Ejercicios Resueltos de Estadística: Tema 1: Descripciones univariantes

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1 Ejerccos Resueltos de Estadístca: Tema : Descrpcoes uvarates

2 . Los datos que se da a cotuacó correspode a los pesos e Kg. de ocheta persoas: (a) Obtégase ua dstrbucó de datos e tervalos de ampltud 5, sedo el prmer tervalo [50; 55]. (b) Calcúlese el porcetaje de persoas de peso meor que 65 Kg. (c) Cuátas persoas tee peso mayor o gual que 70 Kg. pero meor que 85? 60; 66; 77; 70; 66; 68; 57; 70; 66; 5; 75; 65; 69; 7; 58; 66; 67; 7; 6; 63; 69; 80; 59; 66; 70; 67; 78; 75; 6; 7; 8; 6; 6; 69; 68; 7; 83; 56; 65; 7; 67; 5; 65; 65; 69; 6; 67; 73; 57; 6; 67; 68; 63; 67; 7; 68; 76; 6; 6; 63; 76; 6; 67; 67; 6; 7; 6; 73; 79; 58; 67; 7; 68; 59; 69; 70; 66; 6; 63; 66; (a) Como se trata de efectuar ua dstrbucó de datos agrupados, debemos obteer prmero los tervalos correspodetes, stuado los datos e sus lugares respectvos: N [50;55) [55; 60) 7 9 [60; 65) 7 6 [65;70) [70; 75) 70 [75; 80) 7 77 [80; 85] (b) Observado la columa de frecuecas acumuladas se deduce que exste N 3 6 dvduos cuyo peso es meor que 65 Kg., que e térmos de porcetaje correspode a: ,5% 80 (c) El úmero de dvduos co peso compreddo etre 70 y 85 Kg. es: lo que es equvalete a: N 7 N 80 56

3 . Dada la dstrbucó sguete, costrúyase ua tabla estadístca e la que aparezca las frecuecas absolutas, las frecuecas relatvas y las frecuecas acumuladas relatvas crecetes: x La tabla que se obtee es la sguete: x f F 5 0,5 0,5 7 0,75 0, ,5 0,55 6 0,5 0, ,75 0, , Las edades de los empleados de ua determada empresa so las que aparece e la sguete tabla: Edad N o empleados Meos de 5 Meos de Meos de 5 Meos de Meos de 65 8 Sabedo que el empleado más jove tee 8 años, escríbase la dstrbucó de frecuecas acumuladas decrecetes (o «más de»). Es precso obteer, e prcpo, la dstrbucó de frecuecas absolutas:

4 L - - L [8; 5) [5; 35) [35; 5) [5; 55) [55; 65] A la vsta de la tabla ateror, la dstrbucó pedda es: Edad N. de empleados Más de 8 8 Más de 5 6 Más de 35 Más de 5 63 Más de Las temperaturas medas regstradas durate el mes de mayo e Madrd, e grados cetígrados, está dadas por la sguete tabla: Temperatura N. de días Costrúyase la represetacó gráfca correspodete.

5 Das 5. Dada la dstrbucó de frecuecas: x (a) Costrúyase ua tabla e la que aparezca frecuecas absolutas, frecuecas relatvas, frecuecas acumuladas absolutas crecetes (o «meos de») y decrecetes (o «más de»). (b) Represétese medate u dagrama de barras la dstrbucó dada y su correspodete polígoo de frecuecas. (c) Obtégase el polígoo de frecuecas absolutas acumuladas crecetes y decrecetes. (a) La tabla pedda es la sguete: x f N N (b) 9 0, , , , , ,

6 (c) Represétese gráfcamete la sguete dstrbucó de frecuecas: L - -L 0-0

7 Como es ua dstrbucó de datos agrupados, o de tpo III, cuyos tervalos tee ampltudes guales (a 0), su represetacó gráfca es el hstograma sguete, e el que se ha colocado como alturas las frecuecas absolutas: Frecuecas Absolutas Dada la sguete dstrbucó de frecuecas: L - -L (a) Costrúyase ua tabla e la que aparezca las marcas de clase, las frecuecas absolutas y relatvas y las frecuecas absolutas acumuladas crecetes (o «meos de») y decrecetes (o «más de»). (b) Represétese la dstrbucó medate u hstograma y su correspodete polígoo de frecuecas. (a) La tabla pedda es la sguete, e la que se ha añaddo, además, la columa de las ampltudes de los tervalos y la columa de las alturas correspodetes para

