. Algebraicamente se obtienen diferentes ecuaciones: v u Op v y es otro vector con el mismo módulo, la

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1 6 CAPÍTULO : GEOMETRÍA EN EL ESPACIO - VECTORES. GEOMETRÍA DEL PLANO A lo largo de los crsos pasados estdamos la geometría del plao co los sgetes elemetos fdametales: Pto: Poscó e el plao qe por coeo defmos como admesoal (o tee largo acho profddad). Para represetarlo algebracamete tlzamos letras mayúsclas por eemplo hablamos de pto A y se caracterza medate dos alores qe deomamos x e y represetados por el par ordeado: (x y). y qe llamamos coordeadas del pto. Vector (o ector lbre): Vee dado por par de alores llamados compoetes (o coordeadas) del ector qe escrbmos como ( ) e geeral o ( x y ) s estamos e sstema cartesao. Lo caracterza s módlo dreccó y setdo. Recta: fgra e el plao qe úcamete tee logtd o tee achra profddad. Se sele represetar co a letra múscla habtalmete r y se defe a partr de pto P (x P y P ) y ector ( x y). Algebracamete se obtee dferetes ecacoes: o Vectoral: ( x y) ( xp yp ) λ x y x xp λ x o Paramétrcas: y y P λ y x xp y yp o Cota: x y o Geeral o mplícta: A x B y C Eemplo E la mage emos el pto A de coordeadas ( ) el ector de compoetes ( ) y la recta r de ecacó x + y =. E este capítlo y los sgetes amplaremos esos elemetos haca las tres dmesoes geeralzado los coceptos aterores y añadedo otros eos.. VECTORES EN EL ESPACIO.. Defcó U ector fo e el espaco es segmeto oretado qe ee determado por par de ptos el orge A y el extremo B. Los elemetos de ector so los sgetes: Módlo: Es la logtd del segmeto oretado qe lo defe. El módlo de ector será úmero posto a excepcó del ector lo qe tedrá módlo cero. Dreccó: Es la dreccó de la recta qe cotee al ector o calqer recta paralela a ella. Dos ectores tedrá la msma dreccó s está stados sobre la msma recta o sobre rectas paralelas. Setdo: Es la forma de recorrer el segmeto AB es decr de far qé pto es el orge y cál el extremo. E el coto de los ectores lbres podemos defr a relacó de eqaleca dcedo qe perteece a la msma clase aqellos ectores fos de gal módlo dreccó y setdo. Todos los ectores fos de gal módlo dreccó y setdo forma msmo ector lbre. Dos ptos A y B determará dos ectores fos AB y BA co el msmo módlo la msma dreccó y setdo opesto... Operacoes co ectores Sma de ectores Dados dos ectores e el espaco y s sma es otro ector. Para smar dos ectores gráfcamete se toma ectores eqaletes a ellos de maera qe el extremo del prmero cocda co el orge del segdo. Este procedmeto se pede sar para smar aros ectores. E este caso se toma ectores eqaletes tales qe el extremo de cada o cocda co el orge del sgete. El ector sma tee como orge el orge del prmer ector y como extremo el extremo del últmo ector. Opesto de ector Dado ector e el espaco s ector opesto se deota por msma dreccó pero setdo cotraro a. Op y es otro ector co el msmo módlo la º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores

2 6 Resta de ectores Dados dos ectores e el espaco y s dfereca es otro ector. Restar ector es lo msmo qe smar el ector opesto. Prodcto de ector por a costate Dada a costate y ector s prodcto es otro ector co la msma dreccó el msmo setdo s > o setdo cotraro s < y cyo módlo es eces el módlo del ector. Combacó leal de ectores U ector es combacó leal del los ectores cado exste λ λ λ tales qe Los ectores λ λ λ.... so lealmete depedetes cado go de ellos se pede escrbr como combacó leal de los demás. Eemplo El ector es combacó leal de los ectores y. Ya qe se obtee como sma de los ectores y.. Base de sstema de ectores Defcó: Se dce qe el coto de ectores forma a base del espaco de dmesó y se deota por B cado erfca: - Los ectores... so lealmete depedetes. - Calqer otro ector del espaco se pede escrbr como combacó leal de ellos es decr λ λ λ tales qe λ λ λ. Los úmeros λ λ λ so las compoetes del ector respecto de la base B y se escrbe... o be λ λ λ. E el espaco de dmesó tres todas las bases tee tres elemetos: B por lo qe e el coto de los ectores lbres del espaco de dmesó tres cada ector tee tres compoetes: λ λ λ... Sstema de refereca Defcó U sstema de refereca e el espaco de dmesó tres es par formado por pto fo O y a base B. Se escrbe R O U sstema de refereca os permte asocar a cada pto del espaco P ector OP llamado ector de poscó del pto. Las coordeadas del pto P será las coordeadas del ector OP respecto de la base B. El sstema de refereca caóco e el espaco de dmesó tres es aqel cyo pto fo es el orge de coordeadas O y cya base B está formada por ectores de módlo y perpedclares etre sí. Lo represetamos por R O. Compoetes (o coordeadas) de ector R O a a a B b b b Cosderamos el sstema de refereca caóco OA ss ectores de poscó so a a a y b b b. Dados dos ptos A y OB etoces las compoetes del ector AB so las coordeadas del extremo meos las coordeadas del orge: AB OB OA b a b a b a º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores

