UNIDAD TRES GEOMETRÍA ANALÍTICA

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1 UNIDAD TRES GEOMETRÍA ANALÍTICA SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS

2 UNIDAD TRES: GEOMETRÍA ANALÍTICA, SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS CAPITULO UNO: Geometrí Alítc: L Rect Itroduccó... Obetvo Geerl y Obetvos Específcos... Dstc Eucld... L Rect: Defcó... Prámetros de l Rect... Ecucó de l Rect... 8 Rects Prlels... Rects perpedculres... CAPITULO DOS: Geometrí Alítc: Ls Seccoes Cócs Itroduccó... 8 Obetvo Geerl y Obetvos Específcos... 8 L Crcuferec... 9 Ecucó Cóc... 9 L Elpse... Ecucó Cóc: Ee Myor e... Ecucó Cóc: Ee Myor e y... Ecetrcdd... L prábol... 9 Ecucó Cóc: Ee de Smetrí Vertcl... 9 Ecucó Cóc: Ee de Smetrí Horzotl... L Hpérbol... Asítots... 7 Trslcó de Ees... Ecucó Geerl De Segudo Grdo... Aplccó de ls Geometrí Alítc... CAPÍTULO TRES: Ls Sumtors Itroduccó... 8 Obetvo Geerl y Obetvos Específcos... 8 Notcó de sumtor... 9 Teorems... 7 Propeddes... 7 Opercoes co Sumtors L Med rtmétc Doble sumtor CAPÍTULO CUATRO: Ls Productors Itroduccó... 8 Obetvo Geerl y Obetvos Específcos... 8 Notcó de Productor... 8 Propeddes... 8 Cálculo de Productors El Fctorl... 90

3 CAPÍTULO UNO: GEOMETRÍA ANALÍTICA INTRODUCCIÓN L geometrí lítc o llmd tmbé Geogrfí Mtemátc es l cec que comb el Álgebr y l Geometrí pr descrbr fgurs geométrc pls desde el puto de vst lgebrco y geométrco. Esto se podrí resumr dcedo que dd gráfc, se debe ecotrr u ecucó que l descrb mtemátcmete, o ddo el modelo mtemátco, hcer l fgur que l muestre gráfcmete. L Geometrí Alítc fue desrrolld por el fmoso Flosofo y Mtemátco Reto Descrtes (.9.0) que prtr del pltemeto del plo crteso; tmbé de su utorí, desrroll tod l teorí geométrc, pr drle ombre mtemátco ls fgurs como l elpse, prábol y otrs. E este orde de des, el trbo desrrollr será el álss de dverss fgurs geométrcs como l rect, l crcuferec, l prábol, l elpse y l hpérbol, ls cules se les descrbrá los prámetros que ls eplc clrmete. Se estudrá ls ecucoes cócs, l geerl y flmete el álss de l ecucó geerl de segudo grdo. Además se lzrá l trslcó de ees coordedos y lgus plccoes de éste tpo de fgurs. Obetvo Geerl Alzr gráfc y mtemátcmete l rect y ls cócs, detfcdo los prámetros que ls detfc, l fórmul cóc, l fórmul geerl y los cmpos de plccó. Obetvos Específcos:. Determr lítcmete los prámetros de l rect y ls cócs. Obteer l ecucó de l fgur geométrc prtr de los prámetros.. detfcr l fgur geométrc, utlzdo l ecucó cóc y geerl. Resolver problems de dferetes cmpos del sber, utlzdo l geometrí lítc.

4 LA RECTA INTRODUCCIÓN: De ls fgurs geométrcs l más secll es l rect, y que los prámetros que l crcterz so e geerl secllos y secllos de obteer. Desde tempos tguos se sbe que l dstc más cort etre dos putos es u rect, lo cul es evdete. De ls métrcs de dstc l más comú es l Dstc Eucld, uque este otrs que so mporttes. E este cpítulo se lzrá l rect desde el éfss de l dstc eucld etre dos putos, sus prámetro, su gráfc. Pero demás es pertete hcer el álss de rects perpedculres, rects prlels. Se preset ls temátcs de mer secll pero co rgurosdd mtemátc, pr que el estudte se sumer e este tereste tem de l rect, será de gr stsfccó. DISTANCIA EUCLIDIANA: A trvés de l hstor de ls Mtemátcs, l dstc h sdo u cocepto de gr trscedec por su utldd, desde l tgüedd se buscro forms de determrl. Fue EUCLIDES, el gr mtemátco cdo e 00 ños A: C: e Aledrí (Egpto) que do u solucó pr determr l dstc etre dos putos. A prtr de coocdo teorem de Ptágors, estblecó u técc pr determr l dstc etre dos putos. FUENTE: euler.ces.ucv.ve/mtemtcos/mges/eucldes.gf Se los putos P (,y ) y P (,y ). d = dstc etre P y P y y y Por el teorem de Ptágors: d y y

5 Pr señlr l dstc eucld geerlmete se descrbe como: d(p P ), lo cul se determ por l fórmul teror. Es pertete clrr que d(p P ) = d(p P ), Eemplo : Se los putos (-, ) y (, ), determr l dstc etre dchos putos. Solucó: Tomemos P (-, ) y P (, ), etoces por medo del teorem de Ptágors: d ( ( )) ( ) Etoces l dstc etre los putos ddos es de 7 Eemplo : L dstc de los putos (0, ) y (, 0) será: Solucó: P (0, ) y P (, 0), etoces por medo del teorem de Ptágors: d ( 0) Eemplo : (0 ) 7 0, L dstc etre dos putos es de, uo de los putos es P(7, ) el otro puto Q(0, y). Cul será el vlor de l coorded y e el puto Q. Solucó: A prtr del teorem, debemos despr l coorded que es l cógt. d ( Elmdo ríz: 9 ( y ) ( y y) (0 7) ( y ) ( y ) ) Despedo l cógt: 9 ( y ) ( y ) ( y ) De uevo elmdo l ríz: ( y ) Etoces: y = + = 9. Así los putos so: P(7, ) y Q(0, 9).

6 Eemplo : El áre de u trágulo rectágulo es cm, uo de los vértces del trágulo e el puto P(0, 0), otro vértce es Q(, ). Cul es l coorded del puto Q y cul es l dstc PQ? Solucó: U gráfc os yudrá resolver el problem. bh Como A A = Áre del trágulo b = Logtud de l bse h = Logtud de l ltur L logtud de l bse, es precsmete l coorded del trágulo; etoces: bh A A b h Así, =. Ahor pr hllr l dstc etre los putos: P(0, 0) y Q(, ). d ( 0) ( 0) L dstc PQ es de LA RECTA: E geometrí u de los coceptos más mporttes es el de L Rect, dr u defcó de rect es reltvmete fácl, todos coocemos u líe rect, l dbumos, l costrumos, pero busquemos u cercmeto u defcó secll pero muy técc. DEFINICIÓN: U rect es u sucesó de putos coleles; es decr, putos ubcdos uo trs otro de tl mer que uo escode l teror cudo se observ l fl de frete.: El cocepto de colel, se puede eplcr dcedo que cd puto de líe rect o se sle de l líe. Prámetros de l Rect: Tod rect tee u sere de putos que stsfce u Ecucó, uos prámetros, u ecucó cóc y u geerl, demás de u gráfc. Los prámetros de l rect so:

7 - L Pedete: Se smbolz co l letr m, est relcodo co l clcó que tee l rect respecto l ee. Pr determr l pedete de u rect se requere solo de dos putos. Como u rect preset desplzmeto respecto los ees e y, l pedete l determ l relcó de éstos. m y y y Δy = Desplzmeto e el ee y Δ = Desplzmeto e el ee Observdo l gráfc, se puede determr que ls coordeds de los putos so: P (, y ) y P (, y ) Idetfcdo dos putos, se puede determr l pedete de culquer rect. Segú el vlor de l pedete (m), l rect puede tomr vros comportmetos: Cudo m > 0: L rect preset clcó hc l derech, (postv) es decr, el águlo es gudo ( 0<θ<π/) Cudo m < 0: L rect preset clcó hc l zquerd (egtv), es decr, el águlo es obtuso. ( π/<θ<π) Cudo m = 0: L rect es horzotl, luego el águlo es cero θ = 0. Cudo m = α. Se preset u determcó, l rect es vertcl. θ = π/ Eemplo : Ddos los putos P(-, -) y Q(, ) determr l pedete de l rect que ps por dchos putos. Solucó: Por medo de l fórmul de pedete: ( ) m ( ) 9 L pedete es postv, luego l rect debe teer clcó hc l derech. Eemplo : Hllr l pedete de l rect que ps por los putos (, -) y (-, ) Solucó: Defmos P (, -) y P (-, ), etoces: ( ) m 7 7 7

