Revista Peruana de Epidemiología E-ISSN: Sociedad Peruana de Epidemiología Perú

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1 Revsta Peruaa de Epdemología E-ISSN: Socedad Peruaa de Epdemología Perú De La Cruz-Oré, Jorge Lus Qué sgfca los grados de lbertad? Revsta Peruaa de Epdemología, vol. 7, úm., agosto, 03, pp. -6 Socedad Peruaa de Epdemología Lma, Perú Dspoble e: Cómo ctar el artículo Número completo Más formacó del artículo Pága de la revsta e redalyc.org Sstema de Iformacó Cetífca Red de Revstas Cetífcas de Amérca Lata, el Carbe, España y Portugal Proyecto académco s fes de lucro, desarrollado bajo la catva de acceso aberto

2 REVISTA PERUANA DE EPIDEMIOLOGÍA ISSN RPEole Artículo de Revsó Qué sgfca los grados de lbertad? What do degrees of freedom mea? A,B Jorge Lus De La Cruz-Oré RESUMEN Los grados de lbertad represeta u tema cetral e la estadístca modera, s embargo su cocepto se explca poco e los lbros de texto. A pesar de que Gauss los usó por prmera vez al estmar las dstacas etre las estrellas, o aparece formalmete hasta los escrtos de Gosset (Studet) e 908. El cocepto de grados de lbertad se puede eteder desde u puto de vsta geométrco, algebraco e cluso tutvo. La geometría os descrbe a los grados de lbertad como espacos e hperespacos de lbertad a través de los cuales ua medda de resume puede moverse y tomar dferetes valores. El puto de vsta algebraco los descrbe como el úmero de ecuacoes que se establece usado los datos. Ambos putos de vsta está relacoados y ayuda a compreder co mayor profuddad el cocepto de grados de lbertad. La aplcacoes de los grados de lbertad está exteddas a través de toda la estadístca, el cálculo de la desvacó estádar y la prueba t de Studet so solo alguos ejemplos. PALABRAS CLAVE: Grados de lbertad, Dmesoes, t de studet. INTRODUCCIÓN ese a ser u tema muy mportate a lo largo de cas todos los Pcapítulos de la estadístca, el cocepto de grados de lbertad (degrees of freedom e glés) es escasamete explcado e los textos de cosulta, advrtedo que se trata de u tema dfícl de compreder, de esta maera es pasado por alto o dejado a la posteror revsó del estudate. Para el matemátco que aprede la complcada teoría de los grados de lbertad o so ecesaras más explcacoes. S embargo, para quees tee que usar la estadístca de maera práctca como los epdemólogos e vestgadores médcos, la mejor compresó de estos coceptos ayudará a compreder mejor uo de los temas cetrales e la estadístca. E la estadístca modera, o se halla el cocepto de grados de lbertad ates de los trabajos de Wllam Sealy Gosset ( El probable error de u promedo, Studet) e 908, y es por prmera vez explcado por Sr Roald Fsher, el fudador de la estadístca modera e 95. S embargo el cocepto ya era famlar a Fredrch Gauss, que geeralzó la teoría de los mímos cuadrados, muy usados e regresó leal. Gauss determó e palabras y e fórmula que al úmero de observacoes se le debe restar el úmero de térmos descoocdos que se está estmado a partr de los datos para servr como dvsor e el cálculo del error estádar de u grupo de datos. La presete revsó tee como objetvo dar ua dea tutva acerca de los grados de lbertad y sus fudametos. Se teta que sea compreddo por quees o tee ua formacó rgurosa e matemátcas pero que usa la estadístca para vestgar, eseñar o la está aprededo. E las sguetes líeas se preseta prmero dos ejemplos lustratvos y posterormete se profudza e el verdadero sgfcado de los grados de lbertad. Así msmo, se ha sacrfcado profuddad y exacttud e favor de la ddáctca, y a veces se recurre a repetcoes que ayudará a ua mejor compresó del tema. (A) Maestría e Boestadístca, Facultad de Cecas Matemátcas, Uversdad Nacoal Mayor de Sa Marcos. Lma, Perú. (B) CCBR - Lma, Sede Clíca Rcardo Palma. Correspodeca a Jorge Lus De La Cruz-Oré: dj_jdo@hotmal.com Recbdo el de abrl de 03 y aprobado el de mayo de 03. Cta sugerda: De La Cruz-Oré JL. Qué sgfca los grados de lbertad? Rev peru epdemol 03; 7 () [6 pp.] -0- REV. PERU. EPIDEMIOL. VOL 7 NO AGOSTO 03

