UNIVERSIDAD NACIONAL DE FRONTERA CEPREUNF CICLO REGULAR

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1 SEMANA CURS: MATEMÁTICA TEMA: RESLUCIÓN DE TRIÁNGULS-INTRDUCCIÓN A LA GEMETRÍA ANALÍTICA RESLUCIÓN DE TRIÁNGULS ÁNGULS VERTICALES HRIZNTALES. ÁNGULS VERTICALES: So quellos águlos que se form e el plo verticl etre u líe horizotl u líe de mir (visul)... Águlos de Elevció: Es u águlo verticl que está formdo por u líe que ps por el ojo del oservdor su líe visul por ecim de está... Águlos de Depresió: Es u águlo verticl que está formdo por u líe que ps por el ojo del oservdor su líe visul por dejo de está.. ÁNGULS HRIZNTALES: So quellos que se form e el plo horizotl so estudidos co l Ros Náutic... Ros Náutic: Es quel istrumeto que cosider l águlo trigoométrico de u vuelt dividid e prtes igules, siedo l mgitud de cd prte º5 N S. LEES TRIGNMÉTRICAS Visul Horizotl Horizotl Visul N S NE SE E.. Le de Seos: E todo triágulo los ldos so directmete proporcioles los seos de sus águlos, siedo l rzó de proporció igul l diámetro de l circufereci circuscrit dicho triágulo. = R SeA = R SeB c = R SeC.. Le de Coseos: E todo triágulo, el cudrdo de u ldo es igul l sum de los cudrdos de los otros dos ldos, meos el dole producto de ellos multiplicdo por el coseo que form. A = + c c CosA = + c c CosB c = + CosC.. Le de Tgetes: E todo triágulo, l sum dedos ldos es l difereci, como l tgete de l semisum de los águlos opuestos estos ldos es l tgete de l semidifereci de los mismos. A CUESTINARI PARTE I c A c A B Tg A B Tg. El águlo de elevció co el cuál se oserv l prte superior de u edificio es 0º, cercádose c B R B B C C C Sdovlich, Hugo Aleis

2 50m el uevo águlo de elevció es el dole del iicil. Clculr l ltur del edificio. )5 m )5m c) 50 m d) 50m e) 0 m. Desde lo lto de u torre de 60m de ltur se oserv u piedr e el suelo co u águlo de depresió de 5º. A qué distci de l torre se ecuetr l piedr? ) 40m ) 46m c) 45m d) 48m e) 4m. U perso de m de ltur oserv l prte más lt de u torre co u águlo de elevció de 0º. A qué distci se ecuetr de l se de l torre, si est mide 8m.? ) 80m ) 6 80 m d)8 m c) m e) 8m 4. De l orill de u río se oserv l prte más lt de u árol e l orill opuest co u águlo de elevció de 60º. Alejádose 0m, el uevo águlo es 0º. Hllr l ltur del árol el cho del río. ) 5 0m ) 0 0m c) 5 5m d) 0 0m e) 0 5m 5. Desde l prte más lt de u edificio se oserv dos putos A B e el suelo co u águlo de depresió de 7º 5º. Se pide hllr l distci etre estos dos putos, si l ltur del edificio es de 0m. ) 0m ) 80m c) 00m d) 90m e) 70m 6. U perso oserv l prte superior de u edificio co u águlo de elevció de 7º. Redirige hci el edificio cudo h cmido 8m el uevo águlo de elevció es de 45º. Cuátos metros más dee cmir pr que el águlo de elevció se de 5º? ) 5m ) 6m c) 7m d) 8m e) 9m 7. Desde el Puto medio de l distci etre los pies de dos torres los águlos de elevció so 7º 5º, l ltur de l torre más lt es l ltur de l torre j como: ) 5 9 ) 7 6 c) 6 9 d) 6 e) Cudo oservmos u torre desde u puto distte m más que su ltur, el águlo de elevció es, pero si es oservd de otro puto distte m meos que su ltur, el águlo de elevció es. Hllr l ltur de l torre e metros. ) d) + 7 ) + 8 e) + 9. E u triágulo ABC, si BC=, m B=60º m A = 45º. Clculr el ldo AC. ) ) d) e) c) 0. E u triágulo ABC, se tiee que = = m C = 75º. Hllr AB ) ) d) + e) 6 c) 6 - c). Ecotrr CosQ Q, e u triágulo PQR, si p = -, q = 6 r = + ) ½ 60º ) ½ 90º c)/ 60º d) / 0º e) ½ 0º. E u triágulo ABC, hllr el ldo AB, si m B=7º, m C=45º AC=m ) 0 ) 0 d) 4 e) 4. E u triágulo ABC, se cumple que = + c c. Hllr el águlo A. ) 0º ) 60º c) 90º d) 0º e) 50º 4. E u triágulo ABC, se cumple que: CosC + ccosa + ccosb = 0. Hllr E = + + c ) 0 ) 0 c) 0 d) 40 e) Se el triágulo MNR, el águlo M es 0º el águlo N es 5º, m = + = +. Hllr. ) / ) / c) ½ d) / e) 4/ 6. E u triágulo ABC, hllr el coseo del águlo B, si = 5, = 7, c = ) ½ ) c) d) -/ e), c) Sdovlich, Hugo Aleis