8 Como l pedete es egtv, l rect tee clcó hc l zquerd, es decr su águlo será myor de Eemplo : Cul será l clcó de l rect que pr por los putos (, ) y (, -) Solucó: Como e el cso teror: P (, ) y P (, -), luego: 9 m Idetermcó Como l pedete es determd, l rect es vertcl, sí su águlo es de El Itercepto: Se smbolz co l letr b, est relcodo co el puto dode l rect cort l ee y. E l ecucó cóc éste correspode l térmo depedete, e l ecucó geerl, pr detfcrlo, se debe desper l vrble y. Ecucó de l Rect: Como se do e l prte cl de este trem l rect tee dos tpos de ecucó, vmos lzr cd u. -Ecucó Cóc: Llmd tmbé ecucó lítc, y que por medo de ést se puede ferr el comportmeto de l rect. y m b L ecucó muestr u pedete m, u tercepto b y u sere de putos (, y) que stsfce dch rect. - Ecucó Geerl: Es u ecucó de prmer grdo, de l form: by c E est ecucó o se ve eplíctos los prámetros de l rect, se debe despr l vrble y pr poderlos vsulzr. A trvés de lguos eemplos modelos, vmos profudzr e terorzr lo referete l rect. Eemplo : 0 Dd l ecucó y =. Idetfcr los prámetros, obteer l ecucó geerl y hcer l gráfc. 8

9 Solucó: Los prámetros se puede vsulzr y que se tee l ecucó cóc. Así: Pedete = y el tercepto =. L rect tee clcó hc l derech, es decr, postv y cort l ee y e - L ecucó geerl, se obtee guldo cero l ecucó cóc. y =, etoces: y + = 0, est es l ecucó geerl. L gráfc, se puede hcer obteedo dos putos como mímo, lo que se hce ddo culquer vlor y buscdo su correspodete y, e l ecucó cóc. - y () = (-) = - Eemplo : A prtr de l ecucó y + + = 0, obteer l ecucó cóc, detfcr los prámetros y hcer l gráfc. Solucó: Pr hllr l ecucó cóc se despe l vrble y e l ecucó geerl: y 0 y y Seprmos el deomdor pr cd térmo del umerdor. y y y Co est ecucó podemos detfcr los prámetros: Pedete: - Itercepto: - L gráfc, l gul que e el eemplo, se obtee ddo mímo dos vlores l vrble, pr obteer el vlor de y. - y () = (-) = - 7 9

10 Como l pedete es egtv, el águlo es egtvo. Ecucó Puto Pedete: E dverss ocsoes se trb co l coocd ecucó puto pedete, dode los prámetros so l pedete y u puto coocdo de l rect. Este tpo de ecucó es de l form: Pr P(, y ) Eemplo : U rect tee como pedete m = - y pr por le puto (, ). Hllr l ecucó cóc y geerl. Solucó: Reemplzdo e l ecucó: y y m( ) y ( ) A prtr de est podemos obteer l cóc. y ( ) y y 0 y L ecucó cóc: 0. Etoces l pedete es y el tercepto 0. Pr l ecucó geerl, gulmos l cóc cero: y 0 y 0 0 Eemplo :. Est últm es l ecucó geerl. L rect L pr por los putos (, ) y (-, - ). Hllr l ecucó lítc, l geerl y l puto pedete. Solucó: Iclmete clculmos l pedete: 7 7 m L ecucó cóc será de l form: y y m( ) 0

11 7 y b Pr hllr b, reemplzmos uo de los putos e l ecucó teror. Tomemos el puto (, ) () b b b Así l ecucó cóc será: 7 y Pr hllr l ecucó geerl, gulmos cero tod l epresó: y y y 7 0 y L últm ecucó correspode l geerl de dch rect. Pr hllr l ecucó puto pedete: y y m( ), coocemos l pedete (7/) y u puto (, ) o (-, - ), luego reemplzmos, tomdo solo u puto, obteemos l ecucó: 7 Ecucó puto pedete: y ( )

12 EJERCICIOS Hllr l pedete de l rect que pr por los putos ddos:. (, 7) y (-, - ) Rt: m = /. (-, ) y (, - ) Rt: m = -/7. (-, ) y (, ) Rt: m = 0. (, ) y (, - ) Rt: m = Idepedete Hllr l ecucó de l rect que cumple co ls codcoes dds.. Pedete t el tercepto : Rt: y =. Ps por el puto (, - ) y Pedete. Rt: y = Pr por los putos (8, ) y (-, ) Rt: y = 8. Cort l ee e y l ee y e. Rt: y = (½) Pr ls ecucoes dds, hllr los prámetros y 8 = 0 Rt: m = -/ y b = 8/ 0. / y/ = Rt: m =9/ y b = -. y Rt: m = -/ y b = /. Hllr l ecucó de l rect observd e l gráfc:

13 RECTAS PARALELAS: Del cocepto básco sobre l rect, est quel que dce que dos rects so prlels cudo tee el msmo águlo, o cudo pr todo, l dstc etre ells sempre es gul. TEOREMA: Dos rects o vertcles so prlels s, y solo s, ests tee l msm pedete, es decr, m = m pr: y = m + b y y = m + b Demostrcó: Se L y L dos rects co pedete m y m respectvmete y co tercepto b y b. ls rects tedrá como ecucó: y = m + b y y = m + b. Ests rects cortrá e lgú puto (, y) s, y solo s, los vlores de y pr L y L se gules pr lgú. Luego: m b m b ( m m ) b b L últm ecucó se puede resolver solo s m m. Por cosguete dos rects se corts s m m, pero por rgumetos esto o se cumple, luego ls rects o se cort, esto sgfc que so prlels. Eemplo : Dds ls rects: L : y 8 0 y L : y 0. Determr s so prlels. Solucó: Se observ que ls ecucoes está e form geerl, luego prmero se debe llevrls l form cóc. 8 8 L : y 8 0 y 8 y Así: L : y

14 L : y 0 y y Así: L : y Como L y L tee l msm pedete, etoces so prlels. Eemplo. Hllr l ecucó de l rect que ps por el puto P(, ) y es prlel l rect que tee como ecucó 8 + y = 0. Solucó: Se L l rect descoocd y L l rect coocd. Como l pedete de l rect L y L so gules y que so prlels, luego hlldo l pedete de L, coocemos l pedete de L. 8 8 y 0 y 8 y Etoces l ecucó de L : y = - + L pedete de L es m = -. Pltemos l ecucó cóc: y = m + b, reemplzmos l pedete: y = - + b. Pr hllr el vlor del tercepto ( b ), reemplzmos el puto que se cooce e l ecucó cóc y despmos b. Recordemos que el puto es (,) = - ( ) + b, luego: b = 8. Por cosguete l ecucó de l rect L es: y = RECTAS PERPENDICULARES: Cudo dos rects se cort e lgú puto, ests NO so prlels, pero s ls rects se cort de tl mer que el águlo etre ells es de π/, se dce que ls rects so perpedculres. TEOREMA: Dos rects L y L cuys pedetes so m y m respectvmete, so perpedculres s, y solo s, m m = - Demostrcó: Pr demostrr este teorem vmos utlzr el muy coocdo teorem de Ptágors. Pr los trágulos rectágulos: h y. Se tomrá dos rects que se corte e el orge de coordeds.

15 0 = (0,0) A = (, y ) B = (, y ) Podemos epresr A y B de l sguete mer: A = (, m ) B = (, m ) Ls rects y y y so perpedculres s, y solo s, el águlo es recto; es decr, el trágulo 0AB es rectágulo, sí por el teorem de Ptágors: d( AB) d(0a) d(0b ) Reemplzdo ls coordeds. d( AB) m m Segú l costruccó gráfc: ( 0A) 0 m 0 d y d ( 0B) 0 m 0 Reemplzdo e l ecucó cl de dstc: m m ( m ) ( m } ) Desrrolldo los cudrdos: ( m ) m m ( m ) ( m ) ( m ) Se smplfc térmos: m m 0 Reorgzdo l ecucó: ( mm ) 0 mm 0 Flmete: m m De est mer qued demostrd l perpedculrdd de dos rects. Eemplo : Demostrr que ls rects y + 8 = 0 y + y + = 0. Solucó: Prmero epresemos ls ecucoes e form cóc.

