Ventajas e Inconvenientes.

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1 1. Itroduccó.. Meddas de Poscó..1. La Meda Artmétca Propedades..1.. Cálculo Abrevado Vetajas e Icoveetes... La Meda Geométrca...1. Propedades.... Vetajas e Icoveetes..3. La Meda Armóca Vetajas e Icoveetes..4. Relacó etre los tres Promedos..5. La Medaa Propedades de la Medaa..5.. Vetajas e Icoveetes..6. La Moda Dstrbucoes o agrupadas e Itervalos..6.. Dstrbucoes agrupadas e Itervalos..7. Meddas de Poscó o Cetrales. 3. Mometos Potecales 3.1. Mometos Respecto al Orge. 3.. Mometos Respecto a la Meda Artmétca. 4. Meddas de Dspersó Absolutas Recorrdo Desvacó Meda Desvacó Meda respecto a la Meda Artmétca Desvacó Meda respecto a la Medaa La Varaza. Propedades Desvacó Típca o Stadard. Propedades. 4.. Relatvas Coefcete de Varacó de Pearso Ídce de Dspersó Respecto a la Medaa. 5. Meddas de Forma. Asmetría y Curtoss Asmetría. 5.. Meddas de Aputameto o Curtoss. Bblografía Recomedada. 1/4

2 1. ITRODUCCIÓ. Auque la observacó vsual de cualquer represetacó gráfca de ua msma dstrbucó de frecuecas proporcoa ua prmera aproxmacó al aálss de los datos, este tpo de observacó o os permte comparar, co rgor, dos dstrbucoes del msmo carácter. Por tato, se hace ecesaro estudar procedmetos umércos que obtega, a partr de todos los datos de la dstrbucó, uos valores que permta deducr ua formacó cuattatva. Por otra parte, s o se dspoe de gua represetacó gráfca, es ecesaro, ate la mposbldad del humao de reteer gra catdad de datos, el tetar resumr toda la formacó. La dea de resumr la formacó del comportameto global del feómeo estudado e uos pocos datos se realza calculado ua sere de parámetros. Este tpo de meddas descrptvas utlzadas so, prcpalmete, meddas de cetralzacó o poscó, meddas de dspersó, meddas de deformacó o smetría y el aputameto.. MEDIDAS DE POSICIÓ. La tabla estadístca os ofrece toda la formacó dspoble, pero el vestgador se ecuetra capaz, e umerosos casos, de terpretar toda esa extesa formacó, por lo que teta resumrla e ua sere de expresoes. Haca la sítess de esa formacó va drgdas todas estas expresoes o meddas. Toda sítess de ua dstrbucó se cosderará como operatva s: 1) Itervee e su determacó todos y cada uo de los valores de la dstrbucó. ) Es sempre calculable. 3) Es úca para cada dstrbucó de frecuecas. E este proceso de sítess buscamos uos valores que os fje el comportameto global del feómeo estudado a partr de los datos dvduales recogdos e la formacó dspoble. Estos valores stétcos globales so las llamadas Meddas de Poscó..1. La Meda Artmétca. DEF Defmos la Meda Artmétca como la suma de todos los valores de la dstrbucó dvdda por el úmero total de datos. S el valor x de la varable X se repte veces, hay que cosderar estas repetcoes e la suma. S represetamos la meda artmétca por x, tedremos: /4

3 x = x x = x =1 Pero esto sólo es váldo e el supuesto más secllo e que los datos de la varable esté s agrupar. E el caso de que tuvéramos ua dstrbucó co datos agrupados, los valores dvduales de la varable sería descoocdos y, por tato, o podríamos hacer uso de la fórmula ateror. E este supuesto se postula la hpótess de que el puto medo del tervalo de clase (marca de clase) represeta adecuadamete el valor medo de dcha clase; y aplcaríamos la fórmula orgal de la meda smple para dchos valores. Otro tema al que teemos que hacer refereca es el de la llamada Meda Artmétca Poderada, que se produce cuado se otorga a cada valor de la varable ua poderacó o peso, dstto de la frecueca o repetcó. E este caso, e el cálculo de la meda artmétca tedríamos e cueta dchas poderacoes. E este caso, s ω so las poderacoes, defmos la meda como:.1.1. Propedades. x µ x = µ =1 PROP La suma de las desvacoes de los valores de la varable respecto a su meda es cero. Dem. (x x) = x =1 x x = x = x x = 0 TEOREMA. Teorema de Kög. La meda de las desvacoes al cuadrado de los valores de la varable respecto a ua costate k cualquera se hace míma cuado esa costate es gual a la meda artmétca. Dem. Cosderemos la expresó: D(k) = (x k ) que toma dferetes valores para ua msma dstrbucó de frecuecas, segú los dsttos valores de k. 3/4