3 6 Módlo de ector Cosderamos el sstema de refereca caóco R O ee dado por la sgete expresó: dmesoes. Eemplo. Dado el ector el módlo de resltado de aplcar el teorema de Ptágoras e tres Calcla las compoetes y el módlo de ector de orge A 7 y extremo Las compoetes del ector AB so: AB 7. El módlo del ector AB es: AB. B. Operacoes co ectores sado compoetes A partr de ahora se spoe qe se ha fado el sstema de refereca caóco: R O. Sma resta y opesto de ectores Dados dos ectores e el espaco y : S sma es otro ector cyas compoetes so: El opesto del ector es: Op ( ) La resta es otro ector cyas compoetes so: Eemplo Dados los ectores 5 6 y 7 teemos: Prodcto de ector por a costate Dada a costate y ector s prodcto será otro ector cyas compoetes so: Sma de pto más ector Estrctamete hablado o se pede smar ector a pto. Lo qe hacemos es smar al ector el ector de poscó del pto. Dado pto A a a a y ector para smar el pto A y el ector trabaamos co el ector de poscó del pto A y el ector. Lo qe obteemos es otro pto B cyo ector de poscó es: OB OA a a a a a a Eemplo Dado el pto A y los ectores 5 y 9 7 teemos: OA Estdo de la depedeca e depedeca leal de ectores medate ss compoetes Dados ectores se dce qe so lealmete depedetes cado gú ector del coto pede expresarse como combacó leal del resto. Aálogamete se dce qe ectores so lealmete depedetes cado calqera de ellos pede expresarse como combacó leal del resto. Eemplos Dado el coto de ectores V co y emos fáclmete qe por lo qe V es coto de ectores lealmete depedetes. E el coto de ectores V co y 6 7 o es edete qe por lo qe debemos bscar otra forma de proceder. º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores

4 65 Los ectores de coto so lealmete depedetes cado al resoler el sstema homogéeo λ λ λ sólo es posble la solcó tral: λ λ λ Teedo e ceta lo apreddo e el capítlo podemos coclr qe: so lealmete depedetes cado la matrz qe forma ss compoetes tee de rago. so lealmete depedetes cado la matrz qe forma ss compoetes tee rago estrctamete meor qe. Actdades reseltas Determa s so lealmete depedetes o o los ectores de los sgetes cotos: V y 6 7. Plateamos el determate formado por las compoetes de los tres ectores: ( 5) 6 ( ) ( 6) Por lo qe el rago de la matrz de las compoetes es meor qe y los ectores del sstema so lealmete depedetes. V co y. Plateamos el determate formado por las compoetes de los tres ectores: 8 8 Por lo qe el rago de la matrz de las compoetes es y los ectores del sstema so lealmete depedetes V x co y x. E este caso o podemos platear drectamete el determate so qe debemos platear el sstema y la matrz del msmo: λ λ λ λ x λ ( ) λ ( ) λ ( ) λ ( ) es decr: (λ λ λ ) (λ λ ) (λ λ λ ) ( λ λ ) (λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ El rago de la matrz del sstema es a lo smo tres por los qe los ectores del sstema so lealmete depedetes. De este resltado podemos ferr qe sstema de ectores e el espaco trdmesoal SIEMPRE será lealmete depedete s. V 5 co y. Como ates plateamos el sstema y la matrz del msmo: λ λ λ ( ) λ ( ) ( λ λ λ ) (λ λ λ ) ( λ λ λ º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores λ λ λ ) ( ) es decr: - λ λ λ λ λ λ λ λ Calqera de los determates qe podemos costrr es o lo por tato es sstema de ectores lealmete depedetes.