3 Revsó Revsta Peruaa de Epdemología Ejemplo S teemos que escoger a 0 persoas de u grupo grade de modo tal que el peso promedo sea de 60 Kg, teemos la lbertad de elegr a los dez que osotros cosderemos. Obvamete puede exstr muchas muestras de dez dferetes persoas, pero sempre debemos teer e cueta que el promedo de los pesos debe ser 60 Kg. Fáclmete os podemos dar cueta que solo podemos elegr lbremete a las prmeras 9 persoas, dado que para elegr al décmo este debe ser elegdo de maera tal que el promedo del grupo o sea mayor meor de 60 Kg. Es decr, podemos elegr co lbertad a los 9 prmeros, y el décmo queda automátcamete restrgdo por la codcó de que su peso debe ser tal que la meda de los dez pesos debe ser 60 Kg. Por lo tato, para ua muestra de 0 persoas escogdas al azar, bajo la codcó de que la meda de los pesos sea 60 Kg, teemos 9 grados de lbertad. Ejemplo Otro ejemplo lustratvo podría ser el popular juego japoés Sudoku, e el cual o se puede repetr el msmo úmero e la msma columa o fla. S tomamos ua columa, y se os dca que ubquemos los úmeros del al 9, etoces podemos elegr lbremete los prmeros 8 úmeros, dado que el oveo umero o puede ser elegdo por osotros, quedado restrgdo por los 8 úmeros aterores. El prmer úmero puede ser cualquera de los ueve, el segudo debe ser elegdo de etre los ocho restates, el tercero debe ser escogdo de etre los sete que queda, y así hasta que solo os quede elegr etre dos úmeros, tras lo cual, solo os quedará u últmo y úco úmero, el cual ya o puede ser elegdo lbremete. Por lo tato, teemos 8 grados de lbertad. Ahora que hemos vsto estos dos ejemplos, os queda formalzar u poco más acerca del cocepto de grados de lbertad. Auque tal cocepto quedará claro tras leer todo el artículo, podemos decr que los grados de lbertad so los valores de u cojuto de datos que tee la posbldad de varar después de haber mpuesto algua restrccó a los msmos. Como veremos posterormete, los grados de lbertad so ua fucó del tamaño de la muestra así como del úmero de varables depedetes. Ua seguda defcó es que los grados de lbertad so la catdad de datos que puede varar depedetemete después de que alguas relacoes leales ha sdo establecdas etre ellos. LOS GRADOS DE LIBERTAD EXPLICADOS Ua aproxmacó geométrca Empecemos magado u puto fjo (u puto por defcó o tee dmesoes), tal puto o tee gú lugar a dode pueda moverse, y por lo tato o tee gú grado de lbertad. Cotuemos pesado e magemos u puto sobre ua recta (la recta tee ua sola dmesó), ahora uestro puto puede moverse a lo largo de la recta y decmos que tee u grado de lbertad, es decr la lbertad de moverse e ua dmesó tal y como lo hace u tre sobre las líeas férreas. Podemos coocer su ubcacó s sabemos a qué dstaca se ecuetra de u puto de orge. S cremetamos las dmesoes e uestro ejercco metal y ubcamos a uestro puto e u plao (dos dmesoes), uestro puto puede moverse lbremete a lo largo y a lo acho de tal plao, por lo tato tee dos grados de lbertad para recorrer s restrccoes, además podemos ubcarlo e u plao cartesao de tal modo que para coocer su ubcacó exacta ecestamos ecotrar dos putos (x; y) a partr del orge del plao. Nuestro ejemplo es smlar a pesar e u automóvl sobre u campo de cocreto, puede moverse a la derecha-zquerda o e setdo atrás-adelate, sedo posble coocer su ubcacó exacta s sabemos las dos coordeadas desde u orge fjo (Fgura ). FIGURA : Represetacó de u puto e u plao formado por dos dmesoes x e y. El puto puede moverse a lo largo y acho del plao, por lo tato tee dos grados de lbertad. 