4 S sumamos y restamos x detro del parétess, teemos que: D(k) = (x k ) = (x k + x x) = ((x =1 x) (k x)) = = (x x) + (k x) =1 (k x) (x x) = y teedo e cueta la propedad ateror, se trasforma e D(k) = (x x) + (k x) e dode el valor de k que hace que D(k) sea mímo es x. PROP S a todos los valores de ua varable les sumamos ua costate k, la meda artmétca queda aumetada e esa costate. O lo que es lo msmo, la meda artmétca se ve afectada por los cambos de orge. Dem. Imedata. PROP S todos lo s valores de ua varable los multplcamos por ua costate k, su meda artmétca queda multplcada por la msma costate. Es decr, la meda artmétca se ve afectada por los cambos de escala. Dem. Imedata..1.. Cálculo Abrevado. Co objeto de facltar el cálculo práctco de x cuado la dstrbucó preseta umerosos valores o éstos está compuestos por bastates dígtos, es acosejable realzar el sguete cambo de varable dode: x O x ' = c x so los valores de la dstrbucó. O u orge de trabajo arbtraro, que se procura sea u valor cetral de la dstrbucó. c ua costate que es gual al máxmo comú dvsor de las dferecas que exste etre cada dos valores cosecutvos de la varable. 4/4

5 X los uevos valores de la varable. Despejado x de la expresó ateror teemos que x = cx + O Por tato: =1 x = x = (cx '+O ) = cx ' + O = cx' + O.1.3. Vetajas e Icoveetes. Como vetajas podemos ombrar las tres que se le exge a ua medda de sítess: 1) Cosderacó de todos los valores de la dstrbucó. ) Ser calculable. 3) Ser úca. També podemos cosderar como vetaja la obteda e la prmera propedad, que os dce que la meda artmétca es el cetro de gravedad de la dstrbucó, así como la obteda de la seguda propedad (Teorema de Kög). Como coveetes podemos dcar que a veces da lugar a coclusoes o muy atadas. Esto ocurre e el caso de que la varable presete valores aormalmete extremos que puede dstorsoar la meda artmétca, hacédola poco represetatva. La meda artmétca, como medda de poscó, es la fórmula más adecuada para el resume estadístco e caso de dstrbucoes e Escala de Itervalos o de Proporcó, co las cuales dcha medda alcaza su máxmo setdo... La Meda Geométrca. DEF Sea ua dstrbucó de frecuecas (x ; ). Defmos la Meda Geométrca, y la represetaremos por G, como la raíz -ésma del producto de los valores de la dstrbucó. Así:..1. Propedades. 1 = x G = x 1 x PROP El logartmo de la meda geométrca es gual a la meda artmétca de los logartmos de los valores de la varable. Dem. 1 1 log G = log x = log x = =1 =1 logx 1 = (log x ) =1 5/4

6 ... Vetajas e Icoveetes. Como vetajas podemos señalar: 1) E su determacó tervee todos los valores de la dstrbucó. ) Es meos sesble que la meda artmétca a los valores extremos, por su carácter de producto. Como coveetes teemos: 1) Es de sgfcado estadístco meos tutvo que la meda artmétca. ) Su cómputo es más dfícl. 3) E ocasoes o queda determada. Esto ocurre cuado la varable toma e algú mometo el valor 0. S la varable toma valores egatvos, se puede presetar ua ampla gama de casos partculares e los que tampoco queda determada G. o es que G o exsta, so que o la podemos determar. El empleo más frecuete de la meda geométrca es el de promedar porcetajes, tasas, úmeros ídces, etc. Es decr, e los casos e los que se supoe que la varable preseta varacoes acumulatvas..3. La Meda Armóca. DEF Defmos la Meda Armóca de ua dstrbucó de frecuecas (x ; ), y se represeta por H, como H = = x 1 x x OBS La versa de la meda armóca es la meda artmétca de los versos de los valores de la varable Vetajas e Icoveetes. Como vetajas dremos que tervee e su cálculo todos los valores de la dstrbucó y que, e certos casos, es más represetatva que la meda artmétca. Por otra parte, sempre se puede pasar de ua meda armóca a ua meda artmétca trasformado adecuadamete los datos. Como coveetes hemos de ctar la flueca de los valores pequeños, y su o determacó e las dstrbucoes co alguos valores guales a cero. Por ello o es acosejable su empleo e dstrbucoes e las que exsta valores muy pequeños. Se suele utlzar para promedar velocdades, tempos, redmetos, etc. 6/4

