CAPÍTULO 1 CONCEPTOS Y FUNDAMENTOS 1.1 SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES

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1 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca CAPÍTULO CONCEPTOS Y UNDAMENTOS Para poder explcar cómo fucoa los métodos umércos de covergeca global que se preseta e esta tess es ecesaro eucar los coceptos de: sstema de ecuacoes o leales, fucó objetvo de mmzacó, homotopía y fucoes homotópcas, fucó defda mplíctamete, homeomorfsmo, heurístcas y metaheurístcas. Además, es muy mportate també eucar dos teoremas muy populares etre los matemátcos que so: el teorema de la fucó mplícta y el teorema de la fucó versa. Esta teoría es fudametal para compreder el método umérco de la heurístca y el método umérco homotópco que so los métodos de covergeca global que se aalza e este documeto de tess. A medda que se euca los coceptos y los teoremas se da ua breve explcacó de cuál es el papel que juega detro de los métodos umércos.. SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES U sstema o leal de ecuacoes co cógtas es de la forma: f f f f 3 x,x,x,,x 3 3 x,x,x,,x 3 3 x,x,x,,x x,x,x,,x O e presetacó vectoral medate la ecuacó x,x,x,, 3,x f f f f 3, dode: x,x,x3,,x x,x,x3,,x x,x,x,,x 3 y es el vector ulo de x,x,x,,x 3 R

2 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca Las fucoes f, f, f 3,, f so, e geeral, fucoes o leales de varables reales depedetes y que tee u domo e comú el cual se va a deotar como R. Es decr, para cada,, 3,, : f : R x,x,x,,x f 3 A estas fucoes las llamaremos fucoes compoetes del sstema o leal [3]. Es mportate dcar que se puede teer sstemas o leales e los cuales el úmero de ecuacoes puede ser dferete al úmero de cógtas. E otros térmos, se puede teer sstemas o leales co m fucoes compoetes cada ua co varables reales depedetes dode m. S tal es el caso, la mplemetacó que propoemos para el método heurístco se puede usar s coveetes, smplemete se tedría que defr adecuadamete la fucó objetvo de mmzacó empleado las m fucoes compoetes del sstema o leal. Pero para el caso del método homotópco o servría la mplemetacó que se preseta e esta tess ya que dcha mplemetacó trabaja co matrces cuadradas y co versas de matrces cuadradas. S m sería ecesara ua geeralzacó del cocepto de matrz versa, como por ejemplo, la matrz versa de Moore-Perose [6], lo cual se escapa del alcace de este documeto, s embargo, es ua recomedacó que se puede tomar e cueta para u trabajo a futuro.. UNCIÓN OBJETIVO DE MINIMIZACIÓN Hacedo uso de las fucoes compoetes f, f, f,, f 3 de u sstema o leal, se procede ahora a defr ua fucó g a la que llamaremos fucó objetvo de mmzacó la cual tee també obvamete su domo e el cojuto, tal como ocurre co las fucoes compoetes. Se defe etoces g medate la expresó: g f f f f f 3 Note que la varable del operador sgma va desde hasta. S se tee u sstema o leal co cógtas pero co m ecuacoes, etoces el operador sgma que se

3 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca utlza para defr a la fucó g debería cosderar eso y termar e m. E el método umérco de la heurístca se resuelve u problema de mmzacó que, como ya se djo, es equvalete al sstema o leal. La fucó que se debe mmzar es precsamete la fucó g que se acaba de defr y la búsqueda del óptmo ocurre e el cojuto..3 UNCIONES HOMOTÓPICAS Y HOMOTOPÍA Supoga que las fucoes,g : R R so cotuas. Se dce que y G so homotópcas, s exste ua fucó cotua ocurre que H, G y H, fucó H ua homotopía de G haca. H :, R tal que para toda. S tal es el caso, llamaremos a la La dea del cocepto de homotopía es que ua fucó cotua G se pueda deformar cotuamete hasta covertrse e la fucó cotua. La fucó que permte esta trasformacó es la fucó cotua H medate el parámetro, podría defr H de muchas maeras, pero es muy comú trabajar co homotopías covexas y defr H medate la expresó:. Se H, G De esta maera, coforme varía cotuamete de hasta, la fucó H permte que G se deforme de maera cotua hasta covertrse e [6] [7]. Cómo este cocepto os puede ayudar para resolver el sstema o leal dea es la sguete: debemos partr de u sstema o leal, G? La H del cual se coozca ua solucó. A medda que movemos cotuamete desde el valor hasta el valor, y tomado como base de partda la solucó, vamos resolvedo toda la famla de sstemas o leales, H hasta ecotrar falmete la solucó deseada del sstema o leal, H [6] [7]. 3

4 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca Qué sstema G utlzar? Teemos també muchas respuestas a esta preguta, pero es típco defr para algú : G Obvamete, debdo a la maera e que se costruyó la fucó G, es de observar que es ua solucó del sstema G. Note que el sstema, bajo certas codcoes, ua curva cotua y dferecable H defe, e R co puto cal e cuado y puto fal e la fucó: cuado. Es decr, se tee :, R La cotudad y la dferecabldad so codcoes deseadas sobre la fucó e todo su domo. Cosderemos las sguetes pregutas: Cómo se puede garatzar que la curva curva exste, es úca y es de clase C? Cómo obteer la umércamete? Qué garatía exste para que podamos afrmar que es ua solucó del sstema o leal H,? Para respoder a estas pregutas ecestamos alguas defcoes y teoremas que se preseta a cotuacó [6] [7]. 4

5 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca.4 UNCIÓN DEINIDA IMPLÍCITAMENTE Sea H : U R R R ua fucó co U cojuto aberto. Supoga que exste u puto, U tal que H,. Se dce que, H defe a como ua fucó mplícta de e u etoro de, s exste u cojuto aberto V R tal que V, u tervalo aberto, co como rado tal que V, U, y ua úca fucó, V : tal que para todo, la fucó es solucó del problema H, (Es decr que H, ). Segú el cocepto ateror, s se cumple certas codcoes, se puede garatzar la exsteca de la fucó que defe ua curva e R co extremos e co y co. Se euca más adelate el teorema de la fucó mplícta pero se lo hace de maera muy partcular aplcado a uestra fucó H [6] [7]..5 HOMEOMORISMO Se dce que la fucó fucó byectva cotua co fucó versa : R R es u homeomorfsmo s se cumple que es ua també cotua. Recordar que u sstema o leal de ecuacoes e forma vectoral se lo represeta medate la ecuacó. E la seccó 3. se euca y se demuestra ua proposcó, e la cual ua de las hpótess es que la fucó es u homeomorfsmo. Este supuesto es muy mportate ya que os permte probar que exste u problema de valor cal que es equvalete al problema de resolver u sstema de ecuacoes o leales. Además, permtrá probar que exste solucó y que dcha solucó es úca para el problema de valor cal s mportar el dato cal que se tome R. Esto garatza la covergeca del método homotópco [6] [7]. 5

