1. Los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en Kg. de ochenta personas:

Transcripción

1 Cosejería de Educacó, Cultura y Deportes CENTRO DE EDUCACIÓN DE PERSONAS ADULTAS. Smeza C/ Fracsco García Pavó, 6 Tomelloso 700 (C. Real) Teléfoo Fax: Los datos que se da a cotuacó correspode a los pesos e Kg. de ocheta persoas: (a) Obtégase ua dstrbucó de datos e tervalos de ampltud 5, sedo el prmer tervalo [50; 55]. (b) Calcúlese el porcetaje de persoas de peso meor que 65 Kg. (c) Cuátas persoas tee peso mayor o gual que 70 Kg. pero meor que 85? 60; 66; 77; 70; 66; 68; 57; 70; 66; 5; 75; 65; 69; 7; 58; 66; 67; 7; 6; 6; 69; 80; 59; 66; 70; 67; 78; 75; 6; 7; 8; 6; 6; 69; 68; 7; 8; 56; 65; 7; 67; 5; 65; 65; 69; 6; 67; 7; 57; 6; 67; 68; 6; 67; 7; 68; 76; 6; 6; 6; 76; 6; 67; 67; 6; 7; 6; 7; 79; 58; 67; 7; 68; 59; 69; 70; 66; 6; 6; 66; (a) Como se trata de efectuar ua dstrbucó de datos agrupados, debemos obteer prmero los tervalos correspodetes, stuado los datos e sus lugares respectvos: N [50;55) [55; 60) 7 9 [60; 65) 7 6 [65;70) 0 56 [70; 75) 70 [75; 80) 7 77 [80; 85] (b) Observado la columa de frecuecas acumuladas se deduce que exste N 6 dvduos cuyo peso es meor que 65 Kg., que e térmos de porcetaje correspode a: 6 00,5% 80 (c) El úmero de dvduos co peso compreddo etre 70 y 85 Kg. es: lo que es equvalete a: N 7 N 80 56

2 . Dada la dstrbucó sguete, costrúyase ua tabla estadístca e la que aparezca las frecuecas absolutas, las frecuecas relatvas y las frecuecas acumuladas relatvas crecetes: x La tabla que se obtee es la sguete: x f F 5 0,5 0,5 7 0,75 0,00 9 0,5 0,55 6 0,5 0, ,75 0, ,5 0. Las edades de los empleados de ua determada empresa so las que aparece e la sguete tabla: Edad N o empleados Meos de 5 Meos de 5 70 Meos de 5 Meos de Meos de 65 8 Sabedo que el empleado más jove tee 8 años, escríbase la dstrbucó de frecuecas acumuladas decrecetes (o «más de»). Es precso obteer, e prcpo, la dstrbucó de frecuecas absolutas:

3 L - - L [8; 5) [5; 5) [5; 5) [5; 55) [55; 65] A la vsta de la tabla ateror, la dstrbucó pedda es: Edad N. de empleados Más de 8 8 Más de 5 6 Más de 5 Más de 5 6 Más de Las temperaturas medas regstradas durate el mes de mayo e Madrd, e grados cetígrados, está dadas por la sguete tabla: Temperatura N. de días 6 8 Costrúyase la represetacó gráfca correspodete.

4 Das 5. Dada la dstrbucó de frecuecas: x (a) (b) (c) Costrúyase ua tabla e la que aparezca frecuecas absolutas, frecuecas relatvas, frecuecas acumuladas absolutas crecetes (o «meos de») y decrecetes (o «más de»). Represétese medate u dagrama de barras la dstrbucó dada y su correspodete polígoo de frecuecas. Obtégase el polígoo de frecuecas absolutas acumuladas crecetes y decrecetes. (a) La tabla pedda es la sguete: x f N N (b) 9 0, , 9 0, 69 0, , ,

5 (c) Represétese gráfcamete la sguete dstrbucó de frecuecas: L - -L 0-0 5

6 Como es ua dstrbucó de datos agrupados, o de tpo III, cuyos tervalos tee ampltudes guales (a 0), su represetacó gráfca es el hstograma sguete, e el que se ha colocado como alturas las frecuecas absolutas: Frecuecas Absolutas Dada la sguete dstrbucó de frecuecas: L - -L (a) Costrúyase ua tabla e la que aparezca las marcas de clase, las frecuecas absolutas y relatvas y las frecuecas absolutas acumuladas crecetes (o «meos de») y decrecetes (o «más de»). (b) Represétese la dstrbucó medate u hstograma y su correspodete polígoo de frecuecas. (a) La tabla pedda es la sguete, e la que se ha añaddo, además, la columa de las ampltudes de los tervalos y la columa de las alturas correspodetes para 6

7 costrur el hstograma. L - -L x f N N a h [;) 0,0 00,5 [;7) 9 5 0,9 97 7,5 [7; 8) 5 7,5 0, [8; ) 6 9 0,6 9 [0;) 6,5 0, [;0] 6,5 0, , 00 (b) Co la prmera y últma columa de la tabla ateror se obtee el sguete hstograma y su polígoo de frecuecas: h Ecuestados ccueta matrmoos respecto a su úmero de hjos, se obtuvero los sguetes datos: ; ; ; ; ; ; ; ; ; 0; ; ; ; ; ; 6; ;; ; ; ; ; ; ; ;; ; ; ; 5; ; 0; ; ;; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Costrúyase ua tabla estadístca que represete dchos datos: 7

8 Efectuado el recueto de los datos se obtee: x Calcula la meda, la varaza, la desvacó típca y el coefcete de varacó de Pearso tras Tras ecuestar a 5 famlas sobre el úmero de hjos que teía, se obtuvero los sguetes datos, Nº de hjos(x ) 0 Nº de famlas( ) Las cuatro dstrbucoes de frecueca será: X f N F 0 5 0'0 5 0'0 6 0' 0' 8 0' 9 0'76 0'6 0'9 0'

9 La Meda Artmétca de las vetcco famlas ecuestadas será: a 5 x ,68 es decr, las famlas ecuestadas tee u úmero medo de hjos de '68. El Recorrdo será R - 0. La Varaza es: s ' - ('68) '76. Y la Desvacó Típca s '85. Para este ejemplo el Coefcete de Varacó de Pearso, V p, toma el valor: v p, ,869,68 E cuato a la smetría, el Coefcete de Varacó de Pearso, A p,es gual a: A p,68,906 0,688 Co lo que la dstrbucó es lgeramete asmétrca a la zquerda. 0. Calculo de la meda artmétca, la medaa y la moda. Se aalzó el IVA que se aplca, e dversos países europeos, a la compra de obras de arte. Los resultados obtedos fuero los sguetes: PAIS España 0,6 Itala 0,0 Bélgca 0,06 Holada 0,06 Alemaa 0,07 Portugal 0,7 Luxemburgo 0,06 Flada 0, Ahora realzamos las cuatro dstrbucoes de frecuecas: 9

