ESTADÍSTICA. Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid

Transcripción

1 ESTADÍSTICA. Decrptva. Probabldad 3. Ifereca 4. Aál de la varaza 5. Deño de Epermeto 6. Regreó leal Ecuela Técca Superor de Igeero Idutrale Uverdad Poltécca de adrd Departameto de Igeería de Orgazacó Admtracó de Emprea Etadítca

2 ABORATORIO DE ESTADÍSTICA Departameto de geería de orgazacó admtracó de emprea etadítca. Ecuela Técca Superor de Igeero Idutrale Uverdad Poltécca de adrd ESTADÍSTICA

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4 PROGRAA. Etadítca Decrptva. Dato: tpo de dato. Dtrbucó de frecueca e htograma. edda caracterítca. Dagrama de caa. Dagrama de tallo hoa. Traformacoe de dato. Dato multvarate. Vector de meda matrz de varaza. Correlacó. Traformacoe.. Probabldad. Epermeto aleatoro. Defcó de varable aleatora dcreta. Dtrbucó de probabldad. Fucó de dtrbucó. Varable aleatora cotua. Fucó de dedad. Traformacoe. Eperaza varaza. ometo. Proceo de Beroull: Dtrbucó bomal. Proceo de Poo: Dtrbucó de Poo. Dtrbucó epoecal. Dtrbucó ormal. a dtrbucó ormal como apromacó de la dtrbucoe bomal de Poo. Dtrbucó couta. Defcoe de dtrbucó couta margal codcoada. Fucoe de dedad de vara varable. Eperaza. Covaraza correlacó. Geeralzacó a varable aleatora. Idepedeca. Traformacoe leale. eda de varable aleatora depedete: el teorema cetral del límte. 3. Ifereca. Cocepto de fereca. Dtto problema de fereca. étodo de etmacó: método de lo mometo método de máma veromltud. Aplcacó a la dtrbucoe bomal Poo epoecal ormal. Dtrbucó de lo etmadore. Dtrbucó χ de Pearo. Comparacó de etmadore. Propedade deeable de u etmador. Cocepto de tervalo de cofaza. Itervalo de cofaza para la meda de ua dtrbucó ormal co varaza coocda. Itervalo de cofaza para la meda la varaza de ua dtrbucó ormal. a dtrbucó t de Studet. Itervalo de cofaza e geeral. Aplcacoe a la dtrbucoe de Poo bomal epoecal. Cotrate de hpóte. Cotrate parámetrco: hpóte ula e hpóte alteratva. Nvel de gfcacó regó de rechazo. Nvel crítco p. Errore tpo I II de u cotrate. Poteca de u cotrate. Aplcacó a la ormal bomal Poo. Cotrate de bodad de aute o paramétrco: cotrate χ de Pearo el cotrate de Kolmogorov-Smrov. 4. Aál de la varaza. Comparacó de do tratameto. a hpóte de ormaldad depedeca homocedatcdad. Etmacó. Cotrate de gualdad de meda. Cotrate de gualdad de varaza. a dtrbucó F. Comparacó de varo tratameto. odelo báco. Decompocó de la varabldad. Tabla del aál de la varaza ADEVA. Cotrate de gualdad de meda. Comparacoe múltple. Dago de la hpóte del modelo de aál de la varaza. Gráfco probablta ormal. Cotrate de homocedatcdad. Aleatorzacó. 5. Deño de epermeto. El modelo e bloque aleatorzado. odelo etmacó. Decompocó de la varabldad. Tabla de aál de la varaza. odelo co do factore. Cocepto de teraccó. Decompocó de la varabldad. Tabla de aál de la varaza. odelo co má factore. Cuadrado ato. 6. Regreó leal. Hpóte del modelo. Etmacó de lo parámetro por máma veromltud mímo cuadrado. Dtrbucó de lo etmadore. Cotrate dvduale de lo parámetro del modelo. Cotrate geeral de regreó. El coefcete de determacó. ultcolealdad: detfcacó u coecueca. Predccó e regreó mple regreó múltple. Varable cualtatva como regreore. Dago del modelo.

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6 . Etadítca decrptva Curo 4-5 Etadítca Dato Número Coumo Cldrada Poteca Peo Aceleracó Año Paí Nº Cldro l/km cc CV g egudo EEUU EEUU EEUU EEUU EEUU EEUU EEUU EEUU EEUU Japó EEUU Europa EEUU Europa Japó Japó EEUU EEUU Europa Europa Japó 4 Etadítca Decrptva

7 Tpo de dato Cuattatvo Cotuo: coumo potecaaceleracó peo Dcreto:º de cldro Cualtatvo Ordale: categoría No ordale: paí gaola/gaol Etadítca Decrptva 3 Dtrbucó de frecueca: coumo l/ m mte mte Puto Frecueca Frecueca Clae Iferor Superor edo Aboluta Relatva Total 39 Etadítca Decrptva 4

8 Htograma coumo Etadítca Decrptva 5 Htograma para coche cldrada poteca peo aceleraco Etadítca Decrptva 6

9 G edda de cetro eda > para todo H... artmétca eda geométrca eda armóca > para todo H G Etadítca Decrptva 7 edda de dperó... Devacó Típca Varaza : eda Etadítca Decrptva 8

10 Etadítca Decrptva 9 Dedad de la terra Cavedh dedad eda 5.4 Dev. Típ Etadítca Decrptva Degualdad de Chebchev fr > fr fr fr > > > > > > >

11 edaa Cuartle... Dato ordeado edaa Cuartle Q r p r p Q 3 p p r p : mpar p : par Etadítca Decrptva edaa Cuartle... edaa : ed fr ed. 5 5% 5% 5% Cuartle fr Q Q. 5 fr Q Q 3 3 Q ed Q Etadítca Decrptva

12 edda caracterítca Coumo Cldrada Poteca Peo Aceleracó eda Dev. Típca Prmer Cuartl edaa Tercer Cuartl Rago Itercuartílco Etadítca Decrptva 3 Dagrama de caa { : I} Q Q Q 3 a { : S} atípco coumo I Q -.5 RI S Q 3.5 RI RI Q 3 -Q Etadítca Decrptva 4

13 Dedad de la terra Cavedh dedad eda 5.4 Dev. Típ..338 Etadítca Decrptva 5 Dagrama de caa múltple EEUU Europa Japó coumo Etadítca Decrptva 6

14 Dagrama de caa múltple EEUU Europa Japó peo Etadítca Decrptva 7 Coumo egú año de fabrcacó coumo Etadítca Decrptva 8

15 Dagrama de Caa últple OCDE Europa Oretal Aa/Pacífco Áfrca Orete edo Amerca ata Gabó Greca Barbado Japó EEUU Producto teror bruto per capta Etadítca Decrptva 9 Dagrama de tallo hoa O eda 549 De. Típca 339 ímo 47 ámo 586 Cuartl 5.3 edaa 5.46 Cuartl Etadítca Decrptva

16 frecueca edda caracterítca de forma ametría curto C AS Coefcete de ametría m Coefcete de curto o aputameto m4 CAP a ometo ometo repecto al orge repecto a la meda m Etadítca Decrptva odelo deal C AS C AP C AS > C AP < 3 Etadítca Decrptva

17 Traformacoe de dato Traformacoe eale a b a " a b b forma"de la dtrbucó o camba Ametría curto o camba Traformacoe o-leale h h Camba la " forma" de la dtrbucó coefcete de ametría curto camba Etadítca Decrptva 3 Efecto de la traformacó de dato Y log Etadítca Decrptva 4

18 Traformacoe Bo-Co p p p log Etadítca Decrptva 5 Dato Varable Obervacoe Y Y O Y Etadítca Decrptva 6

19 Etadítca Decrptva 7 Vector de eda ; Etadítca Decrptva 8 Covaraza peo coumo Coumo Peo Coche

20 Etadítca Decrptva 9 atrz de Varaza O O S Etadítca Decrptva 3 Gráfco de dperó: eemplo coche coumo cldrada poteca peo aceleraco

21 atrz de varaza: eemplo coche coumo c.c. pot. peo acel. S E Etadítca Decrptva 3 ~ S ~ T ~ S Propedade de S e emdefda w R w T S potva : w O T T ~ T ~ ~ T w S w w w w w ~ ~ v T T v w w S w v v Cuadrada Smétrca Semdef. potva Etadítca Decrptva 3

22 Correlacó coumo peo r Admeoal - r Ob. Var Var r a b Etadítca Decrptva 33 atrz de correlacoe eemplo coche coumo c.c. pot. peo Acel. 873 R a varable etá mu correlacoada Etadítca Decrptva 34

23 Etadítca Decrptva 35 Traformacoe eale a S a a a a a a a a a a a T T T T T T T T T T T a a a a a a Etadítca Decrptva 36 Traformacoe leale II T T T T T T Y A AS A A A A A A S A A A A a a a a a a a a a T T m m m m m m m m m a a a a a a a a a O S

24 Capítulo. Decrptva. E u departameto cuatro profeore mparte clae e grupo co 8 5 alumo repectvamete. S e preguta a lo profeore por el tamaño de u clae cuál ería el valor medo la devacó típca obteda? Y e preguta a todo lo alumo del departameto?. E poble que la varaza de ua varable ea4lade ea 9 la de z ea gual a? Jutfcar la repueta..3 Demotrar que al multplcar por e por elcoefcete de correlacó etre amba o varía debe teer el mmo go..4 Demotrar que etre do varable ete ua relacó eacta a b co b> el coefcete de correlacó e uo..5 Demotrar que el coefcete de correlacó e empre e valor aboluto meor que uo..6 E u proceo de fabrcacó e ha meddo tre varable calculado la matrz de varaza co el reultado guete: Podemo afrmar que ha u error e lo cálculo? Por qué?.7 A la varable de meda e le ha aplcado ua traformacó co el logartmo decmal obteédoe la ueva varable log. a meda de la ueva varable e.5. Epoble ete reultado?.8 E la fgura e preeta el dagrama de tallo hoa de lo reduo obtedo de u deño factoral. Repreeta el dagrama de caa bo plot de lo dato. Nota.- a rama -6 9 repreeta lo valore

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26 . Probabldad Curo 4-5 Etadítca Epermeto Aleatoro E térmo epermeto aleatoro e utlza e la teoría de la probabldad para referre a u proceo cuo reultado o e coocdo de atemao co certeza. Suma de valore e el lazameto de dado. Probabldad.

27 Varable Aleatora Ua varable aleatora e ua fucó que aga u úmero real a cada uo de lo reultado de u epermeto aleatoro. azameto de moeda Número de CARAS CC C C Probabldad. 3 Varable Aleatora Dcreta Cuado lo valore que toma ua varable aleatora o fto o fto umerable e dce que e dcreta. Reultado obtedo al lazar u dado {3456} Número de vece que ha que lazar ua moeda hata obteer ua CARA {34...} Probabldad. 4

28 Dtrbucó de probabldad Sea {... } lo valore que puede tomar la varable aleatora. Se deoma dtrbucó de probabldad de la varable aleatora a P que cumple: P Σ P. Nº de Cara al lazar moeda P /4 / /4 Probabldad. 5 Dtrbucó de probabldad p / /4 Nº de Cara al lazar moeda 3 Probabldad. 6

29 azameto de u dado P / 6 P / / 6 / 6 /6 5 / 6 6 / Probabldad. 7 Fucó de dtrbucó a fucó de dtrbucó F de ua varable aleatora e defe para todo úmero real como: F P. Eemplo. Número de cara al lazar moeda F - [ /4 [ 3/4 [ F 3/4 / /4 3 Probabldad. 8

30 3/4 / Fucó de Dtrbucó /4 3 / /4 Dtrbucó putual de probabldad 3 Probabldad. 9 F azameto de u dado p / P / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / Probabldad.

31 Ua fucó F e ua fucó de dtrbucó ólo cumple la guete codcoe: a. b. c. lm F F. F e ua fucó o decrecete. F e cotua por la derecha : h > lm F h F. h lm Probabldad. Varable aleatora cotua Ua varable aleatora e cotua u fucó de dtrbucó F e cotua F 3/4 /.5 F [ /4 5 5 Probabldad.

32 Fucó de dedad a fucó de dedad de probabldad f de ua varable aleatora cotua e la fucó que verfca F f t dt. S F e dervable ademá d d F f. Probabldad. 3 F 3/4 / Fucó de dtrbucó F [ /4.5.5 f Fucó de dedad f [].5.5 Probabldad. 4

33 Ua fucó f e ua fucó de dedad de probabldad de ua varable aleatora ólo cumple: a. f para todo. b. - f d. Área Probabldad. 5 Cálculo de probabldade f b a f d a b P a b F b F a b a f d Probabldad. 6

34 Eperaza Se defe eperaza o meda de ua varable aleatora dcreta e repreeta por E[] al valor E[ ] P. Eemplo: azameto de u dado E[ ] / Cetro de la dtrbucó de probabldad Probabldad. 7 Eperaza Se defe eperaza o meda de ua varable aleatora cotua co fucó de dedad f e repreeta por E[] al valor Eemplo : Dtrbucó uforme f E[ ] d E[ ] f d Cetro de la dtrbucó de probabldad Probabldad. 8

35 Propedade de E[] Traformacoe leale Y a b a b cotate E [ a b] ae[ ] b Probabldad. 9 Varaza Sea ua varable aleatora co meda µ e deoma varaza a Var E[ - µ ]. Varable aleatora dcreta Var [ ] µ P. Varable aleatora cotua Var[ ] µ f d Probabldad.

