SELECCIONANDO LA CARTERA DE UN INVERSOR MEDIANTE PROGRAMACIÓN POR METAS LEXICOGRÁFICAS ENTERA

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1 SELECCIONANDO LA CARTERA DE UN INVERSOR MEDIANTE PROGRAMACIÓN POR METAS LEXICOGRÁFICAS ENTERA Nura Padlla Garrdo Departameto de Ecoomía Geeral y Estadístca Uversdad de Huelva padlla@uhu.es Flor María Guerrero Casas Departameto de Ecoomía y Empresa Uversdad Pablo de Olavde fguecas@dee.upo.es RESUMEN Tradcoalmete, la seleccó de carteras ha sdo tratada como u problema de carácter cotuo e el cual buscar, detro de la frotera efcete, aquella combacó de títulos más adecuada para cada tpo de versor. Para tetar superar los coveetes que este efoque platea, propoemos la costruccó de u modelo alteratvo medate la utlzacó de ua técca multobjetvo deomada Programacó por Metas Lexcográfcas Etera. Además, y co el f de facltar su compresó, así como de demostrar su valdez empírca, lo hemos aplcado a u caso real e el que cosderamos dversos valores que cotza e el mercado cotuo español. Palabras clave: Seleccó de Carteras, Aálss Multcrtero, Programacó por Metas Lexcográfcas Etera.

2 . INTRODUCCIÓN La versó e carteras es u problema de toma de decsoes e el cual u versor debe repartr u determado presupuesto moetaro etre dsttos actvos faceros durate u perodo de tempo dado, e fucó del objetvo u objetvos que preteda alcazar, y supoedo que al fal de dcho espaco de tempo, procederá a lqudarlos. Para cosegur este propósto, los estudosos del tema cos dera que es ecesaro desarrollar ua sere de etapas, s embargo, debdo a que la puesta e práctca de las msmas suele ser extremadamete compleja, ua solucó geeralmete aceptada cosste e smplfcar la realdad cosderado exclusvamete aquellos factores más mportates que cde e el problema y costrur, e fucó de ellos, u modelo ormatvo e el cual todas las relacoes esté claras y las cosecuecas de cualquer posble cambo se pueda determar co precsó. Estos modelos, deomados de seleccó de carteras, se puede dvdr e dos grupos e fucó del úmero de objetvos cosderados: los modelos uobjetvo y los multobjetvo, s embargo, la mayoría de ellos puede clasfcarse detro del segudo grupo, ya que lo ormal es que, cuado u versor pretede costrur ua cartera de valores, trate de alcazar varos objetvos smultáeamete. Desde esta perspectva, la revsó de los prcpales modelos multobjetvo os ha permtdo descubrr los coveetes que platea a la hora de seleccoar la cartera del versor. Así, u prmer grupo de ellos estaría relacoado co la forma que tee de platear el problema de versó. E este setdo, e ocasoes, olvda aspectos ta realstas como la ecesdad de dspoer de la sufcete flexbldad para poder adaptarse a las ecesdades de cualquera, la preseca de uos costes asocados, las vetajas que se obtee de la dversfcacó o la ecesdad de buscar ua combacó de títulos o domadas por otras. Además, cosdera la seleccó de carteras como u problema de carácter cotuo e el cual buscar el porcetaje de versó e cada título s teer e cueta que, cuado dchos porcetajes se coverta e úmero de actvos a adqurr, puede aparecer catdades o eteras y, por tato, caretes de setdo. 2

