ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN

Transcripción

1 ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN es u Profesor Uverstaro Veezolao e el área de Probabldad y Estadístca, co más de 40 años de expereca e las más recoocdas uversdades del área metropoltaa de Caracas. Uversdad Católca Adrés Bello : Profesor Ttular Jublado 970 a 003 Uversdad Cetral de Veezuela: Profesor por Cocurso de Oposcó desde 993 al presete Uversdad Smó Bolívar: Profesor desde 005 al presete Uversdad Metropoltaa: Profesor desde 973 a 987 Uversdad Nacoal Aberta: Revsor de cotedos, desde 979 hasta 004 Sus datos persoales so : Lugar y Fecha de Nacmeto: Caracas, Correo electróco: agelf.arvelo@gmal.com Teléfoo: Estudos realzados: Igeero Idustral. UCAB Caracas 968 Máster e Estadístca Matemátca CIENES, Uversdad de Chle 97 Cursos de Especalzacó e Estadístca No Paramétrca Uversdad de Mchga 98 Doctorado e Gestó Tecológca: Uversdad Poltécca de Madrd 006 al Presete El Profesor Arvelo fue Drector de la Escuela de Igeería Idustral de la Uversdad Católca Adrés Bello ( ), Coordador de los Laboratoros de esa msma Uversdad especalzados e esayos de Caldad, Audtor de Caldad, y autor del lbro Capacdad de Procesos Idustrales UCAB 998. E umerosas oportudades, el Profesor Arvelo ha dctado cursos empresarales e el área de Estadístca Geeral y Cotrol Estadístco de Procesos. Ua mayor formacó puede ser obteda e la sguete pága web:

2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Cuado se tee u cojuto de datos cuattatvos que represeta a ua poblacó o a ua muestra, se hace ecesaro obteer a partr de ellos certos valores que descrba su comportameto, y que permta comparar a esta poblacó o muestra co otra, co el objeto de llegar a coclusoes acerca de como es el comportameto de ua co relacó al de la otra. Estos valores cuado se calcula sobre toda la poblacó se deoma Parámetros Poblacoales ; metras que cuado se calcula sobre ua muestra se deoma Estadgrafos o Estadístcos muestrales. La Estadístca Descrptva s embargo, o hace dstcó etre poblacó y muestra, pues su objetvo es smplemete descrbr el comportameto de los datos, y por ese motvo, a estos valores los llama Meddas. Segú sea el aspecto de los datos que se quera aalzar, exste dsttos tpos de Meddas, y e este capítulo se aalzará el prmer grupo de ellas coocdas bajo el ombre de Meddas de Tedeca Cetral. A las meddas de tedeca cetral, també se les suele llamar promedos, so sempre u valor umérco compreddo etre los dos valores extremos, es decr etre el mímo y el máxmo valor de los datos, y se utlza como valor represetatvo de ellos. A cotuacó se estudara las prcpales meddas de tedeca cetral co sus propedades, y mas adelate, se aalzara las vetajas y desvetajas del uso de cada uo de ellos como promedos. V.. La meda artmétca smple. Dado u cojuto de datos cuattatvos s agrupar, x, x,x 3,..., x, se defe como meda artmétca smple X, a su suma dvdda etre el úmero de datos, es decr ; X x x x x La meda artmétca smple es la más coocda y utlzada de las meddas de tedeca cetral, y també se le cooce bajo otros ombres, tales como promedo smple, meda, etc. ; cuado los datos costtuye toda la poblacó, se le llama meda poblacoal y se suele desgar co la letra grega, metras que cuado los datos correspode a ua muestra, se le llama meda muestral. Ejemplo 5. : U alumo obtuvo e los cuatro exámees parcales de ua asgatura, las sguetes calfcacoes : 4, 08, y 8. Calcular la meda artmétca smple de sus calfcacoes. Solucó : X

3 3 Propedades de la meda artmétca smple: Propedad N : S cada uo de los datos es susttudo por la meda artmétca, la suma o se altera, es decr : x + x +x x = X+X+X+... +X = X. Demostracó : Por defcó : X x x x Por lo tato : x + x +x x = X = X+ X+ X X. Esta propedad sgfca que la meda artmétca represeta a los datos e su suma, pues s se susttuye cada uo de los datos por la meda artmétca, la suma o se altera; así por ejemplo, aplcada al caso del Ejemplo 5., sgfca que s el alumo e lugar de haber obtedo las calfcacoes 4, 08, y 8, hubese obtedo ua calfcacó costate de 3 putos e cada uo de los cuatro exámees parcales, al fal del curso, habría acumulado la msma catdad de putos ; o dcho e otras palabras, 3 putos represeta a las calfcacoes obtedas por este alumo, pues para él es dferete obteer 3 putos e cada uo de los exámees, que obteer 4, 08, y 8. Propedad N : El valor de la meda artmétca está sempre compreddo etre el mímo y el máxmo valor de los datos. Demostracó : Supogamos que los datos está ordeados de meor a mayor..., y que por lo tato : x x x 3 x. Por la propedad ateror se tee : X = x + x +x x S e la suma, cada dato es susttudo por el meor valor x, la suma se hace más pequeña, y por tato : X x + x +x x = x X x Aálogamete, s e la suma cada dato es susttudo por el mayor valor x, la suma se hace más grade, y por tato : X x + x +x x = x X x y por lo tato se cocluye e que : x X x Esta propedad de ecotrarse sempre etre el mímo y el máxmo valor de los datos, la tee todas las meddas de tedeca cetral, y por lo tato resulta mposble que al calcular ua meda artmétca, o cualquer otra medda de tedeca cetral, el resultado del cálculo se salga del tervalo de varacó de los datos. Nótese que e el Ejemplo 5., X = 3, que es u valor compreddo etre los dos valores extremos de los datos que so 08 y 8. Esta propedad o garatza s embargo,que el valor de X sea gual a uo de los valores del cojuto de datos, y por ello, es perfectamete posble obteer como valor de X ua cfra o perteecete al cojuto de datos. Así, e el Ejemplo 5., el valor X = 3, o perteece al cojuto de datos que es { 08,, 4, 8 }. Por esta razó, es u error redodear el valor de X a u etero, aú e el caso e que se esté trabajado co datos eteros ; y así por ejemplo s se tee u

