TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Enseñanza Secundaria)

Transcripción

1 TEAS DE ATEÁTICAS (Oposcoes de Eseñz Secudr TEA ITEGRACIÓ UÉRICA. ETODOS Y APLICACIOES.. Itroduccó.. Itegrcó co css dds... Fóruls de tegrcó terpoltor.. Error de ls óruls de tegrcó terpoltor... Fórul de Spso.4. Error de l Fórul de Spso.5. Fórul del Rectágulo o del puto edo..6. Fórul del Trpeco..7. Regl del Trpeco Corregd..8. Fórul de ewto-cotes.. Regls Copuests de Itegrcó uérc... Regl de los Trpecos... Regl de Spso... Regl del Puto edo..4. Regl del Trpeco Copuest..5. Regl del Trpeco Corregd. 4. Itegrcó Guss. 4.. Eeplo que otv ls óruls. 4.. Fóruls Gusss. 4.. Error de ls Fóruls Gusss. 5. étodo de Roerg. Blogrí Recoedd. /5

2 TEA ITEGRACIÓ UÉRICA. ETODOS Y APLICACIOES.. ITRODUCCIÓ. Dd u ucó de or lítc, seos por tes terores clculr su tegrl ded etre y sepre que coozcos u prtv de ell. El prole surge cudo o seos u prtv de ell. Es stucó es uy orl e proles práctcos de Físc, Quíc y otrs cecs. El prole de l tegrcó uérc de u ucó cosste e clculr el vlor de u tegrl ded sore l se de u sere de vlores del tegrdo.. ITEGRACIÓ CO ABCISAS DADAS... Fóruls de Itegrcó Iterpoltor. Se x < x < < x u prtcó e + css del segeto [, ] y cosderos el poloo P (x de grdo eor o gul que vercdo: P ( x ( x co A {,,, } etoces, proxreos l tegrl uscd por: P ( x dx Así, tegrdo l órul de terpolcó de Lgrge, que vee dd por : x x P (x l ( x, dode l x x oteeos l órul de tegrcó uérc x dx ( W dode W l ( x dx co A. Dedo que est órul se ll por tegrcó de u poloo terpoldor, rece el ore de órul de tegrcó terpoltor de + css. Los eleetos W los llreos pesos, y y que teer e cuet que o depede de, uque s del tervlo [, ] y de ls css x,, x. Pr culquer poloo de grdo eor o gul que, l órul es exct por l ucdd del poloo terpoldor. Esto os perte clculr los pesos W s teer /5

3 que tegrr l (x, es decr, pr los ooos, x, resolvedo el sste resultte. x,, x l órul es exct.. Error de ls Fóruls de Itegrcó Iterpoltor. El error de l proxcó vee ddo por l tegrl del error de terpolcó, utlzdo coo error de terpolcó l expresó: (x - p (x ( + ( ξ( x ( +! ( x x ( x x ( x x Por lo tto s C + ( [, ], se tee que el error de l órul de tegrcó terpoltor de + css es: E ( x dx W ( + ( ξ( x ( +! ( x x ( x x ( x x dx coξ(x (, S toos l costte R, coo l cot superor de l dervd (+-és de (, + ( x [, ], teeos que: E ( +! ( x x ( x x ( x x dx.. Fórul de Spso. S toos poloos de grdo eor o gul que, usos g g( ( -,, y l órul de tegrcó terpoltor de + css, podeos clculr los pesos de tegrcó W, W y W pr que l órul: se exct. g( t dt W g + W g + W g Iterpoedo l excttud de l órul pr g(t, t, t oteeos que /5

4 W W + + W W 4 W + W W W + W W Por lo tto teeos que l órul uscd l podeos expresr coo: g( t dt ( g + 4g + g. Auque est órul podeos expresrl pr culquer tervlo [, ] solete co el co: x + t - o lo que es lo so x t + resultdo sí u órul uev de tegrcó uérc pr u ucó (x sore u tervlo [, ] que recrá el ore de órul de Spso: dx 6 + [ ( + 4 ( + (] uque cedo el uste c + y teeos que: dx [ (c- + 4 (c+ (c + ]. que té es váld y rece el so ore. ot: Ests óruls result té excts sore poloos de grdo eor o gul que..4. Error de l Fórul de Spso. Pr poder clculr el error que coeteos e l tegrcó uérc edte l órul de Spso vos der: c E s ( + c dx - [ (c- + 4 (c+ (c + ]. ( dode se verc que E ( E '( E ( y s s s 4/5