36 Probabldad. Propedade de la varaza. ] [ ] [. µ µ E E Var. Var a b a Var Probabldad. Eemplo. 4 3 / Var[] Dtrbucó uforme ] [ azameto de u dado 3 d Var

37 Probabldad. 3 Degualdad de Tchebchev µ µ µ - Area. ] [ ] [ cualquer varable aleatora Para P Var E > µ µ Probabldad. 4 ometo de ua V.A. ] [... ] [ ] [ Orge ometo repecto al p p E E E µ µ µ µ ] [... ] [ ] [ meda la ometo repecto a p p E E E µ α µ α µ α

38 Dtrbucó couta de varable aleatora Probabldad. 6 Defcoe v. a. dcreta Dtrbucó de probabldad couta de do varable aleatora Y Fucó de dtrbucó couta: Y P Y P Y P. Y P F Y

39 azameto de do dado Dado ROJO Dado AZU /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 3 /36 /36 /36 /36 /36 /36 4 /36 /36 /36 /36 /36 /36 5 /36 /36 /36 /36 /36 /36 6 /36 /36 /36 /36 /36 /36 Reultado de dado ROJO Y Reultado de dado AZU Dtrbucó couta de probabldad P Y /36 de a 6 Probabldad. 7 Eemplo Eemplo: Se laza do dado e defe la varable aleatora uma S valor aboluto de la dfereca D de lo reultado. Dtrbucó Couta PS D S : SUA DE DOS DADOS /36 /36 /36 /36 /36 /36 /8 /8 /8 /8 /8 D : DIFERENCIA /8 /8 /8 /8 DE DOS DADOS 3 /8 /8 /8 4 /8 /8 5 /8 Probabldad. 8

40 Dtrbucoe argale S : SUA DE DOS DADOS /36 /36 /36 /36 /36 /36 6/36 /8 /8 /8 /8 /8 /36 D: DIFERENCIA /8 /8 /8 /8 8/36 DE DOS DADOS 3 /8 /8 /8 6/36 4 /8 /8 4/36 5 /8 /36 /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 argal de S argal de D Probabldad. 9 Dtrbucoe margale P P Y P Y P Y Suma de do dado Probabldad. 3

41 Dtrbucoe codcoada S : SUA DE DOS DADOS /36 /36 /36 /36 /36 /36 6/36 /8 /8 /8 /8 /8 /36 D: DIFERENCIA /8 /8 /8 /8 8/36 DE DOS DADOS 3 /8 /8 /8 6/36 4 /8 /8 4/36 5 /8 /36 /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 D S 8 Dtrbucó de la dfereca etre lo dado codcoada a que la uma e 8. PD S8 PD S8 / PS8 /5 /5 3 4 /5 5 Probabldad. 3 Idepedeca avarablealeatora Y odepedete ólo P Y P P Y Dado ROJO Dado AZU /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 3 /36 /36 /36 /36 /36 /36 4 /36 /36 /36 /36 /36 /36 5 /36 /36 /36 /36 /36 /36 6 /36 /36 /36 /36 /36 /36 Probabldad. 3

42 Varable aleatora cotua P a b c Y d Sedo f Y que cumple: d c b f a Y d d la fucó de dedad couta f Y f Y d d Probabldad. 33 Varable aleatora cotua Fucó de dtrbucó F u v du dv Y f Y Fucoe de dedad margale f f d f Y f Y Y d Probabldad. 34

43 Probabldad. 35 a varable aleatora Y tee como fucó de dedad couta 6 < < < < f Y argale < < < < d f d f dd dd Y P dudv uv Y P Y - Probabldad. 36 Idepedeca. ólo o depedete varable aleatora a f f f Y Y Y < < < < < < < < 3 6. f f f Y Y Idepedete < < < < log. d f d f f Y Y No depedete

44 Probabldad. 37 Fucoe de dedad codcoada cuado. cuado > > f f f f f f f f Y Y Y Y Y Y Probabldad. 38 Idepedeca -II f f f f Y Y Y Y ólo o depedete varable aleatora a < < < < < < < < < < f f f f Y Y Y Idepedete f f d f d f f Y Y Y Y < < < < log log. No depedete

45 CovY e defe como : dode µ CovY E[] Covaraza a covaraza de do varable aleatora µ Y E[ µ E[Y]. µ Y µ Y µ Y ] Y f e deota por dd S la v.a' o dcreta : CovY E[ µ Y µ µ µ Y P Y Y ] Probabldad. 39 Propedade de la covaraza a covaraza e ua medda de la depedeca leal etre la do varable. S la varable o depedete CovY CovY µ µ Y f dd µ µ Y f fy dd µ f d µ f d Y Y Propedade CovYE[Y] - E[]E[Y] Var Y Var VarY CovY Probabldad. 4

46 eda atrz de Varaza Y do varable aleatora co fucó de dedad couta f : f µ E[ ] Var[ ] Y : f Y Y µ Y Cov Y E[ Y ] Vector aleatoro U ; Y Vector de meda µ E[ U ] µ Y atrz de varaza Var [ U ] Y Y Y Y Var[ Y ] Probabldad. 4 Correlacó Se defe coefcete de correlacó ρ etre do varable aleatora Y como Cov Y ρy. Var Var Y Propedade - ρy S e Y o depedete etoce ρy. Y a b ρy b> o ρy - b< Probabldad. 4

47 Probabldad. 43 varable aleatora f... Para hacer cálculo de probabldade de u uceo e el que tervega la varable aleatora... e preco coocer la dtrbucó de probabldad couta. S la varable o cotua e emplea la fucó de dedad couta dt dt dt t t t f F F la fucó de dtrbucó couta o Probabldad. 44 Vector de eda atrz de Varaza Cov Var Var E E E E T µ µ µ µ µ µ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ varable aleatora Vector de... O

48 Idepedeca a varable aleatora ólo f... f f... f o depedete. Probabldad. 45 odelo Uvarate

49 Proceo de Beroull El reultado de u epermeto admte do categoría: Aceptable Defectuoo. Se repte el epermeto vece. a probabldad de defectuoo e la mma p e todo lo epermeto. o epermeto o depedete. Probabldad. 47 Eemplo de proceo de Beroull azameto de moeda. Reultado: cara o cruz. Se etrae peza al azar de u tema cotuo de fabrcacó. Se clafca la peza e aceptable o o. azameto de u dado vece. E cada lazameto e clafca como 6 o dtto de 6. Probabldad. 48

50 Dtrbucó Bomal p Proporcó defectuoa p Nº de defectuoa al etraer peza Probabldad. 49 Dtrbucó de probabldad bomal p p 4 p 6 4 P p p 6 Probabldad. 5

51 Dtrbucó de probabldad bomal p P p p... P. 4 3 p. p p Probabldad. 5 Propedade de la dt. bomal E[ ] P Var[ ] E[ ] E[ ] p. p p p Probabldad. 5

52 Dtrbucoe bomale p.5 5 p p.5 p Probabldad. 53 Eemplo U cotrato etpula la compra de compoete e lote grade que debe coteer u mámo de % de peza co algú defecto. Para comprobar la caldad e toma udade e acepta el lote ha como mámo peza defectuoa. E u bue procedmeto de cotrol? Número de defectuoa e la muetra PAceptar P Sea p la proporcó de peza e u lote p p P Aceptar p p p p 5% % 5% % p 5%.45 9 Probabldad. 54

53 Dtrbucó Geométrca p Y Proporcó defectuoa p Y Peza etraída hata que aparezca ua defectuoa Probabldad. 55 Dtrbucó de probabldad geométrca p 3... p -pp -p p -p - p P p p 3... Probabldad. 56

54 Propedade de la v.a. geométrca E[ Y ] p Var[ Y ] p p p Probabldad. 57 Dtrbucó de Poo Número de defecto aparecdo e tramo de logtud fa de hlo de cobre. Número de partícula por cetímetro cúbco e líqudo co utaca e upeó. Emoe radactva: úmero de partícula emtda e tervalo de tempo fo. Número de llamada a ua cetralta de teléfoo e u día Probabldad. 58

55 Probabldad. 59 Dtrbucó de Poo Eemplo: Fabrcacó cotua de coductor de cobre. λ Número medo de defecto cada m Número de defecto e u tramo de m Probabldad. 6 ímte de la dt. bomal...!!!!! e lm lm P p p p P λ λ λ λ λ λ λ λ λ e

56 Probabldad. 6 Dtrbucó de Poo..! e P λ λ E 5E- E- 5E- E- 5E λ3 Probabldad. 6 eda Varaza λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ] [ ] [!!! ] [...! Var E e e e E e P e λ

57 Eemplo Ua fuete radactva emte partícula egú la dtrbucó de Poo de meda partícula por muto. Se deea calcular: Probabldad de 5 partícula e u muto Probabldad de partícula e u muto Probabldad de má de 5 partícula e u muto. Probabldad de al meo 3 partícula e 5 muto. Probabldad Eemplo Poo P P P Y Nºde partícula e 5 muto λ' 5 5 P Y 5 e e > 5 P e 3 e 5 5! E !! Probabldad. 64

58 Poo de meda 4E- E- E- 8E- 6E- 4E- E- E Probabldad. 65 Dtrbucó Epoecal T t t t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 Eemplo: Fabrcacó cotua de coductor de cobre. λ Número medo de defecto cada m T Dtaca etre do defecto coecutvo Probabldad. 66

59 Probabldad. 67 Dtrbucó Epoecal T t t { }. t tervalo[ defecto e el t e t f t e t T P t F t e P t T P t T t T t λ λ λ λ Probabldad. 68 Propedade Epoecal T Fucó de dedad. t e t f t T λ λ λ.. ] [ ] [ ] [ ] [ λ λ λ λ λ λ λ dt e t dt te E T E T T Var dt t f t E T t t T

60 Dtrbucó Normal Campaa de Gau µ µ f ep R π Probabldad. 69 edda Caracterítca N µ E[ ] µ E[ µ 3 ] CA Ametría µ E[ µ 3 3 ] Var[ ] E[ µ 4 ] 3 E[ µ CAp Curto ] 3 Probabldad. 7

61 .68 µ µ - µ µ - µ µ -3 µ 3 Probabldad. 7 Normal Etádar Z N f Z z e π z / z R Φ z z e π t / dt TABAS Probabldad. 7

62 Etadarzacó µ N µ Z N µ a µ a µ P a P P Z a µ Φ. Nµ N µ a P a P Z z z a-µ/ Probabldad. 73 N P Z z Eemplo. TABA Normal Etadar z P Z z Probabldad. 74

63 N P Z z z z Probabldad. 75 Eemplo Normal a logtud de certo torllo e ua varable aleatora co dtrbucó ormal de meda 3 mm devacó típca. mm. Se acepta como váldo aquello que cumple 9.5 < < 3.3. Proporcó de torllo o aceptable por corto. Proporcó de torllo o aceptable por largo. Proporcó de torllo váldo. Probabldad. 76

64 Probabldad. 77 Eemplo Solucó Φ Z P P P N Z N µ Tabla Probabldad < < Φ P Z P P P

65 Bomal-Poo-Normal Bomal p p λ p Poo λ p / µ p p p Normal µ λ µ λ λ Probabldad. 79 Apromacó Bomal-Normal 5 p/ Probabldad. 8

66 Probabldad Apromacó de Normal Bomal 5 p.5 Probabldad. 8 Traformacoe eale T T a a a E Y E a a a Y a a a µ µ µ ] [ ] [ cotate Vector de... aleatora varable Vector de... a a a T T a a a a a a Var Y Var O ] [ ] [ a a T

67 Probabldad. 83 Traformacoe eale Cao Geeral m m m m m m T m m m m m m m T a a a a a a a a a a a a a a a a a a Var Y Var E E Y a a a a a a a a a Y Y Y m a a a a a a a a a O O O O O ] [ ] [ ] [ ] [ cotate atrz de varable aleatora Vector de... A A A A a Probabldad. 84 Traformacoe eale Idepedeca ] [ cotate Vector de... depede te aleatora varable Vector de... T T a a a a a a a a a Y Var a a a Y a a a O a

68 Eemplo: Calcular la meda la varaza de la uma de varable aleatora depedete co dtrbucó uforme e U U U U Y U U E[ Y ] Var[ Y ] E[ U U ] 6 Var[ U U ] Uforme E[ U ] / Var[ U ] / Cov U U Probabldad. 85 Eemplo U proceo fabrca ua proporcó p de torllo defectuoo. Se defe como la varable úmero de torllo etraído del proceo hata que aparece r defectuoo. Se pde E[] Var[]. Número de torllo etraído hata que aparece el prmer defectuoo Número de torllo uevo etraído hata que aparece el º defectuoo Número de torllo uevo etraído hata que aparece el - émo defectuoo E[] / p : varable aleatora geométrca Var[ ] p / p r E[ ] E[ ] E[ ] E[ r ] p Var[ ] Var[ r ] Var[ ] Var[ r r p ]. p Probabldad. 86

69 Probabldad. 87 eda de varable aleatora depedete Var E ] Var[ ] E[ µ Var Var Var Var E E E E T ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [... µ tee la mma meda varaza la varable S varable aleatora depedete de Vector Probabldad. 88 Teorema Cetral del ímte etádar. ormal e la fucó de dtrbucó de la t / dode / Etoce. varaza de meda mma dtrbucó de probabldad depedete co la ua ecueca de varable aleatora Sea / Φ < < Φ < t d e t t t P lm... π µ µ

70 Teorema Cetral del ímte Sea... varablealeatora depedete co la mma dtrbucó de probabldad de meda µ varaza <. Etoceapro.: N µ Probabldad eda.5 Var eda.5 Var.8/ Probabldad. 9

71 Capítulo. Probabldad. Sea ua varable aleatora co dtrbucó uforme e. Calcular la probabldad de que Y>.8 Y e.. Se elge u puto al azar teror a la crcufereca de ecuacó r. lamado Z ala varable aleatora defda por la dtaca etre el puto elegdo el cetro de la crcufereca calcular la fucoe de dedad dtrbucó de Z..3 S e ua varable aleatora co meda µ. Demotrar que cuado m µ E[ m ] e míma..4 a fucó de dedad de la varable aleatora e ½ / 5 5 f e el reto. Obteer la meda la varaza de..5 De acuerdo co la teoría cétca de lo gae la velocdad V de ua molécula de maa m de u ga alatemperaturaabolutat e ua varable aleatora co la guete fucó de dedad: fv 4 α 3 π v e v /α v dode α p T/m edo la cotate de Boltzma. Ademá EV α/ π VarV 3/ 4/πα. Calcular el valor medo de la eergía cétca mv / de ua molécula. A ua mma temperatura T qué ga tee maor valor medo de eergía cétca uo lgero u otro má peado?.6 a fucó de dtrbucó de la varable aleatora e F. Obteer la fucó de dedad de la varable aleatora Y F..7 U modelo que habtualmete e utlza e balítca para comprobar la correcta calbracó de la arma e f ep dode la varable aleatora e la dtaca del puto de mpacto del proectl al cetro del blaco al que ba drgdo e el parámetro que mde la precó. S para ua dtaca determada de dparo la precó del arma e cm cuál e la probabldad de que al lazar proectle guo haa mpactado a ua dtaca meor de 5 cm del cetro del blaco?.8 Adaptar la demotracó de la degualdad de Chebchev demotrar la degualdad de arov P >a a E [] dode e ua varable aleatora potva P >.9 Dada la varable aleatora cua fucó de dedad e ½ f << e el reto