7 .4. Relacó etre los tres Promedos. PROP Para ua msma dstrbucó de frecuecas (x ; ), y sempre que exstas, se verfca que: H G x Dem. Vamos a ver la demostracó para el caso de ua dstrbucó co dos valores x 1 y x co frecueca utara. Para el caso de valores, sólo hemos de aplcar duccó. Las medas tee como valores: x = x + x 1 G = x 1 x H = x 1 x Comecemos demostrado que H G 1 + x 1 1 x x x 1 x x 1 x + x 1 = x x 1 x 1 x x 1 x (x 1 + x ) 4x 1 x x 1 x (x 1 + x ) 4x x (x + x 1 1 ) 4x x x + x x + x x x 1 x + x 0 (x 1 x ) que es ua desgualdad que claramete se verfca sempre, por tato H G. Por otro lado, veamos que G x x x x + x 1 1 4x 1 x (x 1 + x ) 0 (x x 1 ) que es el msmo resultado que e el caso ateror. Luego se verfca la desgualdad etre las tres medas..5. La Medaa. Dado que la defcó de Medaa puede etrañar múltples dfcultades, vamos a dar ua defcó operatva dcedo: DEF La Medaa es el valor de la dstrbucó, supuesta ésta ordeada de meor a mayor, que deja a su zquerda y a su derecha el msmo úmero de frecuecas. Es decr, el valor que ocupa el lugar cetral, supuesto u úmero mpar de datos. S el úmero de 7/4

8 datos fuese par puede decrse que hay dos valores medaos, y se toma la meda artmétca de ellos. La Medaa també se puede defr como el valor de la dstrbucó cuya frecueca acumulada es /. o obstate, hemos de teer e cueta que para los dferetes casos partculares (úmero mpar de datos, úmero par de datos, dstrbucoes de frecuecas utaras) se puede establecer dferetes crteros. E el caso de dstrbucoes agrupadas e tervalos, o es ecesaro dstgur s los tervalos se ha costrudo de la msma o dstta ampltud. Sguedo el método geeral de búsqueda del valor que ocupa el lugar /, e este caso, os ecotramos co u tervalo medao, e lugar de u valor medao. Co el objeto de fjar la medaa e u valor, seleccoaremos u represetate del tervalo medao al que llamaremos medaa. El crtero usualmete segudo es el sguete. Supoemos, e prmer lugar, que todos los valores compreddos detro del tervalo medao se ecuetra dstrbudos uformemete a lo largo de él. A cotuacó, vamos a cosderar la polgoal de frecuecas acumuladas correspodete al tervalo medao y a sus dos cotguos, y determamos gráfcamete la medaa. Vemos que M e = L -1 + m. Determaremos m e base a la hpótess fjada que os permte escrbr AC BC AC' = B'C' ya que los trágulos ABC y AB C so semejates. Pero 8/4

9 Por tato Es decr Co lo que teemos AC = m AC' = c BC = B'C' = 1 = m = 1 1 Me = L 1 + m = c c c Propedades de la Medaa. PROP La Medaa hace míma la suma de todas las desvacoes absolutas. Es decr, s represetamos la medaa por Me, teemos que M x k = [x Me[ k =1 cuado la costate respecto a la cual se toma las desvacoes, k, es gual a la medaa. Dem. Trasformamos la dstrbucó e otra de frecuecas utaras, tal que sedo k > Me. x 1 x... x m-1 Me x m... x a-1 k x a... x Por defcó de Medaa, tedremos gual úmero de valores guales o ferores que guales o superores, Supogamos que hay m-1 e cada lado. Tedremos que: m 1 a 1 x k = (k x ) + (k x ) + (x k) (1) =1 = m = a m 1 a 1 x Me = (Me x ) + (x Me) + (x Me) () =1 = m =a m 1 a 1 x k x Me = (k Me) + (k + Me x ) + (Me k) (3) =1 =m = a 9/4

10 Sumado y restado a 1 (k Me) = m e (3): m 1 a 1 a 1 a 1 x k x Me = (k Me) + (k Me) + (k + Me x ) (k Me) + =1 =1 + (Me k) = a =m = m =m x k x Me = m 1 (k Me) a 1 (k Me) + (k Me) = m a 1 a 1 + (k + Me x ) + (k Me) = = m = m + = a = (m 1)(k Me) (m 1)(k Me) + (k x ) = (k x ) = m = m a 1 a 1 Es decr Luego a 1 x k x Me = (k x ) > 0 =1 x k =m > x Me =1 por tato x Me es mímo para cualquer k>me. La demostracó para cualquer k<me es aáloga y la omtmos..5.. Vetajas e Icoveetes. Las vetajas y los coveetes so los msmos que posterormete veremos e el caso de la Moda. A pesar de la fórmula que hemos estado vedo para el caso de dstrbucoes e escala por tervalos, la medaa tee u mayor setdo e casos de dstrbucoes e escala ordal (datos susceptbles de ser ordeados), de la cual es la medda más represetatva por descrbr la tedeca cetral de la msma..6. La Moda. DEF Mo. Llamaremos Moda al valor de la varable que más se repte. Se represeta por 10/4