5 ( E ( - [ ( (c+ - ( (c-]. S l ucó (x verc que que vee dd por: ( ( c + F(x (4 ( c 4 C ( [c -, c + ] deos u ucó F(x ( ( c s s y dode se verc que F( es cotu, y que l F ( x F( y deás por el (4 teore del vlor edo ξ [, ], F ( ξ (τ pr lgú τ (c, c +. S utlzos l órul del error de terpolcó de Tylor: R (x oteeos que: x! ( + ( x s ( s ds E s ( ( ( t E s ( t dt ( t t F ( t dt pero coo H(t ( t t es u ucó estrctete postv y cotu e (,, el teore del vlor edo pr tegrles os segur que: E s ( - F(ξ ( t t dt (4 ( τ 9 5 coτ (c,c +.5. Fórul del Rectágulo o del puto edo. Hcedo el so proceso que eos eco pr l órul de Spso y co, oteeos l órul del rectágulo, que se s e l terpolcó e l cs ed úcete, y que vee dd por: ( ( ξ dx ( + co ξ (, 4.6. Fórul del Trpeco. Igulete que tes co, pero terpoldo e ls css extres oteeos l órul del trpeco: 5/5

6 ( ( ξ dx [ ( ( ] - co ξ (,.7. Regl del Trpeco Corregd. S toos l órul de tegrcó terpoltor de 4 css co x x y x x, etoces: dx 4! IV (ξ ( x ( x dx IV ( ξ( 7 5 Coo + 4 etoces teeos u poloo cúco, P (, es decr, P IV ( x. Por lo tto, usdo l regl de Spso: x dx 6 [ P ( P ( + P (], pero coo P (x está terpoldo (x e x, x, x y x etoces P ( (, + ( P ( ( y P ( [ ( + ( ] + [ ( ( ] 8 etoces: dx sedo su error: ( [ ( + ( ] + ( [ ( ( ] E IV ( ξ( Fóruls de ewto-cotes S toos or + css equdsttes sore el tervlo [, ], es decr: x + co A, oteeos l órul de ewto-cotes de + css dx t α, co α dt co A y dode ( + Los coecetes α solo depede del grdo, es decr, del tervlo [, ] de l ucó (x. El error de l órul de ewto-cotes de + css está ddo por 6/5

7 y dode: E dx - α ( p +! ( p+ ( ξ p+ co ξ (, Π tπ ( t dt ( t dt p s p + s es es pr pr sedo Π ( t t( t... ( t. REGLAS COPUESTAS. Ls oruls de tegrcó uérc terorete expuests o se plc orlete l tervlo I [, ] sore el cul queros clculr l tegrl, so que se plc sore sutervlos de I, oteedo sí ls regls copuests de tegrcó uérc... Regl de los Trpecos. S prtos el tervlo I [, ] e prtes gules, y sore cd u de ells, plcos l órul del trpeco, otedreos l regl copuest que llreos Regl de los Trpecos T( [ ( + ( + + ( ( + (, que se or coo su de l tegrcó uérc sore cd uo de los tervlos e los que eos descopuesto el tervlo I [, ], sedo cd u de ess prtes de logtud : x dx ( x dx + dx co x + co A {,,} x y puesto que: x + x dx [ ( x ( x + ] - ( ( ξ dode ξ x, x, etoces teeos que: ( + dx - T( ( ( ( ξ - ( ( ξ, 7/5

8 dode s teeos que exste ξ (, tl que: C ( [, ], utlzdo el teore del vlor edo pr sus, dx - T( - ( ( ξ, que es l órul del error de l regl de los trpecos... Regl de Spso. S or lo que ceos es dvdr el tervlo I [, ] e prtes y plcdo l órul de Spso e cd uo de ellos, que de logtud, y suádolos oteeos l Regl de Spso. S( [(+ 4( + +( + + 4( + + +( + 4( + (] y deás teeos que s de l regl Spso: 4 C ( [, ] oteeos l sguete expresó pr el error dx - S( - (4 ( ξ 4 co ξ (, 8.. Regl del puto edo. Sguedo u proceso álogo los vstos st or, se oee: dx ( + ( dode el error otedo vee ddo por: E '' ( ξ ( 4.4. Regl del Trpeco Copuest. Utlzdo l regl sple del trpeco y dvdedo el tervlo I [, ] e prtes gules oteeos l sguete expresó: dx ( + + ( ( + ( 8/5