8 costrur el hstograma. L - -L x f N N a h [;3) 3 0, ,5 [3;7) 9 5 0, ,5 [7; 8) 35 7,5 0, [8; ) 6 9 0, [0;3) 6,5 0, [3;0] 6,5 0, ,3 00 (b) Co la prmera y últma columa de la tabla ateror se obtee el sguete hstograma y su polígoo de frecuecas: h Ecuestados ccueta matrmoos respecto a su úmero de hjos, se obtuvero los sguetes datos: ; ; ; 3; ; ; ; ; 3; 0; ; ; ; 3; ; 6; ;3; ; ; 3; ; 3; 3; ;; 3; 3; ; 5; ; 0; 3; ;; ; 3; ; ; 3; ; ; ; 3; ; ; 3; 3; Costrúyase ua tabla estadístca que represete dchos datos:

9 Efectuado el recueto de los datos se obtee: x Calcula la meda, la varaza, la desvacó típca y el coefcete de varacó de Pearso tras Tras ecuestar a 5 famlas sobre el úmero de hjos que teía, se obtuvero los sguetes datos, Nº de hjos(x ) 0 3 Nº de famlas( ) Las cuatro dstrbucoes de frecueca será: X f N F 0 5 0'0 5 0'0 6 0' 0' 8 0'3 9 0'76 3 0'6 3 0'9 0'08 5 5

10 La Meda Artmétca de las vetcco famlas ecuestadas será: a 5 x ,68 es decr, las famlas ecuestadas tee u úmero medo de hjos de '68. El Recorrdo será R - 0. La Varaza es: s ' - ('68) '76. Y la Desvacó Típca s '85. Para este ejemplo el Coefcete de Varacó de Pearso, V p, toma el valor: v p, ,869,68 E cuato a la smetría, el Coefcete de Varacó de Pearso, A p,es gual a: A p,68,906 0,688 Co lo que la dstrbucó es lgeramete asmétrca a la zquerda. 0. Calculo de la meda artmétca, la medaa y la moda. Se aalzó el IVA que se aplca, e dversos países europeos, a la compra de obras de arte. Los resultados obtedos fuero los sguetes: PAIS España 0,6 Itala 0,0 Bélgca 0,06 Holada 0,06 Alemaa 0,07 Portugal 0,7 Luxemburgo 0,06 Flada 0, Ahora realzamos las cuatro dstrbucoes de frecuecas:

11 X f N F 0,06 3 0, ,375 0,07 0,5 0,500 0,6 0,5 5 0,65 0,7 0,5 6 0,750 0,0 0,5 7 0,875 0, 0,5 8 Total 8 Calculamos la meda artmétca: x a 8 0,5. Ahora calculamos la medaa: Me x j + x j 0,07 + 0,6 0,5. Por últmo, el valor mas frecuete, correspodete a la moda, es el valor: x j 0,06. Por tato: M d 0,06.. Co los msmos datos del ejercco ateror vamos a calcular los cuartles: Como sabemos el segudo cuartl es gual a la medaa: P M e 0,5. Para determar los otros dos cuartles p / Y p 3/, debemos establecer prmero las desgualdades: r N < < k j N j Para los casos r/k / y r/k 3/. Para el prmer cuartl: 8 < 3 N Es decr meor que la prmera frecueca absoluta acumulada, por tato:

12 P 0,06. Ahora calculamos el tercer cuartl: 3 N < 7 N 5 0,7 + 0, p3 0,85.. Del sguete ejercco calcular la varaza y la desvacó típca. X Itervalo f.absoluta f.acumulada f.relatva f.r.acumulada f.x x f. x ,078 0, , 0, ,78 0, , 0, , 0, , 0, , Varaza: S [ Σ f x [ ( Σ f x ) / N ] ] / (N ) S [ 3767 [ ( 5788 ) / 90 ] ] / (90 ) S 5,0. Desvacó típca: ( Raz cuadrada de la varaza.) S 6,7 3. Para los sguetes datos, calcular: A) El tervalo de tercuartl. B) La desvacó del cuartl