4 4 cojuto de datos como {, 5, 6 }, X o tee porque ser redodeado , y este valor Propedad N 3: La suma de las desvacoes de los datos respecto de la meda artmétca sempre se aula. Se defe como desvacó de u dato x respecto de u valor A a la dfereca x - A. Cuado esta dfereca resulta postva, sgfca que el dato es mayor que el valor A ; metras que cuado da egatva, sgfca que el dato x es meor que el valor A. Segú esta propedad cuado A = X, esta suma de desvacoes se aula. Demostracó : Desgado por d a la desvacó de cada dato x respecto de la meda artmétca X, se tee : d = x - X, d = x - X,..., d = x - X. d = (x - X ) + (x - X ) (x - X ) = (x + x x ) - X = 0, por la propedad N. Esta propedad sgfca que la meda artmétca X, se coloca e u puto tal que las suma de las dstacas de los datos que está a su zquerda, es sempre gual a la suma de las dstacas de los datos que está a su derecha. E los datos del Ejemplo 5., { 08,, 4, 8 } dode X = 3 ; los datos a su zquerda 08 y está desvados de ella e -5 y - respectvamete ; metras que los datos a la derecha 4 y 8 está desvados e + y +5 respectvamete. La suma de desvacoes obvamete se compesa pues : = 0. La propedad garatza que la suma de desvacoes da cero, pero o que cada desvacó egatva tedrá otra postva gual e valor absoluto, como e este ejemplo. Cuado se da la crcustaca de este ejemplo, se dce que los datos so smétrcos respecto de la meda artmétca. Ejemplo 5. Dado el cojuto de datos {, 0,, 5, 30 }. Verfcar que la suma de desvacoes respecto de la meda artmétca se aula, y aalzar s la muestra es o o, smétrca respecto de ella Solucó : X =.60 5 Las desvacoes respecto de X so : -9.60, -.60, , 3.40 y La suma de las desvacoes resulta ser cero, tal como garatza la propedad, pero o exste smetría respecto de ella, pues las desvacoes a la zquerda o so guales e valor absoluto a las desvacoes a la derecha. Propedad N 4: La suma de los cuadrados de las desvacoes de los datos es míma, cuado estas desvacoes se calcula respecto de la meda artmétca. Demostracó : Supogamos que se calcula la desvacó de cada dato respecto de u valor cualquera A, y que se efectúa la suma de sus cuadrados. Se tee etoces: ( x A) ; y se pretede demostrar que esta suma es míma, cuado A= X.

5 5 E efecto, sumado y restado X detro de la sumatora, se llega a : [( x X) ( X A)] = [( x X) ( X A) ( x X)( X A)] = ( x X) + ( X A) + ( X A) ( x X) Pero ( x X) = 0, por la propedad N 3, y por tato se cocluye que: ( x A) = ( x X) + ( X A) e dode resulta obvo, que cuado A= X, la suma de los cuadrados de las desvacoes se hace míma, pues el térmo ( X A) se aula. Propedad N 5 : Cuado u cojuto de datos { x, x, x 3,..., x } es sometdo a ua trasformacó leal : Y = a + b X, etoces la meda artmétca queda afectada por esa msma trasformacó leal, es decr : Y= a + bx. Demostracó: Supogamos que por efecto de la trasformacó leal : Y = a+bx, el cojuto de datos { x, x, x 3,..., x } se trasforma e { y, y, y 3,..., y }, e dode y =a + b x. Se tee etoces que : Y y y y = y = ( a bx) a b x = = a +b x = a + bx Como corolaro, se obtee otras dos propedades Propedad N 5.: S a u cojuto de datos se les suma a cada uo, ua costate, etoces la ueva meda es la ateror sumada a esa costate. Este es el caso partcular: b=, dode Y = X + a Y X + a Propedad N 5. : S a u cojuto de datos se les multplca a cada uo por ua costate, etoces la ueva meda es la ateror multplcada por esa msma costate. Este es el caso partcular a = 0, dode Y = b X Y b X Estas propedades tee ua gra aplcacó práctca, pues tal como se aalzó e el capítulo ateror, los cambos de udades e los datos so por lo geeral trasformacoes leales que cosste e multplcarlos por u factor, y segú esta propedad, e estos casos, para calcular la ueva meda basta co multplcar la meda ateror por el factor de coversó. Ejemplo 5.3 : Al medr el dámetro de cco ejes se ecotraro los sguetes resultados expresados e pulgadas :.50,.80,.73,.56 y.6. Calcular la meda artmétca smple de estos datos expresada e cetímetros. Solucó : Exste dos procedmetos: a) Trasformar cada dato a cetímetros, y luego calcularles su meda. El factor de coversó de pulgadas a cetímetros es.54, y por lo tato los datos al trasformarlos resulta : , 7.0, 6.934, y

6 6 La meda artmétca smple de los datos trasformados es e cosecueca: Y = cetímetros. 5 b) Aplcar la propedad N 5, pues la coversó de pulgadas a cetímetros es ua trasformacó leal de la forma : Y =.54 X, y por lo tato: Y.54 X X =.64 Y =.54 (.64 ) = cm. 5 Es de hacer otar que cuado la trasformacó o es leal, la ueva meda o puede ser calculada trasformado la meda ateror, y e cosecueca o es lo msmo por ejemplo, el cuadrado de la meda que la meda de los cuadrados, o el logartmo de la meda que la meda de los logartmos. Ejemplo 5.4 : Dados los sguetes datos ; 3, 5, 8 y. Hallar la meda artmétca de sus cuadrados. Solucó : La trasformacó e este caso es de la forma : Y = X, y para calcular la meda artmétca de sus cuadrados, es ecesaro elevar al cuadrado cada dato Y = = Nótese que: Y X ; pues X = = 7, y = E este caso o se matee la relacó, por o ser leal la trasformacó. Propedad N 6 : S se tee dos cojutos de datos dsjutos (que o tee elemetos comues), el prmero de tamaño co meda artmétca X, y el segudo de tamaño, co meda artmétca X, etoces la meda artmétca de la uó es: X X X. Demostracó : Sea x, x, x,, x el prmer cojuto de datos, y x 3 3, x, x,, x el segudo cojuto de datos. Como por hpótess, o exste elemetos e comú, el úmero total de datos e la uó será : = +, y la meda de la uó será : X x x x x + x + x + + Pero, por la propedad N se verfca : X X X x + x x X x + x + + x X ; tal como se quería demostrar. ; y por lo tato: Por ua demostracó aáloga, esta propedad se puede geeralzar al caso e que se tega k cojutos de datos dsjutos, cada uo co u tamaño y ua

7 7 meda artmétca coocda, y se quera calcular la meda artmétca de su uó, la cual vee dada por la expresó: X X X X k k. Ejemplo 5.5 : Se admstró u msmo exame de Estadístca a dos seccoes. La prmera seccó tea 5 alumos, y su meda resultó ser de,40 putos ; metras que la seguda seccó tea 40 alumos, y su meda fue de 4, 5 putos. Cual es la meda de las dos seccoes e cojuto?. Solucó : Segú la propedad ateror, la meda de todo el grupo de 65 alumos 5(, 40) 40( 4, 5) 880 es de : X = = 3,54. Propedad N 7 : Cuado los datos está agrupados e ua tabla de frecuecas, la meda artmétca se calcula medate la expresó : X k L * f k f = k * f L k * = L h Dode : L * = Puto Medo del tervalo, també llamado Marca de Clase. f = Frecueca absoluta del tervalo. h = Frecueca relatva del tervalo. k = úmero de tervalos. = k f = úmero de datos. Demostracó : La fórmula ateror es obteda como ua aproxmacó a la defcó de Meda Artmétca dada para datos s agrupar. E efecto, tal como se defó aterormete cuado se tee u cojuto de datos s agrupar { x, x,x 3,..., x } : X x x x x. S embargo, tal como se explcó e el Capítulo ateror, al agrupar, se perde la formacó acerca del verdadero valor del dato, y por lo tato o se sabe cual es el valor exacto de cada x, y o es posble calcular exactamete X. Frete a esta stuacó, se hace la sguete aproxmacó : Cada dato se supodrá gual al puto medo de su tervalo de clase, també llamado Marca de Clase. Lo ateror sgfca que s u dato cae e el tervalo [0 ; 0 ), se supodrá que su verdadero valor es 5. Esta aproxmacó se fudameta e el supuesto de que al agrupar, los datos se dstrbuye de maera uforme detro del tervalo, y que por ello se producrá k