6 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca.6 TEOREMA DE LA UNCIÓN IMPLÍCITA Sea H : U R R R ua fucó de clase C U co U cojuto aberto. S se tee el puto, U tal que H,, y además, versble, etoces la ecuacó, e u etoro aberto del puto, fucó de clase H es ua matrz H defe mplíctamete la fucó C e algú tervalo alrededor de y es úca.. Además, es també ua E el eucado ateror, H represeta la dervada parcal de la fucó H respecto de la prmera varable, por lo que se trata de ua matrz Jacobaa. Este teorema es muy mportate porque proporcoa codcoes sufcetes para garatzar la exsteca y ucdad de la curva sólo eso, també garatza que problema a resolver, puede ocurrr que U R e el tervalo, es de clase C,. No. Depededo del R. Lo mportate es que el domo de la fucó H de dode se cosdera la exsteca, ucdad, cotudad y dferecabldad cotua de cotega al cojuto, de uestro terés. Depededo del problema, podría o ocurrr esto. Es mportate etoces estudar cómo se comporta la curva para el problema e partcular que se desea resolver. La curva podría o llegar a alcazar el puto para el cual o podría recorrer ua dstaca fta desde hasta debdo a su logtud o fta [6] [7]. Procedemos ahora a eucar el popular teorema de la fucó versa para fucoes de u subcojuto de R e proposcó que se eucará y demostrará más adelate. R. Este teorema es de gra utldad para dscutr ua 6

7 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca.7 TEOREMA DE LA UNCIÓN INVERSA Sea : U R R ua fucó de clase Jacobaa es versble y Y C. Sea U tal que la matrz. Etoces, exste cojutos abertos V y W tales que V, Y W y : V W es ua fucó byectva. Por lo tato la fucó versa : Y W V [6]. exste y es també de clase C. Además, ocurre que.8 HEURÍSTICAS Y METAHEURÍSTICAS La palabra heurístca provee de u térmo grego cuyo sgfcado es hallar, descubrr. Se puede etoces defr ua heurístca como ua técca para resolver problemas dode el objetvo prcpal es buscar. Dcha búsqueda está basada e u cojuto de reglas, es decr, se trata de u procedmeto sstemátco y orgazado. Los pasos a segur e ua heurístca os drá cómo proceder y qué coveetes evtar durate ua búsqueda e partcular [4] [5]. Por ejemplo, e los problemas de optmzacó se usa las heurístcas. U modelo matemátco típco de optmzacó es de la forma: MA o MIN f R SUJETO A R El objetvo e el problema de optmzacó es buscar aquel elemeto que hace que la fucó f tome el valor más alto posble ( MA ), o que permte que f tome el valor más bajo posble ( MIN ). La fucó f puede ser leal o o leal y se la cooce como la fucó objetvo. Se dce que el problema es s restrccoes s restrccoes s estrctamete R y co R. Al cojuto se lo cooce como el cojuto de solucoes factbles o espaco de búsqueda [4] [5]. Exste métodos exactos para resolver problemas de optmzacó, y como el ombre msmo lo dce, so métodos que os permte coocer la solucó óptma, es decr, la solucó exacta del problema de optmzacó. La fucó objetvo y sobre todo el tamaño del espaco de búsqueda puede complcar el ecotrar el óptmo de u problema de optmzacó. Al ejecutar 7

8 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca u algortmo que está tetado ecotrar la solucó de u problema de optmzacó, los recursos computacoales actuales, dígase prcpalmete memora prcpal y el procesador, so també u factor mportate que puede complcar muchísmo el ecotrar el óptmo al meos e u tempo prudecal [4] [5]. Las heurístcas so métodos exactos para problemas de optmzacó, es decr, se trata de métodos que o ofrece gú tpo de garatía para ecotrar la solucó exacta, pero e la práctca so capaces de ofrecer muy bueas solucoes, es decr, solucoes vables e el mudo real que está cerca de la solucó óptma del problema, y que esa solucó cercaa y buea la puede ecotrar e u tempo computacoal aceptable. Lo dcho aterormete es la prcpal razó por la cual las heurístcas so muy populares y so la técca preferda e muchos problemas de optmzacó que so muy complcados [4] [5]. E resume, la heurístca es u método que desea ecotrar bueas solucoes (preferblemete las óptmas) e bueos tempos de ejecucó. El térmo heurístca se usa també para referrse a algortmos que resuelve problemas de propósto partcular. S se tee u tpo de problema de optmzacó co certas característcas que lo hace especal, dstto, dferete, de otros tpos de problemas de optmzacó, se puede dseñar ua heurístca, es decr, u algortmo que resuelve ese tpo de problema putual de optmzacó. Por ejemplo, es muy coocdo el algortmo de Djkstra para ecotrar el camo más corto etre dos vértces de u grafo. Por el cotraro, ua metaheurístca es u algortmo que resuelve problemas geerales de optmzacó, es decr, se le puede aplcar ua msma metaheurístca a muchos tpos de problemas de optmzacó s mportar lo dferete que sea. Ua metaheurístca se la puede ver també como ua heurístca para heurístcas, es decr, cuado se emplea ua metaheurístca para resolver u problema de optmzacó e partcular, la metaheurístca como parte de las tareas que debe realzar, se apoyará e heurístcas de propósto partcular, para resolver el problema de optmzacó [4] [5]. Exste muchas metaheurístcas muy coocdas, etre ellas: el algortmo geétco, la búsqueda tabú, el recocdo smulado, GRASP, que puede utlzarse, juto co heurístcas, para resolver problemas de optmzacó. Scatter search es també u 8

9 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca método metaheurístco que se puede emplear para resolver problemas de optmzacó y forma parte de la famla de los algortmos evolutvos. Tee sus orígees e los años seteta, pero es e la últma década cuado ha sdo probado e muchos problemas co u alto grado de dfcultad y co exceletes resultados [4] [5]. U objetvo secudaro de este documeto de tess es el de explcar cada ua de las fases de scatter search o e español búsqueda dspersa, es decr, dcar e detalle cómo trabaja teramete el algortmo. Para tal efecto, se ha costrudo u software que optmza fucoes cotuas de varas varables reales sobre u cojuto compacto utlzado la metaheurístca de scatter search. A medda que se explque cómo teramete hace su trabajo el algortmo de búsqueda dspersa, se dcará també e qué mometo utlza heurístcas de propósto partcular, y cuál es el trabajo que estas heurístcas realza. 9

10 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca CAPÍTULO EL MÉTODO NUMÉRICO HEURÍSTICO Este capítulo trata exclusvamete el prmer método de covergeca global de este documeto de tess que se lo ha llamado el método umérco de la heurístca. E la prmera parte se probará que se puede expresar u sstema o leal de ecuacoes e térmos de u problema de optmzacó [] [] [3]. Luego, para resolver el problema de optmzacó se utlza la metaheurístca de búsqueda dspersa. Se explca e detalle todo lo que tee que ver co el dseño del algortmo y su fucoameto tero. Se falza el capítulo hacedo u aálss comparatvo de esta ueva técca para resolver sstemas o leales co los métodos teratvos covecoales.. EL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN A cotuacó se va a eucar y a demostrar matemátcamete ua proposcó que justfca el platear u sstema de ecuacoes o leales e térmos de u problema de mmzacó. Proposcó.- El vector x,x,x,,x decr: mímo e 3 es ua solucó de (es ), s y sólo s, la fucó g (defda aterormete) toma como valor el valor Demo Prmera Parte: Supogamos que que f. Luego: g f. Etoces para cada,, 3,, ocurre Además para toda,, 3,, y para toda se tee que f, por lo que g para toda. Etoces la fucó g toma el valor mímo cero e