13 A) B) Q3 Q RQ IQ 5 RQ RQ 7,5 IQ Q IQ 5 Q. Uos grades almacees dspoe de u aparcameto para sus cletes. Los sguetes datos que se refere al úmero de horas que permaece e el aparcameto ua sere de coches: Se pde: A- Obteer la tabla de frecuecas para ese cojuto de datos. Iterpretar la tabla. B- Obteer la tabla de frecuecas ascedete y descedete. C- Determar e terpretar la tercera cuartlla y el cetl del %. D- Calcular el tempo medo de permaeca de los coches e el aparcameto. Iterpretar el resultado y los elemetos que tervee. A- El prmer paso para costrur la tabla de frecuecas es determar el úmero de valores dferetes e observacó, k, que e este caso es 7. A cotuacó podemos ver que esos 7 valores va desde el, x, al 7 7, y podemos determar la frecueca absoluta y relatva de cada uo de esos valores. Ua vez calculadas las frecuecas resulta la sguete tabla de frecuecas. x( º horas) ( º coches) f (% coches)

14 E esta tabla aparece por flas el úmero de horas que permaece los coches e el aparcameto, el úmero de coches que ha aparcado durate cada úmero de horas y la proporcó de coches e % que ha estado aparcados durate cada úmero de horas. Ua de las columas, por ejemplo la cuarta, os dce que 5 coches, que represeta el 5% de los coches aalzados, ha estado aparcados durate horas e el aparcameto. B- La tabla de frecuecas ascedete es x ( º horas) j j j j ( º _ coches _ acumulados) f ( proporcó _ acumulada) La tabla de frecuecas descedete es: 7 j 7 j x ( º horas) ( º coches _ acumulados) j f ( proprcó _ acumulada) j C- La tercera cuartlla es el cetl 75%, luego el ser N 60 calculamos 0.75*605 que al ser etereo, la fórmula aplcada será x(5) + x(6) horas c. 75 Su sgfcado es que el 75% de los coches aalzados estacoa e el aparcameto a lo sumo, o como máxmo, 5 horas. Para calcular el cetl % hallamos 0.*605., que al o ser etero, deberemos utlzar la otra fórmula. c 0. x([5.] + ) x(6) horas Su sgfcado es que el % de los coches aalzados estacoa e el aparcameto a lo sumo, o como máxmo, horas. D- Segú la prmera fórmula, el tempo medo de permaeca de los coches e el aparcameto es X k * x N horas 60

15 Se calcula dvdedo el tempo total de permaeca de todos los coches e el aparcameto, 3 horas, etre los coches aalzados, 60. E la seguda fórmula se calcula el tempo medo como resultado de las aportacoes que hace a dcho valor los productos de los dferetes valores del úmero de horas que ha estado los coches aparcados, x, por la proporcó de lcoches, f, que ha estado aparcados durate cada úmero de horas. Por tato, X k f * 3.85 horas x E promedo, cada coche ha estado estacoado 3 horas y 5 mutos, y el tempo total de permaeca e el aparcameto de los 60 coches ha sdo 3 horas. 5. U fabrcate de eumátcos ha recabado, de los dferetes cocesoaros, formacó sobre la catdad de mles de klómetros recorrdos por u modelo cocreto de esos eumátcos hasta que se ha producdo u pchazo o u revetó del eumátco. Los cocesoaros la ha proporcoado los sguetes datos: Se pde: a- Costrur ua taba de frecuecas para esos datos tomado como úmero de tervalos el que proporcoa la fórmula de Sturgess. Iterpretas la tabla. b- Costrur las tablas de frecuecas acumuladas ascedete y descedete. c- Dbujar el hstograma de frecuecas relatvas s acumular y acumulado. d- Calcular las prcpales meddas de tedeca cetral e terpretarlas. e- Obteer las meddas de dspersó más mportates e terpretarlas.

