REPASO GENERAL PSU Sugerencia: Siempre que resuelvas un ejercicio de porcentaje y obtengan un resultado, vuelve

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1 REPASO GENERAL PSU Estimdos lumos: Les he preprdo este repso como u últim ctividd pr relizr tes de efretr l Prueb de Selecció Uiversitri P.S.U. Mtemátic. E él se ecuetr l myorí de ls coteidos icorpordos e l prueb y pr u myor compresió de sus pliccioes, he gregdo lguos ejercicios resueltos, optdo especilmete por quellos que h slido e los esyos oficiles publicdos por el DEMRE. Espero que este mteril sirv como u últim revisió tes de redir l PSU, el que reforzrá los coocimietos que hs dquirido trs ños de estudio e l eseñz medi. Números y Proporciolidd Lo primero es recordr ls equivlecis más utilizds etre frccioes, decimles y porcetje: 0, 0% 0, % 0, % 0, 0% 0,,% 0, 0% 8 0 0,7 7%. A) B) 6 D) 0 C) 6 E) 0 El orde de resolució es muy importte pr o equivocrse. Resolvmos 6 6 L ltertiv B es l correct.. A) 0,7 0, B) C) 6 8 D) E) L ltertiv correct es B. Porcetje: % 00 b % del b% de c= c Sugereci: Siempre que resuelvs u ejercicio de porcetje y obteg u resultdo, vuelve leer lo que te pregut pr que o te equivoques l respoder por lgo que o te estb cosultdo. (Muy comú e %). E u curso de lumos 8 de ellos fltro clses. Qué porcetje sistió? A) 7% B) % C) % D) 0,% E) 0,7% Lo típico es que se pltee que l 00% obteiédose pr = %, que 8l obvimete está e ls ltertivs, pero que o es lo que pregut, cuiddo! L ltertiv correct es A y que se pregut por el porcetje de sisteci.. E u supermercdo hy supervisores, cjeros y repoedores. Si el 60% de los trbjdores so repoedores, 8 so supervisores y éstos so u tercio de los cjeros, cuál es el totl de trbjdores? A) 08 B) 7 C) 80 D) 90 E) 8 so supervisores, por lo tto los cjeros so. E totl, 7 trbjdores que correspode l 0%. Luego se clcul el 00% L ltertiv correct es C. Regulriddes Se trt de obteer u ptró o regl de formció pr resolver u situció problemátic. Ejemplo: Cuátos triágulos se form co 7 fósforos si se sigue co l secueci de l figur? A) 0 B) C) D) 6 E) Debemos fijros que pr formr el primer triágulo (T) se ecesit fósforos, pr formr triágulos, fósforos y pr tres triágulos, 7 fósforos. Se v obteiedo úmeros impres, comezdo desde el, lo cul se puede represetr como T +, o se F=T+. Luego co 7 fósforos teemos 7=T+, de dode T=. Altertiv correct C.. Ls siguietes figurs está formds por triágulos equiláteros cogruetes Cuátos triágulos se ecesit pr costruir l - ésim figur? A) B) C) D) E) L ltertiv correct es E.

2 . L ctidd de cubos de cuerdo los escloes que se quiere obteer (), está dd por l fórmul ( ). Cuátos cubos se ecesitrá pr que l escler teg peldños? A) 0 B) 0 C) D) 9 E) 8 Bst co reemplzr por. L ltertiv correct es B Iterés simple C = K + Kr, dode K es el cpitl iicil, los períodos, C cpitl cumuldo y r l ts de iterés simple. Iterés compuesto C = K ( + i) dode K es el cpitl iicil, los períodos, C cpitl cumuldo e i l ts de iterés compuesto. *** Ejercicio PSU ***. Si $ se ivierte l 0% de iterés compuesto ul, cuál es el cpitl totl después de dos ños? A) $ B) $ C) $ D) $ E) $ Aplicmos l fórmul que permite clculr el iterés compuesto ul, sbiedo que 0%=0, o se C , C 0.000, C 0.000, C= L ltertiv B es l correct.. U perso deposit $.000 y e tres ños g $7,. Clculr el iterés simple ul. A) % B),% C),% D),7% E),7%.7, = r. Se clcul el iterés r e form deciml y luego como porcetje.. L ltertiv correct es B Proporciolidd Direct: (Dividir) b Proporciolidd Ivers: (Multiplicr) b = k Pr mbos csos, k recibe el ombre de costte de proporciolidd. k. y es iversmete proporciol l cudrdo de, cudo y = 6, =. Si = 8, etoces y = A) B) C) D) E) 9 Como y es iversmete proporciol l cudrdo de, etoces y = k reemplzdo se obtiee 6 = k, de dode k = 6. Etoces si = 8, result y 8 = 6, o 6 se 6y=6 dode y. Altertiv B. 6. Dos electricists hce u trbjo e 6 dís, trbjdo 8 hors diris. Cuál(es) de ls siguietes firmcioes es(so) verdder(s)? I. electricists hrá el trbjo e dís, trbjdo 8 hors diris. II. Los electricists y ls hors so directmete proporcioles. III. L costte de proporciolidd es. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III L ltertiv correct es A.. Dd l siguiete tbl: Cuál(es) de ls siguietes firmcioes es(so) verdder(s)?: I. A y B so directmete proporcioles. II. El vlor de es. III. L costte de proporciolidd ivers es 0. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III L ltertiv correct es D. Cudrdo del Biomio: ( + b) = + b + b ( - b) = - b + b Sum por Difereci: ( + b)( b) = b + b b = b w w w. A) w w B) w w C) w w D) w w E) w w Resolvemos el cudrdo de biomio y l sum por su difereci, obteiédose:

3 9w w (w 9) = Se resuelve el prétesis. Cuiddo co los sigos! 9w w 8w 8= w w Altertiv B.. Dd l siguiete figur: Se sbe que y b so positivos y > b. Cuál(es) de ls siguietes firmcioes es(so) verdder(s)? I. El áre del cudrdo de ldo ( + b) es igul l áre churd. II. ( + b)( - b) es igul l difereci de ls áres del cudrdo de ldo y el de ldo b. III. ( + b) > + b A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III FACTORIZAR U poliomio cuyos térmios tiee u fctor comú. m - my + mz = m( - y + z ) U triomio cudrdo perfecto. b + b =( b) Fctorizció de l difereci de dos cudrdos - b = ( + b)( - b) Fctorizr triomio de l form +m+. + ( + b) + b = ( + )( + b). Cuál(es) de ls epresioes siguietes es(so) divisor(es) de l epresió lgebric 6 0? I) II) ( ) III) ( + ) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III Geerlmete los lumos respode l ltertiv A, y que se d cuet que todos los térmios del triomio so múltiplos de, pero o cosider que se puede fctorizr y obteer que: 6 0 ( 0) ( )( ). Por lo tto l ltertiv correct es E. ECUACION DE LA RECTA Form Pricipl: y = m + Dode m correspode l pediete de l rect y es el coeficiete de posició. Si m > 0 l rect se icli l derech. Si m < 0 l rect se icli hci l izquierd. Si m = 0, l rect es prlel l eje. Si m =, l rect es prlel l eje y. Form Geerl: + by + c = 0, dode l pediete m y el coeficiete de posició b c b Pediete ddo dos putos: (,y ) y (,y ) m Ecució de l rect que ps por dos putos y y y y y Ecució de l rect ddo puto-pediete y y - y = m( - ) Rects Prlels L : y = m + L : y = m +, Etoces L // L sí y sólo si m = m ; Rects Coicidetes L : y = m + L : y = m +, L coicidete co L sí y sólo si m = m y = Rects Perpediculres L : y = m + L : y = m +, L L sí y sólo si m m = -. L ecució de l rect que ps por el puto (,-) y que es prlel co l rect +y =0, es: A) +y+=0 B) +y+9=0 C) +y+=0 D) +y+9=0 E) +y+=0 Al despejr y de l rect dd se obtiee y, o se l pediete es /. Etoces l rect pedid tmbié pediete -/ por ser prlels y como ps por el puto (,-) qued determid por l fórmul puto pediete, y ( ) que l resolver result +y+9=0. L ltertiv B es correct.