8 8 ua compesacó ; pues se ecotrara gual úmero de datos a la zquerda del puto medo, que a su derecha. Al hacer esta aproxmacó, tedremos que cada dato pasa a estar represetado por su marca de clase, es decr : x L * ; y como exste tatos datos detro del tervalo como sea su frecueca, al sumar todos los datos, la marca de clase de cada tervalo se repetrá tatas veces como sea la frecueca del tervalo, y de k L f k allí que: X x x x f Ejemplo 5.6 : La sguete tabla represeta el cotedo e gramos de uos certas cajas de cereal. Cotedo Frecueca 470 a a a a a a a Calcule la meda artmétca de esta dstrbucó de frecuecas. Solucó : Covee orgazar los cálculos de la sguete maera : Límtes de Clase Límtes reales. L * = Marca de Clase f = Frecueca 470 ; ; , ; ; , ; ,50 ; , ; ; ,50 50 ; ; ,50 50 ; ; , ; ; ,00 TOTAL ,00 L * f X = , = 50,7 Método abrevado de cálculo : Cuado o se dspoe de ua buea calculadora para realzar los cálculos, y sempre que la tabla de frecuecas sea co tervalos de gual ampltud, es posble abrevar los cálculos sguedo los sguetes pasos : Paso : Al tervalo de mayor frecueca se le asga marca de clase gual a cero. Paso : A los tervalos aterores al de mayor frecueca, se le asga marcas de clase e forma decrecete -, -, -3 etc., y a los tervalos posterores al de

9 9 mayor frecueca se les asga marcas de clase e orde crecete +, +, +3, etc. Estas marcas de clase artfcales se desgara por U *. Paso 3 : Se calcula U k U * f k f. Paso 4 : La meda de los datos se obtee medate la expresó : X = L * j + c U Dode : L * j = Marca de clase del tervalo de mayor frecueca. c = Ampltud real de los tervalos o Acho de clase. Ejemplo 5.7 : Calcular la meda de los datos del Ejercco 5.6, por el método abrevado. Solucó : E este caso, el tervalo de mayor frecueca es el cuarto, y a él se le asga marca de clase gual a cero. ( E caso de exstr dos o mas tervalos co la mayor frecueca, se puede elegr cualquera de ellos ). Sguedo los pasos explcados, se elabora la sguete tabla: Límtes de Clase Límtes reales U * = Marca de Clase f = Frecueca 470 ; ; ; ; ; ,50 ; ; ; ; ; ; ; ; ; TOTAL U = 80 = ; y teedo e cueta que L * j = 504,50 y que c= 0, se cocluye que : X = 504,50-0,788 (0 ) = 504,50 -,788 = 50,7 Justfcacó teórca del método abrevado : Este método se fudameta e las propedades de la meda artmétca,pues e realdad lo que se ha hecho es ua trasformacó leal de los datos defda por : U X A ; e dode A puede c ser teórcamete cualquer valor, pero que por comoddad de trabajo se toma * como A = L j, marca de clase del tervalo de mayor frecueca, pues de esa maera el úmero más grade que correspode a la mayor frecueca va a quedar multplcada por cero, y todas las demás marcas de clase va a quedar trasformada e úmeros eteros. Calculada la meda U de los datos trasformados, y teedo e cueta que : X = A + c U Por la propedad N 5 : X = A + c U U * f

10 0 V.. La meda artmétca poderada Cuado se calcula ua meda artmétca smple, o se establece ua dscrmacó etre los datos, y a todos ellos se les da la msma mportaca. E muchas aplcacoes práctcas, el vestgador cosdera que certos datos so más mportates que otros, y que por lo tato debe teer ua mayor flueca e el cálculo del promedo que otros. Cuado aparece eta crcustaca, la meda correspodete se deoma Meda artmétca poderada, se desga por Xp, y se defe como : X p x x x = x ; dode 0 Los coefcetes se deoma factores de poderacó, so arbtraros, debe ser postvos, y refleja la mportaca que tee su correspodete dato x detro del cojuto de datos { x, x, x 3,, x }. La dfcultad práctca de ua meda poderada radca precsamete e la eleccó de los factores de poderacó, pues e muchas oportudades esta eleccó es completamete subjetva. Nótese que s se seleccoa guales factores de poderacó para cada dato, la meda artmétca poderada se coverte e ua meda artmétca smple ; es decr, que cuado : = = = etoces Xp = X ; lo que sgfca que la meda artmétca smple es u caso partcular de ua poderada. Otra maera equvalete de defr ua meda artmétca poderada es medate porcetajes de poderacó. E este caso, a cada dato le correspoderá u certo porcetaje de poderacó, que refleja su mportaca detro del cojuto, y la suma de todos estos porcetajes deberá ser 00%. Esta forma de defr la meda artmétca poderada es equvalete a la ateror, pues, partedo de la defcó, podemos escrbr : X x x x p

11 S ahora se defe : j j poderada como : Xp x x x = jxj pues : j j j j j j = ( ) j j j xj =., etoces se tedrá a la meda artmétca j j j, e dode j =, Lo usual es multplcar a j por 00, para expresarlo e porcetaje. Ejemplo 5.8 : U estudate que cursa 3 asgaturas obtuvo las sguetes calfcacoes : Asgatura A : putos, Asgatura B: 6 putos, Asgatura C: putos. a) Calcule la meda artmétca smple de sus calfcacoes. b) Calcule la meda artmétca poderada de sus calfcacoes, tomado como factor de poderacó el úmero de udades crédto que tee cada asgatura, que so 3, y 5 respectvamete. c) Cual es el porcetaje de poderacó que le correspode a cada asgatura? Solucó : a) Al calcular la meda artmétca smple, o se hace dstcó etre la dedcacó que exge cada asgatura, y se supoe todas so de gual grado de 6 dfcultad. X 3 3 b) Al calcular la meda artmétca poderada, se establece ua dscrmacó etre las tres asgaturas, y se supoe que cuatas más udades crédto tega, ( 3) 6( ) ( 5) mas exgete es. X p = c) Los porcetajes de poderacó correspodetes a cada asgatura so : 3 A %=30 % ; B %=0% ; 5 C %=50% Nótese que la meda artmétca poderada també pudera ser calculada aplcado sus porcetajes de poderacó a cada calfcacó. Xp = (0,30) + (0,0) 6 + (0,50) =.30 Ejemplo 5.9 : U comercate le compró u msmo producto a tres proveedores dsttos. Al prmero le compró 300 udades a u preco de Bs. 6 por udad, al segudo 500 udades a Bs cada ua, y al tercero 00 udades a Bs cada ua. Cual es el preco promedo al que este comercate ha adqurdo cada udad del producto?. j