16 f- Aalzar la asmetría y el aputameto de la dstrbucó de frecuecas resultate. g- S el fabrcate quere propoer u klometraje para realzar el cambo de eumátcos, qué valor propodría para que solo 3 de cada 0 coches haya tedo u pchazo o revetó ates de ese klometraje? a- La fórmula de Sturgess propoe como úmero k de tervalos, para agrupar u cojuto de N observacoes e tervalos. k+ [3.3*log N] E este caso N00, luego k7. ahora debemos propoes el límte feror del prmer tervalo y el límte superor del últmo tervalo. Al ser el valor mímo.3068 se propoe como límte feror del prmer tervalo, y al ser 7 tervalos se propoe como achura 3 para cada uo de ellos, para que sea u valor etero, co lo cual el límte superor del últmo tervalo es 95. La tabla de frecuecas será: Itervalo _ I Frecueca absoluta _ Frecueca relatva _ f < x < x < x I f 3 < x < x < x 8. 8 < x E esta tabla aparece por flas los tervalos, juto co la frecuca absoluta y la frecueca relatva. Por ejemplo la cuarta columa se puede terpretar dcedo que el 7% de estos eumátcos ha recorrdo etre 3000 y 5600 Km hasta que se ha producdo u pchazo o revetó. b- La tabla de frecuecas acumuladas ascedete sería: Itervalos _ I j j (,7] (7,30] (30,3] 3 (3,56] 50 (56,69] 79 (]69,8 93 (8,95] 00 y la tabla de frecuecas acumuladas descedete quedaría Itervalos _ I k j j (,7] 00 (7,30] 98 (30,3] 96 (3,56] 77 (56,69] 50 (69,8] (8,985] 7

17 c- El hstograma de frecuecas relatvas se represea es la fgura y el de frecuecas acumuladas e la fgura. Frecuecas relatvas 0, Frecueca 0,3 0, 0, 0 _7 7_30 30_3 3_56 56_69 69_8 8_95 Itervalo Fgura Frecuecas relatvas acumuladas frecuecas acumuladas, 0,8 0,6 0, 0, 0 _7 7_30 30_3 3_56 56_69 69_8 8_95 Itervalo Fgura d- Para calcular las meddas de tedeca cetral trabajamos co la tabla de frecuecas del apartado a. resulta que la meda artmétca es X Km Se terpreta dcedo que so los 00 eumátcos aalzados se ha recorrdo de Km ates de u pchazo o revetó.

18 La medaa será Me Km Sgfca que la mtad de los eumátcos ha recorrdo a lo sumo Km ates de u pchazo o revetó. La moda será Mo * 5759 Km + 5 Sgfca que la catdad más frecuete, de klómetros recorrdos ates de u pchazo, a sdo 5759 Km. e- La desvacó típca es s 6899 Km y os forma sobre lo que se dspersa los klómetros recorrdos por los dferetes eumátcos respecto del klometraje medo. El coefcete de varacó de Pearso será s g * 00% x 30. Al tomar u valor feror al 00% resulta que la medaa es represetatva, y al ser dcho valor del 30% os forma que el valor de la desvacó típca es el 30% del valor de la meda. f- Los coefcetes de asmetría de Pearso so e este caso V V Para calcular el coefcete g calculamos 7 m 3 f ( x x) Luego g , resultado de dvdr m 3 etre s 3. a la vsta de este coefcete de asmetría la dstrbucó resulta ser lgeramete asmétrca a la zquerda, lo que sgfca que algo meos de la mtad de los eumátcos pcha o reveta ates de los 5600 Km, valor medao de la dstrbucó. Para el cálculo del coefcete de curtoss g ecestamos Luego 7 m f ( x x)

19 m g s Esto sgfca que la dstrbucó es de tupo platcúrtca, algo meos aputada que la dstrbucó ormal de meda km y desvacó típca 6899 km. Por tato, e los tervalos X ± ks co k Ν habrá meos proporcó de observacoes que e dcha dstrbucó ormal. g- Propodría u klometraje tal que el 70% de los eumátcos o haya pchado o revetado ates de este klometraje. Por tato, buscamos el cetl del 30%, que vedrá dado por * c. 3 Luego el fabrcate propodría cambar los eumátcos a los 6370 km. 6. La tabla sguete os proporcoa los valores de la meda y la desvacó típca de dos varables así como su coefcete de correlacó leal para dos muestras dferetes: Muestra º de _ observacoes x 5 7 y 0 s x 3 s y 3 r xy Se pde: a- Recta de regresó de Y sobre X e cada muestra. b- S cosderamos la muestra que resulta de agrupar las dos muestras e ua sola de tamaño 000, obteer el uevo coefcete de correlacó leal de Pearso y explcar el hecho de que sea feror a los de cada ua de las muestras tomadas por separado. a- La recta de regresó de Y sobre X e cada muestra es m y y+ s x ( x X ) Como la formacó dada es la del coefcete de correlacó leal, r xy m s s x y