4 . Determir el vlor de K pr que ls rects y + = K y = -K y se perpediculres. A) K = / B) K = / C) K = -/ D) K = / E) K = - Se despej y de mbs ecucioes. Luego y = K- ; y = --K. Se multiplic ls pedietes de cd rect iguldo -, y que debe ser perpediculres, obteiédose K (-) = -. Luego K=/. L ltertiv B es l correct.. Dd l rect L, dode y b so positivos, cuál(es) de ls siguietes firmcioes es(so) verdder(s)? I. L pediete de l rect L es egtiv. II. El puto (, b) perteece l rect. III. L rect L es perpediculr l rect y b A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III Como se tiee dos putos de l rect, se puede determir su pediete, tmbié su ecució. L ltertiv correct es D. FUNCIÓN PARTE ENTERA (o Esclod) Pr todo úmero rel, se puede ecotrr u úmero etero, tl que cumple co ls siguietes propieddes: El úmero esté etre y + Si < + [] = E otrs plbrs, l prte eter de u úmero es el etero meor más cerco l úmero. A l fució y() = [], se l llm Fució prte eter. Ej:,7 ;, ; cuiddo co esto!:,7 y que -,7 está etre - y -, y el resultdo debe ser el etero meor, o se -. Gráfic de l fució prte eter I) Ps por el orige (0,0). II) Tiee más de u puto e el eje. III) Itersect l eje e (,0) Es(so) fls(s) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III. U tist tiee u cobro fijo de $0 y cobr, demás, $00 por cd kilómetro recorrido. Ecotrr l fució que relcio el vlor (y) y los kilómetros recorridos () A) y 0 00 B) y 0 00 C) y 0 00 D) y 0 00 E) y 0 00 L ltertiv correct es A FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO Se defie: y = si 0 - si < 0 esto es equivlete escribir y = 7 7 Ej: 7 Gráfic de l fució vlor bsoluto. Dd l fució f() f(-)= A) 6 B) C) D) etoces E) Otro vlor 6. Cuál es l epresió que represet l fució vlor bsoluto de l figur? A) y B) y C) y D) y E) y y. Del gráfico de l fució f() = [ + ] +, se firm: L ltertiv correct es A.

5 PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS m m : m m 0 ; 0, 0 cosiderr que m m b. A) B) C) 7 7 L ltertiv correct es B. b D) 7 0, b 0 E). Cuál de ls siguietes igulddes es(so) correct(s) cudo = -? I. 6 II. III. 6 A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III L ltertiv correct es E.. Si = -, etoces el vlor de es: A) B) C) 0 D) E) 7 L ltertiv correct es A. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Producto y divisió de ríces Del mismo ídice: De distito ídice Ríz de u ríz m m b b b b m b b m. A) B) C) 6 8 D) 6 E) 6 Altertiv B Si t, etoces el vlor de t es: A) B) C) D) 0 E) - Primero determiemos t, elevdo mbos ldos de l ecució. Lo pricipl es drse cuet que el ldo izquierdo es u biomio, por lo tto: t Se desrroll el cudrdo del biomio: Se reduce los térmios semejtes y multiplicmos ls ríces: t = t = t t Nos pregut por t, por lo tto l respuest es = 0. Altertiv D A) D) E) 9 = B) 9 9 L ltertiv correct es E. C). úmero: es u A) rciol positivo B) rciol egtivo C) irrciol positivo D) irrciol egtivo E) o rel ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )( ) 8( ) 8( ) L ltertiv correct es D. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

6 Si + b + c = 0, etoces b b c Ls ríces (o solucioes) de l ecució ( )=0 so A) y 0 B) y 0 C) y D) y E) y Se efectú el producto y se obtiee que = 0, o se 0 = Etoces de dode = y = -. Altertiv E. Sum de ls solucioes o ríces de u ecució de segudo grdo: b Producto de ls solucioes o ríces de u ecució de segudo grdo: *** Ejercicio PSU *** Si = es u solució (ríz) de l ecució + + c = 0, cuál es el vlor de c? A) - B) -8 C) - D) E) Al ser = u solució, este vlor puede ser reemplzdo e l ecució obteiédose + + c = 0 de dode c = -9 = -. Altertiv A. c FUNCIÓN CUADRÁTICA f() = + b + c Su gráfic correspode u PARÁBOLA. Cocvidd El coeficiete idic si ls rms de l prábol se bre hci rrib (>0) o hci bjo (<0) Vértice Pr determir el vértice es coveiete b determir primero, posteriormete se reemplz el vlor obteido e l fució pr clculr el vlor y. Eje de simetrí de l prábol b Correspode l rect, prlel l eje y. Si >0 y b>0 el eje de simetrí está l izquierd del eje. Si >0 y b<0 el eje de simetrí está l derech del eje. Si <0 y b>0 el eje de simetrí está l derech del eje. Si <0 y b<0 el eje de simetrí está l izquierd del eje. Itersecció co los ejes L itersecció co el eje y l d el coeficiete c y correspode l puto (0, c). L itersecció co el eje está determid por el vlor del discrimite b -c. Si b -c>0, l prábol itersect e dos putos l eje. Si b -c=0, l prábol itersect e u puto l eje. Si b -c<0, l prábol o itersect l eje.. Cosidere l prábol y ( ) Cuál(es) de ls siguietes firmcioes es(so) verdder(s)? I) L prábol se bre hci rrib. II) Su vértice se ecuetr e (, 0). III) Su eje de simetrí es =. A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III Resolvmos: y ( ) ( ) I. Se cumple y que el coeficiete es myor que 0. II. Se cumple. Bst co reemplzr por e l ecució origil y el resultdo es 0. III. Se cumple. El eje de simetrí es b. L ltertiv es E.. Segú l ecució y es correcto firmr que: I. Si >, eiste iterseccioes co el eje II. Si =, eiste itersecció co el eje III. Si <, o hy itersecció co el eje A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III L ltertiv correct es B.. Dd l siguiete figur: Cuál es l ecució que mejor represet l gráfico de l figur? A) y= B) y= C) y= D) y= E) y= 6

