e1) Si X denota una VA definida como la suma de los resultados en el lanzamiento de 2 dados, entonces: 12 1 = P { {X=n}} = P(X=n) n=2 n=2

Transcripción

1 III. VARIABLS ALATORIAS. 3. Itroduccó Frecueteete e los eeretos el terés está e u fucó del resultdo del eereto y o e el resultdo roete dcho. Por ejelo, e el lzeto de dos ddos el terés est e que l su de los resultdos se gul 7 y se es dferete s este result de,6,,5, 3,4, 4,3, 5, o 6,. otr stucó, or ejelo, e el coteto de couccó trvés de esjes, el terés del lst odrí cetrrse e el uero de trssoes etoss de esjes e u teo ddo, s que e el estdo de l trssó de cd esje. Ls ctddes de terés y s forlete ls fucoes de vlores del esco uestrl: : ω -----> R, so coocds coo Vrles Aletors VA. Por ello, el vlor de l vrle letor es deterdo or el resultdo del eereto y esos vlores se les sgrá u roldd, coo se uestr co los sguetes ejelos. jelos e S deot u VA defd coo l su de los resultdos e el lzeto de ddos, etoces: : Ω -----> {,...,} dode: P P{,} /36 P3 P{,,,} /36 P4 P{,3,,,3,} 3/36 P5 P{,4,,3,3,,4,} 4/ P P{6,6} /36 e u VA que rereset el úero de trssoes co éto de esjes evdos e u tervlo de teo ddo, etoces: : Ω t -----> N, dode Ω t : cojuto de esjes trstdos etosete e u tervlo de teo t. e3 Se Y l VA que rereset el úero de crs que rece luego de lzr oeds. Luego l VA Y uede tor vlores 0, o, y sus vlores roílstcos so: PY0 P{s,s} /4 PY P{s,c,c,s} /4 PY P{c,c} / Σ e4 Suoedo que u oed est "crgd" y que l roldd de que slg cr es '', defos u VA N de l sguete er: N : Núero de lzetos ecesros r que slg cr or rer vez. P { {}} P toces: PN P{c}

2 PN P{s,c} - PN3 P{s,s,c} PN P{.s,s,...,s, c} - - Lo cul es u fucó roílstc, y que es ostv y P{ {N } } PN - - t 0 - t - - Todos los ejelos de VA hst hor lustrdos so VA dscrets. Por otro ldo u VA se dce cotu s to vlores de u cojuto cotuo de osles vlores. U ejelo de VA cotu es el teo de trssó de u esje, l vd útl de u otor, suedo que l vd útl del otor to u vlor e u tervlo, de los reles. Defcó Se F., u fucó defd r culquer vlor rel de u VA, co e el tervlo -, de l sguete er: F : P{ }, es coocd coo Fucó de dstrucó cuuld de y deot l roldd de que ued tor u vlor eor o gul. Proeddes de F. F es u fucó o decrecete e l F --> l F 0 --> - v F es estrctete cotu. S,,... es u sere decrecete co lte e, etoces l F F Oservcoes sore F.: S etoces el eveto { / } est e { / } y or lo tto F F roedd. Prolddes sore l VA tervlos uede ser deducds e fucó de F.. Por ejelo: Pro.{ < } F - F, r todo < ; y que -, ] -,]U,]. Pr VA dscrets defos l fucó de desdd de co P{}. S {,,... } e Z, etoces > 0 co,,... y 0 r todo que o est e. Adeás se dee culr que:

3 este cso F. uede ser defd e téros de de l er sguete: e Suogos que / ; /3 ; 3/6. F Fucó de desdd o s Prolstc VA Luego l fucó cuuld de es ddo or: F s < s < s < 3 s 3 Fucó de Dstrucó Acuuld F VA

4 Pr VA cotus l relcó etre l fucó de dstrucó cuuld F. y l fucó de desdd f. de u VA cotu es eresd trvés de F - ftdt y dferecdo os ldos tedreos: df d f l dervd de l fucó de dstrucó cuuld es l fucó de desdd. Not: Dedo que : P < f d, teeos : P f d 0 y e cosecuec : P < < P < P < P S ergo, r teer cosstec e l otcó, utlzreos P < coo e el cso dscreto. 3. serz Mteátc y Moetos Cso de VA Dscrets: Se u VA dscret ft que uede tor vlores,,..,, co ls rolddes,,..,. Defcó serz teátc o vlor eserdo edo de l VA dscret ft es l eresó: Defcó serz teátc o vlor edo de u fucó g de l VA es l eresó: jelos g g e l vlor eserdo de l VA : úero que result l lzr u ddo, será: recorddo: e Se : Su de los úeros resulttes del lzeto de ddos, etoces,

5 e3 Se : Núero de dvsores del úero otedo l scr de u ols eles uerdos del l. No. trído P / 5/ /6 /4 / toces, Moetos de u VA. uchs lccoes este l ecesdd de edr e lgu for l dsersó de los vlores de lrededor de su vlor edo. stos vlores suele ser eserz teátc de certs fucoes g, coo or ejelo: g - S ergo, el ejo de vlores solutos es cóodo y or ello se refere otecs de que d lugr los lldos oetos. Defcó Moeto de de grdo u orde es el vlor eserdo de elevdo l, es decr: rtculr,. Los oetos cetrdos se defe trvés de l ecucó: rtculr, coo edd de dsersó, es ortte el oeto cetrdo de orde defdo cotucó. Defcó Se cooce coo Vrz de u VA l sguete eresó: ' - - VAR σ σ - - l úero o egtvo σ, es decr, l ríz cudrd de l Vrz se le cooce coo l Desvcó Tíc ó Stdrd de l VA. Oservcó: Cudo l Vrz es grde ello dc que los vlores de está uy serdos de su vlor edo.