72 Obteer aí como la meda la varaza de la varable Y 3.. Supógae ua daa crcular co cetro e el orge de coordeada rado r Y la coordeada de u puto elegdo al azar por eemplo el lazameto de u dardo. Supógae que cualquer otro puto de la daa tee la mma probabldad de er elegdo. Calcule f Y f.. U gra almacé guarda caa que cotee peza de dtto tpo. a proporcó p de peza de tpo A e ua caa e puede coderar ua varable aleatora co fucó de dedad: fp p p co p a Calcular el valor de la meda la varaza de la varable aleatora p. b S e toma caa al azar. Cuál e la probabldad de que gua de ella cotega ua proporcó de peza de tpo A gual o uperor al 75%?. e Y o do varable aleatora depedete co la mma fucó de dtrbucó F.Calcular la fucó de dedad de U ma Y..3 Obté la dtrbucó de probabldad del mámo del mímo de la meda de lo reultado obtedo al lazar do dado equlbrado. Se acepta que lo reultado de lo dado o varable aleatora depedete..4 a fucó de dedad de ua varable aleatora bdemeoal vee dada por la epreó: ½ ce f Y cuado << << e el reto So depedete la varable aleatora e Y?.5 o bllete de baco o fabrcado e plego. a mpreó e realza por do máqua guale ua de ella mprme el avero la otra el revero. Sea e Y repectvamete el úmero de defecto de mpreó e el avero revero de u plego. Amba varable o depedete co dtrbucó de Poo de parámetro λ λ. a Demotrar que el úmero total de defecto e u plego Z Y tee dtrbucó de Poo. Nota.- Utlzar que Pr{Z } Pr{ }Pr{Y } el dearrollo del bomo de Newto para λ λ. b S el úmero total de defecto e u plego e Z cuál e la probabldad de que haa eáctamete defecto e el avero? Obteer la epreó e fucó de λ λ. De qué dtrbucó de probabldad e trata?.6 a catdad e mlgramo de do compoete cotedo e u producto e ua varable aleatora bdemeoal cua fucó de dedad vee dada por la epreó

73 ½ 4 cuado f Y e el reto Calcular la probabldad de que la catdad del prmer compoete ea meor que.3 mlgramo cuado la del egudo e.8 mlgramo..7 a llegada de lo clete a u baco e codera u proceo Poo co parámetro λ. Sabedo que e la últma hora ha llegado clete cuál e la probabldad de que lo do etrara e lo prmero 5 muto?.8 a fucó de dedad de la varable aleatora bdemedoal Y be dada por la epreó: ½ cuado <<< f Y e el reto a Calcular el valor de. b Calcular P <.5 Y.5. c So depedete la varable aleatora e Y?.9 e Y o varable aleatora co coefcete de correlacó leal ρ. S la varaza o guale calcular la varaza de Z Y.. U equpo de rado tee do parte el receptor el amplfcador. a duracó del receptor e ua varable aleatora epoecal de meda 5 hora la duracó del amplfcador ua varable epoecal de meda hora. Cuál e la probabldad de que el fallo del equpo cuado e produzca ea debdo a u fallo del receptor? Se upoe que la varable o depedete. Ua máqua e fucoameto e reemplazada por ua ueva máqua be cuado falla be cuado alcaza la edad de T año. S el tempo de vda de la uceva máqua o varable aleatora depedete co la mma fucó de dtrbucó F co fucó de dedad f demuetra que el úmero medo eperado de máqua empleada e u año e Z T fd T F T.. Sea ua varable aleatora N ua varable aleatora N 3 ua varable aleatora N34. Se defe Z 3 Z 3 Z 3 3 S 3 o depedete calcular la matrz de varaza de Z Z Z 3. 3

74 .3 a dtrbucó de probabldad couta de la varable aleatora Y e Y e la guete: Y - - /6 3/6 /6 Y 3/6 3/6 /6 3/6 /6 Calcular u coefcete de correlacó e dcar o depedete..4 a fucó de dedad couta de e Y vee dada por f << << a Obteer la fucoe de dedad margale decr e Y o depedete. b Calcular P Y<..5 a fucó de dtrbucó couta de do varable aleatora e Y e F e a e b a>b> edo a b do cotate coocda. Calcula la fucoe de dtrbucó margale de e Y. So varable aleatora depedete? Calcula P < Y P < P Y..6 U ordeador tarda u total de T egudo e procear u meae de correo electróco eta catdad clue el tempo T durate el cual el meae etá e la cola eperado a er proceado T T. a fucó de dedad couta de la varable aleatora T T e f T T t t e t t t < Calcular la probabldad de que u meae haa etado meo de u egudo e la cola el tempo total que ha durado u proceameto ha do maor que do egudo..7 Sea u valor elegdo al azar de la dtrbucó uforme e el tervalo []. A cotuacó e toma al azar otro valor Y de la dtrbucó uforme []. Calcular la fucó de dedad margal de Y..8 Ua ofca de correo tee do vetalla de atecó al públco. Tre peroa AB C llega e el mmo tate a la ofca de correo ecuetra la do vetalla deocupada. o tempo de ervco requerdo por la tre peroa o varable aleatora depedete co dtrbucó epoecal de parámetro λ. o tempo de ervco de A B comeza de medato metra que C debe eperar a que terme el prmero de lo do. Cuál e la probabldad de que C o ea el últmo e alr de la ofca de correo?.9 Sea Y U V varable aleatora demotrar que Y U V etoce Cov Y Cov UCov V..3 U laboratoro de aál realza prueba de agre para detectar la preeca de u tpo de vru. Se abe que ua de cada peroa e portadora del vru. Se va a realzar u etudo e u colego para abaratar la prueba e realza u aál combado que cote e: E lugar de aalzar la agre de cada dvduo e toma la muetra de 5 e aalza la mezcla. S el reultado del aál e egatvo e coclue que lo 5 dvduo etá ao. S el aál e potvo e repte a cada peroa de maera dvdual. El aál e falble. 4

75 a Determar el úmero eperado de prueba aál que e tedrá que realzar e gue ete tpo de etratega. b Cuál e la probabldad de que u dvduo determado ea portador del vru el reultado del aál realzado a u grupo de 5 ha reultado potvo?.3 De u lote co ua proporcó de peza defectuoa p e etrae pea co repocó hata que e oberva la éma defectuoa. Obteer la dtrbucó de probabldad de la varable aleatora úmero total de peza obervada..3 a fucó de dedad de ua varable aleatora vee dada por la epreó ½ /8 4 f e el reto Se geera ecuecalmete valore de eta varable. Cuáto valore de habrá que geerar por térmo medo hata obteer u valor maor que 3?.33 Ua parea decde teer ho hata el acmeto de la prmera ña. Calcular la probabldad de que tega má de 4 ho. Supógae P ño P ña.5.34 S la llamada telefóca a ua cetralta gue ua dtrbucó de Poo de parámetro λ 3 llamada/cco muto calcular la probabldad de: a Se llamada e cco muto. b Trellamadaedezmuto. c áde5eucuartodehora. d Do e u muto..35 a varable aleatora tee dtrbucó epoecal co meda. Obteer la fucó de dtrbucólafucódededadde W a /b a > b>.36 El úmero de avería dara de ua máqua gue ua dtrbucó de Poo de meda.4 avería. Calcular la probabldad de que haa tre día ucevo avería..37 A u pueto de ervco llega de maera depedete por térmo medo clete/hora. Calcular la probabldad de que llegue 8 clete e la próma meda hora abedo que e la últma hora llegaro 4 clete que la varable aleatora úmero de clete que llega e u hora gue ua dtrbucó de Poo..38 E ua plata dutral do bomba B B e paralelo coduce agua dede u pozo a ua depuradora D poterormete otra do bomba B 3 B 4 també e paralelo la tralada a u depóto como dca la fgura. o tempo de vda de la depuradora de la bomba o varable aleatora depedete co dtrbucó epoecal edo ml hora la vda meda de la depuradora 3 ml hora la de cada bomba. 5

76 Pozo - B µ - D - B4 - Depóto a Calcular la probabldad de que llegue agua al depóto depué de ml hora de fucoameto. b Calcular la probabldad de que ua depuradora que ha trabaado T hora falle ate de la ml hora guete. E razoable que para evtar fallo de la depuradora e reueve éta cada ml hora? Por qué?.39 a dtaca D etre do vehículo coecutvo e ua autopta gue ua dtrbucó epoecal co meda metro. Cuál e la probabldad de que e u tramo de m haa eactamete 5 vehículo?.4 a fucó de dedad del tempo T de fucoameto de u compoete hata que falla e ft t ept t > > >. Cuado u compoete falla e puede reparar queda gual que otro que o hubera fallado uca tuvera la mma edad. Ademá el tempo ecearo para reparar el compoete e codera deprecable. S u compoete tee u prmer fallo e el tate t calcular la probabldad de que el egudo fallo e produzca depué de t co t >t..4 Rcardo e u pecador eperto que ha comprobado depué de ua larga epereca practcado u deporte favorto que el úmero de pece capturado por la mañaa puede er repreetado por ua varable aleatora de Poo de meda 3 pece a la hora. Quere r a pecar el ábado prómo empeza a la 7 de la mañaa cuál e la probabldad de que capture el prmer pez ate de la 7 h. 5 m.? Cuál e la probabldad de que capture 5 pece durate do hora de peca?.4 a varable aleatora T repreeta la duracó de vda de u compoete electróco. E teoría de la fabldad la probabldad de que u compoete falle e el tate t abedo que ha durado hata t e deoma taa de fallo erepreetaporλt edo u valor e fucó de t λt ft F t dode f F o repectvamete la fucoe de dedad de dtrbucó de la varable aleatora T. Obteer la taa de fallo e cao que T ea ua varable aleatora epoecal de meda hora e terpolar el reultado..43 U eame cote e 5 cuetoe. E cada cuetó el alumo debe elegr etre 5 olucoe propueta de la que ua ólo ua e certa. El úmero mímo de repueta correcta que debe teer u alumo para aprobar e a. El profeor decde far a co el guete crtero: que la probabldad de aprobar para u alumo que cotete toda la cuetoe al azar ea meor de.5. Obteer a. Ua cuetó e repodda al azar cada uo de lo cco reultado propueto tee la mma probabldad de er ecogdo. 6

77 .44 Obteer la fucó de dedad de ua varable aleatora χ co u grado de lbertad. S ; N Y e ua χ..45 Dada ua varable aleatora cua dtrbucó e N calcular la medaa de la varable Y..46 a logtud e mlímetro de la peza fabrcada e u proceo e ua varable aleatora que e dtrbue egú ua N3.3 coderádoe aceptable aquella cua medda e ecuetra detro del tervalo a Calcular la probabldad de que ua peza elegda al azar ea aceptable. b Setomaalazaruamuetradetrepeza cuál e la probabldad de que la prmera la tercera ea aceptable la eguda o lo ea? c Cuál e la probabldad de que e ua muetra de tamaño 3 al meo ua ea aceptable? d a peza e embala e lote de 5. Calcular la probabldad de que u lote tega má de 5 defectuoa..47 E certa fabrcacó mecáca el 96% de la peza reulta co logtude admble detro de toleraca u 3% o peza defectuoa corta u % o defectuoa larga. Calcular la probabldad de: a E u lote de 5 peza ea admble 4 o má. b E u lote de 5 ea corta omeo. c E peza haa etre 6 larga. Toda la apromacoe e calcula la dtrbucó ormal..48 Ua máqua rellea obre de azucar para café. a catdad de azucar e cada obre e dtrbue como ua ormal de meda 8 gramo devacó típca.5 gramo. o obre lleo e coloca e caa de cartó. Cada caa tee obre de azucar. El peo couto de la caa lo obre vacío e 3 gramo. Al fal del proceo de empaquetado e pea cada caa llea el peo e meor de 8 gramo e retra o e comercalza. Cuál e el porcetae de caa llea que pea meo de 8 gramo? Cuál e la probabldad de que ua caa co 99 obre lleo de azucar upere el cotrol? Se upoe deprecable el peo de u obre vacío.49 E u uego de apueta ua peroa paga u euro elge u úmero del al 6 laza tre dado. a baca le paga tato euro como úmero de vece haa aldo el úmero elegdo. Sea lo euro gaado o perddo por el ugador e ua ugada calcula E[]. A qué beefca ete uego a la baca o al ugador?.5 Ua emprea u proveedor ha llegado a u acuerdo e cuato al pla de muetreo e la compraveta de lote de. udade. Para comprobar la caldad e tomará ua muetra de 4 udade aceptado el lote cuado haa como mámo c udade defectuoa. Calcula c para que la probabldad de aceptar u lote co el 6% de peza defectuoa ea.5. 7

78 3. Ifereca Curo 4-5 Etadítca Poblacó p % DEFECTUOSA Probabldad Coocdo p cuato vale? uetra Nº Defectuoa Coocdo cuato vale p? Ifereca Ifereca

79 POBACIÓN µ N µ Parámetro µ?? UESTRA... Dato Coocdo Ifereca 3 Epeore de 5 oblea de Slco mcra Ifereca 4

80 frecueca Htograma para Epeor Epeor Ifereca 5 Dtto problema de fereca Dado u modelo para lo dato:... Etmar µ Dar u tervalo de cofaza para µ Elegr etre cotrate de hpóte: µ 5 o µ < 5 Comprobar la valdez del modelo cotrate de bodad de aute. µ Ifereca 6

81 Ifereca 7 étodo de Etmacó r r f f θ θ θ θ θ θ... Parámetro decoocdo coocda.... étodo de lo mometo. étodo de máma veromltud?... muetra aleatora mple de ua Dada r θ θ θ K Ifereca 8 étodo de lo mometo... ] [... ] [... ] [... r r r r r r r r r g E a g E a g E a f θ θ θ α θ θ θ α θ θ θ α θ θ θ K DATOS VAR. AEATORIA r r r r r r a g a g a g Etmadore θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ K K K K

82 Ifereca 9 étodo de lo mometo: Dtrbucó ormal µ R f ep µ π? : Parámetro µ ] [ ] [ µ α µ α µ E a E a f K µ Ifereca étodo de máma veromltud Itroduccó Ua fuete radactva emte partícula egú u proceo de Poo co meda λ decoocda. Durate muto e ha cotado el úmero de partícula emtda: ! 6!! 5! 6!! 5! 6!! 5! 6!! λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ e l e e e e e P

83 Fucó de veromltud l λ 69 λ λ e! 6! 5! λ Etmador mámo-veroíml: 69 λ Ifereca Fucó de veromltud probabldad veromltud 8E- 6E- 4E- E- E- 8E- 6E- 4E- E lambda log probabldad l λ 69 λ λ e! 6! 5! λ log lλ Etmador mámo-veroíml: 69 λ Ifereca

84 Ifereca 3 Etmacó por máma veromltud... ma log... log ;... Dtrbucó couta :... uetra aleatora mple:... Parámetro decoocdo : coocda... r r r r r r r r r r r f f f f f f f f θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Ifereca 4 á. veromltud: Dtrbucó ormal R f ep µ π? : Parámetro µ 4 / : ma log log... log... muetra aleatora mple :... f e e e e f µ µ µ µ µ π µ π π π π µ µ µ µ

85 Ifereca 5 á. Veromltud: Poo d d e e e e P p e P Σ Σ Σ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ : ma! log log!!!!!! aleatora mple : uetra Parámetro...! Ifereca 6 á. veromltud: Bomalp Proporcó defectuoa p? Defectuoa Aceptable e e... uetra Beroull : r p p r p r dp p d p r p r p r p p p p P P P P p r r log log de defectuoa º e el dode......

