Posible solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de septiembre de Problema 1: (3 puntos)

Transcripción

1 Posble soluó del eame de Ivestgaó Operatva de Sstemas de septembre de 6 Problema : ( putos) U profesor rebe ua práta ada mañaa y la poe e ua pla. Por las tardes, o probabldad / orrge todas las prátas de la pla y las devuelve a los alumos. Cuado hay uatro prátas, las orrge y devuelve seguro. a) Desrbr la orrespodete adea de Markov, luyedo el dagrama de trasó de estados (DTE). b) Cuál es el úmero esperado de prátas e la pla al empezar el día (ates de rebr la práta del día)? Soluó: Apartado a): Podemos modelar la stuaó medate ua adea de Markov e la que ada etapa represete u día. Como el úmero de trabajos e la pla varía a lo largo del día, es preso estableer u rtero que os dga a qué hora del día vamos a eamar dho úmero de trabajos. o más oveete es osderar el úmero de trabajos al empezar el día (ates de rebr la práta del día), para smplfar así la respuesta al apartado b). Así pues, el estado represetará que al empezar el día hay trabajos e la pla. Al empezar el día o puede haber más de trabajos, ya que s se aumula uatro trabajos ua tarde, se orrge todos esa msma tarde. Por lo tato, el ojuto de estados es S {,,, }. El DTE orrespodete es: / / / / / / / a matrz de trasó será omo sgue: / / Q / / / / Apartado b): Como la adea de Markov es fta y ergóda, podemos afrmar que este la dstrbuó estaoara, que será eesara para hallar la esperaza del úmero de trabajos,

2 que es lo que os pde. Para alular la dstrbuó, plateamos el sguete sstema de euaoes: p p p p T Q p p p p p + p + p + p El sstema puede resolverse, por ejemplo, fjado p y ormalzado luego. a soluó fal es: p, p, p, p Ésta es la dstrbuó de probabldad del estado de la pla de prátas al empezar el día, a la larga. Por lo tato, la esperaza del úmero de trabajos e la pla al empezar el día será: E º de trabajos al empezar el día p + p + p + p Problema : ( putos) [ ] ,5 trabajos Ua empresa automovlísta debe estableer ua adea de motaje. a dsposó de las máquas es omo muestra la sguete fgura:,5, 4 6,,8 5 El fabrate os proporoa el tempo de espera (e mutos) de ada sstema que forma la : W,5454 W W,8574 W 4,55754 W 5,78788 W 6,888

3 a) S ada muto que se espera e la (W ) le uesta a la empresa euros, Cuál es la pérdda total por ada vehíulo que se mota e la epuesta? b) S ompramos ua máqua que susttuye la máqua que os uesta 5 euros o. Obtedremos u mayor beefo e la empresa? Soluó: Apartado a): Segú el dagrama tedremos las sguetes etradas a la : γ,5 letes/m, γ, letes/m, {, 4, 5, 6}, γ Para hallar W eestamos ooer, y a su vez para ello eestamos alular los úmeros medos de trabajos para ada odo. E prmer lugar hallaremos las tasas de llegadas a ada odo medate las euaoes de equlbro: γ,5 letes/m γ, letes/m +,45 letes/m 4,,9 letes/m 5,8,6 letes/m ,45 letes/m Aplamos el teorema de ttle a ada odo, W,88 letes W, letes W,8574 letes 4 4 W 4,8 letes 5 5 W 5,664 letes 6 6 W 6,888 letes W : Aplamos la euaó para y posterormete la de W, e este últmo aso sabedo que γ + γ,45 letes/m: Apartado b): 6,64459 letes W 5,8765 m. a pérdda por ada vehíulo será de ( ) W 5876,5 Debemos realular W, teedo e ueta que el odo ha ambado su servdor. Utlzado las euaoes que aparee al fal del euado obteemos el uevo valor del úmero medo de trabajos e el odo :