3 U segudo grupo de coveetes estaría, e cambo, relacoado co los métodos que propoe para seleccoar la cartera del versor. E este setdo, la mayoría de los modelos apuesta por segur uas pautas comues: la determacó de la frotera efcete y la búsqueda, detro de ella, de aquella combacó de títulos más adecuada. E la prmera etapa, ua vez defdo el cojuto factble, lo ormal es que los modelos emplee uas téccas multobjetvo, deomadas Téccas Geeradoras del Cojuto Efcete que, s embargo, platea seros coveetes cuado se utlza para resolver problemas de tamaño relatvamete grade, etre los cuales destaca dfcultades computacoales así como la obtecó de cojutos efcetes excesvamete grades que, posterormete, pueda dfcultar la eleccó fal del sujeto decsor. Además, estas téccas o permte que el versor haga explíctas, desde u prmer mometo, sus preferecas que, ate la exsteca de objetvos compatbles, pueda establecer uos veles de aspracó para los msmos. E estas crcustacas, e las cuales tato el plateameto del problema como la metodología propuesta para su resolucó preseta seras defcecas, es ecesaro llevar a cabo ua sere de ovacoes. E este setdo, realzaremos ua ueva propuesta cosstete e platear u modelo que supere dchos coveetes. Para su costruccó emplearemos ua técca multobjetvo ecuadrada detro de la Programacó por Metas. La utlzacó de la Programacó por Metas e el campo de la seleccó de carteras o es recete, auque se caracterza por la escasa prolferacó de estudos. Las prmeras aplcacoes, detro de las cuales podemos destacar las realzadas por Lee y Lerro (973), Kumar, Phlppatos y Ezzell (978) así como por Lee y Chesser (980), se caracterza por adaptar el marco tradcoal de seleccó de carteras desarrollado por Markowtz así como el CAPM al cotexto de la Programacó por Metas. Posterormete, se fuero troducedo ua sere de ovedades como la utlzacó, e u teto de adaptarse mejor a las preferecas del decsor, de modelos teractvos o cluso del APT, e lugar del CAPM, como teoría adecuada para valorar el resgo (Tamz, Hasham y Joes (996)). 3

4 Por últmo, també destaca ua sere de trabajos cuyo propósto fudametal cosste e oretar específcamete a los asesores faceros e la seleccó de las carteras de sus cletes (Levary y Avery (984); Schederjas, Zor y Johso (993); Powell y Premachadra (998)). Tomado e cosderacó lo ateror, uestro propósto cosste e platear u modelo medate Programacó por Metas, quzás o ta sofstcado ta específco como los aterores, pero que recoja facetas ta báscas como pueda ser la búsqueda de ua cartera o domada por otras, la cosderacó de los costes asocados, la flexbldad o las vetajas que se obtee de la dversfcacó. Además, cosderaremos como varables de decsó el úmero de títulos a adqurr de cada actvo, tratado, de este modo, el problema como uo de carácter etero. Cocretamete, para su resolucó emplearemos la deomada Programacó por Metas Lexcográfcas Etera, la cual teta represetar ua estructura de preferecas e la que el sujeto decsor cosdera mucho más mportate el logro de los veles de aspracó asocados a determados crteros que la cosecucó de los relacoados co el resto. De este modo, ua vez descrta su metodología y plateado el modelo e fucó de ella, uestro objetvo será poerlo e práctca medate ua aplcacó real que os permta probar su valdez empírca. 2. LA PROGRAMACIÓN POR METAS LEXICOGRÁFICAS ENTERA La Programacó por Metas Lexcográfcas Etera es ua técca multobjetvo cuya faldad cosste e la búsqueda de solucoes satsfactoras de carácter etero. Para alcazar este objetvo, propoe ordear las q metas del problema e s veles de prordad e fucó de las preferecas del sujeto decsor. Co ello, cada meta puede quedar asgada a u vel de prordad dstto, o be, varas puede aparecer e el msmo vel, e cuyo caso será ecesaro establecer ua poderacó etre las msmas. 4