7 L ltertiv correct es E. TRIGONOMETRÍA A) B) C) D) E) E u triágulo rectágulo se cumple que: ( águlo gudo) ctetoopuesto se hipoteus cos tg ctg sec cosec ctetodycete hipoteus ctetoopuesto ctetodycete ctetodycete ctetoopuesto hipoteus ctetodycete hipoteus ctetoopuesto IDENTIDADES FUNDAMENTALES. sec. cosec cos se se cos. tg. ctg cos se. se cos 6. sec tg 7. cos ec ctg ALGUNAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CONOCIDAS se 0 cos tg 0 0º 0º º 60º 90º 0 Como teemos los ctetos, podemos obteer l hipoteus trvés del teorem de Pitágors., de dode =. El coseo del águlo meor (opuesto l ldo meor) es. Altertiv B.. U rtó observ u águil e l cop de u árbol co u águlo de elevció de 70º. Si l distci del rtó l árbol es m., determir l distci etre el águil y el rtó. A) D) t70º se70º B) E) cos 70º t70º L ltertiv correct es B.. Dd l siguiete figur Es verddero que: I. II. III. se cos tg 9 9 C) se70º A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III L ltertiv correct es E. LOGARITMOS Logritmo de bse de u úmero. E l figur, el triágulo ABC es rectágulo log e C, AB= cm. y tg =, B Logritmo del producto de dos úmeros: etoces BC = A) cm B) cm. A C 0 C) cm D) cm. E) cm. p Como tg = =, se plte por Pitágors p que 9p p de dode p. Luego BC L ltertiv B es correct.. Los ctetos de u triágulo rectágulo mide cm. y cm., etoces el coseo del águlo meor es: log(b) = log + logb Logritmo del cociete de dos úmeros: log b log logb Logritmo de u poteci: log Logritmo de u ríz. log log log Logritmo de u úmero, e bse. log 7

8 Cmbio bse 0: log logb logb Vlores de lguos logritmos: log = 0 log 0 = log 00 = log 000 = log 0, = - log 0,0 = - log 0,00 = -. Si log( ), etoces vle A) B) 99 C) Si ) 0 9 D) E) 00 0 log( ) log log(, etoces 00 Etoces 00 de dode = Por lo tto 00 = 99 y = 00 Altertiv C.. Cuál de ls siguietes opcioes es igul log? A) log 6 log B) log 0 + log C) log 6 D) log log log E) log 6 + log Debemos descompoer el de mer coveiete pr obteer l ltertiv correct y e este cso es = 6. Luego log = log (6 ) = log 6 + log. Altertiv correct E. Desigulddes INECUACIONES LINEALES E los úmeros reles se cumple que dos úmeros e y so >y, <y o =y. Ls desigulddes correspode epresioes relciods por los sigos <, >,,. U desiguldd o cmbi l sumrle o restrle u ctidd mbos ldos de ell. Tmpoco cmbi l multiplicrl o dividirl por u rel positivo, pero CAMBIA l multiplicrl o dividirl por u úmero egtivo. Ejemplo: < y si multiplicmos l desiguldd por - se obtiee que - > -. Itervlos Cojuto de úmeros reles los cules puede ser cerrdos, biertos, semibierto o ifiitos. Cerrdo: icluye los vlores etremos,b, o se b. Abierto: No icluye los vlores etremos,b, o se b Semibierto: No icluye uo de los etremos,b Ifiito: Uo de los etremos tiede u vlor ifiito.,b Iecucioes de Primer Grdo Es u desiguldd que cotiee u o más icógits l cul se resuelve plicdo ls propieddes de ls desigulddes. Ejemplo: > 7 > 8 > Solució: perteece l itervlo, *** Ejercicio PSU ***. L solució de l iecució itervlo: A), D), B), E), L ltertiv correct es A. C), 8 es el. Si 0 < <. Cuál de ls siguietes opcioes es verdder? A) B) C) D) > E) Altertiv correct C. Cálculo de probbiliddes P(A) CsosFvorbles CsosPosibles P (A) P(A), siedo P (A) l probbilidd de que o ocurr el suceso A. *** Ejercicio PSU *** Si l probbilidd de que ocurr u suceso es de 0,, cuál es l probbilidd de que el suceso o ocurr? A) 0, B) 0, C) 0,6 D) -0, E) -0, 0, + P (A) =, etoces P (A) = 0, = 0,. Altertiv B. PROBABILIDAD TOTAL Probbilidd de que ocurr el suceso A o el suceso B o mbos sucesos. 8