86 Frecueca/Probabldad frecueca Dtrbucó de meda ormal µ N µ... E[ ] Var[ ] E[ Var[ ] E[ ] Var[ ] E[ ] µ ] Var[ µ µ µ ] N µ Ifereca 7 Htograma de Epeore Epeore Dtrbucó de la eda de 5 obervacoe eda Ifereca 8

87 Ifereca 9 Dtrbucó de S Normal µ µ N... S ] [ ] [ ] [ µ µ E E S E S Σ Σ ] [ S E S S S Ifereca Dtrbucó χ te depede... Z Z Z N Z Z Z χ dep. Var Propedade m m m ] [ ] E[ χ χ χ χ χ χ χ

88 Ifereca Dtrbucó Ch-cuadrado co 4 g.l. dedad Ifereca Dtrbucó de S Normal χ χ χ µ µ µ µ µ µ µ χ µ dt dt S S χ χ

89 frecueca frecueca Htograma de Epeore Epeore Htograma para Varaza varaza muetral Ifereca 3 Dtrbucó de la meda geeral... Vector de varable aleatora depedete E[ ] [ ] [ ] [ ] E E E Var[ ] [ ] [ ] [ ] Var Var Var S la varable tee la mma meda varaza µ E[ ] T f θ : Var[ ] < Var[ ] E[ ] µ Var[ ] N µ Ifereca 4

90 Ifereca 5 Bomal ] [ ] [ ] [ ] [ e e... Bomal: p p p N p p p p Var p p E p p p Var p E Defectuoa Aceptable Ifereca 6 Poo ] [ ] [ ] [ ] [!... Poo : N Var E Var E e P λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

91 Propedade de lo etmadore... m.a. de f θ : θ θ... Cetrado: Varaza míma: Error cuadrátco medo mímo Cotete E[ ] θ θ Sego[ ] θ E[ ] θ θ θ ': Var[ ] θ Var[ '] θ EC[ ] θ E[ θ θ Sego E[ ] θ θ lm ] θ Var θ Var[ ] θ lm Ifereca 7 Eemplo... m.a. de N µ : E cetrado : E[ ] µ E de varaza míma E cotete : lm E[ ] µ lm Var[ ] Ifereca 8

92 No e cetrado : E[ S Sego S Varaza : S Var Var E cotete : Eemplo [ χ ] ] Var[ S lm E[ S ] lm Var[ S ]... m.a. de N µ : S ] 4 Ifereca 9 Itervalo de cofaza

93 Cocepto de tervalo de cofaza Se ha realzado ua ecueta a 4 peroa elegda al azar para etmar la proporcó p de votate de u partdo polítco. p? Reultado Ecueta Sí No/Otro 8 Ifereca 3 Itroduccó B p apro. N p p p p N p p p p p p p N N Ifereca 3

94 Ifereca 33 z α/ -z α/ α/ α/ N / / / / de : Depeado α α α α α z p p p p z p z p p p p z P Nvel de CONFIANZA -α Ifereca 34 p p z p p p p z p z p p p p z z p p p p z / / / / / / α α α α α α Nvel de cofaza: -α Tamaño uetral

95 Eemplo p 55 4 p 55 ± % % Ifereca 35. Normal: Itervalo para µ co coocdo... N µ N µ µ N / µ zα / z / zα / µ z α / α / α/ α/ -z α/ z α/ N z µ ± α / Ifereca 36

96 Ifereca 37. Normal:Itervalo para µ co decoocdo... µ N t t t S t t S N N / / / / / / / α α α α µ µ µ µ µ t / µ α ± t α/ -t α/ α/ α/ t - Ifereca 38 Dtrbucó t de Studet N t t t 4 p p t V/p Z V Z V N Z o depedete χ

97 3. Normal: Itervalo para... N µ S P χ α / S χ α / S α χ χ α / χ α / α/ χ α / χ α/ χ α / Ifereca 39 EJEPO. a reteca a la compreó de 5 probeta de acero elegda al azar e: µ t 4 S / 5 µ S / t µ % cofaza: 348 µ Ifereca 4

98 χ S 4S P47 4S χ % cofaza: χ Ifereca 4 λ λ λ λ P z K apro α / 4. Poo: Itervalo para λ λ N λ N N λ λ λ / Poo λ z α/ α/ -z α/ z α/ α / α λ z α / λ λ λ z α / λ Ifereca 4

99 Tabla χ α χ ν-α ν: grado de lbertad g.l. EJEPO Pχ α g.l Tabla t-studet α t να ν: grado de lbertad g.l. EJEPO Pt α g.l fto

100 Cotrate de Hpóte Cotrate de Hpóte Se ha realzado ua ecueta a 4 peroa elegda al azar lamado p a la proporcó de votate del partdo polítco A. Podemo afrmar que p >.5. p? Reultado Ecueta Sí No/Otro 8 Ifereca 46

101 Cotrate de hpóte H H : p.5 : p >.5 H H : p.5 : p >.5 p p P N p S H e certo p. 5 P.5 N Ifereca 47 Nvel de gfcacó α α P rechazar H H e certa Regó de Aceptacó de H o N Regó de Rechazo H o α z α Ifereca 48

102 .55.5 uetra p. 55 z Elegdo el vel de gfcacó α.5 z > z R.R. H R.A. H o.5 α Se rechaza H Co u vel de gfcacó de α.5 p >.5 Ifereca 49 Probabldad de Aceptar Ho H CIERTA p.5 α Error I H FASA Error II.5 c Probabldad de Rechazar Ho p.6 Aceptar Ho c c.6 Rechazar Ho Ifereca 5

103 Tpo de errore RESUTADO CONTRASTE Se Acepta H o Se Rechaza H o REAIDAD H o CIERTA H o FASA O Error tpo II Error tpo I α O Ifereca 5 Tpo de Cotrate H H : p.5 : p >.5 UNIATERA H H : p.5 : p.5 BIATERA R.A. Ho R.R.Ho α R.R.Ho α/ R.A. Ho R.R.Ho α/ z α -z α/ z α/ Nvel de gfcacó α Ifereca 5

104 Nvel crítco o p-valor H H : : p p > p p P N p p p p valor Pr P Pr Pr Z > p H p > P p z p e certo > p p p p Ifereca 53 Eemplo Dato: p Regó de Aceptacó H o.64 R.R. H α. 5 p valor.8 Ifereca 54

105 Relacó etre p-valor α z α R.R. H α p valor <α p-valor < α Se rechaza H p-valor α No e rechaza H z α R.R. H α p valor α Ifereca 55. Normal: Cotrate para µ co coocdo H H z : :... N µ N µ µ N / µ µ µ µ µ / R.R. z z > z α / z α / -α α/ α/ R. Acept. N -z α/ z α/ No e rechaza H Se rechaza H Ifereca 56 R.R

106 Ifereca 57. Normal: Cotrate para µ co decoocdo... µ N t t S N H H / / : : µ µ µ µ µ µ µ t α/ -t α/ α/ α/ t - R.R. R.R / / e rechaza No e rechaza H S t t H t t > α α R. Acept. -α Ifereca Normal: Cotrate para... µ N : : χ χ S S H H [ ] [ ] / / / / / / echazo H No rechazo H R P α α α α α α χ χ χ χ χ χ α χ χ χ Dato: ŝ α / χ χ α / α/ α/ χ R. A. Ho RRHo RRHo

107 H H EJEPO. a reteca a la compreó de 5 probeta de acero elegda al azar e: : µ 6 : µ 6 µ t S / 5 P 98 t 4 4 α Dato: t / 5 Como 3.88 >.98 Se rechaza H co α. t 4 Ifereca 59 H H : : S 4S χ χ P47 χ χ Dato: χ Como No e rechaza H Ifereca 6

108 4. Poo: Cotrate para λ K apro Poo λ λ λ N λ λ λ Z N λ P z Z z α α / α / H H R.R. : : -z α/ λ λ λ λ vel de gfcacó α -α N α/ α/ R. Acept. z α/ R.R z λ λ λ z z > z α / z α / No e rechaza H Se rechaza H Ifereca 6 Cotrate χ de bodad de aute POBACIÓN µ N µ? µ UESTRA... Dato Coocdo Tee lo dato dtrbucó Normal? Ifereca 6

109 frecueca Epeore de 5 oblea de Slco mcra Ifereca 63 Htograma para Epeor Epeor Ifereca 64

110 Ifereca 65 Cotrate χ de bodad de aute < < < < K r K K K K K o E E O E O c c E O c c E O c c E O c c f H f H Eperada Fr. Fr. Obervada Clae e certo : H S... :... : χ Pr c c p p E < E O K K / Ifereca 66 Jutfcacó del cotrate χ r K apro K E E O N E E O N p p p O p E p p p N O p B O χ K Nº de CASES r Nº de parámetro etmado

111 Oblea: Frecueca Obervada Clae Fr. Obervada O -f f 4 Total mcra 4 mcra Ifereca 67 Frecueca eperada N45.;4 Clae Fr. Obervada Fr. Eperada O E -f f Total 5 5 p 4 Pr Pr P.75 Z E 4 p Ifereca 68

112 Cotrate de Normaldad H H : : Normal Normal χ Pr χ / p valor α χ 8.5 <.59 No e rechaza la hpóte de ormaldad Ifereca 69 Se ha lazado 3 vece u dado e ha obtedo lo reultado: Reultado Obervada Total 3 Se puede afrmar co α.5 que el dado etá deequlbrado? Ifereca 7

113 Pr H / 6 o : 49 5 χ 5 Pr χ 5 Equprobable H : No equprobable 8 6 χ 4 p-valor Reultado Obervado Eperado Total χ.68 <.7 No e Rechaza H.7 α.5 Ifereca 7

114 Capítulo 3. Ifereca 3. a varable aleatora tee dtrbucó bomal co parámetro p ambo decoocdo. S {6857} e ua muetra aleatora mple de la dtrbucó ateror etmar por el método de lo mometo p. 3. o ta e ervco de ua cudad etá umerado del al N. Se oberva ua muetra de ta e aputa u úmero. Obteer u etmador de N por el método de lo mometo. 3.3 Sea... ua muetra aleatora mple de ua varable aleatora cofucódededad f 5 4 /θ 5 θ. Obté el etmador por el método de lo mometo de θ determa u ego u varaza. 3.4 Ua varable aleatora dcreta puede tomar lo valore co probabldade.5/θ.5/θ θ 4/θ repectvamete. Se toma ua muetra de tamaño 5 co lo reultado guete la eguda fla correpode a la fraccó obervada O para. Etmar θ por máma veromltud. O Se ha tomado ua muetra de tamaño del tempo e muto etre el pao de do autobue T e ua parada co lo guete reultado: S la fucó de dtrbucó del tempo de pao e F t epαt calcular la probabldad etmada de eperar al autobú má de muto. 3.6 a fucó de dtrbucó de ua varable aleatora e < F / α >. dode lo parámetro α o potvo. Etmar lo parámetro de la dtrbucó por el método de máma veromltud. 3.7 El club de tro de ua determada cudad etá etudado la dtaca del puto de mpacto del proectl al cetro de la daa de u 3 meore tradore. Sabedo que la fucó de dedad de la varable aleatora preetada e f θ ep[ ] θ θ etmar θ la dtaca e cm al blaco de tradore fue

115 la dtaca de lo otro tre fue maor que la dtaca máma permtda e u categoría que e de cm. 3.8 Ua compañía para determar el úmero de coumdore de u determado producto e adrd ha ecuetado a peroa elegda al azar hata ecotrar a que utlce el producto. Etmar por máma veromltud la proporcó de coumdore e la cudad el úmero total de etrevtado ha do El tempo de duracó de certo compoete electróco e ua varable aleatora co dtrbucó epoecal. Se ha realzado u eao co compoete cuo tempo de duracó ha do: Depue de 4 hora tre compoete eguía fucoado. Co eta formacó etmar por máma veromltud el parámetro de la dtrbucó epoecal. 3. Sea... ua muetra aleatora mple de la fucó de dedad f θ /θ θ. Obteer por el método de lo mometo u etmador egado de θ calcular u varaza. 3. Sea la meda artmétca de ua muetra aleatora mple de ua dtrbucó Nµ. Se defe c como uevo etmador para µ. Determar c e fucó de µ para que el uevo etmador tega Error Cuadrátco edo EC mímo. Calcular c e abe que el coefcete de varacó /µ e ua muetra aleatora mple de ua dtrbucó ormal co parámetro decoocdo. Para etmar la varaza e propoe el guete etmador S Determar para que el etmador ea cetrado Para etmar la meda de ua poblacó ormal e utlza el etmador b b edo b la varaza muetral corregda ua cotate. Calcular el valor de que mmza el error cuadrátco medo. Utlzar Var[χ g]g edo g el úmero de grado de lbertad. 3.4 o tempo de fucoameto de do compoete electróco dtto gue dtrbucoe epoecale co eperaza µ µ. Se ha obtedo lo tempo de fallo de ua muetra de cada tpo de compoete e ambo cao de tamaño. Obteer el etmador de máma veromltud de µ calcularumedauvaraza. 3.5 U tema de lectura telemátca de coumo de eergía eléctrca emplea u meae de 8- bt. Ocaoalmete la terfereca aleatora provoca que u bt e verta producédoe u error de tramó. Se acepta que la probabldad de que cada bt cambe e ua tramó e cotate e gual a p que lo cambo o depedete. Etma el valor de p e ha comprobado que de la últma lectura efectuada toda de 8-bt 34 era erróea. 3.6 Se ha tomado valore de ua varable fícaqueeupoeormalreultado a Cotrur u tervalo de cofaza para la meda de la poblacó al 95% de cofaza.