5 Esto mplca que el decsor asocará prordades excluyetes a las dsttas metas, es decr, tetará prmero satsfacer aquellas metas stuadas e el vel de prordad más alto, e caso de cosegurlo, tetará satsfacer las stuadas e el sguete vel de prordad y así sucesvamete. Todo ello se traduce e la resolucó de u problema como el sguete: s.a. Lexm (H (,p), H 2 (,p),..., H s (,p) ) x χ X = { x χ R : A x [ b ; A χ M sx (R), b χ R s } f (x) + - p = u, =,..., q, p µ 0 x j µ 0 j=,..., x t = 0,, 2,... t χ 2 cuya faldad cosste e la mmzacó lexcográfca u ordeada de las compoetes del vector (H (,p), H 2 (,p),..., H s (,p)) sujeta al cojuto de metas y restrccoes establecdas, sedo: H (,p) fucó de logro del vel de prordad -ésmo, la cual se defe como q H (, p) = w h (, p), dode j= j j w j represeta la mportaca relatva que el decsor otorga a la meta j e el vel de prordad, y hj(,p) es la fucó de realzacó o de logro asocada a la meta j (el Cuadro resume las dsttas clases de fucoes de realzacó que exste). X Cojuto factble. x j Varable de decsó j-ésma. f(x) Fucó matemátca represetatva del atrbuto -ésmo. Segú Barba-Romero y Pomerol (997), p. 27, los atrbutos so ejes de evaluacó e fucó de los cuales se elegrá las alteratvas. E este setdo, atrbutos puede ser, por ejemplo, la retabldad y el resgo esperados de ua cartera de valores. 5

6 Varable de desvacó que cuatfca la falta de logro del atrbuto -ésmo sobre el vel de aspracó -ésmo. p Varable de desvacó que cuatfca el exceso de logro del atrbuto -ésmo sobre el vel de aspracó -ésmo. u Nvel de aspracó del atrbuto -ésmo. s Número de veles de prordad del problema. q Número de metas del problema. 2 Subcojuto de varables de decsó al que se oblga a adoptar u valor etero. Cuadro Metas, varables de desvacó o deseadas y fucoes de realzacó asocadas Forma cal de Forma de la meta Varable de desvacó Fucó de la meta trasformada o deseada (a mmzar) realzacó f(x)µ u f(x) + - p = u, h(,p) = f (x) [ u f (x) + - p = u, p h (,p ) = p f (x)= u f (x) + - p = u, + p h (,p ) = + p Fuete: Adaptada de Romero (993, p. 64) Los métodos destados a la resolucó de este tpo de problemas so múltples y complcados. Detro de ellos, podemos destacar las aportacoes realzadas por Igzo (985), que propoe u algortmo para covertr u problema de Programacó por Metas Lexcográfcas Etera e u problema de Programacó Etera Mooobjetvo, o el trabajo desarrollado por Mrrazav (997), que platea u algortmo de Ramfcacó y Acotacó que resuelve relajacoes leales del problema lexcográfco. 6

7 No obstate, al emplear cualquera de estos métodos u aspecto teresate que sempre debemos examar es s la solucó obteda, además de satsfactora, es efcete. Para coocer esta propedad podemos utlzar ua sere de téccas, deomadas de Deteccó y Restauracó de la Efceca, las cuales se caracterza por actuar e dos etapas. E la prmera de ellas, el objetvo es coocer la stuacó de cada meta e el puto satsfactoro. E este setdo, exste tres tpos de stuacoes: que la meta sea efcete, o efcete, o be, o acotada. De este modo, etederemos por meta efcete aquella que para mejorar su valor e el puto ha de empeorar ecesaramete el valor de algua otra meta. E cambo, la meta efcete será aquella que puede mejorar su valor s ecesdad de deterorar el valor de las otras. Por últmo, se dce que ua meta es o acotada s se puede mejorar ftamete su valor e el puto y o por ello empeorar el valor de algua otra. Esta tarea de deteccó se realzará, como ya hemos cometado, meta por meta, de modo que s todas ellas so efcetes e el puto satsfactoro, éste será además u puto efcete. E cambo, s algua meta fuera efcete, el puto satsfactoro també tedrá ese carácter. Ua vez falzada la Etapa de Deteccó pasaremos, e caso de que hayamos localzado algua meta efcete, a la seguda etapa, deomada de Restauracó de la Efceca. Co relacó a ella, es mportate destacar que exste dferetes métodos para poder llevarla a cabo. Etre ellos podemos destacar el Método de la Restauracó Basada e Preferecas (Mola (2000)), caracterzado por traspasar la estructura de preferecas empleada e la etapa de búsqueda de ua solucó satsfactora a la etapa de restauracó de la efceca, y el Método de la Restauracó Iteractva (Mola (2000)), que se utlza cuado dcha estructura de preferecas camba de ua etapa a otra. 7