4 3 Puto (x=; y=3) Defcoes de Grados de Lbertad Se preseta a cotuacó alguas defcoes de los grados de lbertad e textos de estadístca de uso comú: La suma de los valores de las desvacoes de los valores dvduales co respecto a su meda es gual a cero, hecho que puede demostrarse. S se cooce los - valores de los valores a partr de la meda, etoces se cooce el -ésmo valor, ya que queda determado automátcamete debdo a la restrccó de 3 que todos los valores de sume cero. (Dael Waye 007, p4) El valor de los grados de lbertad se relacoa co el úmero de veces que se usa la formacó de la muestra. (Dawso 005, 4 p9) Se defe como el úmero de valores que podemos escoger 5 lbremete. (Lev 996, p388) Los grados de lbertad de ua prueba estadístca so el úmero de datos que so lbres de varar cuado se calcula tal prueba. 6 (Pagao 009, p3) Ahora pasemos a magar ua dmesó más y ubquemos a uestro puto e u espaco formado por tres dmesoes (largo, acho y altura), de tal maera que uestro puto se puede mover lbremete e cualquera de las dmesoes y tee por lo tato tres grados de lbertad. Esto es equvalete a pesar e ua mosca que se desplaza volado e ua habtacó. Podemos coocer su ubcacó exacta s teemos los valores de tres coordeadas e u mometo Rev. peru. epdemol. Vol 7 No Agosto 03-0-

4 Revsta Peruaa de Epdemología Revsó dado. També podemos magar a u avó e pleo vuelo y saber que además de moverse haca adelate se puede mover e el setdo derecha-zquerda y arrba-abajo, de tal maera que podemos coocer su ubcacó s sabemos cuál es su alttud, lattud y logtud. E matemátcas podemos pesar e muchas dmesoes más, así los espacos que determa se llama hperespacos, y se represeta por el símbolo R s se trata de espacos de úmeros reales, e tales espacos u puto tedrá grados de lbertad o dmesoes por los que pueda moverse. Es cas mposble poder magar tales hperespacos, pero al gual que e los párrafos aterores, uo puede coocer la ubcacó exacta de u puto sabedo las coordeadas 7 que lo determa. Vamos a cosderar e toda la exposcó sguete que ua muestra de tamaño estará represetada por u úco puto e u hperespaco cuyas coordeadas so cada uo de los valores de la muestra. De tal maera que s teemos ua muestra de dos sujetos, éstos será represetados por u úco puto que se mueve e u plao de dos dmesoes, y s teemos ua muestra de tres sujetos, estará represetados por u puto que se mueva e tres dmesoes. De gual maera, ua muestra de sujetos se represetará ubcado los valores e las coordeadas y al ur las proyeccoes quedará represetado por u úco puto que se mueve lbremete a través de u hperespaco de dmesoes. Hasta aquí hemos vsto que u puto que se mueve lbremete e u espaco co dmesoes tee grados de lbertad, pero, qué sucede s de atemao se fja el valor que toma uo de los ejes cartesaos? E otras palabras, debemos pregutaros cómo queda los grados de lbertad s se restrge u eje? Volvedo al ejemplo del puto e dos dmesoes (x,y), s algue de atemao restrge ua de las dmesoes y os dce que el valor del eje x debe ser ecesaramete 3, etoces uestro puto o podrá moverse lbremete e dos dmesoes y habrá perddo u grado de lbertad ( = grado de lbertad), es decr, sólo se podrá mover lbremete e ua recta (la recta que pase por x=3). Lo msmo ocurrría para el puto e tres, cuatro, o más dmesoes. Pero o solamete se puede restrgr ua dmesó, so també se puede restrgr todas las que se desee. Así, e u espaco de tres dmesoes (x,y,z) se puede restrgr x e y de tal maera que solo tedremos ua dmesó (3-=). E hperespacos de más de tres dmesoes se puede restrgr más de dos dmesoes. Geeralzado, s u puto se ecuetra e u hperespaco de dmesoes, etoces tee grados de lbertad, a meos que se especfque de atemao algú valor de ua o más dmesoes, e