11 Por tato, e ua dstrbucó de frecuecas, es el valor de la varable que vee afectada por la máxma frecueca de dstrbucó. Para calcular la Moda, dstguremos etre dstrbucoes o agrupadas e tervalos y dstrbucoes agrupadas e tervalos Dstrbucoes o agrupadas e Itervalos. E este caso, la determacó de la Moda Mo es medata. Se observa la columa de las frecuecas absolutas y el valor de la dstrbucó al que correspode la mayor frecueca será la Moda. A veces aparece dstrbucoes co más de ua moda (bmodales, trmodales, etc.) e cluso ua dstrbucó de frecuecas que presete ua moda absoluta y ua relatva..6.. Dstrbucoes agrupadas e Itervalos. a) Itervalos de la msma ampltud. E este caso, ua vez determada la mayor frecueca, observamos que a ésta o le correspode u valor so u tervalo, luego realmete o tedremos u valor modal so u tervalo modal. De etre todos los valores compreddos e el tervalo modal vamos a seleccoar uo que desempeñe el papel de valor modal. Para esto, podemos utlzar dferetes crteros, etre los cuales ctamos los cuatro sguetes: 1) Tomar como valor modal el extremo feror del tervalo. Mo = L -1. ) Cosderar como moda el extremo superor. Mo = L. 3) Hacer la moda gual a la marca de clase. Mo = x. 4) O be, supoedo que: Todos los valores del tervalo está dstrbudos uformemete detro de él. La moda estará más cerca de aquel tervalo cotguo cuya frecueca sea mayor. Lo ateror se puede resumr dcedo que las dstacas de la moda Mo a los tervalos cotguos so versamete proporcoales a las frecuecas de dchos tervalos. La Moda será Pero Mo = L -1 + m m c m = +1 1 Que teedo e cueta las propedades de las proporcoes queda: 11/4

12 de dode m = c m + m Por tato m = Mo = L c c b) Itervalos de Dstta Ampltud. S recurrmos a la defcó que hemos dado como moda (valor que más se repte), al ser ahora los tervalos dferetes la frecueca absoluta o os drá ada sobre la abudaca de valores e cada tervalo, ya que podría suceder que el tervalo al que correspodese la mayor frecueca fuera muy amplo y etoces, fuera más deso otro tervalo co meor frecueca pero meor ampltud. Por tato, ahora, las frecuecas o so sgfcatvas para resolver el problema. Recordemos que las desdades de frecueca se obteía dvdedo las frecuecas absolutas por los recorrdos o ampltudes de sus correspodetes tervalos. Las desdades de frecuecas os da el úmero de valores que hay e cada udad de tervalo, para cada tervalo. La mayor desdad de frecueca os determará el tervalo modal. Ua vez determado el tervalo modal, y sempre e la líea de operar co valores y o co tervalos, podemos aplcar cualquera de los cuatro crteros expuestos e el caso ateror. S seleccoamos, por parecer el más razoable, el cuarto, tedremos que: Mo = L 1 + d +1 d 1 + d +1 c La deduccó de esta fórmula es aáloga al caso ateror. Por últmo, dremos que la moda es la medda más represetatva e caso de dstrbucoes e escala omal. Esto es debdo a que las dstrbucoes de este tpo preseta los datos o susceptbles de ordeacó, de tal forma que para estas dstrbucoes o es posble realzar operacoes elemetales co sus observacoes..7. Meddas de Poscó o Cetrales. Podemos ombrar otros valores otables pero que o va a reflejar gua tedeca cetral: los Cuatles. So valores de la dstrbucó que la dvde e partes guales, es decr, e tervalos, que comprede el msmo úmero de valores. Etre los Cuatles podemos ctar, por ser de uso más frecuete, los Cuartles, los Decles y los Percetles. 1/4