8 3. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO 3.. Hpótess Para comezar el plateameto del modelo vamos a establecer ua sere de supuestos fudametales o hpótess que, e uestro caso, so las sguetes: El comportameto del versor es racoal lmtado y, por tato, o busca ua cartera óptma so ua que satsfaga sufcetemete los veles de aspracó establecdos para los dsttos atrbutos. El versor puede elegr el espaco de tempo durate el cual matedrá su cartera que estará tegrado, e todo caso, por u úco perodo. Al co del msmo, procederá a la compra de la combacó de títulos co el propósto de cosegur los objetvos al fal del perodo de teeca, mometo e el cual procederá a su lqudacó. Durate el perodo de teeca o se producrá retradas uevas aportacoes de captal. Tampoco se podrá prestar dero pedrlo prestado. Exste u presupuesto que restrge las posbldades de versó. El versor pretede obteer, además, ua cartera o domada por otras. Se cotempla la exsteca de uos costes asocados a la formacó, matemeto y lqudacó de la cartera. Pero, además de teer e cueta estas hpótess, la costruccó de u modelo de seleccó de carteras medate Programacó por Metas Lexcográfcas Etera exge defr las varables de decsó, los objetvos, las metas y las restrccoes del problema. 3.2.Varables de decsó Deotaremos uestras varables de decsó por N, =,...,,, y represetará el úmero de títulos a adqurr de cada valor. No obstate, tedremos e cueta, además, uas varables de 8

9 carácter baro, que desgaremos z, =,...,, las cuales adoptará valor uo sempre que el versor adquera el título y cero e caso cotraro, es decr: z N cotsup z N z {0,} =,..., dode cotsup es ua cota superor de N Objetvos y Metas Ua vez defdas las varables, el sguete paso cosste e establecer los objetvos de versó que, e uestro caso, será cuatro:. Maxmzar la retabldad esperada de la cartera. 2. Mmzar su resgo sstemátco. 3. Maxmzar el úmero de títulos dferetes, co objeto de obteer ua cartera dversfcada y, por tato, carete de resgo específco. 4. Maxmzar la catdad vertda del presupuesto dspoble. E cosecueca, la retabldad esperada de la cartera, su resgo sstemátco, el úmero de títulos dferetes y la catdad de presupuesto vertda e la msma será los atrbutos de versó. 9

10 Combado cada atrbuto co su correspodete vel de aspracó, e troducedo las correspodetes varables de desvacó, obtedremos las sguetes metas: = = E(R ) N cot + - p = â N cot P + 2 p 2 = B E (R F ) P = = z p3 = T N cot p4 = C P La prmera meta va a reflejar el deseo del versor de que la retabldad esperada de la cartera sea, al meos, gual a la retabldad que se espera obteer cuado se verte e reta fja (E(RF) P) dode E(R) es la retabldad esperada del título, cot es el preco de compra del título, E(RF) es la retabldad esperada de la reta fja y P es el presupuesto de versó. E cosecueca, la fucó de logro asocada a esta prmera meta, h (, p ), va a ser gual a. La seguda meta del versor va a cosstr e que el resgo sstemátco de la cartera o supere u certo vel B, dode â es la beta o resgo sstemátco del título. Por tato, la correspodete fucó de logro asocada, h2(2, p2), va a ser gual a p2. La tercera meta va a reflejar el deseo de que el úmero de títulos dferetes de la cartera sea mayor o gual que T. E este caso, la fucó de logro se deota como h 3 ( 3, p 3 ), y cocde co 3. La últma meta cosste e que el versor agote, al meos, u amplo porcetaje C del presupuesto. Ello se traduce e la obtecó de ua fucó de logro asocada, h 4 ( 4, p 4 ), gual a 4. 0