9 P(A B) P(A) P(B) P(A B) Si los evetos so ecluyetes (A B = ), l probbilidd de que se produzc A o B es: P(A B) P(A) P(B) PROBABILIDAD CONDICIONADA Probbilidd que se de simultáemete dos sucesos: P(A B) P(A) P(B / A) o se l probbilidd de A multiplicd por l probbilidd de B, u vez ocurrido A. Si el suceso B es idepediete de l ocurreci del suceso A, se dice que so evetos idepedietes. E este cso se d que: P(A B) P(A) P(B). Se etre dos crts, u trs otr, si devolució, de u brj de 0 crts. Clculr l probbilidd de que mbs crts se reyes. A) 00 B) C) 0 D) 0 E) 0 L probbilidd de obteer u rey e l primer scd es /0 y luego de etrer otro rey, si devolució, es /9,, por lo tto l probbilidd totl es L ltertiv C es correct.. Se tiee dos urs co bols. L primer cotiee bols blcs y bols egrs; miets que l segud cotiee bols blcs y u bol egr. Si se elige u ur l zr y se etre u bol, cuál es l probbilidd de que l bol etríd se blc? 6 8 A) B) C) D) E) Pr obteer l probbilidd pedid se debe efectur l siguiete operció, dode el / correspode l probbilidd de elegir u de ls urs, el /, de scr u bol blc de l primer ur y el / de scr u bol blc de l segud ur. Altertiv correct: D.. E u cj hy 0 fichs de igul peso y tmño. so rojs, 0 so cfés y 8 so mrills. Cuál es l probbilidd de scr u roj, u cfé, u mrill y uevmete u roj, e ese orde y si reposició? A) B) C) D) E) Altertiv correct E Se tiee 0 fichs co los úmeros:,,, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9. Cuál es l probbilidd de scr u fich co u úmero myor que 6? A) 0, B) 0, C) 0, D) 0, E) Niguo de los vlores teriores. Altertiv correct A.. Se lz dos ddos de distito color. Cuál es l probbilidd de que sume ó? A) 6 7 B) 6 C) 6 Altertiv correct D. D) 6 E) 6 6. U rulet está dividid e 8 sectores igules, umerdos del l 8. Cuál es l probbilidd de obteer u úmero impr y myor que? A) 8 7 D) 8 B) E) 8 C) Altertiv correct B. Estdístic Priciplmete ls preguts está relciods co l Medi (Promedio), l Mod, l Medi. Si teemos los siguietes dtos:, 7, 6, 9,,, 7, 7,, 8. L Medi (Promedio) es , 0 0 L Mod correspode l vlor que más se repite (co myor frecueci), e este cso, el 7. (Puede hber más de u vlor que se mod) Pr obteer l Medi se debe order los dtos e form scedete o descedete, o se,,,, 6, 7, 7, 7, 8, 9. L medi, vlor que divide los dtos e dos prtes igules, está etre 6 y 7 por lo que es 6,.. Ls ots de pblo e Biologí so 6,;,8; 6,7 y 6,7. Qué ot debe obteer Pblo e su quit prueb pr que su promedio fil se u 6,0? A) 7,0 B) 6, C) 6, D) 6,0 E),9 9