13 DEF Llamaremos Cuartles a los tres valores de la dstrbucó que la dvde e cuatro partes guales. Es decr, e cuatro tervalos detro de cada cual está cludos el 5% de los valores de la dstrbucó. DEF Llamaremos Decles a los ueve valores de la dstrbucó que la dvde e dez partes guales. Cda parte cotedrá el 10% de la dstrbucó. DEF Llamaremos Percetles a los oveta y ueve valores que dvde a la dstrbucó e ce partes guales. Para calcular los valores aterores hemos de dstgur etre: a) Dstrbucoes o agrupadas e tervalos. Cuartles: C es el valor que ocupa el lugar 4 co :1,,3. Decles: D es el valor que ocupa el lugar 10 co : 1,...,9 Percetles: P es el valor que ocupa el lugar 100 co :1,, 99 Para determarlos, se calcula prevamete las frecuecas acumuladas, y se busca el valor que ocupe el lugar de la dstrbucó. k b) Dstrbucoes agrupadas e tervalos. El problema que se preseta es el msmo que el que teíamos al calcular la medaa. Para elegr el represetate para u determado cuatl seguremos el crtero: r Q r = L 1 + k k 1 c dode 1) Para k=4 y r=1,,3 obteemos los cuartles. ) Para k=10 y r=1,,...9 obteemos los decles. 3) Para k=100 y r=1,,...,99 obteemos los percetles. La fórmula ateror se obtee de forma aáloga a la desarrollada para la medaa. 3. MOMETOS POTECIALES. Al cosderar las dferetes característcas de ua dstrbucó haremos refereca a uos valores específcos, deducdos de todos los valores de la dstrbucó y que, como 13/4

14 se verá, será la base de algua de las característcas de cada dstrbucó de frecueca. Estos valores específcos recbe el ombre de Mometos. Los Mometos de ua dstrbucó so uos valores que la caracterza, de tal modo que dos dstrbucoes so guales s tee todos sus mometos guales, y so tato más parecdas cuato mayor sea el úmero de mometos guales que tega. Covee advertr que exste dos tpos de mometos: los potecales y los factorales. Sólo vamos a tratar los mometos potecales y a partr de ahora los desgaremos smplemete por mometos. El mometo de orde r respecto a u orge arbtraro O se defe como M r = (x =1 O ) r Pero detro de los mometos potecales podemos dstgur, a su vez, dos tpos: los mometos respecto al orge y los mometos respecto a la meda artmétca Mometos respecto al Orge. Los mometos respecto al orge se represeta por a r y se obtee hacedo O=0. Por tato: a = x r r Los prmeros mometos será a 0 =1 a 1 = x etc. 3.. Mometos respecto a la Meda Artmétca. So també llamados mometos cetrales. Se represeta por m r y se obtee al hacer O= x. Por tato: m r = (x =1 x) r sedo x la meda artmétca de la dstrbucó, que cocde co el mometo de prmer orde respecto al orge. m 0 =1 m 1 =0 m =s etc. Observemos que los térmos del sumatoro so de la forma (x x ) r. S llamamos u = x x 14/4

15 el mometo cetral de orde r de la dstrbucó será: m = u r r que es por defcó el mometo de orde r respecto al orge para la dstrbucó (u ; ). Por tato, coceptualmete o exste dfereca etre los mometos respecto al orge y respecto a la meda. La úca dfereca exstete etre ambos comsste e que metras e los mometos respecto al orge se toma como orge de meddas el cero de la escala correspodete a la característca e estudo, e los mometos cetrales se hace ua traslacó del orge de meddas, para stuarlo precsamete e la meda artmétca. PROP Todos los mometos respecto a la meda se puede represetar e fucó de los mometos respecto al orge. Dem. El bomo de ewto os dce que r r (a b) r = ( 1) k a r k b k k =0 k y aplcádolo a la expresó de los mometos cetrales m r = (x r r r k r k k x) r = x ( 1) x =1 k = 0 k = = ( 1) x x = ( 1) k x xr k = k r r k k r r k k = 0 k k =0 k =1 r r r r = ( 1) k x k a r k = ( 1) k a k a k = 0 k k =0 k r k Como casos partculares podemos expresar m = a a m 3 = a 3 3a a + a 3 m 4 = a 4 4a 3 a + 6a a 3a 4 15/4

