4. ALGORITMO DE RESOLUCIÓN.

Transcripción

1 4. ALGORITMO DE RESOLUCIÓN. Este capítulo trata acerca de la solucó propuesta para la resolucó del problema de la asgacó de aulas co especal atecó e el algortmo de fluo co costo mímo. A cotuacó se descrbe como es el dseño de los grafos ecesaros para la resolucó. Por últmo se detalla la mplemetacó de uestra programacó e Matlab ALGORTIMO DE FLUJO CON COSTO MÍNIMO. La mplemetacó desarrollada e Matlab se basa fudametalmete e la aplcacó del algortmo de fluo co costo mímo por lo que e este capítulo vamos a descrbr como es el modelo matemátco de dcho algortmo. Cosdérese ua red compuesta por odos, a los que se asoca u valor k que dca el vel ofertado o demadado por el odo. S k > 0, este ua oferta e el odo deomádose fuete u orge; s k < 0, este ua demada e el odo deotádose por sumdero o desto; s k = 0, el odo se deoma termedo o de trasbordo. Javer Nasarre Lorte. 38

2 A cada arco ( ), se asocará ua varable 0 que represeta el fluo que crcula por él, así como u costo utaro de trasporte c. Así msmo el fluo que crcula por los arcos se ecotrará lmtado feror y superormete, defedo por l y u estos límtes respectvamete. Para todo odo de esta red, las leyes de coservacó del fluo de Krchhoff debe verfcarse, es decr, e todo odo el fluo que sale es gual al que etra más el producdo meos el cosumdo. La fucó obetvo del problema persegurá la mmzacó del costo total de la red. Así, la formulacó matemátca del problema del fluo co costo mímo queda como: Mmzar s. a. = 1 = 1 k D l c ( ) A( ) k u = k = 1,2,...,, = 1,2,..., Dode el fluo ferormete. e el arco geérco ( ), se ecuetra acotado superor e Puede obteerse ua red equvalete, e la que los fluos o se ecuetre acotados ferormete, realzado el cambo de varable red, el modelo matemátco quedará defdo por: y = l ; para esta ueva Javer Nasarre Lorte. 39

3 Mmzar s. a. = 1 = 1 k D y 0 y c y ( ) A( ) k u + ' = 1 = 1 y c = k, = 1,2,..., l ' = 1,2,..., dode u ' ' = u l, k = k l k l k D( ) A( ) Co lo que la formulacó matemátca del problema de fluo co costo mímo e ua red vedrá defda por el modelo: Mmzar s. a. = 1 = 1 k D 0 c ( ) A( ) k u = k ', = 1,2,..., = 1,2,..., Itroducedo u odo artfcal de salda s coectado, por arcos ( s, ), a todos los k > 0 y otro odo artfcal de etrada e coectado, por arcos (, e), a odos orígees ( ) todos los odos destos ( k < 0) como:, la formulacó ateror quedará deftvamete Mmzar s. a. = 1 = 1 k D k D ( s) ( ) A( ) A ( e) 0 c sk k e a = b u = 0 = 1,2,...,, = s,1,2,...,, e Javer Nasarre Lorte. 40

4 dode a = k k > 0 represeta la suma de las ofertas de todos los odos orígees y b = k k < 0 la suma de las demadas de todos los odos destos DISEÑO DE GRAFOS. Ua vez eplcado el modelo matemátco del algortmo de fluo co costo mímo el sguete paso es el dseño de uestro grafo drgdo sobre el que se aplcará dcho algortmo. E uestro caso vamos a calcular el camo a coste mímo del fluo de etrada, el cual va a ser dato y que represetará el úmero de máquas que hay del tpo. Para uestro caso el grafo co el que vamos a trabaar es u grafo drgdo G ( N, A) y ordeado croológcamete e el que: Este u odo por cada state de tempo e el que comeza o falza algú trabao. Para la realzacó la mplemetacó hemos dscretzado los tempos de maera que cada udad correspode a 15 mutos, de maera que os acoplamos al modelo de horaros de la Escuela. Este 2 tpos de arcos: o Tpo I: ordeado croológcamete los odos va a estr u arco desde cada odo al odo sguete + 1. E este tpo de arcos la capacdad k vale fto y el coste c = ,8 Fgura 4-1. Arco tpo I. Javer Nasarre Lorte. 41