10 X f N F 0,06 0,75 0,75 0,07 0,5 0,500 0,6 0,5 5 0,65 0,7 0,5 6 0,750 0,0 0,5 7 0,875 0, 0,5 8 Total 8 Calculamos la meda artmétca: x a 8 0,5. Ahora calculamos la medaa: Me x j + x j 0,07 + 0,6 0,5. Por últmo, el valor mas frecuete, correspodete a la moda, es el valor: x j 0,06. Por tato: M d 0,06.. Co los msmos datos del ejercco ateror vamos a calcular los cuartles: Como sabemos el segudo cuartl es gual a la medaa: P M e 0,5. Para determar los otros dos cuartles p / Y p /, debemos establecer prmero las desgualdades: r N < < k j N j Para los casos r/k / y r/k /. Para el prmer cuartl: 8 < N Es decr meor que la prmera frecueca absoluta acumulada, por tato: 0

11 P 0,06. Ahora calculamos el tercer cuartl: N < 7 N 5 0,7 + 0, p 0,85.. Del sguete ejercco calcular la varaza y la desvacó típca. X Itervalo f.absoluta f.acumulada f.relatva f.r.acumulada f.x x f. x ,078 0, , 0, ,78 0, , 0, , 0, , 0, , Varaza: S [ Σ f x [ ( Σ f x ) / N ] ] / (N ) S [ 767 [ ( 5788 ) / 90 ] ] / (90 ) S 5,0. Desvacó típca: ( Raz cuadrada de la varaza.) S 6,7. Para los sguetes datos, calcular: A) El tervalo de tercuartl. B) La desvacó del cuartl

12 A) B) Q Q RQ IQ 5 RQ RQ 7,5 IQ Q 87 7 IQ 5 Q. Uos grades almacees dspoe de u aparcameto para sus cletes. Los sguetes datos que se refere al úmero de horas que permaece e el aparcameto ua sere de coches: Se pde: A- Obteer la tabla de frecuecas para ese cojuto de datos. Iterpretar la tabla. B- Obteer la tabla de frecuecas ascedete y descedete. C- Determar e terpretar la tercera cuartlla y el cetl del %. D- Calcular el tempo medo de permaeca de los coches e el aparcameto. Iterpretar el resultado y los elemetos que tervee. A- El prmer paso para costrur la tabla de frecuecas es determar el úmero de valores dferetes e observacó, k, que e este caso es 7. A cotuacó podemos ver que esos 7 valores va desde el, x, al 7 7, y podemos determar la frecueca absoluta y relatva de cada uo de esos valores. Ua vez calculadas las frecuecas resulta la sguete tabla de frecuecas. x( º horas) ( º coches) f (% coches)

13 E esta tabla aparece por flas el úmero de horas que permaece los coches e el aparcameto, el úmero de coches que ha aparcado durate cada úmero de horas y la proporcó de coches e % que ha estado aparcados durate cada úmero de horas. Ua de las columas, por ejemplo la cuarta, os dce que 5 coches, que represeta el 5% de los coches aalzados, ha estado aparcados durate horas e el aparcameto. B- La tabla de frecuecas ascedete es x ( º horas) j j j j ( º _ coches _ acumulados) f ( proporcó _ acumulada) La tabla de frecuecas descedete es: 7 j 7 j x ( º horas) ( º coches _ acumulados) j f ( proprcó _ acumulada) j C- La tercera cuartlla es el cetl 75%, luego el ser N 60 calculamos 0.75*605 que al ser etereo, la fórmula aplcada será x(5) + x(6) horas c. 75 Su sgfcado es que el 75% de los coches aalzados estacoa e el aparcameto a lo sumo, o como máxmo, 5 horas. Para calcular el cetl % hallamos 0.*605., que al o ser etero, deberemos utlzar la otra fórmula. c 0. x([5.] + ) x(6) horas Su sgfcado es que el % de los coches aalzados estacoa e el aparcameto a lo sumo, o como máxmo, horas. D- Segú la prmera fórmula, el tempo medo de permaeca de los coches e el aparcameto es X k * x N.85 horas 60

14 Se calcula dvdedo el tempo total de permaeca de todos los coches e el aparcameto, horas, etre los coches aalzados, 60. E la seguda fórmula se calcula el tempo medo como resultado de las aportacoes que hace a dcho valor los productos de los dferetes valores del úmero de horas que ha estado los coches aparcados, x, por la proporcó de lcoches, f, que ha estado aparcados durate cada úmero de horas. Por tato, X k f *.85 horas x E promedo, cada coche ha estado estacoado horas y 5 mutos, y el tempo total de permaeca e el aparcameto de los 60 coches ha sdo horas. 5. U fabrcate de eumátcos ha recabado, de los dferetes cocesoaros, formacó sobre la catdad de mles de klómetros recorrdos por u modelo cocreto de esos eumátcos hasta que se ha producdo u pchazo o u revetó del eumátco. Los cocesoaros la ha proporcoado los sguetes datos: Se pde: a- Costrur ua taba de frecuecas para esos datos tomado como úmero de tervalos el que proporcoa la fórmula de Sturgess. Iterpretas la tabla. b- Costrur las tablas de frecuecas acumuladas ascedete y descedete. c- Dbujar el hstograma de frecuecas relatvas s acumular y acumulado. d- Calcular las prcpales meddas de tedeca cetral e terpretarlas. e- Obteer las meddas de dspersó más mportates e terpretarlas.

15 f- Aalzar la asmetría y el aputameto de la dstrbucó de frecuecas resultate. g- S el fabrcate quere propoer u klometraje para realzar el cambo de eumátcos, qué valor propodría para que solo de cada 0 coches haya tedo u pchazo o revetó ates de ese klometraje? a- La fórmula de Sturgess propoe como úmero k de tervalos, para agrupar u cojuto de N observacoes e tervalos. k+ [.*log N] E este caso N00, luego k7. ahora debemos propoes el límte feror del prmer tervalo y el límte superor del últmo tervalo. Al ser el valor mímo.068 se propoe como límte feror del prmer tervalo, y al ser 7 tervalos se propoe como achura para cada uo de ellos, para que sea u valor etero, co lo cual el límte superor del últmo tervalo es 95. La tabla de frecuecas será: Itervalo _ I Frecueca absoluta _ Frecueca relatva _ f < x < x < x 9.9 I f < x < x < x 8. 8 < x E esta tabla aparece por flas los tervalos, juto co la frecuca absoluta y la frecueca relatva. Por ejemplo la cuarta columa se puede terpretar dcedo que el 7% de estos eumátcos ha recorrdo etre 000 y 5600 Km hasta que se ha producdo u pchazo o revetó. b- La tabla de frecuecas acumuladas ascedete sería: Itervalos _ I j j (,7] (7,0] (0,] (,56] 50 (56,69] 79 (]69,8 9 (8,95] 00 y la tabla de frecuecas acumuladas descedete quedaría Itervalos _ I k j j (,7] 00 (7,0] 98 (0,] 96 (,56] 77 (56,69] 50 (69,8] (8,985] 7 5

