TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas

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1 TRIGONOMETRÍA Sistems de Medición de Ángulos Equivlenci entre los tres Sistems Áre del Circulo =. r 360º = Rd = 400 G º = R = G 360º 400 G Longitud de l Circunferenci C =. rdio Áre de Anillo o Coron Circulr =. R -. r Funciones Trigonométrics sen = ordend = rdio vector cos = scis = rdio vector r R Áre del Sector Circulr = rco rdio tg = ordend = scis cotg = scis = ordend sec = rdio vector = scis cosec = rdio vector ordend = Resolución de Triángulos Rectángulos B C = + tg = = rco tg c tg = = rco tg C A Mtemátic Crrer Arquitectur 1

2 Resolución de Triángulos Olicuángulos Teorem del Seno B sen = = sen Teorem del Coseno c sen C c A = + c c cos = + c c cos c = + cos Clculo de Áre Áre del tring = h. Teorem Fundmentl Are =. c. sen Áre de un Tringulo en función de sus tres ldos Formul de Herón - Are = p ( p ) ( p ) ( p c ) donde p = + + c.,, c son ldos del triángulo GEOMETRÍA ANALÍTICA. SISTEMAS DE COORDENADAS Sistem de Coordends Unidimensionl Distnci entre dos puntos. L distnci entre los puntos A( 1) B( ) Distnci horizontl AB = ( 1) = ( 1 ) AB = es l longitud del segmento AB soluto) L distnci verticl entre los puntos C(1) D() (Ls rrs se lee: vlor CD = ( 1) = ( 1 ) Mtemátic Crrer Arquitectur

3 SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO Distnci entre dos puntos. P1 (1;1) P (;) P1P = ( 1) + ( 1) Punto Medio de un Segmento. 1 + m = m = Relciones entre ls coordends Rectngulres Polres. = + = rc tg = cos = sen SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO Sistem de coordends Notción del punto Crtesins rectngulres P ( ; ; z ) Polres P( ; ; ; ) Cilíndrics P(( ; ; z). Esférics P( ; ; ). Distnci entre dos puntos A(1;1;z1) B(;:;z) AB = ( 1) + ( 1) +(z z1) Punto Medio de un Segmento 1 + m = m = z1 + z zm = Mtemátic Crrer Arquitectur 3

4 Relciones entre ls coordends Rectngulres Polres. = + + z ) = rc cos = rc cos = rc cos z = cos = cos z = cos Relciones que lign ls coordends Cilíndrics con ls Rectngulres = + = rc tg z = z = cos = sen z = z Relciones que lign ls coordends Esférics con ls Rectngulres = + + z = rc sen z = rc tg = cos cos = cos sen z = sen GEOMETRÍA ANALÍTICA EN DOS DIMENSIONES LA RECTA Ecución Generl Form eplícit : = + Form implícit: Vrile Dependiente Coef. ngulr Ordend l orígen A + B + C = 0 Vrile Independiente Mtemátic Crrer Arquitectur 4

5 Form Segmentrl o Reducid: + = 1 Ecución de l rect que ps por un punto de pendiente Punto - Pendiente 1 = ( 1 ) Ecución de l rect que ps por dos puntos. Crtesin 1 1 = ( 1) 1 Condición de prlelismo entre rects Dds ls rects: 1 = = + 1 // <=> 1 = Condición de perpendiculridd entre rects Dds ls rects: 1 = = + 1 <=> 1 = - 1 Intersección entre dos rects Pr hllr el punto de intersección de dos rects en el plno, 1.. Igulr ms rects ( 1= ) despejr el vlor de l scis ( ) pr el cul ms rects tienen idéntic ordend (). 3. Pr hllr el vlor de reemplzr en culquier de ls dos epresiones mtemátics originles l vrile por el vlor encontrdo. Ángulo entre dos rects: 1 - tg = (1. ) Fórmul trigonométric: tngente de l diferenci de dos ángulos. Mtemátic Crrer Arquitectur 5

