CAPITULO 1 ANTECEDENTES HISTORICOS DEL METODO ELIPSOIDAL Y PROBLEMAS SOBRE CONJUNTOS CONVEXOS Métodos antecesores.

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1 27 CAPIULO 1 ANECEDENES HISORICOS DEL MEODO ELIPSOIDAL Y PROBLEMAS SOBRE CONJUNOS CONVEXOS A raíz del auco de Khachya [7] acerca de la exsteca de u algortmo polomal para la programacó leal, surgero umerables publcacoes cuyo prcpal objetvo era desmetr el hecho de que este algortmo perteecía a Khachya y que poseía coexó co la programacó covexa, e lugar de la leal. E este capítulo se descrbrá brevemete el desarrollo del método, es decr, sus atecedetes hasta llegar a ser el AE que hoy coocemos. Nuestro terés es la aplcacó del método para ecotrar ua solucó factble a u cojuto de desgualdades leales. Cabe mecoar que el método elpsodal es utlzado tato para la localzacó de u puto factble a u cojuto de desgualdades leales dadas y para la solucó de problemas de programacó leal formado por tal cojuto de desgualdades leales y ua fucó objetvo a maxmzar (mmzar) Métodos atecesores. El método posee ua fuerte relacó co otros métodos, los cuales será descrtos brevemete co la faldad de obteer la dea prcpal de su desempeño y aprecar los elemetos que so tomados por el AE de cada uo de ellos (ver [8]).

2 28 Los métodos atecesores so los sguetes: El método de relajacó para desgualdades leales, Algortmos de plao de corte, El método de subgradete y dlatacó del espaco y El método de seccoes cetrales El método de relajacó para desgualdades leales. Algortmos de relajacó para desgualdades fuero troducdos por Agmo [9] y Motz y Schoeberg [10] para ecotrar u vector de desgualdades leales dado de la sguete forma, x R tal que satsfaga u sstema Cx d, (1.1) el cual cosste de m restrccoes y varables, es decr, la matrz mx m C R y d R. Ambos métodos propoe la geeracó de ua secueca {x } teratva de putos, dode, sí e la +1 teracó el vector x es factble, el algortmo terma; de otro modo, algua restrccó estará sedo volada, dgamos c x γ, (1.2) dode c R es el vector correspodete a los coefcetes de la desgualdad y γ R. Ua vez seleccoada ua restrccó cumplda ( c x > γ ) se establece, λc( c x γ ) x + 1 = x, (1.3) c c λ = 2, El método propuesto por Motz y Schoeberg, establece que el parámetro (λ, es el atecedete del parámetro de paso τ utlzado e el método elpsodal) metras que para el propuesto por Agmo dcho parámetro cumple 0 < λ < 2. Para la seleccó de u valor λ = 1, el vector es el resultado de la proyeccó del vector x sobre el hperplao {x R c x = γ}. Este método co 0 < λ < 2, correspode al método de bola que será eucado a cotuacó.

3 29 El método de bola ca co ua bola, E que se defe como: E = {x R (x x ) B 1 (x x ) 1}, Esta bola posee ua matrz, B múltplo de la matrz detdad I. A partr de ésta se costruye ua bola sguete + = + I + E 1 S = {x R (x x 1 ) (x x 1 ) 1}, que cotee al cojuto {x E a x β}, cuyo volume es meor al de La bola S posee su cetro e 1, obtedo medate la formula (1.3) y que se ) ecuetra sobre el segmeto de líea aberto ( x,x + 2( x x )), dode x ) es la proyeccó de sobre el hperplao { x R a x = β }. Veamos lo ateror e la sguete fgura: x x + E +1 =S. E E x ) x +1 x { x R a x = β }. Fgura 1.1. El método de bola La bola S será la más pequeña posble, sí ) x + es. 1 x No es ecesaro teer a pror ua cota para la defcó de ua elpsode cal E 0 para mplemetar el algortmo. S embargo, éste puede ser útl para defr ua secueca de bolas {E } correspodete a la secueca {x }. Agmo mostró que sí (1.1) es u sstema factble, y s se seleccoa la restrccó (1.2) mayormete cumplda e térmos de la orma eucldaa, y sí además λ es acotado más allá de 0 y 2, etoces

