Al grupo de investigadores de CIMNE por su ayuda y dedicación: Jerzy Rojek, Francisco Zarate, Joan Miquel Canet y Eva Balsa.

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1 Hay hombres que lucha u día y so bueos. Hay otros que lucha u año y so mejores. Hay quees lucha muchos años y so muy bueos. Pero hay los que lucha toda la vda. Esos so los mprescdbles. Maro Beedett

2 A m padre

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4 AGRADECIMIENOS Quero agradecerle muy especalmete al profesor Eugeo Oñate la oportudad que me brdó de colaborar e el proyecto Cutter, así como todo el apoyo y la cofaza que de él he recbdo. Al grupo de vestgadores de CIMNE por su ayuda y dedcacó: Jerzy Roje, Fracsco Zarate, Joa Mquel Caet y Eva Balsa. A Carlos Recarey u mlló de gracas por toda su ayuda. A los compañeros de CIMNE (José Atoo Arráez, Jose Mauel Gozález, Roberto, Martí, Gerardo) por las horas y los cafés de meda tarde. A m padre, a m madre y a ms hermaos por todo su amor. A ms compañeras de estudos: Daa, Esther, Lere, Mercè, Motse G., Motse S. y Soa por estar ahí, por su amstad, su mejor regalo. A Delfa Muñoz por su gealdad y por su sorsa. A Jord por llear m vda.

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6 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Capítulo 1: Itroduccó Desde tempos memorales el hombre ha actuado sobre su etoro, trasformádolo y adaptádolo a sus ecesdades y gustos. Para ello, e muchas crcustacas, debe cluso modelar el terreo que le susteta. E este setdo, el gra avace de la técca ha permtdo desarrollar maquara adecuada a este f. A cotuacó, se muestra u modelo del terreo y el útl que cosgue smular el proceso de excavacó. El modelo umérco adoptado se basa e el método de los elemetos dscretos. El método de los elemetos dscretos es ua técca umérca que permte la modelzacó de sóldos como ua coleccó de partículas o elemetos de dsttas formas (dscos, polígoos, esferas, poledros) e dos y tres dmesoes. Los objetvos de esta tesa so: Hallar ua metodología clara y seclla para la caracterzacó de los parámetros mcro de cualquer tpo de materal dados sus parámetros macro Realzar ua prmera tetatva al problema del desgaste demostrado que se tee ua herrameta efcaz para su estudo Para llegar a cosegur dchos objetvos se ha estudado las cursoes que había hecho autores aterores e este tema. El desarrollo del método de los elemetos dscretos e geoteca fue orgado por el estudo de la mecáca de materales graulares (Cudall ad Strac, 1979; Cudall et al., 198). E las últmas dos décadas, el método de los elemetos dscretos se ha aplcado e muchas dscplas y a dferetes escalas, desde la smulacó de avalachas (Mase et al., 1996) a la detacó y problemas de corte e dámca molecular (Hoover et al., 1990; Shmada et al.,1998). La formulacó del método de los elemetos dscretos asumedo las prcpales aportacoes de Cudall (1979, 1988) ha sdo desarrollada por Jerzy Roje et al. (001) y mplemetada e el códgo dámco explícto de elemetos ftos Smpact ([1] y []). No exste ua teoría completa para predecr las propedades macroscópcas a partr de los parámetros mcro y vceversa. Por tato, el estudo de la relacó etre los parámetros mcro y las propedades del materal se coverte e ua prordad de esta tesa. Ua vez alcazado este objetvo, se estudará el problema del desgaste del modo más geérco posble. Debe destacarse que los resultados obtedos so ada más que ua tetatva dada la ampla complejdad del problema que se trata. 1

7 Itroduccó Se preseta u modelo umérco del útl y del terreo (suelo o roca) capaz de smular el proceso de excavacó. El prcpal feómeo físco cosderado es la teraccó del útl co el terreo que lleva al colapso del materal excavado y al desgaste del útl (cambo de geometría). El útl de excavacó está dscretzado e partículas de meor tamaño a las que costtuye la roca o suelo modelado. De tal modo que el cambo de geometría del útl o colleve a la creacó de rregulardades deseadas para el estudo del problema que os ocupa. La parte tera del dete que o va a ser desgastada puede modelarse medate elemetos ftos. odo el dete podría modelarse medate elemetos ftos rígdos s o se desea estudar el problema de desgaste, ya que de este modo la geometría del dete o se modfca. Se asume que el útl o se deforma (es rígdo). Por tato, o es ecesaro que el algortmo de búsqueda de los cotactos cosdere las esferas que costtuye el útl y o forma parte del cotoro. Sí se aalzará la teraccó (el cotacto) etre las partículas que coforma el útl y el materal modelado. Las prcpales ovedades de esta tess que le da a su vez u elevado valor cetífco y práctco so: La formulacó termo-mecáca del método de los elemetos dscretos La metodología presetada para determar los parámetros mcro que caracterza los materales e el MED La modelzacó del problema de desgaste

8 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Capítulo : Experecas aterores 1 Itroduccó La faldad de este apartado es realzar ua descrpcó más o meos extesa de las prcpales aportacoes realzadas prcpalmete por Cudall ([] y [3]) e lo que se refere al método de los elemetos dscretos. El método de los elemetos dscretos es u método umérco capaz de descrbr el comportameto mecáco de cojutos de dscos y esferas. El método se basa e el uso de u esquema de tegracó explícto e el tempo. La teraccó etre partículas se estuda e cada cotacto y el movmeto de las partículas se modela partícula a partícula. U medo graular está compuesto por u cojuto de partículas. El desplazameto de ua de ellas es depedete del de las demás y sólo teractúa las uas co las otras e los putos de cotacto. El carácter dscreto del cojuto mplca que bajo carga y descarga su comportameto sea muy complejo. La terpretacó de esayos de laboratoro de medos graulares, como las areas, resulta extremadamete dfcultosa debdo a que o se puede medr tesoes e el teror de la probeta y estas debe estmarse a partr de las codcoes e los cotoros. La certdumbre e las tesoes e el seo de u medo graular como la area ha collevado el desarrollado de modelos del msmo geométrcamete más secllos que ua area. Dchos modelos cosste e cojutos de dscos o esferas y puede ser aalítcos, físcos o umércos. U modelo aalítco para u cojuto de esferas de tamaño uforme e ua probeta cúbca fue propuesto por Deresewcz (1958). Los resultados predecía u comportameto o leal y co hstéress de la ley de tesó-deformacó. El estado últmo de rotura també se hallaba recogdo e la formulacó. Este procedmeto aalítco está restrgdo a ua probeta cúbca de esferas de rado uforme y co ua secueca lmtada de carga. U método de esayo que hacía posble la determacó drecta de las fuerzas e los cotactos etre partículas fue propuesta por Datu (1957) y Waabayash (1957). Estos vestgadores propusero el uso de materal fotosesble para los dscos. U aálss de la dstrbucó de fuerzas e u test como el mecoado fue descrto por De Jossel de Jog y Verrujt (1969). A pesar de que el esayo de cojutos de dscos fotosesbles es bastate geeral y permte hallar de forma precsa las fuerzas de cotacto y los desplazametos y rotacoes de cada uo de los dscos, el aálss cosume 3

9 Experecas aterores mucho tempo. Drescher y De Jossel de Jog (1971) llevaro a cabo ua sere de tests co la faldad de verfcar el modelo de lbres rotacoes y doble deslzameto de De Jossel de Jog. La formacó extraída de estos tests fue sufcete para cofrmar los rasgos prcpales del modelo cotuo. Seguramete el modo más efcaz de modelar u medo graular es medate téccas umércas. El aálss umérco es más flexble que el aalítco y tee como vetaja sobre el aálss expermetal o físco el hecho de que se puede obteer resultados a lo largo de toda la smulacó. La flexbldad de la modelacó umérca se extede a las cofguracoes de carga, tamaños de partículas, tamaño de las dstrbucoes y propedades físcas de las partículas. Serrao y Rodríguez-Ortz (1973) y Rodríguez-Ortz (1974) desarrollaro u modelo umérco para cojutos de dscos y esferas. Las fuerzas de cotacto y los desplazametos so calculados para la codcó de equlbro asumedo que los cremetos e las fuerzas de cotacto está determados por los desplazametos cremetales de los cetros de las partículas. El tpo de cotacto Herzao fue usado para las fuerzas de cotacto ormales, los efectos de las fuerzas tagecales se cosderaro de acuerdo a la teoría de Mdl y Deresewcz (1953) y Naya (197), y los cambos de forma se cosderaro eglgbles. Ua gra desvetaja del método usado para solucoar las ecuacoes es que el cálculo cosume mucho tempo ya que la matrz que represeta las rgdeces de los cotactos debe reformularse cada vez que u cotacto se rompe o hay uo uevo. El método de los elemetos dsttos o dscretos puede utlzarse co partículas de cualquer forma y fue desarrollado por Cudall (1971 y 1974) para el aálss de problemas de mecáca de rocas. El cotacto etre partículas se cosdera u problema trastoro co estados de equlbro e los cuales sempre se cumple el balace de fuerzas teras. Se ha usado u esquema de tegracó explícta debdo a su efceca. Co la tecó de mostrar que el modelo de los elemetos dscretos descrbía de forma realsta el comportameto de u cojuto de dscos, Cudall reprodujo umércamete u test de u cojuto de dscos descrto por De Jossel de Jog y Verrujt (1969). La comparacó etre los resultados umércos y los resultados obtedos e el esayo fotoelástco dca que el modelo umérco puede ser utlzado para susttur esayos fotoelástcos. Los elemetos dscretos avazaro hasta el puto e que la compleja teraccó mecáca de u medo dscotuo pudo ser modelado e tres dmesoes. Fue muy mportate la formulacó de u método de deteccó de los cotactos etre partículas rápdo y robusto e tres dmesoes. A cotuacó, se descrbe ua técca para detectar cotactos etre bloques de forma arbtrara y represetar las característcas geométrcas y físcas del cotacto. El método utlza ua estructura de datos que permte realzar los cálculos rápdamete e u ordeador persoal para cojutos de ceteares de partículas. 4

10 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste El método de los elemetos dscretos permte smular la respuesta mecáca de sstemas formados por bloques dscretos o partículas. La forma de las partículas es arbtrara y cualquer partícula puede teractuar co otra cualquera, s exstr lmtacoes e sus desplazametos y rotacoes. Dada esta geeraldad, fue ecesaro desarrollar u método de detfcacó de pares de partículas e cotacto y de represetacó de las propedades geométrcas y físcas de estas. Se descrbrá a cotuacó u método que cumple los objetvos mecoados de forma rápda para u sstema trdmesoal formado por varos bloques. E geeral, los bloques puede ser cócavos o covexos. Es mportate teer ua estructura de datos que permta acceder rápdamete a los que so más relevates cuado es ecesaro. E partcular, debdo a la aturaleza explícta de los cálculos mecácos que suele compreder ceteares de pasos detro de u solo cclo prcpal. Método de los elemetos dscretos para cojutos graulares.1 El método de los elemetos dscretos E el método de los elemetos dscretos, el equlbro de las fuerzas de cotacto y los desplazametos de u cojuto de dscos tesoado se ecuetra a través de ua sere de cálculos sguedo los movmetos de las partículas dvdualmete. Dchos movmetos so el resultado de la propagacó a través del medo de las perturbacoes orgadas e los cotoros. La velocdad de propagacó es ua fucó de las propedades físcas del medo dscreto. E la descrpcó del comportameto dámco umércamete, se toma pasos de tempo a lo largo de los cuales las velocdades y aceleracoes se asume costates. El método de los elemetos dsttos se basa e que el paso de tempo escogdo es lo sufcetemete pequeño para que e u solo paso de tempo las perturbacoes o se pueda propagar más lejos que de u dsco a sus vecos. Por tato, e todos los pasos de tempo las fuerzas e u dsco se determa exclusvamete por su teraccó co los dscos e cotacto co él. Es este puto clave el que hace posble segur la teraccó o leal de u gra úmero de dscos s requerr excesva memora o la ecesdad de u procedmeto teratvo. Debe subrayarse que e el aálss desarrollado o se cosdera el agua terstcal.. El cclo de cálculo Los cálculos que se realza e el método de los elemetos dscretos altera la aplcacó de la seguda ley de Newto e los dscos y ua ley fuerzadesplazameto e los cotactos. La seguda ley de Newto proporcoa el movmeto de ua partícula resultate de las fuerzas que actúa sobre ella. La 5

11 Experecas aterores ley de fuerza-desplazameto e los cotactos permte hallar las fuerzas de cotacto a partr de los desplazametos. Las deformacoes de las partículas so pequeñas e comparacó co la deformacó del cojuto de partículas. La deformacó últma es debda prcpalmete al movmeto de las partículas como sóldos rígdos. Por lo tato, ua modelacó precsa de la deformacó de las partículas o es ecesara para obteer ua buea aproxmacó del comportameto mecáco. Se permte a las partículas que se superpoga las uas co las otras. Dcha superposcó substtuye la deformacó de las partículas. La magtud de la peetracó etre esferas es drectamete proporcoal a la fuerza de cotacto. Debe destacarse que dcha peetracó es pequeña e comparacó co el tamaño de las partículas...1 La ley fuerza-desplazameto La ley fuerza-desplazameto se va a represetar para el caso de dos dscos e cotacto x e y. Las coordeadas de los cetros de los dscos se represeta como x =(x 1,x ) y y =(y 1,y ) dode los ídces 1 y se refere a los ejes coordeados e u sstema de coordeadas cartesaas global. Las compoetes de los vectores de velocdad de los dscos x e y so x & = ( x& 1, x& ), y & = ( y& 1, y& ) y las velocdades agulares so θ & (x) y θ & (y) (postvas e el setdo athoraro). R (x) y R (y) y m (x) y m (y) so los rados y las masas de los dscos x e y respectvamete. Los putos P (x) y P (y) se defe como los putos de terseccó de la líea que coecta los cetros de los dscos co sus respectvos cotoros. Dos dscos se cosdera e cotacto s la dstaca D etre sus cetros es meor de la suma de sus rados (D<[R (x) +R (y) ]). S dcha codcó es coocda, el desplazameto relatvo e el puto de cotacto se determa medate la tegracó de la velocdad relatva. La velocdad relatva e el cotacto se defe como la velocdad del puto P (x) respecto al puto P (y). El vector utaro e =(cosα,sα) lleva la dreccó de la recta que ue los cetros de los dscos y y x aputa de x haca y ( e = ), y el vector utaro t se obtee grado 90º D el vector e e setdo horaro. La velocdad relatva del puto P (x) respecto al puto P (y) ahora se puede represetar como X & por: X& = ( x& y& ) ( θ & R + θ& R ) t (1) (x) (x) (y) (y) 6