12 Solucó : El comercate compró = 000 udades, y e total pagó por ellas : 300 ( 6.00) (5.80) + 00 (5.00) = Bs ,00. U preco promedo debe terpretarse como u preco tal que s hubese comprado todas las udades a ese msmo preco, etoces hubese tedo que pagar la msma catdad de dero que pagó a preco varable El preco promedo será etoces : X p = Bs por udad. 000 Para el comercate resulta dferete comprar las 000 udades a Bs. 5,35 cada ua, que comprar 300 a Bs. 6.00, 500 a Bs y 00 a Bs es por ello que 5.35 represeta el preco promedo de compra. Nótese que 5.35 es la meda artmétca poderada de los tres precos, tomado como factor de poderacó las respectvas catdades que compró. 300( 6. 00) 500( 5. 80) 00( 5. 00) X p = 5.35 Bs./udad V.3. La meda armóca : Dado u cojuto de datos { x, x, x 3,, x }., todos ellos dferetes de cero, se defe como meda armóca H, al verso de la meda artmétca de sus versos ; es decr : F H G x x x H = x x x La meda armóca es ua medda de tedeca cetral poco utlzada e la práctca, que debe su ombre a las llamadas progresoes armócas, las cuales tee certas aplcacoes e geometría y e la teoría del sodo. Se dce que tres catdades a, b y c está e progresó armóca, cuado: a c a b b c, como por ejemplo 3 4, 3 5,, 3 7 I K J,.... S se da los úmeros a y c, y se quere hallar uo termedo b, que forme progresó armóca co ellos, el resultado coduce a la meda armóca. Este msmo cocepto le da orge al ombre de meda artmétca, pues s se tee dos úmeros a y c, y se quere hallar uo etre ellos b, que forme progresó artmétca, el resultado coduce a : b = a c. Cuado uas catdades está e progresó armóca, sus versos está e progresó artmétca. Cuado se le da dferete mportaca a cada uo de los datos, se obtee la meda armóca poderada H p, que se defe como : Hp ; dode > 0 x x x

13 3 Ejemplo 5.0 : Supogamos que ua persoa tee u presupuesto de Bs mesuales para la compra de u certo artículo, y que el preco utaro de ese artículo varía mesualmete. Supogamos que durate el prmer mes el preco fue de Bs. por udad, e el segudo mes de Bs. 4, el tercero de Bs.5 y el cuarto de Bs.8. Calcule el preco promedo al que esta persoa ha comprado el artículo. Solucó : Debemos eteder por preco promedo, aquel preco que de haberse matedo costate durate el lapso de cuatro meses, le hubese permtdo comprar la msma catdad de artículos. E úmero total de artículos comprados resultó ser : = El total pagado fue : x 4 = El preco promedo es, e cosecueca : = 3,7 Bs./udad Nótese que este preco promedo, correspode a la meda armóca de los precos: H = 3,7 8 Ejercco 5.: U móvl recorre ua dstaca de 600 Km., los prmeros 00 Km., lo hace a ua velocdad de 50 Km./hr., los sguetes 300 Km., a ua velocdad de 50 Km./hr, y los últmos 00 Km. a 80 Km./hr. Cual ha sdo la velocdad meda durate todo el trayecto?. Solucó : La velocdad meda es aquella que de haberse matedo costate durate todo el trayecto, hubese empleado el msmo tempo El tempo total empleado es : t La velocdad meda resulta ser la meda armóca poderada de las velocdades 600 H p = 9,3 Km. /hr Ejercco 5.: Ecuetre la meda armóca para los datos del Ejercco 5.6. E el caso de ua dstrbucó de frecuecas, la marca de clase represeta a todos los datos que cae e el tervalo, y por lo tato cada marca de clase se repte tatas veces como sea la frecueca. La meda armóca de los datos es e cosecueca, la meda armóca poderada de las marcas de clase, tomado como factor de poderacó a su respectva frecueca : H f L f k f k * * * L Lk f

14 4 H = 50,36 V.4. La meda geométrca : Dado u cojuto de datos { x, x, x 3,, x }.,se defe como su meda geométrca, a la raíz eésma de su producto. G x x x El ombre de geométrca, le vee a este tpo de meda, por las llamadas progresoes geométrcas, pues s se tee dos úmeros a y c, y se quere ecotrar u úmero termedo b, que forme ua progresó geométrca co ellos, se obtee que b es ac, es decr la meda geométrca etre ellos. Ua meda geométrca poderada se defe por la sguete expresó: G x x x p La meda geométrca se utlza prcpalmete para promedar e el tempo, porcetajes de varacó sobre u msmo elemeto. Ejercco 5.3: U artículo ha expermetado dversos aumetos de preco a largo de u lapso de 4 años. Supogamos que durate el prmer año sufró u cremeto del 30 %, durate el segudo año u desceso del 0%, durate el tercer año u aumeto del 70%, y durate el cuarto año u cremeto del 0%. Cual ha sdo el porcetaje promedo de varacó teraual expermetado por este producto?. Solucó : U porcetaje promedo de varacó teraual equvale a u porcetaje fjo que de aplcarse cada año, haría que el preco fal del artículo fuese el msmo que a varacoes porcetuales dsttas. Así por ejemplo, s el preco cal de este artículo era P 0, al sufrr el prmer cremeto de 30 % durate el prmer año, su preco será : P = P 0 + 0,30 P 0 =,30 P 0 Al fal del año, su preco será : P =P - 0,0 P = 0,80 P = (0,80)(,30) P 0 Reptedo este procedmeto, para los años 3 y 4, se obtee que el preco al fal del año 4 será : P 4 =(,0) (,70) (0,80)(,30) P 0. S se aplcara u porcetaje fjo del r % cada año, el preco después de cuatro r 4 00 años sería : P 0 ( ). Como lo que se busca es u porcetaje fjo que arroje el msmo preco fal : r 4 r P 0 ( ) = (,0) (,70) (0,80)(,30) P 0 4 ( 0, )( 70, )( 0, 80)( 30, ) de dode r = 8,09 %, que correspode al porcetaje promedo de cremeto teraual, pues s este producto hubese cremetado su preco cada año e 8,09 % ; su preco fal, al cabo de cuatro años, sería el msmo. Ejercco N 5.4: Calcule la meda geométrca para los datos del Ejercco 5.6. E el caso de ua dstrbucó de frecuecas, se supoe que cada dato es gual a la marca de clase del tervalo al que perteece, y por ello al multplcarlos para calcular la meda geométrca, cada marca de clase resulta elevada a su