16 8 y 8 0 y 8 y y y 0 y Teemos m = ½ y m = - Se debe cumplr que m m = -, vemos: / ( -)= - Por cosguete ls rects dds so perpedculres. Eemplo : Hllr l ecucó de l rect que ps por el puto (, ) y es perpedculr l rect + y = 0 Solucó: L rect coocd deomémosl L y l rect descoocd L. A prtr de L se detfc l pedete. y 0 y y Pr L se tee m y pr L se tee m. Como dos rects so perpedculres s m m = - - m = -, etoces: m = ½ Ahor pltemos l ecucó pr L. y = ½ + b. Pero l rect ps por el puto (, ), luego: = ½ () + b, etoces: b = / = 7/, por cosguete: 7 y Ecucó cóc de l rect L

17 EJERCICIOS Pr cd cso, determr s ls rects so prlels, perpedculres u oblcus.. y 8 0 y y 0 0 Rt: Prlels. y 0 y y 8 Rt: Perpedculres. y 9 0 y y 0 0 Rt: Perpedculres. y y y 9 Rt: Oblcus Resolver los problems propuestos:. Hllr l ecucó de l rect que ps por (-, ) y es prlel l rect + y = 0. Rt: y + 0 = 0. Hllr l ecucó de l rect que pr por el puto (-, ) y es perpedculr l rect que pr por (, ) y (, 7). Rt: + y 7 = 0 7. Cul será l ecucó geerl de l rect que ps por (, ) y su pedete es el doble de l pedete de l rect y = 0. Rt: y + = 0 8. U rect cort l ee e y es prlel l rect + y = 0. Cul ser{ su ecucó correspodete. Rt: y + 0 = 0 9. U rect cuy ecucó es y 0 = 0, lmt u trágulo rectágulo y co los ees coordedos Cul será el áre de dcho trágulo? Rt:0 uddes cudrds 7

18 INTRODUCCIÓN: CAPÍTULO DOS: LAS SECCIONES CÓNICAS L plbr cóc vee de l fgur geométrc CONO. Ls seccoes cócs so fgurs geométrcs que se obtee l hcer psr u plo de dferete form trvés de u pr de coos vertbles y udos por el vértce. El álss de ls cócs, est e descrbr prtr de l gráfc u ecucó mtemátc pr cd u de ells o vcevers, prtr de u ecucó mtemátc hcer l gráfc correspodete e detfcr sus prámetros. Ests fgurs geométrcs, tee sus correspodetes prámetros, prtr de los cules, se puede estudr lítcmete y gráfcmete cd u de ells. Obetvo Geerl: Descrbr y lzr los spectos gráfcos y lítcos de ls fgurs geométrcs como l prábol, elpse, crcuferec e hpérbol. Obetvos Específcos: - Idetfcr el orge y crcterístcs de ls seccoes cócs. - Idetfcr gráfcmete ls seccoes cócs. - Descrbr los prámetros que detfc l crcuferec, prábol, elpse e hpérbol. - Alzr l ecucó cóc y geerl de ls cócs. - Coocer lguos cmpos de plccó de ls seccoes cócs. 8

19 LA CIRCUNFERENCIA Por geometrí básc se sbe que l crcuferec es el perímetro del círculo, ést o tee áre, solo logtud y los prámetros que l detfc. L crcuferec se form cudo el plo cort horzotlmete el coo. DEFINICIÓN: L crcuferec es u couto de putos (, y) e el plo crteso que equdst u puto fo llmdo cetro. L dstc f se le llm rdo. Los prámetros de l crcuferec so: Cetro: L coorded e se le deom h y l de y se le deom k. C(h, k) Rdo: Es l dstc del cetro culquer puto de l msm, se represet por R. Otros prámetros de l crcuferec, que o cde drectmete co l ecucó so: Dámetro: D = R Logtud: L = πr Co los coceptos ddos, se puede ferr que l crcuferec qued descrt por medo de su cetro, su rdo y el couto de putos que l coform. Ecucó Cóc: Pr u crcuferec de cetro e el orge de coordeds (h, k) = (0, 0) y rdo R, l ecucó cóc es de l form: y R Demostrcó: Pr hcer l demostrcó de l ecucó cóc de l crcuferec, vmos defr lgus codcoes: El cetro est e el orge, es decr (h, k) = (0, 0) El rdo es l dstc del cetro culquer puto que coform l crcuferec. Por Ptágors: R Smplfcdo: ( 0) ( y 0) R y 9

20 Así qued demostrdo l ecucó cóc de l crcuferec. Eemplo : Cul será l ecucó cóc de l crcuferec cuyo cetro es (0, 0) y rdo ; demás, cul será su logtud. Solucó: Aplcdo l fórmul de l ecucó cóc: vlores, pr este cso, rdo. () y y Pr hllr l logtud: L R () Eemplo : R y Reemplzdo los Hllr l ecucó de l crcuferec cuyo cetro es el orge de coordeds y pr por el puto (, ) Solucó: Como el puto stsfce l ecucó cóc, l reemplzr el dch ecucó el puto obteemos el rdo. R y R () () 9 Etoces el rdo será: R = Así l ecucó quedrá: y Eemplo : U crcuferec tee como ecucó cóc: y Cul será el dámetro y l logtud de dch crcuferec? Solucó: S ustmos l ecucó que os d l ecucó cóc: y y Así el rdo será: R = Como el dámetro es R, etoces: D = () = L logtud será: L = πr = () π L = π 0

21 LA ELIPSE Hemos escuchdo sobre el movmeto elíptco, de l terr, del electró y de otros feómeos, pero l pregut serí Como es l descrpcó mtemátc de est fgur geométrc? L elpse es u curv ovld, que se seme u crcuferec lrgd, se obtee cudo el plo cort el coo de mer sesgd. DEFINICIÓN: L elpse es u couto de putos (, y) e el plo crteso, tl que l sum de sus dstcs dos putos fos llmdos focos, es costte Al gul que l crcuferec, l elpse tee los prámetros que l crcterz, los cules se descrbe cotucó. Los prámetros de l elpse so: Cetro: C (h, k) Vértces myores: V y V Vértces meores: u y u Focos: f y f Ee myor: (Dstc V V ) Ee meor: b (Dstc u u ) Por defcó: > b Ecucó Cóc: (Co ee myor e ) L ecucó cóc de l elpse co cetro e C(0, 0) y ee myor sobre l coorded es de l form: b y Demostrcó: Pr demostrr l ecucó cóc de l elpse, cosdercoes: Cetro e (0, 0) Ee myor sobre el ee = Dstc del cetro l vértce. se v teer lgus

22 Vemos ls sguetes coordeds V(, 0) y V (-, 0) u (b, 0) y u (- b, 0) f ( c, 0) y f (- c, 0) = Ee myor b = Ee meor P(, y) = Los putos de l elpse. L gráfc muestr que > b Por defcó: d( Pf ') d( Pf ) Ls dstcs dds: ( c) y 0 d ( Pf ') c y 0 d ( Pf ) Ahor: c y 0 c y 0 Smplfcdo: c y c y Reorgzdo: c y c y Elevmos l cudrdo pr elmr ríces: c y c y c y c y c y Desrrolldo los cudrdos:

23 y c c y c y c c Smplfcdo térmos semetes. y c c Reorgzdo térmos: c y c Dvdedo por tod l epresó y elevdo l cudrdo. : c y c c y c Desrrolldo los cudrdos: c c y c c Multplcdo el prmer térmo y smplfcdo. c y c Reorgzmos pr obteer tromos cudrdos perfectos. ) ( ) ( c y c c y c Dvdedo todo por ( c ), etoces: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c c y c c Operdo: ) ( c y Por l defcó se sbe que > c, y que l dstc el ee myor es myor que l dstc focl, etoces > c sí: - c > 0. esto os lev que: - c = b Reemplzdo e l ecucó teror se obtee: b y Así qued demostrd l ecucó cóc de l elpse co cetro e el orge, focos sobre el ee y ee myor tmbé sobre el ee.