5 66 De este resltado podemos dedcr qe dos ectores y so paralelos s y sólo s so lealmete depedetes es decr ss coordeadas so proporcoales. Eemplo Compreba s los ectores 8 y 6 so paralelos. 8 So paralelos Aplcacoes de los ectores Pto medo de segmeto Dados dos ptos del espaco A a a a y B b b b el pto medo del segmeto AB es: a b a b a b M Esta fórmla se compreba fáclmete. Obserado la mage: Se dedce fáclmete qe los ectores AM y MB so gales por tato: m a m a m a b m b m b m AM MB Igalado compoetes: m a b m m b a a b a b a b m a b m m b a M m m m m a b m m b a Eemplo Dados los ptos A 6 y B 8 5 calcla el pto medo del segmeto AB: M M Codcó de ptos aleados Se dce qe tres ptos e el espaco A a a a B b b b y C c c c está aleados s los ectores AB y b a b a b a AC so proporcoales es decr: c a c a c a Eemplo Compreba s los ptos A B y C 6está aleados.? No está aleados. 6 5 Actdades propestas. Calcla las compoetes y el módlo de ector de orge A y extremo B.. Dados los ptos P Q 5 y R y los ectores ( ) ( ) calcla dcado s el resltado es pto o ector: a) QP b) c) RP d) P e) R PQ. Dados tres ptos geércos P p p p Q q q q y R r r r demestra: a) PQ QR PR b) PQ QP c) PP d) PQ PQ PQ. Dados los ectores 5 6 y 7 calcla: a) 5 b) c) ( ) d) ( ) 5. Dados los ptos A 6 y B 8 determa el pto medo del segmeto AB. C está aleados. 6. Compreba s los ptos A B y º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores

6 67 7. Determa s so lealmete depedetes o o los cotos de ectores sgetes: A co y 7. B co y. C x 7 x co y. PRODUCTO ESCALAR.. Defcó El áglo qe forma dos ectores lbres es el meor de los áglos qe forma dos de ss represetates co orge comú. Dados dos ectores y se llama prodcto escalar de y y se deota por al úmero real qe reslta al mltplcar el prodcto de ss módlos por el coseo del áglo qe forma. Eemplo cos Dados los ectores y qe forma áglo de calcla s prodcto escalar. cos cos' º '7.. Iterpretacó geométrca El prodcto escalar de dos ectores o los y es gal al prodcto del módlo de o de ellos por la proyeccó del otro sobre él. Obseramos e la fgra tráglo rectáglo dode la hpotesa es y o de los catetos es la proyeccó de sobre. Aplcado la defcó de coseo de áglo agdo teemos: Proy cos α Proy cos α De aqí teemos: cos α Proy Aálogamete se tee qe: cos α cos α Proy Eemplo Dados los ectores y calcla Proy Proy Proy Proy sabedo qe 5 cos α cos α Cado la proyeccó sobre el ector es úmero egato esto sgfca qe el ector y la proyeccó tee setdo cotraro... Propedades del prodcto escalar. El prodcto escalar de ector o lo por sí msmo es sempre posto e gal al cadrado de s módlo. Demostracó: cos º. Propedad comtata: cos α cosα cos 6º α. Propedad asocata co el prodcto por úmero real: Demostracó: cos α cosα. Propedad dstrbta respecto de la sma: y qe forma áglo de º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores

7 º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores 68 Demostracó: La demostracó aalítca de esta propedad es bastate complcada por lo qe lo eremos gráfcamete. Proy Proy Proy Proy Proy Basta obserar e el gráfco qe: Proy Proy Proy 5. El prodcto escalar de dos ectores o los es cero s y sólo s los ectores so perpedclares. Demostracó: S y y. 9º α cosα cosα y so perpedclares... Expresó aalítca del prodcto escalar Cosderamos el sstema de refereca caóco e el espaco de dmesó tres: O R. Sea y el prodcto escalar de y es gal a: Demostracó: S mltplcamos los ectores de la base caóca B teemos: cosº 9º cos cosº 9º cos cos º 9º cos De aqí teemos: Eemplo Dados los ectores y 7 calcla s prodcto escalar Actdades propestas 8. Calcla el prodcto escalar de los ectores y 6.5. Aplcacoes del prodctos escalar.5.. Áglo etre dos ectores A partr de la defcó del prodcto escalar teemos: α cos cosα S cosderamos y teemos: cosα Y de aqí teemos: arccos α Para cada úmero real exste dos áglos cyo coseo ale. Tomaremos el meor de ellos.