12 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste 7 La compoete ormal (& ) y la tagecal (s& ) de las velocdades relatvas so las proyeccoes de X & e e y t respectvamete: (y) (y) (x) (x) ) R R ( ) e y x e t ) e y x e X = = + = = & & & & & & & & ( ( θ θ ; () ) t y x t t ) t y x t X s (y) (y) (x) (x) (y) (y) (x) (x) R R ( ) R R ( ) + = = + = = θ θ θ θ & & & & & & & & & & ( ( ; (3) La tegracó de las compoetes de la velocdad relatva respecto al tempo proporcoa las compoetes y s del vector cremeto de desplazameto relatvo: { } t ) t = = e y x & & & ( ; (4) { } t R R ( ) t ) (y (y) (x) (x) + = = ) t y x s s θ θ & & & & & ( ; (5) Las compoetes del vector cremeto de desplazameto relatvo a través de la ley fuerza-desplazameto proporcoa los cremetos de fuerza de cotacto ormal F y tagecal F s : { } t ) = = e y x F & & ( ; (6) { } t R R ( ) ) (y (y) (x) (x) s s s + = = ) t y x s F θ θ & & & & ( ; (7) e dode y s represeta la rgdez ormal y tagecal respectvamete. Falmete, e cada paso de tempo las fuerzas F y F s se añade a la suma de todos los cremetos de fuerza, F y F s, determados e pasos de tempo aterores: ( ) ( ) 1 N N F F F + = ; (8) ( ) ( ) s 1 N s N s F F F + = ; (9) e dode los subídces N y N-1 se refere a los tempo t N y t N-1 tales que t t t 1 N N =. Los vectores F y F s se toma postvos cuado sgue las dreccoes opuestas a e y t. Se corpora la ley de frccó de Coulomb como se descrbe a cotuacó. La magtud de la fuerza tagecal F s hallada a partr de la ecuacó (9) se compara co el máxmo valor posble (F s ) max defdo como: ( ) c ta F F u max s + = φ ; (10)

13 Experecas aterores e dode φ u es el meor de los águlos de frccó de las dos partículas e cotacto y c es la meor de sus cohesoes. S el valor absoluto de (F s ) N hallado a partr de la ecuacó (9) es mayor que (F s ) max, etoces (F s ) N es gual a (F s ) max, coservado el sgo obtedo de la ecuacó (9). Ua vez se ha determado las fuerzas ormales y tagecales para cada uo de los cotactos etre partículas, por ejemplo para el dsco x, se descompoe e las dreccoes 1 y. La suma de todas las fuerzas de cotacto actuates e ua partícula proporcoa las fuerzas resultates F ( x ) 1 y F ( x ). El mometo resultate actuado e el dsco x, M ( x ), se toma postvo cuado actúa e setdo cotraro a las agujas del reloj y se halla como M ( x ) = Fs R (x) (el sumatoro se refere a todos los cotactos del dsco x). A partr de las fuerzas y mometos resultates actuado e el dsco x y aplcado la seguda ley de Newto se halla las uevas aceleracoes leal x& & y agular & θ (x)... Movmeto El modo de obtecó de las velocdades leal y agular que se utlza e la ley fuerza-desplazameto (ecuacoes (6) y (7)) se descrbe a cotuacó. La fuerza y el mometo calculados para el state t N se asume actuado sobre el dsco x durate el tervalo t que va desde t N-1/ a t N+1/. La seguda ley de Newto aplcada al dsco x: m(x) I(x) x& & = F ; (11) (x) & θ = M ; (1) (x) e dode I (x) represeta el mometo de erca del dsco x. omado x& & y & θ costates a lo largo del tervalo t, se puede deducr de las ecuacoes (11) y (1) las sguetes expresoes para las velocdades aplcado dferecas cetradas: F & = N N ; (13) + m(x) (x) ( x ) 1 ( x& ) 1 + t M(x) ( θ ) 1 ( θ& ) 1 + t N & ( x) = N (x) N I ; (14) + (x) N 8

14 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Se aplca estas ecuacoes a todos y cada uo de los dscos. Estos uevos valores para las velocdades se usa e la ley fuerza-desplazameto y se repte el cclo para u uevo cremeto de tempo. Medate los uevos valores de las velocdades se actualza las poscoes y rotacoes de los dscos tegrado umércamete medate dferecas cetradas las velocdades: ( ) ( x ) + ( ) 1 t = x N+ 1 N N+ x & ; (15) ( ) = ( θ ) + ( θ ) 1 t θ & ; (16) ( x) N 1 (x) N (x) + N+..3 Amortguameto Exste u amortguameto frccoal cuado ua esfera deslza sobre la otra al haber superado la fuerza tagecal de cotacto el valor de (F s ) max. Exste la posbldad de aplcar dos tpos de amortguameto más: uo e el cotacto y otro global del sstema. El amortguameto e el cotacto actúa sobre las velocdades. El amortguameto vscoso e la dreccó tagecal o se aplca cuado hay deslzameto. E este caso, actúa úcamete el amortguameto frccoal. S se cosdera amortguameto e el cotacto, se debe clur las fuerzas de amortguameto e las ecuacoes (13) y (14), que resultará: F + D & = N N ; (17) + m(x) (x) (x) ( x ) 1 ( x& ) 1 + t M(x) ( θ ) 1 ( θ& ) 1 + t & ( x) = N (x) N I ; (18) + (x) e dode D(x) represeta la suma de las compoetes de las fuerzas de amortguameto del cotacto y dode M (x) ahora cluye la cotrbucó de dchas fuerzas. Las compoetes globales D (x) se halla a partr de las compoetes ormal D y tagecal D s, que se obtee a partr de las sguetes ecuacoes: ( D ) [ ] 1 c = c x& y& e = N N N N & ; (19) ( D ) s N = c s s& = cs ( x& y& ) 1 t ( θ & (x) R (x) + θ& (y) R (y)) 1 ; (0) N N 9

15 Experecas aterores Exste u pequeño error de medo paso de tempo e el cálculo de las fuerzas de amortguameto D y D s (se parte de los valores de las velocdades leales 1 y agulares e el state correspodete al paso de tempo N ), pero su efecto es eglgble. Los coefcetes de amortguameto c y c s se ha tomado proporcoales a las rgdeces de los cotactos y s co coefcete de proporcoaldad β: c = β ; (1) c = β ; () s s El amortguameto global actúa sobre los valores absolutos de las velocdades leal y agular de los dscos y se troduce e el cálculo del movmeto. S se cluye el amortguameto global además del amortguameto del cotacto, las ecuacoes del movmeto (11) y (1) se trasforma e: m ( F + D ) x& & ; (3) ( x) x = (x) (x) C I & θ& M ; (4) * ( x) θ = (x) C e dode C y C * so los coefcetes de amortguameto global del sstema. Se usa u esquema de dferecas cetradas para tegrar las ecuacoes (3) y (4) y las velocdades se promeda etre los states medos de dos tervalos cosecutvos. Escrbedo ( x& ) N 1 ( θ ) 1 ( θ& ) 1 & 1 = 1 ; (5) N N N+ ( x ) ( x& ) 1 + ( x& ) 1 ( θ ) = ( θ& ) 1 + ( θ& ) 1 & (x) (x) (x) ; (6) N N N+ 1 & como ( x & ) 1 ( ) 1 x& N t N+ y ( θ & (x) ) N & como & ( x) N (x) t N+ y usado las ecuacoes (3) y (4), podemos rescrbr las ecuacoes (17) y (18) como: = N m(x) C t t C t ( x & ) 1 ( x& ) ( F + D ) 1 + N+ (x) (x) N m (x) m (x) ; (7) 10

16 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste = (x) N I(x) * * C t t C t ( θ & ) 1 ( θ& ) ( ) 1 + ( x) M N + (x) N I I (x) (x) ; (8) Se puede tomar los coefcetes de amortguameto global proporcoales a la masa y el mometo de erca respectvamete: C = α m α ; (9) * ( x), C = I(x) Usado estas gualdades se puede smplfcar las ecuacoes (7) y (8): t = N t m ( x & ) 1 ( x& ) 1 1 α + ( F + D ) 1 + α N+ (x) (x) N t t t ( θ & ) 1 ( θ& ) 1 1 α + ( M ) 1 + = (x) N ( x) + (x) N I α N (x) (x) t ; (30) ; (31) Las ecuacoes de fuerza-desplazameto y movmeto descrbe completamete el modelo utlzado para u medo graular. La eergía se dspa por medo de la frccó y los amortguametos (de cotacto y global). El uso del amortguameto, aparte de la frccó e el cotacto, es ecesaro para que el cojuto de elemetos estudado alcace el equlbro bajo cualquer codcó. Se puede usar ua ley de fuerza-desplazameto o leal, como e el caso de cotacto Herzao. El esquema umérco será estable s el tervalo de tempo elegdo t es meor al tempo crítco. El tempo crítco se estma como el del sstema de u solo grado de lbertad de ua masa m coectada al suelo medate u muelle de rgdez, para el cual el tempo crítco se guala a m..3 Parámetros de etrada (put) Los parámetros de etrada que debe especfcarse para utlzar el códgo mplemetado por Cudall [] se dvde e dos grupos: datos geométrcos propedades físcas Los datos geométrcos descrbe las poscoes y oretacoes de los elemetos dscretos, e refereca al sstema de coordeadas global. Se defe u cotoro a partr de u puto fjo P co coordeadas x ( w) = ( x(w)1, x(w) ) y u vector utaro e = (cosα,sα) tal que el cotoro es u segmeto de la recta que pasa por P y tee la dreccó e. Multplcadores de e, h (1) y h (), 11

17 Experecas aterores defe los putos fales del cotoro A y B co coordeadas x( A) = x (w) + h(1) e y x( B) = x (w) + h() e respectvamete. E los cotoros se mpoe codcoes de deformacó. Se especfca la velocdad a la que se mueve los cotoros, o las fuerzas aplcadas e los msmos. El movmeto de los cotoros se defe medate la velocdad de desplazameto del puto P, x & ( w) = ( x& (w)1, x& (w) ), y la velocdad agular del cotoro alrededor de P, α&. U dsco vee defdo medate la poscó de su cetro y el rado. Las propedades físcas se asga a u grupo. Los dos grupos más usuales so: el cojuto de elemetos dscretos y los cotoros. A cada dsco se le asoca el grupo al que perteece. Éste, a su tempo, tee asocado u cojuto de propedades físcas: rado, desdad, cohesó, coefcete de frccó etre partículas taφ u y rgdeces ormal y tagecal. Otros parámetros, como el amortguameto global y de cotacto y el paso de tempo t (como fraccó del tempo crítco), se aplca al cojuto de elemetos y cotoros que costtuye el problema de estudo..4 Udades Los valores de las propedades e el estudo de Cudall se tomaro de tal modo que el solape etre dscos fuera pequeño e relacó al tamaño de las partículas, que el proceso umérco fuera estable y que los resultados umércos calculados estuvera detro de u rago que se pudera tratar co precsó. No se hzo gú teto de relacoar las udades usadas e el códgo co udades co setdo físco. Cudall procuró úcamete fjar el valor de dos parámetros co u certo setdo físco. El águlo de frccó etre partículas, φ u, y la relacó etre la rgdez ormal y tagecal, s /. De acuerdo a los resultados aalítcos obtedos por Mdl (1949): el cocete s / para cuerpos elástcos e cotacto co áreas elíptcas de cotacto debe stuarse detro del rago, E base a estos resultados se restrgó el valor de s / a dcho rago. 1 Este rago se aplca s la fuerza de cotacto tagecal sgue la dreccó del eje meor de la elpse de cotacto. 1

18 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste 3 Esquema para detectar y represetar cotactos e u sstema compuesto por varos bloques polédrcos desarrollado por Cudall 3.1 La estructura de datos Iformacó geeral odos los datos está cotedos e u vector prcpal. Estos puede ser tato reales como eteros y estar mezclados del modo que covega. Cada etdad físca (ya sea u bloque, ua cara o u cotacto) se represeta por u elemeto de datos, que es u grupo cotguo de dos o más palabras. Los elemetos de datos se relacoa dámcamete desde el grupo prcpal, como sea requerdo, y se lga co la estructura de datos medate puteros. Los tpos de lstas elazadas y de elemetos de datos se descrbrá más adelate. Los datos que deja de ser ecesaros se agrupa e ua pla. Prmero se chequea dcha pla s se ecesta uevos elemetos de datos. No es ecesara ua ruta de destruccó de elemetos porque los uevos elemetos ecesaros susttuye el espaco de memora ocupado por los elemetos colocados e la pla. Debe destacarse que las lstas elazadas ecesta muy poco tempo de computacó para gestoarse. Sólo se debe cambar dos o tres eteros para elmar o añadr u elemeto a ua lsta elazada. Cada elemeto tee ua dreccó e el vector prcpal: ua dreccó es el ídce e el vector prcpal de la prmera palabra del elemeto de datos. Por ejemplo, los elemetos o está referecados medate úmeros secuecales o medate úmeros proporcoados por el usuaro, so por dreccoes e el vector prcpal. Normalmete los usuaros o ecesta coocer las dreccoes porque los bloques, cotactos, etc., se detfca medate sus coordeadas. La estructura de datos se ha dseñado e base al prcpo de reducr el tempo de computacó a pesar de aumetar el uso de memora para almacear los datos y sus puteros. La tegracó explícta e el tempo comba be co u procesameto e paralelo, ya que coceptualmete los cálculos se hace e paralelo para cada paso de tempo. Esto deja de ser así para métodos de tegracó mplícta e los que cada elemeto teractúa co el resto e cada paso de tempo. Se puede modelar dos tpos de poledros co el códgo mplemetado: Bloques rígdos co ses grados de lbertad (tres traslacoales y tres rotacoales) Bloques deformables, que so dvddos teramete e tetraedros co tres grados de lbertad traslacoales e cada vértce (odo). 13

19 Experecas aterores Los bloques rígdos tee caras plaas formado polígoos de cualquer úmero de caras. El la Fgura..1 se lustra la estructura de datos para u bloque rígdo. A su vez, cada elemeto se relacoa co la estructura prcpal medate puteros. Los bloques accede medate u putero global a ua lsta arbtrara de todos los bloques. El elemeto de datos de cada bloque cotee u putero que lo relacoa co ua lsta de sus vértces y caras. Cada elemeto de cara cotee u putero que lo relacoa co ua lsta crcular que cotee las dreccoes de los vértces que forma la cara de forma ordeada. Por tato, hay dos modos de acceder a los datos de u vértce: prmero, los vértces puede buscarse drectamete e la lsta de vértces (por ejemplo, para actualzar su velocdad y coordeadas durate el movmeto del bloque); segudo, se puede acceder a los vértces que perteece a cada cara (esto es útl e la deteccó de cotactos). Fgura..1 Estructura de datos para u bloque rígdo La estructura de datos de bloques deformables es smlar a la de bloques rígdos, pero cada cara polgoal se dscretza e subcaras tragulares, e cocordaca co la dscretzacó tetraédrca teror. Los bloques puede ser cócavos, huecos y estar coectados múltplemete. S embargo, exste tatas vetajas e la utlzacó de bloques covexos que el programa descompoe los bloques cócavos e varos covexos: uo se deoma como bloque maestro y el resto como bloques esclavos de este. E toda la lógca descrta los bloques maestro y esclavo se trata gual, pero co las vetajas de tratar bloques covexos. S embargo, durate los cálculos mecácos el bloque maestro y sus esclavos se trata como uo solo. E cosecueca, se determa u cetro de gravedad, ua masa, etc comues. 14

