Solución del examen de Investigación Operativa de Sistemas de junio de 2006

Transcripción

1 Soluó del exame de Ivestgaó Oeratva de Sstemas de juo de 6 Problema : (3 utos) Tres uras, y otee 3, 4 y 5 bolas resetvamete, todas blaas exeto ua de las de ue es roja. E ada etaa, se extrae ua bola al azar de ada ura, se mezla be ara ue su orde sea aleatoro y se vuelve a trodur e, y resetvamete. alular: a) La robabldad de ue desués de tres etaas la bola roja esté e la ura (,5 utos). b) La rooró de temo ue la bola roja asa (a la larga) e ada ua de las uras (,5 utos). Soluó: Tedremos tres estados, S{,, } dode ada estado da ue la bola roja está e la ura, o, resetvamete. La matrz de trasó orresodete es: 7 / 9 Q / /5 / 9 / /5 / 9 / 3/5 El dagrama de trasó de estados (DTE) orresodete es el ue sgue: 7/9 / / /9 /9 /5 / /5 3/5 artado a): Segú las euaoes de hama-kolmogorov, os está dedo el elemeto (,3) de la matrz Q 3. Haedo los álulos obteemos: (3) 43, artado b): omo esta adea de Markov es fta y ergóda, odemos afrmar ue exste la dstrbuó estaoara. Debemos hallar dha dstrbuó estaoara, ya ue os drá ué

2 robabldad hay de eotrarse e ada estado (a la larga), y estas robabldades será la rooró de temo ue la bola roja asa e ada ura. Para alular la dstrbuó estaoara, lateamos el sguete sstema de euaoes: T Q + + El sstema uede resolverse, or ejemlo, fjado y ormalzado luego. La soluó fal del sstema es: Por osguete odemos afrmar ue, a la larga, la bola roja asa u 5% del temo e la ura, u 33,3% e la y u 4,6% e la (aroxmadamete). Problema : (3 utos) U ayutameto estuda el fuoameto de u ambulatoro. Para ello reogemos la formaó de ómo los usuaros hae uso de los dsttos esealstas ue hay e el sstema. El ambulatoro dsoe de ua sala de esera. Los aetes llega al ambulatoro o u temo etre llegadas ue se dstrbuye exoealmete, o meda de 6 mutos. Exste dos médos de famla ara ateder e rmer lugar a los aetes. El médo de famla atede al 6% de los aetes ue llega y el médo de famla al 4% restate. Sabemos ue ua vez ue el aete ha vstado: a. el médo de famla, tee ua robabldad de:., de r al odotólogo y desués a asa.,8 de r al otorro y desués.,6 al rujao y desués a asa.,4 al dermatólogo y desués a asa b. el médo de famla, tee ua robabldad de:. de r al dermátologo y desués vuelve a asa demás hemos sdo formados de ue todos los médos asste a los aetes o ua meda de 4 mutos. alule: a) El úmero medo de aetes ue esera e la ola del médo de famla ( uto). b) El temo medo ue asa u aete desde ue etra e el ambulatoro hasta ue va a asa ( utos).

3 Soluó: ada médo es el servdor de ua ola M/M/. Usaremos la sguete omelatura: Médo de famla Médo de famla Odotólogo D Otorro E rujao F Dermatólogo Los temos de servo so guales e todos los servdores, así ue tedremos {,,, D, E, F}, 5 letes/h Por otro lado, el flujo de aetes (letes) ue llega al sstema es de letes/h. Dho flujo se dvde e u 6% ue va a la ola y u 4% ue va a la ola. Por lo tato, γ 6 letes/h, γ 4 letes/h, {, D, E, F}, γ El sguete dagrama resume la stuaó: 6,,8 D,6,4 E F 4 { } 5,,.., F artado a): La euaó de eulbro del odo os de ue γ 6 letes/h. Por otro lado, 5 letes/h. Esto uere der ue,4. lado la fórmula ue aaree al fal del euado del exame obteemos: (,4) 4 L,66666,4 5