6 CONICAS Circunferenci Ecución ordinri. Centro (h; k) rdio r ( h) + ( k) = r k c r Si el Centro est en el origen del S. de coord. h = k = 0 l ecución será 0 ;0 h + = r Ecución cnónic Ecución Generl + + D + E + F = 0 en donde D = -h E = -k h = - D k = - E F = h + k r r = h +k F Elipse Determinción de los focos A Distnci focl c C(h;k) F F D Eje Mor = D A1 Eje Menor = F C(h;k) c F c = Ecentricidd de l elipse e c < e c < 1 L long del ldo recto pr el foco F F es Áre de l elipse =.. Perímetro = 1/( + ) Aproimdmente Ecución Cnónic Elipse con centro en el origen del S. de coord. Crtesins (0;0) + = 1 F + = 1 0;0 F 0;0 F F Mtemátic Crrer Arquitectur 7

7 Segund form Ordinri Elipse con centro en el punto ( h;k) eje focl prlelo l eje X ( h ) + ( k ) = 1 Elipse con centro en el punto ( h;k) eje focl prlelo l eje Y ( h ) + ( k ) = 1 0;0 0;0 Práol (Geometrí Anlític) Directriz Vértice (h;k) 0:0 (p;0) Ecución Cnónic (Vértice en el origen del Sistem de Coordends Crtesins) = 4 p 0;0 p>0 0;0 = 4 p p>0 0;0 p<0 0;0 Mtemátic Crrer Arquitectur 8

8 Ecución Ordinri Vértice en el punto ( h; k) Eje focl prlelo l eje X ( k) = 4 p ( h) 0;0 p>0 0;0 p<0 Vértice en el punto ( h;k) Eje focl prlelo l eje Y ( h) = 4 p ( k) p>0 p<0 0;0 Práol (Análisis Mtemático) Función cudrátic, o trinomio de do Grdo Ecución Complet = + + c Ecución Incomplet Ecución Incomplet Ecución Incomplet 0 = + + c Ls ríces 1, se clculn 1-4 c = 0 = Eje de simetrí de l práol en el eje de ls vértice en el origen 0 = + c Eje de simetrí de l práol en el eje de ls vértice desplzdo del origen 0 = + práol eje verticl desplzdo l izquierd o derech del eje de ordends. Coordends del Vértice v = - = 1 + v = - 4 c = c Propieddes de ls Ríces 1. = c ( 1 + ) = - pr = 1 Relción entre Geometrí Anlític Análisis Segmento de Prol 4 p p = 1 Are = /3. 4 Mtemátic Crrer Arquitectur 9

9 Hipérol Ecución de l Asínt.: = -/ ASÍNTOTA Y Ecución de l Asínt.: = / w. F v o v.f X c P(X;Y) w c Eje Focl = c Eje rel = Eje imginrio = PF - PF = ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA ABCISAS CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE / / = 1 ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA ORDENADAS CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE / / = 1 Mtemátic Crrer Arquitectur 10

10 POLIGONOS PROPIEDADES NUMERO DE DIAGONALES SUMA DE ANGULOS INTERIORES SUMA DE ANGULOS INTERIORES Y EXTERIORES SUMA DE ANGULOS EXTERIORES N de dig de un pol. = (n- 3). n S = R ( n - ) S = R. n S = 4 R POLÍGONOS REGULARES Ángulos de un polígono regulr Ángulo Interior = R (n - ) n Angulo Centrl 4R n ( 4 rectos) (número de ldos) Superficie del Polígono Regulr Superficie Perimetro Apotem Mtemátic Crrer Arquitectur 17

11 AREAS Y VOLÚMENES A = l A = 1/ B.h A = B. h A = B. h A = 1/ D.d A = A = B + h P. A = A = R A = (R - r ) A = R Mtemátic Crrer Arquitectur 18

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