ESTADÍSTICA. Departamento de Orientación realiza una encuesta entre los estudiantes al comienzo del curso.

Transcripción

1 ESTADÍSTICA CPR. JORGE JUA Xuva-aró La estadístca es la ceca ecargada de recoplar y ordear los datos referdos a dversos feómeos para su posteror aálss e terpretacó. Ua de las más bellas leyedas de las ml y ua oches cueta que el calfa, Harú al Rasd, salía dsfrazado de mercader de su palaco para coocer la opó de los habtates de Bagdad. També el escrtor estadoudese, Mark Twa, muchos años después, hace del prícpe Eduardo u medgo, que de este modo llegará a coocer cómo vvía y pesaba sus súbdtos. Hoy los métodos ha cambado de maera radcal y e la actualdad la mportaca de la estadístca es eorme, los métodos estadístcos so fudametales para estmar, plafcar, predecr y decdr e problemas relacoados co la polítca, la socología, la vestgacó, la dustra, la ecoomía y ua larga lsta de actvdades. El estudo estadístco más atguo que se cooce se realzó e Cha cuado el emperador Yao ecargó la cofeccó de u ceso del mpero. Esto sucedía a fales del tercer mleo ates de Crsto. També se tee otcas de que e el atguo Egpto se realzaro estadístcas y trabajos cesales de tpo agrícola. Otro ceso famoso, segú relataba el hstorador Tácto, fue el que recogía las propedades y los ejérctos del mpero de Roma e tempos del emperador Octavo Augusto. o obstate, hemos de esperar algú tempo hasta que aparezca los trabajos de Joh Graut, u comercate de mercería glés, cosderado como el precursor de la actual estadístca. Graut, etre los años, 1604, y, 1661, realzó u estudo sobre los acmetos y defucoes de Lodres y, a partr de los datos obtedos, etrajo cosecuecas formulado leyes demográfcas y comportametos socológcos. Treta años más tarde publca el astróomo Halley u estudo sobre las tasas de mortaldad, setádose las bases de los estudos sobre esperaza de vda. Los datos objeto de estudo se preseta geeralmete e forma de tablas Departameto de Oretacó realza ua ecuesta etre los estudates al comezo del curso. A stacas del semaro de E. F. se le pregutó a los alumos que dcara el deporte que más practcaba, obteédose los resultados de la tabla adjuta: El semaro de Matemátcas sugró que se les pasara ua prueba de, 10 pregutas, para evaluar la capacdad de tucó espacal a los alumos de, 3º, de E.S.O. Los resultados vee dados e la tabla adjuta El Semaro de Legua propuso que se les pregutara a los alumos de, 4º, de E.S.O. cuátos lbros había leído durate el curso ateror, los datos obtedos fuero: S se observa co detalle, se comprueba que hay ua varacó grade e el úmero de lbros leídos: desde, 0, hasta, 19. S epoemos los datos e ua tabla como la ateror, o coseguremos que el lector lo terprete s realzar u esfuerzo. estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 57

2 E los prmeros ejemplos se ha presetado las respuestas e ua tabla s gua dfcultad. E el últmo se preseta el problema de que hay muchos valores dsttos. E estos casos, es coveete agrupar los datos e tervalos. Clasfcacó del semaro de Legua e tervalos dferetes. Las ormas para hacer esta clasfcacó o so estrctas: Prmero se calcula el úmero de tervalos e que se agrupa los datos medate la apromacó de la raíz cuadrada del úmero de datos estete = úmero de tervalos Los tervalos so geeralmete de la msma ampltud. La ampltud suele ser múltplo de los úmeros, 3, 5, 10, y, 0. S embargo la ampltud del tervalo puede hallarse apromado al prmer úmero etero mayor que el cocete de la epresó Má M El úmero de tervalos o ha de ser meor que, 5, mayor que, 15. Estos límtes se puede modfcar s gú tpo de problema. o debe haber muchos tervalos co pocos dvduos, co demasados. Se observa que s se da los datos segú la tabla 1, se forma, por ejemplo, de que hay, 4, dvduos que leyero etre, 9, y, 11 lbros, auales, pero se descooce el úmero de lbros que eactamete leyó cada uo de ellos. Es decr, al agrupar se perde formacó, auque se faclte la lectura de la tabla, su compresó. La mapulacó más cómoda de los datos, hace que dcha pérdda sea poco sgfcatva. Se defe los sguetes coceptos: Poblacó Es el cojuto de elemetos que cumple ua determada codcó y que so objeto del estudo estadístco. Ua msma poblacó puede ser sometda a dsttos estudos estadístcos. Muestra Cualquer subcojuto de la poblacó. Se la cosdera ua represetacó de la poblacó, por lo que se ha de cudar su eleccó. Es la parte de la poblacó que se estuda. El proceso medate el cual se etrae ua muestra represetatva de la poblacó, se deoma muestreo aleatoro, y e él cada dvduo de la poblacó tee la msma probabldad de ser cludo e dcha muestra. Se deoma tamaño de la muestra al úmero de elemetos que cotee. Idvduo Es cada uo de los elemetos de la poblacó ó de la muestra. estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 58