116 b Cotrur u tervalo de cofaza para la varaza de la poblacó co el mmo vel de cofaza del apartado ateror. 3.7 E la lta aduta e dca la edad el área cetífca e que trece mportate cetífco de dvera área decubrero la teoría que le ha dado la fama. Cotrur co eto dato u tervalo de cofaza para la edad a la que lo cetífco realza u cotrbucó má mportate: Galleo 34 atroomía Fral 4 electrcdad avoer 3 químca ell 33 geología Darw 49 bología awell 33 ecuacoe de la luz Cure 34 radactvdad Pla 43 teoría cuátca ar 3 ocalmo cetífco Freud 3 pcoaál Bohr 6 modelo del átomo Ete 6 relatvdad Kee 36 macroecoomía. 3.8 Ua muetra de etacoe de ervco de ua cadea de gaolera proporcoa u greo medo por peroa al me de 34 euro co ua devacó típca de 85 euro. Calcular u tervalo de cofaza para el greo medo por trabaador e eta emprea. Calcular el úmero de etacoe que debemo etudar para que el tervalo tega ua ampltud máma de 5 euro. 3.9 Se ha ecogdo al azar 5 probeta de u determado acero cua reteca a la compreó e upoe que e dtrbue ormalmete e ha meddo éta e la udade adecuada habédoe obervado lo reultado guete a Etmar la reteca meda del acero u varaza. b Hallar u tervalo de cofaza del 99% para la reteca meda. c Hallar u tervalo de cofaza del 99% para la varaza. d Cuáta probeta debería habere utlzado e el etudo e quera etmar la reteca meda del acero co ua precó de ±6 udade ua cofaza del 95%?. 3. Ua compañía de comda precocada deea lazar al mercado u uevo producto. Para coocer la aceptacó del mmo realza prevamete ua ecueta etre peroa elegda al azar de la que 37 mafeta u dpocó a comprarlo. Obteer u tervalo de cofaza α.5 para la proporcó p de compradore potecale de ete uevo producto. Cúal debería er el tamaño muetral e quera reducr la logtud del tervalo a la mtad. 3. Se deea etmar la proporcó de ño etre 4 año que e ecuetra adecuadamete vacuado cotra la polomelt. S e quere que la dfereca e valor aboluto etre la etmacó fal el verdadero valor de la proporcó ea meor que.5 co probabldad.95 Cúal e el tamaño muetral mímo requerdo?. 3. Ua roca luar e evada a u laboratoro para determar u vel de radactvdad θ vel que e mde por el úmero medo de partícula emtda por hora. Depué de 5 hora el equpo Geger ha cotablzado u total de partícula emtda. Aceptado que el úmero de partícula emtda gue ua dtrbucó de Poo dar u tervalo co 95% de cofaza para el vel de radactvdad de la roca. Nota.- Utlzar que Z tee dtrbucó N etoce P Z Teedo e cueta que... e ua muetra aleatora mple de ua varable aleatora epoecal co fucó de dedad f λ e/λ λ > ; el etadítco U /λ tee dtrbucó χ dode /; reolver la cuetó guete: 3

117 El tempo de fucoameto de u equpo electróco e ua varable aleatora co dtrbucó epoecal. Se ha tomado lo tempo de fucoameto hata el fallo de 3 equpo elegdo al azar obteédoe 6. 3 hora de meda. Calcular u tervalo co 95 % de cofaza para la vda meda de u equpo. 3.4 a velocdad de ua molécula egú el modelo de awell e ua varable aleatora co fucó de dedad 4 f π α 3 ep /α. dode α > e el parámetro de la dtrbucó e verfca que E α Var 3 π 4 π α. a Calcular el etmador mámo veroíml de α u varaza atótca. b Calcular el etmador por mometo de α la varaza de dcho etmador. c Para ua muetra de tamaño para la que e verfca que P 34 que P 339 hallar u tervalo de cofaza de α co el 95% de cofaza utlzado ambo etmadore. 3.5 o úcleo radoucledo del elemeto radactvo Carboo 4 C 4 e detegra aleatoramete. El tempo que tarda e detegrare cada radoucledo e ua varable aleatora co dtrbucó epoecal de meda año. a S calmete había radoucledo obteer el úmero eperado de lo radoucledo detegrar al cabo de lo. año. b Obteer para la varable aleatora úmero de radoucledo detegrar al cabo de. año u tervalo que cotega al valor de ea varable co probabldad 95 e terpretar el reultado. c Ua peza arqueológca ha etado eterrada durate. año al cabo de lo cuale e ha obervado radoucledo de C 4. Etmar por el método de lo mometo el úmero cal de radoucledo N calcular la meda la varaza del etmador obtedo. d Determar el tempo que debe tracurrr para que el úmero de radoucledo cale e reduzca a la mtad. 3.6 U proceo dutral fabrca peza cua logtud e mm e dtrbue egú ua N9. Ua muetra de 5 peza proporcoa lo reultado guete: a Cotratar la hpóte de que la meda del proceo µ e efectvamete 9. b Cotratar la hpóte de que la varaza del proceo e. Tómee α.5 e todo lo cotrate. 4

118 3.7 Para cotratar ulateralmete que la eperaza µ de ua varable aleatora ormal e e toma ua muetra de tamaño 6 e rechaza la hpóte e el cao e que la meda muetral ea maor que aceptádoe e el cao cotraro. Sabedo que la devacó típca de la poblacó e cúal e la probabldad de error de tpo I de ete cotrate?. Cúal ería la probabldad de error de tpo II del cotrate el valor verdadero de la eperaza fuee?. 3.8 Ua medca etádar e efectva e el 75% de lo cao e lo que e aplca. Se ha comprobado u uevo medcameto e pacete obervádoe u efectvdad e 85 de ello. E la ueva medca má efectva que la etádar? Cotratar co α U emprearo quere comprar ua emprea que fabrca coete. Durate lo 5 últmo año la proporcó de coete defectuoo e ha matedo e u 3%. Para verfcar eto e toma ua muetra de coete obtee que 9 o defectuoo. Se puede coclur que la proporcó de coete defectuoo ha aumetado? Calcular la poteca del cotrate plateado aterormete e fucó de p. Calcular la probabldad de error de tpo II cuado la hpóte alteratva e p.6 edo p la proporcó de defectuoo.nota: Utlícee la apromacó ormal α Teedo e cueta que... e ua muetra aleatora mple de ua varable aleatora epoecal co fucó de dedad f λ e/λ λ > ; el etadítco U /λ tee dtrbucó χ dode /; reolver la cuetoe guete: a El tempo de fucoameto de u equpo electróco e ua varable aleatora co dtrbucó epoecal. Se ha tomado lo tempo de fucoameto hata el fallo de 3 equpo elegdo al azar obteédoe 6. 3 hora de meda. Cotratar co vel de gfcacó gual a.5 H : λ 5 3 hora frete a H : λ > 5 3 hora; dcado: a el valor crítco b la probabldad de error tpo II cuado λ hora. E ufcete co proporcoar el valor má promo obtedo e la tabla del lbro de teto. b Se va a realzar u eao co 5 equpo fabrcado por ua eguda emprea. S el tempo de fucoameto de eto tee també dtrbucó epoecal. Cuál e el valor mámo de la meda muetral de eto quce equpo que permtría coclur co α.5 que o peore que lo de la prmera emprea? Depué de 6 hora de eao ha fallado 6 equpo edo el promedo de eto e valore gual a 35 hora. E ecearo egur el eao para tomar ua decó? 3.3 Cbele Computer S.A. ha realzado u gra peddo de chp para u ueva lea de ordeadore peroale. E el cotrato de umtro e epecfca que al meo el 95% de lo chp debe er aceptable. Como e mpoble comprobarlo al % el cotrol e va a realzar medate el guete procedmeto: de cada lote que e upoe de gra tamaño e toma al azar chp la proporcó de chp e la muetra que upera el cotrol e maor que c e acepta el lote e cao cotraro e rechaza. lamado p a la proporcó real de chp aceptable e u lote determar c e deea que PAceptar u lote. p.85 PAceptar u lote.99 p.95. Utlzar la apromacó ormal coderar que Z e ua varable aleatora ormal etádar P Z

119 3.3 a etatura de 6 ño de ua ecuela fatl e reume e la guete tabla de frecueca dóde la últma columa muetra la frecueca eperada bao la hpóte de ormaldad. Frecueca Frecueca Itervalo Obervada Eperada Total 6 6 Se puede aceptar la hpóte de ormaldad de lo dato α.5? 3.33 Se tra vece u dado e obtee lo reultado de la tabla VAOR FRECUENCIA Cotratar la hpóte de que el dado etá equlbrado que por tato u cara o equprobable. Tómee α U modelo ímco dca que la dtrbucó de lo epcetro de mo e ua regó debería egur ua dtrbucó de Poo e el plao. U grupo de eperto pretede cotratar ee modelo ecumpleparaelloharepreetadoumapadelaregódvddoecuadrículadetamaño m ha eñalado co puto la pocoe de lo epcetro véae fgura aduta. Realzar el cotrate χ de bodad de aute co vel de gfcacó α 5 proporcoado el vel crítco apromado del cotrate. 6

120 3.35 El tero de defea etá coderado u uevo tema de apoo para el lazameto de mle de corto alcace. El tema etete tee errore e el 7% de lo lazameto e deea comprobar el uevo tema tee ua probabldad de fallo meor. El eao va a cotr e realzar lazameto e coclurá que el uevo tema e meor o e produce gú fallo. lamado p a la probabldad de fallo del tema uevo aceptado depedeca etre lo reultado del lazameto obtega repreete gráfcamete la probabldad de error de tpo II del cotrate ½ H : p.7 H : p<.7 Obtega la probabldad de error tpo I. Iterprete el reultado valore el método de decó e adecuado El tempo de duracó T de u compoete electrodámco e ua varable aleatora co dtrbucó epoecal de meda µ. Vete compoete ha do ometdo a u eao el úmero de hora que ha durado ha do: Teedo e cueta que T/µ tee dtrbucó χ co do grado de lbertad realza el guete cotrate co α.5. H : µ hora H : µ< hora 3.37 Para cotrolar la caldad de u proceo tetl e cueta el úmero de defecto que aparece e la tela fabrcada. Segú el fabrcate cuado el proceo fucoa correctamete el úmero de defecto e ua boba de metro cuadrado e ua varable aleatora de Poo co meda 4. Se ha talado u equpo de vó artfcal para realzar el recueto que permte peccoar 9 m de tela cada hora. Cuál e la probabldad de que aparezca má de 5 defecto e ua hora el proceo fucoa be? E ua orada de 6 hora de fabrcacó e ha cotablzado 7 defecto e puede afrmar que ha habdo u aumeto del úmero medo de defecto e ee día? Nvel de gfcacó.5. 7

121 .

122 4. Aál de la Varaza Curo 4-5 Etadítca Comparacó de do tratameto A B Sea deea comparar do tratameto para reducr el vel de coleterol e la agre. Se eleccoa dvduo e aga al azar a do tpo de deta A B. a tabla muetra la reduccó coeguda depué de do mee. Aál de la varaza

123 étodo: 4 pao Defcó del modelo de dtrbucó de probabldad: Hpóte Parámetro Etmacó de lo parámetro Dago de la hpóte Aplcacó Aál de la varaza 3 odelo µ µ O D E O D A T O S Aál de la varaza 4

124 odelo: Hpóte Parámetro Hpóte báca: Normaldad Nµ Homocedatcdad Var [ ] Idepedeca Parámetro µ µ Cov [ l ] Aál de la varaza 5 odelo µ u u N a obervacoe e decompoe e: Parte predecble Parte aleatora µ u Aál de la varaza 6

125 Etmacó meda: µ : µ : A B Aál de la varaza 7 Etmacó varaza reduo µ u e u e : RESIDUO : R u µ N e Reduo A B e ; R 3.95 Aál de la varaza 8

126 9 Aál de la varaza Varaza redual: µ µ e R R Aál de la varaza Dfereca de meda: N µ N µ µ µ R t N N µ µ µ µ µ µ

127 Cotrate de gualdad de meda t H H : : µ µ µ µ t R t t t > t α / α / R.R. α/ -t α/ -α R. Acept. No e rechaza H Se rechaza H t - t α/ R.R α/ Aál de la varaza Eemplo: α.5 H H : : µ µ µ µ R.R. t 8 R.R t >. Se rechaza H Aál de la varaza

128 Eemplo: α. t H H : :.44 µ µ µ µ R.R t 8.88 R.R.5 α/ No e rechaza H Aál de la varaza 3 Nvel crítco blateral t H H.44 : : µ µ µ µ t p valor Pr t 8 > α.5 > p-valor Se rechaza H α. < p-valor No e rechaza H Aál de la varaza 4

129 Cocluoe fado α S t o > t α/ e dce que la dfereca de meda e gfcatva. O mplemete que lo tratameto o dtto tee meda dtta S t o t α/ e dce que la dfereca de meda o e gfcatva. No ha evdeca ufcete para afrmar que la meda de lo tratameto ea dferete. Aál de la varaza 5 No rechazar H o o mplca que H o ea certa El reultado t o t α/ o e rechaza H o o debe terpretare como que e ha demotrado que la do meda o guale. No-rechazar la hpóte ula mplca que la dfereca etre la meda µ - µ o e lo ufcetemete grade como para er detectada co el tamaño muetral dado. Aál de la varaza 6

130 7 Aál de la varaza Itervalo de cofaza para la dfereca de meda: R t µ µ µ µ / / / } Pr{ t t t R R ± α α α µ µ α µ µ t α/ -t α/ α/ t - -α α/ 8 Aál de la varaza Eemplo: tervalo de cofaza t / ± ± ± µ µ µ µ µ µ α t R µ µ

131 9 Aál de la varaza Hpóte de homocedatcdad µ µ : : H H Aál de la varaza Dtrbucó F χ χ F F χ χ

132 Dtrbucó F F 44 F 4 F 4 F 54 Aál de la varaza Algua dtrbucoe F F 8 F 4 F F Aál de la varaza

133 Cotrate de gualdad de varaza S H F H H S S : F F : e certo F RR α/ F -α/ -α R.A. Ho F α/ RR [ F α / Fα / ] No e rechaza [ F α / Fα / ] Se rechaza H H α/ Aál de la varaza 3 Eemplo: Cotrate de gualdad de varaza F H H : : RR RR [.484.3] No e rechaza.37 H Aál de la varaza 4

134 Tabla F α.5 Grado de lbertad del deomador: ν Eemplo : 8 F P F ν ν α P Fν ν Fν ν α Grado de lbertad del umerador: ν If If If If. α Tabla F α.5 Grado de lbertad del deomador: ν : 8 F P F ν ν α P Fν ν Fν ν α Grado de lbertad del umerador: ν If If If If. Eemplo α

135 Tabla F α. Grado de lbertad del deomador: ν : 8 F P F ν ν α P Fν ν Fν ν α Grado de lbertad del umerador: ν If If If If. Eemplo α Ete dfereca etre la cuatro emlla? Se deea comparar el redmeto de cuatro emlla ABC D. U terreo e dvde e 4 parcela mlare e aga al azar cada emlla a 6 parcela. A B C D Aál de la varaza 8

136 étodo: 4 pao Defcó del modelo de dtrbucó de probabldad: Hpóte Parámetro Etmacó de lo parámetro Dago de la hpóte Aplcacó Aál de la varaza 9 odelo... µ µ µ K... K K K K Aál de la varaza 3