9 sedo L expresó del error pr l regl del trpeco copuest vee dd por: E - '' ( ξ (.5. Regl del trpeco corregd. Utlzdo l regl del trpeco corregd sple y dvdedo el tervlo I [, ], e prtes de er que deos se tee que l expresó de l regl del trpeco corregd vee dd por: dx ( + + ( ( + + [ '( '( ] sedo el error que se coete e l proxcó el sguete: 4 IV ( ξ ( E 7 Deeos dros cuet que tods ls dervds terores ( x se ul etre s u co otr l sur ls óruls de todos los tervlos (coo s uese u su prcl de u sere telescópc. Por lo tto l regl del trpeco corregd terorete expuest, es u regl copuest del trpeco corregd, que l gul que l sple, olg, pr poder utlzrl, que coozcos l dervd de (x o l clculeos. 4. ITEGRACIÓ GAUSSIAA. Ls óruls de tegrcó terpoltor de + css terorete expuests so excts pr los poloos de grdo eor o gul que, depedete de l eleccó que gos de css detro del tervlo de tegrcó. Veos que u ue eleccó de ests + css os proporcorá óruls de tegrcó uérc de + css, exct pr poloos de grdo eor o gul que +, y ests óruls recrá el ore de óruls Gusss. 4.. Eeplo que otv ls óruls. S plcos de or coveete l regl de los trpecos sore poloos trgooétrcos os d el sguete eeplo, es decr: 9/5

10 Se t (θ + Cos θ + Se θ c e θ u poloo de grdo eor o gul que, y clculos π J( t t ( θ dθ π π c π edte l regl de los trpecos co pso co >. Por culp de l perodcdd de t (θ, t ( θ + π t (θ θ R por lo tto pr culquer φ R se verc que: J( t π + φ φ π t ( ϕ dϕ t ( φ+ θ dθ π pero plcdo l regl de los trpecos est últ tegrl teeos el sguete resultdo excto: T( π π t π ( φ + π c e φ e π π c J ( t dode teeos que : π e ( ( < sedo que c e φ ( < S toos or u poloo trgooétrco e coseos de grdo eor o gul que t (θ + Cos θ S teeos e cuet l perodcdd t ( θ + π t (θ y l setrí respecto θ π, es decr, t (θ t ( π θ, por lo tto, s > π π J( t t ( θ dθ t ( θdθ π π π T( π t ( φ + π S toos ( + > y φ pr que el couto de css se sétrco respecto π. Etoces φ π + π + co {,, +} y los + /5

11 ( + π vlores t ( prece dos veces: s l +, co {,, } teeos ( + que l { +,, +}, y t ( ( + π t (π - ( + ( + π (l + π t ( ( + ( + Por lo tto oteeos sí l sguete órul de tegrcó uérc de + css: π F ( θ dθ π ( + π + F ( ( + que es exct pr los poloos trgooétrcos e coseos de grdos eor o gul que +. S ceos or el co t Cosθ, que es usul e l proxcó edte poloos de Cecev, result que (t F(rccos t será u poloo de grdo eor o gul que s F es u poloo trgooétrco e coseos de grdo eor o gul que y sí otedreos l sguete órul de tegrcó uérc de + css: ( t t dt π + ( Cos ( + π ( + que es exct pr los poloos de grdo eor o gul que +, y l llreos Fórul de Guss-Cecev. Podeos escrr té ls óruls terores coo: π π F ( θ dθ + F (θ ( t t π dt + ( t dode θ co {,, } so ls ríces de ψ + (θ Cos(( +θ y t co {,, } ls ríces de l ucó T ( t + Cos(( + rccos t ψ + ( rccos t. Deeos ser que ψ + (θ y T ( t + or prte de ls ls ψ (θ y T (t que so ortogoles respecto de los productos esclres: π F, G F ( θ G( θ dθ,, g ( t g( t dt t /5