3 Varable estadístca ó carácter estadístco Es cualquer propedad o característca que permta realzar u estudo estadístco co el que se clasfca a los dvduos de la poblacó ó de la muestra. El carácter estadístco puede ser: Cualtatvo Aquel que o se puede medr. Los valores que toma esta varable o so úmeros, so cualdades. Cuattatvo Aquel que se puede medr. Su valor vee defdo por u úmero. Esta varable puede ser: Dscreta La propedad objeto de estudo sólo puede tomar u úmero fto de valores. E cada tervalo la varable estadístca ta solo puede tomar u úmero fto de valores. Cotua La propedad objeto de estudo puede tomar todos los valores posbles detro de u certo tervalo de la recta real. Depededo del úmero de varables que se estude se habla de: Dstrbucó udmesoal Ua varable estadístca udmesoal, X, es aquella que resulta de estudar ua característca de los dvduos de ua poblacó. La varable estadístca udmesoal, X, queda determada por los datos, 1,,...,. Dada ua varable estadístca se defe: Frecueca absoluta Sea valor de la varable estadístca. Se llama frecueca absoluta, f, del valor,, de la varable estadístca, al úmero de veces que se repte dcho valor e la muestra. La correspodeca que asoca a cada valor de la varable estadístca su frecueca absoluta se llama dstrbucó estadístca. Se llama frecueca absoluta acumulada, F, del valor,, de la varable estadístca, a la suma de las frecuecas absolutas de todos los valores aterores al valor,, más la frecueca absoluta del valor,, de la varable estadístca. F = f 1 +f +...+f = 1 f estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 59

4 Frecueca relatva Sea valor de la varable estadístca. = f 1 +f +...+f = 1 f úmero total de datos. Se llama frecueca relatva, h, del valor,, de la varable estadístca, al cocete etre el úmero de veces que se repte dcho valor y el úmero de datos. h = f es el cocete etre a frecueca absoluta, f, de u dato y el úmero total de datos,. Se llama frecueca relatva acumulada, H, del valor,, de la varable estadístca, al cocete etre la frecueca absoluta acumulada del valor,, y el úmero total de datos. H = F f1 f... f f1 f f... h 1 +h +...+h La frecueca relatva de u dato,, es la suma de todas las frecuecas relatvas de los datos meores o guales que él. Cuado se quera trabajar co porcetajes o hay más que multplcar por, 100, las frecuecas relatvas. El tratameto de u problema estadístco se resume e los sguetes pasos a segur: Recogda de los datos procedetes de ua muestra. Ordeacó de los datos. E orde crecete o decrecete. Recueto de frecuecas. Agrupacó de los datos. Los datos,, de ua varable estadístca udmesoal, X, se ordea e ua tabla de frecuecas. E ella se ordea los datos e la prmera columa y sus frecuecas e las sguetes columas. E caso de que la varable sea cotua o dscreta co u úmero de datos muy grade, es acosejable agrupar los datos e tervalos o clases. Se ha teer e cueta e este caso que: Los etremos feror y superor de cada clase ha de ser úmeros eteros. Las clases tega la msma ampltud. El puto medo de cada clase se deoma marca de clase. estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 530

5 Los tervalos se debe costrur de forma que el etremo superor de ua clase cocda co el etremo feror de la sguete. [, ) Elaboracó de la tabla estadístca E ella debe fgurar los valores de la varable estadístca, e el caso de los valores se ecuetre agrupados e clases debe fgurar los etremos feror y superor así como la marca de clase, y las frecuecas absolutas y relatvas, pudedo ser coveete clur e la tabla las frecuecas absolutas y relatvas acumuladas y los porcetajes. f F h H % [ ) M.C f F h H % Aú cuado las tablas estadístcas cotee toda la formacó, resulta coveete epresar la formacó medate u gráfco, pues da la formacó e forma de mage. Los prcpales tpos de gráfcos so: Dagrama cartesao o de putos Se dbuja el sstema de ejes cartesaos, O,X,Y. Se represeta sobre el eje, X, los valores,, de la varable estadístca, y sobre el eje, Y, los valores de ua de sus frecuecas, f, h, F, o, H. Dagrama de sectores Compara las dsttas modaldades de u carácter y cosste e u círculo dvddo e tatos sectores crculares como modaldades tee el carácter. El águlo cetral del sector crcular ha de ser proporcoal a la frecueca absoluta que le correspode. Es u tpo de represetacó muy utlzado e varables cualtatvas. Dagrama de barras. Polígoo de frecuecas Compara datos cualtatvos o cuattatvos dscretos. Se represeta sobre el eje de abscsas los datos y e esos putos se levata barras de altura proporcoal a las frecuecas absolutas. Alguas dstrbucoes suele clasfcarse e vrtud de la forma que adopta su represetacó por barras. So partcularmete teresates las dstrbucoes cuyo dagrama se asemeja a la campaa ormal, pues so umerosos los ejemplos e los que la mayoría de la poblacó toma valores cetrales, sedo pocos los valores etremos. De las sguetes varables estadístcas, escrbr los posbles valores y señalar las que adopta u estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 531