137 Hpóte del modelo Normaldad Nµ Homocedatcdad Var [ ] Idepedeca Cov [ l ] Aál de la varaza 3 odelo: Hpóte Parámetro Hpóte báca: Normaldad Nµ Homocedatcdad Var [ ] Idepedeca Cov [ l ] Parámetro µ µ µ K Aál de la varaza 3

138 odelo: Forma alteratva µ u u N a obervacoe e decompoe e: Parte predecble Parte aleatora µ u Aál de la varaza 33 Etmacó meda:a. Veroíml µ : K µ : µ : K K K K A B C D Aál de la varaza 34

139 Etmacó varaza reduo µ u e u e : : R u µ N RESIDUO K e K Reduo A B C D R 4.4 Aál de la varaza 35 Comparacó de meda a comparacó de tratameto co ete modelo e reduce a comparar la meda µ µ... µ K e prmer lugar co el cotrate: H H : : µ µ Al meo ua µ K e dferete Aál de la varaza 36

140 Decompocó de la varabldad K dode K K µ u K K elevado al cuadrado umado para : todo K K retado Aál de la varaza 37 Varabldade VNE VT VE K Varabldade K K K e Grado de lbertad - K- -K VT VE VNE K K Aál de la varaza 38

141 Decompocó: eemplo 3.4 Dato eda Reduo Aál de la varaza 39 Varabldade: eemplo VT VE K Varabldade K K e VNE Grado de lbertad - 3 K- 3 -K Aál de la varaza 4

142 4 Aál de la varaza Iterpretacó gráfca de la decompocó Aál de la varaza Dtrbucó de VE / / / / / / que llamaremo S K K K K K K K N N N χ χ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ

143 43 Aál de la varaza Dtrbucó de VNE K K K R K K K K K R K K K K K N K χ χ χ χ χ µ 44 Aál de la varaza Cotrate Aál de la Varaza Se rechaza No e rechaza Ho e certo : S H F F H F F F R K K F K K K K K K R > α α χ χ e dferete meo ua Al : : H H K µ µ µ

144 Tabla de Aál de la Varaza Fuete Suma de Cuadrado Grado de bertad Varaza F Tratameto Redual Total K K R / K K R Aál de la varaza 45 Tabla de Aál de la Varaza Fuete Sumade Cuadrado Gradode bertad Varaza F Tratamet o Redual Total Aál de la varaza 46

145 Itervalo de cofaza para la meda N µ N µ µ N R.R. µ tk R α/ µ t ± α / R -t α/ -α R. Acept. H t -K t α/ R.R α/ Aál de la varaza 47 Itervalo de cofaza Semlla eda. Iferor. Superor A B C D Aál de la varaza 48

146 49 Aál de la varaza Itervalo de cofaza 95% Semlla Redmeto A B C D Aál de la varaza Dfereca de meda: N µ N µ µ µ K R t N N µ µ µ µ µ µ

147 Cotrate multple t H H : : R µ µ t µ µ > t t t t α / α / K R.R. α/ -t α/ -α R. Acept. H No e rechaza Se rechaza H H t -K t α/ R.R α/ Aál de la varaza 5 Dago del modelo Etadítca-

148 odelo... µ µ µ K... K K K K Aál de la varaza 53 Hpóte del modelo Normaldad Nµ Homocedatcdad Var [ ] Idepedeca Cov [ l ] Aál de la varaza 54

149 Reduo: Normale homocedátco u u µ u µ N e Reduo A B C D Aál de la varaza 55 Comprobacó de la ormaldad o reduo debe de teer dtrbucó ormal. a obervacoe orgale també pero cada grupo co meda dferete por ello e preco etmar el modelo para decotar a cada obervacó u meda obteer valore co la mma dtrbucó. Herrameta de comprobacó: Htograma de reduo Gráfco de probabldad ormal Q-Q plot Cotrate formale Kolmogorov-Smrov Aál de la varaza 56

150 Gráfco probablta ormal E u gráfco -Y de lo reduo frete a lo percetle de la dtrbucó ormal. a dea báca e que cuado lo reduo tee dtrbucó ormal lo puto debe formar apromadamete ua líea recta Pao: Ordear lo reduo de meor a maor. e e e Calcular lo percetle de la dtrbucó ormal.5 Y Φ R... Repreetar e Y Aál de la varaza 57 Gráfco prob. Normal eemplo Orde Red. Probab. Perce. Perce. e -.5/ N N Percetle Q-Q plot Reduo ordeado Aál de la varaza 58

151 Gráfco probablta ormal Probabldad Reduo Aál de la varaza 59 Eemplo Normal No ormal No ormal No ormal Aál de la varaza 6

152 Comprobacó de la homocedatcdad E el proceo de etmacó e ha upueto que lo dtto tratameto tee la mma varaza Herrameta Gráfco de reduo: Frete a valore prevto Frete a tratameto o factoretc. Cotrate formale: Bartlett Cochra Hartle evee Aál de la varaza 6 Reduo - Valore prevto reduo reduo valore prevto Valore prevto E ete modelo lo valore prevto correpode a la meda del tratameto o puto debe aparecer dpueto al azar e ua bada horzotal alrededor del ee horzotal. Heterocedatcdad: a vece la dperó aumeta coforme la meda crece. Aál de la varaza 6

153 Reduo por tratameto 5 Reduo mí. má A B C D Semlla E cada grupo lo reduo aparece eparcdo co dperó mlar meda cero. Aál de la varaza 63 Reduo por tratameto 5 Reduo mí. má. má < mí 3-5 A B C D Semlla E cada grupo lo reduo aparece eparcdo co dperó mlar meda cero. Aál de la varaza 64

154 65 Aál de la varaza Cotrate formale µ µ µ K K... dtta e : Algua : H H K 66 Aál de la varaza Cotrate de Bartlett K m m m m µ µ µ K K... m K K K Km K K... K K G K R K log K G R c K χ S Ho certo 3 K K c

155 Cotrate de Bartlett geeral K R K G K K K K c 3 K K K S Ho certo K c log R G χ K Aál de la varaza 67 Cotrate de Bartlett: eemplo Dato A B C D eda Varaza χ 3 5 p valor R G χ K R log c G 4.4 log 4.9 5/ 6 9. Aál de la varaza 68

156 57 37 Dago: Tre gráfco báco reduo 7-3 reduo Valore prevto Tratameto probabldad reduo Homocedatcdad Normaldad Gráfco probablta ormal probabldad reduo Aál de la varaza 7

157 Traformacoe z para h etablzar la varaza Dearrollo de Talor para z h µ h' µ µ h'' µ µ a meda varaza de z o apro. E[z] Var[ z] hµ h''µ Var [ h' µ ] Var[ ] z h e µ E[] Aál de la varaza 7 Eemplo z a b a meda varaza de E[z] a bµ Var[ z] b Var[ ] z o a Var[ z ] depede de b Obervacó: Eta traformacó o altera la caracterítca de : o tee varaza cotate z tampoco. Aál de la varaza 7

158

159

160 Eemplo z log a meda varaza de z o apro. E[z] logµ Var[ z] µ Var[ ] µ Var S Var[ ] µ Var[ z] Aál de la varaza 77 z h z homocedátca heterocedátca

161 Traformacoe Bo-Co z 5 5 p > p p < z z p log p p Aál de la varaza 79 Búqueda de la traformacó adecuada reduo reduo Valore prevto valore prevto a dperó aumeta al aumetar la meda p < a dperó dmue al aumetar la meda p > Aál de la varaza 8

162 p z Eleccó de la traformacó Empezar co p dato traformar decdr a partr de lo gráfco p> o p<. p < p / p p / p Parar cuado lo gráfco eté o z z log z z Aál de la varaza 8 Idepedeca E la hpóte fudametal co dfereca la má mportate de la tre ademá e la má dfícl de comprobar. a falta de depedeca uele r lgada a factore o cotrolado por el epermetador que flue e lo reultado troducedo errore temátco. a forma má recomedable de evtar errore temátco cote e aleatorzar. Aál de la varaza 8

163 Aleatorzacó a aleatorzacó evta que e produzca errore que temátcamete aumete o dmua u couto de medda por caua o recoocble: al aleatorzar e reparte eto errore por gual etre lo dferete tratameto e coverte e errore aleatoro prevto e el modelo. Aál de la varaza 83 Cómo aleatorzar? Agar la udade epermetale al azar a lo dtto tratameto. Aleatorzar el orde de eecucó de lo epermeto. Aleatorzar repecto a cualquer otra varable que mplque dferecar a lo tratameto. a aleatorzacó e ua precaucó cotra dtoroe que puede ocurrr o o ocurrr que puedera er era o o llegara a ocurrr Aál de la varaza 84

164 Capítulo 4. Aál de la varaza 4. Se etuda lo Km recorrdo ate del degate de do tpo de eumátco co lo reultado guete: Tpo Km b Km A B a Calcular co α.5u tervalo de cofaza para. b U tervalo de cofaza para µ µ. 4. Se dpoe de redmeto de do máqua. o reultado de la máqua A o 37.5; 4.7; 6.9; 75.; 77.3;.4; metra que lo reultado para la B o: 3.3;.7; 98.4; 6.5; So la máqua guale? Supoer que lo redmeto de amba máqua gue dtrbucoe ormale. 4.3 U fabrcate de automóvle debe elegr etre u determado tpo de peza de acero umtrada por u proveedor A otra umtrada por otro proveedor B. Para proceder a la eleccó e ha aalzado la reteca a la traccó de la peza umtrada por ambo proveedore tomado ua muetra de tamaño de la peza del prmero otra de tamaño del egudo. a reteca meda de la muetra de A e de 54 udade la de la muetra de B e de 49 udade edo la devacoe típca muetrale corregda b A b B 9. a reteca de la peza de ambo proveedore e dtrbue ormalmete. a peza del proveedor B o má barata que la del proveedor A por lo que eta últma ólo o retable tee ua reteca meda al meo udade maor que la de B la mma varabldad. a A qué proveedor habría que comprar la peza a la vta de lo reultado muetrale? b Obteer u tervalo de cofaza del 9\% para la dfereca de meda de la reteca de la peza de lo proveedore A B. 4.4 E ua fábrca de automóvle e utlza ua mmaplataparaeleamblaedetremodelo dtto A B C. Para determar lo modelo recbe el mmo tratameto e ha realzado u cotrol de caldad a ua muetra tomada para cada modelo. El úmero de defecto ecotrado para cco vehículo del modelo A o ; para e vehículo del modelo B o ; para ocho vehículo del modelo C: Cotratar ete dfereca e el tratameto que e da a lo dtto modelo. 4.5 Cco tpo A B C D E de materal tétco e ha ometdo a u eao de degate. Para cada tpo de materal la prueba e repto 6 vece. El degate medo la devacó típca corregda e cada cao e la guete: A B C D E meda d. típca ŝ

165 a Cotratar α.5 la hpóte H : µ A µ B µ C µ D µ E frete a la hpóte alteratva H : Algua meda e dtta a la demá. Idcar co vel de cofaza.95 el materal co degate meor qué materale tee degate medo dtto. b Obteer u tervalo de cofaza co α. para la varaza del error epermetal. 4.6 Se mde la temperatura de ua mezcla co cuatro termómetro obteédoe lo dato guete: Termómetro a So lo cuatro termómetro aálogo? b Aalzar e verfca la hpóte báca del modelo ADEVA medate lo reduo. c Elme el tercer termómetro calcule la tabla ADEVA para comparar lo otro tre termómetro. Qué cocluoe puede etraere? 4.7 Se deea comprobar el efecto de u tratameto térmco obre la reteca de u uevo materal. Se ha tomado 5 probeta e ha agado al azar a lo tre tratameto T T T 3 obteedo como medda de reteca uperfcal lo valore guete: T T T a Cotratar medate el tet de aál de lavarazaete dfereca gfcatva etre lo tratameto térmco α.. b a temperatura del tratameto e la meda de la temperatura de lo otro do tratameto. S la relacó etre la reteca la temperatura e leal e de eperar que la meda del tratameto verfque : H : µ µ µ 3. Hacer el cotrate blateral de eta hpóte co α.5. Nota.- Uar la dtrbucó de 3 / dode e la meda de lo dato correpodete al tratameto T. 4.8Eumodelodeaáldelavarazae ha obervado que la devacó típca ŝ lameda de la obervacoe de cada tratameto etá relacoada lealmete ŝ dode e ua cotate. Cuál de la guete traformacoe e la má adecuada para corregr la heterocedatcdad? z log z o z

166 5. Deño de epermeto Etadítca 4-5 Bloque Aleatorzado

167 Eemplo de troduccó Fluorta % % % 3% 4% e z c l a Se deea etudar el efecto de la Fluorta e la reduccó del cote eergétco e la fabrcacó de cemeto. Se emplea 6 mezcla dtta de matera prma. Deño Epermeto 3 Bloque odelo J Tratameto I J J O I I IJ µ α u µ : eda global α : Efecto del tratameto...i : Efecto del bloque...j u : Compoete aleatora N Normaldad Idepedeca Homocedatcdad I J α Deño Epermeto 4

168 Tratameto... I... µ α µ α µ α I Bloque J µ α... µ α µ α I µ α O... J µ α J µ α I J Etmacó del modelo µ : α : I Parámetro : : J : J Etmadore : J I I µ α I e R I J J µ α µ α u e e µ α Deño Epermeto 6

169 Etmacó J α J J O I I I IJ I I J J Deño Epermeto 7 Etmacó eemplo Fluorta % % % 3% 4% e z c l a α Deño Epermeto 8

170 Reduo: Varaza redual e µ α Fluorta % % % 3% 4% e z c l a R I e J Deño Epermeto 9 Cotrate de Hpóte S la Fluorta o flue lo I tratameto o guale a efecto de cote etoce I α I α α α H : α α α I H : Algú α e dtto de Deño Epermeto

171 Deño Epermeto Aál de la varaza I J I J I I I J e e u α µ α µ J I J I I I e I J Deño Epermeto Varabldade VNE VE VE VT e VNE I B VE J T VE VT I J J I I I B T J I J I

172 3 Deño Epermeto Cotrate obre tratameto e dtto de Algú : : α α α α H H I ] [ R R E J I VNE ] [ Tratameto Ho e certo S T T E I VE ; J I I R I R T T F I J F S Se rechaza Ho > α F F T 4 Deño Epermeto Eplcacó del cotrate... ] [ Ho e certo S J N J J E J N I J J µ µ µ µ α I - J E I - J I I I T I. maor que erá Cuado Ho e falo erá parecda. Cuado Ho e certo R T R T

173 Cotrate de bloque H : J H : Algú e dtto de S Ho e certo B VEBloque J E[ B ] F B B R I J R J F J ; I J S F Se rechaza Ho F B > α Deño Epermeto 5 Tabla de aál de la varaza Fuete Varabldad Tratameto Suma de Cuadrado J Grado de bertad. I Varaza T F T R p valor p T Bloque I J B B R p B Redual Total e I J - R Deño Epermeto 6