8 69 Obserado la expresó dada por el coseo del áglo y dado qe los módlos de y so postos el sgo del coseo edrá determado por el sgo del prodcto escalar de y. Así: S el prodcto escalar es posto el áglo determado por y es agdo. S el prodcto escalar es cero los ectores formará áglo de 9 so perpedclares. - S el prodcto escalar es egato el áglo determado por y será obtso. Vectores ortogoales Dos ectores y so ortogoales cado determa áglo de oeta grados α 9º (es decr so perpedclares) y por tato cosα. De aqí se tee qe el prodcto escalar cosα Se obtee por tato la sgete codcó de perpedclardad etre dos. ectores: Esta codcó será o de los tres coceptos báscos para resoler cas calqer problema de geometría e el espaco. Eemplo Calcla ector ortogoal al ector. Sea dcho ector. Para qe se debe erfcar qe. λ Escrbmos la solcó e forma paramétrca: μ co y R λ μ De aqí podemos expresar la solcó como: λ μ λ μ λ λ μ μ λ μ Por tato todos los ectores ortogoales al ector será combacó leal de los ectores.5.. Coseos drectores E a base ortoormal se llama coseos drectores del ector ector co los ectores de la base: cos cos cos a los coseos de los áglos qe forma el Eemplo Calcla los coseos drectores del ector. Expresado el ector como combacó leal de los ectores de la base: Podemos hallar los coseos drectores a partr de los prodctos escalares co los tres ectores de la base: cos cos cos ( ) cos cos Es decr: cos Del msmo modo podemos hallar: cos cos y: cos cos cos cos º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores

9 7. PRODUCTO VECTORIAL.. Defcó Dados dos ectores del espaco de dmesó tres: y se llama prodcto ectoral de y y se deota por a otro ector co las sgetes característcas: Módlo: se sedo el meor áglo qe determa los dos ectores. Dreccó: es la perpedclar de calqer plao geerado por los ectores y. Setdo: es el de aace de sacacorchos qe gra de a (regla de Maxell). o Eemplo ectoral. Dado qe el prodcto ectoral de y es ector 8 Módlo: se 6 º Dados los ectores y qe forma áglo de 6 calcla el prodcto calclamos ss elemetos: º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores 8 Dreccó: Bscamos ector al qe llamaremos qe sea perpedclar a y. Como mos e el apartado ateror eso mplca qe el prodcto escalar co ambos ectores debe ser lo: El ector es por tato de la forma sedo el más secllo: Setdo: Será el setdo de aace de sacacorchos qe gra de a... Iterpretacó geométrca del prodcto ectoral Geométrcamete el módlo del prodcto ectoral de dos ectores cocde co el área del paralelogramo qe tee por lados esos ectores. Dados los ectores y teemos: Área del paralelogramo defdo por y Demostracó: E la fgra ateror podemos er qe Área h Por otro lado aplcado la defcó de seo: De aqí teemos: Área h se 576 h h se se.. Propedades del prodcto ectoral. El prodcto ectoral de ector por sí msmo es cero. Demostracó: El áglo qe forma ector cosgo msmo es cero. De aqí: se º. Propedad atcomtata: Demostracó: Los ectores tee el msmo módlo la msma dreccó y setdo (el gro del sacacorchos) cotraro lego so opestos.. Prodcto por úmero real: Demostracó: Es edete teedo el ceta qe al mltplcar ector por escalar s módlo qeda mltplcado por dcho escalar es decr.. Propedad dstrbta respecto de la sma: 5. El prodcto ectoral de dos ectores o los es el ector cero s y sólo s los ectores so paralelos. // Demostracó: º se se 8 º

10 º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores 7 6. E geeral el prodcto ectoral o cmple la propedad asocata... Expresó aalítca del prodcto ectoral Cosderamos el sstema de refereca caóco e el espaco O R. Sea y el prodcto ectoral de y se pede expresar medate el sgete determate: Demostracó: Como los ectores de la base caóca B tee módlo y so perpedclares etre sí: De aqí teemos aplcado la propedad dstrbta respecto de la sma: Aplcado la propedad del prodcto de úmeros reales: Eemplo Halla el prodcto ectoral de los ectores y Aplcacoes del prodcto ectoral Vector perpedclar a otros dos ectores Dados dos ectores o los y lealmete depedetes s prodcto ectoral ES ector perpedclar a ambos. Base de ectores ortogoales: Dados dos ectores o los y lealmete depedetes podemos cosegr a base de ectores ortogoales B cosderado: B