15 5 frecueca ; de allí que la meda geométrca de la dstrbucó de frecuecas es la meda geométrca poderada de las marcas de clase, tomado a sus frecuecas * f * f * k f como factor de poderacó ; es decr : G ( L ) ( L ) ( L ) k. Para los datos del Ejercco 5.6 : = G ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Relacó etre las medas armóca, geométrca y artmétca : Cuado se tee datos postvos, exste ua propedad segú la cual : H G X. La demostracó de esta propedad para el caso geeral de u cojuto formado por datos, requere coocmetos avazados e Calculo dferecal co varas varables para poder resolver u problema de máxmos y mímos codcoados, y se ecuetra e el Apédce de Demostracoes Importates. Ua demostracó partcular, para el caso =, es la sguete : Supogamos ua muestra formada por dos datos postvos x y x. Como: (x - x ) 0 x xx x 0 x x xx Sumado x x a cada lado : x xx x 4 xx ( x x ) 4 x x x x x x xx xx X G. Aálogamete, como : Sumado xx x x xx F HG I 0 x xkj 0 x x x x a cada lado : 4 x x x x x x x x xx x x F HG x x x x 4 x x x x I KJ x x H G y como, ya se había demostrado que : X G, la coclusó es que : H G X. Las tres medas cocde sólo cuado los datos so guales. V.4. Otros tpos de medas : Además de las medas ya mecoadas, exste alguas otras que puede ser obtedas a partr de fórmulas geerales. Ua de estas fórmulas geerales, es la que se atrbuye a los autores Foster y Jorda, que defe como Meda Poderada Geeral de orde r a M pr dada por : M pr r r r x x x r = F HG x r I KJ r

16 6 Esta expresó egloba a todas las medas ya aalzadas, pues el lector puede fáclmete comprobar que el caso r= da la meda artmétca poderada, y s además de r=, todos los so guales, se obtee la meda artmétca smple. El caso r = -, da la meda armóca poderada, o la armóca smple cuado los so guales. U caso especal lo costtuye r= 0, pues se preseta ua determacó de la forma, la cual tee que ser resuelta medate el límte : lm M pr, r 0 obteédose como resultado la meda geométrca poderada, o la meda geométrca smple, segú los sea dferetes o guales respectvamete. El caso r=, da lugar a la meda cuadrátca, que tee certas aplcacoes e Electrcdad, y para r=3, se deoma meda cúbca, las cuales puede ser smples o poderadas, segú sea guales o o, los. Propedades de la meda geeral de orde r La gráfca que muestra, el valor de la meda geeral de orde r, para el caso de datos postvos, es la sguete: a) E esta gráfca puede aprecarse que ua propedad que preseta la meda geeral de orde r, es que para el caso de datos postvos, resulta ser crecete co los valores de r, y de allí se deduce etoces que la meda armóca (r= -) será gual o meor que la geométrca (r=0),y ésta a su vez, gual o meor que la artmétca (r=+), la cual es meor o gual que la cuadrátca (r=+), y así sucesvamete. b) Otra propedad que puede aprecarse e la gráfca, es que el valor de la meda geeral de orde r para el caso de datos postvos, es que su valor sempre se ecuetra compreddo etre los dos valores extremos de los datos, y es por ello que cualquer meda, sempre será ua medda de tedeca cetral. La demostracó matemátca de esta propedad puede ecotrarse e : Desgualdades ( Pag. 6 ) P.P Korovk Leccoes populares de matemátcas. Edtoral MIR. Moscú.

17 7 c) El mímo y el máxmo valor de los datos, represeta asítotas para los valores de la meda geeral de orde r, debdo a que : lm M r = Mímo valor de los datos ; lm M r = Máxmo valor de los datos. r Otra expresó de escaso terés práctco, pero muy curosa y más geeral au que la meda poderada geeral de orde r de Foster y Jorda, es la llamada meda segú la fucó o també -meda, la cual se defe de la sguete maera : S y = (x) es ua fucó moótoa crecete o decrecete detro del tervalo de varacó de los datos { x, x, x 3,, x }, y sedo (y) su fucó versa ; se defe como meda poderada segú la fucó, a M p dada por : M p F HG r ( x ) ( x ) ( x) I KJ, co > 0 Nótese que la meda poderada geeral de orde r, es u caso partcular de ua - meda, cuado (x) = x r. La meda cuadrátca correspode al caso partcular (x) = x, y la meda cúbca a (x) = x 3. Medate la -meda se puede defr medas mucho más geerales como por ejemplo, la meda logarítmca smple, que vedría dada por : (x) = l x, y de allí: M l = e geométrca. l x l x l x, la cual, curosamete cocde co la meda Ejercco 5.5 : Se tee tres cuadrados, cuyos lados mde 3, 0 y. Cual es lado del cuadrado, cuya área es gual a la meda artmétcas de sus áreas?. Solucó : Las áreas de los cuadrados dados so : 3, 0 y respectvamete. 3 0 La meda artmétca de sus áreas es : A. 3 Por lo tato,el lado del cuadrado cuya área es gual a la meda artmétca de las áreas es : L los lados = 8,756 ; que correspode a la meda cuadrátca de V.4. La Medaa : Después de la meda artmétca, la medda de tedeca cetral más mportate es la medaa, la cual se defe de la sguete maera : Dado u cojuto de datos { x, x, x 3,..., x }, la medaa es aquel valor que supera a la mtad de los datos a lo más, y que es superado por la mtad de los datos a lo más. E la defcó ateror, el térmo a lo más expresa u cocepto muy mportate, pues sgfca que detro del cojuto de datos, o puede exstr más del 50 % de datos, que sea estrctamete meores que la medaa, más del 50 % de datos que sea estrctamete mayores que la medaa, y que por lo tato, la medaa esta ubcada e ua poscó tal que por guo de los dos lados se excede este porcetaje del 50%.

18 8 Cálculo de la medaa para datos s agrupar : Para calcular la medaa de u cojuto de datos s agrupar { x, x, x 3,..., x }, segú la defcó ateror, es ecesaro comezar ordeádolos de meor a mayor. Los datos ordeados se desgara por {x ( ), x ( ), x ( 3 ),, x ( ) }, e dode x ( ) represeta el meor valor detro del cojuto de datos, el cual obvamete o tee que cocdr co x, que represeta el valor de la prmera observacó ; x ( ) represeta el segudo meor valor, y así sucesvamete hasta x ( ) que represeta el mayor valor. Ua vez ordeados los datos, para calcular la medaa, hay que dstgur dos casos: Caso : es mpar. E este caso, la medaa es el valor que ocupe la poscó, ua vez ordeados de meor a mayor, es decr : Med x. Ejemplo 5.6 : Los pesos de oce persoas, expresados e klos, fuero : 84, 59, 73, 66, 7, 95, 68, 7, 64, 66 y 70. Hallar la medaa. Solucó : Se comeza ordeado los datos de meor a mayor. E caso de empate, el dato queda repetdo tatas veces como aparezca. E este caso, al ordear resulta : 59, 64,66, 66, 68, 70, 7, 7, 73, 84 y 95. Al teer datos, la medaa es el valor que ocupe la sexta poscó, es decr 70, por ser el úco que cumple co la defcó. E efecto, por debajo de 70 ecotramos 5 datos, lo que represeta meos del 50%, y por ecma de 70 ecotramos també 5 datos, que es meos del 50 %. Al o excederos del 50 % por guo de los dos lados, se cumple co la defcó. Cualquer otro valor dferete de 70, o cumplría co la defcó ; y así por ejemplo, u valor como 7 tedría por debajo de él a 6 datos, y u valor como 68 tedría por ecma de él també a 6 datos, que represeta más del 50 %. E este caso, la medaa es úca, y su valor es 70. Caso : es par. Ates de comezar el aálss de este caso, es mportate aclarar que el valor de ua medda de tedeca cetral o tee ecesaramete que perteecer al cojuto de datos, y así por ejemplo, cuado se calcula el valor de ua meda, el resultado puede o ser del cojuto. La úca lmtacó que tee ua medda de tedeca cetral, es que debe estar etre los dos valores extremos, y así por ejemplo, cuado calculamos la meda artmétca de los datos : 3, 7 y 7, el resultado es 9, que u valor o perteecete al cojuto de datos, pero s compreddo e el tervalo [3 ; 7]. Esta aclaratora es mportate hacerla, pues como se verá a cotuacó, e este caso, es posble, que la medaa o perteezca al cojuto de datos. Cuado el úmero de datos es par, la medaa se determa medate la semsuma de los valores que ocupe las poscoes de meor a mayor ; es decr : y + ua vez ordeados