6 tpo smlar a los reseñados: úmero de suspesos. úmero de hjos por famla. Tamaño del pe de los estudates de la clase. Altura de las mujeres de 3º de E.S.O. Duracó de ua pla o batería. S se ue los etremos de las barras se obtee el polígoo de frecuecas. Suele utlzarse para represetar la evolucó de u feómeo a lo largo del tempo o de ua sere de etapas. També so muy cómodos para realzar comparacoes de dos poblacoes e u msmo gráfco. Hstograma. Polígoo de frecuecas Se utlza para dstrbucoes de varables estadístcas cotuas o para dstrbucoes de varables dscretas cuyos datos se ha agrupado e clases. Se represeta sobre el eje de abscsas los etremos de las clases. Se costruye uos rectágulos de base la ampltud del tervalo y de altura: S los tervalos tee la msma ampltud La frecueca absoluta. S los tervalos o tee la msma ampltud Se calcula de modo que el área del rectágulo resultate sea proporcoal a la frecueca de cada tervalo. El polígoo de frecuecas se obtee al ur los putos medos de los lados superores de cada rectágulo. Es la líea quebrada que ue los putos medos de los lados superores de los rectágulos e u hstograma. Pctogramas So dbujos alusvos a la dstrbucó que se pretede estudar y que medate su forma, tamaño,... ofrece ua descrpcó lo más epresva posble. Tee el coveete de su falta de precsó. Cartogramas Se llama así a los gráfcos que se realza sobre u mapa, señalado e determadas zoas, co dsttos colores o rayados, lo que se trata de poer de mafesto. Dagramas leales So utlzados para mostrar las fluctuacoes de uo o varos caracteres estadístcos co el paso del tempo. Lo que teresa e este tpo de dagramas es la altura de la líea referda a la base de dcho dagrama. Suele represetarse sobre la msma escala varos dagramas leales. Dagrama de tallos y hojas estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 53

7 Estos dagramas tee la vetaja de que permte coocer co detalle los valores regstrados y preseta, además, el aspecto de u dagrama de barras. A u testa se le mde la velocdad de los prmeros, 50, saques váldos e u partdo de competcó. Las velocdades se muestra e la tabla sguete e, Km/h. Ua prmera speccó vsual muestra que los datos varía etre ceto vete y ceto oveta apromadamete. Como es lógco, las velocdades meores correspode a u segudo servco. S mramos co más detalle observamos que el saque meos veloz fue de, 17 km/h, y el más rápdo de, 193 km/h. El dagrama de troco preseta los datos aterores de maera más clara y legble y se realza como se muestra a cotuacó: El doce de la columa troco señala los saques realzados a ua velocdad mayor o gual que, 10, y meor que, 130. Mrado la columa correspodete a hojas, vemos que sólo se sacó ua vez e esa bada y que la velocdad fue de, 17 km/h. La sguete fla dca que se realzaro tres saques co velocdades mayores o guales a, 130, y meores que, 140. E cocreto fuero u saque a, 136 km/h, y dos a, 138 km/h. La represetacó gráfca de ua varable estadístca permte formarse ua dea cualtatva del epermeto, s embargo resulta dfícl la comparacó co otras tablas. Por ello teresa defr co los datos de la tabla ua sere de parámetros estadístcos co los que poder teer ua mejor refereca. La fucó de dstrbucó de ua varable estadístca, al gual que su represetacó gráfca, permte formar ua dea cualtatva del epermeto aleatoro. S embargo, resulta dfícl la comparacó co otras tablas. Iteresa por ello susttur la fucó de dstrbucó por uos úmeros que caracterce cuattatvamete a esa fucó de dstrbucó y que se deoma parámetros estadístcos. La tedeca de los datos a agruparse e toro a u valor cetral se mde por medo de los valores cetralzados: Meda artmétca Sea: X ua varable estadístca udmesoal que toma los valores, 1,,...,, co frecuecas absolutas, f 1, f,..., f La meda artmétca,, de dcha varable estadístca udmesoal es el cocete etre la suma de todos los valores de dcha varable multplcados por su frecueca absoluta y el úmero total de datos. = 1. f.. 1. f.... f f f f f... f f 1 S la varable estadístca es cotua o dscreta pero agrupada e clases, se toma como valores,, estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 533

8 las marcas de clase. La meda tee las sguetes característcas: Es fácl de hallar A partr de ella y coocdo el tamaño de la poblacó se obtee el total. Cualquer varacó e u dato fluye e la meda, es decr, la meda depede de todas las observacoes y utlza toda la formacó recogda. Lo ateror suele ser ua vetaja, auque alguas veces se preseta el coveete de que u valor raro, muy grade o pequeño, fluye mucho e ella y desvrtúa el comportameto geeral. Cuado los valores de ua dstrbucó está cocetrados e los etremos, la meda o da, por sí sola, ua mage real del comportameto de la poblacó. Moda Dos poblacoes co gual meda o tee por que teer u comportameto smlar. La meda o tee por que ser u valor observable. La moda, M o, de ua varable estadístca udmesoal, X, es el valor de la varable estadístca que tee mayor frecueca absoluta. La moda o tee porque ser úca. La dstrbucó es bmodal, trmodal, etc. Segú que sea dos, tres, etc, los valores co la frecueca absoluta máma. S los datos se ecuetra agrupados e clases se toma como valor apromado de la moda la marca de clase que preseta mayor frecueca absoluta. Esta clase recbe el ombre de clase modal o tervalo modal. Gráfcamete se obtee represetado el hstograma de frecuecas absolutas y uedo co líeas de putos los etremos de la clase modal co las cotguas. La moda es la abscsa del puto de corte de dchas líeas. S la varable estadístca udmesoal, X, es cotua se habla de tervalo modal. Medaa La medaa, M e, de ua varable estadístca udmesoal, X, es el valor que ocupa la poscó cetral de los datos. Es u valor de la msma tal que el úmero de observacoes meores que él es gual al úmero de observacoes mayores que él. La medaa es el valor que dvde a la poblacó e dos mtades guales. S la varable estadístca es dscreta se ordea los úmeros de meor a mayor: S el úmero de datos es mpar, la medaa es el valor cetral Matemátcamete es el dato que ocupa la poscó que vee dada por el valor de 1 estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 534