11 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca Seguda Parte: Ahora supogamos que la fucó g toma el valor mímo cero e. Se debe etoces demostrar que. Por hpótess g. Etoces g f Es decr f f f f 3 Se debe probar que para toda,, 3,, ocurre que f. Hagamos la prueba por cotradccó. Supogamos que lo ateror es falso, es decr, que exste ua tal que f. S esto es así, sucede que f f f f f g 3 lo que obvamete cotradce la hpótess que dce que g tato, para toda solucó de f y se da que., lo cual o puede ser. Por lo. Es decr, es ua De aquí e más, para resolver u sstema o leal e partcular, lo prmero que haremos es costrur la fucó g utlzado las fucoes f, f, f 3,, f que compoe el sstema. Luego, el cojuto, para la ejecucó del algortmo, lo vamos a supoer de la forma: x,x,x,,x R / x para cada,, 3,, 3 Es decr, para resolver el sstema de ecuacoes o leales, se debe mmzar la fucó o leal g y se debe fjar cotas ferores y superores para cada ua de las varables del sstema. Se espera que exsta ua solucó para el sstema o leal e el cojuto, para que la solucó ecotrada e el problema de optmzacó la podamos tomar també como solucó del sstema o leal. Debdo a que el sstema o leal es el modelo matemátco de algua aplcacó o problema del mudo real, se puede costrur u cojuto dode se sospecha o se cosdera se ecuetra la solucó del sstema o leal. La expereca del modelador, o de las persoas

12 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca volucradas e el problema que es represetado por el sstema o leal, es vtal y sumamete mportate para defr dcho cojuto.. EL ALGORITMO DEL MÉTODO HEURÍSTICO El problema de optmzacó que se pretede resolver es u problema de mmzacó e el cual la fucó objetvo gx,x,x, 3,x es ua fucó o leal y, cada ua de las varables depedetes de g, está acotada tato feror como superormete. Es decr, para cada,, 3,, ocurre que x. E otras palabras:,,,, 3, 3, R Para ejecutar el algortmo ecestamos gresar etoces la fucó g y, los tervalos para cada ua de las varables dode se cree que se ecuetra la solucó del sstema o leal. Algo mportate de mecoar es que al usar cualquer algortmo metaheurístco estamos cocetes que o exste garatía de ecotrar el óptmo del problema, pero podemos ecotrar ua buea solucó e u tempo prudecal y co u costo computacoal aceptable, e comparacó co cualquer método exacto que se pueda usar para el problema de optmzacó [] [] [3]. Ahora, por qué el algortmo scatter search? Porque ha sdo muy amplamete usado y co mucho éxto para la optmzacó de fucoes leales y o leales de varas varables sobre u espaco de solucoes que puede ser cotuo y també dscreto [4] [5]. A cotuacó se explca cada etapa del algortmo... GENERACIÓN DEL CONJUNTO P Lo prmero que debe hacerse al resolver u problema de optmzacó co scatter search es costrur u cojuto al que llamaremos P. Ua etrada del algortmo etoces es el tamaño del cojuto P, defda co la varable PSze. Los elemetos del cojuto P será vectores de R que perteece al cojuto. Es decr, cada elemeto del cojuto P es ua solucó factble del problema de mmzacó. Estos elemetos se va a geerar aleatoramete pero de forma tal que podamos cubrr o abarcar todo el cojuto, para así teer dversdad e esta prmera geeracó de solucoes factbles. S embargo, el tema de la caldad es també mportate e esta

13 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca prmera etapa del algortmo. A cotuacó se explca cómo se va a geerar los vectores. Cada varable depedete x de la fucó g vve e u tervalo,. Se va a dvdr o a partcoar cada tervalo, e m subtervalos. El úmero de subtervalos de gual tamaño e el que se va a dvdr el tervalo, se va a represetar etoces co la varable m, el cual es també u parámetro de etrada para el algortmo. De esta maera, la logtud de cada subtervalo (todos los subtervalos para la varable x tee la msma logtud) es: x m Ahora se va a geerar PSze elemetos co ua mezcla de dversdad y caldad. Prmero hacemos uso de la dversdad, cómo trabaja? Así: Para cada varable x se seleccoa aleatoramete u subtervalo (se geera u úmero etero aleatoro etre y m ), luego se geera u úmero aleatoro de puto flotate detro del subtervalo seleccoado aterormete, lo que va a represetar el valor de la -ésma compoete del vector. Esto se debe hacer etoces por cada ua de las compoetes del vector de R. almete, se aplca u método de mejora al vector que se acaba de costrur, e otras palabras, a través de ua local search se busca s exste cerca de la solucó geerada otro vector que mejora el comportameto de la fucó objetvo (es decr que mmza la fucó g ). Posterormete se explcará la forma de trabajar de la búsqueda local. Pero, para asegurar la dversfcacó de los elemetos e el cojuto P, la probabldad de elegr u subtervalo, para ua varable cualquera x, es versamete proporcoal a la catdad de úmeros de puto flotate geerados e dcho subtervalo de esa varable x. De esta maera se trata de balacear las solucoes a lo largo de todo el cojuto. Como podemos aprecar, se tee ahora u cojuto P co ua mezcla muy buea de caldad y dversdad. 3

14 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca.. BÚSQUEDA LOCAL La local search o búsqueda local mplemetada recbe como etrada la solucó a mejorar y u parámetro adcoal que le dce al método el úmero de tetos que debe hacer para buscar u mejor vector e ua vecdad del vector cal, este úmero de tetos está e fucó del úmero de veces que se va a evaluar la fucó g. Cómo trabaja? A la -ésma compoete del vector cal se le geera u úmero aleatoro que se le suma o se le resta a esa -ésma compoete (lo cual també es aleatoro) de maera tal que se obtee u uevo valor para esa -ésma compoete y, de esta forma, al efectuar esto veces, se obtee u uevo vector. Aquí se debe teer todo el cudado de que el valor de la -ésma compoete del uevo vector respete los límtes defdos del subtervalo al cual perteece el valor de la -ésma compoete del vector orgal (esto es lo que hace que la búsqueda sea local, el uevo valor de cada varable o se debe salr del subtervalo e el que se ecuetra el valor orgal de esa varable). Cada vez que se costruye u vector e la vecdad del vector orgal se ha realzado u teto. Como resultado del teto se tee u uevo vector que es descartado s o mejora la fucó g o tomado como el uevo vector orgal s la fucó g mejora co este uevo vector. Después de ua catdad de tetos (lo que es u argumeto de este procedmeto) se detee la búsqueda. S se ha llegado al úmero de tetos tope de búsqueda defdo a través del argumeto úmero de evaluacoes y o se ha ecotrado ua mejor solucó, el método devuelve la prmera solucó que se pasó como argumeto, es decr, se dca así que os quedamos gualtos, o se ecotró ada mejor. Cabe dcar que otro método que se mplemetó para la búsqueda local es el coocdo algortmo heurístco Nelder-Mead propuesto por Jho Nelder y Roger Mead e 965 para la optmzacó cotua de ua fucó objetvo s restrccoes. Este algortmo sólo utlza la regla de correspodeca de la fucó a optmzar y o utlza las dervadas parcales de gú orde para dcha fucó, motvo por el cual fue escogdo també. Además se trata de u algortmo que ha tedo mucho éxto e dversos problemas presetado bueos resultados, pero hay que teer presete que se trata de u algortmo local y o global. De esta maera, el algortmo scatter search que se ha costrudo tee la capacdad de ejecutar co cualquera de los dos algortmos de búsqueda local ates dcados. 4

