos rcos. U prábol co eje vertcl puede hcerse psr por tres putos cules quer de u curv, y u sere de tles rcos se justrá más estrechmete l curv que l líe quebrd formd por ls cuerds. L ecucó de tl prábol es de l form y b c y los vlores de ls costtes, b y c puede determrse de mer que est prábol pse por tres putos ddos. Dvdmos el tervlo desde OM 0 hst b OM e u úmero pr (= ) de prtes cd u gul. Por cd sere de tres putos sucesvos P 0, P, P ; P, P, P ; etc., se trz rcos de prábols co ejes vertcles. Ls ordeds de esos putos so, y 0, y, y,... y, como se dc e l fgur.. Así, se reemplz el áre M P P... P M 0 0 por u sere de trs prbólcs dobles como M 0P0 P P M, cuy etremdd superor es e cd cso u rco prbólco de y b c. El áre de cd u de ess trs se obtee empledo l fórmul, u hy y' y'' 58 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 58

59 (Fgur.) Pr l prmer, h, y y0, y' y, y' ' y. Luego, áre de l prmer M 0P0 P P M y0 y y. Aálogmete, Segud tr y y y, Tercer tr y y5 y Últm tr y y y tr Sumdo, obteemos l fórmul de Smpso (sedo pr), (S) Áre y y y y y... 0 y. Como e el cso de l fórmul de los trpecos, cuto myor se el úmero de prtes e que se dvde M 0 M, tto más se cercrá el resultdo l áre bjo l curv. 59 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 59

60 EJEMPLO. Clculr 0 0 d por l fórmul de Smpso, tomdo dez tervlos. b 0 0 Solucó. Aquí. El áre e cuestó es bjo l curv 0 y. Susttuyedo ls bscss 0,,,,... 0 e y, obteemos ls ordeds y 0,,8,7,..., 000. Luego, segú (S), ,7,0,96,000, 500 Are 0 0 Por tegrcó, d, 500 0, de mer que e este ejemplo 0 l fórmul de Smpso d u resultdo ecto.. EJEMPLO. Hllr el vlor promdo de =. I d, segú (S), tomdo 0 Solucó. L tbl de vlores se d e el ejemplo lustrtvo del tem teror. Por tto, 0.5 I, Compárese el resultdo ddo por (T) cudo = 0; sber,.86. E este cso l fórmul (S) d mejor promcó que (T) cudo =. PROBLEMAS. Clculr por l fórmul de Smpso, los vlores promdos de ls sguetes tegrles, empledo los vlores dcdos de. Verfcr los resultdos efectudo ls tegrcoes. 6 d. ; = 6.. d 5 ; = d ; = 6. 6 d ; = Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 60

61 Clculr los vlores promdos de ls sguetes tegrles segú l fórmul de Smpso, empledo los vlores dcdos. d 5. ; = d ; 0 = d 6 d ; =. 8. ; = d 6 d ; =. 0. ; = d d ; =.. 5 ; =. Áre etre dos gráfcs. Áres de superfces lmtds por curvs pls; coordeds rectgulres. El áre etre u curv, el eje de ls y ls ordeds correspodetes = y = b vee dd por l fórmul: (B) Are b yd, susttuyédose de l ecucó de l curv el vlor de y e térmos de. L fórmul (B) es fácl de recordr observdo que el elemeto de áre es u rectágulo como CR (fgur.) de bse d y ltur y. El áre buscd ABQP es el límte de l sum de todos esos rectágulos (trs) etre ls ordeds AP y BQ. (Fgur. y fgur.) Aplquemos hor el teorem fudmetl l cálculo del áre de l superfce lmtd por l curv (y) (AB e l fgur.), el eje de ls y y ls líes horzotles y = c y y = d. 6 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 6