9 co este valor se busca el dato e la tabla la frecueca absoluta acumulada. S el úmero de datos es par, la medaa es la semsuma de los valores cetrales Matemátcamete prmero se obtee los datos cuya poscó vee dada por el valor de +1 Se localza e la tabla los valores de la varable estadístca,, y, j, que se correspode co las frecuecas absolutas acumuladas aterores, y se calcula la meda artmétca de estos valores. S los datos se ecuetra agrupados e clases el tervalo o clase medaa es el prmero cuya frecueca absoluta acumulada es mayor que la mtad del úmero de datos. Gráfcamete la medaa se puede obteer a partr del hstograma de frecuecas acumuladas. Se localza los tervalos cuya frecueca acumulada es más próma a 15 y se establece la sguete proporcó: Debajo de 175 hay 9 dvduos Debajo de la Me hay 15 dvduos Debajo de 180 hay 18 dvduos Me S la varable estadístca udmesoal, X, es cotua se habla de tervalo medao. La medaa tee las sguetes característcas: o es ecesaro para su cálculo coocer el valor de todas las observacoes. o se utlza toda la formacó recogda. o se calcula medate ua epresó matemátca. Coocedo las medaas de dos grupos o se puede determar la cojuta. Es depedete de los valores raros o etremos. Cuartles Se deoma prmer cuartl, C 1, al valor que deja por debajo al, 5%, de la poblacó. Al úmero que deja por ecma el, 5%, de la msma, le llamaremos tercer cuartl y lo escrbremos como, C 3. El cálculo gráfco de los cuartles se realza gual que el de la medaa co sólo cambar el porcetaje de refereca. Se llama rago tercuartílco a la dfereca, C 3 - C 1. Percetles E alguas ocasoes el rago de valores que toma ua varable es muy amplo y el hecho de que u valor se aleje de la medaa o supoe gua aormaldad. Otro tpo de meddas, como so estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 535

10 los percetles, está más dcados para comparar el comportameto de u dvduo frete al del colectvo. Es ecesaro coocer e que medda los datos está agrupados alrededor de los valores cetrales. Este proceso recbe el ombre de dspersó y los parámetros que mde esta desvacó respecto de la meda se deoma parámetros de dspersó. Recorrdo o rago Se llama rago o recorrdo de ua dstrbucó a la dfereca etre el mayor y el meor valor que toma la varable estadístca. R= Má - Mí Desvacó respecto a la meda So las dferecas etre cada valor de la varable estadístca y la meda. - Desvacó meda Es la meda artmétca de los valores absolutos de la desvacó de cada dato respecto a la meda DM 1 f. Varaza Sea, X, ua varable estadístca udmesoal que toma los valores 1,,..., co frecuecas absolutas f 1, f,..., f Se llama varaza,, de ua varable estadístca a la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes respecto a la meda.... f. f. f f f f f f f 1 Desvacó típca f... f.. f. f f. f f f f f f estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 536

11 Se llama desvacó típca,, de ua varable estadístca a la raíz cuadrada postva de su varaza. f.. f 1 1 h. 1 Cuato meores sea las meddas de dspersó más cetrados está los datos alrededor de la meda. Para dstrbucoes co ua sola moda y bastate smétrcas se verfca segú el teorema de Chevchev que e el tervalo: ( -, +) está el 68% de los datos ( -, +) está el 95% de los datos ( -3, +3) está el 99% de los datos Coefcete de varacó Es el cocete de la desvacó típca y la meda. CV= f F h H % f ( - ) ( - ) ( - ) f f = F = h = 1 f ( -) f Dstrbucó bdmesoal So aquellas varables estadístcas que se obtee al observar smultáeamete dos aspectos de u msmo feómeo. Está frmada por dos varables estadístcas udmesoales, X, e Y. Se represeta por el par (X,Y) Las varables estadístcas bdmesoales, (X,Y), queda determada por los valores ( 1,y 1 ), (,y ),..., (,y ) sedo X Y varable estadístca udmesoal que toma los valores, 1,,..., varable estadístca udmesoal que toma los valores, y 1, y,...,y Los datos de las varables estadístcas bdmesoales, (X,Y), se ordea e ua tabla de doble etrada, ua para los datos de cada varable e la que se coloca las frecuecas absolutas de cada par de datos e las casllas cetrales. S se represeta e u sstema de ejes cartesaos los pares de valores de la varable bdmesoal, (X,Y), como s fuera las estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 537