5 o Tpo II: este u arco por cada trabao, co odo orge el odo que represeta el state de co del trabao y odo desto el correspodete al state de falzacó del trabao. E este tpo de arcos la capacdad vale k = 1 ya que cada trabao solo lo puede realzar ua máqua, y el coste c = W, de maera que se tete realzar el mayor úmero de trabaos posbles para mmzar la fucó obetvo. 1 5 J6 (-2,1) Fgura 4-2. Arco tpo II. Ua vez defdos los arcos pasamos a descrbr el sgfcado y la forma de calcular los pesos para uestro caso de la asgacó de aulas. Estos pesos o costes asocados a cada arco de uestro grafo so las varables que hace que se prorce uos trabaos frete a otros. De esta maera lo que se busca es que las aulas más grades o realce trabaos correspodetes a asgaturas co u úmero de alumos matrculados bao, es decr se trata de que las aulas más grades albergue a las asgaturas co mayor úmero de alumos matrculados. Las característcas de dchos costes se puede resumr mecoado los sguetes aspectos: Prmero se asga a cada asgatura la prmera aula que es capaz de albergarla, es decr a cada trabao le asgamos el aula co meos capacdad que admte dcho trabao. Posterormete se calculará el peso asocado a cada ua de las aulas y de esta maera el Javer Nasarre Lorte. 42

6 coste de cada arco vedrá dado por el peso calculado para el aula co meos capacdad que admte el trabao. Los costes será mayores cuatos más alumos matrculados haya e cada asgatura. Esto hace que e el algortmo de fluo co costo mímo se le de prordad a los arcos co u mayor coste e valor absoluto. De esta maera al troducr e prmer lugar las aulas de mayor tamaño como fluo del grafo cosegumos darle prordad a los arcos asocados a las asgaturas co mayor úmero de alumos matrculados dada la estructura de la fucó obetvo de uestro modelo que teta mmzar el coste. Para la asgacó umérca de los pesos seguremos el sguete crtero: M < M +1 dóde: M : es el peso para las aulas tpo. Las aulas está ordeadas de maera que la mayor es = 15 y la meor = 1. : es el úmero de trabaos que hay de la clase e el día bao estudo. Co esta restrccó cosegumos que el algortmo obtega u meor resultado de la fucó obetvo co la realzacó de u solo trabao + 1 que co todos los trabaos que se puede realzar el msmo día. Así, por eemplo, los pesos asocados a cada tpo de aula para el día del lues so los mostrados e la sguete tabla: Javer Nasarre Lorte. 43

7 Tpo de Aula Peso asocado M1 1 M2 10 M3 11 M4 12 M5 49 M6 99 M7 100 M8 100 M9 100 M M M M M M Tabla 6. Pesos asgados a cada tpo de aula. Ua vez obtedos estos pesos de cada tpo de aula asgaremos a cada arco el coste correspodete como eplcamos aterormete. A modo de eemplo de la formacó del grafo podemos observar el sguete caso: J4 (1) J3 (5) J1 (3) J2 (2) Fgura 4-3. Dagrama de Gatt. Javer Nasarre Lorte. 44

8 E este dagrama de Gatt podemos ver cada uo de los trabaos del eemplo y etre parétess el coste de cada uo de ellos. Cada fla del dagrama correspode a ua máqua por lo que dada la codcó de o poder realzar más de u trabao a la vez y por el solapameto de J1, J3 y J4 como mímo ecestaríamos tres máquas para la realzacó de todos los trabaos. Así, a cotuacó podemos ver el grafo correspodete al eemplo del ateror dagrama de Gatt: J1 (-3,1) J2 (-2,1) - m ,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 m J4 (-1,1) J3 (-5,1) Fgura 4-4. Grafo para algortmo de fluo co costo mímo. E el grafo podemos observar los dos tpos de arcos que eplcamos aterormete. E cuato al arco que le llega al prmer odo co m os está dcado el fluo de máquas que le vamos a troducr al grafo, es decr el úmero de máquas que teemos dspobles para la realzacó de todos los trabaos. De la msma forma podemos observar u arco que sale del últmo odo co m lo cual os dca el fluo que sale del grafo IMPLEMENTACIÓN. Para la eecucó del programa desarrollado e Matlab podemos segur el sguete proceso: 1. Asgacó a cada uo de los grupos de u aula que matedrá durate toda la semaa. Javer Nasarre Lorte. 45