16 c- El hstograma de frecuecas relatvas se represea es la fgura y el de frecuecas acumuladas e la fgura. Frecuecas relatvas 0, Frecueca 0, 0, 0, 0 _7 7_ _69 69_8 8_95 Itervalo Fgura Frecuecas relatvas acumuladas frecuecas acumuladas, 0,8 0,6 0, 0, 0 _7 7_ _69 69_8 8_95 Itervalo Fgura d- Para calcular las meddas de tedeca cetral trabajamos co la tabla de frecuecas del apartado a. resulta que la meda artmétca es X Km Se terpreta dcedo que so los 00 eumátcos aalzados se ha recorrdo de Km ates de u pchazo o revetó. 6

17 La medaa será Me Km Sgfca que la mtad de los eumátcos ha recorrdo a lo sumo Km ates de u pchazo o revetó. La moda será Mo 56 + * 5759 Km + 5 Sgfca que la catdad más frecuete, de klómetros recorrdos ates de u pchazo, a sdo 5759 Km. e- La desvacó típca es s 6899 Km y os forma sobre lo que se dspersa los klómetros recorrdos por los dferetes eumátcos respecto del klometraje medo. El coefcete de varacó de Pearso será s g * 00% x 0. Al tomar u valor feror al 00% resulta que la medaa es represetatva, y al ser dcho valor del 0% os forma que el valor de la desvacó típca es el 0% del valor de la meda. f- Los coefcetes de asmetría de Pearso so e este caso V V Para calcular el coefcete g calculamos 7 m f ( x x).905 Luego g , resultado de dvdr m etre s. a la vsta de este coefcete de asmetría la dstrbucó resulta ser lgeramete asmétrca a la zquerda, lo que sgfca que algo meos de la mtad de los eumátcos pcha o reveta ates de los 5600 Km, valor medao de la dstrbucó. Para el cálculo del coefcete de curtoss g ecestamos Luego 7 m f ( x x)

18 m g 0. s Esto sgfca que la dstrbucó es de tupo platcúrtca, algo meos aputada que la dstrbucó ormal de meda km y desvacó típca 6899 km. Por tato, e los tervalos X ± ks co k Ν habrá meos proporcó de observacoes que e dcha dstrbucó ormal. g- Propodría u klometraje tal que el 70% de los eumátcos o haya pchado o revetado ates de este klometraje. Por tato, buscamos el cetl del 0%, que vedrá dado por * c. Luego el fabrcate propodría cambar los eumátcos a los 670 km. 6. La tabla sguete os proporcoa los valores de la meda y la desvacó típca de dos varables así como su coefcete de correlacó leal para dos muestras dferetes: Muestra º de _ observacoes x 5 7 y 0 s x s y r xy Se pde: a- Recta de regresó de Y sobre X e cada muestra. b- S cosderamos la muestra que resulta de agrupar las dos muestras e ua sola de tamaño 000, obteer el uevo coefcete de correlacó leal de Pearso y explcar el hecho de que sea feror a los de cada ua de las muestras tomadas por separado. a- La recta de regresó de Y sobre X e cada muestra es m y y+ s x ( x X ) Como la formacó dada es la del coefcete de correlacó leal, r xy m s s x y 8

19 se tee que la recta de regresó es y Y + r xy s s y x ( x X ) Luego, susttuyedo, las rectas de regresó de Y sobre X e cada ua de las dos muestras so: Muestra : y+0.9*(x-) Muestra : y0+0.9*(x-7) b- Se trata de calcular el coefcete de correlacó leal de Pearso e la ueva muestra de tamaño 000, que otaremos por r xy, t y que será m, T r xy, t sx, T s y, T dode m, T es la covaraza e la muestra total y s x, T, s x, T las desvacoes típcas de X e Y e la muestra total. Para obteer estas catdades ecestamos X T e Y T, medas de X e Y e la muestra total, que se calculas como u promedo etre las medas de X e Y e las muestras y, otadas por X, Y, segú las relacoes sguetes X, Y, X T X * X 000 * 00 Y T * Y Y 000 * 00 Susttuyedo se obtee que X T 5. 8 e Y T.. Por otra parte s m, h deota la covaraza e la muestra h, se tee que Como m, **0.6.6 m, **0.78. m, h j, h x N, h h y j, h X h Y h resulta que: 9

20 j, N x, y j, j, N x, y l, *0 78. Luego e la muestra total co N000 se tee que x + y j j,x, y j, N N 6.6 * * j j, j,, j, x x y Por tato j x y j m, T X T Y T *8*.. 56 N P ara obteer s x, t y s y, t utlzamos que s x, T a, xt X T y s y, T a Y, yt T dode a a, xt, yt a a, x, y * a, x * * a, y * sedo, Xh s X, h X h a +, Yh sy, h Y h a + para h,. Operado se obtee que a 9, a 58, a 5 y a 6, X, X, Y, Y 0

21 Luego a, XT 0.6*9+0.*580.6 a, YT 0.6*5+0.*68. de dode s X, T Y, s T Luego resulta que.56 r xy, T *.57 Co lo cual el coefcete de correlacó leal etre X e Y e la muestra total de 000 observacoes es feror al que hay e cada ua de las dos muestras por separado. La explcacó de este hecho es la sguete: e cada muestra parcal se puede dar u mayor grado de relacó leal que e la muestra total porque las observacoes se ecuetra mas agrupadas e toro a ua recta que cuado las jutamos, ya que al formar la muestra total la ube de putos resultate estará formada por las ubes de putos de las muestras parcales y presetará u meor ajuste a ua recta. 7. E ua compañía aérea se sabe que, por térmo medo, el 65% de los vuelos tee retraso. La dstrbucó de los vuelos retrasados es la sguete: Duracó del retraso Numero de vuelos (cetésmas de hora) Se pde: a- Determas el retraso medo y la desvacó típca del tempo de retraso para los vuelos retrasados. b- Determar el cetl del 60% e terpretarlo. c- La compañía ha determado que por cada vuelo co retraso se produce uas pérddas fjas de 7000 pts y uas pérddas varables de 0000 pts por cada muto de retraso. Etre qué catdades se ecuetra al meos las tres cuartas partes de las pérddas geeradas por cada vuelo retrasado? d- Resolver el apartado a- para el total de los vuelos. Es represetatva la ueva meda? E caso egatvo propoes razoadamete otra medda de cetralzacó.