20 se tee que la recta de regresó es y Y + r xy s s y x ( x X ) Luego, susttuyedo, las rectas de regresó de Y sobre X e cada ua de las dos muestras so: Muestra : y+0.9*(x-) Muestra : y0+0.93*(x-7) b- Se trata de calcular el coefcete de correlacó leal de Pearso e la ueva muestra de tamaño 000, que otaremos por r xy, t y que será m, T r xy, t sx, T s y, T dode m, T es la covaraza e la muestra total y s x, T, s x, T las desvacoes típcas de X e Y e la muestra total. Para obteer estas catdades ecestamos X T e Y T, medas de X e Y e la muestra total, que se calculas como u promedo etre las medas de X e Y e las muestras y, otadas por X, Y, segú las relacoes sguetes X, Y, X T X * X 000 * 00 Y T * Y Y 000 * 00 Susttuyedo se obtee que X T 5. 8 e Y T.. Por otra parte s m, h deota la covaraza e la muestra h, se tee que Como m, *3* m, 3**0.78. m, h j, h N x, h h y j, h X h Y h resulta que:

21 j, N x, y j, j, N x, y l, *0 78. Luego e la muestra total co N000 se tee que x + y j j,x, y j, N N 63.6 * * j j, j,, j, x x y Por tato j x y j m, T X T Y T *8*.. 56 N P ara obteer s x, t y s y, t utlzamos que s x, T a, xt X T y s y, T a Y, yt T dode a a, xt, yt a a, x, y * a, x * * a, y * sedo, Xh s X, h X h a +, Yh sy, h Y h a + para h,. Operado se obtee que a 9, a 58, a 53 y a 6, X, X, Y, Y

22 Luego a, XT 0.6*9+0.*580.6 a, YT 0.6*53+0.*638. de dode s X, T Y, s T Luego resulta que.56 r xy, T * 3.57 Co lo cual el coefcete de correlacó leal etre X e Y e la muestra total de 000 observacoes es feror al que hay e cada ua de las dos muestras por separado. La explcacó de este hecho es la sguete: e cada muestra parcal se puede dar u mayor grado de relacó leal que e la muestra total porque las observacoes se ecuetra mas agrupadas e toro a ua recta que cuado las jutamos, ya que al formar la muestra total la ube de putos resultate estará formada por las ubes de putos de las muestras parcales y presetará u meor ajuste a ua recta. 7. E ua compañía aérea se sabe que, por térmo medo, el 65% de los vuelos tee retraso. La dstrbucó de los vuelos retrasados es la sguete: Duracó del retraso Numero de vuelos (cetésmas de hora) Se pde: a- Determas el retraso medo y la desvacó típca del tempo de retraso para los vuelos retrasados. b- Determar el cetl del 60% e terpretarlo. c- La compañía ha determado que por cada vuelo co retraso se produce uas pérddas fjas de 7000 pts y uas pérddas varables de 0000 pts por cada muto de retraso. Etre qué catdades se ecuetra al meos las tres cuartas partes de las pérddas geeradas por cada vuelo retrasado? d- Resolver el apartado a- para el total de los vuelos. Es represetatva la ueva meda? E caso egatvo propoes razoadamete otra medda de cetralzacó.

23 a- Sea la varable estadístca X: tempo de retraso de u vuelo retrasado, y cosderemos la tabla de frecuecas sguete obteda a partr de la dada co las marcas de clase x f E esta tabla se verfca que X 3.5 cetésmas de hora s x cetésmas de hora b- De la tabla de frecuecas acumuladas sguete [a,a ) [0,0) [0,0) [0,30) [30,50) [50,00) j f j se observa que el cetl 60% se ecuetra e el tervalo [0,30), luego c z por ua regla de tres z 0. 0.*0 z 0.5 Así c 0. 6 cetésmas de hora y sgfca que el 60% de los vuelos retrasados (co meos tempo de retraso) ha tedo u retraso de a lo sumo cetésmas de hora y sgfca que el 60% de los vuelos retrasados (co meos tempo de retraso) ha tedo u retraso de a lo sumo cetésmas de horas. c- Sea la varable estadístca Y: pérddas que se produce por u vuelo co retraso, se verfca que 6 Y * X 0