12 coordeadas de u puto, se obtee u cojuto de putos deomado dagrama de dspersó o ube de putos. Se dce que los putos y por lo tato los valores de las varables estadístcas tee ua: Depedeca leal S los putos de la ube sgue ua cofguracó rectlíea. La depedeca se dce leal eacta s los valores de las varables se ajusta completamete a ua recta. La depedeca es leal fuerte s los valores se ajusta a ua recta, pero ecotrádose muy prómos a ella, formado ua ube de putos estrecha. La depedeca es leal débl s los putos de la ube se ecuetra alejados de la recta que se puede trazar etre ellos. La depedeca leal puede ser postva ó egatva segú lo sea la pedete de la recta que se aproma a los valores de las varables. Depedeca fucoal S los putos de la ube está stuados segú la gráfca de ua fucó, esta fucó relacoa ambas varables y se dce que hay ua depedeca fucoal etre ambas. Depedeca aleatora S los putos de la ube se separa de la gráfca de ua fucó etoces o este ua fucó que relacoe ambas varables. Los datos se ordea e tablas bdmesoales de frecuecas, la cual puede ser: Smple Los valores de la varable bdmesoal, (X,Y), o aparece repetdos, y e cosecueca la frecueca absoluta para cada par, (,y) es la udad. X X 1... Y y 1 y... y f Tabla de doble etrada Se utlza cuado se trata de muchos datos o be los valores se ecuetra agrupados e clases. Los valores de la varable bdmesoal aparece repetdos por lo que la frecueca absoluta del par, (,y ) o sempre es la udad. La tabla adjuta muestra los resultados obtedos al estudar el úmero de autobuses, X, y el tempo de desplazameto, Y, de u grupo de usuaros. Hallar: Cuátos usuaros utlza, 3, autobuses al día?. Cuátos usuaros emplea, 40, mutos e llegar a su desto?. Cuátos usuaros utlza u autobús y tarda, 30, mutos Y X 1 3 Total estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 538 Total

13 e llegar?. Hay, 15, usuaros que utlza, 3, autobuses al día. 18, usuaros emplea, 40, mutos e llegar a su desto. Hay, 14, usuaros que utlza u autobús y tarda, 30, mutos e llegar. Las tablas de frecuecas margales se obtee al estudar por separado cada ua de las varables udmesoales que forma la varables dmesoal. Las frecuecas margales de ua varable estadístca bdmesoal so las frecuecas de las varables udmesoales correspodetes. Hallar las tablas de frecuecas margales de la tabla adjuta. X Frecuecas Y Frecuecas Total Total 90 Y X 1 3 Total Total A partr de la tabla margales se puede obteer la meda, varaza y desvacó típca de cada ua de las varables estadístcas udmesoales, X, e, Y, que coforma a la varable estadístca bdmesoal, (X,Y) medate las epresoes 1. f f. f. f. f y 1 y. f ' '. '. f y y f y 1 1 y y ' f. '. y y f y 1 1 y y La ube de putos da ua dea del grado de relacó o depedeca etre las varables, X, e, Y, que forma la varable bdmesoal, (X,Y). La depedeca aleatora etre ambas varables es más fuerte cuato más estrecha es la ube de putos. La forma precsa de cuatfcar esta depedeca es medate el coefcete de correlacó leal de Pearso, para ello se defe: Covaraza La covaraza, y, de ua varable bdmesoal, (X,Y), es la meda artmétca de los productos de las desvacoes de cada ua de las varables respecto a sus medas. estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 539

14 f ( ).( y y) f. y y y y y f f f y f y y y f y f y y. y. y y 1 1 Para calcular este parámetro estadístco se costruye ua tabla de la forma y f f f y f y f y f 1 y 1 f 1 1 f 1 1 f 1 y f y 1 f 1 1 y 1 f 1... y f f f y f y f y f =f f f y f y f y f La covaraza puede ser postva, egatva o ula. A partr de estas tablas margales se obtee la meda de cada varable estadístca Y Frecuecas Total X Frecuecas Total ' y 4'5 90. y. f '6.4'5 1' y y Se llama correlacó a la teoría que trata de estudar la relacó o depedeca estete etre las dos varables estadístcas, X, e, Y, de la varable bdmesoal. S se represeta el dagrama de dspersó de ua varable bdmesoal se observa que los putos del msmo se codesa e toro a ua líea, llamada líea de regresó. La correlacó puede ser: Leal ó curvlíea Segú que el dagrama de putos se codese e toro a ua líea recta o a ua líea curva. Postva ó drecta estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 540

15 Cuado a medda que crece ua varable estadístca la otra també crece. egatva ó versa Cuado a medda que crece ua varable estadístca la otra decrece. ula Cuado o este gua relacó etre ambas varables estadístcas. Los putos del dagrama está esparcdos al azar, s formar gua líea. Se dce que las varables está correladas. Fucoal Este ua fucó que satsface todos los valores de la dstrbucó. El procedmeto más frecuete para asgar valores a las dsttas correlacoes es a partr del coefcete de correlacó leal de Pearso, que se defe como la meda geométrca de los coefcetes de regresó leal r. y y y. y. y El valor de este coefcete está compreddo e el tervalo, [-1,1]. El sgo vee dado por el sgo de la covaraza, dado que las desvacoes típcas so sempre postvas. Se deduce etoces que: Covaraza postva correlacó postva Covaraza egatva correlacó egatva Covaraza ula o este correlacó Depededo del valor del coefcete de correlacó se tee los dsttos tpos de depedeca etre las varables estadístcas, X, e, Y r= -1 Correlacó egatva y perfecta. Los putos de la ube está aleados. Todos los valores de la varable bdmesoal, (X,Y), se ecuetra stuados sobre ua recta de pedete egatva. Se dce que etre las varables, X, e, Y, este ua depedeca fucoal. Las rectas de regresó, y sobre, y, sobre y, so cocdetes. -1<r<0 Correlacó egatva tato más fuerte cuato más se aprome el valor de este coefcete a, -1. A meda que este valor se aproma a, 0, aumeta la depedeca aleatora etre las varables, X, e, Y. Las rectas de regresó, sobre y, e, y sobre, forma u águlo estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 541