4 artado b): Nos está dedo el temo medo de esera e el sstema de olas, W. Para alularlo eestaremos el úmero medo de letes e el sstema L, ue a su vez eesta los úmeros medos de letes e ada odo L. E rmer lugar hallaremos las tasas de llegadas a ada odo y los arámetros medate las euaoes de eulbro: γ 6 letes/h,4 γ 4 letes/h,6666,, letes/h,8 D,8 4,8 letes/h D,3 E,6 D,88 letes/h E,9 F,4 D + 5,9 letes/h F,39466 Neestamos ua euaó ara hallar rádamete los L. Utlzado las euaoes ue aaree al fal del euado obteemos: L W W + L + + lamos la euaó ateror a ada odo de la : L, L, L,86956 L D,47588 L E,3763 L F,65983 otuaó alamos las euaoes de la de Jakso aberta: L L + L + L + L D + L E + L F,47745 letes L L,47745 W, h γ + γ Problema 3: ( utos) U versor debe dedr ómo dstrbur los 6 de los ue dsoe. Exste tres alteratvas o exluyetes: letras del Tesoro, boos del Tesoro y aoes. ada euro vertdo e letras rodue,3 de beefo eserado al año, e boos rodue,5 y e aoes,. Para evtar resgos exesvos, o desea vertr e aoes más del 4% de su dero. Por otro lado, refere ue la versó e letras sea mayor o gual ue el doble de la versó e boos. Determe ué atdad de dero debe dedar a ada to de versó ara ue el beefo eserado sea máxmo satsfaedo estas restroes (utle el método Smlex). Soluó: Podemos elegr las sguetes varables de desó: x Dero ue se vertrá e letras del Tesoro (e ) x Dero ue se vertrá e boos del Tesoro (e ) x 3 Dero ue se vertrá e aoes (e )

5 De esta maera el roblema ueda: Maxmzar,3x +,5x +,x 3 Sujeto a: x + x + x 3 6 x 3 4 x + x x, x, x 3 Podemos multlar la fuó objetvo or ara faltar los álulos. l asar a la forma estádar ueda: Maxmzar 3x + 5x + x 3 Sujeto a: x + x + x 3 + x 4 6 x 3 + x 5 4 x + x + x 6 x, x, x 3, x 4, x 5, x 6 Pasamos a alar el método del Smlex: 3 5 ase P P P P 3 P 4 P 5 P 6 P 4 6 P 5 4 P rtero de etrada: mí{ 3, 5, }, luego etra x 3. rtero de salda: mí{6/, 4/}4, luego sale x ase P P P P 3 P 4 P 5 P 6 P 4 36 P 3 4 P rtero de etrada: mí{ 3, 5} 5, luego etra x. rtero de salda: mí{36/, /}, luego sale x ase P P P P 3 P 4 P 5 P 6 P / / P 3 4 P 5 / / 4 / 5/

6 rtero de etrada: mí{ /} /, luego etra x. rtero de salda: mí{36 /3} 36 /3, luego sale x ase P P P P 3 P 4 P 5 P 6 P 3 4 /3 /3 /3 P 3 4 P 5 /3 /3 /3 37 /3 9/3 /3 l evaluar la odó de arada, observamos ue se umle. Por lo tato, la tabla ateror se orresode o ua soluó ótma del roblema. Dha soluó ótma es x (4,, 4,,, ) T. El valor ótmo de la fuó objetvo orgal del euado, F(x,x,x 3 ),3x +,5x +,x 3, será 37 euros, ya ue la fuó objetvo ue hemos usado e el método del smlex es la orgal multlada or. Problema 4: ( utos) Ua emresa metalúrga eesta rodur 5 Kg de u metal o al meos u 4% de herro, a artr de 9 metales araterzados or: Metal D E F G H I % Herro oste/kg 4, 4,3 5,8 6, 7,6 7,5 7,3 6,9 7,3 Exsteas (Kg) Platear u modelo de rogramaó leal ara dar a la emresa ómo mmzar los ostos de roduó de la mezla. Nota: No tete obteer la soluó, sólo debe dar el lateameto. Soluó: Llamaremos x a la atdad de metal medda e Kg ue usaremos e la mezla, dode {,,, D, E, F, G, H, I}. Debemos garatzar ue la atdad de mezla roduda es gual a 5 Kg: x + x + x + x D + x E + x F + x G + x H + x I 5 Por otro lado, omo se exge ue de esos 5 Kg de mezla, al meos el 4% sea herro, debemos garatzar ue haya al meos Kg de herro e la mezla:,8x +,6x +,x +,x D +,4x E +,3x F +,5x G +,x H +,5x I demás hay ue garatzar ue o os exedemos de las exsteas dsobles, o lo ual: x x x 4 x D 3 x E x F 9

7 x G 3 x H 7 x I 8. Las atdades utlzadas de ada metal o uede ser egatvas, así ue tedremos x {,,, D, E, F, G, H, I}. Por últmo, dado ue os de mmzar el oste de roduó, la fuó objetvo a mmzar será: 4,x + 4,3x + 5,8x + 6,x D + 7,6x E + 7,5x F + 7,3x G + 6,9x H + 7,3x I FÓRMULS DE TEORÍ DE OLS: M/M/: W t / W () t e M/M/: ( )!! ( ), s,,...,, e otro aso +!( ) W e t / W L ( ) ( )! L t +! ( ) M/M/ y M/M/: W W + L W L W M/M//k: ( ) k, s k + +, s ( ) W W + L efw L efw Redes de Jakso abertas: ef k ( k + ) k k + L k, s +, s K γ K L L W L V Redes de Jakso erradas: + Lj( m ) Wj( m) j j L j() L ( m) m j * jwj( m) K W( m) * Lj( m) j( m) W ( m ) j