11 3.4. Restrccoes Las restrccoes duras de uestro problema, esto es, aquellas que bajo gú cocepto puede ser voladas, se compoe de ua restrccó presupuestara y de otras destadas a la dversfcacó de la cartera. La restrccó presupuestara, cuya faldad cosste e evtar que se verta e la cartera ua cuatía superor a la del presupuesto de versó, vee dada por la sguete expresó: = N cot P Por su parte, las restrccoes destadas a la dversfcacó de la cartera, las cuales apuesta por o admtr más de u porcetaje M del presupuesto e cada título 2, vee dadas por: N cot M P =,..., Co relacó a estas restrccoes es mportate señalar que auque, e prcpo, su clusó pueda pareceros ua redudaca ya que cuado establecmos la tercera meta, ésta pretedía alcazar ese msmo propósto, la cosderacó cojuta tato de estas uevas restrccoes como de la meta es u aspecto ecesaro para la elmacó del resgo específco. De este modo, s cosderásemos sólo la meta, ésta o podría mpedr que aparecese stuacoes e las cuales el presupuesto se cocetrase e la adquscó mayortara de determados valores. E cambo, la cotemplacó exclusva de las restrccoes, os permtría currr e el problema de o llegar a alcazar u úmero sufcete de actvos dferetes para lograr ua dversfcacó adecuada. 2 Es mportate destacar que auque osotros hayamos optado por dversfcar la cartera troducedo uas restrccoes que apuesta por o admtr más de u porcetaje M del presupuesto e cada actvo, exste otros métodos para lograr dcho propósto como, por ejemplo, o vertr más de u porcetaje R del presupuesto e u sector cocreto (véase, por ejemplo, Lee (972)). La eleccó cocreta de u método u otro depederá, e todo caso, de las preferecas persoales del sujeto decsor.

12 3.5. Plateameto del modelo Ua vez defdos todos los elemetos del problema, el sguete paso cosste e asocar prordades excluyetes al orde e que se pretede satsfacer las metas. E uestro caso, supodremos que exste ua mayor prefereca por la cosecucó de las dos prmeras metas, a cotuacó por la tercera y, por últmo, por la cuarta. A tal efecto, dstguremos tres veles de prordad: u prmer vel, Q, e el cual stuaremos las metas prmera y seguda co détco peso, aspecto éste que, lógcamete, puede alterarse, u segudo vel, Q 2, tegrado por la meta tercera y u últmo vel, Q 3, formado por la meta cuarta. Co todo ello, el modelo de Programacó por Metas Lexcográfcas Etera resultate es el sguete: s.a. Lexm [ + p 2, 3, 4 ] = E(R ) N cot CT + - p = E (R F ) P = â N cot P + 2 p 2 = B = z p3 = T = N cot + CT p4 = C P = N cot N cot + CT M P P N z cotsup z N z {0,} N 0 Z + 2

13 j, p j µ 0 j=,..., 4 =,..., y e dode es mportate señalar que hemos troducdo los costes asocados a la cartera (CT) tato e la prmera meta, debdo a la flueca que ejerce dsmuyedo la retabldad esperada, como e la cuarta meta y e la restrccó presupuestara, ya que el presupuesto o sólo debe cubrr el desembolso orgado por la compra efectva de títulos so també sus costes asocados. 4. RESULTADOS Co objeto de demostrar la valdez empírca del modelo co depedeca de la fase específca por la que atravese el mercado, decdmos resolver éste e cco mometos de adquscó dsttos, correspodetes al prmer día hábl 3 de los años 997, 998, 999, 2000 y 200. Para ello, utlzamos u total de 87 valores tegrates del mercado cotuo así como la formacó reflejada e el Cuadro 2, la cual supodremos costate e cada uo de los días aalzados. Pero, además, ecestábamos establecer los valores de las retabldades y betas prevstas de cada título, así como las retabldades esperadas de la reta fja y las cotas superores de cada varable N e cada uo de los días de adquscó establecdos. Para ello, acudmos tato al Servco de Publcacoes de la Bolsa de Madrd como al webste del Baco de España, e dode obtuvmos los datos ecesaros para su cálculo. Ua vez cosegudos estos datos, mplemetamos formátcamete el modelo medate el programa PROMO desarrollado por Caballero y otros (2000), etre otras razoes, por el hecho de trabajar bajo u etoro Wdows, su facldad y secllez de utlzacó así como el hecho de corporar toda la metodología que ecestábamos. 3 Co relacó a los títulos cosderados, debemos precsar que auque, por ejemplo, e el día de adquscó establecdo para 997, hubese socedades cotzado por separado, como puede ser el caso de BBV y Argetara, los datos que hemos recbdo de la Bolsa de Madrd refleja el valor BBVA, resultado de la fusó de ambas etdades. Por tato, auque este tratameto o sea correcto a la hora de adqurr ua cartera e esa fecha, tedremos que supoer su exsteca hacedo, por tato, ua smplfcacó. 3