22 a- Sea la varable estadístca X: tempo de retraso de u vuelo retrasado, y cosderemos la tabla de frecuecas sguete obteda a partr de la dada co las marcas de clase x f E esta tabla se verfca que X.5 cetésmas de hora s x cetésmas de hora b- De la tabla de frecuecas acumuladas sguete [a,a ) [0,0) [0,0) [0,0) [0,50) [50,00) j f j se observa que el cetl 60% se ecuetra e el tervalo [0,0), luego c z por ua regla de tres z 0. 0.*0 z 0.5 Así c 0. 6 cetésmas de hora y sgfca que el 60% de los vuelos retrasados (co meos tempo de retraso) ha tedo u retraso de a lo sumo cetésmas de hora y sgfca que el 60% de los vuelos retrasados (co meos tempo de retraso) ha tedo u retraso de a lo sumo cetésmas de horas. c- Sea la varable estadístca Y: pérddas que se produce por u vuelo co retraso, se verfca que 6 Y * X 0

23 ya que X*: tempo de retraso de u vuelo retrasado e mutos se relacoa co X 6 por la gualdad X* X. 0 Por aplcacó de la desgualdad de Chebyshev se sabe que al meos las tres cuartas partes de las pérddas geeradas por cada vuelo retrasado se ecuetra etre Y s y e Y + s y. Como Y * X * pts s y 6000 * s x 6000 * pts Resulta que: Etre 0 pts y pts se ecuetra al meos las tres cuartas partes de las pérddas geeradas por cada vuelo retrasado. Como s x g x X y s y g y Y se deduce que hay más varabldad e los tempos de retraso. d- Al cosderar el total de los vuelos hay que modfcar la tabla del aucado por la tabla sguete Co la ueva varable estadístca X*: tempo de retraso de u vuelo cualquera e cetésmas de hora. Se verfca que X * 5.75 cetésmas de hora y s X * 7.5 cetésmas de hora. Como g X * > la ueva meda o es represetatva al exstr 5.75 observacoes extremas. Ua medda de cetralzacó que evta este problema es la medaa. Para esta dstrbucó se verfca que Me.06 cetésmas de hora. 8. E ua clíca se ha regstrado durate u mes las logtudes e metros que los ños ada el prmer día que comeza a camar, obteédose los sguetes resultados:

24 Número de metros Número de ños Costrur la dstrbucó de frecuecas adecuada para la varable logtud y realzar los gráfcos pertetes que la represete. La tabla de frecuecas relatva a la varable se preseta a cotuacó: X N f F Comda Trasporte 5 Alojameto Ee Feb Mar Abr May Ju 9.- La dstrbucó de los costes salarales de los empleados de ua multacoal se preseta e la tabla sguete: Salaros Nº de empleados

25 Calcular el salaro medo por trabajador, el salaro más frecuete y el salaro tal que la mtad de los restates sea feror a él. Calcular també el prmer cuartel salaral y el percetl 75. La tablas sguete cotee los elemetos relatvos a la dstrbucó d frecuecas de la varable salaro (X) ecesaros para realzar los cálculos peddos e el problema. L( ) L Marcas X X * N c D /c Para hallar el salaro medo por trabajador calculamos la medda de la varable X Para hallar el salaro más frecuete se calcula la moda de la varable X. Para ello hemos de teer presete que los tervalos de la dstrbucó de frecuecas so desguales, por lo que l tervalo modal será el correspodete al mayor valor de d, es decr será el tervalo ( ).por lo tato la moda se calcula como sgue: M 0 L - + d + c , ,7 d - + d + 0,+0,06 Para hallar el salaro tal que la mtad de los restates sea feror a él se calcula la medaa. Para llo, como N/ 5000, el tervalo medao será ( ) ya que N - <N/>N es equvalete e este problema a 505 < 50000< 560.la medaa se calculará como sgue: M e L - + N/ N - c / ,6 955 Para calcular el prmer cuartl (prmer cuartl de orde ) observamos que como N/ 500, el tervalo relatvo al prmer cuartel será ( ) ya que N - <500<N es equvalete e este problema a 5<500<655.El prmer cuartel se calculará como sgue: 5

26 Q, L - + N/ N - c / ,76 50 El prmer cuartl se terpreta como el valor de la varable para el que la cuarta parte de los valores meores que él y las tres cuartas partes resultates so superores. Para calcular el percetl 75 (cuatl 75 de orde 00), observamos que como 75N , el tervalo al percetl 75 será ( ) ya que N - <7500< es equvalete e este problema a 6570<7500<89.El percetl 75 se calculará como sgue: Q 75,00 L N/00 N - c *0000/ ,8 El percetl 75 se terpreta como el valor de la varable para que el 75% de los valores so ferores a él y el 5% restate so superores. 0. Los redmetos de cco versoes dsttas realzadas por u dvduo y las catdades cales vertdas udades moetaras so los sguetes: Catdades cales Redmetos Calcular el redmeto medo por udad moetara vertda para el total de versoes del dvduo. Como se trata d promedar redmetos por udad, estamos ate u caso de aplcacó del cocepto de meda armóca. Calcularemos por tato el redmeto medo por udad moetara vertda para el total de versó del dvduo como la meda armóca de los redmetos de cada versó poderada de las catdades cales desembolsadas e cada versó. H N ,5 ( / x ) * E el cuadro sguete se preseta los cosumos de electrcdad e España e mles de mlloes de Kw/hora desde dcembre 985 hasta dcembre de 986. Meses Dc Ee Feb Mar Abr May Ju Jul Ago Sep Oct Nov Cosumo 0, 0,7 9,96 9,6 9,5 8,9 8,95 9,58 7,86 8,96 9,57 9,57 A partr de los cremetos utaros de cosumo de cada mes calcular el cremeto 6

27 utaro aual medo acumulatvo. Al tratarse del cálculo de ua meda acumulatva, el promedo más adecuado es la meda geométrca. Se trata por tato de calcular la meda geométrca de los cremetos utaros mesuales. Estos cremetos se calcula a cotuacó. 0,7,06 9,96 0,9 9,6 0,95 9,5,008 8,9 0,9 8,95,00 0, 0,7 9,96 9,6 9,5 8,9 9,58,07 7,86 0,8 8,96, 9,7,0 9,57,0 0,,06 8,95 9,58 7,86 8,96 9,7 9,57 La meda geométrca de estos cremetos utaros mesuales se calcula como sgue: G,06*0,9*0,95*,008*0,9*,00*,07*0,8*,*,0*,0*,06,0. E la sguete tabla se muestra las dferetes catdades de IVA que se mpoe e la compra de ua obra de arte. País IVA España 0,6 Itala 0,0 Bélgca 0,06 Holada 0,06 Alemaa 0,07 Portugal 0,7 Luxemburgo 0,06 Flada 0, Determe el recorrdo, la varaza, la desvacó típca, la cuasvaraza, la cuasdesvacó típca, el coefcete de varacó de Pearso, el coefcete de asmetría de Pearso y el coefcete de asmetría de Fsher. - El recorrdo: R ( x) max ( x) m 0, 0,06 0,6 - La varaza: 6 0,586 s x a 0,5 0, De la msma forma la desvacó típca se obtee hacedo la raíz cuadrada de la varaza: s s 0,08 0,068 - La cuasvaraza: 7