24 Ecucó Cóc: (Co ee myor e y) L ecucó cóc de l elpse co cetro e C(0, 0) y ee myor sobre l coorded y es de l form: b y Demostrcó: L demostrcó es álog l cso teror, es muy tereste que se relzr, e el grupo colbortvo y se comprter co el Tutor. Eemplo : A prtr de l ecucó dd cotucó, detfcr los prámetros de l elpse y hcer u bosqueo de l gráfc. 0 7y.00 Solucó: De l ecucó dd, obteer l cóc y.00 y Hcedo ls opercoes pertetes: y 7 0 Como y teemos l ecucó cóc, comezmos detfcr los prámetros. 7 7 b 0 b 0 Así: Ee myor: ( ) Ee Meor: b ( ) Vértces myores: V (,0) y V ' (,0) Vértces meores: u (0, ) y u ' (0, ) Foco: c b 7 0 c Focos:,0 y,0

25 Eemplo : U elpse tee como vértces: (±,0) y focos (±,0) Solucó: Como se coocer los vértces, etoces: =, = Tmbé se cooce los focos: c =, c = Pr hllr b: b c b A prtr de los dtos, costrumos l ecucó: y y b Ecucó cóc de l elpse co vértces e (±,0) y focos e (±,0) Los otros prámetros: Ee Myor: =, = 8 Ee Meor: b b Bosqueo de l gráfc:

26 Eemplo : Dd l ecucó de l elpse 9 y Hllr los vértces, los focos, los ees y hcer u bosqueo de l gráfc. Solucó: Lo prmero es trsformr l ecucó dd form cóc, lo cul se cosgue dvdedo todo por, vemos: 9 y 9 y y 9 Como = 9 est sobre el ee y, etoces el ee myor est sobre dcho ee, gul que los focos. Se puede decr que l elpse es vertcl. 9 b b Pr hllr los focos es por medo de l epresó: c b 9 c Ee myor: = () = Ee meor: b = () = Focos: f ( 0, ) y f '(0, ) Bosqueo de l gráfc: EXCENTRICIDAD: El cocepto de ecetrcdd es usdo pr descrbr l form de l curv, hcedo u relcó de cocete etre l logtud del foco y l logtud del ee myor. Esto os permte determr s l elpse es pld o bombd. L ecetrcdd se defe como: e c b Pr l elpse l ecetrcdd est etre 0 y. (0 < e < ). Cudo e 0 l elpse es cs crculr, cudo e l elpse es cs pl. ( sgfc tede o se cerc...)

27 Pr l crcuferec l ecetrcdd es cero (e = 0), esto sgfc que cudo e = 0, l fgur es cocétrc. Lo teror quere decr que s = b, etoces c = 0, obteedo sí u crcuferec. Eemplo : U elpse tee vértces myores e (±8, 0) y focos e (±, 0), cul es su ecetrcdd. Solucó: c Por l ecucó: e 0, 8 Cosste e u elpse co tedec ser pl. 7

28 EJERCICIOS Relcoe l gráfc co l ecucó correspodete: A B. y. y Dd l ecucó, detfcr los prámetros de l elpse y hcer l gráfc.. y 9 Rt: V(0, ) y V (0, -); f(0, ) y f (0, -) Ee myor: 0 y ee meor:. y Rt: V(0, ) y V (0, -); f (0, ) y f '(0, ) Ee myor: 8 y ee meor: Ecotrr l ecucó prtr de los prámetros ddos:. C(0,0), f(, 0) y V(, 0) Rt: y. Focos: (0, ±), terseccó e = ± Rt: y 7. Focos: ( 0, ) y el ee myor mde Rt: y 8. Determr l ecetrcdd de los potos y 7. Rt: 80 e 0 7 0, 8

29 LA PARÁBOLA l prábol es u fgur que descrbe dversos feómeos, como l tryector de u bló, l form de ls tes de señles de televsó por cble, l tryector de u teo e uestro deporte utóctoo y otros. Se form cudo el coo es cortdo por el plo de corte de mer sesgd. DEFINICIÓN: L prábol es u couto de putos e el plo (, y) que se ecuetr l msm dstc de u puto fo F llmdo foco y u rect D llmd drectrz. Los prámetros de l prábol so: Vértce V(h, k): Dode l curv se dvde e dos prtes gules. Foco: F: El puto fo u dstc p del vértce. Ee de Smetrí: U rect que pr por el vértce y es perpedculr l drectrz. Drectrz D: Rect ubcd l msm dstc que el foco pero e setdo cotrro Ecucó Cóc: (Ee de Smetrí vertcl) Pr u prábol l ecucó cóc est soportd por el sguete teorem: Tod prábol co ee de smetrí vertcl y vértce e el orge, tee como ecucó cóc: Demostrcó: py Por medo de u gráfc podemos ver los elemetos que preset u prábol. Ee de Smetrí: El ee y. V(h, k) = (0, 0) Foco: F(0, p) P(, y)= Couto de putos que hcer prte de l curv Q(, -p) Drectrz: D = -p 9

30 Por hpótess l dstc de F P es gul l dstc de P Q. d( PF ) d( PQ) Etoces: 0 y d( PF ) p y ( ) d( PQ) p Aplcdo el prcpo de l hpótess: 0 y p y ( p) Desrrolldo ls opercoes: y p y p ) Elevdo l cudrdo: y p y p Desrrolldo los productos otbles: y py p y py p Smplfcdo térmos: py 0 Flmete: py Así qued demostrd l ecucó cóc de l prábol bo ls codcoes estblecds. Aálss de ls Rms: Como l prábol tee dos rms que se bre prtr del vértce, es pertete clrr: S p > 0. Ls rms bre hc rrb prtr del vértce. S p < 0. Ls rms bre hc bo prtr del vértce Es pertete clrr que el vértce y el foco está sobre el ee de smetrí; demás, éste últmo y l drectrz so perpedculres. 0

31 Ecucó Cóc: (Ee de Smetrí horzotl) Pr u prábol l ecucó cóc est soportd por el sguete teorem: Tod prábol co ee de smetrí horzotl y vértce e el orge, tee como ecucó cóc: Demostrcó: Se de como eercco pr desrrollr e el grupo colbortvo. Aálss de ls Rms: Pr este cso: S p > 0. Ls rms bre hc l derech prtr del vértce. S p < 0. Ls rms bre hc l zquerd prtr del vértce El vértce y el foco tmbé está sobre el ee de smetrí; demás, éste últmo y l drectrz so perpedculres. ECUACIÓN CANÓNICA EJE DE SIMETRIA VÉRTICE FOCO DIRECTRIZ RAMAS py = 0 V(0, 0) F(0, P) y = -P y p y = 0 V(0, 0) F(P, 0) = -P Eemplo : y p P>0: Hc rrb P<0. Hc bo P>0: Hc derech P<0. Hc zquerd Dd l ecucó de l prábol bosqueo de l gráfc. y. Idetfcr los prámetros y hcer u Solucó: Como l vrble es l que est l cudrdo, etoces el ee de smetrí es vertcl = 0. Así l ecucó es de l form: py dode p =, etoces: p =. Los prámetros so: Vértce(0, 0) Foco:(0, ) recordemos que l dstc focl es p. Drectrz: y = - Como p > 0, ls rms bre hc rrb.

32 Eemplo : U prábol tee vértce e el orge, sus rms bre hc bo, y pr por el puto (, -). Hllr l ecucó cóc y hcer l gráfc. Solucó: Como ls rms bre hc bo, el ee de smetrí es vertcl, luego l ecucó es de l form: py Pr p < 0. Como l curv ps por el puto (, -), éste stsfce l ecucó. Etoces: () P ( ) P P Por cosguete l ecucó es de l form: y y L ecucó flmete es: y Foco: ( 0, -/) Drectrz. y = / Eemplo : Hllr l ecucó y hcer l gráfc de l prábol que tee foco e (, 9), l drectrz tee como ecucó = - y vértce e el orge. Solucó: Se observ que el foco est sobre le ee, lo que dc que el ee de smetrí es horzotl. Así l ecucó es de l form: y p Como l drectrz es = -, os dc que p =, que correspode l coorded e del foco. Etoces: y () L ecucó cóc será: y

33 Como p > 0, ls rms bre hc l dch, como lo dce l teorí. EJERCICIOS Pr ls ecucoes dds, detfcr los prámetros correspodete. y hcer l gráfc. y Rt: V(0, 0); F(, 0); D: = -. y Rt: V(0, 0); F(0, 9); D: y = - 9. y 0 Rt: V(0, 0); F(-, 0); D: = A prtr de los dtos ddos, hllr l ecucó.. F(, 0); D: = - Rt: y. V(0,0); Ee smetrí horzotl y ps por (-, ) Rt: y. F(, ); D: y = -. Rt: ( ) 8y 7. L fchd de u edfco tee form prbólc, el lrgo es de, metros y el cho de l bse es de, metros. Idetfcr l ecucó que model el dseño de l fchd. 9 Rt: y 8. U túel tee form prbólc, su ltur mám es de,8 metros y el cho de l bse es de 0, metros. Cul será l ltur del túel, metros de l orll del msmo? Rt: y =, metros