20 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Segudamete, se tratará la ecesdad de la covexdad para justfcar ua sere de procedmetos Represetacó de los cotactos A cada par de bloques rígdos covexos e cotacto o separados por ua pequeña dstaca se les asga u elemeto de datos. Este elemeto correspode al cotacto físco etre los dos bloques y cotee formacó relevate como el valor del coefcete de frccó, la fuerza tagecal, etc. S cualquera de los dos bloques se cosdera deformable (dscretzado teramete), el elemeto que defe el cotacto cotee puteros que lo relacoa co ua sere de subcotactos para cada uo de los odos e cotacto del bloque o bloques deformables. Fgura.. (a) Prcpales compoetes del elemeto de datos de los cotactos; (b) Elaces locales y globales para u cojuto de cuatro bloques Cada cotacto se relacoa co todos los otros cotactos, así como se relacoa co el par de bloques que costtuye el cotacto. La forma de la estructura de datos de los cotactos para u cojuto de cuatro bloques se muestra e la Fgura... Se puede acceder a cada uo de los cotactos medate varos camos, e fucó de la ecesdad. Durate el cclo prcpal de cálculo se debe acceder uo a uo a todos los cotactos cuado se actualza las fuerzas de cotacto. Esto se realza medate la lsta elazada que vee relacoada 15

21 Experecas aterores co el putero global. Ua vez se accede a u cotacto, se halla los bloques que lo costtuye medate los puteros del cotacto que se refere a estos. Durate la deteccó de los cotactos y reasgacó, es coveete saber que cotactos exste todavía para u bloque dado. 3. Idetfcacó de vecos Ates de ada se debe detfcar los pares de bloques e cotacto. Sería prohbtvo, desde el puto de vsta del tempo de computacó, chequear todos los pares posbles, ya que dcho tempo crece cuadrátcamete co el úmero de bloques. E dos dmesoes, es posble crear ua estructura de datos caóca que represete los huecos etre bloques automátcamete. Es, por tato, smple recorrer todos los huecos locales que rodee u bloque co la faldad de hallar ua lsta de todos los posbles cotactos. Este esquema tee u tempo de búsqueda que aumeta lealmete co el úmero de bloques pero, dcha estructura o es exportable a las tres dmesoes. U método meos elegate, pero más robusto, es el que se ha adoptado aquí para la detfcacó de vecos y se descrbrá a cotuacó Mapeo de celdas y búsqueda Fgura..3 Ejemplo de mapeo de bloques e D El espaco que cotee el cojuto de bloques se dvde e celdas cúbcas. Cada bloque se represeta e la celda o celdas que su espaco evolvete 16

22 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste ocupa. El espaco evolvete de u bloque se defe como el meor cubo que lo cotee. Cada celda almacea, e forma de lstas elazadas, las dreccoes de todos los bloques que se represeta e ella. E la Fgura..3 se represeta el mapeo lógco para u espaco bdmesoal (debdo a la dfcultad que colleva expresar el cotacto e tres dmesoes). Ua vez todos los bloques está represetados e las celdas, es más fácl detfcar los bloques vecos: las celdas e las que está cotedo su espaco evolvete tee ua refereca de todos los bloques que está cerca. Normalmete, este espaco de búsqueda se cremeta e todas las dreccoes por ua toleraca, de tal modo que se halla todos los bloques stuados a meos de dcha dstaca. Debe destacarse que el tempo ecesaro para represetar el bloque y buscar sus vecos depede del tamaño y forma del bloque, pero o del úmero de bloques del sstema. El tempo total de deteccó de vecos depede drectamete del úmero de bloques, cosderado que el volume de las celdas es proporcoal al volume medo de los bloques. Es dfícl proporcoar ua fórmula para hallar el tamaño óptmo de las celdas, debdo a la varedad de formas de los bloques que puede estar e cotacto. E el límte, s se crea ua úca celda todos los bloques se represetará e esta y el tempo de búsqueda será cuadrátco co el úmero de bloques. A medda que la desdad de celdas aumeta, el úmero de bloques vecos asocados a u bloque dado dsmurá. Llegado u certo límte, el hecho de aumetar la desdad de celdas o proporcoa gua vetaja, ya que todos los bloques será vecos. A su vez, al aumetar la desdad de las celdas, el tempo asocado al mapeo y la búsqueda aumeta. El óptmo de la desdad de celdas debe estar, por tato, e el orde de ua celda por bloque, de tal modo que se mmza el tempo suma de búsqueda y mapeo. Coforme u bloque se va movedo e el trascurso de la smulacó, se vuelve a represetar y se busca los cotactos co sus vecos. Este proceso se actva cada vez que el movmeto acumulado del bloque u acc excede ua toleraca prefjada COL. La varable u acc se guala a cero después de cada mapeo y se actualza e cada paso de tempo del sguete modo: u { du } : = u max ; (3) acc acc + e dode du es el cremeto de desplazameto de u vértce. La fucó max aplcada sobre todos los cremetos de desplazameto de los vértces del bloque devuelve el mayor de estos. La búsqueda de cotactos se realza e u volume *COL mayor e todas las dreccoes que evuelva al bloque, de este modo se permte el máxmo movmeto del bloque y de cualquer veco potecal. S cualquer bloque teta moverse fuera del espaco de celdas, este se aumeta e u 10% e la dreccó afectada y se represeta todos los bloques de uevo. El valor de COL se usa també para determar cuado u cotacto se crea o se destruye. S dos bloques estás separados ua dstaca meor o gual que 17

23 Experecas aterores COL, se crea u uevo cotacto. Por el cotraro, cuado dos bloques e cotacto llega a separarse ua dstaca mayor que COL, este se elma. El modo de proceder descrto asegura que la estructura de datos para todos los cotactos potecales está be costtuda ates de que u cotacto ocurra. ambé asegura que la búsqueda de los cotactos sólo se hace para los bloques e movmeto, s perder tempo e aquellos que esté relatvamete actvos. 3.3 Deteccó de cotactos Requermetos del esquema Ua vez dos bloques se ha recoocdo como vecos, etoces se comprueba s está o o e cotacto. S o está e cotacto se calcula la máxma separacó etre ellos y s esta es mayor que ua toleraca prefjada los bloques so totalmete depedetes. E cambo, s la separacó máxma es meor que dcha toleraca se crea u cotacto a pesar de que los bloques o lo esté físcamete y se comprueba e cada paso de tempo durate el cálculo mecáco. Las fuerzas de cotacto empezará a actuar cuado los dos bloques etre e cotacto físco. A la vez que se determa el cotacto etre dos bloques se debe hallar la ormal del plao de deslzameto. Dcha ormal debe teer u bue comportameto (debe cambar de oretacó de u modo cotuo) al moverse los bloques el uo respecto al otro. El procedmeto debe abarcar cluso casos extremos como el de dos bloques e cotacto por las arstas. Falmete, la clasfcacó del tpo de cotacto debe ser rápda. Esta formacó es ecesara para determar que ley físca es más apropada para el cotacto estudado. E resume, e la deteccó del cotacto se debe hallar, e el mímo tempo posble, el tpo de cotacto (s lo hay), la máxma separacó (s o hay cotacto físco) y el vector ormal al plao de deslzameto. E prmer lugar, se platea u procedmeto drecto, se deja aflorar las dfcultades que dcho plateameto collevaría y,falmete, se propoe u esquema mejor Determacó drecta del cotacto El modo más smple de abordar el problema es verfcar todas las posbldades de teraccó. E u problema e tres dmesoes exste muchas posbldades. Por ejemplo, cada vértce de u bloque puede estar e cotacto co cualquer vértce, arsta o cara del otro. S el prmer bloque A tee v A 18

24 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste vértces, e A arstas y f A caras y el segudo bloque B, a su vez, tee v B vértces, e B arstas y f B caras, el úmero de combacoes posbles so: = (v + e + f ) (v + e f ) (33) A A A B B + E el caso de dos cubos exstrá 676 modos de cotacto posbles (). E la práctca exste casos redudates y se comprueba que sólo es ecesaro verfcar el cotacto etre vértces y caras y etre arstas y caras, el resto de tpos de cotacto se puede hallar del sguete modo: Exstrá cotacto etre dos vértces cuado para u msmo vértce se halla tres o más cotactos etre el vértce y caras dsttas U cotacto etre u vértce y ua arsta se detecta cuado u msmo vértce está e cotacto co dos caras dsttas El cotacto etre dos arstas se da s ua msma arsta etra e cotacto co dos caras del otro bloque El cotacto etre dos caras se detecta cuado ua está e cotacto co tres arstas, o be e el caso de que para ua msma cara tres vértces etre e cotacto co ella A pesar de la reduccó e el úmero de comprobacoes a realzar queda que: B = v f + v f + e f + e f (1) A B B A A B B A Para el ejemplo de los dos cubos resulta u total de 40 comprobacoes. Llegados a este puto, se debe destacar varas observacoes. E prmer lugar, el úmero de comprobacoes depede de forma cuadrátca del úmero de vértces o caras o arstas. E segudo lugar, las comprobacoes o so smples, e la verfcacó del cotacto etre u vértce y ua cara o se debe comprobar úcamete s este queda por debajo o por ecma, so que se debe comprobar que quede detro del perímetro de la cara eedo e cueta los requermetos ya especfcados, el tpo de cotacto se chequeará e el trascurso del proceso de deteccó de los cotactos. La deteccó del vector ormal al plao de deslzameto es fácl para u cotacto etre dos caras, pero puede llegar a ser muy complejo e el caso de dos vértces e cotacto. Además, o exste garatía de que la trascó de u tpo de cotacto a otro sea suave. Co este tpo de esquema o resulta fácl hallar la máxma separacó etre dos bloques cualesquera que o está e cotacto. Co la faldad de palar estas dfcultades se cocbó el esquema que se preseta a cotuacó. 19

25 Experecas aterores La dea del plao comú La dfcultad del plateameto ateror resde e la dfcultad de chequear drectamete u poledro de forma arbtrara cotra otro. Muchas de las dfcultades plateadas podría desaparecer s se aborda el problema e dos partes: La determacó de u plao bsector comú del espaco etre los dos bloques Chequear el cotacto de los dos bloques por separado co el plao comú La dea de plao comú es aáloga a la colocacó de ua láma metálca suspedda lbremete etre los dos bloques. S los dos bloques se sostee frmemete y se aproxma letamete, la láma cederá al movmeto de los dos bloques y quedará atrapada etre ellos. Para cualquer forma y oretacó de los bloques, la láma adqurrá ua poscó que defrá el plao de deslzameto etre los dos bloques. Para llevar la aalogía más allá, mage que la láma repele los bloques cluso ates de que etre e cotacto. A medda que los bloques se aproxma, la láma adoptará ua poscó meda etre los dos a ua dstaca máxma de ambos. De este modo se puede hallar fáclmete la separacó máxma etre los bloques, sumado las dstacas de bloque a láma. S se pudera crear u equvalete umérco del plao comú, muchos putos del problema expuesto se smplfcaría eormemete. A su vez, se aglzaría el proceso tal y como se especfca a cotuacó: Solamete es ecesaro verfcar cotactos etre los vértces y el plao comú. Al ser los bloques covexos las caras y arstas e cotacto se detecta cotado el úmero de vértces de ambos bloques superpuestos co el plao comú El úmero de verfcacoes a realzar depede lealmete del úmero de vértces. Se chequea los vértces del bloque A y B cotra el plao comú, sedo el úmero de verfcacoes a realzar: = v A + v B (34) E el caso de los dos cubos, resulta u total de 16 comprobacoes No es ecesaro verfcar s u cotacto potecal se halla detro del perímetro de la cara. S ambos bloques toca el plao comú está e cotacto El vector ormal al cotacto es gual a la ormal del plao comú 0

26 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Al defrse el plao ormal como u elemeto úco, el problema de ua posble evolucó dscotua de la ormal al cotacto desaparece. La dreccó de la ormal puede cambar de forma rápda, pero o dscotua La determacó de la separacó míma etre dos bloques que o se toca es trval. Será gual al mímo de la suma de las dstacas de ambos bloques al plao comú Algortmo para poscoar el plao comú La dea de plao comú smplfca y acelera la búsqueda y tratameto de los cotactos. Se debe hallar ua metodología para poscoar el plao comú, tal que el coste de esta operacó o sea mayor que los beefcos que éste proporcoa. El algortmo de poscoameto del plao comú está basado úcamete e cuestoes geométrcas y se desarrolla paralelamete a los cálculos mecácos. El algortmo se podría defr como la maxmzacó de la separacó etre el plao comú y el vértce más próxmo. E el caso de dos bloques que se superpoe se debe redefr como la mmzacó del solape etre el plao comú y el vértce co el solape mayor. E el caso de dos bloques que todavía o se cosdera e cotacto se debe defr uas codcoes cales. Para ello, se presupoe que el plao comú se hallará a medo camo etre los cetrodes de los dos bloques y su ormal será el vector que los ue: e dode: Z = B A ) ; ( C= ( A + B) / ; (35) = Z / z z = Z Z ; es la ormal del plao comú; C es el puto de refereca del plao comú; A es el vector de poscó del cetrode del bloque A; B es el vector de poscó del cetrode del bloque B. Se le aplca ua traslacó y ua rotacó al plao comú co tal de maxmzar la separacó (o de mmzar el solape). La fucó del puto de refereca, C, es doble: ser el puto base de las rotacoes del plao comú y el puto e el que se coloca las fuerzas ormal y tagecal cuado los dos bloques está e cotacto. 1

27 Experecas aterores raslacó del plao comú La traslacó se dvde e dos partes: ormal y tagecal al plao comú. La traslacó ormal se ecotrará chequeado el vértce más próxmo de cada bloque al plao comú: d d B A = m = max (B) { V } { V } (A) ; (36) e dode: d B es la dstaca del vértce más próxmo de B (la separacó es postva); d A es la dstaca del vértce más próxmo de A (la separacó es egatva); (B) V es el vector de poscó de u vértce de B; (A) V es el vector de poscó de u vértce de A. El cambo e C es: C [ C + (d + d ) ]/ : A B = ; (37) La separacó total será ( db d A ). S los bloques está e cotacto (la separacó total es egatva), el puto de refereca C es el puto por dode pasa las fuerzas tagecal y ormal de cotacto. Para bloques que o se toca, el puto de refereca C se traslada a medo camo etre los dos vértces más próxmos al plao comú de los bloques A y B: (Amax ) (Bm ) [ V V ]/ C : = + ; (38) Rotacó del plao comú La rotacó del plao comú se hace de u modo teratvo, ya que el vértce más próxmo puede varar al rotar el plao. Se escoge arbtraramete dos ejes ortogoales etre sí y al plao comú, sedo p y q los vectores utaros que los defe. El vector ormal se perturba e las dos dreccoes, e el setdo postvo y egatvo, hacédose u total de cuatro perturbacoes: : = : = : = : = ( + p )/ z ( p )/ z ( + q )/ z ( q )/ z ; (39) e dode z = 1 + y es el parámetro que defe el tamaño de la perturbacó.