4 30 el método coverge lealmete; asmsmo mostró que e cada teracó el cojuto de solucoes factbles es reducdo, bajo certa tasa fja, e comparacó co la teracó predecesora. Dcha tasa puede ser acotada tomado como base la razó de volúmees exstete etre las bolas E + y. 1 E A dfereca del método elpsodal ésta razó depede de los datos del problema más que de la dmesó Algortmos de plao de corte. La reduccó de la regó factble de u sstema de desgualdades leales medate plaos de corte es be coocda e la programacó matemátca. Por u lado Gomory, además de muchos otros, hzo uso de ello co la faldad de descartar vértces o-eteros e la programacó etera. Por otro lado, e la programacó covexa, la dea básca es remplazar ua fucó covexa, localmete, a través de uo de sus hperplaos de separacó. Medate el uso de cortes co la dreccó de la fucó objetvo, uo obtee ua secueca de problemas co cojutos factbles decrecetes así como de u valor de fucó objetvo crecete (ver [11], p-66) El método de subgradete y dlatacó del espaco. El método de subgradete para mmzar ua fucó covexa, o ecesaramete dferecable, es decr ua fucó f : R R, aparetemete fue troducdo por Shor [12]. dode El método posee la sguete forma geeral: g es u subgradete de f e. µ g x + 1 = x, (1.4) g Observe que sí se desea resolver (1.1), podemos mmzar x f(x) = max{ max (c x γ ),0 }; (1.5)

5 31 etoces, c = es u subgradete de f e x, sí c x dr, es la restrccó mayormete c volada del sstema (1.1). Por lo tato (1.4) cluye como caso especal ua versó de (1.3) e la cual ua restrccó co máxmo resduo es seleccoada. Polya [13] y Shor [14] demuestra covergeca leal para certas opcoes de logtud de paso de, µ bajo adecuadas codcoes sobre f. S embargo, la tasa de covergeca aú resulta demasado depedete de la fucó f. Shor (ver [15] y [16]), fué el prmero e darse cueta que era posble obteer mejores resultados s se trabajaba e u espaco trasformado. Esta es precsamete la dea que lleva del algortmo de desceso acelerado (co covergeca leal, la tasa depede de la fucó) al método Newto (co covergeca cuadrátca para fucoes suaves) y a algortmos cuas-newto (co covergeca superleal para fucoes suaves). La teracó toma ahora la sguete forma: g ~ = J J g g, x g ~ + 1 = x α J, (1.6) J J ( I g ~ g ~ = β ), + 1 para certos parámetros α y β adecuados, tales que cumpla α 0, (1.7) Ambos parámetros α β parámetros de expasó δ y dlatacó σ del método elpsodal y 0 < β < 1. (1.8) so respectvamete los atecedetes de los El térmo que g ~ se terpreta como la dstaca máxma (e térmos de orma elpsodal) que puede alcazarse e la dreccó del subgradete α es u escalar de traslacó, pues traslacó (ver [17], p-9) e la dreccó del subgradete α J g ~. g El parámetro es u vector de trasformacó de g sujeto a las codcoes que mpoga la matrz J.

6 32 Por otro lado la actualzacó de la matrz J correspode precsamete a la dlatacó del espaco e la dreccó del subgradete, es decr, J debe ser ua g matrz o sgular defda postva (o la raíz cuadrada de certa matrz B = J J,(ver secc ). B, tal que La codcó (1.8) es la codcó característca de las matrces de trasformacó de dlatacó (ver [3], p-496). E el caso de la matrz resultate de e la dreccó del subgradete g. J + 1 la matrz de dlatacó es la β g g, (1.9) Shor [16] descrbe la dfcultad que exste co la tasa de covergeca leal de su más recete método de subgradete publcado [14]. Su algortmo modfcado (1.6), cuado f satsface certas codcoes que permte que los parámetros estmados, proporcoa ua covergeca leal cuya tasa depede de la fucó f, pero resulta varate co respecto a trasformacoes leales. Cuado f es cuadrátca y estrctamete covexa, los parámetros puede ser seleccoados de maera que el método llegue a ser u método de gradetes cojugado [15]. Para la aplcacó de este algortmo, el valor mímo de f debe ser coocdo. Shor y Zhurbeo [18] realza la dlatacó del espaco e la dreccó de la dfereca etre gradetes sucesvos; este método evoca aú más a los métodos de mmzacó cuas-newto (ver [19], p-343). y g = + 1 g, α y β sea El método de seccoes cetrales. U método más sobre el cual esta basado el AE es áquel desarrollado de maera depedete por Lev [20] y Newma [21], quees agregaro al problema de mmzacó de ua fucó covexa f, u poledro acotado P0 R como restrccó