6 Cso de VA Cotus: S es u VA cotu co l fucó de desdd f, etoces: Le. Co, costtes se cule: - 0 c σ - d σ σ Fáclete deostrles ero lcdo ls resectvs defcoes Deostrcó Deostrcó 0 Deostrcó c ] σ or ] ] ] ] Deostrcó d ] ] ] c or σ ] ] c or σ 3.3 Fucó geerdor de Moetos fd - - VAR fd gfd g - -

7 Defcó L fucó geerdor de oetos se defe coo: φt e t ] e - t e t co fd co dscret cotu st fucó se le cooce coo geerdor de oetos dedo que los oetos de uede ser otedos trvés de sucesvs dervcoes de φt y evludo el resultdo e t0. Por ejelo r oteer se tee: φ t d dt e ] d t t t e ] e ] dt toces, evludo φ't e t0 tedreos: φ'0. Igulete: d d t t φ t φ t e e co t 0, φ 0 dt dt... t φ t e, φ 0, 3.4 Desguldd de Tcheycheff Se u VA dscret y ft co vlor edo y vrz σ, etoces k>0, P - k σ k. Deostrcó. Se g u fucó de, tl que g >0, r todo e, se > 0 costte, y se quellos vlores tles que: g. toces: Co el hecho sguete, odeos coclur que, g g g : Proldd de que g

8 g P{g } P{g } g rtculr, co g: tedreos l Desguldd de Mrkov P{ } el cso de Tcheychef otedreos l desguldd co g - y k tedreos, P{ - k } - k or ello, Pro { - k} σ k Oservcó. L ortc de ls desgulddes de Mrkov y Tcheychef resde e el hecho de que solo co el cooceto de y de σ e el cso de Tcheycheff se uede cotr l roldd desed. S ergo, est cot o result ue es decr, fortv e l yorí de los csos y or ello so usds ás frecueteete e deostrcoes de otrs hótess. jelos e u frc de cooetes, l roduccó sel es letor co u vlor edo gul 50 cooetes. Que se uede decr cerc de l roldd de que l roduccó eced ls 75 cooetes e u se. Solucó: Al lcr l desguldd de Mrkov se tee: P > e S l vrz de l roduccó sel del role teror es gul 5 que se uede decr cerc de l roldd de que l roduccó e u se ás de 40 y eos de 60 cooetes. Solucó: Alcdo l desguldd de Tcheychef tedreos: P{40 < < 60} P{ - 50 < 0 } - P{ -50 0} P { } σ 0 4

9 toces, P { - 50 < 0} %

10 3.5 Trsforcó de Vrles Aletors VA de to dscreto: Se l fucó de desdd roílstc de u VA. S otr VA Y es oted de l VA co u trsforcó Y U, cuy vers es WY. toces l fucó de desdd de Y vee dd or l sguete eresó: gy Wy 0 y e Y e cso cotrro jelo. Se u VA co l sguete fucó de desdd: - e! 0 0,,,3,.. e cso cotrro Se l trsforcó y 4 y U], luego l VA Y {0,4,8,,..}. Note que l trsforcó y 4 estlece u corresodec uo uo etre los escos e Y. Nuestro ojetvo cosste e hllr l f.d.. de l VA Y, dgos gypy y]. Osérvese que l relzcó del eveto Y y ó 4y se d s el eveto /4y ocurre. cosecuec: gy PYy P4y P y 4 y - 4 e y 4! y 0,4,8,... e 4 gy 0 y - y! 4 y 0,4,8.. e cso cotrro VA de to cotuo: Se f u f.d.. de u VA. S otr VA Y es oted de co l trsforcó Y U dferecle r todo dode f 0 etoces l ecucó Y U uede resolverse de er úc r co el f de roducr WY l vers de Y U, y e cosecuec l fucó de desdd de Y vee dd or l sguete eresó: gy fwy. W y 0 y e Y e cso cotrro

11 YU U y U - ywy Pr ostrr l frcó teror co yud gráfc, oserve que: { / U y } { / Wy } y que { / U y } { / U - y } ] Ahor, dedo que UY, Wy, tedreos PY y PU y P Wy P, dode U - Y y e cosecuec: or lo tto: F Y y F f Y y gy df Y y/dy df /d f Wy. W y jelo. Se u V.A. co fucó de desdd, Se Y 8 3, luego l V.A. Y { y / 0< y <8 } 0 < < f 0 e cso cotrro Se 0< < < 8, luego el eveto < y < ocurre s el eveto <8 3 < ocurre, es decr: /8 /3 < < /8 /3 ; P < Y < P < < coocer fy o P<Y<, teeos que hcer ls sguetes cosdercoes: d Ahor, s quséros

12 Coo: y U; Wy y y 8 3 > y 3 d 6 y - 3 dy Cosderdo los etreos de l tegrl: S >y, s 3 3 > y P < Y < y 3 6 y dy y dy s decr: gy 0 < y < 8 63 y 0 e cso cotrro Oserve que YU8 3 y e cosecuec Wy/y /3, de dode se uede dervr que d W'ydy