9 2. Ua vez asgadas todas las asgaturas comues asgaremos las asgaturas optatvas co el crtero de ocupar el mayor porcetae e cuato a tempo de las aulas ya ocupadas por asgaturas comues. Ua vez que esas aulas o pueda ser ocupadas por más trabaos asgaremos aulas uevas co el msmo crtero de ocupacó máma. 3. Para la aplcacó del algortmo de fluo co coste mímo comezaremos por troducrle como fluo el úmero de máquas del tpo más grade y sucesvamete el programa rá creado u uevo archvo etrada.dat co el cual se rá troducedo como fluo el úmero de máquas del tpo 1. E este bucle del programa coforme se asge trabaos a máquas rá desaparecedo dchos trabaos del grafo para la aplcacó del algortmo de fluo co costo mímo. 4. Ua vez termada la eecucó del programa se comprobará s co los recursos actuales se ha poddo realzar todos los trabaos smplemete mrado u valor que os da el programa, Num_Arcos. S este valor es gual al úmero de odos de uestro grafo, e uestro caso 23, meos uo podemos decr que teemos recursos ecesaros para la realzacó de todos los trabaos. Ua vez desarrollado la aplcacó completa pasamos a descrbr la mplemetacó de la parte fudametal, el algortmo de fluo co costo mímo Algortmo de fluo co costo mímo. Para la resolucó de este problema de fluo co coste mímo hemos utlzado la aplcacó FLUJO.ee, a la cual la llamamos desde Matlab medate la líea:!fluo.ee etrada.dat salda.dat comproba.dat Javer Nasarre Lorte. 46

10 Así, esta aplcacó se eecuta de la sguete maera: E prmer lugar le debemos troducr u archvo de etrada llamado etrada.dat e el que se especfca: a. Los trabaos a realzar. b. Hora de co, de f, capacdad y coste de dchos trabaos. c. Número de odos estetes que os dcará los states de tempo e los que puede comezar o falzar u trabao. d. Fluo de etrada al grafo. Estos archvos de etrada se formará como archvo de teto y se guardará co la etesó *.dat para el recoocmeto de la aplcacó. De esta maera e la sguete fgura podemos ver el formato de u archvo de etrada a la aplcacó: Javer Nasarre Lorte. 47

11 Fgura 4-5. Formato de archvo de etrada a aplcacó FLUJO.ee. Ua vez eecutado la aplcacó FLUJO.ee se os facltará u archvo de salda llamado salda.dat, para abrr co u edtor de teto, del que podremos etraer la sguete formacó: a. Coste mímo obtedo que os dca el valor de la fucó obetvo de uestro problema. b. Fluo estete e cada arco, co lo que podemos observar que trabaos ha sdo realzados ya que u 1 e u arco se terpreta como que el trabao al que va asocado dcho arco ha sdo realzado. Javer Nasarre Lorte. 48

12 Co todo esto podemos ver e la sguete fgura el formato de u archvo de salda: Fgura 4-6. Formato de archvo de salda aplcacó FLUJO.ee. Ua vez vsto podemos ver u ver u eemplo secllo del algortmo de fluo co costo mímo. Para esto lo prmero que hacemos es formar uestro grafo: Javer Nasarre Lorte. 49

13 J1 (-3,1) J5 (-2,1) J2 (-2,1) - m ,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 m J4 (-1,1) J3 (-5,1) Fgura 4-7. Grafo del eemplo. Ua vez que teemos uestro grafo le vamos a troducr dos máquas para así calcular el costo mímo, es decr m = 2. Así para este caso obteemos u coste mímo de -10. Por lo que podemos observar que las máquas ha realzado los trabaos J 1, J 2 y J 3. S e lugar de troducr dos máquas troducmos tres ( m = 3 ), el coste mímo calculado es de -12 y los trabaos realzados ha sdo J 1, J 2, J 3 y J 5. Javer Nasarre Lorte. 50