16 tato meor a medda que el coefcete, r, se acerca a, -1. r= 0 o este relacó fucoal algua etre las varables estadístcas, X, e, Y. Se dce que dchas varables so aleatoramete depedetes. Las rectas de regresó, sobre y, e, y sobre, so perpedculares. 0<r<1 Correlacó postva tato más fuerte cuato más se aprome el valor de este coefcete a, 1. A meda que este valor se aproma a, 0, aumeta la depedeca aleatora etre las varables, X, e, Y. Las rectas de regresó, sobre y, e, y sobre, forma u águlo tato meor a medda que el coefcete, r, se acerca a, 1. r= 1 Correlacó postva y perfecta. Los putos de la ube está aleados. Todos los valores de la varable bdmesoal, (X,Y), se ecuetra stuados sobre ua recta de pedete postva. Se dce que etre las varables, X, e, Y, este ua depedeca fucoal. Las rectas de regresó, y sobre, y, sobre y, so cocdetes. De todas las rectas posbles que se puede ajustar a la ube de putos de la dspersó se elge aquella que hace míma la suma de las dstacas etre las ordeadas de cada puto y dcha recta, deomádose a ésta recta de regresó Y sobre X. Otra forma de descrbr esta recta es que hace que la suma de las desvacoes de los putos de la ube respecto de los correspodetes de la líea sea lo meor posble. De esta forma se dce que es la líea que meos se separa de la ube de putos. La recta de regresó srve para realzar estmacoes sobre ua varable coocdos los valores de la otra. La líea de regresó puede ser: Recta af, y= a+b La regresó se llama leal s la líea que mejor se adapta a la ube de dspersó es ua líea recta de ecuacó y= a+b Se debe calcular los parámetros, a, y, b, que defe dcha recta, y sobre. Esta ecuacó os proporcoa apromadamete los valores de la varable, y, coocdos los valores de la varable,. A cada valor,, le correspode u valor: y y * observado, que e geeral o estará sobre la recta de regresó. perteecete a la recta de regresó verfcádose para ellos ua de las sguetes epresoes: d = y - y *> 0 estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 54

17 S el puto de la ube de dspersó se ecuetra por ecma de la recta de regresó. d = y - y *< 0 S el puto de la ube de dspersó se ecuetra por debajo de la recta de regresó. d = y - y *= 0 S el puto de la ube de dspersó se ecuetra sobre la recta de regresó. Para la determacó de los parámetros, a, y, b, se utlza el método de mímos cuadrados, que cosste e cosderar que la recta que mejor se aproma a la ube de putos es aquella que hace míma la suma de los cuadrados de las dferecas etre los valores observados u los valores estmados y y mímo 1 * E= teedo e cueta las epresoes de y - y *= P Q y *= a +b y susttuyédola e la epresó ateror * y y ( y a. b) 1 1 E= esta epresó que ha de ser míma es ua fucó de dos cógtas, a, y, b, por lo que sus dervadas respecto de dchas cógtas ha de ser ula para que se verfque la codcó de mímo. E. ( y a. b). 0 a 1 de dode se deduce (y - a - b). = (.y - a - b. )= 0 por lo que.y = a + b aálogamete ocurre para la dervada co respecto a la cógta, b E. ( y a. b) 0 b 1 de dode se deduce (y - a - b)= 0 estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 543

18 por lo que y = a + b = a +.b resolvedo el sstema que forma estas dos ecuacoes se obtee los valores de los parámetros, a, y, b, de la recta de regresó, y sobre..y = a + b y = a +.b dvdedo por,, la seguda ecuacó y a.. b a.. b teedo e cueta la defcó de meda para estas varables estadístcas se escrbe y a. b la recta de regresó pasa por el puto, (, y ), ya que éste verfca la ecuacó de dcha recta. Se puede etoces despejar el valor del parámetro, b. b y a. susttuyedo el valor de, b, e la prmera ecuacó del sstema resulta.y = a + b = a + ( y. a ) = a + y - a. dvdedo por,, los dos membros de esta epresó 1 y a y a a y a a y a a y a reagrupado térmos y teedo e cueta la epresó de la varaza y de la covaraza se escrbe y 1 1 y a es decr, y = a. epresó de la que se obtee el valor del parámetro, a a y la ecuacó de la recta de regresó, y sobre, e la forma puto pedete vee dada por estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 544