28 s 8*0,00 S 0, De la msma forma la cuasdesvacó típca: S S 0,008 0, El coefcete de varacó de Pearso: s 0,068 V p * 00 *00 5,88 a 0,5 - El coefcete de asmetría de pearso: a M d 0,5 0,06 Ap,009 s 0,068 - Por ultmo el coefcete de asmetría de Fsher: A f 6 ( x a) * S * 0,000 8* 0,0005 0,59. Dados los sguetes datos: Tamaño tabla Calcula la meda artmétca, la medaa. - La meda artmétca: k 7678,5 a x * 0, La medaa: Para ello os valemos del cálculo de frecuecas absolutas acumuladas: Este tpo de datos os dce el úmero de datos que hay gual o ferores a uo determado. Se calcula co la sguete formula: N j j N + Así de esta forma: Tamaño tabla Frecueca acumulada j 8

29 Respecto a esta tabla calculamos la medaa: 895 N 6 < 7,5 < 575 N Co lo que podemos decr que la medaa esta e el tervalo [6,)sedo la medaa el valor: N j 7,5 6 M e x j + * c j 6 + *5 6,7 9 j. Co los datos del ejercco ateror calcular el prmer cuartel y el sexto decl. a) El prmer cuartl: Será p 7 < *,75 < 5 [6,) y, e cocreto: * N j *895 7 p * 6 / x j + c j + *5 0,76 98 j Que será gual al cetl 5 b) Calcular el sexto decl Para ello acotamos el valor: * * * Por las frecuecas absolutas acumuladas: N 6 < 57 < 575 N 6 * N j p 6 /0 x j + * c j 6 + *5 9,7 9 j 9

30 5. Medate los datos del ejercco umero calcular las meddas de dspersó - El recorrdo: R xmax xm 750,5, La varaza es: k k s ( x a) * x a - La cuasvaraza * s 895*9 S 95, La desvacó típca: s s 9,7 56,50 - La cuasdesvacó típca: S S 95,988 56,5 - El coefcete de varacó de Pearso: s 56,50 V p * 00 *00 8,67 a 0,9 - El coefcete de asmetría de Pearso: a Md 0,9 9,78 A p 0,7 s 56,50 78,5 0, ,7 6. E u colego de u pequeño pueblo de la comudad valecaa se ha recogdo los sguetes datos de formacó sobre cuatos ños se matrcula de cada sexo cada año, segú se muestra e la sguete tabla: Año Nños Nñas Se debe calcular la frecueca absoluta y la frecueca relatva para los datos correspodetes a los ños y a las ñas y dspoer los datos medate u dagrama de sectores o de pastel e cada caso. - Para empezar calcularemos las frecuecas correspodetes a los ños para esto utlzaremos la sguete formula: - E el caso de la frecueca absoluta cotaremos el úmero de veces que se repte u determado valor, por lo que para x 0 ; x 0 7; x 9; x 0 ; - E el caso de las frecuecas relatvas para hallar este valor dvdremos la frecueca absoluta por el úmero total de datos. Así de esta forma la formula utlzada es: f / 0

31 Por lo que obteemos al calcularlo: f /8 0,6; f 7/8 0,8; f 58/8 0,9; f /8 0,0; - de la msma forma calcularemos las frecuecas correspodetes para las ñas: - Para las frecuecas absolutas: x 0 ; x 0 ; x 0 ; x ; - Para las frecuecas relatvas: f /6 0,67; f /6 0,5; f /6 0,0; f 6/6 0,8; - Pasemos a la represetacó grafca, para ello debemos partr de las frecuecas relatvas y calcular cada porcó del dagrama medate esta formula: º 60 α f así de esta forma obteemos: dagrama ños 0,; 0% 0,6; % 0,8; 8% 0,9; 0% dagrama ñas 0,67; 7% 0,8; 8% 0,5; 5% 0,; 0% 7. Establecdo u balace de explotacó sobre las ocho sucursales de ua cadea de almacees, resultó la sguete estmacó:

32 Sucursal Beefcos sobre vetas Vetas totales Obtégase el porcetaje medo de beefcos sobre las vetas totales de la cadea. El porcetaje medo se obtee como meda artmétca poderada de los beefcos, sedo el peso respectvo la veta total de cada sucursal, es decr, d p j -p De dode: 079 x 8,% Ua prestgosa frutería tee como orma clasfcar los magos segú su tamaño, de cara a la veta, e superores y ormales. Los superores so aquellos cuyo peso es superor a 50 g. De ua partda, represetatva de los magos que recbe ormalmete, se ha obtedo la dstrbucó de frecuecas sguetes: Peso Núm. De magos

33 a- U exqusto arstócrata ha acordado co el frutero quedarse co los magos cuyo peso sea superor a 65 gramos. Qué porcetaje de magos se destará a este arstócrata? b- El frutero compra la partda de magos a 00 pts el kg. Los ormales se vede a 600 pts/kg, os superores a 800 pts /kg, metras que el arstócrata se os deja a 700 pts/kg. Cuáto espera gaar este frutero es esta partda? a- Prmero habrá que calcular el úmero de magos cuyo peso es supereor a 65 gamos. Bajo la hpótess de dstrbucó uforme de la frecueca e los tervalos, resulta que e el tervalo (65-800] hay 5 magos de la partda. Por tato se apartará para el arstócrata el.85% de los magos recbdos. b- Ya que el frutero decde retrar de la veta aquellos cuyo peso sea a lo sumo de 7.5 g, la dstrbucó del peso de los magos ormales, vaqrables otada por X N, será Peso (7.5-50] (50-00] (00-50] Nº de magos La dstrbucó del peso de los magos superores, excluídos los destados al arstócrata, será la de la varable otada por X S segú esta tabla Peso (50-500] ( ] ( ] (600-65] Nº 0 9 La del arstócrata es X A Peso (65-700] ( ] Nº El peso medo de los magos ormales seá la meda de la dstrbucó de frecuecas de la varable X N, tomado como valores de las varable las marcas de clase de los tervalos. RTesulta se la varable las marcas de clase de los tervalos. Resulta ser la varable las marcar de clase de los tervalos. Resulta ser.75*6 + 75*5 + * 5 X N g. 6

34 De maera aáloga se obtee que X 57.9 g. y X A g. S Por lo tato e esta partda el frutero espera teer 6* kg de magos ormales, 7* kg de magos superores y 5* kg de magos destados al arstócrata. Co lo cual espera gaar por esta partda la catdad de 00*8*5+500*7.+00*.9590 pts. 9. E ua cudad, aalzamos el vel de vda a través de la reta aual famlar. Se recoge formacó sobre 50 famlas. Los datos e mlloes de pesetas, so los sguetes: Obteer meddas que dque la localzacó, la dspersó, la asmetría y la curtoss. Repetr el problema agrupado los datos e tervalos de ampltud 0 5 y posterormete e tervalos de ampltud. Comprobar s exste grades dferecas. E este problema deseamos comprobar s, al agrupar los datos e tervalos, la formacó orgal aportada por los datos e certa forma se coserva, o por el cotraro, hay dferecas relevates. Teedo e cueta los resultados cocretos procedetes de dferetes famlas, recogemos esta formacó: Nº de datos: 50 Mímo: 0 mlloes Máxmo: 8 mlloes Meda: 96 Moda: Varaza: Desv. Típca: 0 8 Prmer Cuartel: Medaa: Tercer Cuartel:,6 Asmetría: Curtoss: Coef. de Pearso: 0 89