12 De l excttud de l órul de Guss-Cecev resultrá que ψ (θ Cos θ y T (t ψ (rccos t so ortogoles respeto los productos esclres: F, G, g F( θ G( θ ( t g( t 4.. Fóruls Gusss. L eleccó de ls css x, co {,, }, coo ríces de u poloo ψ + (x, de u órul de poloos ortogoles llevrá sepre óruls de cudrtur exct pr los poloos de grdo eor o gul que +. Se w:[, ] R u ucó peso postv y cotu sore el tervlo [, ] y se ψ + (x A x el poloo ortogol de grdo + socdo l producto esclr:, g w ( x g( x dx ψ + (x tee + ríces sples x co {,, } que se ecuetr e el tervlo (,. S ψ + (x sólo cse de sgo e css x,, x de [, ] co etoces el poloo: q (x ψ + (x (x- α,, (x- α ψ + (x de grdo + +, o crí de sgo sore (, y por lo tto: ( + cos(xq x ψ ( x dx q, ψ + l tegrl serí o ul, e cotrdccó co el eco de que ψ + (x es ortogol culquer poloo de grdo eor o gul que. Cosderos or l órul de tegrcó uérc de + css evlud sore ls ríces de ψ + (x: w ( x dx W ( x /5

13 Por l excttud de ls óruls de grdo eor o gul que, oteeos que los pesos W provee de: W l ( x w( x dx, (x l x x x x co {,, } Coproreos or que est eleccó ce exct l órul té pr los poloos de grdo eor o gul que +. A ests óruls oteds ls llreos óruls Gusss de + css. Se P + (x u poloo de grdo eor o gul que + y se q (x y r (x los poloos de grdo eor o gul que que so el cocete y el resto otedos l dvdr P + (x por el poloo P + (x por el poloo ψ + (x de grdo +. P + q (x+ ψ + (x+ r (x Por lo tto el poloo q (x será ortogol ψ + (x, es decr, q, ψ +, es decr: w ( x P + ( x dx + q (x + + ( x r ( x dx w W r ( x w(x (x ψ + w ( x r ( x dx puesto que l órul guss es exct pr el poloo r (x. Coo ψ + ( x co {,, } oteeos l excttud de l órul guss pr P + (x: W P x + ( W q ( x ψ + ( x + W r ( x ( x P + W ( x dx 4.. Error de ls óruls Gusss. + Pr ls ucoes C ( [, ] podeos dr u expresó pr el error de ls óruls gusss. Pr ello tegos e cuet el poloo terpoldor de Herte P + (x e ls css x co {,, }, por u ldo l órul guss es exct pr este poloo y por otr prte: (+ ( ξ( x (x - P + (x w ( x ( +! /5

14 dode co ξ { x, x,..., x, x} [, ] y ψ+ w (x ( x x ( x x A ( x + ultplcdo por w(x e tegrdo sore el tervlo [, ], oteeos l órul del error de l órul guss de + css: W x dx ( - W (+ ( ξ ( (! A x + + W( ψ+ x ( x dx dode ξ (, y A + es el coecete del téro de yor grdo de ψ + (x. 5. ÉTODO DE ROBERG. El étodo de Roerg se s e el error de l órul trpezodl copuest. E est, I(t "( + [ + ] y E(t ( Desde luego. Por tto s llos T( [ + + ] l proxcó co ( + putos, ddo los vlores (,,, podeos 4 T, T, der T recurreteete. 4 Se deuestr que culquer que se l ucó cotu e [, ]:, T tede dx cudo, T tede dx cudo Por otro ldo el error de l proxcó T es: E T (t - ( - + B + ( + ( + (+ ( ξ co ( +! ξ [, ] sedo B + el poloo de Berste de de orde +. Est expresó dc que l covergec de T c dx cudo es ás rápd que l de culquer sere geoétrc. 4/5

15 L sucesó T, T, T,, T proporco sucesvs óruls de tegrcó Roerg. Tee l or: T ( w ( x dode x + y y los pesos c el tervlo [, c] co c 4 w, clculles por recurrec está todos e Eeplo.- dx Pr clculr proxdete el étodo de Roerg o dr: ( + x T,5 T,8 T,6 T,86 T 8,8965 T 9,8965 Blogrí Recoedd Eleetos de Aálss uérco. eter Herc. Edt: Trlls. exco. 977 Aálss teátco I. Aut. J.A. Ferádez Vñ. Ed. Tecos Curso de Aálss teátco I. Aut. E.L. Lu. Ed. Edus, 99. Clculus. Aut.. Spv. Ed. Reverté. Aálss teátco. Aut.. de Guzá, B. Ruo. Ed. Práde. Aálss teátco ª Edcó. Aut. T.. Apostol. Ed. Reverté 5/5