cuyo caso el úmero de grados de lbertad queda determado por la dfereca etre y el úmero de dmesoes restrgdas (r), por lo tato, tedremos que los uevos grados de lbertad ha dsmudo hasta llegar a ser (-r). Pero, cómo se hace para restrgr u úmero de valores r? Hay dos maeras, la prmera es smplemete dado a coocer uo de los valores que tomaría uo de los ejes y la seguda medate algua fórmula que relacoe a todos los datos (como la fórmula para hallar el promedo). Pesemos e u espaco defdo por tres ejes (que determa u espaco de tres dmesoes). U sstema como este es fácl de magar s pesamos e la esqua despejada de ua habtacó, allí podemos llamar a los ejes x, y, z. S elegmos tres valores cualesquera para los ejes y los umos, podemos obteer u plao tragular ABC como el de la fgura. FIGURA : El plao ABC e dos dmesoes está formado a partr de la relacó que exste etre tres putos e los ejes cartesaos. Y A B C X Cabe recordar que dos putos cualesquera al urse forma ua recta (cuado se relacoa de maera leal), y que tres putos cualesquera forma u plao bdmesoal cuado se ue por termedo de algua relacó. E la fgura, los tres putos so: B = = (x,0,0) A = = (0,y,0) C = = (0,0,z ) 3 Y la fucó que las relacoa es: Dode: x es el valor de algua varable medda e la persoa y es el valor para la persoa z es el valor para la persoa 3 X es la meda de los tres datos x + y + z 3 = X Como podemos ver, cuado se estma la meda de tres datos (tres putos cardales), el resultado se ecuetra lbre de moverse e u plao de dos dmesoes (trágulo ABC de la fgura ). Geeralzado, cuado datos se relacoa medate el cálculo de la meda (o de algua otra relacó leal), tal meda puede tomar Z -03- REV. PERU. EPIDEMIOL. VOL 7 NO AGOSTO 03

5 Revsó Revsta Peruaa de Epdemología dferetes valores que se mueve lbremete e u plao de - dmesoes. Volvedo a u ejemplo prevo, s teemos ua muestra de 0 sujetos (=0), y se calcula la meda de sus pesos, tal meda se mueve lbremete detro de los límtes de u hperespaco de 9 dmesoes (-=9) depededo de los posbles valores que pueda tomar los pesos de las 0 persoas. Es así que cuado dos putos se relacoal lealmete forma u espaco de ua sola dmesó (ua recta), cuado so tres los putos que se relacoa forma u plao de dos dmesoes, cuado los putos a relacoarse sea cuatro, formará u espaco de tres dmesoes. etc. Queda etoces claro que cuado u úmero cualquera de putos e u espaco se relacoa por algua fórmula, forma u uevo espaco que es exactamete de ua dmesó meos que la dmesó orgal, y cada vez que se tete explcar a los putos medate ua ueva relacó, las dmesoes se segurá reducedo sucesvamete. E la fgura 3, se puede aprecar que hay dos relacoes para los tres putos. La prmera relacó es la fórmula de la meda, que forma el trágulo ABC, la seguda relacó es ua ecuacó que produce u paralelogramo EFGH que tersecta a uestro prmer plao. S se exge que se cumpla ambas relacoes a la vez co los tres datos, etoces los úcos valores posbles se ecuetra e cualquer 8 puto de la recta LL* y se mueve lbremete a través de ella. Como se puede aprecar, al espaco cal de tres dmesoes se le ha mpuesto dos restrccoes, por lo tato, los úcos valores que satsface ambas relacoes se puede mover lbremete e u espaco de 3-= dmesó (ua líea), y todos los cálculos posterores que cluya a éstos resultados deberá teer e cueta que solo posee u grado de lbertad. FIGURA 3: Dos relacoes mpuestas a tres putos e los ejes cartesaos reduce las dmesoes a ua líea LL* de ua sola dmesó. Y Ua aproxmacó algebraca S se os da a elegr los valores de dos varables cualesquera x, y, osotros podemos pesar e ftos posbles valores para cada ua de ellas, pero cuado se os muestra ua relacó que las explca, la stuacó camba. Por ejemplo, los dos valores puede relacoarse de la sguete