174 Tabla de aál de la varaza Fuete Varabldad Suma de Cuadrado. Grado bertad. Varaza F p valor Tratameto Bloque Redual Total Deño Epermeto 7 S bloque Fuete Varabldad Suma de Cuadrado. Grado bertad. Varaza F p valor Tratameto Redual Total Deño Epermeto 8

175 9 Deño Epermeto Cotrate multple: tratameto H H α α α α : : J I R t J t α/ -t α/ α/ t I-J- R.R. R.R R. Acept. H -α α/ J J N α α α α α α α α / H S SD J t R e rechaza > α 443 Deño Epermeto Cotrate multple: bloque H H : : / H S SD I t R e rechaza > 43 α 4 J I R t I t α/ -t α/ α/ t I-J- R.R. R.R R. Acept. H -α α/ I I N

176 Comparacó de meda Fluorta SD t α / ezcla SD t α / R R J I SD.3 % % % 3% 4% % % % % -.3 4% SD Deño Epermeto Itervalo de cofaza eemplo µ α ± t α / R J Fluorta eda.f..sup. % %.3.5. % % % Deño Epermeto

177 Itervalo para la meda 95%.8.8 Cote Fluorta Deño Epermeto Dago: Homocedatcdad Gráfco de reduo 3 4 Fluorta reduo ezcla 5 5 Valore prevto

178 Dago: ormaldad probabldad reduo Deño Epermeto 5 Deño factorale

179 Eemplo ANTÍDOTO A B C D I V E N E II N O S III Se aalza el efecto de tre veeo cuatro atídoto e el tempo de upervveca de ua rata. Deño Epermeto 7 odelo Factor J m m J J Jm Factor m m J J Jm O I I I Im I I I m IJ IJ IJm µ α α u Normaldad Idepedeca Homocedatcdad I J tratameto m replcacoe m I J Deño Epermeto 8

180 Factor... I Factor J µ... µ α α α α µ µ α α... I I α α µ α α µ α I α I µ O... α J α J µ α J α J µ α I J α IJ odelo µ α α I α J α µ : eda global α : Efecto del tratameto...i : Efecto del bloque...j α : Iteraccó de vele u : Compoete aleatora N u I α J Deño Epermeto 3

181 Etmacó del modelo µ : α : : α : : I J I J µ α α R e IJ m m J m m mj mi I m I J m Deño Epermeto 3 Etmacó ANTÍDOTO A B C D V I E N II E N O III S Deño Epermeto 3

182 Etmacó ANTÍDOTO A B C D eda α V I E eda α N E II N eda α O S III eda α eda Deño Epermeto 33 Reduo RESIDUOS ANTÍDOTO A B C D V I E N II E N O III S Deño Epermeto 34

183 35 Deño Epermeto Aál de la varaza I J m I J m I J m I I I J m m e e e u α α µ α α µ I J m I J J I I I m e m mi mj 36 Deño Epermeto Varabldade I J m I J J I I I m VNE m B A VE mi B VE mj A VE VT m IJ J I J I VNE B A VE B VE A VE VT

184 Cotrate efecto prcpal de factor A A R H : α α α I H : Algú α e dtto de VNE R E[ R ] IJ m VE A S Ho e certo A E[ A] I I mj I FA F R S F Se rechaza Ho F A > α I ; IJ m Deño Epermeto 37 Cotrate efecto prcpal de factor B H : J H : Algú e dtto de S Ho e certo B VE B J E[ B ] F B B R J mi R J F S F Se rechaza Ho F B > α J ; IJ m Deño Epermeto 38

185 Cotrate teraccó AB H : α α α IJ H : S Ho e certo S F F AB AB Algú α AB e dtto de VE A B I J E[ AB AB F I J ; IJ m R > F Se 4 rechaza 444 Ho α 3 A B teraccoa ] Deño Epermeto 39 Tabla de aál de la varaza Fuete Varabldad A Suma de Cuadrado mj Grado de bertad. I Varaza T F A R p valor p T B mi J B B R p B A B m I J AB AB R p AB Redual Total e IJ m R Deño Epermeto 4

186 Tabla de aál de la varaza Fuete Varabldad Veeo Atídoto Ve At Redual Total Suma de Cuadrado Grado bertad Varaza F p valor...3 Deño Epermeto 4 Cotrate multple: Factor A H H α α R : : α α α α α α N α α mj mj α α t mj IJ m R.R. α/ -t α/ -α R. Acept. H > t α / Se rechaza Ho t IJm- R mj t α/ R.R α/ Deño Epermeto 4

187 Cotrate multple: Factor B H H : : R mi N mi t mi IJ m R.R. α/ -t α/ -α R. Acept. H > t α / Se rechaza Ho t IJm- R mi t α/ R.R α/ Deño Epermeto 43 Itervalo de cofaza teraccó ula µ α ± t µ ± t α / α / R mj R mi Deño Epermeto 44

188 Itervalo de cofaza tempo.5.4 tempo veeo.5 A B C D atdoto Deño Epermeto 45 Dago: homocedatcdad reduo A B C D atdoto veeo Deño Epermeto 46

189 Heterocedatcdad.6.4 reduo valore prevto Deño Epermeto 47 Normaldad probabldad Reduo Deño Epermeto 48

190 Dago: homocedatcdad dato traformado z/ reduo veeo A B C D atdoto Deño Epermeto 49 Dato traformado..8 reduo valore prevto Deño Epermeto 5

191 Normaldad dato traformado probabldad Reduo Deño Epermeto 5 Tabla de aál de la varaza dato traformado / Fuete Varabldad Veeo Atídoto Ve At Redual Total Suma de Cuadrado Grado bertad Varaza F p valor Deño Epermeto 5

192 Comparacoe múltple tervalo de cofaza /tempo /tempo veeo atdoto Deño Epermeto 53 Deño co tre factore Factor B B B B 3 B 4 B 5 Factor C Factor A A A A 3 A 4 A 5 A 6 C C C3 Factore A B C co N A N B N c vele. Nº de Tratameto TN A N B N c Efecto prcpale 3 A B C Iteraccoe de orde do 3 AB AC BC Iteraccó de orde tre. ABC Tratameto: Cada combacó de vele de lo factore Deño Epermeto 54

193 ... K factore co N N... N K vele K efecto prcpale co N K teraccoe de orde co N de lbertad K teraccoe de orde 3 co N 3 grado de lbertad grado de lbertad cada uo N N grado N K teraccó de orde co N N N K K grado de lbertad Deño Epermeto 55 Dato Factor Factor 3... K Factor... J... II K K... K J J J J J J K K K K K K K K JK JK JK J J J J J J K K O O K K K K O O... K K JK JK JK I I I I IJ IJ O O O IJ I I I I IJ IJ IJ IK IK O I I... K IK I K I K O I I K O I K IJK IJK IJK Deño Epermeto 56

194 Eemplo: Proceo químco CATAIZADOR Cocetracó Tre factore: 4% C- C- C-3 6% 3 8% 4 % Catalzador C- Ag C- AgZ C-3 Z Varable repueta: Redmeto del proceo químco. Temperatuta T- 3º C T- 3º C CONCENTRACIÓN 3 4 T- T- T- T- T- T- T- T T- T- T- T- T- T- T- T T- T- T- T- T- T- T- T Tre replcacoe Deño Epermeto 57 m odelo µ α γ α αγ γ αγ u I J I α α α J K αγ I αγ K J γ γ K γ I J K αγ ; αγ ; αγ. m u m Normaldad Idepedeca Homocedatcdad I J K tratameto replcacoe I J K Deño Epermeto 58

195 m eda µ α γ α αγ γ αγ u J K K K IJK JK m m I J K m m m m m J I K IK J m m m m I K m I I J IJ m m m Deño Epermeto 59 eda: Proceo químco Catalzador Temperatura Cocetracó 3 4 C C C T T T- T- C C C T- T- T- T- T- T- T- T- C C C Deño Epermeto 6

196 6 Deño Epermeto Etmacó del modelo m m m R e IJK e K J I K J K I J I K J I ; αγ γ αγ α γ α µ 6 Deño Epermeto odelo etmado m m m m u αγ γ αγ α γ α µ

197 Decompocó de la varabldad I J K m m JK IK IJ K J I m m Deño Epermeto 63 Varabldade VT VE B VE A VE B VE A VNE VE A JK I J K m m IK VE C IJ VE A B K C J C I B C m m Deño Epermeto 64

198 65 Deño Epermeto Grado de lbertad GRADOS DE IBERTAD DESCOPOSICIÓN DE A VARIABIIDAD IJK K J I K J K I J I K J I VNE C B A VE C B VE C A VE B A VE C VE B VE A VE VT 66 Deño Epermeto Total Redual IJK IJK K J I C B A K J I C B K I J C A J I K B A K IJ C J IK B I JK A F Varaza b de Gr VARIABIIDAD FUENTE I J K m m R m m R ABC ABC R BC BC R AC AC R AB AB R C C R B B R A A Tabla ANOVA

199 Cotrate efecto prcpal de factor A F A A R H : α α α I H : JK Algú α e dtto de I R I F I ; IJK F I ; IJK RR α S F No e rechaza Ho F A S F Se rechaza Ho F A α > α Deño Epermeto F α 67 Cotrate teraccó AB H : α α α IJ H F S : Algú α e dtto de VE A B S Ho e certo AB I J AB AB F I J ; IJK R F AB F > α Se 4 rechaza 444 Ho 3 A B teraccoa Deño Epermeto 68

200 Cotrate teraccó ABC H : αγ αγ αγ IJK H : Algú αγ e dtto de S Ho e certo F ABC ABC F I J K ; IJK R S F Se rechaza Ho F ABC > α Deño Epermeto 69 Aál de la varaza Aal of Varace for redmeto - Tpe III Sum of Square Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Value AIN EFFECTS A:Catalzador B:Cocetraco C:Temperatura INTERACTIONS AB AC BC ABC RESIDUA TOTA CORRECTED All F-rato are baed o the redual mea quare error. Deño Epermeto 7

201 Iterpretacó El efecto prcpal del factor cocetracó flue gfcatvamete p-valor. e el redmeto. á adelate e comparará la meda de lo cuatro vele de ete factor. Ete factor o teraccoa co gú otro. o efecto prcpale de catalzador de la temperatura o gfcatvo ademá e mu gfcatva la teraccó de lo do factore p-valor.64. a comparacó de meda de eto factore debe er couta. Deño Epermeto 7 Cotrate multple: Factor A α α H H : : α α α α α α N α α JK α α JK R.R. α/ -t α/ -α R. Acept. H t IJK- α/ t α/ R.R R JK t IJK S > t e rechaza Ho α / R JK Deño Epermeto 7

202 Cocetracó ultple Rage Tet for redmeto b Cocetraco ethod: 95. percet SD Cocetraco Cout S ea Homogeeou Group Cotrat Dfferece /- mt * * * * * * deote a tattcall gfcat dfferece. Deño Epermeto 73 Itervalo de cofaza cocetracó ea ad 95 Percet SD Iterval 83 Redmeto Cocetraco Deño Epermeto 74

203 Iteraccó: Cat. Temp. T- T- C C C Iteraccó Cat Temp eda Catalzador Temp - Temp - Deño Epermeto 75 Seleccó de temperatura catalzador. Table of eat Square ea for redmeto wth 95. Percet Cofdece Iterval Std. ower Upper evel Cout ea Error mt mt Catalzador b Temperatura a meore combacoe correpode a la temperatura co el catalzador o el 3. Deño Epermeto 76

204 Catalzador Temperatura Iteracto ad 95 Percet SD Iterval Redmeto Temperatura 69 3 Catalzador Deño Epermeto 77 Dago del modelo Redual Plot for Redmeto Redual Plot for Redmeto 7 7 redual 7-3 redual predcted Redmeto Cocetraco redual Redual Plot for Redmeto 3 Catalzador percetage Normal Probablt Plot RESIDUAS Deño Epermeto 78

205 Aál de 3 factore co meo obervacoe Cuado o ete teraccó de orde tre. No e ecearo replcar para aalzar el epermeto. a varabldad eplcada por el térmo A B C e coverte e Varabldad Redual co I-J-K- grado de lbertad. a epreoe aterore gue edo válda uttuedo replcacó co I-J-K- como grado de lbertad de la varaza redual. Cuado o ete gua teraccó Se puede reducr coderablemete el úmero de obervacoe el úmero de vele de lo tre factore e el mmo: CUADRADO ATINO Deño Epermeto 79 A B C A B A C B C Tabla ANOVA tre factore replcacó FUENTE Redual VARIABIIDAD JK IK IJ K J I Gr. de b. I J K I J I K J K I J K Varaza C A B AB AC BC R F A R B R C R AB R AC R BC R Total I J K IJK Deño Epermeto 8

206 Eemplo: Oblea Temperatura Horo AS Se ha realzado u epermeto para aalzar la flueca de la temperatura el acabado uperfcal AS e el epeor de ódo coegudo e oblea de lco. El epermeto e reptó e cuatro horo dferete. Cada uo de lo dato del cuadro repreeta la meda de lo epeore meddo e el cetro de cada ua de la 3 oblea que cabe e u horo Deño Epermeto 8 ANOVA: Oblea Aal of Varace for Epeor - Tpe III Sum of Square Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Value AIN EFFECTS A:AS B:Horo C:Temperatura INTERACTIONS AB AC BC RESIDUA TOTA CORRECTED All F-rato are baed o the redual mea quare error. Deño Epermeto 8

207 Comparacoe: Horo ultple Rage Tet for Epeor b Horo ethod: 95. percet SD Horo Cout S ea Homogeeou Group Cotrat Dfferece /- mt * * * * deote a tattcall gfcat dfferece. Deño Epermeto 83 Comparacó de meda ea ad 95 Percet SD Iterval 5 ea ad 95 Percet SD Iterval 5 Epeor 4 3 Epeor AS Horo El AS que produce maor epeor e el El horo que produce meda maor e el auque o e gfcatvamete dtto del. Deño Epermeto 84

208 Cuadrado lato Permte aalzar tre factore co K vele cada uo utlzado ólo K obervacoe. Debe er ula la teraccoe de orde orde C A D B E D C B E A 3 E B A D C 4 B E C A D 5 A D E C B Deño Epermeto 85 Eemplo: Adtvo gaola Ua orgazacó de coumdore etudó la efcaca de cco adtvo que egú lo fabrcate reducía el coumo de combutble. Se realza u deño epermetal co cco coductore cco vehículo cco adtvo elgedo la 5 combacoe que e muetra e la tabla uto co ua medda del coumo. Coductor Vehículo C A D B E D C B E A E B A D C B E C A D A D E C B Adtvo A B C D E Deño Epermeto 86