24 ya que X*: tempo de retraso de u vuelo retrasado e mutos se relacoa co X 6 por la gualdad X* X. 0 Por aplcacó de la desgualdad de Chebyshev se sabe que al meos las tres cuartas partes de las pérddas geeradas por cada vuelo retrasado se ecuetra etre Y s y e Y + s y. Como Y * X * pts s y 6000 * s x 6000 * pts Resulta que: Etre 0 pts y pts se ecuetra al meos las tres cuartas partes de las pérddas geeradas por cada vuelo retrasado. Como s x g x X y s y g y Y se deduce que hay más varabldad e los tempos de retraso. d- Al cosderar el total de los vuelos hay que modfcar la tabla del aucado por la tabla sguete Co la ueva varable estadístca X*: tempo de retraso de u vuelo cualquera e cetésmas de hora. Se verfca que X * 5.75 cetésmas de hora y s X * 7.5 cetésmas de hora. Como g X * > la ueva meda o es represetatva al exstr 5.75 observacoes extremas. Ua medda de cetralzacó que evta este problema es la medaa. Para esta dstrbucó se verfca que Me.06 cetésmas de hora. 8. E ua clíca se ha regstrado durate u mes las logtudes e metros que los ños ada el prmer día que comeza a camar, obteédose los sguetes resultados:

25 Número de metros Número de ños Costrur la dstrbucó de frecuecas adecuada para la varable logtud y realzar los gráfcos pertetes que la represete. La tabla de frecuecas relatva a la varable se preseta a cotuacó: X N f F Comda Trasporte 5 Alojameto Ee Feb Mar Abr May Ju 9.- La dstrbucó de los costes salarales de los empleados de ua multacoal se preseta e la tabla sguete: Salaros Nº de empleados

26 Calcular el salaro medo por trabajador, el salaro más frecuete y el salaro tal que la mtad de los restates sea feror a él. Calcular també el prmer cuartel salaral y el percetl 75. La tablas sguete cotee los elemetos relatvos a la dstrbucó d frecuecas de la varable salaro (X) ecesaros para realzar los cálculos peddos e el problema. L( ) L Marcas X X * N c D /c Para hallar el salaro medo por trabajador calculamos la medda de la varable X Para hallar el salaro más frecuete se calcula la moda de la varable X. Para ello hemos de teer presete que los tervalos de la dstrbucó de frecuecas so desguales, por lo que l tervalo modal será el correspodete al mayor valor de d, es decr será el tervalo ( ).por lo tato la moda se calcula como sgue: M 0 L - + d + c , ,7 d - + d + 0,+0,06 Para hallar el salaro tal que la mtad de los restates sea feror a él se calcula la medaa. Para llo, como N/ 5000, el tervalo medao será ( ) ya que N - <N/>N es equvalete e este problema a 505 < 50000< 560.la medaa se calculará como sgue: M e L - + N/ N - c / ,6 955 Para calcular el prmer cuartl (prmer cuartl de orde ) observamos que como N/ 500, el tervalo relatvo al prmer cuartel será ( ) ya que N - <500<N es equvalete e este problema a 5<500<3655.El prmer cuartel se calculará como sgue:

27 Q, L - + N/ N - c / ,76 50 El prmer cuartl se terpreta como el valor de la varable para el que la cuarta parte de los valores meores que él y las tres cuartas partes resultates so superores. Para calcular el percetl 75 (cuatl 75 de orde 00), observamos que como 75N , el tervalo al percetl 75 será ( ) ya que N - <7500< es equvalete e este problema a 6570<7500<89.El percetl 75 se calculará como sgue: Q 75,00 L N/00 N - c *0000/ ,8 3 El percetl 75 se terpreta como el valor de la varable para que el 75% de los valores so ferores a él y el 5% restate so superores. 0. Los redmetos de cco versoes dsttas realzadas por u dvduo y las catdades cales vertdas udades moetaras so los sguetes: Catdades cales Redmetos Calcular el redmeto medo por udad moetara vertda para el total de versoes del dvduo. Como se trata d promedar redmetos por udad, estamos ate u caso de aplcacó del cocepto de meda armóca. Calcularemos por tato el redmeto medo por udad moetara vertda para el total de versó del dvduo como la meda armóca de los redmetos de cada versó poderada de las catdades cales desembolsadas e cada versó. H N ,5 ( / x ) * E el cuadro sguete se preseta los cosumos de electrcdad e España e mles de mlloes de Kw/hora desde dcembre 985 hasta dcembre de 986. Meses Dc Ee Feb Mar Abr May Ju Jul Ago Sep Oct Nov Cosumo 0, 0,7 9,96 9,6 9,5 8,9 8,95 9,58 7,86 8,96 9,57 9,57 A partr de los cremetos utaros de cosumo de cada mes calcular el cremeto