4 ' W q ' + ' ',5 ' ( ' ) ' ' W q' + ' + ' ' ',9 trabajos Como hmos e el apartado a), aplamos la euaó para y posterormete la de W : 6 ' ' ', letes W ',6647m. Nótese que los flujos etre odos o varía (las euaoes de equlbro o ha ambado). El oste total ahora será 5 + ( ) W 664,7. Así pues, la alteratva orgal (la del apartado a) es la más beefosa. Problema : ( putos) E u almaé de frutas hay 8 klogramos de arajas, 8 klogramos de mazaas y 5 klogramos de uvas. Estas frutas se overte e zumo de dos tpos (A y B). Cada ltro de zumo tpo A se fabra a partr de klogramo de arajas, klogramos de mazaas y klogramo de uvas y ada ltro de zumo tpo B se fabra a partr de klogramos de arajas, klogramo de mazaas y klogramo de uvas. El beefo que se obtee o ada ltro de zumo tpo A es de, y o ada ltro de zumo tpo B de,4. Determar medate el método gráfo : a) a atdad (e ltros) de ada tpo de zumo que se debe fabrar para osegur uos beefos mámos. b) El valor de dhos beefos mámos. Soluó: Varables de desó: ltros de zumo tpo A que se fabrará ltros de zumo tpo B que se fabrará Restroes: , Fuó objetvo que mamzar: f(, ), +,4 El gráfo orrespodete será:

5 Apartado a): os putos etremos más teresates so A(4,), B(,) y C(,). Se platea la duda de s será B la soluó óptma o be lo será C. Para saberlo hallamos los valores de la fuó objetvo e ambos putos: f(b), +,4 64 euros f(c), +,4 66 euros Se observa que el puto C es la soluó óptma úa de este problema (, ). Apartado b): El valor óptmo ya se aluló e el apartado ateror y es de 66 euros. Problema 4: ( putos) U empresaro que se deda al motaje de grades sstemas, rebe u eargo para la próma semaa. Tee dvddo el proeso e uatro tareas deomadas M, N, P y Q, que puede realzarse e ualquer orde, paral o totalmete e dsttamete por uatro equpos de trabajo dsttos. El tempo e horas empleado e ada tarea realzada de forma ompleta por ada equpo so: Tareas Equpo M N P Q as horas semaales de que dspoe ada equpo y el oste de trabajo por hora (e ) se reoge e la tabla sguete:

6 Equpo Tempo dspoble por Coste de ada hora de trabajo semaa (horas) 68, 69,5 45 7, 4 9 7, Formular u programa leal que permta ooer uátas horas debe emplear ada equpo para mmzar el oste total de motaje del sstema. Nota: No tete obteer la soluó, sólo debe dar el plateameto. Soluó: Se observa que es mposble platear el problema basádoos e varables de desó del tpo º de horas que trabaja el equpo k, ya que ada equpo trabaja a dferete velodad e ada tarea. Por lo tato uestras varables de desó será: j º de horas que deda a la tarea el equpo j dode {M,N,P,Q}, j {,,,4}. a fuó objetvo a mmzar será el oste total (e euros) debdo a las horas de trabajo realzadas por los 4 equpos para falzar las 4 tareas: 68, ( M + N + P + Q ) + 69,5 ( M + N + P + Q ) + 7, ( M + N + P + Q ) + 7, ( M4 + N4 + P4 + Q4 ) E prmer lugar, debemos garatzar que gú equpo trabaja más horas de las posbles. Tedremos ua restró por ada equpo, epresada e horas: M + N + P + Q M + N + P + Q M + N + P + Q 45 M4 + N4 + P4 + Q4 9 Por otra parte, hay que asegurarse de que todas las tareas so ompletadas. Tedremos ua restró por ada tarea, epresada e tatos por uo: M + M + M + M N + N + N + N 4 8 P + P + P + P4 5 6 Q + Q + Q + Q Por últmo, el úmero de horas trabajadas ha de ser sempre o egatvo: {M,N,P,Q}, j {,,,4}, j

7 FÓRMUAS DE TEORÍA DE COAS: M/M/: W q t / W () t e p ( ) M/M/: p ( ) p, s,,..., p! p, e otro aso! +!( ) q W e t / W ( ) ( )! q t + p! ( ) M/M/ y M/M/: W W q + q Wq W M/M//k: ( ) k, s k + +, s p ( ) W W q + q efwq efw Redes de Jakso abertas: ef p k ( k + ) k k + k, s +, s K γ K W V Redes de Jakso erradas: + j( m ) Wj( m) j j j() ( m) m j * jwj( m) K W( m) * j( m) j( m) W ( m ) j