35 E este prmer aálss, las retas so valores que oscla etre ptas. y 8 mlloes; la reta meda famlar es de ptas.; es ua dstrbucó que tede a ser smétrca (el coefcete de asmetría es gual a 0 697) y el coefcete de curtoss es egatvo, que dca que la dstrbucó está por debajo de la dstrbucó ormal tpfcada, es decr, es platcúrtca. Agrupemos los datos e tervalos de ampltud 0 5; como la reta toma valores postvos y o supera el valor, podemos cosderar rago 0-. L - -L x N Como esta formacó se puede calcular las sguetes meddas: Meda: 99 Varaza: 0 7 Desv. Típca: Moda: Medaa: 085 Asmetría: 0 06 Curtoss: Ídce de Pearso: 0 0 No hay mucha varacó respecto del caso ateror; lo más sgfcatvo es que la reta meda ahora es ; s os guamos por este procedmeto, comparado este valor medo co el prmero, estaremos sustrayedo a cada famla uas ptas. 5

36 Los tervalos co mayor frecueca está stuados e el cetro; agrupar los datos e u setdo u otro hace que el coefcete de asmetría cambe (el uevo valor es 0 06), auque e todos los casos toma valores cercaos a cero. A pesar de que el tervalo co marca 5 es el de mayor frecueca (por ecma de la gráfca de la dstrbucó ormal), los tervalos adyacetes refleja lo cotraro. Debdo a esta stuacó, el coefcete de curtoss es egatvo. S cosderamos tervalos co mayor ampltud: L - -L x N Meda: 0 Varaza: Desvacó Típca: Moda: 8 Medaa: 056 Asmetría: -0 0 Curtoss: Coef. Pearso: 0 97 De acuerdo co estos resultados, la reta meda aumeta e 000 ptas. de los datos orgales, sedo el resto de valores muy smlares. Observar que ahora el coefcete de asmetría es egatvo, pero e todos los casos muy próxmo a cero, co lo cual la dstrbucó se puede cosderar práctcamete smétrca. 0. Se produce alteracoes e las meddas de poscó al realzar u cambo de orge? El cambo de orge supoe ua traslacó del tpo y x + a. Las meddas de poscó so afectadas de la sguete forma: Meda 6

37 Y y ( x + a) x + a x + a Moda N k máx.(,,, ), Mo ( x ) xk ;por cosguete, la moda de la varacó del valor correspodete a la frecueca k : M Y y x + a M x ( ) ( ) a o k k o + **S el valor -ésmo tervalo es el de mayor altura, tato la moda de X como la de Y estará stuadas e él: M h + + ( Y ) L + a + c M ( x) a o o + h h + Medaa *S los datos está s agrupar e tervalos, por ser frecuecas de X y de Y las msmas, la medaa de Y será la medaa de X trasladada e a udades. **S la dstrbucó esta agrupada e tervalos de clase N / N la medaa se ecuetra e el -ésmo tervalo tato para X como para Y. < Me Y N + ( ) L + a + c Me( x) a Cuartles, decles y percetles Podemos observar que e estas meddas se produce el msmo cambo que e la varable. E el caso de los percetles: P ( Y ) P ( x) a co j,,99. j j + N. Para lazar u uevo producto al mercado, ua empresa estuda el tempo de publcdad, e segudos, empleado e los medos audovsuales por otra empresa que produce u producto smlar. Duracó Nº de Aucos Cuál es la duracó meda aproxmada de los aucos? Es represetatva? Cuál es la duracó más frecuete? A partr de que valor u auco es de los vete más largos? 7

38 Estudad la forma de la dstrbucó. S cada segudo cuesta ml cuatrocetas pesetas, cuál es el gasto aproxmado que realza la otra empresa e la publcdad de ese producto? a) X 9 7 segudos. V X moderadamete represetatva. b) Mo 77 segudos. c) P segudos. d) A P > 0. A P 0 78 > 0. C 0 > 0. g > 0. La dstrbucó preseta asmetría postva o por la derecha. g > 0. La dstrbucó es moderada platcúrtca. El gasto aproxmado será de ptas.. La dstrbucó del mporte de las facturas por reparacó de carrocería (e mles de ptas.) de ua muestra de 80 vehículos e u taller, vee dad por la sguete tabla: Importe Nº de vehículos a) Calcular el mporte medo. Estudar la represetatvdad e esta medda. b) Calcular la medaa y estudar su represetatvdad. c) Cuál es el mporte más habtual? d) Qué terpretacó tee e este caso los decles? Calcular el tercer decl. e) Cuál es el mporte mímo pagado por las 75 reparacoes más baratas. f) Estudar la cocetracó del mporte de las facturas. a) X ptas. V X 0 6. Es moderadamete represetatva. b) Me ptas. D Me 5. V Me 0.7ˆ. Es represetatva. c) Hay dos modas: Mo 77 ptas. y Mo 857 ptas. d) D 7000 ptas. e) P ptas. f) I G 0 ˆ.. Dos compañías aseguradoras tee formas dferetes de pagar a sus empleados. La compañía A lo hace medate u sueldo fjo mesual y la compañía B a través de u porcetaje sobre los seguros realzados. La dstrbucó de los salaros por categorías es: Compañía A Compañía B Sueldo (mles ptas.) Nº empleados Sueldo (mles ptas.) Nº empleados

39 a) Por térmo medo, gaa más u empleado de la compañía A o de la B? b) Calcular y cometar la represetatvdad de los sueldos medos. c) Cuál es el sueldo más frecuete e la compañía A? d) Auque e la compañía B el sueldo se gaa por mértos, crees que el reparto de salaros por categorías es equtatvo? e) S e la compañía B el salaro fuese el ateror más u fjo de 0000 pesetas, cuál sería el salaro medo y la desvacó típca? a) Sea: X «sueldo (e mles de pesetas) de los empleados de la compañía A». Y «sueldo (e mles de pesetas) de los empleados de la compañía B» X Y b) V X , V Y 0.79, los sueldos está meos dspersos e la empresa A. c) Mo pesetas. d) I G (Y) e) Z Y + 0 Z Y S Z S Y. Las otas fales de 00 estudates de ua Escuela Superor so las sguetes: Determar: - El úmero de estudates co ota superor a 80 - La ota del estudate º 8 e orde a la peor putuacó de la dstrbucó del tpo III: L- l N

40 Podemos decr que: º Número de estudates co ota superor a 50 e feror a 80: N6 + N7 + N º Nota del estudate úmero 8: De 0 a 0 putos 5. Dada la sguete dstrbucó de frecuecas: L- L º Represetarla gráfcamete º Obteer la sere de frecuecas acumuladas º Represetar la dstrbucó de frecuecas acumuladas º Represetar gráfcamete el hstograma: Por tratarse de ua dstrbucó co tervalos de gual ampltud, podemos tomar la, como altura, obteédose:,5,5,5,5 0,5 0 [-, -] [-, 0] [0, ] [, ] [, 6] Sere º Sere de frecuecas acumuladas N: L- L N - - 0