3 7. A 0 metros del pie de u edificio su águlo de elevció es de 60º Cuál es l ltur del edificio? 80 ) 40 m d) 0 m m ) 60 e) 5 m. m c) o : águlo de iclició de. : águlo de iclició de. 8. U te se ecuetr situd e lo lto de u edificio de 8 metros de ltur. Si u homre ve co u águlo de 5º l te co u águlo de 45º el edificio. Hllr l ltur de l te. ) 6m ) 8m c) 0 m d) 6 m e) 0m 9. Los ldos de u triágulo ABC; so: = 7; = 5 c = 6. Reducir: SeA SeC E SeC SeB ) ) c) d) 5 e) 6 0. E u triágulo se tiee por ldos 5; 7 9. Hllr el coseo del meor águlo. ) 0,79 ) 0,8 c) 0,89 d) 0,78 e) - Evidetemete, ó puede teer culquier vlor compredido etre 0º 80º. PENDIENTE DE UNA RECTA: Se llm pediete o coeficiete gulr de u rect l tgete de su águlo de iclició. L pediete de u rect se desig comúmete por l letr m. m = tg servcioes ) Si es gudo, l pediete es positiv (m > 0) ) Si es otuso, l pediete es egtiv (m < 0) ) Tod rect perpediculr l eje o tiee pediete 4) L pediete de dos rects horizotles es igul cero. INTRDUCCIÓN A LA GEMETRÍA ANALÍTICA DISTANCIA ENTRE DS PUNTS DEL PLAN CARTESIAN Ddos los putos P(; ) Q(; ) del plo crtesio. d ( P, Q ) Puto medio: Ddos los putos P(; ) Q(; ) del plo crtesio. M puto medio etre P Q. (0,) (0,) M= P(, ) Q(, ) (, 0) (, 0) ÁNGUL DE INCLINACIÓN Se llm águlo de iclició de u rect, l águlo formdo por l prte positiv del eje l rect, cudo ést se cosider dirigid hci rri ÁREA DE UNA REGIÓN PLIGNAL Se A A A A4...A, u polígoo cuos vértices, omrdos e setido tihorrio, tiee coordeds. : A(, ) ; A(, ) ; A(, ),...; A(, ) Etoces, el áre de l regió poligol correspodiete, es el vlor soluto de l epresió: A A RECTAS PARALELAS L codició ecesri suficiete pr que dos rects se prlels es que sus pedietes se igules. Si L// L, etoces : = tg = tg ó m m l l 0 Sdovlich, Hugo Aleis