10 E totl so ls ots que se debe promedir, de ells coocids, o se 6,,8 6,7 6,7 6,0, de dode, + = 0 = 6,. L ltertiv correct es B.. Ddos los siguietes dtos: d, d, d,, + d, + d, + d co d>0. Cuál(es) de ls siguietes firmcioes es(so) verdder(s)? I) L mod es + d. II) L medi ritmétic es. III) L medi es. Criterio LAL (Ldo-Águlo-Ldo) Dos triágulos so cogruetes si tiee dos ldos cogruetes y el águlo compredido por ellos tmbié cogruete. ABC DEF porque, AB DE; ABC DEF y BC EF. Criterio ALA (Águlo-Ldo-Águlo) Dos triágulos so cogruetes si tiee dos águlos cogruetes y el ldo comú ellos, tmbié cogruete. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III So verdders II y III. E l II se sum todos los dtos se divide por 7 y sí se obtiee que l medi es. L medi correspode l vlor (los dtos y está ordedos). Se compr ptloes $.000, $8.000, $0.000, $0.000 y $.000. Cuál(es) de ls siguietes firmcioes es(so) verdder(s)? I. L mod es $ II. L medi es $0.000 III. El promedio es $ A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III Altertiv correct E. GEOMETRÍA Triágulos cogruetes: U ABC es cogruete co otro DEF si sus ldos respectivos (homólogos) so cogruetes y sus águlos respectivos (homólogos) tmbié los so. GHI JKL porque, GHI JKL; HI KL y HIG KLJ Criterio LLL (Ldo-Ldo-Ldo) Dos triágulos so cogruetes si tiee sus tres ldos respectivmete cogruetes. MNO PQR porque, MN PQ; NO QR y OM RP Criterio LLA (Ldo-Ldo-Águlo) Dos triágulos so cogruetes si tiee dos ldos cogruetes y el águlo opuesto l ldo de myor medid, tmbié cogruete. ACE BDF porque, AC BD; CE DF y CEA DFB, siedo AC y BD los ldos de myor medid.. Los triágulos ABC y DEF de l figur so cogruetes, etoces l medid de EF es: E l figur vemos que AB DE; BC EF; AC DF; y CAB FDE, CBA FED, BCA DFE, etoces el ABC DEF. Pr que dos triágulos se cogruetes, es suficiete que sólo lguos ldos y/o águlos se cogruetes. Ls codicioes requerids pr esto se cooce como criterios de cogrueci y se epres e los siguietes: A B C A) 9 B) C) 7 D) 0 E) Flt iformció Altertiv correct C. D E F 0

11 . E l figur, el ABC DEF, etoces se verific que: A C A) AC DF B) BC DE C) AB FE D) AC FE E) AB FD Altertiv correct A. Trsformcioes Isométrics Trslció: Los pres idic si l trslció es hci l izquierd o hci l derech (bscis del pr) y si l trslció es hci rrib o hci bjo (orded del pr). Rotcioes de u puto (, y) Al rotr: E 90º se trsform e (-y, ) E 80º se trsform e (-, -y) E 70º se trsform e (y, -) E 60º vuelve ser (, y) A l derech (setido horrio), rotció egtiv. A l izquierd (setido tihorrio), rotció positiv. Simetrís (o Refleioes) B Ail: Simetrí co respecto u eje. L refleió de u puto A e toro u rect L, es u puto A tl que AA' L y AP PA'. Si reflejmos el puto A(, y) e toro l eje, obteemos el puto A (, -y). Si reflejmos A(, y) e toro l eje y, obteemos el puto A (-, y). Cetrl: Simetrí co respecto u puto. L refleió de u puto A e toro u puto P, es u puto A tl que A, P y A so colieles y AP PA'. Si reflejmos el puto A(, y) e toro l orige (0,0), se obtiee el puto A (-, -y). Al trsldr el triágulo de vértices A(-,), B(,) y C(,), segú el vector de trslció (,-), el vértice homólogo de B es: A) (,) B) (,) C) (6,0) D) (,-) E) (7,0) Como el vector trslció es (,-) debemos trsldr los putos ddos uiddes l derech y hci bjo. Por cosiguiete el puto B quedrá ubicdo e (6,0). L ltertiv correct es C.. E l figur, ls coordeds del puto A so (-, -), cuál(es) de ls siguietes firmcioes es(so) verdder(s)? D F E I) El puto simétrico de A co respecto l eje y es el puto (, -) II) Al rotr el puto A e 90º e setido horrio, e toro l orige se obtiee el puto (-, ). III) Al trsldr el puto A dos uiddes l derech y uiddes hci rrib, se obtiee el puto (-, ) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III El I es verddero, y que pr que se simétrico co respecto l eje y, debe estr igul distci de éste, pero e setido opuesto. El II es verddero y que l rotr se plic (-y, ) y el III verddero y sólo hy que cotr los espcio pr drse cuet de ello. L ltertiv correct es E.. Cuál(es) de los siguietes polígoos regulres permite() teselr (embldosr) el Plo? I) Petágoos II) Triágulos Equiláteros III) Heágoos A) Sólo II B) Sólo III C) Sólo I y III Pr teselr el plo l uir ls figurs y que o quede huecos etre ells, debe cumplirse que l sum de los águlos e l uió de los vértices debe ser 60º. Por lo tto, cumple co es codició los triágulos equiláteros (60º cd águlo iterior) y los heágoos (0º cd águlo iterior). Los águlos iteriores del petágoo mide 08º, por lo que l uir tres de ellos, complet e los vértices º y o 60º. L ltertiv correct es D.. El triágulo ABC tiee coordeds A(, ), B(-,8) y C(, 7). Si se plic u trslció segú el vector (, -7), ls uevs coordeds del triágulo será: I. A (7,-) II. B (-8, ) III. C (8, 0) A) Sólo II B) Sólo I y II C) Sólo I y III L ltertiv correct es C. Semejz de triágulos Dos triágulos so semejtes si sus águlos so igules uo uo, respectivmete; los