7 33 al problema de optmzacó. El método produce ua secueca teratva {x } y poltopos {P } medate la seleccó de x como cetro de gravedad de P y P + 1 = {x P g x g x }, dode de ueva cueta g es u subgradete de f e el puto. Ya que f es covexa, x P + 1 cotee a todos los putos de P cuyo valor de fucó objetvo o es mayor que el de x. E éste caso, el volume de P + es a lo mucho ( 1 ) veces el de. S 1 embargo, calcular los cetros de gravedad de poltopos co muchas facetas e ua gra dmesó espacal resulta ser ua tarea e ocasoes mposble de realzar. Lev propuso alguas smplfcacoes para =2. e 1 P El método elpsodal. El método elpsodal fue descrto, de maera u tato egmátca, e u artículo de Iud y Nemrovs [22]. E ambas publcacoes [22, 23] plasma la problemátca exstete co respecto a la complejdad computacoal de los problemas de programacó covexa: dado u úmero lmtado de llamados de fucó y/o subgradete, co calculos drectos lmtados, cómo se puede obteer u valor óptmo?. Para obteer ua cota superor sobre tal desvacó de la optmaldad, métodos específcos debero ser propuestos e su mometo. Iud y Nemrovs [22] utlza ua varate (el método de seccoes cetrales) del método de Lev ad Newma; los pesados cálculos drectos de los cetros de gravedad o so cotablzados e su aálss. Para problemas co paralelepípedos como regoes factbles, este método utlza solamete u factor más de teracoes que u método óptmo para obteer ua caldad de solucó dada. E su seguda publcacó, Iud y Nemrovs [23] dscute las dfcultades computacoales del método de Lev y descrbe el método de seccoes cetrales modfcado, utlzado elpsodes e lugar de poledros. Este método modfcado es descrto para mmzacó de ua fucó covexa f sujeta a u cojuto de restrccoes covexas; s embargo, para los problemas de

8 34 mmzacó de f s restrccoes e (1.5), éste se coverte e el método elspodal aplcado al problema de solucó factble de u cojuto de restrccoes. Este método modfcado puede llegar a tomar tatas teracoes, como las requerdas por el método s modfcacó, para obteer ua caldad de solucó dada, pero resulta computacoalmete mplemetable. Iud y Nemrovs descrbe el método elpsodal mplctamete, e térmos de ua secueca {0 } de sstemas de coordeadas. ambé putualzaro el sorpredete hecho acerca del método elpsodal, el de ser éste u caso especal del algortmo de Sohr (1.6) co ua dlatacó del espaco e la dreccó del subgradete, cuado los parámetros α y β adecuadamete seleccoados. Sohr [24] proporcoa el prmer eucado completamete explícto del método elpsodal tal y como se cooce hoy e día. so Es de estos trabajos de dode el AE toma la dea del subgradete para la actualzacó del uevo cetro y la dea de trasformacó del espaco para la actualzacó de la matrz que proporcoa, e cada teracó, las modfcacoes de la logtud de los ejes as como la dreccó de estos, para geerar ua ueva elpsode Problemas algorítmcos báscos para los cojutos covexos y formulacó de problemas. Los cojutos covexos y las fucoes covexas so objetos típcos de estudo e dferetes áreas (ver [2], p-46), tales como: Programacó Matemátca, Aálss Covexo y áreas relatvas. Alguas de las pregutas claves so las sguetes: Dado u puto y y u cojuto K, es y u membro de K, es decr, está y cotedo e K?. Sí y o es membro de K, cómo ecotrar u hperplao separador de y y K?. Dada ua desgualdad leal, es ésta válda para cada vector e K?. Dada ua fucó leal, cómo ecotrar u puto maxmzador (mmzador) de la fucó e K?. Dada ua fucó covexa, cómo ecotrar su mímo?.