19 9 x x Med Ejemplo 5.7 : Los sguetes datos represeta el vel de colesterol e sagre de catorce persoas : 68, 06, 5, 70, 50, 9, 3, 53, 4, 37, 54, 38, 80 y 73. Hallar la medaa. Solucó : Se ordea de meor a mayor, obteedo : 5, 38, 4, 50, 53, 68, 73, 80, 9, 06, 37, 54, 70 y 3. Como exste catorce datos, los dos cetrales, so el séptmo y el octavo, que correspode a los valores 73 y 80 respectvamete La medaa es etoces : Med = 76,50. La justfcacó del procedmeto ateror es la sguete : Al aplcar la defcó de medaa, se ecuetra que el valor 73 la cumple, pues supera a 6 datos de 4, y es superado por 7 datos de 4, o excedédose así del 50 % por guo de los dos lados. S embargo, el valor 80 també cumple co la defcó, pues supera a 7 de 4 y es superado por 6 de 4. Además cualquer valor etre 73 y 80, auque o perteezca al cojuto de datos, puede ser medda de tedeca cetral, y també cumple la defcó ; ya que por ejemplo, u valor como 75, supera a 7 datos de 4, y es superado por 7 de 4, o excedédose del 50 % por guo de los dos lados. Lo ateror sgfca etoces, que e el caso par, a meos que exsta empate etre los dos valores cetrales, exste ftas medaas que so todos los valores compreddos e el tervalo [x,x ], y de allí etoces que se tome como medaa al valor cetral de este tervalo: x x. Cálculo de la medaa para datos agrupados : Cuado los datos está agrupados e ua tabla de frecuecas, la determacó de la medaa es completamete dferete, y puede ser hecha por procedmetos gráfcos o por procedmetos aalítcos.

20 0 Gráfcamete, la medaa puede ser ecotrada, etrado e la Ojva de frecuecas relatvas porcetuales, co el 50 %, y el valor correspodete sobre el eje horzotal será la medaa, pues supera al 50 % de los datos, y es superado por el otro 50%, tal como se muestra e la fgura : Este procedmeto gráfco puede resultar algo cómodo, pues oblga a costrur la ojva a escala. Para determar exactamete el valor de la medaa, puede aplcarse la sguete fórmula, la cual es obteda por terpolacó leal sobre la Ojva : F Medaa = L c f Dode : L - = Límte feror del tervalo dode cae la medaa. F - = Frecueca absoluta acumulada hasta el tervalo ateror. f = Frecueca absoluta del tervalo dode cae la medaa. c = Acho de clase. = k f = Número de datos. Demostracó de la fórmula : Supogamos que se tee ua tabla de frecuecas co k tervalos de gual ampltud, y que el 50 % de frecueca relatva porcetual acumulada se alcaza e el tervalo, cuyos límtes de clase so [L - ; L ), tal como se muestra a cotuacó :

21 Al hacer la terpolacó leal, se tee por semejaza de trágulos que : AD DE ADE ABC AD DE AB BC BC AB Pero : DE = 50% - H - BC = H - H - = h ; pues la dfereca etre las frecuecas porcetuales acumuladas etre dos límtes de clase cosecutvos, es la frecueca relatva porcetual del tervalo. AB = c = Acho de clase. Susttuyedo se tee etoces : Medaa = L - + AD = L % H c h Al multplcar el umerador y el deomador de la fraccó por, y teedo e cueta que ua frecueca relatva multplcada por el úmero de datos, da como resultado la frecueca absoluta, se obtee : Medaa = L - + ( 50% H ) F c = L c ; que correspode justamete a h f la fórmula que se pretedía demostrar. E ocasoes, puede resultar más coveete utlzar la expresó e fucó de las frecuecas relatvas : Medaa = L % H c h Ejemplo 5.8 : Calcular la medaa de los datos del Ejercco 5.6. Solucó : Para calcular la medaa, es ecesaro completar la tabla, co las frecuecas absolutas y relatvas porcetuales acumuladas, tal como se muestra a cotuacó : Límtes de clase Límtes Reales f F h % H % 470 ; ; ,44 4,44

22 480 ; ; ,56 5, ; ,50 ; , 4, 500 ; ; ,56 7,67 50 ; ; , 88,89 50 ; ; ,78 96, ; ; ,33 00, ,00 Para detfcar el tervalo dode cae la medaa, es precso aalzar la tabla de frecuecas relatvas porcetuales acumuladas, y el tervalo e dode se alcace ua frecueca relatva porcetual acumulada del 50%, ese es el que cotee a la medaa. Nótese que el cuarto tervalo, cuyos límtes reales so 499,50 y 509,50 es dode se ubca la medaa, pues por debajo del límte real feror se ecuetra el 4, % de los datos, y por debajo del límte real superor el 7,67 %. Para calcular exactamete el valor de la medaa, es ecesaro repetr el proceso de terpolacó descrto e la demostracó geeral, y aplcar cualquera de las dos fórmulas obtedas. S se aplca la fórmula basada e las frecuecas relatvas porcetuales acumuladas : Medaa = L % H 50% 4%, c = 499, = 50,4 h 30, 56% S se aplca la fórmula basada e las frecuecas absolutas acumuladas: 80 F 74 Medaa = L c = 499, = 50,4 f 55 Auque estas dos expresoes so matemátcamete equvaletes, la seguda, basada e las frecuecas absolutas acumuladas, es desde el puto vsta práctco, más cómoda de aplcar, pues o ecesta calcular las frecuecas relatvas. Cuado se aplca esta seguda fórmula, y o se calcula las frecuecas relatvas porcetuales acumuladas, para detfcar el tervalo dode cae la medaa, es ecesaro ubcar el tervalo dode se alcaza la mtad acumulada del úmero total de datos. E el ejemplo ateror, la mtad acumulada, es decr 90, se alcaza e el 4 tervalo, pues hasta el 3 hay ua frecueca acumulada de 74, y hasta el límte superor del 4 tervalo, la frecueca acumulada es de 9. Propedades de la medaa ) La medaa es ua medda de tedeca cetral que o se ve afectada por los valores extremos de los datos, pues solamete toma e cueta al valor