16 4. MEDIDAS DE DISPERSIÓ. E los dos apartados aterores defíamos ua sere de meddas de tedeca cetral cuyo objetvo era stetzar toda la formacó de que se dspoía. E este apartado veremos hasta que puto, para ua determada dstrbucó de frecuecas, estas meddas de tedeca cetral so represetatvas como sítess de toda la formacó. Medr la represetatvdad de estas meddas equvale a cuatfcar la separacó de los valores de la dstrbucó respecto de dcha meda. A la mayor o meor separacó de los valores etre sí se le llama Dspersó o Varabldad. Llamaremos Meddas de Dspersó a los coefcetes que os mde el grado de dspersó de la dstrbucó de la varable. Para ua mejor clasfcacó, vamos a dstgur etre meddas de dspersó absolutas y relatvas Absolutas Recorrdo. Ua prmera aproxmacó para medr la dspersó e ua dstrbucó es calcular su recorrdo. DEF Llamaremos Recorrdo a la dfereca etre el mayor valor y el meor valor de ua dstrbucó. R = x x 1 DEF Llamaremos Recorrdo Itercuartílco a la dfereca exstete etre el tercer cuartl y el prmero. R I = C 3 C 1 El Recorrdo Itercuartílco os dca que e el tervalo de logtud R I está compreddos el 50% cetral de los valores. S R I es pequeño, sempre e térmos relatvos de acuerdo co las udades e que vega dada la dstrbucó, podemos tur ua pequeña dspersó Desvacoes. Supogamos que teemos u promedo P del que vamos a estudar su represetatvdad. Cosderemos que teemos dos dstrbucoes que orga este msmo promedo P (supogámoslas de frecuecas utaras por secllez) y que so tales como las que se represeta e el sguete gráfco: 16/4

17 S queremos saber cual de los dos promedos es más represetatvo, a smple vsta parece que el prmero, porque el error que se comete utlzado P (e lugar de los valores de la dstrbucó) es meor e la prmera que e la seguda. Luego, cuato más agrupados esté los valores alrededor del promedo, más útl será. Para poder medr esto e ua dstrbucó geérca teemos que cosderar las desvacoes de cada valor co respecto al promedo, pero para evtar errores, se tomará e valor absoluto o elevadas al cuadrado Desvacó meda respecto a la Meda Artmétca. Tomamos ahora como promedo geérco P la meda artmétca x y tomaremos las desvacoes e valor absoluto. Así pues, tedremos D x = x x que es la desvacó meda respecto de la meda artmétca. U valor grade os drá la exsteca de ua gra dspersó e la dstrbucó. La desvacó meda respecto la meda artmétca se puede defr como la meda artmétca de los valores absolutos de las dferecas etre los valores de la varable y la meda artmétca Desvacó Meda respecto a la Medaa. S el promedo cuya efcaca queremos medr es ahora la medaa tedremos: D Me = x =1 Me que es la desvacó meda respecto a la Medaa. Para u valor grade, la medaa o será represetatva. E la medaa demostramos que: x k era míma para k=me, luego se verfca que D Me < D x. Cuado la dstrbucó está agrupada e tervalos, para calcular Me seguíamos el crtero: 17/4

18 Me = L c metras que para x utlzábamos las marcas de clase. E esta doble operacó utlzamos uas hpótess de trabajo compatbles. Para la Me la hpótess era que los valores detro del tervalo estaba dstrbudos uformemete, metras que para x, al utlzar las marcas de clase, se hace mplíctamete la hpótess de que todos los valores de cada tervalo so guales a x. Debemos, e este caso, optar por ua de las dos hpótess para ambos cálculos. Las desvacoes medas tee u sgfcado precso como promedo de las desvacoes, auque tee el coveete de o ser adecuadas al cálculo algebraco La Varaza. Propedades. De todas las meddas de dspersó absolutas respecto a la meda artmétca, la varaza y su raíz cuadrada, la desvacó típca, so las más mportates. DEF Llamamos Varaza a la medda de dspersó que surge como meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes de los valores de la varable a la meda artmétca. Es decr, el mometo de segudo orde respecto a la meda artmétca. Se deota por S y es: S = (x x) Evdetemete, S os medrá la mayor o meor dspersó de los valores respecto a la meda artmétca. S la dspersó es muy grade, la meda o será represetatva. E el caso extremo de que todos los valores de la varable fuese guales, la meda cocdría co el valor comú de las msmas y las desvacoes sería todas ulas, dado S =0. E geeral, cuato más dspersas sea las observacoes, mayores será las desvacoes respecto de la meda, y mayor el valor umérco de la varaza. A cotuacó eucamos uas propedades que verfca la varaza. Las demostracoes so medatas y o las damos para o agradar e exceso el tema. PROP La varaza o es egatva. PROP La varaza es la medda cuadrátca de dspersó óptma. S = (x x) < (x k ) k x PROP La varaza es gual al mometo de segudo orde respecto al orge meos el de prmer orde elevado al cuadrado. S = m = a a 18/4