19 y y a.( ) ( ) y Aálogamete se haría para la recta de regresó X sobre Y, que ajusta a la ube de putos de la dspersó de forma que hace míma la suma de las dstacas etre las abscsas de cada puto y dcha recta. Esta recta permte hallar los valores de la varable,, coocdos los valores de la varable, y. a.( y y) ( y y) y y Ambas rectas de regresó, X sobre Y, e, Y sobre X, so sempre secates y se corta e el puto, (, y ). Depededo del valor del coefcete de correlacó, r, se verfca: r= 1, ó, r= -1 La depedeca etre las varables, X, e, Y, es leal eacta. Las dos rectas so cocdetes. -1<r<0 ó, 0<r<1 A medda que este valor se aprome a, 0, meor es la depedeca etre las varables y mayor será el águlo que forma ambas rectas. r= 0 La depedeca etre las varables es ula ó muy débl. Las dos rectas forma u águlo de, 90º. Parábola, y= a +b+c Cúbca, y= a 3 +b +c+d Epoecal, y= c Hperbólca, y= 1 a. b Se quere determar s este algú tpo de relacó etre la altura de u grupo de persoas, su peso y el úmero de lbros que lee aualmete. Para ello se hzo ua ecuesta que reflejó los sguetes datos: Altura( cm) Peso( kg) Lbros Este algua relacó etre la altura ó el peso de estos dvduos?. Este algua relacó etre la altura y el úmero de lbros que lee aualmete?. estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 545

20 las desvacoes típcas de cada ua de las varables estetes es X, altura = = 8 05 Y, peso y = 66 9 y = 6 67 Z, altura z = 10 8 z = 3 31 se halla las covarazas y z. y. f 1 y. z. f 1 z. 48'16. 11'4 coefcete de correlacó r y y 0'897. y por ser prómo a, 1, este ua depedeca leal fuerte etre las varables, X, e, Y. Por ser postvo a medda que aumeta la altura de ua persoa de este grupo aumeta su peso. r z z 0'48. z por ser u valor alejado de, 1, este ua depedeca leal débl etre las varables, X, y, Z. La altura y el úmero de lbros que lee ua persoa tee poca relacó. o se puede etraer gua coclusó. E ua fábrca se mdó la cocetracó e, g/l, de uo de los compoetes de ua ptura y el tempo que tarda e secar. Los datos obtedos fuero cocetracó( g / l) tempo(m) Hallar la recta de regresó y dbujarla co el dagrama de dspersó. Hacer ua estmacó del tempo que tardaría e secar la ptura se la cocetracó del compoete es de, 16 g/l. S tardó e secar, 0 m, cuál es la cocetracó del compoete?. estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 546

21 se costruye ua tabla de frecuecas co las columas ecesaras para hallar las meddas estadístcas. Total: y y. y se halla para cada varable la meda, y para la varable, X, la varaza y la covaraza = 65 4 = 16 5 y = 70 4 = 15 5 = = 9 19 y = = la recta de regresó de, Y sobre X, vee dada por y-17 5= 10'63.(-16 5) y= '19 el tempo que tardaría e secar s la cocetracó del compoete es, 16 g/l, se deduce de la recta ateror hacedo, = 16 y= = mutos es lo que tardaría e secar la ptura. se determa la recta de regresó, X sobre Y, resultado ser = 8 5y la cocetracó del compoete que debería teer la ptura para que tardase e secar, 0 m, se deduce de la recta ateror hacedo, y= 0 = = g/l E ua fábrca se comprueba la ressteca de, 50, alfleres. Para ello a cada alfler se le aplca ua fuerza sobre ses putos dferetes y se verfca s rompe ó o. La tabla adjuta muestra el úmero de roturas sufrdas por cada alfler. Hallar sus meddas estadístcas. Iterpretar los resultados. º de roturas Frecuecas Co ayuda de la calculadora se obtee estos parámetros: estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 547

22 = 0 7 = 50 = 175 = 353 = 0 96 Me= 0 dado que, 50 = 15 Mo= 0 CV= = 1 37 comparado la meda,, co la medaa, Me, y co la moda, Mo, el valor, 0 7, de la prmera dca que el úmero medo de roturas es cas, 1. S embargo la mayoría de alfleres o sufrero roturas, Mo= 0, y lo msmo dca la medaa, Me= 0, es decr, más de la mtad de los alfleres o sufrero gua rotura durate su estudo. el valor del coefcete de varacó, CV= 1 37, es relatvamete grade, lo que dca que los datos o está demasado cocetrados. el valor de la desvacó típca se compara co la meda. Dado que su valor es mayor que el de la meda eplca porque metras la medaa y la moda dca que el mayor úmero de alfleres o tuvero rotura, la meda de roturas fue de cas, 1. El alto valor de la desvacó típca dca que la meda o es represetatva. U equpo de balocesto ecesta u alero. Seleccoaro dos jugadores que e los últmos cco partdos aotaro los sguetes putos. Cuál se elegrá?. Jugador A Jugador B la meda y la desvacó típca de cada jugador es: A = 14 B = 14 A = 1 09 B = 7 56 dado que las medas so guales, s el etreador quere u jugador regular elegrá al jugador, A, dado que tee ua desvacó típca pequeña. o obstate s quere u jugador que puede actuar de revulsvo elegrá el jugador, B, ya que altera partdos muy bueos co otros peores, formacó que proporcoa el valor de su desvacó típca elevada. Ua prueba a la que se presetaro, 0, persoas costa de ua prueba de telgeca y otra de coocmeto. Las putuacoes obtedas por cada persoa fuero respectvamete las dadas por las tablas: Prueba de telgeca Prueba de coocmeto estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 548