15 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca..3 CONSTRUCCIÓN DEL CONJUNTO R E el método de scatter search exste u segudo cojuto mportate, el cojuto R, el cual es costrudo a partr del cojuto P. La cardaldad de este cojuto R es també u parámetro del algortmo. Para costrur el cojuto R os preocupamos que la varable RSze, que defe el tamaño de R, sea par, ya que la mtad de los elemetos de R será escogdos por caldad metras que la otra mtad por dversfcacó, como ya se djo, hacedo uso del cojuto P. Aquí es mportate dcar que se pudo haber parametrzado esto, es decr, que b elemetos sea escogdos por caldad y b por dversdad teedo presete que b b RSze. Retomado, se toma etoces los RSze prmeros e caldad elemetos del cojuto P (es decr, los mejores elemetos de dcho cojuto) y se corpora al cojuto R. Cómo escoger los elemetos restates? De los elemetos que queda de P se debe tomar RSze elemetos más para completar el cojuto R, cómo se lo hace para garatzar dversdad? Se calcula la dstaca de cada elemeto de P (ya o se cosdera aquellos que se lleva a R ) al cojuto R co la fórmula: Sea v P, luego d v,r MIN wr v w y el elemeto que se almacea e R es aquel elemeto de P que dsta más de R, es decr, el más lejao al cojuto R. La orma utlzada para calcular la dstaca mecoada es la orma eucldaa. E este mometo se tee ya costrudo totalmete el cojuto R co ua mezcla muy buea y adecuada de caldad y dversdad...4 ACTUALIZACIÓN Y MANTENIMIENTO DEL CONJUNTO R Durate la búsqueda del óptmo el cojuto R debe actualzarse muchas veces y eso es lo que se va a explcar. Cabe dcar aquí que el úmero de actualzacoes del cojuto R es també u parámetro del algortmo. Ua vez costrudo el cojuto R se procede a crear subcojutos de R. E esta mplemetacó el tamaño de cada subcojuto es de dos elemetos de R (pero e otras mplemetacoes co scatter search la cardaldad de estos subcojutos puede ser de más elemetos), es decr, usado R se geera todas las parejas posbles de elemetos s repetr, porque se les va a aplcar u método de combacó. Cómo trabaja el método de combacó? Eso 5

16 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca se explca uas líeas más adelate. Al aplcar u método de combacó a cada subcojuto, se geera cuatro elemetos y, a cada uo de estos uevos elemetos (llamados vectores prueba) se les aplca u método de mejora, es decr, se emplea la operacó de búsqueda local explcada aterormete para estudar la vecdad de estas solucoes prueba e busca de uas mejores solucoes. Etoces, por cada subcojuto se tee cuatro solucoes mejoradas que se añade a u cojuto deomado Pool. Es decr que falmete e Pool se tee el resultado de aplcar métodos de combacó y mejora a cada uo de los subcojutos costrudos a partr del gra cojuto R. Ua vez que el cojuto Pool está lleo se costruye u cojuto de vda corta Temp de forma tal que ahí se almacee todos los elemetos de R y de Pool, es decr Temp R Pool. Este cojuto temporal, tee ua cardaldad gual a la cardaldad de R más la cardaldad de Pool. Los RSze mejores elemetos so los que pasa falmete al cojuto R. Cuátas veces ocurre esto? Hay u parámetro llamado Número de Iteracoes que se debe gresar ates de correr el algortmo de scatter search, pues este parámetro es el que srve para cofgurar el úmero de veces que el cojuto R se va a actualzar. La opcó de recostrur el cojuto R, aclaramos, o se ha corporado e la mplemetacó. Es decr, s el cojuto R permaece s cambos después de ua actualzacó (debdo a que el combar y mejorar o produce ada uevo) se recomeda ua recostruccó dode partcpa uevamete el cojuto P y el cojuto R se actualza uevamete por caldad y dversdad. No se mplemetó esta etapa debdo a que o se lo cosderó ecesaro ya que e las pruebas que se realzaro el algortmo sempre ecotraba solucoes muy cercaas al óptmo, es decr, el software ecotraba correctamete valores muy próxmos al óptmo del problema de mmzacó e todos los ejemplos de sstemas o leales e los que se lo puso a prueba. Cabe dcar que se probó el algortmo e sstemas o leales de hasta cco ecuacoes y cco cógtas, y co cojutos pequeños dode se sospechaba se ecotraba la o las solucoes. Pero sería mportate cosderar la recostruccó del cojuto R s se tee sstemas o leales de mayor tamaño. 6

17 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca..5 MÉTODO DE COMBINACIÓN El método de combacó mplemetado es muy secllo y opera así: se geera cuatro úmeros aleatoros de puto flotate e el tervalo, co la dea de aplcar combacoes leales covexas. Es decr, el método de combacó lo úco que recbe como parámetro es el subcojuto de R que tee dos solucoes SolA y SolB, y devuelve como salda cuatro combacoes leales covexas dsttas. Es mportate decr que esta salda o pasa drectamete a R ya que ates se aplca el método de mejora a cada ua de las cuatro solucoes obtedas por combacó, y ellas sí pasa ya al cojuto R...6 MÉTODO PRINCIPAL DEL ALGORITMO A cotuacó se va a mostrar el método prcpal llamado EjecutarSS que gobera el comportameto y la operacó geeral del algortmo de scatter search que se mplemetó. Todas las etapas o fases aterores coorda y se elaza e el método prcpal. A cotuacó la fgura. os muestra las etapas explcadas aterormete y luego se preseta el método prcpal del algortmo: gura.: Etapas Búsqueda Dspersa 7

18 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca publc double[] EjecutarSS(out double MejorValor) { ArrayLst Pool = ew ArrayLst(); ArrayLst EvalPool = ew ArrayLst(); Stopwatch Tempo; double[,] MejoresValores = ew double[ths.numiteracoes, ]; Tempo = Stopwatch.StartNew(); ths.geerarp(); ths.costrurr(ths.p, ths.evalp, ths.r, ths.evalr); } ArrayLst SubSets = ew ArrayLst(); t Iteracoes = ; whle (true) { ths.geerarsubsets(subsets, R); whle (SubSets.Cout!= ) { double[][] SubSet = (double[][])subsets[]; double[][] TralSolutos = ths.combar(subset); double Valor = ths.ls(tralsolutos[], ); Pool.Add(TralSolutos[]); EvalPool.Add(ValorUo); double Valor = ths.ls(tralsolutos[], ); Pool.Add(TralSolutos[]); EvalPool.Add(ValorDos); double Valor3 = ths.ls(tralsolutos[], ); Pool.Add(TralSolutos[]); EvalPool.Add(ValorTres); double Valor4 = ths.ls(tralsolutos[3], ); Pool.Add(TralSolutos[3]); EvalPool.Add(ValorCuatro); SubSets.RemoveAt(); } ths.actualzarr(r, EvalR, Pool, EvalPool); MejoresValores[Iteracoes, ] = EvalR[]; MejoresValores[Iteracoes, ] = Tempo.ElapsedMllsecods; Iteracoes++; f (Iteracoes == ths.numiteracoes) break; } MejorValor = EvalR[]; retur R[]; E el capítulo 4 se muestra resultados de los expermetos computacoales efectuados co el algortmo del método de la heurístca. Se efectuaro pruebas co sstemas o leales de hasta 5 ecuacoes co 5 cógtas, e los cuales se obtuvero muy bueas aproxmacoes. Cabe dcar que la precsó depede del cojuto de búsqueda. 8