34 LA HIPÉRBOLA Pr eteder l hpérbol se puede hcer u logí co l elpse, dode prtmos ést últm por el ee meor y l vertmos. L hpérbol se obtee cudo el plo de corte se pr vertcl por ls esqus de los coos vertdos. DEFINICIÓN: L Hpérbol es u couto de putos e el plo (, y) cuy dferec dos putos fos llmdos focos es costte. Los prámetros de l Hpérbol so: Cetro: C(h, k). Equdstte los vértces Vértces V y V Dode ls curvs se dvde e dos prtes gules. Focos: F y F : Los putos fos. Ee Trsverso: U rect que pr por los vértces y por los focos. Ee Cougdo: E u rect perpedculr l ee trsverso y pr por el cetro. Asítots: Dos rects que pr por el cetro delmt ls curvs de l hpérbol. Ecucó Cóc: (Ee trsverso horzotl) L ecucó cóc de l hpérbol co ee trsverso horzotl, est soportd por el sguete teorem: Tod hpérbol co ee trsverso prlelo l ee de ls bscss y cetro e el orge de coordeds, tee como ecucó: b y

35 Demostrcó: Co yud de u gráfc, podemos hcer l demostrcó. Dstc: d(f F ) = c Por defcó de l hpérbol: d( P, F') d( P, F) Cetro: C(0, 0) Ee Trsverso: El ee. Ee cougdo: Ee y Vértces: V(, 0) y V (-, 0) Focos: F(c, 0) y F (- c, 0) P(, y)= Couto de putos que hcer prte de l curv Por l costruccó: c A prtr de este pltemeto y por dstc eucld, se puede obteer l ecucó cóc de l hpérbol. d( P, F) c y 0 c y ( c) y 0 c d( P, F') y Por hpótess: c y c y Hremos el desrrollo e form secuecl, pero es pertete que usted estmdo estudte, detfque ls propeddes plcds e cd pso. Iclmete se plte l dstc eucld y se elev l cudrdo, pr elmr rdcles. y c y c y c y c Se smplfc el prmer térmo y se desrroll el producto otble del segudo térmo. c y ( c) ( c) y y Se desrroll los productos otbles presetes e l ecucó obted. c y c c c c y y Se smplfc térmos semetes: y reorgz l ecucó: c y c c c c y Como todos los térmos tee como coefcete e l, smplfcmos y elevmos l cudrdo, pr elmr el rdcl que se preset llí:

36 y c c y c c Desrrollmos ls opercoes dcds: y c c c c y c c c Smplfcdo: c y c y c c Fctorzdo: ) ( ) ( c y c Dvdmos tod l epresó por ) ( c etoces: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c c c y c c Smplfcdo, se obtee: ) ( c y Como < c etoces: c > 0 y c > 0. Deommos c = b. Flmete l ecucó qued de l form: b y Así qued demostrdo l ecucó cóc de l hpérbol. Ecucó Cóc: (Ee trsverso vertcl) L ecucó cóc de l hpérbol co ee trsverso vertcl, est soportd por el sguete teorem: Tod hpérbol co ee trsverso prlelo l ee de ls ordeds y cetro e el orge de coordeds, tee como ecucó: Demostrcó: Co los msmos rgumetos que se tuvero e cuet e el cso teror, por fvor estmdo estudte desrrolle l demostrcó. Demos lguos lemetos: b y

37 Cetro: C(0, 0) Ee Trsverso: El ee y. Ee cougdo: El Ee Vértces: V(0, ) y V (0, - ) Focos: F(0, c) y F (0, - c) P(, y) = Couto de putos que hcer prte de l curv Por l costruccó: c Dstc: d(f F ) = c ASINTOTAS: E l hpérbol se coocer dos rects oblcus que ps por cetro de l hpérbol, cuy fucó es oret l curvtur de l fgur. L obtecó de l ecucó de dchs rects, se hce prtr de l ecucó cóc. L obtecó de l ecucó se hce despedo l vrble y e l cóc. Se preset dos csos:. Ee trsverso horzotl: y y y b b b S 0 etoces: y b y b y b Cudo ó l epresó / 0, sí medd que l crece, l b ecucó se reduce : y Por cosguete ls sítots de u hpérbol cuyo ee trsverso correspode l coorded es: y b y y b. Ee trsverso Vertcl: y A prtr de l ecucó: b y b y Se lleg ls ecucoes de ls sítots. y b 7

38 NOTA: Se de como eercco l demostrcó de ests ecucoes, que se puede hcer e form dvdul, e el grupo colbortvo o e compñí del Tutor. Ls sguetes gráfcs lustr los dos csos. Hpérbol co ee trsverso horzotl Hpérbol co ee trsverso vertcl. Eemplo : Hllr los prámetros de l hpérbol que tee como ecucó y Solucó: De l ecucó: 8

39 b b Como el vlor myor est sobre l vrble, el ee trsverso est sobre. Los vértces: V(, 0) y V ( -, 0) Los focos: F(c, 0) y F (-c. 0) Pr clculr el vlor de c, utlzmos l codcó dd e estos csos: Despemos c: c b c 0 c 0 b c Así los focos so: F (,0) y F'(,0) Asítots: b y y y b y y y Eemplo : Dd l ecucó de l hpérbol co cetro e (0, 0) y 9. Idetfcr sus prámetros y hcer l gráfc. Solucó: Prmero trsformemos l ecucó dd l form cóc, lo cul se hce dvdedo todo por y smplfcdo: 9 y y 9 El ee trsverso est e, y que el myor vlor est sobre dch vrble. Vértce: V(0, ) y V (0, -) 9

40 Como 9 Etoces: V ( 0,) y V'(0, ) Los focos: Como c b 9 c Etoces: F ( 0,) y F'(0, ) Asítots: y y b y Bosqueo de l gráfc: NOTA: Cudo y e l ecucó cóc es postv, etoces el ee trsverso es prlelo l coorded y. De l msm mer cudo es postv e l ecucó cóc, el ee trsverso es prlelo l ee. Eemplo : Hllr l ecucó cóc de l hpérbol cuyos focos está e (±, 0) y =. Solucó: Segú los dtos: =, etoces =. c =, etoces: b = c = = Por otro ldo como ls coordeds de los focos está sobre l bscs (ee ), lo que os dc que el ee trsverso está sobre el ee. E este orde de des, l ecucó es de l form: y b 0

41 Reemplzdo: y EJERCICIOS Ecotrr L ecucó cóc de l hpérbol, prtr de los dtos ddos.. Cetro(0, 0), Foco(, 0), Vértce(, 0) Rt: y 8. Cetro(0, 0), Foco(0, -), Vértce(0, ) Rt: y 0. Focos(±, 0), Vértces(±, 0) Rt: y 9. Vértces(0, ±), Asítot y Rt: y A prtr de l ecucó dd, detfcr los prámetros y hcer u bosqueo de l gráfc.. y Rt: F ( 9,0) y V(,0 ). y 8 Rt: F ( 0, ) y V(0, ) 7. y 0 Rt: F (,0) y V(,0) 8. El techo de u udtoro tee form hperbólc, l ecucó que lo gober es de l form: y Dode e y está e metros. Cuál será l ltur de ls prlels eterores que sostee el techo?. Ver l fgur. Rt: 7, 8 metros

42 TRASLACIÓN DE EJES E muchs stucoes, el cetro de l crcuferec, de l elpse, de l hpérbol y el vértce de l prábol, NO está e el orge de coordeds, luego se requere u álss de dchs stucoes. E este prtdo vmos estudr ls cócs, cudo e cetro o vértce está fuer del orge de coordeds. LA CIRCUNFERENCIA. Cudo el cetro de l crcuferec est fuer del orge de coordeds, dgmos e (h, k), dode h correspode l coorded e y k l coorded e y. Se observ que se preset u cmbo e ls coordeds del plo. h y y k Pr clculr R, se utlz el teorem de Ptágors: R y Reemplzdo, por h y y por y k, llegmos l ecucó requerd. Ecucó cóc de l crcuferec: Cetro e (h, k) Eemplo : Hllr l ecucó cóc de l crcuferec y hcer l gráfc, s est tee el cetro e (-, ) y su rdo es de uddes. Solucó: h y k R Como se cooce el cetro y el rdo, por medo de l ecucó, reemplzmos: ( ) y y 9

43 L gráfc se puede ver e el esquem del frete. Eemplo : U crcuferec tee como ecucó: y y hcer el bosqueo de l gráfc. Solucó: Segú l ecucó, se observ que (h, k) tee como coordeds ( 0, ) que será el cetro de l crcuferec y el rdo R =. L gráfc l podemos observr e segud.. Hllr el cetro, el rdo Eemplo Hllr el cetro y el rdo de l crcuferec que tee como ecucó: y y 0 Solucó: Se observ que l ecucó dd NO es l cóc, luego debemos trsformr dch ecucó l form cóc. Vemos como se hce. A prtr de l ecucó dd, se grup vrbles smlres. ( ) ( y y) Completmos cudrdos, recordemos que esto se hce, dvdedo el coefcete del segudo térmo e y elevdo l cudrdo. Se debe teer e cuet que lo que se dco u ldo de l ecucó, tmbé se debe dcor l otro ldo. ( (/ ) ) ( y y (/ ) ) ( 9) ( y y ) 9