28 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Cuado el cotacto se crea por prmera vez, el parámetro se calza para max (que equvale a u águlo de 5º). El sguete proceso teratvo es el que d : se usa para ecotrar la separacó máxma ( ) B d A 1) = max ) Se aplca las 4 perturbacoes 3) Algua de las perturbacoes produce ua separacó mayor? a) SI se toma el de ésta 1) b) NO ) S < m SOP ) S m 1) El proceso teratvo se para cuado la separacó dsmuye para las cuatro perturbacoes. Cocluyédose co que el vector utaro fal es el que mplca la máxma separacó. La perturbacó meor, m, es de 0,01º. Co tal de evtar que el proceso teratvo falce prematuramete e u puto de slla, los ejes de perturbacó se rota 45º e cclos alteratvos de la teracó. S la separacó máxma es superor a COL e cualquer estado de la teracó, esta últma se para y se elma el cotacto. Cuado u cotacto ya exste, las cuatro perturbacoes se calza para = m. S la separacó máxma o aumeta, o se hace ada más raslacó del plao comú durate los cálculos mecácos Cuado exste fuerzas de cotacto, la traslacó del plao comú se realza medate la ecuacó (37). S embargo, se aplca los sguetes cremetos de traslacó al plao comú: (1) raslacó de sóldo rígdo Ésta es gual a la meda del cremeto de desplazameto de los dos bloques e el puto de cotacto: (A) (B) [ du du ]/ C : = C + + ; (40) e dode: (A) du es el cremeto de desplazameto del bloque A e el puto de cotacto ( C ); (B) du es el cremeto de desplazameto del bloque B e el puto de cotacto ( C ). () Rotacó relatva El puto de refereca C del plao comú se asume como el puto e el que actúa las fuerzas de cotacto. S la superfce superor de u plao de cotacto rota respecto a la superfce 3

29 Experecas aterores feror, la fuerza de cotacto resultate se desplazará. La relacó etre el movmeto del puto de refereca y la rotacó de las superfces depede de la aturaleza de la superfce de cotacto, y de la tesó de cotacto s la rgdez ormal depede de esta. Co lo cual resulta que la ueva poscó del puto de refereca o depede úcamete de propedades geométrcas. E el modelo mplemetado la traslacó del puto de refereca se toma como el cambo e el águlo relatvo etre ambos bloques multplcado por ua costate especfcada por el usuaro K : j j (B) (A) [ d d ] C : = C + K e ; (41) e dode: (A) (B) d y d so los vectores de cremeto de rotacó del bloque A y B respectvamete; y e es el tesor de permutacó. j K tee dmesoes de logtud, pero se debe ormalzar por la logtud del plao de cotacto e la dreccó del movmeto del puto de refereca. Para defr K adecuadamete so ecesaros más resultados de pruebas de laboratoro. (3) Límte del movmeto del puto de refereca El puto de refereca es dode actúa las fuerzas de cotacto, por tato debe quedar detro de la superfce de cotacto de ambos bloques. Después de aplcarle las ecuacoes (40) y (41), se comprueba que el msmo esté detro de las dos caras. S, por cualquer motvo, el puto de refereca ha quedado fuera de ua de las caras, se acerca a la msma del sguete modo: (f ) (f ) [ ] d C : =C + ; (4) e dode: (f ) el vector ormal a la cara; y d es la dstaca ormal desde la cara a C. Fgura..4 Procedmeto para llevar al puto de refereca C detro de la cara 4

30 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Cuado es ortogoal a (f ), C vuelve a estar detro de la cara. Pero, e cualquer otro caso, el uso repetdo de la fórmula (e cada cclo de calculo) lleva a la covergeca (ver Fgura..4) Resume sobre el plao comú El úmero de operacoes ecesaras para establecer el plao comú depede lealmete del úmero de vértces. Para la traslacó del plao comú a través de la ecuacó (34), el úmero de comprobacoes a realzar so v A +v B. Para la rotacó, llega a 4N(v A +v B ) comprobacoes (debdo a las 4 perturbacoes), sedo N el úmero de teracoes. El úmero total ascede a: = (4N + 1) (v v ) ; (43) S los cotactos ya ha sdo determados ua vez, el plao comú es ua herrameta más potete al chequeo drecto del cotacto, ya que sólo se ecesta ua teracó de rotacó ormalmete. S embargo, para la determacó de u cotacto cal se ecesta del orde de 9 a 30 teracoes. Para bloques de pocos vértces, el plao comú ecestará llevar a cabo u mayor úmero de comprobacoes para determar el cotacto que el esquema drecto. Pero s se tee e cueta las ses vetajas expuestas co aterordad, el plao comú es mejor co dfereca. A + B pos de cotacto El tpo de cotacto es mportate porque determa el tpo de respuesta mecáca del cotacto. Por ejemplo, e mecáca de rocas, los cotactos etre caras se terpreta como jutas, e las cuales las tesoes so las varables más mportates. El tpo de cotacto se clasfca e fucó del úmero de vértces de cada bloque e cotacto co el plao comú. E el caso de que dos caras esté e cotacto es ecesaro defr u área de cotacto, co tal de poder utlzar ua ley de tesó-deformacó para determar el comportameto mecáco de la superfce de cotacto. 4 Coclusoes Cudall realzó u estudo cualtatvo. Obteédo ua correspodeca etre los gráfcos de fuerzas de cotacto obtedos umércamete y los del esayo fotoelástco de De Jossel de Jog (1969). Pudedo coclur que el método es ua buea herrameta para modelar cojutos graulares. 5

31 Experecas aterores Cudall també descrbo ua técca para detectar cotactos etre bloques de forma arbtrara y represetar las característcas geométrcas y físcas del cotacto. 6

32 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Capítulo 3: Los elemetos dscretos 1 Itroduccó Los elemetos dscretos suele ser dscos para el estudo de problemas bdmesoales y esferas e los trdmesoales. Su movmeto se descrbe medate las leyes que rge los problemas dámcos de sóldos rígdos. La teraccó etre los elemetos se defe medate ua fuerza de cotacto e la dreccó ormal al msmo y otra e la dreccó tagecal. La defcó de uas leyes de cotacto etre elemetos que cluye fuerzas de cohesó permte modelar la fractura y la pérdda de cohesó del materal o terreo estudado. Se asume que la deformacó del materal se cocetra e los cotactos etre esferas. U modelo que cosste e dscretzar u materal e dscos o esferas es atural para el caso de materales graulares. La cohesó etre partículas permte modelar materales como rocas y suelos, que colapsará debdo a la propagacó de fsuras e el seo de los msmos. A cotuacó se pretede descrbr profudamete el modelo utlzado e el estudo e mplemetado e el códgo medate el cual se ha realzado todas las smulacoes. Ecuacoes del movmeto Los movmetos de traslacó y rotacó de los elemetos dscretos (esferas o dscos) se rge medate las ecuacoes de la dámca de sóldo rígdo de Newto-Euler. Para el elemeto -ésmo del cojuto dchos movmetos se descrbe medate las sguetes ecuacoes: m u & = F (44) I ω& = (45) e dode: u es el vector de desplazametos del cetro del elemeto e u sstema de refereca fjo X; ω es la velocdad agular del elemeto respecto a u sstema de refereca móvl x co el elemeto y co orge e el cetro del msmo; m es la masa del elemeto -ésmo; 7

33 Los elemetos dscretos I es el mometo de erca; F es la resultate de las fuerzas que actúa sobre el elemeto; es la resultate de los mometos actuates e el elemeto respecto al sstema de refereca móvl x. t=0 z Z x u y z X 0 x y X F Y X Fgura. 3.1 Sstemas de refereca fjo y móvl, así como las resultates de fuerzas y mometos, y vector de desplazameto del cetro del elemeto ato e la resultate de fuerzas como e la de mometos tervee las fuerzas exteras aplcadas y las fuerzas y mometos resultates de la teraccó co el resto de los elemetos y los cotoros u otro tpo de obstáculos, así como la cosderacó del amortguameto del sstema. Las ecuacoes (44) y (45) se tegra usado u esquema de dferecas cetradas. La tegracó de la ecuacó del movmeto traslacoal para el paso de tempo -ésmo se puede escrbr como: F u & = ; (46) m + 1 / 1 / u & = u& + u& t; (47) / Para el caso de la ecuacó del movmeto rotacoal: u = u + u& t; (48) + 1 / ω& = ; (49) I 1 / ω = ω + ω& t; (50) 8

34 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste S se está estudado u problema plao (D) el águlo rotado se puede obteer de u modo smlar al vector de desplazametos u : / θ = θ + ω t; (51) Para problemas trdmesoales la matrz de rotacó Λ defe el cambo de coordeadas del sstema de refereca móvl e cada paso de tempo x respecto del sstema de refereca fjo X : X = Λ + x ; (5) La matrz de rotacó se actualza e cada paso de tempo: + 1 / θ = ω t; (53) s θ ~ 1 cos θ Λ = cos θ 1 + θ + θ θ ; (54) θ θ Λ + 1 = Λ Λ ; (55) e dode: θ = ( θ θ es u vector de cremetos agulares; x θy z) Λ es el cremeto e la matrz de rotacó; ~ θ es ua matrz atsmétrca defda como: 0 θz θy ~ θ = θz 0 θx. (56) y x 0 θ θ 3 Evaluacó de las fuerzas de cotacto Ua vez detectados los cotactos etre partículas se calcula las fuerzas e los msmos. S cosderamos dos partículas, la teraccó etre ellas se puede represetar por medo de dos fuerzas F 1 y F actuado sobre las msmas (la umeracó de dchas fuerzas es arbtrara e este caso). La tercera ley de Newto coduce a escrbr: F1 = F ; (57) A partr de ahora se hará refereca a F 1 como F y esta se descompodrá e su compoete ormal y tagecal F y F. F = F + F = F + F ; (58) 9

35 Los elemetos dscretos e dode: es el vector utaro ormal a la superfce de la partícula e el puto de cotacto (por tato, para elemetos esfércos o dscos tee la dreccó de la recta que ue las dos partículas y su setdo es haca afuera respecto la partícula 1). v +1 F F F ω +1 ω v F F +1 F=F +F +1 F Fgura. 3. Fuerzas de cotacto, velocdad y velocdad agular de las partículas Las fuerzas de cotacto F y F se obtee a partr del modelo costtutvo formulado para el cotacto etre partículas. A cotuacó se hace refereca al modelo costtutvo utlzado e el modelo. Se troduce u amortguameto e el cotacto co la faldad de dspar la eergía cétca y dsmur las osclacoes e las fuerzas de cotacto. Por tato, se puede descompoer las fuerzas de cotacto ormales F e ua parte elástca F e y ua amortguada (dampg e glés) F d : F = F F ; (59) e + e dode la parte amortguada es proporcoal a la compoete ormal de la velocdad relatva v r etre los cetros de las partículas ( = ( & u& ) ): d v r u F d = c v ; (60) r El valor del amortguameto c se puede tomar como ua fraccó del amortguameto crítco C cr del sstema formado por dos sóldos rígdos de masas m 1 y m coectados medate u muelle de rgdez : C cr m1 m = ; (61) m + m 1 E caso de que se guale c a cero se obtedrá u modelo o vscoso del materal. Por tato, la formulacó empleada para el cotacto puede represetar u modelo vscoso o o vscoso. 30

36 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste La parte elástca F e es gual al producto de la rgdez ormal al cotacto y la separacó exstete etre las partículas u r. F e = u ; (6) r E el caso de materales s cohesó (β=0) o podrá desarrollarse fuerzas de cotacto ormales de traccó. La separacó etre partículas u r se calcula como la dstaca etre cetros d meos los rados de las msmas r 1 y r ( ur = d r1 r ) ). Para materales s cohesó u r debe ser egatvo, de tal modo que F e sea meor o gual que cero (o puede desarrollarse fuerzas ormales de traccó e suelos o cohesvos). E suelos cohesvos (β=1) las fuerzas de cotacto ormales puede ser tato de traccó como de compresó. Ahora, la separacó etre partículas se calculará como la compoete ormal del desplazameto relatvo etre los putos de cotacto: u r = u ; (63) r u r = Χ + Λ r ) ( Χ 1 + Λ 1 r ); (64) ( c c1 Los putos que se llama de cotacto cocde e el state e que se establece la cohesó etre partículas: Χ 0 + Λ 0 r ) = ( Χ Λ 0 1 r ); (65) ( c c1 dode: Χ 0, Χ 0 1, Χ y Χ 1 represeta los vectores de poscó de los cetros de las partículas para el state de tempo cal t 0 (cuado se establece cohesó etre las partículas) y el de estudo t ; Λ 0, Λ 0 1, Λ y Λ 1 represeta las matrces de rotacó; rc y rc1 so los vectores que ue los cetros y el puto de cotacto e el state t 0. La cohesó etre partículas mplca que exste també fuerzas de cotacto tagecales al msmo: F = u ; r (66) dode: ur = ur u r ; es la rgdez e el setdo tagecal al cotacto. 31

37 Los elemetos dscretos µ c Modelo vscoso µ Modelo o vscoso Fgura. 3.3 Modelo costtutvo formulado para el cotacto etre partículas Los cotactos etre partículas puede romperse debdo a la aplcacó de cargas exteras al sstema. Dchos cotactos se rompe cuado se supera la ressteca tagecal o ormal de los msmos (F >R o F > R ). E otros modelos se produce ua pérdda de cohesó parcal (0<β<1), e vez de la pérdda de cohesó total (β=0). Además, e la presete formulacó, los cotactos o puede restturse después de rotos. E u cotacto la fuerza ormal crecerá proporcoalmete al desplazameto relatvo ormal etre elemetos, co u factor de proporcoaldad. Dcho factor puede tomar dsttos valores segú la fuerza ormal sea de traccó o de compresó (ver Fgura..8). Cuado la fuerza ormal de traccó alcace u valor gual a R el cotacto romperá y dejará de exstr tal fuerza. Compresó raccó F =F e +F d F =F e +F d F e F d F e F d Rotura del cotacto Rotura del cotacto c c t c u r v r u r v r F <R F e= t u r; F d=c v r F R F =0; F =0 Fgura. 3.4 Fuerzas de cotacto ormal elástca versus desplazameto relatvo e la dreccó ormal y fuerza de cotacto ormal amortguada versus velocdad relatva e la dreccó ormal, para el caso de cotacto e compresó o traccó 3