19 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca.3 ANÁLISIS COMPARATIVO MÉTODOS CLÁSICOS A cotuacó e la tabla. se muestra u aálss que compara los métodos heurístcos co los métodos teratvos covecoales para la solucó de sstemas o leales. Se preseta vetajas y desvetajas de cada uo, pero de maera comparatva. Es mportate dcar que báscamete lo úco que tee e comú ambos métodos es que resuelve sstemas o leales, pero la forma e la que ecara el problema es radcalmete dstta. Métodos Heurístcos Vetajas Desvetajas Domo de covergeca amplado debdo a las estrategas de dversfcacó Se los puede utlzar para determar el dato cal que ecesta los algortmos teratvos covecoales o para futuras corrdas del msmo algortmo e u espaco de búsqueda más reducdo Las fucoes de varas varables que compoe el sstema o ecesta cumplr co codcoes de cotudad y dferecabldad de gú orde No se ecesta cálculos matrcales tedosos calcular dervadas parcales de gú orde E ua msma ejecucó se puede ecotrar muchas solucoes, s es que exste La mplemetacó del algortmo es más complcada, exste muchas fases o etapas volucradas No exste garatía de ecotrar el óptmo del problema, so algortmos que utlza e su trabajo la aleatoredad. Además, puede quedarse atrapados e óptmos locales Espaco de búsqueda cosderable, e geeral covergeca leta. La velocdad de covergeca depede del tamaño del espaco de búsqueda No se puede estmar el úmero de teracoes ecesaras para estar ta cerca de la solucó exacta como se desee. La técca prcpal e que basa su trabajo es ua computacó evolutva. Exste muy poca teoría matemátca detrás del método que estude o aalce covergeca y error Métodos Iteratvos Cláscos Vetajas Desvetajas La mplemetacó del algortmo es más seclla, usualmete medate fórmulas recursvas S el dato cal se ecuetra detro de la regó de covergeca se garatza que el método coverge a la solucó exacta E geeral se tee covergeca al meos leal, es decr, so métodos rápdamete covergetes Se puede teer cotrol sobre el error. Se puede estmar el úmero de teracoes para que la dstaca etre la solucó exacta y el valor estmado o supere la toleraca deseada Muchos teoremas y proposcoes que estuda covergeca y error de los métodos Normalmete u reducdo domo de covergeca Puede teer depedeca de otros métodos que proporcoe el dato cal para poder comezar co las teracoes Depededo del método que se utlce, las fucoes de varas varables empleadas debe ser de clase C o de clase C o cluso superor, o debe satsfacer o cumplr la codcó de Lpschtz Por cada teracó muchos cálculos matrcales (e alguos casos el cálculo de matrces versas y producto de matrces) y cálculos de dervadas parcales S el sstema o leal tee muchas solucoes, sólo ua se puede ecotrar por cada corrda Tabla.: Aálss Comparatvo Métodos Heurístcos co Métodos Tradcoales Iteratvos 9

20 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca.4 ANÁLISIS DE CONVERGENCIA El método heurístco que se propoe e esta tess es umérco e el setdo que busca aproxmar o estmar, co la mayor precsó posble, solucoes para u sstema o leal de ecuacoes [] [] [3], pero al msmo tempo es u método o determsta debdo a los compoetes aleatoros que posee [4] [5]. Cabe dcar que o todo se deja al azar, la aleatoredad se usa de maera crterosa. Exste reglas que guía la búsqueda de forma que se pueda explorar el espaco de solucoes efcetemete corporado además mecasmos que teta evtar caer e óptmos locales. Es decr, se trata de u procedmeto de búsqueda sstemátco co moderados ttes aleatoros [4] [5]. El objetvo e esta seccó es aalzar, detro de lo posble, el tema de la covergeca del método heurístco, s vale la utlzacó del térmo. Los métodos umércos covecoales, como el coocdo método de Newto, so métodos determstas y se puede efectuar s muchas complcacoes u aálss de covergeca ya que exste ua expresó claramete defda que permte ecotrar, coforme se tera, el sguete elemeto de la sucesó s coocemos el elemeto ateror, es decr, se tee ua regla de correspodeca para la sucesó, que obvamete depede del dato cal [] [3]. E otras palabras, s al ejecutar el método de Newto ua y otra vez, usamos el msmo sstema o leal y partmos del msmo dato cal, se costrurá exactamete la msma sucesó e todas las corrdas. Supoga que dado u dato cal se ha terado veces co el método de Newto y se tee el elemeto de la sucesó vectoral que costruye dcho método. Bajo estas codcoes cuado se desea resolver el sstema se puede coocer co certeza el elemeto de la sucesó, el cual es: El aálss de covergeca para el método heurístco es muchísmo más complcado debdo a lo o determsta de su comportameto. S ejecutamos el método heurístco ua y otra vez, co el msmo sstema o leal y co los msmos parámetros de etrada, se va a geerar dsttas sucesoes, es decr, se va a obteer resultados dferetes. E el método de Newto, bajo certas codcoes, se puede garatzar la covergeca y los tempos de ejecucó so pequeños e comparacó a los tempos de ejecucó del método heurístco que so mucho más cosderables y dode además o exste garatía de alcazar el óptmo global [4] [5] [9]. El caer e u óptmo local es algo que puede ocurrr e geeral co cualquer metaheurístca, o sólo co búsqueda dspersa [4] [5]. Lo que procedo a efectuar ahora es, basado e la operacó tera del método heurístco, ua dscusó sobre la covergeca del método tetado ser lo más formal posble desde ua perspectva matemátca. Recordar que el método heurístco teta mmzar la fucó g o leal defda e la seccó. sobre u cojuto compacto, el cual es ua regó hperrectagular e el espaco vectoral R. E térmos matemátcos, el método heurístco costruye dos sucesoes mportates, o sólo ua sucesó como lo hace los métodos de covergeca local, partcularmete el método de Newto. La prmera sucesó es vectoral y la seguda sucesó y es escalar.

21 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca Ua vez que etra e ejecucó el método heurístco el prmer paso es geerar aleatoramete la catdad de vectores que permta llear el coocdo cojuto P, el cual tee u tamaño defdo PSze. E esta geeracó es mportate tetar dstrbur los vectores uformemete a lo largo de la regó que defe. Pero estos vectores o gresa drectamete a P, ates se busca localmete s cerca de cada vector geerado exste otro mejor y, s tal es el caso, se almacea este últmo e el cojuto P y o el vector costrudo calmete. Sea etoces v u vector resultate (geeracó + mejora). S v P etoces P P v, caso cotraro se descarta el vector v. Este paso se repte hasta llear todo el cojuto P. Observe u prmer compoete aleatoro e esta prmera etapa del método heurístco [4] [5]. El segudo paso cosste e llear u cojuto R co cardaldad RSze. Tomamos los mejores RSze elemetos del cojuto P para ubcarlos e R. Luego tomamos los RSze elemetos del cojuto P que se ecuetre más lejos del cojuto R. Note como los aspectos de caldad y dversfcacó so cosderados també e la costruccó del cojuto R. Aú o se geera el prmer elemeto de las sucesoes de terés y y. El tercer paso cosste e formar parejas de maera aleatora etre los elemetos del cojuto R. Co estas parejas se realza cuatro combacoes leales covexas. Es decr, por cada pareja se geera cuatro elemetos más, a los cuales se les aplca ua búsqueda local. Al fal se tee, además de los elemetos del cojuto R, ua catdad adcoal de elemetos geerados que fuero mejorados. De etre todos estos elemetos, los RSze mejores so los que formaría ahora parte del cojuto R. E este mometo el vector es el mejor elemeto del cojuto R metras que y g. Ya teemos etoces el prmer elemeto de cada sucesó. Cada teracó e el método heurístco cosste e ua actualzacó del cojuto R y, por cada actualzacó de R, se obtee como resultado u uevo elemeto para cada sucesó [4] [5]. El tercer paso explcado aterormete es lo que ocurre e cada teracó, es decr, uevamete se forma parejas etre todos los elemetos del actual cojuto R para hacer combacoes leales covexas que será posterormete mejoradas medate ua búsqueda local y, de etre todos los elemetos que se tee, cludos los elemetos de R, se toma los RSze mejores para que sea los elemetos del uevo cojuto R. E cada teracó etoces se obtee el uevo elemeto de cada sucesó. Por lo explcado aterormete es que se puede afrmar que ua teracó e el método heurístco cosume más recursos computacoales (memora + tempo de procesador) que ua teracó e cualquer método clásco de covergeca local. Es muy otoro que e ua teracó del método heurístco exste más pasos, más tareas y por ede más operacoes artmétcas que e ua teracó de Newto por ejemplo. Supogamos que os ecotramos e la teracó del método heurístco. El vector es el mejor elemeto del cojuto R de esa teracó por lo que ocurre també que g y.