41 º Represetacó gráfca de la dstrbucó de frecuecas acumuladas: Sere 6 0 [-, -] [-, 0] [0, ] [, ] [, 6] Dode se ha tomado hn por tratarse de ua dstrbucó de tervalos de gual ampltud. 6. Hallar la medaa de la sguete dstrbucó de frecuecas: L- L L- L N N Se ha observado la vda de 80 bombllas obteédose la sguete dstrbucó:

42 Vda e horas Nº de bombllas Hallar la moda. Se trata de ua dstrbucó del tpo III co tervalos costates Mo L + a E ua clíca se ha regstrado durate u mes las logtudes e metros que los ños ada el prmer da que comeza a camar, obteédose los sguetes resultados. Número de metros Número de ños Costrur la dstrbucó de frecuecas adecuada para la varable logtud y realzar los gráfcos pertetes que la represete. Dado que se trata de ua varable cuattatva co valores s agrupar, podemos comezar realzado su represetacó medate u dagrama de barras stuado sobre el eje de abscsas los valores de la varable X, y sobre el eje de ordeadas los valores de sus frecuecas absolutas. Asmsmo, s sobre el eje de ordeadas stuamos las frecuecas absolutas acumuladas N, obteemos el dagrama de barras acumuladas. La tabla de frecuecas relatvas a la varable se preseta a cotuacó. La fgura muestra el dagrama de barras asocado a la varable y a la fgura muestra el dagrama de barras acumulado. Dstrbucó de frecuecas. X N f F 0,05 0, ,5 0, 0 8 0,5 0,5 5 0,5 0, ,5 0, ,075 0, ,05 0, ,05 f k k /N F k N k /N N + + k N k

43 Grafcos. N N FIGURA FIGURA Salaros 9. La dstrbucó de los costes salarales de los empleados de ua multacoal se preseta e la tabla sguete: Salaros Nº de empleados Calcular el salaro medo por trabajador, el salaro más frecuete y el salaro tal que la mtad de los restates sea feror a él. Calcular també el prmer cuartel salaral y el percetl 75. La tabla sguete cotee los elemetos relatvos a la dstrbucó de frecueca de la varable salaro (X) ecesaros para realzar los cálculos peddos e el problema. Nº de empleados Marcas x x * N c d / c , , , , , , , , ,

44 Para hallar el salaro medo por trabajador calculamos la meda de la varable X. k X N x Para hallar el salaro más frecuete se calcula la moda de la varable X. Para ello hemos de teer presete que los tervalos de la dstrbucó de frecuecas so desguales, por lo que el tervalo modal será el correspodete al mayor valor de d, es decr será el tervalo ( ). Por lo tato la moda se calcula como sgue: M 0 L - + d d + + d + 0,06 c ,7 0, + 0,06 Para hallar el salaro tal que la mtad de los restates sea feror a él se calcula la medaa. Para ello, como N/ 5000, el tervalo medao será ( ) ya que N - < N/ < N es equvalete e este problema a 505 < 5000 <560. La medaa se calculará como sgue: N 0000 M e L - + N 5 c , Para calcular el prmer cuartel ( prmer cuatl de orde ) observamos que como N/ 500, el tervalo relatvo al prmer cuartel será ( ) ya que N - <500<N es equvalete e este problema a 5<500<665.El prmer cuartel se calculará como sgue: N 0000 N 5 Q, L - + c , El prmer cuartel se terpreta como el valor de la varable para el que la cuarta parte de los valores so meores que él y las tres cuartas partes restates so superores. Para calcular el percetl 75 (cuatl 75 de orde 00), observamos que como 75N/ , el tervalo relatvo al percetl 75 será ( ) ya que N - <7500<N es equvalete e este problema a 6570<7500<890. El percetl 75 se calculará como sgue: 5,00 L - 75N N 75* c , 8 El percetl 75 se terpreta como el valor de la varable para el que el 75% de los valores so ferores a él y el 5% restate so superores. El percetl 75 també podrá haberse calculado como el tercer cuartl (cuatl de orde ). Como 75N/007500N/, el tercer cuartl se calcularía como sgue:

45 Q N N + * , L c 6985,8 El tercer cuartl se terpreta como el valor de la varable para el que las tres cuartas partes de los valores so ferores a él y la cuarta parte restate es superor. Como las tres cuartas partes so el 75%, el percetl 75 cocde co el tercer cuartl. 0. Los redmetos de cco versoes dsttas realzadas por u dvduo y las catdades cales vertdas e udades moetaras so los sguetes: Calcular el redmeto medo por udad moetara vertda para el total de versoes del dvduo. Catdades cales Redmetos Como se trata de promedar redmetos por udad, estamos ate u caso de aplcacó del cocepto de meda armóca. Calcularemos por tato el redmeto medo pos udad moetara para el total de versoes del dvduo como la meda armóca de los redmetos de cada versó poderada por las catdades cales desembolsadas e cada versó. k N x H ,5 Auque e este problema es meos adecuada, podríamos haber utlzado també la meda artmétca poderada, que se calcula como sgue: N X 00000* * * * * k x + X 859,5 També podría utlzarse la meda geométrca, ya que las catdades a promedar so o ulas y postvas. Para hallar esta meda es coveete aplcar logartmos (e este caso eperaos) y calcular el valor fal como se dca a cotuacó: 5

46 k k N G x... l( ) l( ) x x G k x N 00000* l(00) * l(900) * l(500) * l(800) * l(0) Ge 6,7 88,8. E el cuadro sguete se preseta los cosumos de electrcdad e España e mles de mlloes de de kw/hora desde dcembre e 985 hasta dcembre de 986. Meses Cosumo Dc 0. Ee 0.7 Feb 9.96 Mar 9.6 Abr 9.5 May 8.9 Ju 8.95 Jul 8.58 Ago 7.86 Sep 8.96 Oct 9.7 Nov 9.57 Dc 0. A partt de los cremetos utaros de cosumo de cada mes calcular el cremeto utaro aual medo acumulatvo. Al tratarse de cálculo de ua meda utara acumulatva, el promedo más adecuado es la meda geométrca. Se trata por tato de calcular la meda geométrca de los cremetos utaros mesuales. Estos cremetos se calcula a cotuacó. 0,7,06 0, 9,96 0, 0,7 9 9,6 9,5 8,9 8, , 008 0, 9, 00 9,96 9,5 9,5 8,9 9,58,07 8,95 7,86 0, 9,58 8 8,96 9,7 9,57 0,,, 0, 0, 06 7,86 8,96 9,7 9,57 sgue: La meda geométrca de estos cremetos utaros mesuales se calcula como G,06 * 0,9* 0,95*,008*,0,9*,00*,07 * 0,8 *, *,0 *,0 *. 06,0. Supogamos que u automóvl recorre 60 km a ua velocdad de 50 km/h y 0km/h a ua velocdad de 70 km/h Cuál será la velocdad meda del automóvl e todo el recorrdo? 6