11 7.5.. Área de fgras plaas e el espaco Área de paralelogramo Hemos sto qe el módlo del prodcto ectoral de dos ectores cocde co el área del paralelogramo qe tee por lados esos ectores. E el paralelogramo ABCD podemos calclar s área: Área AB AD Edetemete el área o arará depedetemete de los ectores elegdos. Área de tráglo Dado tráglo ABC el área ee dada por la sgete expresó: Área Demostracó: El tráglo ABC está formado por tres ptos o aleados. Añadmos carto pto para costrr el paralelogramo ABCD. Este paralelogramo está formado por dos tráglos gales: el tráglo ABC de partda y el tráglo BCD. El área del paralelogramo es gal a: Área AB AC Como el área del tráglo es la mtad del área del paralelogramo teemos: Área AB AC Eemplo Halla el área del tráglo de értces A B y C. Cosderamos dos ectores co orge A y extremos B y C respectamete. AB AC 7 El área del tráglo es la mtad del módlo del prodcto ectoral AB AC. Calclamos el prodcto ectoral: AB AC Calclamos el módlo: AB AC AB AC AB AC De aqí: Área. º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores

12 º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores 7 5. PRODUCTO MIXTO DE VECTORES 5.. Defcó Dados tres ectores y se llama prodcto mxto de y y se deota por al úmero qe se obtee al calclar el prodcto escalar del prmer ector por el prodcto ectoral de los otros dos. Eemplo Calcla el prodcto mxto de los ectores y Iterpretacó geométrca del prodcto mxto Geométrcamete el alor absolto del prodcto mxto de tres ectores y cocde co el olme del paralelepípedo defdo por ellos. Demostracó: Cosderamos el paralelepípedo defdo por tres ectores y o los y o coplaaros. La fórmla del olme es: h ABCD Área Altra base la de Área Volme La base es paralelogramo por tato: ABCD Área De aqí teemos: h Volme Por otro lado aplcado las defcoes de las razoes trgoométrcas: cos 9º se 9º se h h h Etoces: h cos cos Volme 5.. Propedades del prodcto mxto. El prodcto mxto o aría s se permta crclarmete ss factores:. El prodcto mxto camba de sgo s se traspoe dos de ss factores:. Propedad respecto al prodcto por úmeros reales:. Propedad dstrbta respecto de la sma. 6. El prodcto mxto de tres ectores es lo s y sólo s los ectores so lealmete depedetes (so coplaaros). es combacó leal de y 5.. Expresó aalítca del prodcto mxto Cosderamos el sstema de refereca caóco e el espaco O R. Sea y. El prodcto mxto de y se pede expresar medate el sgete determate: Demostracó: Los ectores de la base caóca B erfca: Y so las todas las teras e las qe algo de ellos está repetdo.

13 7 Hallamos el prodcto ectoral aplcado la propedad dstrbta y el prodcto por úmeros reales: Eemplo Calcla el prodcto mxto de los ectores y º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores Aplcacoes del prodcto mxto Volme de paralelepípedo Hemos sto qe el alor absolto del prodcto mxto de tres ectores cocde co el olme del paralelepípedo defdo por ellos. Sea el paralelepípedo defdo por los ectores y AD etoces s olme ee dado por: Volme AB AC AD Actdad reselta Calcla el olme del paralelepípedo defdo por los ectores a b y c V a b c. Volme de tetraedro El olme de tetraedro de értces A B C y D es gal a sexto del prodcto mxto e alor absolto. AB AC AD Volme 6 Actdades reseltas Calcla el olme del tetraedro de értces A B C y D. AB AB AC AD AC V AD D 6 : AB AC AD Calcla el olme del tetraedro qe tee por értces A B C y AB AC AD AB AC AD V 6 6 Esto sgfca qe los ptos qe os da o forma gú tetraedro so qe todos perteece al msmo plao. Calcla las arstas del tetraedro qe tee olme de 6 y cyos értces