62 PRIMER PASO. Costruremos los rectágulos como e l fgur. Evdetemete, el áre que se busc es el límte de l sum de ls áres de estos rectágulos cudo su úmero tede fto y l ltur de cd uo tede cero. SEGUNDO PASO. Represetremos ls lturs por y, y, etc. Tomremos e cd tervlo u puto e l etremdd superor y desgremos ls ordeds de estos putos por y, y, etc. Etoces ls bses so ( y ), ( y ), etc., y l sum de ls áres de los rectágulos es, ) y ( y) y ( y ) y ( y ) ( y TERCER PASO. Aplcdo el teorem fudmetl se obtee, lm ( y ) y ( y) y. c d Luego el áre etre u curv, el eje de ls y y ls líes horzotles y = c y y = d vee dd por l fórmul, (C) Áre dy, c d susttuyédose de l ecucó de l curv el vlor de e térmos de y. L fórmul (C) se recuerd pesdo e el límte de l sum de tods ls trs horzotles (rectágulos) detro del áre buscd puesto que y dy so l bse y l ltur, respectvmete, de u tr culquer. El elemeto de áre es uo de estos rectágulos. y Sgfcdo del sgo egtvo delte de u áre. E l fórmul (B), es meor que b. Puesto que hor terpretmos el prmer membro como el límte de l sum de térmos que result de y hcedo,,...,, se sgue que cudo y es egtvo cd térmo de es sum será egtvo, y (B) drá el áre co sgo tepuesto. Esto sgfc que el áre está debjo del eje de l. 6 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 6

63 .5. EJEMPLO. Hllr el áre de u rcd de l susode y se. Fgur (Fgur.5) Solucó. Hcedo y = 0 y despejdo el vlor de, ecotrmos, 0,,, etc. Susttuyedo e (B), Además, ÁreOAB ÁreBCD yd sed b b yd 0 sed. EJEMPLO. Hllr el áre de l superfce lmtd por l prábol semcúbc y, el eje de ls y y ls rects y y y. (Fgur.6) Solucó. Segú (C) y l fgur.6, el elemeto de áre es, dy y dy Susttuyedo de l ecucó de l curv MN el vlor de. De quí, 6 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 6

64 Obsérvese que ÁreBMNC y áreolmb. dy 5,0 E el áre dd por (B), uo de los límtes es el eje de ls. E (C), uo es el eje de ls y. Cosderemos hor el áre lmtd por dos curvs. EJEMPLO. Hllr el áre de l superfce lmtd por l prábol l rect y (fg.7) y y (Fgur.7) Solucó. Ls curvs se cort e A(, -), B(8, ). Dvdremos l superfce e trs horzotles por u sstem de prlels OX equdsttes, trzds desde l prábol AOB hst l rect AB. Se dy l dstc de u prábol otr. Cosderemos l tr (vése l fgur) cuyo ldo superor tee por etremos mlos putos, y,, y. De estos putos trcemos perpedculres l ldo feror. Así se form u rectágulo; su áre es, () da dy. Este es el elemeto de áre. E efecto, el áre buscd es, evdetemete, el límte de l sum de todos estos rectágulos. Es decr, segú el teorem fudmetl, d, c () Áre dy 6 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 6

65 e dode, y so fucoes de y, determds por ls ecucoes de ls líes que lmt l superfce. Así, e este ejemplo, de y ecotrmos y ; de y se obtee y. Luego, segú (), teemos, () da y y dy. Est fórmul es plcble l rectágulo formdo por culquer tr. Los límtes so c (e A), d (e B). Por tto, Áre y y dy 8. PROBLEMAS.. Hllr el áre de l superfce lmtd por l hpérbol y, el eje de ls y ls ordeds y. Sol. l.. Hllr el áre de l superfce lmtd por l curv y l, el eje de ls y l rect 0. Sol.,06.. Hllr el áre de l superfce lmtd por l curv y e, el eje de ls y l rect. Sol Hllr el áre de l superfce lmtd por l prábol y y los ejes de coordeds. Sol. 5. Hllr el áre totl de l hpocclode y. Sol. 6 8 Hllr ls áres de ls superfces lmtds por ls sguetes curvs. E cd problem trzr l fgur, mostrdo el elemeto de áre. 6. y 6, 6y. Sol.. 0. y, y 7. y, 6y. Sol. 8.. y 6, y 8. y, y. Sol. 9.. y, y 9. y, y. Sol 0. y, y y 65 Guí Descrgd desde : Lbrerí Dgtl / E-BOOKS Grts 65