44 Fctorzdo los dos tromos, se obtee l ecucó cóc: ( ) ( y ) Etoces: cetro (, -) y rdo R =. Estmdo estudte, por fvor hcer u bosqueo de l gráfc. EJERCICIOS Ddos los prámetros de l crcuferec, hllr l ecucó cóc.. R = y cetro (0, ) Rt: y. R = y cetro (, -) Rt: y. etremos del dámetro (, 8) y (-, ) Rt: y 8. cetro (, ) y tgete l ee. Rt: y Pr l ecucó dd, hllr los prámetros.. y 9 Rt: Cetro (, -); R = 7. y Rt: Cetro (, -); R 7. y 8y 0 Rt: Cetro (, -); R = 8. U cl de coduccó de gu tee form semcrculr, l profuddd e el cetro del cl es de 0 metros, cul será l ecucó que descrbe el cl y cul será su profuddd metros del borde? Rt: y 00 y y = 8 metros

45 LA ELIPSE. Al gul que e l crcuferec, e l elpse l stucó es smlr. El cetro es (h, k) que se obtee cudo el cetro que estb e el orge se desplzo h uddes e y k uddes e y, collev ecucoes cócs ustds, ls cules so más geerles. L ecucó cóc de u elpse co cetro e (h, k) y ee myor prlelo l ee es: h y k b De l msm mer, l ecucó cóc de u elpse co cetro e (h, k) y ee myor prlelo l ee y es: h y k b Eemplo : Hllr l ecucó de l elpse co cetro e (, ), focos e (, ) y (, ); demás b =. Solucó: Segú los dtos: (h, k) = (, ) L dstc focl es c =, esto por l ubccó del cetro y de los focos. Además, b =, etoces se puede clculr : Como b c b c Reemplzdo: () () 8 Como los focos está prlelos l ee, etoces l ecucó es de l form: h y k b Co los dtos obtedos, l ecucó es de l form: y 8 Vemos u bosqueo de l gráfc

46 Eemplo : U elpse tee cetro e (-, -), u foco está e (-, -); demás, ps por le puto P(-, ). Hllr l ecucó cóc de l elpse y u bosqueo de l gráfc. Solucó: S el cetro está e (-, -) y u foco e (-, -), el otro foco será (, -), y que l dstc c =. E prmer stc l ecucó será: ( ) y ( ) y b b L ecucó es de ést form porque los focos so prlelos l ee y. Pr hllr los vlores de y b, procedemos sí: b c c b Pero c =, etoces c = 9 sí: 9 b b 9; demás, se cooce u puto (-, ), todo esto lo reemplzmos e l ecucó cóc. y b 9 Ahor: b c 9 L ecucó qued flmete sí: y Vértces: V(-,) y V (-, -7) Eemplo : Pr el cso del eemplo y, hllr l ecetrcdd. Solucó: c Pr el eemplo : e Por ser muy cerc uo, l elpse tee ser chtd. c 9 Pr el eemplo : e 0. Como e = 0, l elpse tee ser crculr; es decr, muy chrd muy bombd.

47 EJERCICIOS Dd l ecucó de l elpse, detfcr los prámetros. y 9. y 9. Rt: C(, -); V(, ) V (, -); F (, ) Rt: C(, ); V(7, ) V (-, ); F(, ) F (- ). 9 y 8 y 0 Rt: C(, -); V(, ) V (, -) F (, ). y Rt: C(-, -) V(-, -) V (-, -) F(-/, -) F (-9/, -) A prtr de los prámetros ddos hllr l ecucó y u bosqueo de l gráfc. y 7. C(, ) u foco e (0, ) y vértce e (-, ) Rt:. Vértces e (-, ) y (-, -) y ps por, y 9 0 Rt: 7. C(, ) u vértce e (, ) y pr por P(, ) Rt: y 9 8. E u terreo rectgulr de metros, hy u pst pr tletsmo, ést toc el cetro de los ldos del rectágulo. Cul será l ecucó que gober l pst. Rt: y 9 0 7

48 LA PARÁBOLA. E l prábol el vértce puede estr fuer del orge de coordeds, esto os dc que ls coordeds del msmo se h corrdo h uddes e y k uddes e y, tmbé como e los csos terores se obtee ecucoes cócs ustds, ls cules so más geerles. Cudo el vértce de l prábol est e el puto (h, k) y el ee de smetrí prlelo l ee y, se obtee u ecucó de l form: h p( y k) Recordemos que s p > 0, ls rms bre hc rrb prtr del vértce y s p < 0, ls rms bre hc bo prtr del vértce. El otro cso es cudo el vértce de l prábol est e el puto (h, k) y el ee de smetrí prlelo l ee, se obtee u ecucó de l form: y k p( h) Pr este cso, s p > 0, ls rms bre hc l derech prtr del vértce y s p < 0, ls rms bre hc l zquerd prtr del vértce. Eemplo : Dd l ecucó 8y bosqueo de l gráfc. Solucó: De l ecucó se puede vsulzr que h = - y k =. etoces: V(-, ) El ee de smetrí será = -. Como p = -8, etoces: p = -. Así ls rms bre hc bo prtr del vértce. El foco: F(h, k+p), F(-, -) = (-, 0) L drectrz: D = k p = (-) =. Idetfcr los prámetros de l prábol y u 8

49 Eemplo : Hllr l ecucó de l prábol y hcer u bosqueo de l gráfc, s ést tee el foco e (-, -) y l drectrz tee como ecucó =. Solucó: Ubcr los putos e le plo crteso os d u de de l curv. Como l drectrz es vertcl, luego el ee de smetrí es horzotl. Porqué? L dstc de l drectrz l foco es de, etoces l dstc del vértce l foco es de. Co estos dtos l dstc focl p =. El vértce estrá e (-, -) Por l ubccó del foco respecto l vértce, se puede ferr que p = -. L ecucó se de l form: y k p h Reemplzdo: y ( ) ( ) ( ) y 8 L gráfc: REFLEXIÓN: E el álss de l prábol, se h dcho que segú el vlor de p, ls rms tom cert dreccó. Al respecto vlor l pe hcer u refleó del porqué de est stucó. Tomemos el cso de l ecucó cudo el vértce est e el orge y el ee de smetrí vertcl. Prmer Cso: Despedo : py py. Pr que teg solucó rel, se debe cumplr dos posblddes:. p > 0 y y > 0. Como y es myor que cero, etoces ls rms v hc rrb.. p < 0 y y < 0, Como y es meor que cero, ls rms v hc bo. 9

50 Segudo Cso: y p Despedo y: y p. Pr que y teg solucó rel, se debe cumplr dos posblddes:. p > 0 y > 0. Como es myor que cero, etoces ls rms v hc l derech.. p < 0 y < 0, Como es meor que cero, ls rms v hc l zquerd. EJERCICIOS A prtr de l ecucó dd, ecotrr los prámetros.. y Rt: Ee: y = -, V(0, -), F(-, -), D: =. y Rt: Ee: =, V(, ), F(,), D: y = 0. 8 y 0 Rt: Ee: = -9, V(-9, -0), F(-9, -79/), D: y = -8/). y 8y 0 Rt: Ee: y = -, V(-9/, -), F(-, -), D: = - Hllr l ecucó de l prábol que cumple ls codcoes dds.. D: y = -, F(, ) Rt: 8 y 0 0. V(, -), Ee: =, Ps por (0, -8) Rt: 8 8y 0 7. V(8, -7), Ee prlelo l ee y ps por (, -8) Rt: y 8y El rco de l vet de u gles tee form prbólc, l ltur del rco e el puto medo es de pes y el cho de l bse es de 7 pes. Se dese psr u c de form rectgulr trvés de l vet. S l c tee u ltur de pes. Cuál debe ser el mámo cho de l c pr que pued psr por l vet? Rt:, pes 0