14 75 so el orge cartesao O y los ptos A a B a y C a OA a a OB a OA OB OC a a OC a a : Hallamos el prodcto mxto e la forma habtal: OA OB OC a Plateamos el olme: V a Y resolemos la ecacó: 6 a a 6 6 Hemos obtedo qe las arstas OA OB y OC mde a dades metras qe para obteer las arstas AB AC y BC debemos hallar el módlo de los correspodetes ectores: a a AB ( a) a a AB. - Dados los ectores lbres: EJERCICIOS Y PROBLEMAS. 5 a) Represeta los ectores: a b c d y a b c. b) Halla ector d tal qe a b c d.. - Dados a y b m halla el alor de m para qe sea lealmete depedetes.. - Compreba s so o o lealmete depedetes los sgetes ectores: a) x e y 6 9 b) x y z 5 y t c) x y y z. - a) Dados los ectores x e y m 6 halla el alor de m para qe los dos ectores sea lealmete depedetes. b) S m se pede expresar el ector z 8 como combacó leal de x e y? 5. - Dados los ectores y m calcla el alor de m para qe el ector se peda expresar como combacó leal de y Dados los ectores x y y z m halla el alor de m para qe los tres ectores sea lealmete depedetes. E este caso expresa z como combacó leal de x e y Dados los ectores m m y m determa el alor de m para qe: a) Sea lealmete depedetes. b) El ector se peda expresar como combacó leal de y y halla dcha combacó. c) Sea coplaaros Los ectores x y y z forma a base de V? E caso afrmato: a) Halla las compoetes del ector 5 respecto de dcha base. b) Halla las compoetes e la base caóca del ector s ss coordeadas e la base so y respectamete Halla pto C qe esté aleado co A y B y otro pto D qe o lo esté.. - De segmeto AB el pto B tee de coordeadas 6 y el pto medo del segmeto tee de coordeadas M. Halla las coordeadas del pto A y dde el segmeto AM e catro partes gales.. - De segmeto se sabe qe AB y qe el pto medo del segmeto tee de coordeadas AB M. Halla las coordeadas de A y B y ddr el segmeto e partes gales.. - Dados los ptos A y B halla dos ptos C y D qe esté aleados co A y B de maera qe o de ellos (C) esté stado etre ambos y el otro (D) esté stado a la zqerda de A. º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores AB

15 76. - De los ectores y se sabe qe y los dos ectores forma áglo de. Halla proy y proy.. - Pede haber dos ectores y tales qe 8 sedo y? 5. - Dados los ectores 6 y 6 calcla: a) El prodcto escalar. b) El módlo de y el módlo de. c) El áglo formado por ellos. d) El áglo formado por y. e) U ector perpedclar a qe tega módlo. Cátas solcoes hay? 6. - Dados los ectores y calcla: a) El prodcto escalar. b) El módlo de y el módlo de. c) El áglo formado por los ectores y. d) Los coseos drectores de. e) U ector perpedclar a y a qe tega módlo Calcla las compoetes de ector qe tega la msma dreccó qe el ector y s módlo sea y las de otro ector qe sea taro pero co setdo opesto al ector. Cáles so los coseos drectores de? 8. - Los coseos drectores del ector so: cos cos y cos 87. S 6 cáles so ss compoetes? 9. - U ector forma co los ectores y de la base ortoormal áglos de 5 y 6 y co el ector áglo agdo. S determa las compoetes del ector.. - Determa s es posble el alor de m de modo qe m y m sea: a) Paralelos. b) Perpedclares. - a) Calcla el alor de m para qe los ectores m y m sea perpedclares. b) Qé áglo formará para m los ectores y?. - De dos ectores ortogoales se sabe qe 7 y 5. Halla y.. - Dados dos ectores y tales qe 6 y calcla el módlo de.. - Dados los ectores 8 y calcla: a) Las compoetes de ector taro de la msma dreccó qe. b) U ector de la msma dreccó qe y cyo módlo sea gal a la proyeccó de sobre. c) U ector perpedclar a ambos y de módlo Sea B a base de ectores tal qe y además erfca qe y. Calcla el alor de m para qe a m y b sea ortogoales Dados los ectores a b y c determa ector taro (de módlo ) qe sedo coplaaro co a y b sea ortogoal (perpedclar) a c Dos ectores y so tales qe 5 y 7. Qé áglo forma? 8. - Sea y dos ectores tales qe y. S y forma áglo de halla: a) y b) y c) El áglo qe forma los ectores y 9. - Determa s es posble el alor de de modo qe los ectores y : a) Sea paralelos. b) Sea perpedclares. c) Forme áglo de Halla todos los ectores de módlo qe forme áglo de co y de 5 co.. - Halla todos los ectores de módlo 6 qe forme áglo de 9 co y 5 co.. - Dados los ectores y calcla: a) y b) y. - Dados los ectores 8 y halla: a) y b) y. - Dados los ectores y calcla: a) y b) y º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores

16 Dados los ectores y calcla: a) El módlo de y de y el áglo qe forma. b) El prodcto ectoral de y de. c) U ector taro qe sea ortogoal a y. d) El área del paralelogramo qe tee por lados los ectores y Dados los ectores m y 5 se pde: a) El alor de m para qe los ectores y tega dstta dreccó. b) El alor de m para qe los ectores y sea ortogoales. c) U ector qe tega módlo 6 y qe sea perpedclar a los ectores y Dados los ectores m m y m determa el alor de m para qe: a) Sea lealmete depedetes. b) El ector se peda expresar como combacó leal de los ectores y. Halla dcha combacó. c) Sea coplaaros. d) El área del paralelogramo determado por los ectores y alga E sstema de refereca ortogoal R O dode y teemos los ectores a y b. Co estos datos se pde: a) b) a b a b y áglo qe forma a y b. c) y área del tráglo b a a b determado por y. d) Repte los apartados aterores e el caso de ser sstema de refereca ortoormal Ecetra ector qe tega de módlo y tal qe s y erfqe: x y Sea A m m 5 B m 5 y C m los értces de tráglo ABC. Cáto ale m para qe el tráglo sea rectáglo e B?. - Los értces de tráglo ABC so A B 5 y C 7. Cáto ale para qe el tráglo sea rectáglo e B?. - Dos értces cosectos de paralelogramo so A y B. S O es el cetro de dcho paralelogramo halla las coordeadas de los otros dos értces y el área del paralelogramo.. - Dados los ptos A B y C m se pde hallar el alor de m para qe los tres ptos: a) esté aleados. b) forme tráglo rectáglo dode B ˆ 9º. c) forme tráglo sósceles sedo  el áglo desgal. d) forme tráglo de área 5. A B. - Dados los ptos y C m se pde: a) Hallar para qé alores del parámetro m está aleados. b) Hallar s exste alores de m para los cales A B y C so tres értces de paralelogramo de área 5 y e caso afrmato calclarlos. c) Hallar para qé alor de m formará tráglo rectáglo e B y calclar el área Dados los ptos A B C y D calcla: a) El área y el perímetro del tráglo de értces A B y C. b) El olme del tetraedro cyos értces so A B C y D. c) El olme del paralelepípedo determado por esos catro ptos. d) El área de a de las caras laterales Sea la prámde de értces A B C y D calcla: a) El área del paralelogramo determado por los ptos A B y C. b) El área de cada cara. c) S olme. AUTOEVALUACIÓN. Dados los ectores de compoetes ( ) y ( x 6) dca el alor de x para qe los dos ectores sea lealmete depedetes. a) 6 b) 9 c) d) 6. El módlo del ector de orge A( ) y extremo B( ) es: a) 8 b) 5 c) d) 5. Dados los ectores 5 6 el ector tee de compoetes: a) (5 5 5) b) (9 5 5) c) (5 5 5) d) (5 5). Dados los ptos A 5 y B 7 5 las coordeadas del pto medo del segmeto AB so: a) ( ) b) (6 6 ) c) ( ) d) (6 ) º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores

17 78 5. Dados los ectores 5 6 s prodcto escalar es: a) 5 b) 5 c) d) 6 6. Dado el ector 6 dca cál de los ectores es ortogoal a él: a) 5 b) 5 c) 7 d) Dados los ptos A 5 B 7 5 y C(6 7 6) el área del tráglo costrdo sobre ellos es: a) 5 b) c) d) 8. Dados los ectores 5 6 s prodcto ectoral es: a) 5 5 b) 555 c) 5 5 d) Dados los ectores 5 6 y s prodcto mxto es: a) 6 b) 5 c) 5 d). Dados los ectores 5 6 y el olme del paralelepípedo costrdo sobre ellos es: a) 6 b) 5 c) 5 d) Apédce: Problemas de ectores e las P.A.A.U. A 78 B C D 5 () Bsca el área del polígoo de értces y. () Las coordeadas de los ptos medos de los lados de tráglo ABC so M N y P. a) Obté las coordeadas de los értces A B y C del tráglo. b) Halla el área del tráglo. () Los ptos P y Q so dos értces de tráglo sósceles. Obté las coordeadas del tercer értce sabedo qe el pto es de la forma R x. Es úca la solcó? () Se cosdera el paralelepípedo cyos értces de la cara feror so los ptos A B C y D co A y C értces opestos. Sea A' el értce adyacete a A e la cara speror. Calcle: a) Los értces de la cara speror. b) El olme del paralelepípedo. (5) Sea los ptos A x B y C. a) Para qé alores de x los ptos o forma tráglo? b) Co x calcla el área del tráglo qe forma los ptos. a b c (6) S y so ectores del espaco dca cál o cáles de las sgetes expresoes o tee setdo: a b c a b c a b c a b c a b a b c a (7) Sea a b y c tres ectores lealmete depedetes. Idca cál o cáles de los sgetes prodctos mxtos ale cero: a c a c a b c a c b a b a c b c c a (8) Señala s las sgetes afrmacoes so erdaderas o falsas. E caso de ser certas stfícalas; e caso cotraro po eemplos qe lo cofrme. a) El prodcto mxto de tres ectores calesqera o los es sempre dstto de cero.b) S a b y c so tres ectores del espaco trdmesoal R o los qe satsface la codcó a b a c etoces se erfca qe b c. (9) Dados los ectores a b y c tales qe a b c y a b c calcla la sgete sma de prodctos escalares: a b b c a c. () Dados los ptos A B C y D 6 : a) Preba qe el cadrlátero ABCD es trapeco (tee dos lados paralelos) y halla la dstaca etre los dos lados paralelos. b) Halla el área del tráglo ABC. () Es sempre certo qe a b a b a b? E caso afrmato stfícalo; e caso cotraro po eemplo qe lo cofrme. () Dados los ptos A B C 5 y D calcla: a) El área del tráglo de értces A B y C. b) El olme del tetraedro cyos értces so A B C y D. º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores

18 79 () a) Demestra qe s tres ectores y so perpedclares etre sí etoces se erfca: dode deota el módlo del ector. b) Dados los ectores halla ector tal qe: c) Dado el ector halla los ectores y qe cmpla las tres codcoes sgetes: a) tee ss tres coordeadas gales y o las; b) es perpedclar a c) () Los ptos A B y C so tres értces cosectos de paralelogramo. a) Halla las coordeadas del carto értce D y calcla el área de dcho paralelogramo. b) Clasfca el paralelogramo por ss lados y por ss áglos. (5) Sea A B y C tres ptos del espaco trdmesoal qe erfca la relacó CB AB. a) Calcla el alor qe toma e la expresó AC AB b) S A y B 6 9 halla las coordeadas del pto C qe cmple la relacó de partda. (6) Se cosdera los ptos A a B a y C a. a) Compreba qe o está aleados calqera qe sea el alor qe tome el parámetro a. b) Halla el área del tráglo qe determa los tres ptos. (7) Resele la sgete ecacó ectoral: x 5 sabedo qe x 6. (8) Dados los ectores a a a a a y a se pde: a) Determa los alores de a para qe los ectores y sea lealmete depedetes. b) Estda s el ector c depede lealmete de los ectores y para el caso a =. c) Jstfca razoadamete s para a = se cmple la galdad. º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores

19 8 Base de sstema de ectores Pto medo de segmeto Prodcto escalar de ectores RESUMEN Se dce qe el coto de ectores forma a base del espaco y se deota por B cado erfca: -... so lealmete depedetes. - Calqer otro ector se pede escrbr como combacó leal de ellos: λ λ λ. Dados dos ptos A a a a y B b b b el pto medo del a b a b a b segmeto AB es: M Dados dos ectores y se llama prodcto escalar al úmero real qe reslta al mltplcar el prodcto de ss módlos por el coseo del áglo qe forma: cos Prodcto ectoral de ectores Dados dos ectores y se llama prodcto ectoral ector: - De módlo se - Dreccó perpedclar a y - Setdo dcado por la regla de Maxell al Prodcto mxto de ectores Proyeccó de ector sobre otro Áglo etre ectores Se llama prodcto mxto de tres ectores y al úmero real qe reslta de mltplcar escalarmete a por el ector resltate del prodcto ectoral de y : El prodcto escalar de dos ectores o los y es gal al prodcto del módlo de o de ellos por la proyeccó del otro sobre él: Proy cosα El áglo etre dos ectores se calcla co la fórmla: cosα α arccos Área de paralelogramo Área de tráglo Volme de prsma Volme de tetraedro El área del paralelogramo defdo por dos ectores se calcla co la fórmla: Área El área del tráglo defdo por dos ectores se calcla co la fórmla: Área El olme del paralelepípedo defdo por tres ectores se calcla co la fórmla: Volme AB AC AD El olme del tetraedro defdo por tres ectores se calcla co la fórmla: Volme AB AC AD 6 º de Bachllerato. Matemátcas II. Capítlo : Geometría e el espaco Vectores Atores: Letca Gozález y Álaro Valdés LbrosMareaVerde.t Resora: Mlagros Latasa.aptesmareaerde.org.es Imágees creadas por los atores