28 utaro aual medo acumulatvo. Al tratarse del cálculo de ua meda acumulatva, el promedo más adecuado es la meda geométrca. Se trata por tato de calcular la meda geométrca de los cremetos utaros mesuales. Estos cremetos se calcula a cotuacó. 0,7,06 9,96 0,93 9,6 0,95 9,5,008 8,9 0,93 8,95,003 0, 0,7 9,96 9,6 9,5 8,9 9,58,07 7,86 0,8 8,96, 9,7,0 9,57,0 0,,06 8,95 9,58 7,86 8,96 9,7 9,57 La meda geométrca de estos cremetos utaros mesuales se calcula como sgue: G,06*0,93*0,95*,008*0,93*,003*,07*0,8*,*,0*,0*,06,0. E la sguete tabla se muestra las dferetes catdades de IVA que se mpoe e la compra de ua obra de arte. País IVA España 0,6 Itala 0,0 Bélgca 0,06 Holada 0,06 Alemaa 0,07 Portugal 0,7 Luxemburgo 0,06 Flada 0, Determe el recorrdo, la varaza, la desvacó típca, la cuasvaraza, la cuasdesvacó típca, el coefcete de varacó de Pearso, el coefcete de asmetría de Pearso y el coefcete de asmetría de Fsher. - El recorrdo: R ( x) max ( x) m 0, 0,06 0,6 - La varaza: 6 0,586 s x a 0,5 0, De la msma forma la desvacó típca se obtee hacedo la raíz cuadrada de la varaza: s s 0,08 0,068 - La cuasvaraza:

29 s 8*0,00 S 0, De la msma forma la cuasdesvacó típca: S S 0,008 0, El coefcete de varacó de Pearso: s 0,068 V p * 00 *00 5,88 a 0,5 - El coefcete de asmetría de pearso: a M d 0,5 0,06 Ap,0093 s 0,068 - Por ultmo el coefcete de asmetría de Fsher: A f 6 ( x a) * S 3 3 * 0,0003 8* 0, ,59 3. Dados los sguetes datos: Tamaño tabla Calcula la meda artmétca, la medaa. - La meda artmétca: k 7678,5 a x * 30, La medaa: Para ello os valemos del cálculo de frecuecas absolutas acumuladas: Este tpo de datos os dce el úmero de datos que hay gual o ferores a uo determado. Se calcula co la sguete formula: N j j N + Así de esta forma: Tamaño tabla Frecueca acumulada j

30 Respecto a esta tabla calculamos la medaa: 895 N 3 6 < 7,5 < 575 N Co lo que podemos decr que la medaa esta e el tervalo [6,)sedo la medaa el valor: N j 7,5 6 M e x j + * c j 6 + *5 6,7 9 j. Co los datos del ejercco ateror calcular el prmer cuartel y el sexto decl. a) El prmer cuartl: Será p 37 < * 3,75 < 35 [6,) y, e cocreto: * N j * p * 6 / x j + c j + *5 0,76 98 j Que será gual al cetl 5 b) Calcular el sexto decl Para ello acotamos el valor: * * * Por las frecuecas absolutas acumuladas: N 3 6 < 537 < 575 N 6 * N j p 6 /0 x j + * c j 6 + *5 9,7 9 j