14 Iput P Cuadro 2 Iputs ecesaros Valor asgado 6000 euros C 95% M 5% T 20 títulos B CT 4 5,4+ 0,0045 = N cot Los resultados señalaro la obtecó, e el prmer día de adquscó, de ua solucó satsfactora y, tras el empleo de la Etapa de Deteccó y de ua Restauracó Basada e Preferecas, de ua solucó, además, de carácter efcete (Cuadro 3), metras que, e los cuatro días restates, se obtuvero solucoes o satsfactoras, debdo al cumplmeto de la últma meta, así como de la prmera, e el caso cocreto de la cartera obteda e el día quto (Cuadro 4). Cuadro 3 Valores alcazados por las metas e la solucó satsfactora obteda el prmer día de adquscó Día º Meta Valor Nvel logrado aspracó Retabldad 2,06 0,94 Beta 0, Dversfcacó Presupuesto 5999, Para el cálculo de CT, hemos cosderado los datos proporcoados por la Socedad de Valores Reta 4. 4

15 Cuadro 4 Valores alcazados por las metas e las solucoes o satsfactoras obtedas los días de adquscó segudo, tercero, cuarto y quto Día 2º Día 3º Día 4º Día 5º Meta Valor Nvel Valor Nvel Valor Nvel Valor Nvel logrado aspracó logrado aspracó logrado aspracó logrado aspracó Retab. 3,37 0,72 2,3 0,48 0,67 0,59 0,22 0,74 Beta 0,024 0,043 0,054 0,0498 Dvers Presup. 776, , , , E estas crcustacas, el decsor debería determar s desea realzar modfcacoes e el problema tales como la redefcó de las metas o la redstrbucó de las msmas e uos veles de prordad dferetes. S embargo, optamos por relajar la restrccó relacoada co el deseo de o agotar más del 5% del presupuesto e cada título, fjádola e u uevo vel del 5%. E esta ocasó, los resultados obtedos señalaro que el modelo fucoaba be e los dsttos mometos aalzados (Cuadro 5). Así, metras que e los días de adquscó segudo, tercero y cuarto proporcoaba solucoes satsfactoras y, tras el empleo de la Etapa de Deteccó y de ua Restauracó Iteractva 5, solucoes, además, de carácter efcete, e el quto día, proporcoaba ua solucó o satsfactora que cumplía exclusvamete la meta asocada al últmo vel de prordad, hecho que podía deberse, fudametalmete, al carácter egatvo de la mayoría de prevsoes que realzamos de las retabldades de los dsttos títulos e ese state. No obstate, debdo a que este cumplmeto era sólo por ua cuatía de 89,96 euros, decdmos o proceder a reformular el problema. Además, també es mportate destacar que la meta relacoada co la beta o codcoaba e gú mometo el proceso de resolucó, ya que sempre se mateía alejada de su vel de aspracó. 5 La razó para o segur empleado ua Restauracó Basada e Preferecas, tal como hcmos el prmer día de compra, era que ésta elevaba el úmero de títulos tegrates de la cartera hasta u total de 87, es decr, a todo el cojuto cal de valores. Por ello, optamos por utlzar ua Restauracó Iteractva que os permtera alcazar, de etre todos los putos satsfactoros, aquel que fuera el más retable. 5