38 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste E este msmo cotacto habrá ua fuerza tagecal que será proporcoal al desplazameto relatvo tagecal etre elemetos, co u factor de proporcoaldad t. Smlar al caso ateror, cuado la fuerza tagecal alcace u valor de R t se romperá el cotacto. Compresó raccó R F Rotura del cotacto R F Rotura del cotacto F =µ F F =µ F R u rt Rotura del cotacto u rt Rotura del cotacto R F < R F = u t F R, F =µ F s F e 0 F < R F = u t F R F =0 Fgura. 3.5 Fuerza de cotacto tagecal versus desplazameto relatvo e la dreccó tagecal para el caso de cotacto e compresó o traccó E la Fgura.6 se muestra que u cotacto o estará roto sempre y cuado el puto que represete la fuerza ormal y tagecal e éste se halle detro de la zoa delmtada por las líeas rojas. F R R F Fgura. 3.6 Superfce de rotura del modelo 33

39 Los elemetos dscretos E auseca de cohesó o después de la rotura del cotacto, la fuerza tagecal de cotacto es la causada por el rozameto etre partículas: F vr = F ; (67) v r dode: v r es la compoete tagecal de la velocdad relatva etre los putos e cotacto de las partículas ( v v v r = r r ). La velocdad relatva v r se obtee de la dfereca de velocdades etre los putos del cotacto ( v = u& + ω r ) ( u& + ω r ) ). La velocdad del puto r ( c 1 1 c1 de cotacto se obtee de la suma de la velocdad del cetro de la partícula a la que perteece y el producto de la velocdad de rotacó de la msma por la dstaca etre el puto de cotacto y el cetro ( u & + ω r ). La fuerza de rozameto se haya aplcado la ley de Coulomb: c F = µ F ; (68) e dode µ es el coefcete de Coulomb. F F µ F µ F e u r u r a) b) Fgura. 3.7 Fuerza de rozameto versus velocdad relatva e la dreccó tagecal; a) modelo clásco de Coulomb; b) Modelo de Coulomb regularzado La relacó etre la fuerza de rozameto y la velocdad relatva e la dreccó tagecal para el modelo clásco de Coulomb, para ua fuerza ormal costate, se muestra e la Fgura Dcha relacó produce osclacoes o físcas de la fuerza de rozameto debdas a cambos de setdo de la velocdad relatva e la dreccó tagecal. Co la faldad de prever estas osclacoes regularzamos el modelo de Coulomb. U posble proceso de regularzacó se 34

40 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste podría llevar a cabo descompoedo la velocdad tagecal relatva e ua parte reversble v r r y otra rreversble v r rr : r r r rr r v = v + v ; (69) Este proceso es equvalete a formular el cotacto frccoal como u problema aálogo al de la elastoplastcdad. Esto puede verse claramete e la Fgura.3.7 b). Dcha aalogía permte calcular la fuerza de rozameto usado el algortmo de retoro radal aálogo al empleado e elastoplastcdad. E prmer lugar, se calcula ua prmera aproxmacó: tral old F = F + v t (70) E segudo lugar, se chequea la codcó de deslzameto: r tral tral φ = F µ F (71) S φ tral es meor o gual a cero, la fuerza tagecal es gual al valor cal de prueba (cotacto fjo): F = F ; (7) ew tral e caso cotraro, la fuerza tagecal es gual a (cotacto deslzate): F ew F = µ F ; (73) F tral tral Co la faldad de evtar osclacoes e la solucó se lmta la fuerza de rozameto a u valor F s. Dcho valor F s correspode a la fuerza tagecal tal que reduce la velocdad tagecal v = u& + ω r a cero. c 4 Amortguameto global del sstema Se puede alcazar u estado de equlbro cas-estátco de u cojuto de elemetos dscretos medate la aplcacó de u amortguameto adecuado. Aterormete se ha descrto el amortguameto e el cotacto como ua fucó de la velocdad relatva de las esferas e cotacto. E certas ocasoes es ecesaro aplcar u amortguameto e aquellas esferas que o está e cotacto co las demás para dspar su eergía. Exste dos tpos de amortguameto: uo vscoso y el otro o vscoso. E ambos casos los térmos de fuerza y mometo de amortguameto (F damp y damp ) se añade a las ecuacoes del movmeto (44) y (45): m u & = F + F ; (74) damp 35

41 Los elemetos dscretos I ω& = + ; (75) damp Los térmos de amortguameto se halla medate las sguetes expresoes: 1. Para amortguameto vscoso: F = α & ; (76) damp vt m u damp vr = α I ω ; (77). Para amortguameto o vscoso: F u& damp vt = α F ; (78) u& ω damp vr = α ; (79) ω e dode α vt, α vr, α vt y α vr so respectvamete costates de amortguameto. La fuerza y el mometo de amortguameto vscosos so proporcoales a la velocdad leal y a la velocdad agular. Por el cotraro, la fuerza y el mometo de amortguameto o vscoso so proporcoales a la fuerza y el mometo resultates.. 5 Establdad umérca El método explícto de tegracó e el tempo o es codcoalmete estable. El paso de tempo t debe ser meor al paso de tempo crítco t cr que es el doble de la versa de la mayor frecueca atural del sstema ω max : tcr = ; (80) ω E el caso de que exsta amortguameto el paso de tempo crítco vee dado por: tcr = ( 1 + ξ ξ ); (81) ωmax e dode ξ es ua fraccó del amortguameto crítco correspodete a la mayor frecueca atural del sstema ω max. max 36

42 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Para hallar la mayor frecueca atural del sstema se debe solucoar u problema de autovalores defdo por todo el cojuto de elemetos dscretos coectados. E prmera aproxmacó, el problema de autovalores puede defrse para cada elemeto dscreto usado la ecuacó lealzada del movmeto: m & r + r = ; (8) 0 e dode: m ( ) = m m m I I I ; = ( u ) (u ) (u ) ( θ ) ( θ ) ( θ ) r ; x y z x y z) es la matrz de rgdez, que recoge todas las restrccoes al movmeto de la partícula actvadas. El problema de autovalores resultate es: r = λ jm r; (83) e dode los autovalores so gual al cuadrado de las frecuecas propas del sstema ( j 1,,...,6 ). j ω j λ =,e u problema trdmesoal { } Para ua mayor smplfcacó, la mayor frecueca propa del sstema se estma como la máxma frecueca de todos los elemetos dscretos cosderado u úco grado de lbertad de traslacó y rotacó. Las ecuacoes de traslacó y de rotacó que gobera el problema so: m & u + u = 0; (84) I & θ + u = 0; (85) θ e dode se asume que el movmeto traslacoal es debdo a la teraccó etre esferas e el setdo ormal al cotacto ( es la rgdez del cotacto e el setdo ormal), y el movmeto rotacoal a la teraccó e el setdo tagecal ( es la rgdez del cotacto e la dreccó tagecal al msmo). Coocda, podemos hallar θ como: θ = r ; (86) e dode r es la logtud del vector que ue el cetro del elemeto co el puto de cotacto. La frecueca atural de las vbracoes de traslacó vee dada por: ω = ; (87) m 37

43 Los elemetos dscretos La frecueca atural de rotacó se obtee de: θ I ω = ; (88) θ eedo e cueta la expresó (86) y cosderado que los elemetos so esferas de rado r: 5 ω θ = ; (89) m S =, etoces ω θ es cosderablemete mayor a ω, lo cual colleva u meor tempo crítco. Co tal de evtar que el paso de tempo crítco vega fjado por las frecuecas de rotacó, la erca rotacoal se escala de forma adecuada. El cocepto de escalado de la erca rotacoal se usa comúmete e elemetos de placa. 6 Deteccó del cotacto Los pares de esferas e cotacto debe detectarse automátcamete durate el proceso de cálculo. S se chequease el cotacto de cada esfera cotra todas las demás el tempo de computacó sería proporcoal a, sedo el úmero de elemetos. Se ha desarrollado varos métodos para la determacó de los cotactos mucho más efectvos. Prevamete a la deteccó del cotacto se suele ordear los elemetos espacalmete medate u algortmo que los agrupe. De este modo, se determa los elemetos vecos y sólo es ecesaro chequear el cotacto etre estos. E auseca de cohesó, el cotacto se determa cuado ua esfera ha peetrado e la cotgua. E el caso de esferas o cldros smplemete se debe verfcar que: u r 0 (90); e dode u r se calcula como u r =d-r 1 -r, tal como se especfcó e el apartado 3.3. S el cotacto es cohesvo, la codcó (90) se reemplaza por: u (91); + r u r, máx e dode + máx r, u es la separacó que debe crearse para que el cotacto etre dos esferas o dscos se rompa por completo, la cual debe determarse e base al modelo costtutvo y las propedades del materal. 38

44 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste La determacó del cotacto es seclla, smplemete hay que verfcar la ecuacó (90) o (91) e fucó de s exste o o cohesó. Por tato, uestro problema se reduce a la efectvdad del algortmo de agrupacó de los elemetos. Los algortmos más populares para llevar a cabo esta operacó se puede agrupar e: Subdvsó e celdas Árboles baros Quadtree (D) y octree (3D) Celdas cetradas e el cuerpo Spatal heapsort 6.1 Subdvsó e celdas El espaco que egloba el problema de estudo se dscretza e celdas rectagulares (D) o hexaédrcas (3D) del msmo tamaño. Los elemetos se asoca a las celdas e base a sus coordeadas. La efcaca del método depede del equlbro etre el tamaño de la celda y el úmero de elemetos por celda. La efceca del método depede de que los elemetos esté dstrbudos etre las celdas. U método adaptatvo puede ser mplemetado e caso de que la dstrbucó de elemetos o sea uforme. 6. Árboles baros U método efectvo de clasfcacó para ua dstrbucó espacal o ordeada de los elemetos se basa e las estructuras e árbol baras. El espaco se dvde e celdas rectagulares que puede coteer como máxmo dos elemetos. E caso de que el úmero de elemetos e ua celda sea mayor que dos esta se dvde e dos. La subdvsó de las celdas se realza alteratvamete e el eje x, z e y. La represetacó del espaco s se ha dscretzado de este modo se realza cómodamete medate ua estructura e árbol bara. Dcha estructura permte localzar fáclmete objetos perteecetes a u subdomo recorredo el árbol de arrba abajo. El coste de Ο log N. dcha búsqueda es del orde de ( ) N 6.3 Quadtree (D) y Octree (3D) S se trabaja e dmesoes el domo se dvde e celdas rectagulares co u máxmo de cuatro elemetos por celda. S ua celda cotee más de cuatro elemetos esta se dvde e cuatro celdas. Al dscretzar el domo así se puede represetar medate u arbol de cuatro ramas (Quadtree). Dcha estructura permte detfcar fáclmete objetos perteecetes a u subdomo recorredo el árbol de arrba abajo. El coste de dcha búsqueda es del orde de Ο log N. ( ) N 4 39

45 Los elemetos dscretos La extrapolacó de este cocepto a las tres dmesoes del espaco da lugar a las estructuras de ocho elemetos (Octree). Ahora el domo se subdvdrá e celdas que cotega ocho elemetos como máxmo, s e ua celda hay más de ocho elemetos ésta se subdvdrá e ocho celdas. Para buscar elemetos perteecetes a u subdomo se recorre el árbol de arrba abajo como e los Ο log N. casos aterores y el coste de la búsqueda será del orde de ( ) N Celdas cetradas e el cuerpo Este método de deteccó del cotacto se beefca de la suposcó de que la cofguracó de los elemetos evolucoa letamete y que, por tato, los uevos cotactos puede formarse úcamete etre elemetos que esté lo sufcetemete cercaos e el paso de estudo. La lsta de cotactos potecales para cada elemeto cluye los objetos que esté cotedos e ua celda que eglobe el elemeto de estudo. Este método combado co el de Quadtree para D y el de Octree para 3D es el que se ha mplemetado e el algortmo de deteccó del cotacto utlzado. 6.5 Spatal heapsort Las bases del método Spatal heapsort es la clasfcacó de los elemetos e base a sus coordeadas. Los elemetos se almacea e u árbol baro. La búsqueda de u elemeto e este tpo de estructura es del orde de Ο log N. ( ) N 7 Algortmo de búsqueda del cotacto E la formulacó mplemetada la búsqueda del cotacto se basa e estructuras Quadtree e D y Octree e 3D combadas co la técca de agrupacó basada e las celdas cetradas e el cuerpo. De este modo el coste computacoal del proceso pasa a ser proporcoal a l(), permtédose usar sstemas de mayor tamaño. La costruccó de estructuras Quadtree (D) y Octree (3D) e cada paso de tempo sería muy caro. Para pasos de tempo muy pequeños, la mayoría de cotactos puede ser los msmos que e los pasos aterores. La utlzacó de la formacó sobre los pares de cotactos exstetes e el paso de tempo ateror puede aglzar la búsqueda de cotactos e el actual. Por este motvo el algortmo de búsqueda costa de dos etapas: ua prmera cosstete e ua búsqueda global de pares de elemetos potecalmete e cotacto basada e las estructuras quadtree y octree; y ua búsqueda local verfcado la lsta de cotactos potecales basada e el método de las celdas cetradas e el cuerpo. 40

46 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste 7.1 Búsqueda global Los elemetos se orgaza e el espaco medate estructuras octree y quadtree. Posterormete se crea ua lsta de cotactos exstetes y cotactos potecales. El método de las celdas cetradas e el cuerpo se usa para la lsta de cotactos potecales. Cada objeto se evuelve por ua celda crcular o esférca y todos los objetos que esté e ella o que la tersecte se cluye e la lsta de cotactos potecales. La orgazacó del espaco por medo del método quadtree o octree y la actualzacó de la lsta de cotactos por medo de éste se realza cada certo úmero de pasos de tempo. 7. Búsqueda local E cada paso de tempo se realza la búsqueda local. Se verfca las codcoes de cotacto de los elemetos de la lsta de cotactos potecales y se ecuetra los cotactos actuales. La celda cetrada e el cuerpo tee u rado gual al de la esfera o cldro cremetado ua catdad determada por el usuaro c tol. Dcho parámetro determa la logtud de la lsta de cotactos potecales y el tervalo de tempo etre búsquedas globales. La metodología sería la sguete: Se realza ua búsqueda global cuado: e dode: u max { u } = max c (9); = 1,D = 1,N D es la dmesó del problema ( para problemas bdmesoales y 3 para los trdmesoales); N es el úmero total de elemetos que costtuye el problema de estudo; u es el desplazameto acumulado de la esfera e la dreccó del espaco desde la realzacó de la últma búsqueda global. A la lsta de posbles cotactos de cada esfera se le añade aquellas esferas que esté a ua separacó meor de c tol e problemas bdmesoales y de 3 c tol e problemas trdmesoales Se qutará de la lsta de posbles cotactos de ua esfera o elemeto aquellas esferas que se separe hasta ua dstaca mayor de la mecoada tol 41