51 LA HIPERBOLA. Co los álss relzdos co l crcuferec, elpse y prábol, eteder l cso de l hpérbol. Vemos los dos csos. se puede. U Hpérbol co cetro e (h, k) y ee trsverso prlelo l ee, tee como ecucó: h y k b Los prámetros: Cetro: C(h, k) Vértces: V(h +, k) y V (h, k) Focos: F(h + c, k) y F (h c, k) Ee trsverso: y = k Ee cougdo: = h. U Hpérbol co cetro e (h, k) y ee trsverso prlelo l ee y, tee como ecucó: y k h b Los prámetros: Cetro: C(h, k) Vértces: V(h, k + ) y V (h, k - ) Focos: F(h, k + c) y F (h, k - c) Ee trsverso: = h Ee cougdo: y = k L relcó de ls dstc, b y c so smlres l cso de cetro e el orge. b c Eemplo : U hpérbol tee vértces e (, ) y (-, ); demás, u foco est e (7, ). Hllr l ecucó cóc de l hpérbol y hcer u bosqueo de l gráfc. Solucó: Como los vértces está e (, ) y (-, ), l dstc es de uddes, (- (-)), sí =. Por otro ldo el cetro estrá e (, ), y que pr : = y pr y

52 est sobre el puto. Pr hllr el vlor de c, por l ubccó del foco F(7, ), c = 7 =. Ahor el vlor de b: b c b 9 Así b =. El ee trsverso es prlelo l ee, y que el foco y vértces lo muestr. Como y teemos los dtos que se debe colocr e l ecucó, etoces reemplzmos: y ) 9 Eemplo : U hpérbol tee cetro e (-, -), vértces e (-, -) y (-, -); demás, uo de los focos est e (-, ). Hllr l ecucó cóc y u bosqueo de l gráfc. Solucó: Como e cetro est e (-, -) y vértce e (, -), l dstc etre los vértces es: ( )) Así =. El vlor de c. L dstc del cetro l foco es: + =. Ahor el vlor de b: b c b Segú ls coordeds de los vértces y foco, el ee trsverso es prlelo l ee y. y L ecucó:

53 EJERCICIOS A prtr de l ecucó dd, detfcr los prámetros de l hpérbol. y. Rt: C(, -), F (, ), V(8, -) y V (-, -), Astots: y + = ± / ( - ) y. Rt: C(0, -), F ( 0, ), V(0, ) y V ( 0, -7), Astots: y + = ±. y 00 Rt: C(, ), F ( 9,), V(, ) y V (-, ), Astots: y - = ± /( ). y 8y 0 Rt: C(-, -), F (, ), V(-, -) y V (-, -), Astots: y + = ± /( + ) Determr l ecucó cóc de l hpérbol, coocedo lguos prámetros.. Cetro (-, ), Focos (-, 8) y (-, -), Vértces (-, ) y (-, -) Rt: y 0. Cetro (0, 0), U vértce (-/, 0) y U foco (-, 0) Rt: y Cetro (, -), U foco (, -) U vértce (, -) Rt: y

54 ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO by c dy k 0 Recorrdo todo el álss de ls seccoes cócs, utlzdo como fudmeto l dstc eucld y demás, coocds ls ecucoes cócs de l crcuferec, prábol, elpse e hpérbol, el sguete pso es etrr e el estudo de lo que se cooce como l Ecucó Geerl de Segudo Grdo. Que es otr form de epresr lítcmete ls cócs. LA CIRCUNFERENCIA: A prtr de l ecucó cóc, se puede tomr u procedmeto lgebrco pr obteer l ecucó geerl de l crcuferec. DEFINICIÓN: Tod ecucó de l form by c dy k 0 correspode u crcuferec, sempre y cudo = b y 0 ; demás, y b tee sgos gules. L ecucó correspode u ecucó de segudo grdo, dode c y d está dcdo que el cetro está fuer del orge de coordeds. Cudo c y d so cero, el cetro de l crcuferec está e el orge. Eemplo : Se l ecucó cóc de u crcuferec: y ecucó geerl. Solucó:. Hllr l L ecucó os muestr que el cetro está e (-, ) y el rdo R =. L obteer l geerl, se procede de l sguete mer. A prtr de l cóc se desrroll los productos otble. y ( 8 ) ( y y ) Ahor se reorgz los térmos y se gul cero. y 8 y 0 y 8 y 0 L últm ecucó correspode l geerl, dode = b = ; demás, c = 8 y d = -. Como c y d so dferetes de cero, está dcdo que el cetro est fuer del orge de coordeds, lo que se corrobor e l cóc. Eemplo : Hllr l ecucó geerl de l crcuferec, s tee como ecucó cóc: y 0

55 Solucó: Vemos que l cóc muestr que el cetro est e (, ) y el rdo es 0. Desrrollemos los cudrdos pr llegr l geerl. y 0 ( 8 ) ( y y ) 0 Reorgcemos l epresó y luego l gulmos cero. y 8 y 0 y 8 y Flmete: y 8 y 0 0 Vemos que = y b =, demás c = -8 y d = -. Eemplo : U crcuferec tee como cetro (, 0) y su rdo es R = 7. Cuál será l ecucó geerl de dch crcuferec? Solucó: Prmero debemos hllr l ecucó cóc, pr luego sí llegr l geerl. L cóc: h y k R Reemplzdo: y 0 7 y 9 Ahor sí podemos llegr l geerl. y 9 ( 8 ) y 9 Reorgzdo térmos: y Eemplo : y 8 0 U crcuferec cort l ee e dos putos, tee rdo de uddes, el cetro está e (-, k) y ps por el puto (-, -7). Hllr l ecucó geerl de dch crcuferec. Solucó: Prmero orgcemos l ecucó cóc: h y el cetro e (-, k) reemplcemos estos dtos. y k y k Como el puto (-, -7) stsfce dch ecucó, lo podemos reemplzr. 7 k 0 ( 7 k) R. Como el rdo es Aplcdo ríz cudrd se puede desper el vlor de k que es el que se ecest. ( 7 k ) ( 7 k) ( 7 k)

56 Despedo k: k = ± 7 Se obtee dos vlores: - y -. Como l crcuferec cort l ee, el vlor que stsfce est codcó es. Así l ecucó cóc será: y Pr hllr l ecucó geerl, procedemos como los csos terores. ( ) ( y y 9) Reorgzdo: y y 9 Iguldo cero: y y 0 Flmete: y y 0 LA ELIPSE: El procedmeto pr obteer l ecucó geerl de l elpse es smlr l relzdo e l crcuferec. DEFINICIÓN: Tod ecucó de l form by c dy k 0 correspode u elpse, sempre y cudo o y b o demás, b pero y b de gul sgo. L ecucó correspode, tmbé u ecucó de segudo grdo, dode c y d está dcdo que el cetro está fuer del orge de coordeds. S c y d so cero, el cetro de l elpse está e (0, 0). Eemplo : Hllr l ecucó geerl de l elpse cuyo cetro es (, -), el ee myor mde 0 y es prlelo l ee, el meor mde. Solucó: h L ecucó cóc es de l form: y k b Porqué? (h, k) = (, -), = y b = Reemplzmos e l ecucó: y 9 Desrrollmos ls frccoes, prmero busquemos el comú deomdor. El cul es.

57 y 9 9 y Ahor desrrollmos los productos otbles. 9( ) ( y y 9) 9 y Reorgzdo los térmos: 9 y 0y 0 Flmete: 9 y 0y 0 0y Segú est ecucó, = 9 y b =, so dferetes pero de gul sgo. c = - y d = 0. Se cofrm ls codcoes pr que u ecucó de segudo grdo se u elpse. Eemplo : Hllr l ecucó geerl de l elpse que tee cetro e (, -) vértce e (9, -) y u foco e (0, -) Solucó: h y k b Se tee (h, k) = (, -) Pr hllr : Restmos l coorded del vértce y del cetro: 9 =, luego: =. Como u foco est e (0, -) etoces dstc focl c = 0 =. Por los dtos ddos e el problem, l ecucó es de l form: Ahor clculmos b: b b 9 c reemplzdo: Como y se tee los dtos que se debe reemplzr e l fórmul. y 9 E segud procedemos buscr l ecucó geerl: detfquemos el comú deomdor:. etoces: 9 y 9 y Desrrolldo los productos otbles: 9( 8 ) ( y y ) 9 Iguldo cero: 9 y 7 00y 9 7 y y 7 00y y 00 7