19 PROP La varaza está acotada feror y superormete e cada dstrbucó de frecuecas. PROP S e la dstrbucó de frecuecas sumamos a todos los valores de la varable ua costate, la varaza o varía. PROP Al multplcar los valores de ua dstrbucó de frecuecas por ua costate k, la varaza queda multplcada por el cuadrado de la costate. També podemos ut lzar como medda de dspersó respecto a la meda el coefcete deomado Cuasvaraza. S * = (x x) = 1 1 S Desvacó Típca o Stadard. Propedades. Así como las desvacoes medas vee expresadas e las msmas udades de medda que la dstrbucó, la varaza o, lo cual dfculta su terpretacó. Es por ello que aparece la desvacó típca. DEF Llamamos Desvacó Típca a la raíz cuadrada, co sgo postvo, de la varaza. Se represeta por S, y es S = S = (x x) Al ser la raíz cuadrada de la varaza, vedrá expresada e las msmas udades de medda que la dstrbucó, lo cual la hace más apta como medda de dspersó. Sus propedades las podemos deducr fáclmete de las propedades de la varaza. PROP La desvacó típca o es egatva. PROP La desvacó típca es ua medda de dspersó óptma. PROP La desvacó típca verfca S = a a PROP La desvacó típca esta acotada superor e ferormete. PROP A la desvacó típca o le afecta los cambos de orge. PROP A la desvacó típca le afecta los cambos de escala, sedo S =k S DEF Dremos que ua varable estadístca X está Tpfcada, Estadarzada o Reducda s su meda es cero y su varaza es 1. 19/4

20 Dada ua varable X, su tpfcada Z, se defe como Z = X x S X 4.. Relatvas. Supogamos que teemos dos dstrbucoes de frecuecas cuyos promedos so P 1 y P y queremos saber cuál de las dos es más represetatva. Esta comparacó o la podemos efectuar por sus respectvas meddas de dspersó, ya que las dstrbucoes, e geeral, o vedrá dadas e las msmas udades de medda. Tampoco se podrá efectuar e el caso de que las udades de medda sea las msmas, s los promedos so umércamete dferetes. Por tato, resulta ecesaro costrur meddas admesoales. Estas meddas de dspersó, llamadas relatvas, sempre vedrá dadas e forma de cocete. Podemos destacar: DEF Llamamos coefcete de Apertura a la relacó por cocete etre el mayor y meor valor de ua dstrbucó. x A = Este coefcete es el más fácl de calcular, pero preseta varos coveetes. Etre ellos podemos ombrar: R S = x 1 1) Mde la dspersó de la dstrbucó s hacer refereca a gú promedo, por lo que o resuelve el problema de la comparacó etre éstos. ) Sólo tee e cueta dos valores de la dstrbucó (los dos extremos), lo que os dará ua gra dspersó e el caso de que esté muy separados. DEF Llamamos Recorrdo Relatvo al cocete etre el recorrdo y la meda artmétca. R e R r = x os dca el úmero de veces que el recorrdo cotee a la meda artmétca. DEF Llamamos Recorrdo Sem-tercuartílco al cocete etre el recorrdo tercuartílco y la suma del prmer y tercer cuartl. C C 3 1 C 3 + C 1 0/4

21 4..1. Coefcete de Varacó de Pearso. Para poder comparar las medas artmétcas de dos dstrbucoes que vega dadas e udades dferetes teemos el coefcete de varacó de Pearso. DEF Defmos el coefcete de varacó de Pearso como la relacó por cocete etre la desvacó típca y la meda artmétca. V = S x E prmer lugar, teemos que dcha medda es admesoal. E segudo lugar, V represeta el úmero de veces que S cotee a x. Cuato mayor sea V, más veces cotedrá S a x, luego relatvamete a mayor V meor represetatvdad de x. Este coefcete se suele expresar e tato por ceto, sedo V = S 100 x Como tato e S como e x ha tervedo todos los valores de la dstrbucó, V preseta la garatía de que utlza toda la formacó. La cota feror de V es cero, al ser éste el meor valor que puede tomar S, y es el valor de V que dca la máxma represetatvdad de x. E caso de que la meda artmétca sea ula, el valor de V o es sgfcatvo, ya que su resultado umérco os puede hacer tomar coclusoes estadístcamete equvocadas Ídce de Dspersó respecto a la Medaa. Para comparar medaas podemos defr u coefcete smlar a V. DEF Defmos el ídce de dspersó respecto a la medaa como: D V = Me Me Me = =1 x Me Me 5. MEDIDAS DE FORMA. ASIMETRÍA Y CURTOSIS. E los apartados aterores hemos realzado el aálss estadístco stetzado la formacó medate meddas de poscó y vsto la dspersó e la dstrbucó. Pero aalzar los datos o cosste sólo e hallar ua meda y ua varaza. E este apartado vamos a ver ua tpología de dstrbucoes segú la forma de su represetacó gráfca. El motvo es que, auque resumamos la dstrbucó medate medas, o debemos 1/4