47 Los elemetos dscretos El algortmo de cotacto desarrollado es muy efcete, permtedo trabajar co grades cojutos de esferas. El valor de c tol debe escogerse de tal modo que se halle el equlbro etre el aumeto de tempo al realzar u mayor úmero de búsquedas globales cuado este decrece y el de vertr más tempo e la búsqueda local al aumetar la lsta de cotactos potecales cuado es meor. U valor óptmo de c tol se halla etre 0.1 r y 0.5 r (r es el rado medo de las esferas). 8 Los efectos de la temperatura e el modelo de desgaste La flueca de la temperatura e el desgaste se ha tedo e cueta adaptado la ley de Archard que asume que el rato de desgaste es proporcoal a la presó e el cotacto p y la velocdad de deslzameto ν t : p w& υt = ; (93) H dode: H es ua medda de la dureza de la superfce de cotacto; es u parámetro admesoal. S hacemos H depedete de la temperatura, tedremos e cueta su flueca e el desgaste. La frccó se evalúa medate la ley de Coulomb: H = H() (94) p = µ (95) t p Operado co las ecuacoes (35) a la (36) se obtee: w& pt υ D& t = = ; H(t) H(t) (96) dode: D & es el rato de dspacó frccoal; =. µ 4

48 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste 9 Ecuacoes del problema termo-mecáco A las ecuacoes del movmeto (44) y (45) descrtas aterormete se les debe añadr la ecuacó de balace del calor: m c & = Q (Q + Q Q ); (97) ge cp cb + rd dode: m es la masa de la partícula -ésma; c es la capacdad calorífca de la partícula; Q ge es el calor geerado debdo a la eergía dspada por la frccó y que es absorbda e forma de calor por la partícula; Q cp es el calor trasferdo por coduccó etre partículas; Q cb es el calor trasferdo por coduccó al cotoro; Q rd es el calor rradado etre partículas y al etoro. El calor geerado e u cotacto se puede obteer de la sguete expresó: ~ Q ge = χ F υ ; (98) r dode χ es la parte del trabajo de frccó que se trasforma e calor. El resto de varables volucradas se ha descrto aterormete. Se asume que el calor dspado por frccó e u cotacto es absorbdo equtatvamete por las dos partículas e cotacto. El calor geerado Q ge será 1 ~ la suma del calor geerado e cada uo de los cotactos ( Qge ) de la partícula co sus vecas. El calor trasferdo por coduccó etre dos partículas se estma como el calor que se coduce e ua barra de logtud d gual a la dstaca etre los cetros de las partículas y de seccó equvalete A (fucó del tamaño de las partículas): dode: ~ Qcp = κ A ( j); (99) d κ es la coductvdad del materal; y so las temperaturas de las partículas y j e cotacto. j El calor trasferdo por coduccó Q cp tee e cueta la cotrbucó de todas las partículas e cotacto co la partícula -ésma de estudo. Itegrado la ecuacó de balace del calor medate u esquema explícto de Euler haca adelate se obtee: + 1 = t + [ Q ge (Q cp + Q cb + Q rd) ]; m c (100) 43

49 Los elemetos dscretos El problema térmco se solucoa para ua cofguracó geométrca dada y el calor geerado por frccó se obtee de la solucó del problema mecáco. Las temperaturas halladas para cada partícula modfca las propedades del materal que se usará e el paso sguete del problema mecáco. 10 El desgaste Itegrado el rato de desgaste a lo largo del tempo se obtee el desgaste producdo. w = w & dt (101) El desgaste se va tegrado a lo largo del tempo para cada ua de las partículas que costtuye la superfce extera de la herrameta de excavacó. Ua vez dcho desgaste alcaza el valor del tamaño de la partícula, se cosdera que la partícula ya o forma parte de la herrameta. Por tato, la geometría de la herrameta se modfca a lo largo del tempo. al como pasaría e la realdad e u proceso de excavacó. 11 Coclusoes Se ha presetado ua formulacó termo-mecáca acoplada del método de los elemetos dscretos. Ésta permte modelar el problema del desgaste e toda su complejdad. 44

50 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Capítulo 4: Estudo de las propedades macroscópcas de los materales (rocas o suelos) 1 Itroduccó Ates de estudar el problema del desgaste de útles de excavacó se debe abordar u amplo y complejo problema: Cómo reproduce el modelo de elemetos dscretos las propedades de rocas y suelos? Bajo la hpótess de que u materal vee defdo por su módulo de Youg, su ressteca últma a compresó y a traccó y su módulo de Posso. Se realzará ua sere de smulacoes co la faldad de hallar las leyes costtutvas que caracterza el materal estudado. Dchas leyes costtutvas so las descrtas e el apartado ateror, pero para u valor dado de los parámetros mcroscópcos e ellas volucrados (, c, t, R N, R ). La faldad de este apartado es el estudo de las relacoes etre los parámetros mcroscópcos que defe las leyes costtutvas del materal y sus parámetros macroscópcos. Las smulacoes realzadas co este f so e dos dmesoes. Se ha cosderado que los resultados sería sufcetemete bueos y el problema estudado mucho meos complejo. Es ecesaro abordar el problema de forma escalada (de meos a más complejo), ya que este es u campo aú por descubrr. Aálss del comportameto de materales reales Co tal de hallar cual es el rago de varacó de los parámetros macroscópcos se ha estudado qué valores toma los msmos para dversos materales. E la tabla adjuta se puede observar dsttos parámetros utlzados frecuetemete para caracterzar rocas, suelos y metales. Materales Módulo de Deformacó Volumétrca Módulo de Elastcdad Módulo de Cortate Coefcete de Posso Aleacó de Alumo 71, , ,334 Aleacó de cobre al berlo 96, , ,85 Lato 100, , ,34 Acero al carboo 165, , ,9 Fudcó de Herro Grs 57, , ,11 Cobre 113, , ,36 Fbra de Asbesto-Douglas 10, , ,330 Vdro 30, , 18, ,45 Icoel 169, , ,90 Magecum 49, ,8 16, ,350 Moldeo 85, , ,307 45

51 Estudo de las propedades macroscópcas de los materales Aleacó de Metal Moe 165, , ,30 Aleacó de Nquel Plata 118, , ,3 Aleacó de Acero Nquel 165, , ,91 Broce Fosforco 1, , ,349 Acero Ioxdable 16, , ,305 Adesta 6,8966 1,000 4, ,1000 Adesta 44, ,000 18,1818 0,3000 Aresca 0,959,500 1, ,05000 Aresca 84,7 61,000, ,38000 Basalto 13, ,000 13, ,14000 Basalto 50, ,000 37, ,0000 Calza 1,1111,800 1,9630 0,08000 Calza 114, ,000 49,6183 0,31000 Creta 0,014 0,041 0, ,18000 Creta 4,975 6,800, ,7000 Dabasa 7,5556 6,000 7, ,1500 Dabasa 61, ,000 45, ,0000 Dolomía 3,3333 9,600 4, ,0000 Dolomía 61, ,000 45, ,0000 Esqusto,4306 7,000 3, ,0000 Esqusto 44, ,000 33, ,0000 Foolta 4,735 10,000 4, ,11000 Foolta 13,8889 5,000 10, ,0000 Grabo 6, ,000 6, ,1500 Grabo 55, ,000 41, ,0000 Gess 8,9431,000 10, ,09000 Gess 84, ,000 30,388 0,34000 Grato 1,7333 3,900 1, ,1500 Grato 61, ,000 35, ,6000 Marmol 10,564 4,000 10, ,11000 Marmol 46, ,000 34, ,0000 Porfdo seítco 37, ,000 7,773 0,1000 Rolta 4, ,000 4, ,10000 Rolta 11,1111 0,000 8, ,0000 Yeso -roca- 3,143 5,400,1311 0,000 Yeso -roca- 30, ,000 13, ,31000 abla 1 Caracterzacó de materales De aquí se puede llegar a las sguetes coclusoes: El modulo de elastcdad se mueve etre valores del orde de 07Gpa y 0.041Gpa El módulo de Posso e los materales cludos e la tabla varía etre 0.08 y El tervalo físco de varacó del módulo de Posso es (0,1/). 46

52 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste 3 Metodología E cada smulacó se fja los parámetros mcroscópcos y se obtee los parámetros macroscópcos. Para hallar los parámetros macroscópcos se realza esayos a traccó y a compresó. Los esayos cosste e tomar u cojuto de esferas cotedas etre cuatro paredes y comprmrlas u poco, de tal modo que los dscos esté be coectados los uos co los otros. al como muestra H.Huag e su tess [4], para que ua smulacó realzada co elemetos dscretos dé bueos resultados es mportate que su tamaño sea aleatoro y que esté be coectados los uos co los otros. E total so 100 dscos cotedos e u rectágulo de mm. El rado de los dscos se ha geerado aleatoramete, de maera que la meda es 1.5mm y la desvacó estádar de 0. (la dstrbucó es uforme). Ua vez se ha cosegudo ua probeta adecuada se mpoe ua velocdad prescrta a dos de sus paredes. Dchas paredes está e cotacto co las esferas. Las paredes trasmte ua fuerza de traccó o de compresó al cojuto de esferas porque e los cotactos se ha fjado ua rgdez ormal y tagecal de valor 0.1. Fgura. 4.1 Modelo del materal Fgura. 4. Cotactos e la dreccó ormal etre esferas La probeta al ser sometda a ua fuerza de traccó y de compresó rompe. Se cooce e cada mometo la fuerza ejercda por las paredes y su 47

53 Estudo de las propedades macroscópcas de los materales desplazameto. Co estos datos es obvo hallar las tesoes a las que es sometdo el materal y cuales so las deformacoes cosecueca de estas. Por tato, coocemos el módulo de Youg, el módulo de Posso y la tesó de rotura a traccó o compresó: σ ε xx yy E' = ; ν ' = -. (10) ε ε xx Dado que se trata de u problema de deformacó plaa, las costates halladas a partr del esayo de traccó o compresó se puede relacoar co el módulo de Youg E y de Posso ν del sguete modo: xx E ν ' = ; ν ' =. (103) 1 ν 1 ν E esó (Mpa) esó (Mpa) Deformacó Deformacó a) b) Fgura. 4.3 Ejemplo de las leyes de tesó vs. deformacó obtedas a) Compresó uaxal b) raccó uaxal 4 Aálss de la flueca de los parámetros mcro 4.1 Geeracó de la poblacó de datos para realzar el aálss Para estudar la flueca que tee e el modelo mplemetado cada uo de los parámetros mcroscópcos sobre los parámetros macroscópcos el prmer paso es crear ua poblacó lo sufcetemete ampla de valores mcroscópcos co sus correspodetes valores macroscópcos que cubra todo el espaco eedmesoal de valores mcro. Para ello se ha cosderado que las varables mcroscópcas tee ua dstrbucó uforme detro del domo de estudo de cada ua de ellas. Medate el método de Mote Carlo se elge los parámetros mcro que se usa e cada smulacó de las smulacoes que se realza co la faldad de obteer ua poblacó de cojutos de parámetros. 48

54 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste 4. Método de Mote Carlo 4..1 Itroduccó ato e la geería como e las cecas se utlza modelos matemátcos que descrbe la relacó (leal o o) que exste etre uas varables X y uas varables de estudo Y. E muchos problemas la relacó etre las varables de etrada y las de salda es muy compleja y ello mplca la mposbldad de hallar ua solucó exacta y la ecesdad de usar métodos aproxmatvos. El caso de estudo que os ocupa es uo de ellos. 4.. Geeracó de úmeros aleatoros co dstrbucó uforme La geeracó de úmeros aleatoros se realza e este caso medate el método de la versó. Sea ua varable aleatora cotua X co dstrbucó uforme e el tervalo [a,b], X U(a,b). Su fucó de desdad de probabldades es, por tato: 1 f X ( x ) = a < x < b (104) b a Sedo U u úmero aleatoro geerado detro del tervalo (0,1) (U U(0,1)), etoces: X = F 1 ( U ) = a + ( b a) U (105) Se geera u cojuto de úmeros aleatoros co dstrbucó uforme e el tervalo [a,b] a través de la ecuacó (105) y u cojuto de úmeros aleatoros U cotedos detro del tervalo (0,1). 5 Aálss de correlacoes Se ha hallado las correlacoes de Pearso etre las varables co la faldad de determar cuales so las varables más fluyetes y s se cofrma lo que la tucó sobre la físca del problema os señala. E prmer lugar se muestra aquellas varables que so meos fluyetes e las varables de salda estudadas (que so el módulo de elastcdad, el coefcete de Posso y la tesó de rotura). 49

55 Estudo de las propedades macroscópcas de los materales DENSIY COULOMB RN R DELA ENSILE SRENGH POISSON'S RAIO YOUNG MODULUS Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N *. La correlacó es sgfcate al vel 0,05 (blateral). **. La correlacó es sgfcatva al vel 0,01 (blateral). Correlacoes DENSIY COULOMB RN R DELA ENSILE SRENGH POISSON'S RAIO,035, ,13*,0,038, ,049 -,03 -,076,414,589, ,075,04 -,081 -,030,11,684,175, ,000,10,048,038,06,995,085,44,5, ,138*,017,018,061,008,407**,00,781,767,310,89, ,043,099,054,04,061,99**,44**,475,097,364,481,303,000, YOUNG MODULUS abla Correlacoes de Pearso de aquellas varables meos sgfcatvas (para u esayo a traccó) DENSIY COULOMB RN R DELA ENSILE SRENGH YOUNG MODULUS POISSON'S RAIO Fgura. 4.4 Varables meos sgfcatvas (para u esayo a traccó) La desdad de las esferas, el coefcete de Coulomb, la ressteca a traccó y a compresó o fluye e los parámetros estudados. La explcacó físca de esto es que se está estudado el comportameto e la rama elástca y o se 50

56 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste cosdera la flueca del peso propo e el problema. La ressteca a traccó y a compresó, así como el coefcete de Coulomb, empezará a actuar cuado se rompa el prmer cotacto etre dos elemetos del cojuto. E este precso state el materal empezará a comportarse plástcamete. Ua represetacó gráfca de las correlacoes que se muestra e la abla se represeta e la Fgura ENSILE SRENGH POISSON'S RAIO YOUNG MODULUS KNC KN K Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N Correlacó de Pearso Sg. (blateral) N ENSILE SRENGH **. La correlacó es sgfcatva al vel 0,01 (blateral). Correlacoes POISSON'S RAIO YOUNG MODULUS KNC KN K,407**,000 83,99**,44**,000, ,05 -,334**,046,386,000, ,900**,71**,903** -,06,000,000,000, ,33** -,455**,31** -,008 -,010,000,000,000,888, abla 3 Correlacoes de Pearso de las varables más sgfcatvas (para u esayo a traccó) ENSILE SRENGH YOUNG MODULUS POISSON'S RAIO KNC KN K Fgura. 4.5 Varables más sgfcatvas 51