16 Cuadro 5 Valores alcazados por las metas e las solucoes efcetes obtedas los días de adquscó segudo, tercero y cuarto y e la solucó o satsfactora del día quto Día 2º Día 3º Día 4º Día 5º Meta Valor Nvel Valor Nvel Valor Nvel Valor Nvel Retab. logrado 5,9 aspracó 0,72 logrado 8,05 aspracó 0,48 logrado 2,35 aspracó 0,59 logrado 0,76 aspracó 0,74 Beta 0,535 0,3333 0,5449 0,0885 Dvers Presup. 5999, , , , A la vsta de estos resultados, podemos coclur que el modelo poe de mafesto la potecal utldad de ua metodología como la Programacó por Metas Lexcográfcas Etera e la resolucó de u problema como el de la seleccó de carteras. S embargo, també permte detectar ua sere de dfcultades. E prmer lugar, la falta de coocmetos del versor que decde acceder drectamete a bolsa para poerlo e práctca. No obstate, este coveete puede solvetarse, e parte, s dspoe de u software específco. La cuestó radca e que estos programas, e ocasoes, resulta accesbles. De hecho, el software que hemos empleado para llevar a la práctca el modelo, a pesar de haber sdo amplamete cotrastado e múltples stuacoes así como e dversas aplcacoes reales, o se comercalza actualmete. E segudo lugar, la ecesdad de realzar estmacoes sobre determados puts, como las retabldades y betas prevstas de cada título. El problema se complca, aú más, al o poder coocer el grado de fabldad de las msmas hasta el fal del perodo de teeca, mometo e el cual es posble compararlas co las retabldades y betas obtedas realmete. E tercer lugar, hay que señalar que tampoco es posble coocer co certeza el vel de cumplmeto real de las dos prmeras metas hasta el mometo de lqudacó de la cartera. E este setdo, hemos vsto cómo e el día de la compra, cuado trabajábamos co prevsoes, 6

17 dchas metas se cumplía sempre. Ahora be, esto o tee por qué ocurrr al fal del perodo de teeca, mometo e el cual, al coocer ya las retabldades ybetas reales de la cartera, ecestamos saber s éstas supera o o los veles de aspracó establecdos. Además, este tpo de aálss puede resultar especalmete teresate cuado el versor o ha establecdo u día cocreto para la veta, ya que puede oretarle sobre el mometo de lqudacó de la cartera. 5. CONCLUSIONES A lo largo de la lteratura facera, ha sdo umerosos los modelos destados a determar la cartera del versor, s embargo, la revsó de los msmos os ha permtdo descubrr que platea seros coveetes e la resolucó de este problema de versó, prcpalmete, aspectos relacoados co la metodología que propoe así como co el hecho de cosderar la seleccó de carteras como u problema de carácter cotuo. Este aálss os ha motvado a dseñar u uevo modelo que, además de superar las dfcultades descrtas aterormete, recoge facetas ta báscas para este tpo de versoes como pueda ser la búsqueda de ua cartera o domada por otras, la cosderacó de los costes asocados, la flexbldad o las vetajas que se obtee de la dversfcacó. Para su costruccó, hemos utlzado ua técca multobjetvo deomada Programacó por Metas Lexcográfcas Etera. Su ejecucó e dferetes mometos del tempo, ha puesto de mafesto su bue fucoameto, s embargo, també ha evdecado ua sere de dfcultades, comues, al f y al cabo, a todo modelo de seleccó de carteras, etre las cuales destaca la ecesdad de dspoer de u software específco o de realzar estmacoes sobre determados puts para poder ejecutarlo. De todos modos, estos coveetes o debe, e absoluto, mermar la aplcabldad del modelo so más be etederse como ua señal oretatva de las precaucoes que debe adoptarse a la hora de poerlo e práctca. 7

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