22 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca Supogamos també que el sstema o leal tee al vector como ua solucó e la regó escogda para la ejecucó del método heurístco. Es decr que exste tal que y g y se puede afrmar que la fucó g toma el valor mímo cero e el puto, tal como se explcó e la prmera parte de la demostracó del teorema de la seccó. de este documeto de tess. El método heurístco tee memora e el setdo que el mejor elemeto del cojuto R que resulta de cada teracó, es decr, cada elemeto de la sucesó, es almaceado co el f de o desmejorar. Quere decr que e el peor de los casos, s después de la formacó de parejas, las combacoes leales covexas y las búsquedas locales, o se obtee u elemeto mejor, tomamos etoces como mejor elemeto de esa teracó, el mejor elemeto del cojuto R de la teracó ateror [4] [5]. Se trata etoces de u proceso evolutvo, coforme tera el método heurístco el objetvo sempre es mejorar. E térmos matemátcos eso quere decr que: N y y E palabras quere decr que la sucesó y es decrecete. E cálculo es coocdo el teorema de las sucesoes covergetes que os dce e su eucado que s ua sucesó cualquera es decrecete y además está acotada ferormete, etoces esa sucesó es covergete. Es más, os dce també que el valor al cual coverge la sucesó es la mayor de todas las cotas ferores [6] [3]. El cero es ua cota feror para la sucesó y, por lo que se puede afrmar que la sucesó escalar y es covergete. Lo que ocurre aquí es que o podemos garatzar que coverge a cero. E geeral coverge a u úmero que es mayor o gual a cero. Es decr: lm y S etoces la covergeca se ha dado haca u óptmo global. S por el cotraro la covergeca ha sdo haca u óptmo local. Podemos aprecar etoces que o podemos garatzar la covergeca a u óptmo global. Lo mejor que podemos afrmar es que la covergeca ocurre haca u óptmo local, pero, s esto ocurre, e térmos del sstema o leal de ecuacoes quere decr que o se pudo ecotrar ua solucó. Podemos etoces decr que el método heurístco ecuetra ua solucó del sstema o leal úcamete cuado lm y, es decr, cuado la sucesó escalar y coverge a cero y se alcaza u óptmo global. S se alcazó el óptmo global eso quere decr que la sucesó vectoral coverge a u elemeto que es solucó del sstema de ecuacoes o leales. S el método heurístco o garatza covergeca a u óptmo global, por qué usarlo? Etre las razoes más mportates está que o requere fuertes hpótess de cotudad y dferecabldad sobre las fucoes compoetes del sstema o leal, permte amplar la regó de búsqueda co posbldad de éxto de ecotrar solucoes, y es mejor que los métodos cláscos e problemas complcados, es decr, cuado se tee sstemas o leales grades de muchas ecuacoes e cógtas [] [] [3].

23 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca CAPÍTULO 3 EL MÉTODO NUMÉRICO HOMOTÓPICO E este capítulo se va a probar que se puede platear u problema de valor cal como u problema equvalete a u sstema o leal de ecuacoes [6]. Esto es muy mportate ya que podemos luego resolver el problema de valor cal co cualquer método umérco y tomar la solucó ecotrada como ua solucó del sstema o leal [6]. Luego se euca y se demuestra ua proposcó que os proporcoa ua codcó sufcete para la exsteca y ucdad de la solucó del problema de valor cal. Esta solucó es la coocda curva homotópca que cortará al plao de ecuacó [7] [9]. Se explca luego cómo para esta tess se resolvó umércamete el problema de valor cal y se terma el capítulo hacedo ua comparacó etre el método homotópco y los métodos umércos teratvos covecoales para resolver sstemas de ecuacoes o leales. Se aalza vetajas y desvetajas. 3. EL PROBLEMA DE VALOR INICIAL A cotuacó se va a eucar y a demostrar formalmete u teorema que justfca el platear, como problema equvalete de u sstema o leal de ecuacoes, u problema de valor cal. Este teorema os permte tomar la solucó del problema de valor cal como ua solucó del sstema de ecuacoes o leales. Proposcó.- Sea H, ua fucó de clase versble. Supoga també que es ua solucó de la ecuacó, s, C y la matrz Jacobaa H, es ua fucó de clase C,. La fucó H para todo, s y sólo es ua solucó del problema de valor cal H, H, co H, y además, 3

24 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca Demo Prmera Parte: Supogamos que la fucó satsface la ecuacó H, para todo, y defíase la fucó H,. Podemos dervar etoces aplcado la regla de la cadea, respecto de la varable, ambos lados de la ecuacó: H, Etoces:, H Al despejar, H de la ecuacó ateror, supoedo que, teemos:, H, H H tee versa, El que satsface la codcó cal H, es la solucó del sstema H, G, es decr, Seguda Parte: Lo que debemos probar ahora es que satsface la ecuacó H, para todo, supoedo que se cumple, H co y,, Etoces: Luego: Después: H, H H,, H H, d H d,. Se cocluye etoces que H, C dode C es u vector costate de R para todo. Pero por la codcó cal H C es el vector ulo. Por lo tato,, el vector costate H, para todo,. Otra demostracó para esta seguda parte de la prueba es la sguete: Aplquemos el teorema del valor medo a la fucó vectoral H que es ua fucó vectoral de clase, [6]. Debdo a C e el tervalo,, se procede a fjar u e el tervalo, y aplcamos el teorema del valor medo para fucoes vectorales 4

25 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca e el tervalo, dode obvamete la fucó vectoral es també de clase Etoces, tedríamos t Pero por la hpótess que C. para algú t etre y. satsface la ecuacó dferecal para todo etre y se tee que t H t, t t H t, t para cualquer t etre y. Además, de la codcó cal teemos H,. Etoces: t Se puede coclur de la últma expresó que, pero H,. Por lo tato H, para,. Co la defcó de G, la ecuacó para la fucó, sguete: H H, G, H es la H, Etoces, la ecuacó que defe mplíctamete a la curva es: Al dervar ambos lados de la ecuacó ateror respecto de, aplcado regla de la cadea y supoedo que el Jacobao de es o sgular, para obteer el problema de valor cal equvalete al sstema o leal, teemos, de dode la ecuacó dferecal es co dato cal. 5

26 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca 6 Proposcó.- Sea R R : ua fucó de clase C. Supoga que el Jacobao es o sgular para todo R y que es u homeomorfsmo. Etoces, para cualquer R exste ua úca fucó R, : de clase, C tal que. Además, ocurre que para todo y [6]. Demo Recordar que de la ecuacó, H se obtee que. Pero por hpótess es u homeomorfsmo y por ede exste y es cotua. Además, por el teorema de la fucó versa es també de clase C ya que es de clase C y es o sgular para todo R. Etoces, para cada, se tee la solucó úca: Note que almete, dervado ambos lados de la ecuacó ateror respecto de, aplcado la regla de la cadea y hacedo uso també del teorema de la fucó versa, teemos: D D Por tato se tee la ecuacó dferecal para todo co dato cal co solucó úca de clase, C.