maera: x + y = 9 E éste caso, solo teemos la lbertad de elegr a uestro atojo a ua de las varables, ya que la seguda varable queda determada automátcamete por la relacó que las ue. S además se os mpoe ua seguda ecuacó que las explque, de tal maera que teemos ahora dos relacoes para uestras varables: x + y = 9... () x - y =... () Ya o os queda gua varable que podamos elegr lbremete, dado que teemos dos varables e dos ecuacoes, y por lo tato uestros grados de lbertad se ha reducdo a -=0. S resolvemos ambas ecuacoes, ecotramos que x=5; y=4. De la msma forma, s teemos sujetos co sus respectvos pesos, y calculamos el promedo de los msmos medate la fórmula: X = x + x x x = Automátcamete uestros grados de lbertad queda restrgdos a ( ) opcoes, y los cálculos que mplque el uso de la meda X e uevas fórmulas debe ser trabajados e ua dmesó meos que la orgal (es decr -) como e la aproxmacó geométrca. Geeralmete, cada vez que calculamos u uevo estmador, perdemos u grado de lbertad. A USANDO LOS GRADOS DE LIBERTAD E F L L* H C G Z Al calcular la desvacó estádar muestral La desvacó estádar muestral os da ua dea del grado de dspersó de datos alrededor de su meda, y para llegar a coocer tal meda se ha establecdo ua relacó etre los datos sumádolos a todos y dvdédolos etre el úmero de los msmos (es decr etre ). Al ser la meda el resultado de tal relacó, queda lbre de moverse a través de u uevo espaco de - dmesoes, por lo tato, la fórmula de la desvacó estádar (y el de la varaza) mde la dspersó de los datos alrededor de u puto (la meda) e u espaco de - dmesoes, y es por esto que tee como deomador a esa catdad de grados de lbertad tal como se evdeca e la fórmula sguete: s = (x - X) + (x - X) (x - X) - B X Dode: s es la varaza muestral s x x (-) es la desvacó estádar muestral represeta a los datos represeta el úmero de la muestra so los grados de lbertad Rev. peru. epdemol. Vol 7 No Agosto

6 Revsta Peruaa de Epdemología Revsó. Pogamos u ejemplo. Se desea coocer la varaza y desvacó estádar de la hemogloba de ua muestra de cco pacetes procedetes de u área co alta prevaleca de parastoss testal. Se tee los sguetes datos de hemogloba: 0; ; 9; 7; 9. La meda muestral es: X = = 9. 5 Y tato el cálculo de la varaza como el de la desvacó estádar debe teer e cueta a los grados de lbertad e el deomador. Para el caso, los grados de lbertad es gual al úmero de observacoes meos, es decr 5 = 4. La varaza muestral será: (0-9.) + (-9.) + (9-9.) + (7-9.) + (9-9.) s = =. 4 Y la desvacó estádar muestral será la raíz cuadrada de., es decr.48. Grados de lbertad para la dstrbucó t de Studet La dstrbucó t srve para probar la hpótess de gualdad de las medas de dos grupos de datos. Se empeza teedo dos grupos, el prmero de ellos tee elemetos, y el segudo, se halla las medas muestrales de ambos, X y X respectvamete. Por lo tato, cada grupo ha reducdo sus dmesoes de lbertad tras calcular las medas, y los uevos grados de lbertad so etoces ( -) y ( -). Para hallar la desvacó estádar (y la varaza), solamete se obtee el promedo a partr de ambas varazas poderadas segú sus grados de lbertad: s p = ( - )s + ( - )s ( - ) + ( - ) Y cuado se busca e la tabla de valores para la dstrbucó t de Studet se cosdera como los grados de lbertad la suma total de los grados de lbertad de ambos grupos. Podemos aprecar mejor esto s poemos u ejemplo. Se desea coocer s la preseca de parástos testales terfere co la absorcó de herro y por cosguete produce veles bajos de hemogloba. Se poe a prueba la hpótess ula de o dfereca del vel de hemogloba promedo de dos grupos de persoas, el prmer grupo procede de u área co alta prevaleca de parastoss testal y el segudo grupo procede de u área co baja prevaleca. S el úmero muestral del