4 Rects Perpediculres L codició ecesri suficiete pr que dos rects se perpediculres etre sí, es que el producto de sus pedietes se igul IV. Dode: m = : m pediete + dd : orded e el orige P: puto culquier Ecució simétric de l rect P(0, ) 0 Si : L L, etoces : Q(, 0) m. l m l Ecucioes de l rect I. Ecució de l rect que ps por u puto tiee u pediete dd. P(, ) Dode 0 0 II. III. Dode: m : pediete P =puto de pso p=puto culquier A est ecució tmié se le cooce como; FRMA PUNT PENDIENTE. Ecució de l rect coocidos dos putos de pso P(, ) ( ) Dode: Pediete : Putos de pso: P P Puto culquier: P = m( ) P(, ) P(, ) Form pediete itersecció L P(, ) Cocepto: U circufereci es el lugr de los putos de u plo situdo u distci dd de u puto fijo. Se C(h, k) el puto fijo, cetro de l circufereci, r, l distci dd, rdio de l mism. Desigemos por P(, ) u puto culquier de l curv; es decir, CP r ó ( h) ( k) r ó, ( h) ( k) r Form cóic de l ecució de l circufereci Se refiere l sistem crtesio rectgulr determido por dos ejes perpediculres etre sí, solo es u cso prticulr e que el cetro C está e el orige. Como C(0, 0) l ecució será: + = r PARÁBLA ECUACINES CANÓNICAS DE LA PARÁBLA ) Si el eje de l práol coicide co el eje. P > 0 ; CIRCUNFERENCIA = 4p ECUACIÓN CANÓNICA ) Si el eje de l práol coicide co el eje. Q (0, ) P (, ) P > 0 ; = 4p ECUACIÓN CANÓNICA Sdovlich, Hugo Aleis 4

5 TEREMA : L ecució de l práol co vértice V= (h; k), co eje prlelo l eje co p como distci dirigid del vértice l foco, está dd por: TEREMA L ecució de l práol co vértice V= (h; k), co eje prlelo el eje co p como distci dirigid del vértice (V) l foco (F) está dd por: CUESTINARI PARTE II. Hllr l distci etre los putos A(-4; - ) B(8; ) ) 0 ) c) d) 4 e) 5. Hllr ls coordeds del puto medio del segmeto AB, siedo A(-;4) B (5; ) )(; ) )(; ) c)(4; ) d)(; 4) e)(0; ). L distci del puto (;6) l puto (;-4) es 0. Hllr el vlor de. ) ) c) d) 4 e) 5 4. Hllr el perímetro de u triágulo cuos vértices so A( - ; ), B(; 5) C(; - ) ) 5( + )u ) 5( + )u c) 5( + )u d) 5(4 + )u e) 5(5 + )u 5. A prtir del gráfico clculr m + ) 5 ) 6 c) 7 d) 8 e) 4 ( k) = 4p( h) ( h) = 4p( k) B(, 8) A(-; m ) 6. Hllr el áre de l regió formd por A (5; 0), B(;4), C(-4; ) D( - 4; - 4) ) 4u ) 4u c) 4u d) 44u e) 45u C(; m + ) 7. Dos vértices opuestos de u cudrdo ABCD so: A(-; ) C(4; ). Hllr el áre de l regió de dicho cudrdo. ) 50u ) 40u c) 5u d) 5u e) 0u 8. Hllr el águlo de iclició de u rect L que ps por A(-; ) B(; 5) ) 5º ) 0º c) 7º d) 45º e) 5 9. U rect cu m=/ ps por lo putos P(0; 6) Q(; ). Clculr el vlor de. ) ) 4 c) 6 d) 8 e) 0 0. Hllr el vlor de pr que ls rects. L: = 0; L: + 7 = 0 Se prlels. ) ) c) d) 4 e) 5. Hllr l ecució de u rect que ps por el puto P(; ) es perpediculr l rect de ecució += 0 ) + = 0 ) + 9 = 0 c) + 7 = 0 d) + 5 = 0 e) + = 0. Hllr l ecució de u rect que ps por l itersecció de ls rects L: = + 6 ; L: - + = 0 tiee pediete m = - ) + = 0 ) + = 0 c) + + = 0 d) + + = 0 e) = 0. Hllr l ecució de l rect que ps por P(; ) tiee pediete m =. ) = + ) = c) = + d) = e) = + 4. Determir el cetro rdio de l circufereci: C={(;)ЄR,R/(-) +(+) =} ) (;-) ) (;) c) (;-) d) (;) e) (;-) 5. Determir l ecució de l circufereci de cetro C(;) que ps por el puto P(5;7). ) (-) +(+) =6 ) (-) +(-) =5 c) (+) +(-6) =5 d) (+) +(+) =5 e) (-) +(-6) =5 6. Determir el cetro rdio de l circufereci de ecució: =0 ) (;-) ) (/;-) c) (-/;) d) (/;-) e) (/;) Sdovlich, Hugo Aleis 5

6 Sdovlich, Hugo Aleis 6