47 Al tratarse de cálculo de ua velocdad meda utlzaremos la meda armóca, que se cálcula como se dca a cotuacó: H k I N x ,5 km/h meda. E este caso, cualquer otro promedo que se utlce o produce la velocdad. E ua dstrbucó dscreta de de 6 valores, a saber: -0,, a, 0,, 0, sabemos que su desvacó típca es gual al coefcete de varacó de Pearso. Se pde: a) hallar la meda de la dstrbucó b) hallar el valor descoocdo de a a) como CVs etoces se tee que la meda artmétca vale, puesto que el coefcete de varacó de Pearso es el coefcete etre la desvacó típca y la meda artmétca. b) Aplcado el resultado obtedo e el apartado ateror se tee que: (-0++a+0++0) / 6 Despejado a de la expresó se tee que a. U exame costa de 5 pregutas e las que dos alumos A y B obtee las sguetes calfcacoes segú el orde de las pregutas: A: 5,8,6,5, B:,7,8,6, a) Cuál de los dos alumos tuvo mejor ota sabedo que los ejerccos, y putúa la mtad que los ejerccos y 5? b) s cosderamos que todas las pregutas vale gual, Qué alumo obtedría mejor calfcacó s utlzamos la meda geométrca? a) se calcula la meda poderada co los pesos que se dca para cada uo de los alumos sedo el alumo co mayor meda el que tuvo mejor ota. Los pesos para los problemas, y será y para los problemas y 5 será. Así obtedremos los sguetes resultados: A (5* + 8* + 6* + 5* + *) / (++++)5.7 B (* + 7* + 8* + 6* + *) / (++++)5.86 Por tato fue el alumo A el que obtuvo mejor calfcacó. 7

48 b) Prmero recordemos las expresoes de la meda geométrca G ( x f ) S cosderamos la meda geométrca, el alumo A obtee ua calfcacó de.8 y el alumo B ua de Ua empresa ha realzado u test físco etre sus empleados para comprobar la capacdad de esfuerzo que posee cada uo de ellos. Ua de las meddas que compoe el msmo es el úmero de pulsacoes después de ua determada actvdad físca, que esta altamete relacoada co las que se realza a lo largo de ua jorada laboral. Los datos cosegudos ha sdo dstrbudos e ua tabla de frecuecas. La tabla resultate es la que se preseta: Numero de pulsacoes Numero de empleados Se pde: a) meda artmétca, medaa, cuartl feror, percetl 60 y desvacó típca. b) Qué tato por ce de empleados tuvero meos de 8 pulsacoes? a) meda Me 89.5 Q 8.9 P b).7% 6. E el marco de u estudo sobre la posble cdeca que tee la relgó profesada por los dsttos matrmoos e la preseca de ua mayor ó meor frecueca de dvorcos, se ha tomado ua muestra aleatora a vel mudal de tamaño 000 Relgó \ Dvorco Dvorco No dvorco Católcos Ateos Musulmaes Protestates Otros a) Basado tus razoametos y afrmacoes e las frecuecas relatvas que resulte mas formatvas para este estudo señala cual es la relgó dode los matrmoos preseta ua mayor probabldad de termar e dvorco y cual es e la que se da meos. E este caso las frecuecas que proporcoa más formacó so las frecuecas relatvas 8

49 codcoales de Dvorco/Relgó. Frec. Relatva (Dvorco/ Católcos) 5/(5+7565)5.9% de los matrmoos católcos acaba e dvorco Frec. Relatva (Dvorco/Ateos) 85/(85+55)8.7% de los matrmoos ateos acaba e dvorco Frec. Relatva (Dvorco/Musulmaes) 60/(60+780)% de los matrmoos musulmaes acaba e dvorco Frec. Relatva (Dvorco/Protestates) 60/(60+90).% de los matrmoos musulmaes acaba e dvorco. Frec. Relatva (Dvorco/ Otros) 50/( )7.9% de los otros matrmoos acaba e dvorco A partr de los datos se observa que e el caso de los ateos hay mas probabldad de que los matrmoos acabe e dvorco 8.7%. E la relgó musulmaa ocurrrá justo lo cotraro co solo u % de dvorcos. b) Obteer las frecuecas margales absolutas y relatvas de la varable dvorco. Frecuecas margales de la varable dvorco: Frecuecas absolutas margales: dvorco s: 00 dvorco o: 7700 Frecuecas relatvas margales: dvorco s: 00/000.% dvorco o:7700/ % 7. Para estudar la efcaca de u tratameto sobre las resstecas de u determado hormgó se ha realzado u esayo sobre 5 probetas. Se ha meddo los días trascurrdos hasta que el hormgó alcace la ressteca de 0MPa y los datos ha sdo los sguetes: a) Idcar la poblacó, la varable aleatora mplcada y de que tpo es esta ultma. La poblacó es todo el hormgó de ese tpo. La varable aleatora so el úmero de días trascurrdos hasta alcazar los 0MPa.Cuattatva y dscreta b) Dbujar el dagrama Box-Whsker y cometar sus característcas prcpales Medaa Cuartl Cuartl 7 IICItervalo tercuartlco7-6 C+.5*IIC7+.5*66 C-.5*IIC-.5*6 El bgote de la zquerda llegará, como mucho a.como el valor observado posteror es 9, el bgote de la zquerda llegará a 9. El bgote de la derecha llegará, como mucho a 6.Como el valor observado medatamete 9

50 ateror es 9,el bgote de la derecha llegara a 9 No exste putos aslados por la zquerda. Exste u valor observado superor a 6 (el valor 8), que se represetará como u puto aslado e el dagrama Box-whsker c) Qué sgo cabe esperar que tega el coefcete de curtoss de los datos?(justfca la respuesta) Se trata de ua muestra co ua dstrbucó smétrca y dato aslado, probablemete dato aómalo, pues dsta mucho del resto de los datos, por lo tato el coefcete de curtoss será postvo. 8. La sguete tabla muestra la catdad de terra de las regoes de u certo país, juto co el porcetaje de terra cultvada e cada rego. REGION CANTIDAD DE TIERRA % CULTIVADO Norte 6.7 Sur 50.0 Este Oeste Calcula el porcetaje de terra cultvada e la totaldad del pas x La terra cultvada será: 6.7 * + * * * Por lo tato, el porcetaje de terra cultvada será: 07.68*00 % Los alumos de últmo curso de Bachllerato de u Isttuto elge carrera segú los datos de la tabla sguete: CARRERA MEDICINA DERECHO CIENCIAS LETRAS INEF. OTRAS ALUMNOS Costrur la dstrbucó de frecuecas adecuada para la varable carrera elegda por los alumos y realzar los gráfcos pertetes que la represete. Dado que se trata de ua varable cualtatva, podemos comezar realzado su represetacó medate u dagrama de rectágulos, que se costruye asgado a cada modaldad de la varable cualtatva u rectágulo co altura gual (o proporcoal) a su frecueca absoluta y co base costate. La tabla de frecuecas relatva a la varable se preseta a cotuacó. 50