grupo uo es de 0 sujetos, y el tamaño del segudo es de 8, etoces los grados de lbertad asocados a la prueba t so: GL = (0 - ) + (8 - ) = 46 Y tedremos e cueta a los 46 grados de lbertad cuado hallemos el puto crítco para el rechazo de la hpótess ula. S cosderamos u valor alfa gual a 0.05, etoces uestro puto crítco de rechazo será: t = ±.678 (0.95 ; 46) Y s uestro estadístco t calculado cae a la zquerda de o a la derecha de se rechaza la hpótess ula y por lo tato hay evdeca que las medas de hemogloba de ambos grupos so dferetes. Es mportate mecoar que la dstrbucó t sempre depede de los grados de lbertad. VOLVIENDO A EMPEZAR Ahora teemos u mejor etedmeto de los grados de lbertad: Los grados de lbertad so guales al úmero de observacoes depedetes que so lbres de varar (el úmero de sujetos e los datos) meos el úmero de parámetros estmados (el úmero de,9,0 relacoes mpuestas a los datos). E otras palabras, está relacoados al tamaño de la muestra. Así msmo, los grados de lbertad so usados para defr las dstrbucoes estadístcas y co ellos poder realzar las pruebas de hpótess. CONCLUSIONES El úmero de grados de lbertad costtuye u tema cetral e la estadístca modera, s embargo o es compredda por la mayoría de vestgadores. El úmero de grados de lbertad se comprede mejor s es vsto como el úmero de dmesoes espacales e los que u puto es lbre de moverse. Cada relacó que se establece (es decr, cada estadístco que se calcula a partr de los datos) hace que se tega que modfcar los grados de lbertad s tal estadístco va a ser usado e cálculos futuros. E el últmo caso, los grados de lbertad queda restrgdos a la dfereca etre la catdad de datos y el úmero de relacoes establecdas etre los msmos. Los grados de lbertad ecuetra su aplcacó e ua gra catdad de modelos estadístcos, sedo la prueba t solo u ejemplo. **** -05- REV. PERU. EPIDEMIOL. VOL 7 NO AGOSTO 03

7 Revsó Revsta Peruaa de Epdemología REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. WALKER HM. DEGREES OF FREEDOM. JOURNAL OF EDUCATIONAL PSYCOLOGY. 940;3(4): MOONAN W. THE STATISTICAL INTERPRETATION OF DEGREES OF FREEDOM. THE JOURNAL OF EXPERIMENTAL EDUCATION. 953;(3), DANIEL W. BIOESTADÍSTICA: BASE PARA EL ANÁLISIS DE LAS CIENCIAS DE LA SALUD. MÉXICO: LIMUSA WILEY DAWSON B, TRAPP R. BIOESTADÍSTICA MÉDICA. MÉXICO: MANUAL MODERNO LEVIN R, RUBIN D. ESTADÍSTICA PARA ADMINISTRADORES. MÉXICO: PRENTICE-HALL PAGANO R. UNDERSTANDING STATISTICS IN THE BEHAVIORAL SCIENCES. CANADA: WADSWORTH, CENGAGE LEARNING STRANG G. INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA. BROOKS/COLE GROSSMAN S. ÁLGEBRA LINEAL. MÉXICO: MCGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES TOOTHAKER L, MILLER L. INTRODUCTORY STATISTICS FOR THE BEHAVIORAL SCIENCES. PACIFIC GROVE, CA: BROOKS/COLE YU C. ILLUSTRATING DEGREES OF FREEDOM IN TERMS OF SAMPLE SIZE AND DIMENSIONALITY DISPONIBLE EN: WISDOM.COM/COMPUTER/SAS/DF.HTML ABSTRACT WHAT DO DEGREES OF FREEDOM MEAN? Degrees of freedom s a cetral topc moder statstcs, however s poor explaed textbooks. Gauss used t for frst tme estmates of astroomc dstaces but t appears formally Gosset (Studet) mauscrpts 908. Degrees of freedom ca be uderstood from geometrc, algebrac or eve tutve pot of vew. Geometrcs shows degrees of freedom as spaces through a summary measure ca move freely assumg dfferet values. Algebra descrbes degrees of freedom as umber of ukow varables respect of umber of equatos we ca establsh usg data. Both algebrac ad geometrc pots of vew are related ad help us to uderstad better the meag of degrees of freedom. Applcatos statstcs are wdely spread but stadard devato ad Studet t are just some examples. KEYWORDS: Degrees of freedom, Dmesos, Studet t. Rev. peru. epdemol. Vol 7 No Agosto