57 Estudo de las propedades macroscópcas de los materales Los parámetros mcroscópcos más fluyetes so la rgdez ormal a traccó y a compresó y la rgdez tagecal. El producto de la rgdez co el desplazameto relatvo etre dos elemetos da la fuerza tera que se ejerce el uo sobre el otro e la dreccó ormal o tagecal. Lógcamete, sobre el coefcete de Posso y el módulo de elastcdad flurá la rgdez ormal y la tagecal. Que fluya más la ormal de traccó o de compresó es fucó de s se está realzado u esayo a traccó o a compresó. Sobre la tesó de rotura flurá más la rgdez ormal de traccó e esayos a traccó y la de compresó e esayos a compresó. 5.1 Parámetros elástcos Relacoes admesoales La probeta vrtual formada por u cojuto de dscos be coectados etre sí se caracterza por dos grupos de parámetros a escala mcroscópca: 1. Los parámetros físcos y geométrcos: - R, el rado medo [L] - ρ, desdad [FL -1 ] -, porosdad. Los parámetros costtutvos de los cotactos etre partículas: - c, rgdez ormal a compresó [FL - ] - t, rgdez ormal a traccó [FL - ] - t, rgdez tagecal [FL - ] - R N, ressteca ormal [FL -1 ] - R, ressteca tagecal [FL -1 ] - µ, coefcete de frccó h h Fgura. 4.6 Se realza esayos vrtuales a traccó y compresó A vel macroscópco u materal se caracterza medate costates feomeológcas, tales como el módulo de Youg E y el coefcete de Posso ν (ambas costates elástcas), y la ressteca a traccó σ t y a compresó σ c del materal. No exste gua teoría que permta predecr los parámetros macroscópcos (E, ν, σ c, σ t ) a partr de los parámetros mcroscópcos aterormete descrtos. Por tato, el prmer paso a segur s se quere realzar 5

58 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste smulacoes medate el método de los elemetos dscretos es hallar la relacó exstete etre los parámetros mcro y macro. Co tal de hallar esta relacó se ha realzado u aálss admesoal del problema y esayos vrtuales de traccó y compresó. Al co de los esayos vrtuales, cuado todavía o se ha roto guo de los cotactos etre esferas, el materal se comporta elástcamete. E esta fase los parámetros mcro volucrados e el problema (tal y como se ha mostrado e el aálss prevo) so { c, t, K, R,, ρ, h, V}. Nótese que la porosdad se ha tomado de forma drecta como ua medda de la dstrbucó aleatora de las esferas al coformar geométrcamete el medo que se modela. Dado que so ocho los parámetros fluyetes e el problema elástco y tres las dmesoes depedetes, aplcado el teorema de Bucgham-π, cco parámetros admesoales goberará la respuesta elástca de la probeta vrtual: t R V,,,, (106) c c h c h / ρ R V Los parámetros admesoales y h h / ρ c puede desprecarse. S la R smulacó costa de bastates grados de lbertad << 1 y s se realza bajo L V codcoes de cargas cuasestátcas << 1. Por tato, se puede h / ρ escrbr las sguetes relacoes: t E' = c ƒe,, c c (107) t υ ' = ƒν,, c c (108) c 5.1. Relacoes etre los parámetros mcro y macro obtedas Se ha realzado u total de 443 esayos vrtuales a compresó y 359 a traccó. De los cuales se ha extraído la formacó que se preseta a cotuacó. 53

59 Estudo de las propedades macroscópcas de los materales t Para u valor dado del coefcete admesoal se obtee las sguetes c relacoes etre los parámetros macroscópcos elástcos E y ν y los coefcetes admesoales presetados e el apartado ateror. 1,0E+00 1,00E+00 8,00E-01 E'/ 6,00E-01 4,00E-01,00E-01 0,00E+00 0,00E+00 1,00E+00,00E+00 3,00E+00 4,00E+00 5,00E+00 6,00E+00 7,00E+00 8,00E+00 9,00E+00 t/ c=t c=t traccó c dstto de t c dstto de t traccó Fgura. 4.7 Relacó etre el módulo de Youg aparete E y el parámetro admesoal 0,8 0,7 0,6 0,5 posso 0,4 0,3 0, 0,1 0 0,00E+00 1,00E+00,00E+00 3,00E+00 4,00E+00 5,00E+00 6,00E+00 7,00E+00 8,00E+00 9,00E+00 t/ c=t c=t traccó c dstto de t c dstto de t traccó Fgura. 4.8 Relacó etre el coefcete de Posso aparete ν y el parámetro admesoal 54

60 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Hacedo ua sere de trasformacoes se puede hallar las sguetes relacoes, estas tee la peculardad de ser leales e u rago de valores amplo. 9,00E+00 8,00E+00 7,00E+00 6,00E+00 t/ 5,00E+00 4,00E+00 3,00E+00,00E+00 1,00E+00 0,00E , 0,4 0,6 0,8 1 1, (*ν-1)^4 c=t c=t traccó c dstto de t c dstto de t traccó Fgura. 4.9 Relacó etre el módulo de Posso aparete ν y el parámetro admesoal lealzada 1,0E+00 1,00E+00 8,00E-01 E'/ 6,00E-01 4,00E-01,00E-01 0,00E ,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 posso c=t c=t traccó c dstto de t c dstto de t traccó Fgura Relacó etre el módulo de Youg aparete E y el coefcete de Posso aparete ν 55

61 Estudo de las propedades macroscópcas de los materales Se observa que para valores del parámetro admesoal para esayos a c compresó para esayos a traccó mayores de 3 las relacoes obtedas t deja de teer ua tedeca clara. Este hecho cocde además co valores del coefcete aparete de Posso ν muy pequeños y valores del módulo de Youg aparete E muy grades. S se elma estos valores sgulares se cubre u rago muy amplo de materales. 1,00E+00 9,00E-01 8,00E-01 7,00E-01 6,00E-01 E'/ 5,00E-01 4,00E-01 3,00E-01,00E-01 1,00E-01 0,00E+00 0,00E+00 5,00E-01 1,00E+00 1,50E+00,00E+00,50E+00 3,00E+00 3,50E+00 t/ Fgura Relacó etre el módulo de Youg aparete E y el parámetro admesoal 0,8 0,7 0,6 0,5 posso 0,4 0,3 0, 0,1 0 0,00E+00 5,00E-01 1,00E+00 1,50E+00,00E+00,50E+00 3,00E+00 3,50E+00 t/ c=t c=t traccó c dstto de t c dstto de t traccó Fgura. 4.1 Relacó etre el coefcete de Posso aparete ν y el parámetro admesoal 56

62 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste 3,50E+00 3,00E+00,50E+00 t/,00e+00 1,50E+00 1,00E+00 5,00E-01 0,00E , 0,4 0,6 0,8 1 1, (*ν-1)^4 c=t c=t traccó c dstto de t c dstto de t traccó Fgura Relacó etre el módulo de Posso aparete ν y el parámetro admesoal lealzada 1,00E+00 9,00E-01 8,00E-01 7,00E-01 6,00E-01 E'/ 5,00E-01 4,00E-01 3,00E-01,00E-01 1,00E-01 0,00E ,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 posso c=t c=t traccó c dstto de t c dstto de t traccó Fgura Relacó etre el módulo de Youg aparete E y el coefcete de Posso aparete ν 57

63 Estudo de las propedades macroscópcas de los materales Metodología propuesta A cotuacó se preseta ua metodología a segur para dado u materal co uos parámetros elástcos E y ν fjados obteer los parámetros mcro c, t y que se debe troducr e el modelo de elemetos dscretos para smular dcho materal. 1. Se fja el parámetro admesoal t c gual a β. A partr de ν se obtee el parámetro admesoal 3. A partr de ν y E se obtee c (Fgura. 3.13) 4. A partr de ν y E se obtee t (Fgura. 3.13) 5. Dado c y se obtee 6. Dado c y t se obtee 7. S 8. S t c t c c β se vuelve a 1. β FIN t c c (Fgura. 3.1) Problemátca y solucoes propuestas U materal cualquera tee u comportameto a traccó y compresó e el rago elástco de deformacoes que se caracterza por su módulo de Youg a t traccó E y a compresó E C. A pror, se descooce que relacó os c coducrá a la solucó deseada. Dado que de mometo o se dspoe de ua base de datos de esayos vrtuales lo sufcetemete extesa se ha propuesto ua solucó alteratva a la estrctamete aalítca. Co las relacoes etre los t parámetros mcro y macro obtedas para gual a la udad se puede c obteer ua aproxmacó cal a la solucó. A partr de esta aproxmacó cal y utlzado u método global de optmzacó se puede hallar los parámetros mcro que le correspode a los datos de partda E y ν. E el cuarto apartado de este capítulo se preseta el método global de optmzacó que se ha utlzado y adaptado a uestro problema e partcular y las solucoes que se ha obtedo medate este. 58

64 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste 5. Ressteca a traccó y a compresó E el mometo e que rompe u prmer cotacto (etramos e la rama elastoplástca del materal) e la smulacó vrtual de los esayos a traccó y a compresó, las varables que tervee e la respuesta del modelo pasa a ser: { c, t,, R,, ρ, h, V, R N y R }. S se aplca e este caso el teorema de Bucgham-π se obtee que debe hallarse ueve parámetros admesoales que gobere la respuesta elástoplastca de medo: R c r R, R δ,, µ, R t c, c R,, h, c V h / ρ (109) Igual que e el apartado ateror el sstema tee sufcetes grados de lbertad y el proceso de carga es cuasestátco. Para ua probeta vrtual específca co u rado medo y ua porosdad dada, los parámetros elástcos E y ν tee t ua relacó buívoca co los parámetros admesoales,. S c c t embargo, se cosdera desprecable la flueca de,, e los c c parámetros de rotura. Por tato, se puede escrbr las sguetes relacoes: R c R R δ σ c = ƒ c,,, µ (110) r R R R R c R R δ σ t = ƒ t,,, µ (111) r R R R 6 Estmacó de parámetros 6.1 Itroduccó Smulated Aealg es u método global de optmzacó que coverge a u mímo global o restrgdo solucoado problemas o leales, busca la solucó que adopte el meor valor de la fucó objetvo, hace descesos probablístcos e el espaco de la varable x aceptado el hecho de que dchas probabldades está goberadas por la temperatura y mmza de forma explícta la fucó objetvo f(x). SA esta dseñado para fucoes co varos óptmos y hace muy pocas presucoes a cerca de la forma de la fucó a optmzar. Explora la superfce de la fucó a profuddad, y mra de hallar el optmo de la fucó movédose e todas las dreccoes. Por este motvo es u método robusto. Esta robustez se traduce e u coste mayor de tempo de computacó. 59

65 Estudo de las propedades macroscópcas de los materales Este método se spró e el proceso de recocdo (aealg) a que se somete dversas substacas. ípcamete, ua substaca, como el acero o cualquer otro metal, al caletarse gaa eergía. Esta eergía se dspa de forma gradual al efrarse. Metras se va efrado las moléculas del materal se reordea e u estado de meor eergía. Fluctuacoes aleatoras e la eergía permte escapar de mímos locales de eergía, hasta alcazar el mímo global. El proceso falzará cuado el sstema este e equlbro termodámco. S el eframeto es muy rápdo, el sstema o podrá escapar de u mímo local de eergía (u metal efrado rápdamete cotedrá más eergía). SA pretede mmzar ua fucó multdmesoal de forma aáloga a la eergía de u sstema. Co la faldad de hallar dcho mímo, SA se mueve e ambas dreccoes haca arrba y haca abajo. Como e el caso aálogo de u metal, co tal de evtar quedar atrapado e u mímo local. 6. Smulated Aealg Smulated aealg es u método para solucoar problemas o leales s restrccoes o optmzacó multcrteral. U problema geeral o leal s restrccoes se puede defr como: mmza f() para S ; (11) e dode f() es la fucó objetvo a mmzar y S es el espaco e el que se halla la solucó. A ua solucó opt se le llama mímo global cuado satsface f( opt ) f() S. S opt es el cojuto de todos los mímos globales tales que f opt =f( opt ) es su valor objetvo. El etoro S de la solucó es el cojuto de putos j tales que j S S j. A cotuacó se muestra el procedmeto que emplea SA para resolver ploblemas o leales s restrccoes: Ico de SA puto cal = 0; temperaturas cales = 0 y rato de eframeto 0 < α < 1; N (úmero de tros o pruebas por temperatura); whle la codcó de parada o se cumpla do de 1 a N for do geeracó de u puto ' perteecete a S usado q(,' ) ; aceptar ' co probabldad A (,' ) eddo reducmos la temperatura de a α ; edwhle f SA 60

66 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste q(, ), la probabldad de geeracó, se defe como 1 q (, ') = S. A (, ), la probabldad de aceptacó del puto geerado, se defe a cotuacó: ( f ( ') f ( )) A, ') = exp e dode a + =a s a>0 y a + =0 e caso cotraro. + ( ; (113) SA fucoa del sguete modo. Prmero geera u puto de prueba. S f( )<f(), el puto se acepta como puto cal de la sguete teracó. La solucó es aceptada co probabldad ( f ( ') f ( )) exp + S. Cuato peor sea la solucó, meor será la probabldad de que sea aceptado e la sguete teracó. El procedmeto descrto es repetdo N veces hasta que la temperatura dsmuye. eórcamete, s la temperatura se dsmuye lo sufcetemete despaco e ua escala logarítmca, etoces SA covergerá astótcamete a ua solucó óptma opt S opt. E la práctca se adopta u caledaro geométrco de eframeto, α, co la faldad de que SA coverja a ua solucó * e u tervalo de tempo fto. SA puede modelarse medate ua cadea de Marov homogéea que cosste e ua secueca de cadeas de Marov homogéeas de logtud fta, cada ua de ellas a ua temperatura específca e u caledaro de temperaturas dado. E cocordaca co la probabldad de geeracó q(, ) y la probabldad de aceptacó A (, ), la probabldad de trascó de u paso de la cadea de Marov es: q (, ') A (, ') s ' S P (, ') = 1 P (, j ) s ' = ; (114) 0 S la correspodete matrz de trascó es P =[P (, )]. Se asume que, s se escoge S adecuadamete, la cadea de Marov será rreducble, vedo a decr que para cada par de solucoes y j, la probabldad de hallar j a partr de e u úmero de pasos fto es postva. Cosderado la secueca de temperaturas {, = 0,1,,... }, e dode +1 < y lm =0, y escogedo N como el máxmo del mímo úmero de pasos requerdos para hallar u opt desde cada j S. Dada la rreductbldad de la cadea de Marov y la ftud del espaco de búsqueda S, ello colleva la 61