23 3 cetral ( mpar ), o a los dos valores cetrales ( par ), s cosderar para ada a los demás valores. Esta propedad hace que la medaa sea u promedo muy recomedable e aquellas muestras e dode exste valores completamete atípcos, fuera de escala, que puede desvrtuar el uso de la meda artmétca como promedo. Así por ejemplo, s teemos u grupo de cco persoas, cuyo vel de gresos mesuales es de $ 700, $.000, $.00, $.600 y $ 5.500, tedríamos que X = $ mesuales, lo que sería u promedo poco represetatvo de los gresos de estas cco persoas, pues cuatro de ellas, que represeta u 80% de los datos, se ecuetra por debajo de dcho valor. La medaa e cambo, cuyo valor e este caso es.00, es u promedo mucho más represetatvo. ) E el caso de datos agrupado, la medaa represeta geométrcamete, la abscsa correspodete a la recta vertcal, que dvde al hstograma e dos partes de gual área. 3 ) La suma de las desvacoes absolutas de los datos es míma, cuado estas desvacoes se calcula respecto de la medaa. Segú esta propedad, cuya demostracó matemátca se ecuetra e el aexo, s se tee u cojuto de datos { x, x, x 3,..., x }, la suma : f(t) = x t míma, cuado e valor de la varable t cocde co la medaa. Ejemplo 5.9 : Sobre ua carretera recta vve cco persoas. La prmera persoa vve e el klómetro 5 de dcha carretera, la seguda e el klometro, la tercera e el klómetro 5, la cuarta e el klometro 30 y la quta e el klometro 43. Dode debe reurse estas cco persoas, para que la suma de las dstacas recorrdas por ellas, sea lo meor posble?. Solucó : S estas persoas decde reurse e el klometro t, la suma de las dstacas recorrdas por ellas va a ser ua fucó de t, defda por : f(t) = 5 -t + - t + 5 -t t t Segú la propedad ateror, esta suma es míma cuado t es la medaa etre los cco valores, es decr cuado t = 5. E coclusó, para mmzar la suma de las dstacas recorrdas por estas cco persoas, debe reurse e el klometro 5, casa de la tercera persoa., es

24 4 Cuado se reúe e el klometro 5, la suma de las dstacas recorrdas por las cco persoas es : f(5) = = 56 klómetros S se reuera e cualquer otro puto dferete del klómetro 5, como pudera ser, por ejemplo, la meda artmétca de los klómetros : X =, la suma de las dstacas recorrdas sería mayor. f() = = 6 klómetros V.5. La Moda : La moda, o també llamado modo, es otra medda de tedeca cetral, que para el caso de u cojuto de datos o agrupados { x, x, x 3,..., x }, se defe como aquel valor que más se repte. La defcó ateror sgfca, que s se tee u cojuto de datos s agrupar, para determar su moda, es ecesaro cotar cuatas veces se repte cada valor, y aquel que presete la mayor frecueca, es por defcó la moda. Ejemplo 5.0 : E u exame de Estadístca, presetaro 60 alumos, y sus calfcacoes e ua escala de 0 putos fuero : Hallar la moda. Solucó : Hay que cotar cuatas veces se repte cada calfcacó, y elaborar la correspodete tabla de frecuecas s agrupar. Calfcacó Frecueca E la tabla puede aprecarse que la mayor frecueca que es 0, correspode a la calfcacó de putos ; y por tato la moda, M d =. El uso de la moda como promedo, puede presetar el coveete de que ésta puede o ser úca e caso de que se presete empates e la mayor frecueca. E estos casos, se dce que la dstrbucó de frecuecas es multmodal, y puede resultar bmodal, trmodal, etc., segú sea el úmero de valores, cuyas frecuecas resulte empatadas co la máxma frecueca. E casos como el del Ejercco 5.0, e dode la moda es úca, se dce que la dstrbucó es umodal. Cuado los datos está agrupados, el cálculo de la moda camba radcalmete, y sólo puede ser obteda de forma aproxmada. Ates de aalzar como se determa la moda e el caso de datos agrupados, es ecesaro revsar alguos coceptos prevos, como so el de máxmo relatvo, y el de curva de frecuecas. Segú el Cálculo Dferecal, cuado de tee ua fucó cotua y = f(x), defda e u tervalo a x b ; se dce que la fucó alcaza u máxmo relatvo e u puto x = x 0, cuado el valor de la fucó e x o, es sempre mayor que los valores de la fucó, para los putos perteecetes a u etoro de x 0. E la gráfca sguetes exste dos máxmos relatvos, que se alcaza e las abscsas x = x y x = x.

25 5 E el Capítulo IV, se explcó que los llamados Polígoos de frecuecas, a medda que se va reducedo la ampltud del tervalo, da lugar a ua curva. Esta curva represeta la poscó límte del polígoo de frecuecas, y recbe el ombre de curva de frecuecas, tal como se muestra e la fgura : Las formas más comues de las curvas de frecueca so : E el caso de curvas de frecuecas, la moda represeta la abscsa correspodete a u puto de máxmo relatvo, y puede exstr varas, tal como se muestra e la sguete fgura:

26 6 Se suele llamar atmoda, a las abscsas correspodetes a los mímos relatvos. Para determar las posbles modas que puede teer ua curva de frecuecas, es ecesaro coocer su ecuacó, para dervarla e gualar su prmera dervada a cero. La Estadístca Matemátca, proporcoa dferetes modelos teórcos para curvas de frecueca, que recbe el ombre de Curvas cotuas de probabldad, e dode es posble determar su moda por el procedmeto de dervacó descrto aterormete, y el cual escapa de los fes de la Estadístca Descrptva. Cuado los datos está agrupados e ua tabla de frecuecas, lo que se tee es el polígoo, pero o la ecuacó exacta de la curva de frecuecas, y por ello, los métodos para determar la moda so aproxmacoes que tee como objetvo, la ubcacó aproxmada, o u proóstco, de los putos dode dcha curva alcaza sus máxmos relatvos. E el caso de tablas de frecuecas de gual ampltud, se defe como clase modal, a aquel tervalo que tega la máxma frecueca. E el caso de tablas de frecuecas co dferete ampltud, la clase modal es aquella cuyo rectágulo e el hstograma tega la máxma altura, que correspode a la clase co la mayor desdad de frecuecas. Evdetemete, la moda estará detro de la clase modal, pero dado que puede exstr varas modas, además de la clase modal es ecesaro verfcar e el hstograma, s exste otros tervalos que tega a su zquerda y a su derecha, tervalos de meor altura. Estos tervalos, s exste, se deoma tervalos modales, y e ellos també exste otras modas. E el caso de exstr varas modas, alguos autores, hace dstcó etre moda mayor, prcpal o valor domate que se refere al puto dode la curva de frecuecas alcaza su máxmo absoluto, y modas meores o secudaras, para señalar los putos dode la curva de frecuecas alcaza sus otros máxmo relatvos. Geeralmete cuado ua dstrbucó de frecuecas preseta varas modas, es porque los datos o ha sdo be clasfcados, y se está cosderado e ua msma tabla, datos proveetes de dferetes poblacoes. Evdetemete, la moda debe ser u puto detro de la clase modal, pero el problema que se preseta es como ubcarlo?.