31 5. Medate los datos del ejercco umero 3 calcular las meddas de dspersó - El recorrdo: R xmax xm 750,5, La varaza es: k k s ( x a) * x a - La cuasvaraza * s 895*39 S 395, La desvacó típca: s s 39,7 56,50 - La cuasdesvacó típca: S S 395,988 56,53 - El coefcete de varacó de Pearso: s 56,50 V p * 00 *00 8,67 a 30,93 - El coefcete de asmetría de Pearso: a Md 30,93 9,78 A p 0,37 s 56, ,5 30, ,7 6. E u colego de u pequeño pueblo de la comudad valecaa se ha recogdo los sguetes datos de formacó sobre cuatos ños se matrcula de cada sexo cada año, segú se muestra e la sguete tabla: Año Nños Nñas Se debe calcular la frecueca absoluta y la frecueca relatva para los datos correspodetes a los ños y a las ñas y dspoer los datos medate u dagrama de sectores o de pastel e cada caso. - Para empezar calcularemos las frecuecas correspodetes a los ños para esto utlzaremos la sguete formula: - E el caso de la frecueca absoluta cotaremos el úmero de veces que se repte u determado valor, por lo que para x 0 3; x 0 7; x 3 3 9; x 0 3; - E el caso de las frecuecas relatvas para hallar este valor dvdremos la frecueca absoluta por el úmero total de datos. Así de esta forma la formula utlzada es: f /

32 Por lo que obteemos al calcularlo: f 3/8 0,6; f 7/8 0,8; f 3 58/8 0,39; f 3/8 0,0; - de la msma forma calcularemos las frecuecas correspodetes para las ñas: - Para las frecuecas absolutas: x 0 3; x 0 ; x ; x 3; - Para las frecuecas relatvas: f 3/6 0,67; f /6 0,5; f 3 3/6 0,0; f 6/6 0,38; 3- Pasemos a la represetacó grafca, para ello debemos partr de las frecuecas relatvas y calcular cada porcó del dagrama medate esta formula: º 360 α f así de esta forma obteemos: dagrama ños 0,; 0% 0,6; % 0,8; 8% 3 0,39; 0% dagrama ñas 0,67; 7% 0,38; 38% 3 0,5; 5% 0,; 0% 7. Establecdo u balace de explotacó sobre las ocho sucursales de ua cadea de almacees, resultó la sguete estmacó:

33 Sucursal Beefcos sobre vetas Vetas totales Obtégase el porcetaje medo de beefcos sobre las vetas totales de la cadea. El porcetaje medo se obtee como meda artmétca poderada de los beefcos, sedo el peso respectvo la veta total de cada sucursal, es decr, d p j -p De dode: 079 x 83,3% Ua prestgosa frutería tee como orma clasfcar los magos segú su tamaño, de cara a la veta, e superores y ormales. Los superores so aquellos cuyo peso es superor a 50 g. De ua partda, represetatva de los magos que recbe ormalmete, se ha obtedo la dstrbucó de frecuecas sguetes: Peso Núm. De magos

34 a- U exqusto arstócrata ha acordado co el frutero quedarse co los magos cuyo peso sea superor a 65 gramos. Qué porcetaje de magos se destará a este arstócrata? b- El frutero compra la partda de magos a 300 pts el kg. Los ormales se vede a 600 pts/kg, os superores a 800 pts /kg, metras que el arstócrata se os deja a 700 pts/kg. Cuáto espera gaar este frutero es esta partda? a- Prmero habrá que calcular el úmero de magos cuyo peso es supereor a 65 gamos. Bajo la hpótess de dstrbucó uforme de la frecueca e los tervalos, resulta que e el tervalo (65-800] hay 5 magos de la partda. Por tato se apartará para el arstócrata el 3.85% de los magos recbdos. b- Ya que el frutero decde retrar de la veta aquellos cuyo peso sea a lo sumo de 37.5 g, la dstrbucó del peso de los magos ormales, vaqrables otada por X N, será Peso ( ] (350-00] (00-50] Nº de magos La dstrbucó del peso de los magos superores, excluídos los destados al arstócrata, será la de la varable otada por X S segú esta tabla Peso (50-500] ( ] ( ] (600-65] Nº La del arstócrata es X A Peso (65-700] ( ] Nº 3 El peso medo de los magos ormales seá la meda de la dstrbucó de frecuecas de la varable X N, tomado como valores de las varable las marcas de clase de los tervalos. RTesulta se la varable las marcas de clase de los tervalos. Resulta ser la varable las marcar de clase de los tervalos. Resulta ser * *5 + * 5 X N g. 6

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