27 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca 3. EL ALGORITMO DEL MÉTODO HOMOTÓPICO Exste muchos métodos umércos para resolver problemas de valor cal, pero los métodos de Ruge-Kutta so muy populares por su facldad de mplemetacó y por el orde de error local y global que preseta [8] [] [] [] [3]. Se usará etoces el método clásco de cuarto orde de Ruge-Kutta para resolver el problema de valor cal ates mecoado. S embargo, supoga por u mometo que se desea mplemetar el método de Euler que preseta u error local h O y u error global O h recursva que resuelve el problema de valor cal es: [] [3]. La ecuacó ;,,,, h Recuerde que el método umérco dscretza el problema y la varable h represeta el tamaño de paso. El úmero de subtervalos e el cual es partcoado el tervalo, es represetado por la varable. Además es la estmacó umérca de. y el valor de S ahora troducmos ua ueva varable depedete t y la relacoamos co la varable depedete de la ecuacó dferecal medate la ecuacó t l dt d, al hacer el cambo de varable tedríamos: t t almete: t Pero ates vmos que: Por lo tato, la ueva ecuacó dferecal ahora co t como varable depedete es: t 7

28 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca Observe que s, etoces t. Además, s, etoces t. Por lo tato, el uevo problema de valor cal equvalete a uestro problema de valor cal orgal es t para t, co. S ahora aplcamos el método de Euler co tamaño de paso h teemos la ecuacó recursva: ;,,, Note que lo que se ha obtedo por tato es el método teratvo covecoal de Newto para resolver sstemas de ecuacoes o leales que, bajo certas codcoes, coverge a la solucó deseada. Es de observar que s vemos al método de Newto desde esta últma perspectva, se ha tomado u tamaño de paso que o es bueo, juto co el método de Euler cuya aproxmacó es pobre e comparacó co la dversdad de métodos umércos exstetes para resolver ecuacoes dferecales que preseta mejores estmacoes de los valores exactos [6]. 5 El método de Ruge-Kutta que usaremos preseta u error local h 4 global h O y u error O [] [3]. Al dscretzar el problema co u tamaño de paso h, dode es el úmero de subtervalos, teemos la ecuacó recursva: h 6 K K K3 K 4 ;,,,, Las fucoes K so: K K h K K 3 h K 8

29 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca K 4 h K 3 La estmacó de es el valor de. Se hcero pruebas co sstemas o leales de hasta 5 ecuacoes co 5 cógtas co exceletes resultados que se muestra e el capítulo 4. Cabe dcar que la precsó obteda, además del tamaño de paso h, depede del valor cal. 3.3 ANÁLISIS COMPARATIVO MÉTODOS CLÁSICOS A cotuacó e la tabla 3. se muestra u aálss que compara los métodos homotópcos co los métodos teratvos covecoales para la solucó de sstemas o leales. Se preseta vetajas y desvetajas de cada uo, pero de forma comparatva. E el capítulo ateror se djo que o tee ada e comú, e la maera e que resuelve u sstema o leal, los métodos heurístcos co los métodos cláscos. Esto o ocurre etre los métodos homotópcos y los métodos covecoales e el setdo de que sí exste elemetos e comú. Por ejemplo, ambos métodos tera de maera recursva co el objetvo de buscar ua solucó, el grado de dfcultad de la mplemetacó de los algortmos es muy smlar, por cada corrda de los algortmos se puede ecotrar ua solucó y sólo ua, se tee mucha teoría matemátca detrás respaldado a los métodos, se ecesta e los dos métodos por cada teracó cálculos matrcales tedosos y de dervadas parcales, e ambos métodos o es sufcete que las fucoes compoetes se ecuetre defdas e ya que so ecesaras codcoes de cotudad y dferecabldad de certo orde [7] [9]. No olvdar s embargo que ambos tpos de métodos puede trabajar colaboratvamete. 9

30 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca Métodos Homotópcos Vetajas Desvetajas Domo de covergeca amplado. El dato cal del PVI puede estar fuera de la regó de covergeca de u método clásco Se los puede utlzar para determar el dato cal que ecesta los algortmos teratvos covecoales o para futuras corrdas del msmo algortmo co u uevo dato cal más cercao a la solucó Para resolver el PVI se tee dversdad de métodos de u paso o multpaso co dstto orde de error segú lo que se desee: métodos de Taylor, Ruge-Kutta, Predctor-Corrector Aálss de covergeca y error es más complcado, se ecesta teoría de la medda, de ecuacoes dferecales y de sstemas dámcos No coverge co cualquer dato cal. Se tee u rado de covergeca de mayor medda pero se puede teer dvergeca s el dato cal se ecuetra cosderablemete lejos de ua solucó La rapdez de covergeca o es ta leta como puede ocurrr co los métodos heurístcos pero tampoco ta rápda como e los métodos cláscos Es más costoso estmar el úmero de teracoes ecesaras para estar ta cerca de la solucó exacta como se desee. Métodos Iteratvos Cláscos Vetajas Desvetajas Muchos teoremas y proposcoes que estuda covergeca y error de los métodos co u grado de dfcultad meor S el dato cal se ecuetra detro de la regó de covergeca se garatza que el método coverge a la solucó exacta E geeral se tee covergeca al meos leal, es decr, so métodos rápdamete covergetes Se puede estmar el úmero de teracoes para que la dstaca etre la solucó exacta y el valor estmado o supere la toleraca deseada Normalmete u pequeño domo de covergeca Puede teer depedeca de otros métodos que proporcoe el dato cal para poder comezar co las teracoes La ecuacó teratva que resuelve el sstema o leal tee ua sola presetacó Tabla 3.: Aálss Comparatvo Métodos Homotópcos co Métodos Tradcoales Iteratvos 3

31 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca 3.4 ANÁLISIS DE CONVERGENCIA E [9] se afrma que el método homotópco mejora el coveete de los métodos cláscos de covergeca local, e los cuales el dato cal debe estar cerca de la solucó para poder teer covergeca, por eso la utlzacó del térmo local. Esto os dce que co el método homotópco podemos teer ua regó amplada de covergeca e relacó, por ejemplo, al método de Newto e cualquera de sus varates o a u método de puto fjo. També e [9] se afrma que el tempo de ejecucó del método homotópco es mayor al de los métodos de covergeca local. Algú preco se debe pagar por tetar aumetar la regó de covergeca al buscar solucoes de sstemas o leales. Observe las semejazas etre el método heurístco y el método homotópco e relacó a la covergeca y a los tempos de ejecucó. Esta es la razó por la cual los dos métodos que se explca e este documeto de tess so llamados métodos de covergeca global. E el método heurístco o se defe u puto cal co el cual comezar a terar [] [] [3]. El método homotópco, por el cotraro, s ecesta de u vector cal co el cual comezar las teracoes. Cómo escoger e el método homotópco para que haya covergeca a u vector que es solucó del sstema o leal? E [9] se cocluye que la regó de covergeca e el método homotópco es gual a la regó de establdad del correspodete sstema dámco. E el método homotópco se resuelve, como u problema equvalete al sstema o leal leal autóomo de ecuacoes dferecales:, el sstema o El dato cal es. Este problema de valor cal represeta u sstema dámco de dmesó fta. Lo que os dce [9] es que s tomamos como vector u vector de R que perteezca a la regó de establdad de dcho sstema dámco, etoces co ese dato cal el método homotópco será covergete al vector que es solucó del sstema o leal correspodete. E coclusó, podemos etoces aplcar la teoría de establdad de sstemas o leales autóomos para saber s u vector cal os permte o o la covergeca co el método homotópco. Es muy mportate, además de detfcar co cuál vector comezar las teracoes para garatzar la covergeca, teer també ua medda para el orde p de covergeca del método homotópco. Expermetalmete se puede estmar el valor de p usado regresó leal smple [] [3]. El método homotópco, cotraro al método heurístco, sí es u método determsta. Es decr que s ejecutamos ua y otra vez el método homotópco co el msmo sstema o leal y el msmo dato cal, la sucesó que se costruye sempre será la msma [6]. 3