23 Agrupar las putuacoes de la prueba de telgeca e tervalos de, 10, putos y las putuacoes de la prueba de coocmeto e tervalos de,, putos. Costrur la tabla de frecuecas para los datos agrupados. para la prmera varable los datos se agrupa e tres tervalos, co marcas de clase: [90,100) [100,110) [110,10) para la seguda varable los datos se agrupa e tres tervalos, co marcas de clase: [0,) [,4) [4,6) la tabla de frecuecas para los datos agrupados: Putuacó prueba de telgeca Putuacó prueba de coocmeto Frecueca absoluta Ua ageca de vajes preparó ua ecuesta para pregutar sobre el úmero de vajes realzados durate el últmo año tato de trabajo como e período vacacoal depededo de la edad. Se pregutó a u grupo de persoas y los resultados fuero: (3,), (34,1), (1,), (9,5), (,4), (7,0) (6,4), (38,5), (47,3), (49,3), (4,4), (35,5) (38,7), (36,5), (48,8), (39,), (44,5), (37,7) (1,), (4,5), (6,), (7,0), (4,7), (43,8) (36,5), (37,5), (37,3), (53,5), (5,6), (64,7) Agrupar los resultados e tervalos y costrur ua tabla de doble etrada. Hallar: Cuatas persoas meores de, 35, años fuero ecuestadas. Y mayores de, 50 años?. Cuátas persoas vajaro de, 3, a, 5, veces. se agrupa los datos e tervalos para cada ua de las varables: 64-1= 44, 3, tervalos de logtud, = 8, 3, tervalos de logtud, 3 [0,35) [35,50) [50,65) [0,3) [3,6) [6,9) Y X [0,35) [35,50) [50, 65) Total [0,3) [3,6) [6,9) Total Meores de, 35, años: 10 persoas Mayores de, 50, años: 3 persoas Las persoas que vajaro de, 3, a, 5, veces al año fuero, 15 La sguete tabla muestra los datos obtedos sobre los gresos mesuales e euros de, 5, famlas y la superfce de la vveda que habta e metros cuadrados. Estudar la correlacó estete etre ambas varables. estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 549

24 Y X [1000, 000) [000,3000) [3000, 4000) Total [40, 70) [70,100) [100,130) [130,160) Total se costruye las tablas de frecuecas margales: Igresos( X ) [1000, 000) [000, 3000) [3000, 4000) Frecuecuas Superfce( Y ) [40, 70) [70,100) [100,130) [130,160) y Frecuecas las medas y desvacoes típcas de cada ua de las varables es: X = 500 Y = 109 m X = Y = 9 39 la covaraza y 3 4. y. f j 1 j1 y el coefcete de correlacó XY r 0'71. X Y dado que está prómo a, 1, se puede afrmar que hay certa relacó etre los gresos mesuales de ua famla y la superfce de su vveda. Se realzó u estudo estadístco de u grupo de, 100, alumos. Co los datos recogdos se obtuvo la estatura meda del grupo que es de, 155 cm, co ua desvacó típca de, 15 5 cm. Además la recta de regresó que relacoa el peso de los alumos, X, co su altura, Y, es, y= Hallar: El peso medo del grupo de alumos. estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 550

25 El sgo de la covaraza. Se puede afrmar que cuato mayor sea el peso meyor es la altura del alumo?. de la recta de regresó se despeja la varable, = y 80 1'5 como, y = 155, se deduce, = '5 = 50 kg, peso medo de los alumos del grupo. la pedete de la recta ateror es postva, luego este es el sgo de la covaraza, XY. el sgo del coefcete de correlacó XY r. X Y es postvo por serlo la covaraza y las desvacoes típcas de ambas varables. De ello se deduce que hay ua depedeca postva etre la varable, X, y la varable, Y. Es decr, a medda que el peso del alumo crece també crece su estatura. La sguete tabla recoge las otas de matemátcas, X, y las otas medas de todas las materas, Y, de, 10, alumos. X Y S u alumo obtee u, 7, e matemátcas qué ota meda obtedría?. S u alumo obtee u, 3, de ota meda qué ota de matemátcas obtedría?. So fables estas estmacoes? las meddas estadístcas ecesaras para determar las rectas de regresó so: = 5 4 y = 6 1 X = 1 69 Y = 1 37 XY = 6 las pedetes de las rectas de regresó so: '6 = 0 8 y '6 1'37 = 1 y 1'69 y recta de regresó, Y, sobre, X: recta de regresó, X, sobre, Y: y- y = y.(- ), y-6 1= 0 8.(-5 4) - = y y.(y- y ), -5 4= 1.(y-6 1) las estmacoes se obtee a partr de las recta de regresó correspodete: y= = 7 38 = = 5 5 estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 551

26 ua vez determado el coefcete de correlacó, r= 0 98, se deduce que ambas estmacoes so bueas por estar este valor prómo a, 1. La depedeca leal etre ambas varables es fuerte. estadístca Departameto Matemátcas - CPR Jorge Jua Xuva 55