27 7 Alguos textos elemetales de Estadístca Descrptva, resuelve el problema tomado como moda al puto medo de la clase modal, es decr a su marca de clase. Esta solucó o es s embargo la más exacta, pues al trazar la curva de frecuecas, la moda debe ecotrarse más cerca del tervalo adyacete que tega mayor altura. E la gráfca puede aprecarse que s el tervalo a la derecha del tervalo modal tee mayor altura que el de la zquerda, etoces la moda debe estar mas cerca del tervalo derecho que del zquerdo, y por lo tato tomar como moda al puto medo del tervalo modal es ua solucó muy aproxmada al problema. Para ubcar a la moda de ua maera más precsa, exste dos métodos, ambos aproxmados, y que se fudameta e ua terpolacó. Método : Dvdr el tervalo modal e dos segmetos, que guarde relacó drecta co las dferecas etre la frecueca del tervalo modal y las frecuecas de sus tervalos adyacetes. Segú este método, la moda se determa por la expresó sguete : Moda = M d = L c La deduccó de esta fórmula aparece e el Aexo, y se demuestra que la moda correspode al puto dode u arco de parábola que aproxma a la curva de frecuecas, alcaza su máxmo. E el caso de tervalos de dferete ampltud, y o represeta dferecas de frecuecas, so dferecas de alturas ; pero e este caso, ya o cabe la

28 8 terpretacó de la moda, como puto dode arco de parábola alcaza su máxmo. Ejemplo 5. : Ecotrar la moda de la sguete dstrbucó de frecuecas: Itervalo Frecueca Solucó: Al costrur hstograma correspodete a esta tabla de frecuecas, o hay que olvdar lo explcado e el Capítulo IV, de tomar e cosderacó los límtes reales, pues de lo cotraro quedaría espacos vacíos que terrumpe la cotudad de la curva de frecuecas. E este caso, exste sólo u tervalo modal, que es el tercero, pues es el úco tervalo teror que tee a su zquerda y a su derecha tervalos de meor frecueca. Este úco tervalo modal es a su vez, la clase modal, por teer la máxma frecueca. Al exstr u úco tervalo modal, la dstrbucó de frecuecas es umodal. c = Acho de clase = Dfereca etre límte real superor e feror = 0 L = Límte real feror del tervalo modal = 9.50

29 9 = Dfereca de frecuecas a la zquerda del tervalo modal = 0 - = 8 = Dfereca de frecuecas a la derecha del tervalo modal = 0-0 = 0 M d = = Ejemplo 5. : E u parque de atraccoes se mdó la estatura de las persoas cocurretes, s dscrmar etre ños y adultos, ecotrádose la sguete tabla de frecuecas : Estatura ( cetímetros) Frecueca Determar las modas. Solucó : El hstograma correspodete es : La clase modal es la séptma pues es la que preseta mayor frecueca, pero exste dos tervalos modales, el segudo y el séptmo, pues la frecueca de cada uo de ellos es mayor que la de sus adyacetes, y por lo tato la dstrbucó de frecuecas es bmodal. Para calcular la prmera moda, que correspode al puto dode se alcaza el máxmo relatvo ubcado e el segudo tervalo, se tee : c = 0 ; = 75 - = 63 ; = = 5 ; L = M d = 75.65

30 30 Para calcular la seguda moda, que correspode al puto dode se alcaza el máxmo relatvo ubcado e el séptmo tervalo, se tee : c = 0 ; = 5-86 = 9 ; = 5-8 = 07 ; L = M d = E u caso como este, la preseca de dos modas dca que los datos o fuero debdamete clasfcados, pues s se hubese tomado estaturas de ños por u lado, y de adultos por el otro, muy seguramete esta stuacó o se hubese presetado, y cada grupo sería umodal. Método : Este otro método para determar aproxmadamete a la moda, cosste e dvdr al tervalo modal e dos segmetos que esté e razó versa a las alturas de las clases adyacetes. El tervalo modal, cuya ampltud es c, queda dvddo e dos segmetos de ampltudes x y c - x. S la frecueca del tervalo a la zquerda es meor que la del tervalo a la derecha, x deberá ser mayor que c-x, para que la moda quede más cerca del de la derecha, y vceversa. E cosecueca, x y c-x, debe guardar relacó versa co las alturas de las x f clases adyacetes que so f - y f + c x f f Al despejar x se obtee : x = c f f y por lo tato la fórmula de cálculo para la moda, por este segudo método vee dada por : M d = L + x M d = L + f f f c E dode : L = Límte feror del tervalo modal.

31 3 f - = frecueca del tervalo a la zquerda del tervalo modal f + = frecueca del tervalo a la derecha del tervalo modal c = Ampltud del tervalo modal. E el caso de que la tabla de frecuecas o tega tervalos de gual ampltud ; las alturas de los rectágulos que coforma el hstograma, ya o so las frecuecas, so la desdad de frecuecas, y por lo tato la clase modal ya o ecesaramete es la de mayor frecueca, so la de mayor desdad de frecuecas, y los tervalos modales so aquellos tervalos que tega como tervalos adyacetes, a tervalos de meor desdad de frecuecas que él. E el caso de tervalos de dferete ampltud, la expresó que permtrá calcular la moda será etoces : M d = L + f c f c f c c E dode : L = Límte feror del tervalo modal. f - = frecueca del tervalo a la zquerda del tervalo modal f + = frecueca del tervalo a la derecha del tervalo modal c = Ampltud del tervalo modal. c - = Ampltud del tervalo a la zquerda del tervalo modal c + = Ampltud del tervalo a la derecha del tervalo modal Ua crítca que se le suele hacer a este método es que o toma e cueta a la altura de la clase modal, y quzás por esta razó, el otro método basado e las dferecas de altura, está más dfuddo. Ejemplo 5.3: Recalcular la moda del Ejercco 5. por el Método. Solucó : E este ejemplo, la dstrbucó es umodal, y se tee : L = 9.50 ; f - = ; f + = 0 ; c= 0 M d = = Los resultados obtedos por ambos métodos o tee porque cocdr, pues so aproxmacoes obtedas por dferetes crteros, al puto dode se alcaza el máxmo relatvo, e la curva de frecuecas. Ejemplo 5.4: Recalcular las modas del Ejercco 5., por el Método. Solucó : E este caso, la dstrbucó es bmodal, y para la prmera moda se tee: L = ; f - = ; f + = 60 ; c= 0 60 M d = = metras que para la seguda : L = ; f - = 86 ; f + = 8 ; c= 0