22 proceder a ua terpretacó que mplque u comportameto de todos los elemetos uformemete costate e gual a la meda. Las meddas de la forma de la dstrbucó se puede clasfcar e dos grades grupos: meddas de asmetría y meddas de curtoss Asmetría. Las meddas de asmetría se drge a elaborar u dcador que permta establecer el grado de smetría (o asmetría) que preseta la dstrbucó, s ecesdad de llevar a cabo su represetacó gráfca. S represetamos gráfcamete la dstrbucó y trazamos ua vertcal que pase por la meda artmétca, dremos que ésta es smétrca s deja a ambos lados el msmo úmero de valores. Será asmétrca e caso cotraro. Vamos a buscar ua medda que os dga s la dstrbucó es smétrca o o s ecesdad de represetarla. Tomaremos la expresó así, s: m 3 = (x x) 3 m 3 =0 la dstrbucó es smétrca. m 3 >0 la dstrbucó es asmétrca postva. m 3 <0 la dstrbucó es asmétrca egatva S la dstrbucó es asmétrca a derechas o postva, sería lógco pesar que la suma de las desvacoes postvas será mayor que la suma de las desvacoes egatvas. E caso de que la dstrbucó sea asmétrca a la zquerda o egatva, lo ateror se repetrá, pero a la versa. Esta medda está expresada e las msmas udades que las de la varable, pero elevadas al cubo, por lo que o es varate ate u cambo de escala. Para poder obteer u dcador admesoal, debemos dvdr la expresó ateror por ua catdad que vega e sus msmas udades. Tomaremos como dcha catdad el cubo de la desvacó típca, obteédose así DEF Llamaremos Coefcete de Asmetría de Fcher a m g = Como S o es egatva, el sgo de g 1 cocde co el de m 3 y etoces: 1 3 S 3 g 1 =0 g 1 >0 g 1 <0 la dstrbucó es smétrca. la dstrbucó es asmétrca postva. la dstrbucó es asmétrca egatva Otras meddas de asmetría que sgue el msmo crtero de sgos que las dos aterores so las sguetes: /4

23 DEF Llamamos Coefcete de Asmetría de Pearso a A = x Mo DEF Llamamos Coefcete de Asmetría de Bowley a p S C + C Me 3 1 A B = C 3 C 1 DEF Llamamos Coefcete Absoluto de Asmetría a A = (C 3 C ) (C C 1 ) S = C 3 + C 1 C S = C 3 + C Me S 5.. Meddas de Aputameto o Curtoss. Las meddas de curtoss se aplca a dstrbucoes campaformes, es decr, umodales smétrcas o co lgera asmetría. Las meddas de curtoss trata de estudar la dstrbucó de frecuecas e la zoa cetral de la dstrbucó. La mayor o meor cocetracó de frecuecas alrededor de la meda y e la zoa cetral de la dstrbucó dará lugar a ua dstrbucó más o meos aputada. Por esta razó a las meddas de curtoss se les llama també de aputameto o cocetracó cetral. Para estudar la curtoss de ua dstrbucó es ecesaro defr prevamete ua dstrbucó tpo, que vamos a tomar como modelo de refereca. Esta dstrbucó es la llamada dstrbucó ormal, que correspode a feómeos muy corretes e la aturaleza, y cuya represetacó gráfca es ua campaa de Gauss, dada por la fórmula 1 ( x α ) 1 f (x) = e α α ν dode α y σ so la meda y desvacó típca, respectvamete. Se trata de ver la deformacó exstete etre ua dstrbucó, e setdo vertcal, y la ormal. Dremos que ua dstrbucó puede ser más aputada que la ormal s es más alta y recbe el ombre de Leptocúrtca. E caso cotraro recbe el ombre de Platcúrtca. La propa dstrbucó ormal recbe el ombre de Mesocúrtca. La dea del aputameto de ua dstrbucó surgó de la comparacó de frecuecas de los valores cetrales de la dstrbucó cosderada co la frecueca de dchos valores e ua dstrbucó ormal co meda y varaza guales a las de la dstrbucó que se compara. DEF Llamaremos Coefcete de Aputameto o Curtoss a g = m 4 3. S 4 3/4

24 S g = 0 Mesocúrtca. g > 0 Leptocúrtca g > 0 Platcúrtca 4/4

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