32 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca Sea dode E el error del método homotópco e la teracó. Etoces: orma e es la aproxmacó e la teracó, E es la solucó exacta y R. Se dce que u método tee orde de covergeca p s ocurre que: E geeral p y C o lados obteemos: l E p C E p y C, E l C p l es ua. S aplcamos logartmo atural de ambos E Podemos efectuar expermetos computacoales de forma tal que aalcemos l E versus l E. Es decr, podemos tomar todos los valores que se obtee e ua corrda e partcular y ubcar e el eje horzotal los valores de l E, metras que e el eje vertcal del msmo plao l. Luego usado regresó leal smple E podemos determar la mejor recta que se ajuste a todos esos putos. El valor de p represetaría la pedete de esa recta y el valor de l recta co el eje vertcal. Es decr: C el corte de la p x y x x x y l C y p x E estas expresoes los x represeta los valores de las abscsas de los putos metras que los y represeta los valores de las ordeadas. Todos los sstemas o leales que se muestra e el capítulo 4 fuero expuestos a este expermeto computacoal que cosste e determar el orde de covergeca p del método homotópco. Es teresate observar que e todos los casos ocurró que p,. 5. Recordemos que e lo métodos de puto fjo el orde de covergeca es al meos leal p, metras que para el método de Newto se tee al meos covergeca cuadrátca p. almete se puede coclur que e el peor de los casos el método homotópco tee covergeca cas leal y e el mejor de los casos preseta u orde de covergeca smlar al orde de covergeca del método de la secate. 3

33 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca CAPÍTULO 4 EPERIMENTOS COMPUTACIONALES E este capítulo se muestra los resultados computacoales al trabajar co dsttos sstemas o leales. Comezamos resolvedo ua ecuacó o leal co ua cógta para poder dscutr ambos métodos desde ua perspectva geométrca. Se resuelve la msma ecuacó co el método heurístco y co el método homotópco. Luego se preseta dos sstemas o leales de dos ecuacoes co dos cógtas, dode aú se puede clur e el aálss ua terpretacó geométrca. Nuevamete los msmos sstemas so resueltos prmeramete co el método heurístco y luego co el método homotópco. almete se muestra expermetos computacoales co ambos métodos e u sstema de tres ecuacoes co tres cógtas y e u sstema co cuatro ecuacoes co cuatro cógtas, dode esta vez es mposble elaborar terpretacoes geométrcas. Se terma este capítulo co u sstema o leal especal de tercer orde que o se puede resolver co los métodos cláscos, co el método homotópco, pero sí co el método heurístco, y se proporcoa las razoes del por qué. 4. UNA ECUACIÓN NO LINEAL El prmer expermeto computacoal que se preseta es sobre ua ecuacó o leal. Se usará calmete el método heurístco. Para empezar, y para poder dar ua terpretacó geométrca de los resultados, vamos a mostrar lo que ocurre co la x ecuacó f x x 3 e se x. Hacedo uso del coocdo teorema de Bolzao se puede probar que f tee u CERO e el tervalo,. Por la proposcó eucada y demostrada aterormete e la seccó. se puede afrmar que x 3 x satsface f x x e se x g 3 x x x e sex e el tervalo, s y sólo s, x mmza la fucó, co el valor cero. La fgura 4. muestra la gráfca de la fucó f e el tervalo,, metras que la fgura 4. os muestra la gráfca de la fucó a mmzar g e el msmo tervalo,. 33

34 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca x gura 4.: Gráfco de f x x 3 e se x x gura 4.: Gráfco de gx x e se x Se puede observar que mayor a.8 es el valor de x. E ua de las corrdas del algortmo metaheurístco de scatter search ecotramos que x y g. Para esta ejecucó se dvdó el tervalo, que x subtervalos y se solctaro 5 actualzacoes del cojuto R. sólo e 34

35 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca Ahora se usará el método homotópco. Tomemos la msma fucó de varable real f x x x 3 e se x cuya dervada es 3 x f x x e se x cos x 3 x 3 x teemos que H x, x e se x x e se x. Luego co x R. almete, el problema de valor cal correspodete es: x x x e se x x para todo 3x x e se cos 3 x x x. y A cotuacó, e la fgura 4.3, se muestra la curva de vel x, H e R co dsttos valores para x. Se cluye los resultados obtedos al ejecutar el método umérco de Ruge-Kutta de cuarto orde e cada caso. També se cluye la gráfca de la fucó f x x 3 x e se x e dsttos tervalos. El tamaño de paso h. se utlzó e todas las ejecucoes. E el eje horzotal hemos ubcado los valores que toma la varable x, metras que los valores de la varable, ecuetra e el eje vertcal. Note que f tee muchos ceros. se 35

36 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca. x. x f x f x f f x x x 3 e se x; x, f x x x 3 e se x; x, f x gura 4.3: Curvas de vel de H para f x x 3 e se x 36

37 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca 4. SISTEMAS NO LINEALES DE SEGUNDO ORDEN U segudo ejemplo es el sstema: y x se x cos y Se puede aprecar que el par ordeado, es ua solucó del sstema e la regó x,y R / x, y. E la fgura 4.4 y e la fgura 4.5 se muestra la gráfca de la fucó g x,y x se y x cos y sobre la regó del plao xy. gura 4.4: Gráfco de gx,y x se y x cos y 37

38 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca gura 4.5: Otra Vsta de gx,y x se y x cos y E ua de las ejecucoes del algortmo scatter search, para este segudo ejemplo, se obtuvo que x,y., y que x, y g es cero. Para esta corrda se solctaro 5 actualzacoes del cojuto R y, para cada varable, se gresó el tervalo,, el cual se partcoó e subtervalos. Ahora se usará el método homotópco. Recuerde que el valor de que etrega el método de Ruge-Kutta es la estmacó del valor exacto. De aquí e adelate usaremos la sguete expresó para calcular el error: E f dode las f so las fucoes compoetes del sstema o leal. Los valores de la varable x se ecuetra e el eje horzotal, los valores de la varable y e el eje vertcal. Se utlzó h. como tamaño de paso. E la fgura 4.6 se muestra, para cada corrda, la trayectora homotópca de las solucoes. 38

39 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca x 3, y 3 x, y E , x 4, y E , x, y E , E , gura 4.6: Trayectora de las Solucoes Segudo Ejemplo Otro ejemplo co terpretacó gráfca es el sguete: 5x 4y se y x cos y Este sstema o leal tee solucó e,, gráfca de la fucó gx,y 5x y 4y se x cos y.. E la fgura 4.7 se muestra la 39

40 Aálss e Implemetacó de Dos Métodos NO Tradcoales para resolver Sstemas NO Leales Maestría e Ivestgacó Matemátca gura 4.7: Gráfca de gx,y 5x y 4y sex cosy Co los msmos parámetros del método heurístco de la ejecucó del segudo ejemplo se obtuvo que x,y , g x, y es del orde de y que 4. Es mportate dcar que se puede solctar más actualzacoes del cojuto R, aumetar el valor del parámetro m, aumetar la cardaldad de los cojutos P y R, todo esto co el objetvo de mejorar la precsó. S embargo, los costos computacoales será mayores. Co h. como tamaño de paso, se ejecutó el método umérco homotópco co dsttos valores cales x, y. E la fgura 4.8 se muestra, para cada ejecucó, la trayectora homotópca de las solucoes de cada uo de los sstemas o leales que se va resolvedo desde hasta. 4