12 ldos opuestos dichos águlos so proporcioles Pr determir l semejz etre dos triágulos eiste tres criterios que so los siguietes: A) 7, cm. B), cm. C) 9, cm. D) 9,7 cm. E), cm. Altertiv correct E. Teorem de Thles Primer Criterio: Águlo Águlo (AA) Dos triágulos so semejtes si tiee dos de sus águlos respectivmete igules. Si se dice que A = D y que el C = F, etoces el ABC DEF Segudo Criterio: Ldo-Águlo-Ldo (LAL) Dos triágulos so semejtes si dos de sus ldos so proporcioles respectivmete y cogruete el águlo que form. AB BC Si se dice que y que B = E, DE EF etoces el ABC DEF Tercer Criterio: Ldo - Ldo - Ldo (LLL) Dos triágulos so semejtes si sus tres ldos so respectivmete proporcioles. Si se dice que DEF C A AB DE B BC CA etoces el ABC EF FD Los triágulos ABC y DEF so semejtes. AB = 6 cm., BC = cm., DE = 0 cm. y DF = 7, cm. Determir AC + EF. F D E Algus proporcioes: PA PB PA PB PA PC ; ; (Est es l AC BD PC PD AB CD pricipl). E el ABC de l figur, se sbe que AB = 8 cm, SP = cm, CB//QR//SP y AP : PR : RB = : :, etoces el vlor de CB es: A) 96 cm B) 7 cm C) 8 cm D) 6 cm E) cm Como AP:PR:RB = :: y AB=8 cm. Etoces AP+AP+AP=8; AP=8. AP AB Luego reemplzdo por los vlores PS BC correspodietes y despejdo CB, se obtiee que su medid es 7 cm. Altertiv correct B.. L figur muestr u rectágulo ABEF co BC=0, CF= y CD=. Cuáto mide el perímetro del trpecio ABCD? A) 6 B) C) 8 D) E) 6 Altertiv correct D. Teorems de l circufereci. El águlo del cetro mide el doble que todos quellos águlos iscritos que subtiede el mismo rco. C A B F D E <AOC = <ABC. Todos los águlos iscritos que subtiede el mismo rco, mide lo mismo.. Todo águlo iscrito e u semicircufereci es recto.. Todo águlo semi-iscrito e u circufereci tiee medid igul l mitd

13 de l medid del águlo del cetro, que subtiede el mismo rco.. L itersecció de u rdio y l tgete l circufereci form u águlo recto.. Si desde u puto se trz dos tgetes u circufereci, los trzos formdos so cogruetes. 6. L medid de u águlo iterior es igul l semisum de ls medids de los rcos correspodietes. AB CD AEB 7. L medid de u águlo eterior es igul l semidifereci de ls medids de los rcos correspodietes. CAD CD BE Proporciolidd e l circufereci Dos cuerds PA PC = PB PD Dos sectes Como AO = OB, por ser rdios, etoces el águlo ABO = º. L ltertiv B es l correct.. Desde u puto distte cm. del cetro de u circufereci se h trzdo ést u tgete de cm de logitud. Determir l medid del diámetro de l circufereci. A),cm B) cm C) cm D) 8cm E) 0cm Se plic el teorem de l tgete y l secte o el teorem de Pitágors, obteiédose que el rdio de l circufereci es cm. Luego el diámetro mide 8 cm. Altertiv D: correct.. E l circufereci de l figur AB // CD. Cuál(es) de ls siguiete firmcioes es(so) verdder(s) I. II. III. 80º A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III Altertiv correct D.. Se tiee el triágulo ABC isósceles rectágulo e A. Sus ctetos mide. AD, DE y DF so rdios de l semicircufereci y DF es perpediculr BC. Cuáto vle el rdio de l semicircufereci iscrit? A) B) PB PA = PD PC U secte y u tgete C) D) E) Altertiv correct C. TEOREMAS DE EUCLIDES CD AD BD C PC = PB PA. E l figur siguiete, AC y BC so tgetes l circufereci de cetro O. Si <ACB = 70, etoces el <ABO = A) 0 B) C) D) E) 70 AC AB AD BC AB BD AC BC CD o se AB ltur A D B cteto cteto hipoteus El águlo ACB = 70º, demás los águlos CBO y CAO, so rectos, obteiédose pr el águlo AOB = 0º.. E l figur 9, si AD = cm y AB = 6 cm, etoces cuáto mide CD?