58 E l ecucó se observ que = 9 y b =, so dferetes y de gul sgo, luego correspode u elpse, como se dce e l defcó. Además como c y d so dferetes de cero, el cetro de l elpse est fuer del orge de coordeds. Eemplo : Dd l ecucó y 0 y 0. Idetfcr los prámetros y hcer u bosqueo de l gráfc. Solucó: Como = y b = y co sgos gules, correspode u elpse. Pr detfcr los prámetros, se debe llevr l ecucó geerl l cóc, vemos cómo se hce este procedmeto. Agrupmos ls vrbles: ( 0) (y y) Fctorzmos pr obteer l vrble l cudrdo co coefcete uo. ( ) ( y y) Completmos cudrdos e mbs vrbles. Recordemos que esto se hce dvdedo el coefcete de l vrble lel e y elevdo l cudrdo. ( ( ) ) ( y y ( ) ) ( ) ( ) Recordemos que lo dcodo u ldo, se debe dcor l otro ldo de l ecucó, pr que est o se ltere. Operdo: ( 9) ( y y ) (9) () ( 9) ( y y ) 0 Desrrolldo los tromos cudrdos perfectos: ( ) ( y ) 0 Dvdmos todo por 0, pr que el cocete se gul uo. ( ) ( y ) 0 0 Smplfcdo: ( ) ( y ) L últm ecucó es l cóc. Recordemos que > b, luego >, etoces el ee myor es prlelo l ee y. Cetro: (, -) Como 8

59 b b c b Dstc focl: c = Focos: (, -) y F (, -) LA PARÁBOLA: El procedmeto pr obteer l ecucó geerl de l prábol es smlr l relzdo e los csos terores. DEFINICIÓN: Tod ecucó de l form by c dy k 0 correspode u prábol, sempre y cudo o ó b o. S c y d so cero, el vértce de l prábol est e el orge de coordeds. Eemplo : Se l prábol co ecucó cóc: y 8 geerl. Solucó: Desrrollmos el producto otble. y y 9 8 Igulmos todo cero. y y y y 8 0. Hllr l ecucó E este cso, = 0 y b =, y que o prece térmo e. Como c = 8 y d = -, el vértce de l prábol est fur del orge. Eemplo : Hllr l ecucó geerl de l prábol co vértce e (-, ) y foco e (0, ). Solucó: Prmero debemos obteer l ecucó cóc. Como el vértce y foco cocde sobre el ee, etoces l prábol tedrá como ecucó cóc: y k p( h ) 9

60 L dstc focl p = 0 (-) =. Etoces reemplzdo: y ()( ( )) y 8( ) Operdo l últm ecucó, se obtee l geerl. y y 8 Reorgzdo los térmos: y y 8 0 y y 8 0 Pr este cso: = 0 y b =. Como c y d so dferetes de cero, el vértce est fur del orge de coordeds. Eemplo : Dd l ecucó de l prábol: y 0. Idetfcr los prámetros y hcer u bosqueo de l grfc. Solucó: Debemos trsformr l ecucó geerl e l cóc, lo que se hce grupdo ls vrbles y completdo cudrdos dode se requer. ( ) y 0 ( 9) y ( ) y 9 ( ) y ustdo l últm ecucó l form cóc: ( ) ( y ) p =, etoces: p = 9 LA HIPERBOLA: Sguedo los msmos rgumetos utlzdos e ls csos terores: DEFINICIÓN: Tod ecucó de l form by c dy k 0 correspode u Hpérbol, sempre y cudo o, b o, b ; demás, debe teer sgos cotrros. Cudo c y / o d so dferetes de cero, el cetro de l hpérbol est fuer del orge de coordeds. Eemplo : Se l ecucó cóc de l hpérbol: ecucó geerl. y. Idetfcr l 0

61 Solucó: De l ecucó cóc, buscmos el dvsor comú que pr este cso es y desrrollmos sí: y y Desrrollmos los prétess: ( ) ( y y ) y y 0 Reorgzdo se obtee l ecucó: y y 0 y y 0 E l últm ecucó se observ que = y b = -. c = y d =, como c y d dferetes de cero, el cetro de l hpérbol est fuer del orge de coordeds. Eemplo : Ecotrr l ecucó geerl de l hpérbol que tee focos e (±, 0) y =. Solucó: Segú los dtos c = y =. Etoces: b c El cetro est e (0, 0). El vértce V(±, 0). El ee trsverso es y = 0 L ecucó es de l form: h y k b Reemplzdo: 0 y 0 y A prtr de ést, se puede obteer l ecucó geerl. y y y Flmete: y y 0 Vemos que =, b = -. E este cso c = 0 y d = 0, etoces el cetro estrá e el orge de coordeds.

62 EJERCICIOS Dd l ecucó de segudo grdo, detfcr los prámetros y u bosqueo de l gráfc.. y y 0 Rt: Prábol. V(-, ) F(-, /) Ee: = - Drectrz: y = /. y y 0 Rt: Crcuferec. C(, -) y R = 7. y y 9 0 Rt: Hpérbol. C(-, ), V(-, ) y V((-, ) F (, ). y 0 y 0 Rt: Elpse. C(, ), V(, ±), F (, ). y y 0 Rt: Crcuferec. C(, ), R 70. y 8y 0 Rt: Hpérbol. C(, ),V(±, ), F (,) 7. 8y 0 Rt: Prábol. V(-, ), F(-, ). Ee: y =. Drectrz: = y 0y 0 Rt: Elpse. C(-, ), F(-, ) y (, ), V ( 8,))

63 APLICACIÓN DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA L geometrí lítc es u fuerte herrmet mtemátc pr resolver problems de ls dverss áres del coocmeto. Iclmete es pertete teer e cuet los prcpos y crcterístcs de cd fgur, co el f de sber cul utlzr segú el problem presetdo. Los eemplos que se propoe solo so u motvcó pr que co bueos rgumetos mtemátcos, lgo de stuc y te todo bue setdo lógco, se pued resolver problems dode l geometrí lítc es protgost. A cotucó se d lguos lemetos que puede servr pr resolver problems de Geometrí Alítc.. Leer el problem ls veces que se ecesro hst eteder que se debe hcer y cómo hcerlo.. Determr l fgur que más se dpt l problem, detfcdo los dtos ddos y los dtos clculr.. Ecr los dtos; segú el problem, e l ecucó pertete pr relzr ls opercoes requerds.. Obteer el vlor ls preguts plteds y sí resolver el problem. Eemplo : Se dese costrur u vet de form semcrculr, cuy bse debe medr metros. Cuáto mterl se requere pr el cotoro de l msm? Solucó: De form semcrculr sgfc med crcuferec. Así el mterl requerdo es pr l mtd de u crcuferec más l bse que y se sbe sus logtud. Logtud de l crcuferec: L R El dámetro es D =, luego R =. Etoces: L () Pero es med crcuferec, sí: L El cotoro pr hcer l vet requere ( ) metros. Eemplo : E l tbl dut se muestr los dtos de los costos de publcdd de 0 segudos e mles de pesos, e u horro de med stoí. -) Idetfcr el grfco que muestr el comportmeto de los dtos. X (Años) Y (Costo)

64 C OSTO b-) Obteer el modelo mtemátco más decudo segú el gráfco obtedo. c-) Co el modelo obtedo, proostcr el vlor de l publcdd pr los ños.98 y.99 Solucó: -) PUBLICIDAD AÑOS b-) Segú l gráfc se observ que l tedec de los dtos e u rect, luego el modelo que vmos dseñr es el de u rect. y m b Lo prmero que debemos hllr es l pedete. m. Vemos como se hce. P (980, ) y P (98, 8) 8 70 m P (987, 80) y P (99, 0) m P (99, ) y P (000, 9) 9 70 m , 7, Clculmos l pedete promedo: m. Como y teemos l pedete, hor clculmos el vlor de b que est e l ecucó. y. b, tommos culquer puto, dgmos P (980, ) luego:.(980) b b. 08, Flmete el modelo será de l form: y..08,

65 c-) Co el modelo obtedo: pr el ño 98. y.(98).08, 7, Pr el ño 99. y.(99).08,, Eemplo : El plet Mercuro se mueve de form elíptc lrededor del sol, co u ecetrcdd de 0,0. El ee myor es de 0,77 U. A. (Uddes Astroómcs), Cuál será l dstc mám etre Mercuro y el Sol? Solucó: L elpse l ecetrcdd es de l form: c b e Etoces: c e El sol est ubcdo e el foco F. Como = 0,77 U. A. Etoces = 0,87 U. A. Pr clculr c podemos plcr l fórmul de ecetrcdd. c = e = 0,87 0,0 = 0,0797 L myor dstc etre el sol y mercuro es FV ; es decr, + c Así dstc mám: 0,87 + 0,079 = 0, U. A. Eemplo : Ls señles de u stélte so recbds e u te prbólc y refleds e u solo puto, dode est ubcdo el receptor de señles. L te mde metros de dámetros y,8 metros de profuddd. e qué poscó se debe colocr el receptor tomdo como bse el vértce del dsco. Solucó: L fgur os lustr el proceso. L ecucó que se dpt l fgur es de l form: py Co el puto que se cooce se reemplz e l ecucó: () p(,8) Despemos P pr obteer: P = 0,80