67 Estudo de las propedades macroscópcas de los materales exsteca de N. El teorema de covergeca astótca de SA se escrbe a cotuacó: eorema La cadea de Marov modelado SA coverge astótcamete a u mímo global Sopt s la secueca de temperaturas satsface que: e dode = { f ( j ) f ( ) j S } max,. j S N ; (115) log ( + 1) La demostracó de este teorema se basa e la llamada ecuacó de balace global: e π ( ) P (, ') = π ( ') P ( ', ) ; (116) e dode π () es la probabldad estacoara del estado a temperatura. A pesar de que SA fucoe be para resolver problemas o leales s restrccoes, este o puede usarse drectamete e el caso de problemas o leales que tee ua sere de restrccoes que debe ser satsfechas, además de mmzar la fucó objetvo. La estratega más comú utlzada e este caso es la de usar formulacoes de pealzacó. Para formulacoes de pealzacó estátca, es dfícl elegr ua pealzacó γ adecuada, dado que s la pealzacó es demasado grade SA tede a hallar solucoes factbles e lugar de solucoes óptmas. E el caso de formulacoes dámcas, los problemas s restrccoes e cada etapa de λ() debe ser solucoados de forma óptma co la faldad de hallar ua covergeca astótca. S embargo, esta últma codcó es dfícl de cosegur a la práctca, dado sólo ua catdad fta de tempo a cada etapa. S el resultado e cada etapa o es u mímo global, etoces o podemos garatzar que el mímo hallado al fal de todo el proceso lo sea. Por lo tato, la aplcacó de SA a ua formulacó de pealzacó dámca o colleva ua covergeca astótca e la solucó de problemas o leales co restrccoes. 6.3 SIMANN: U algortmo de optmzacó global basado e Smulated Aealg Itroduccó Smulated aealg es u método de optmzacó global que dstgue etre dsttos óptmos locales. Empeza desde u puto cal (troducdo por el usuaro), el algortmo avaza u paso y evalúa la fucó a mmzar. odos 6

68 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste aquellos putos que dsmuya el valor de estudo de la fucó será aceptados. U puto que haga lo cotraro també será aceptado co la faldad de escapar de mímos locales. S la optmzacó esta sedo extosa, la logtud de los pasos dsmuye y el algortmo se acerca al optmo global Descrpcó del algortmo Al co, el algortmo escoge u puto cal al azar a ua dstaca o mayor de la logtud del vector v del puto cal escogdo por el usuaro. S lo que estamos buscado es u máxmo, todos los movmetos haca arrba será aceptados y el algortmo segurá desde el puto aceptado (sempre se cetra el vector de avace e el puto escogdo). Los movmetos haca abajo també será aceptados, el crtero de decsó que se utlza es el de Metropols. Este establece que los putos será aceptados cuato mayor sea la temperatura y meor sea el desplazameto haca abajo. S el puto es rechazado se escogerá otro puto. Las compoetes del vector v se ajusta peródcamete s la mtad de todas las evaluacoes de la fucó e esta dreccó ha sdo aceptadas. Se mpoe u desceso de temperatura: +1 =r ( sgfca que es la -ésma teracó). A medda que la temperatura dsmuye, los movmetos haca abajo se acepta e meor úmero y el porcetaje de putos o aceptados aumeta. Al gual que la logtud de cada paso dsmurá, SA se cetrará e el área que más prometa para la optmzacó e ese mometo. La temperatura cal del sstema debe escogerse después de varos tros, de tal modo que se asegure que la logtud del vector v es lo sufcetemete grade para llegar a cubrr todo el espaco de búsqueda. Para ver la flueca de los dferetes parámetros y el modo e que fluye e la velocdad de optmzacó se puede varar los valores que se recomeda. Por ejemplo, se puede escoger u factor de reduccó del vector de avace r de 0.95 y 0.1. El úmero de veces que se quere que el algortmo reduzca la temperatura se troduce a través de la varable N ε. Después de N S evaluacoes de la fucó se reducrá la logtud del vector de avace v y después de N N S evaluacoes de la fucó, la temperatura se reducrá u factor r. Para varar el tempo de optmzacó y la robustez del método se debe jugar co las varables N y r. Los valores cales escogdos de los parámetros descoocdos so rrelevates e este método, al gual que la logtud cal de v, ya que el método rápdamete ajusta su logtud e fucó de la temperatura. Cuado se halla u óptmo es acosejable recar SIMANN co dferetes semllas del geerador de úmeros aleatoros. S se halla el msmo óptmo se puede afrmar que práctcamete se ha alcazado el objetvo. 63

69 Estudo de las propedades macroscópcas de los materales Parámetros del algortmo Parámetros de etrada Varable po Descrpcó Valores recomedados N Etero Número de parámetros a optmzar e la fucó objetvo X Doble precsó Vector de valores cales de los parámetros a optmzar MAX Lógca Deota s la fucó se mmza o maxmza R (r ) Doble Coefcete de reduccó de la 0.85 precsó temperatura EPS Doble La toleraca permtda precsó NS Etero El úmero de cclos 0 N Etero El úmero de teracoes ates (100,5 N) de dsmur la temperatura NEPS Etero Número de valores de la fucó 4 elegdos para decdr ates de termar MAXEVL Etero Número máxmo de evaluacoes de la fucó LB Doble precsó Límte feror de cada uo de los parámetros a optmzar UB Doble Límte superor de cada uo de C precsó Doble precsó los parámetros a optmzar El vector que cotrola el ajuste de la logtud de avace abla 4 Parámetros de etrada Parámetros de etrada/salda Varable po Descrpcó Valores recomedados Doble emperatura precsó VM Doble precsó Logtud del vector de avace abla 5 Parámetros de etrada/salda 64

70 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de desgaste Parámetros de salda Varable po Descrpcó Valores recomedados XOP Doble precsó Valores de los parámetros que optmza la fucó FOP Doble Valor óptmo de la fucó precsó NACC Etero Número de evaluacoes de la fucó aceptadas NFCNEW Etero Número de evaluacoes de la fucó NOBS Etero El úmero de evaluacoes rechazadas porque ha quedado fuera del domo a optmzar abla 6 Parámetros de salda 6.4 Resultados Se ha realzado varos tetos de obteer los parámetros mcro a partr del método de optmzacó descrto. De todos estos tetos se ha falzado dos, obteédose u éxto parcal ya que se obtee ua buea optmzacó o be úcamete para compresó o para traccó o be úcamete para el módulo de elastcdad. La o obtecó de u éxto total es debdo a que el úmero de evaluacoes de la fucó que se ha dado a la varable MAXEVAL es 100. La razó por la cual o se ha aumetado este valor es por el elevado tempo de cálculo que esto supoe. E C objetvo E C solucó E objetvo E solucó ν C objetvo ν C solucó ν objetvo ν solucó 6,46E+09 6,31E+09 6,46E+09 4,E+09 0, 0, 0, 1,09 3,84E E+09 3,84E E+09 0,14 0,11 0, abla 7 Resultados 6.5 Coclusoes El método de optmzacó propuesto es capaz de dar ua solucó al problema plateado, pero para u tempo de cálculo muy elevado. Este tempo es de cómo mímo 48 horas para 100 teracoes, co ua desdad muy ajustada para que el tempo crítco o sea muy pequeño. Esto lleva a pesar que quzás o sea el mejor método de optmzacó posble para el problema estudado. E vestgacoes futuras se puede platear otros métodos de optmzacó que se adapte mejor al tpo de problema estudado. Auque más que el método de optmzacó, lo que lo hace ta leto es el tempo crítco resultate (este es 65

71 Estudo de las propedades macroscópcas de los materales fucó de la desdad y de la rgdez tagecal del cotacto, tal y como se especfca e el apartado 5 del capítulo 3) y el tempo de cálculo ecesaro para que la probeta rompa. 66

72 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de degaste Capítulo 5: Estudo del problema de desgaste 1 Itroduccó A cotuacó se muestra los resultados obtedos de las smulacoes del desgaste realzadas. E prmer lugar se muestra la prmera expereca de desgaste realzada, e la cual se cuatfca el desgaste del útl debdo a su teraccó co u bloque de aresca durate el proceso de excavacó. Posterormete se ha smulado el desgaste de u dete de rpper real. El desgaste se ha acelerado co la faldad de que el coste de calculo sea meor. Los resultados umércos se ha comparado co resultados de campo. Prmera expereca de desgaste.1 Metodología Prevamete, fuero obtedos los parámetros mcroscópcos que caracterza el materal excavado Este se puede cosderar que es ua aresca, dados su módulo de elastcdad, su coefcete de posso, su ressteca últma a traccó y a compresó. Se ha mpuesto ua velocdad horzotal costate al útl de excavacó de uos 4m/s. Fgura. 5.1 Cofguracó de los elemetos al fal de la prmera etapa (0.5E-0 segudos desde el co del aálss) E prmer lugar, se excava el materal durate u breve lapso de tempo (0.005 segudos). La cofguracó fal de los elemetos o esferas de esta prmera etapa de desgaste se usará e etapas sucesvas como cofguracó cal. De este modo o se someterá al útl a las altas fuerzas de cotacto que se 67

73 Estudo del problema de desgaste produce calmete cuado rompe el materal. A cotuacó, se retrocede el útl de excavacó y se sgue excavado el materal ya fracturado. Se ha segudo este procedmeto debdo al alto coste computacoal que supodría teer ua probeta de esferas lo sufcetemete grade para que el útl de excavacó se desgastará de forma cosderable.. Parámetros mcroscópcos Las partículas que forma el útl de excavacó ha sdo geeradas de forma aleatora e u rago etre 4.0E-04 y 5.E-04m. Se ha asumdo que el acero del dete es ME 91. La dureza de este acero para temperatura ambete hallada por Metalogea es de HRC=54. Los parámetros costtutvos que caracterza el cotacto etre roca y útl de excavacó so: - La rgdez e la dreccó ormal: = 0 GPa - El coefcete de frccó de Coulomb: µ = La costate de desgaste: γ / H = Los parámetros costtutvos que caracterza el materal excavado so: - La rgdez ormal de compresó de los cotactos: c = 60Gpa - La rgdez ormal de traccó de los cotactos: t = 70Gpa - La rgdez tagecal de los cotactos: t = 0Gpa - La ressteca del cotacto e la dreccó ormal: R N = 0.1MPa - La ressteca del cotacto e la dreccó tagecal: R = 1MPa - El coefcete de frccó del cotacto: µ = La smulacó se ha llevado a cabo supoedo costate la dureza del dete. Las osclacoes de mayor frecueca se dspa medate u amortguameto adecuado e la terfaz del cotacto etre las esferas que costtuye tato la roca como el útl de excavacó (el 90% del amortguameto crítco). ambé, se aplca u amortguameto vscoso global al sstema, de tal modo que se cosgue dsmur los modos de vbracó de meor frecueca..3 Resultados umércos Dsttos perfles del útl de excavacó durate dsttas etapas del proceso de excavacó se muestra e las fguras de la 5. a la 5.5. Durate los 0.03 segudos de excavacó smulada se ha perddo el 40% de la masa del útl. 68

74 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de degaste Fgura. 5. Útl de excavacó al co del aálss Fgura. 5.3 Útl de excavacó trascurrdos.3e-0 segudos desde el co del aálss Fgura. 5.4 Útl de excavacó trascurrdos 6.3E-0 segudos desde el co del aálss Fgura. 5.5 Útl de excavacó trascurrdos 1.45E-01 segudos desde el co del aálss 69

75 Estudo del problema de desgaste E la fgura 4.6 se represeta la pérdda acumulada de masa a lo largo de la smulacó. Para comparar el resultado obtedo co las curvas de pruebas de campo reales se ha escalado el tempo de aálss co u factor de 7000 (ver Fgura. 5.7). Esto es debdo a que expresamete se ha acelerado el desgaste e la smulacó para dsmur el coste computacoal. 0,45 0,4 0,35 % MASS LOSS 0,3 0,5 0, 0,15 0, , ,05 0,1 0,15 0, 0,5 IME ANALYSIS (s) Fgura. 5.6 Pérdda de masa versus tempo de aálss MR45A Materal loss fracto me (Sec) Vel = Km/h Fgura. 5.7 Comparacó de la curva de pérdda de masa versus tempo hallada medate la smulacó co los esayos reales 70

76 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de degaste 3 Smulacó del desgaste de u dete de rpper 3.1 Parámetros mcroscópcos El dete de rpper esta formado por 6500 dscos cuyo rado se ha geerado de forma aleatora etre 0.4 y 0.6mm. La cofguracó cal del modelo se muestra e la Fgura El resto de parámetros mcroscópcos que defe los materales so los msmos que e el ejemplo ateror, el materal excavado se puede cosderar ua aresca y el acero del dete u ME 91. Fgura. 5.8 Cofguracó cal 3. Resultados umércos Se ha realzado 0 pasadas del dete (se ha retroceddo el dete 0 veces y se ha cado el desgaste co la cofguracó ya rota de la roca). E la Fgura se preseta el proceso de desgaste para dsttos states de tempo de la prmera pasada (para otros estados de desgaste, ver Fgura. 5.13). E estas fguras se represeta e azul las esferas co cotactos rotos. Se observa claramete la típca superfce de rotura característca e materales frágles. ambé se muestra la dstrbucó del desgaste e la superfce del dete para dsttos states de tempo de la prmera pasada y pasadas sucesvas e las fguras 5.11 y Se observa u desgaste sgfcatvo del dete. La perdda de masa acumulada co el tempo se ha comparado co la obteda medate esayos de campo reales medate u factor de escala de 7000 (determada e el ejemplo ateror) debdo a la aceleracó del proceso de desgaste e el esayo vrtual. 71

77 Estudo del problema de desgaste a) t = 5 s b) t = 15 s c) t = 90 s d) t = 100 s Fgura. 5.9 Proceso de excavacó e la prmera pasada a) t = 5 s b) t = 15 s c) t = 90 s d) t = 100 s Fgura Proceso de excavacó e la prmera pasada, se puede observar las esferas co cotactos rotos e azul 7

78 Aplcacó de los elemetos dscretos a la smulacó del problema de degaste a) t = 5 s b) t = 15 s c) t = 90 s d) t = 100 s Fgura Proceso de excavacó e la prmera pasada, se puede observar la dstrbucó del desgaste e las esferas que coforma la superfce del dete a) t = 550 s b) t = 600 s c) t = 1300 s c) t = 1400 s Fgura. 5.1 Proceso de excavacó, se muestra dsttos estados del proceso de desgaste: ovea pasada a) y b) y decochoava pasada c) y d) 73

79 Estudo del problema de desgaste a) t = 550 s b) t = 600 s c) t = 1300 s c) t = 1400 s Fgura Proceso de excavacó, se muestra las esferas co cotactos rotos, e azul, para dsttos estados del proceso de desgaste: ovea pasada a) y b) y decochoava pasada c) y d) a) t = 550 s b) t = 600 s c) t = 1300 s c) t = 1400 s Fgura Se puede observar la dstrbucó del desgaste e las esferas que coforma la superfce del dete para dsttos estados del proceso de desgaste: ovea pasada a) y b) y decochoava pasada c) y d) 74

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