14 A) cm B) 6 cm C) 6 cm D) 6 cm E) cm Altertiv correct A.. E l circufereci de cetro O, AB es diámetro, CD BD; CD = ; BD =. El rdio es: A) B) C) D) 9 á digol digol Romboide p = + b á = h Trpecio p = + b + c + d e f (bse bse) ltur ( c) h á á = Medi ltur = M h E) 6 Altertiv correct E. Perímetros, Áres y Volumees Triágulo Culquier p = + b + c bse ltur c h á Triágulo Rectágulo p = + b + c cteto cteto b á Circufereci y Círculo p = r á = r Sector Circulr r p r AB r 60 r á 60 Cubo o Heedro: Ortoedro dode ls tres dimesioes so igules. A 6 V Triágulo Equilátero p = á h Prlelepípedo u ortoedro: Prism cuys bses so dos rectágulos. A = (b+c+bc) V = bc Cudrdo p = á = d á Rectágulo p = + b á = ldo ldo = b Rombo Cilidro: Es el Cuerpo geométrico egedrdo por l revolució de u rectágulo lrededor de uo de sus ldos A r( H r) V r H Pirámide: Cuerpo geométrico cuy bse es u polígoo culquier y sus crs lterles triágulos A A bse A lterl V B H p = á = bse ltur = b h

15 Coo: Es el Cuerpo geométrico egedrdo por l revolució de u triágulo rectágulo lrededor de uo A A bse A lterl V r H Esfer: Cuerpo geométrico egedrdo por l revolució complet de u semicírculo lrededor de su diámetro. 0), B = (0,, 0) y C = (0, 0, ). Su áre y su perímetro mide, respectivmete: A) y B) C) y D) E) y y y A R V R. Us pelots se vede e lts de form cilídric que cotiee pelots cd u. Si el diámetro de l lt es de 6 cm. Clculr el volume, e cm, que qued libre e el iterior de u lt. ) 6 b) 6 c) 08 d) e) Niguo de los vlores teriores El volume del cilidro del eucido qued determido por 8 6 y el volume de cd esfer por 6 y como so esfers, Por lo tto, el volume libre l iterior de l lt es 6-08 = cm. L ltertiv D es l correct.. Se tiee u prism cuy bse es u heágoo regulr de ldo prism es A) 9 B) 8 C) 9 D) 9 E) 9 6. L ltur del. Cuál es el volume del prism? Como l bse es u heágoo regulr, est formdo por 6 triágulos equiláteros. Por lo tto su áre es A 6 6 Voume del prism A h = 9 L ltertiv correct es A. Los putos A, B y C está u distci del orige. Por Pitágors se obtiee que AB = BC = AC =, por lo tto el perímetro del triágulo es. Pr determir el áre de este triágulo, que es equilátero, lo hcemos plicdo l fórmul A dode el ldo =. Por lo tto, A. L ltertiv correct es D.. U plo qued determido medite: I. Tres putos culesquier II. U rect y u puto o coteido e ell. III. Dos rects prlels o coicidetes. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III L ltertiv correct es D.. U cubo tiee ldo, como el de l figur. Cuáles so ls coordeds del cetro de grvedd del cubo? A) (0,, 0) B) (,, ) C) (, 0, ) D) (0, 0, 0) E) (,, ) L ltertiv correct es E. Geometrí del espcio Aquí lo fudmetl es ubicr putos e el sistem de coordeds tridimesiol. Es coveiete prcticr pr teer clridd e l posició de cd puto, utilizdo pr ello prlelepípedos. *** Ejercicio PSU ***. El triágulo ABC de l figur tiee sus vértices ubicdos e ls coordeds A = (, 0,

16 TUS APUNTES 6