209 87 Deño Epermeto odelo: Cuadrado ato u γ α µ Normaldad Idepedeca Homocedatcdad K Obervacoe K α K K γ u Deño Epermeto Etmacó u γ α µ K K K K K K K K K ; K K e e K K K R γ α µ

210 Decompocó de la varabldad µ α γ u e K K K K K e Grado de bertad K K K K K K Deño Epermeto 89 Tabla ANOVA FUENTE A B C Redual Total VARIABIIDAD K K K I J e K m Gr. de b. K K K K K K m Varaza A B C R F A B C R R R Deño Epermeto 9

211 Tabla aál de la varaza Aal of Varace for Coumo - Tpe III Sum of Square Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Valu AIN EFFECTS A:Coductor B:Vehculo C:Adtvo RESIDUA TOTA CORRECTED All F-rato are baed o the redual mea quare error. Deño Epermeto 9 Comparacó: vehículo ea ad 95 Percet SD Iterval Coumo Vehculo Deño Epermeto 9

212 Comparacó de vehículo ultple Rage Tet for Coumo b Vehculo ethod: 95. percet SD Vehculo Cout S ea Homogeeou Group Cotrat Dfferece /- mt * * * * * * * deote a tattcall gfcat dfferece. Deño Epermeto 93

213 Capítulo 5. Deño de epermeto 5. U laboratoro de Aál Clíco ha adqurdo u uevo equpo B para medr el coleterol e la agre de lo efermo. Para evaluar el uevo equpo etá autado e decde aalzar muetra de 5 efermo que prevamete ha do aalzada co otro equpo A dado como reultado Efermo eda Equpo A Equpo B Cotratar co α.5 ete dfereca etre lo do equpo. 5. El aál de la varaza de u deño e bloque aleatorzado proporcoa lo guete reultado: VT 3 VEfactor 56 VEbloque 5 VNE 6. El úmero de vele del factor e 5 el úmero de bloque 8. Cotrur la tabla ADEVA. Cuál ería el reultado del aál o e tee e cueta el efecto de lo bloque? Idcar e qué crcutaca e preferble cada uo de lo modelo. 5.3 Para determar el coumo de eergía eléctrca para uo dométco e ha meddo el coumo medo por peroa e la dtta etacoe del año e ete comudade autóoma para 989 habédoe obtedo lo guete reultado: COUNIDAD INVIERNO PRIAVERA VERANO OTOÑO EDIAS EDIAS a Aalzar el factor etacó del año e fluete abedo que ŝ.53.no coderar el factor Comudad. b Razoar etadítcamete cuál e la etacó de maor coumo la de meor utlzado el aál ateror. Calcular lo tervalo de cofaza para el coumo medo de cada etacó del año. c Sabedo que la varabldad eplcada por el factor comudad e 3.6 cotrur ua ueva tabla de la varaza co do factore decdr qué factor e gfcatvo. d Utlzar lo reultado del apartado ateror para realzar u cotrate de gualdad de meda del efecto etacó comparar lo reultado co lo del apartado utfcado la dfereca ecotrada. NOTA: Utlzar α.5 e todo lo cotrate 5.4 Ua talacó típca de almaceameto de combutble e ua Etacó de Servco gaolera etá formada por u taque eterrado de gra capacdad al que e ecuetra coectado dtto

214 urtdore. a catdad total de gaola umtrada e u día e puede determar mdedo drectamete la varacó que e ha producdo e el taque de almaceameto Y oporlauma de lo umtro de lo dtto urtdore Y. a comparacó de amba medda permte determar pérdda e la talacó eterrada otra aomalía. E el proceo de comparacó e ecearo teer e cueta que la medda etá afectada por errore aleatoro. Durate día e ha tomado lo valore aterore e u gaolera: Día Y Y Día Y Y a lamado D Y Y a la dfereca e la medda de u mmo día cotratar co α.5 H : µ D H : µ D 6 dode D tee dtrbucó Nµ D D. Calcular el vel crítco del cotrate apromado la dtrbucó t de Studet por la ormal. b o dato aterore puede er aalzado medate u modelo de bloque aleatorzado tomado el tpo de medda taque urtdore como u factor lo día como bloque. Demotrar co caracter geeral que e el modelo de bloque aleatorzado el factor tee do vele la varaza redual cumple: b R b D dode b D e la etmacó de D del apartado. c Teedo e cueta lo ateror demotrar que el cotrate correpodete al factor e el modelo de bloque aleatorzado e equvalete al cotrate del apartado. 5.5 U vetgador quere etudar el efecto de eo hombre muer tpo de formacó ceca letra e el domo del glé ecrto e profeore uvertaro. Para ello aalza el úmero de correccoe gramatcale e artículo cetífco evado a publcacó. Para cada combacó de vele de lo factore e ha elegdo al azar tre profeore. E la tabla e proporcoa el úmero de fallo detectado e artículo de 5 pága etra Ceca Hombre uer Cotratar co vel de gfcacó.5 lo efecto prcpale la teraccó o gfcatvo. Teer e cueta que P F edo F 8 la dtrbucó F co grado de lbertad 8. Iterpretar lo reultado.

215 5.6 U alumo como trabao de la agatura de etadítca ha comparado tre marca dtta ABC de palomta de maíz precocada. Cada marca puede preparare fredola e ua arté método o e el horo mcrooda método. El alumo ha realzado u deño factoral completo 3 co cco replcacoe e cada uo de lo e tratameto. a varable repueta medda e el porcetae de grao de maíz que o e ha flado adecuadamete. o reultado del epermeto e muetra e la tabla e cada tratameto e proporcoa la meda etre paréte la devacó típca corregda para la cco replcacoe. Cotratar la teraccó etre lo do factore e gfcatva. Sarté Horo A B C Ua caracterítca de la caldad de la gaola e u ídce de octao. Ua refería de petróleo tee cco fórmula que puede empleare para la obtecó de gaola co plomo o plomo. a Para determar que fórmula proporcoa maor ídce de octao co cada ua de ella e ha repetdo vece e el laboratoro el proceo de fabrcacó de gaola co plomo. S el coefcete de determacó del aál de la varaza de lo reultado e gual a. cotratar co α.5 ete dfereca etre la cco fórmula para ete tpo de gaola. b o valore medo ȳ paracadafórmulao: Fórmula eda Cotratar co α.5 que fórmula proporcoa ídce de octao gfcatvamete dtto cuale o. c Debdo a lo problema medo-ambetale gra parte de la produccó futura debe etar lbre de plomo. Para determar que fórmula de la aterore produce meore reultado e cuato al ídce de octao e realzo u deño epermetal mlar al ateror cco fórmula obervacoe e cada fórmula para la obtecó de gaola plomo. El coefcete de determacó e ete cao e gual a.5 elídcemedoparacadafórmula e Fórmula eda Cotratar α.5 ete teraccó etre lo factore tpo de gaola co plomo fórmula. 5.8 Se ha realzado u epermeto co do factore cada uo de ello co 3 vele. El % de la varabldad total etá eplcada por la teraccó de lo do factore el 4% de la varabldad total e debda a la varabldad redual. Determar el úmero de replcacoe eceara e cada tratameto para que la teraccó ea gfcatva co α.. Eplcar el procedmeto de cálculo deado el reultado dcado e fucó de la tabla. 3

216 5.9 Se ha etudado el efecto de tre horo dferete do temperatura 9 o C 3 o C e la duracó de certo compoete. Para cada combacó de horo temperatura e ha replcado el epermeto 3 vece. E la tabla guete e proporcoa la meda devacoe típca corregda de lo dato de cada tratameto. Temperatura o C 9 o C 3 o C eda Dev. T. eda Dev. T. Horo Horo Horo Cotrata ete teraccó etre lo factore horo temperatura α Se deea determar cuatro laboratoro da e promedo lo mmo reultado e u aál químco. Cada laboratoro ha repetdo el aál cco vece lo reultado o: aboratoro a tabla de aál de la varaza la comparacó de la meda de lo cuatro laboratoro e muetra a cotuacó: Aal de la Varaza Fuete Suma de Cuadrado Gl Cuadr. edo F-Rato P-Valor aboratoro Redual Total Corr

217 ethod: 99 percet SD aboratoro Cout ea Homogeeou Group Cotrat Dfferece /- mt * * * Comparacó de la meda de lo cuatro laboratoro. a Eplca que cocluoe e puede etraer de eto reultado: Ete dfereca etre lo laboratoro? Qué laboratoro preeta dfereca gfcatva? Da u tervalo de cofaza al 99% para la meda del laboratoro 3. b Segú el modelo la medda del laboratoro e la muetra tee dtrbucó ormal de meda µ varaza. o cuatro laboratoro afrma que el error e u medda e correpode co. Aceptado la hpóte de homocedatcdad cotratar H : frete a H : >. c Para cofrmar lo reultado e vuelve a repetr el mmo proceo otro día e vuelve a aalzar por lo cuatro laboratoro el producto químco proporcoado otra cco medda. Abao e clue la tabla de aál de la varaza del etudo couto de la 4 obervacoe co u modelo de do factore: aboratoro 4 vele Día vele co 5 replcacoe e cada combacó de día laboratoro. Aál de la varaza Suma de Grado Cuadrado Fuete Cuadrado bertad edo F P-Val A:aboratoro B:Día AB RESIDUA TOTA CORREGIDA

218 ethod: 99 percet SD aboratoro Cout S ea Homogeeou Group Cotrat Dfferece /- - * * * * Iterpreta lo reultado del aál couto compáralo co lo obtedo e el prmer aál. d Cotrata ha habdo u cambo gfcatvo e la varaza de u día otro. Auda. Comprueba que la varaza redual del modelo factoral e el promedo de la varaza reduale de cada día. 5. Se ha realzado u epermeto para etudar el efecto de la temperatura T tempo de epocó E obre la catdad aborbda de u compueto químco por u materal umergdo e él. E el etudo e ha empleado tre temperatura T T T3 tre tempo de epocó E E E3: cada tratameto e ha replcado tre vece. a catdad aborbda mg del compueto químco e cada uo de lo 7 epermeto e muetra e la tabla la meda e la tabla : Tabla : Catdad Aborbda mg Tempo de Temperatura Epocó T T T E E E Tabla : eda de Catdad Aborbda mg Tempo de Temperatura Epocó T T T3 eda E E E eda

219 Aborco Aborco Aborco a tabla 3 correpode al aál de la varaza del epermeto la fgura muetra lo gráfco de lo tervalo de cofaza para la meda de la tre temperatura lo tre tempo de epocó lo ueve tratameto por eparado. Tabla 3: Tabla de aál de la varaza Fuete Suma de Grado de Varabldad Cuadrado bertad Varaza F p-valor Temperatura T. Epocó Iteraccó Redual Total Itervalo de cofaza 95% Itervalo de cofaza 95% Tempo Temperatura It. de cof. para la meda de lo 9 tratameto 95% T T T3 T T T3 T T T3 E E E3 7

220 a Iterpreta lo reultado del aál de la varaza. b Demuetra que e hubera utlzado el modelo de u úco factor para comparar lo ueve tratameto la varabldad eplcada de ete modelo VE e puede poer como uma de la varabldade eplcada del modelo factoral de la tabla 3: VE VETemperatura VETempo VEIteraccó Obté la tabla del aál de la varaza del uevo modelo. c Realza la comparacoe do a do de lo ueve tratameto elge aquél o aquello que proporcoa ua aborcó maor 95%. d Comprueba gráfcamete la hpóte de homocedatcdad e terpreta lo reultado. 5. Se ha realzado u deño epermetal para determar la flueca de do factore combacó de hdrocarburo catdad de hdrógeo e el redmeto de u proceo químco compleo. Se etudaro cuatro combacoe de hdrocarburo AB C D tre vele e el cotedo de hdrógeo 3. E cada tratameto e realzaro cuatro réplca. E la tabla e preeta lo reultado: meora e tato por ml repecto a procedmeto etádar. o úmero etre paréte de la tabla e correpode co la meda de cada tratameto de lo cuatro vele del factor hdrocarburo de lo tre vele de hdrógeo. E la tabla e muetra la tabla de aál de la varaza del epermeto. Tabla. Dato meda etre paréte A B C D eda Etapa eda eda eda eda

221 Tabla. ANOVA - Suma Grado Fuete Cuadrado bertad Var. F p-valor Hdrocarburo Hdrógeo Iteraccó Redual Total 3 47 a Comparar la meda de lo cuatro vele del factor Hdrocarburo la de lo tre vele del factor Hdrógeo. Idca ete dfereca gfcatva co vel de gfcacó.5. b Elge el tratameto que proporcoa el redmeto óptmo utfcado la repueta. Da u tervalo de cofaza para el valor medo e dcha codcoe co vel de cofaza del 95%. c El epermeto e realzó e do etapa e ua prmera etapa e recogero la 4 obervacoe que e dca e la tabla como etapa la otra 4 como etapa. o reultado del aál de la varaza correpodete a cada etapa e muetra e la tabla 3 4. Tabla 3. ANOVA - Etapa Suma Grado Fuete Cuadrado bert. Var. F p-valor Hdrocarburo Hdrógeo Iteraccó Redual Total Tabla 4. ANOVA - Etapa Suma Grado Fuete Cuadrado bert. Var. F p-valor Hdrocarburo Hdrógeo Iteraccó Redual Total 58 3 Se puede coclur que e la do etapa la varaza del error epermetal e la mma? Realza el cotrate co α.5 d Deomado µ µ a la meda globale de lo modelo factorale para cada ua de la do etapa cotrata que o guale H : µ µ co α Sea u deño factoral co 4 factore a vele. Calcular el úmero de parámetro totale correpodete a efecto prcpale e teraccoe de orde

222 5.4 U cetro ha realzado u epermeto para meorar la reteca a la teó de certo muelle de acero. E ua etapa del proceo el muelle calete e umerge e acete templado. Se ha etudado tre factore A temperatura del acero ate de la meró co tre vele B temperatura del baño de acete do vele C cocetracó de carboo e el acero do vele. El epermeto e ha replcado tre vece. E la tabla e muetra la meda la varaza corregda para lo tre dato de cada tratameto. A B C ŝ a Dar u tervalo del 95 % de cofaza para la varaza del error epermetal. b Idcar lo efecto prcpale de A B C o gfcatvamete dtto de cero. c Dado cotrur u tervalo que cumpla que la probabldad de que ŝ la varaza muetral corregda de u tratameto eté cotedo e él ea gual a.95. Suttur por u etmador co auda de ete tervalo dcutr e puede rechazar la hpóte de homocedatcdad de la obervacoe. 5.5 Se deea etudar la eñal recbda por u equpo de ultraodo e fucó de la profuddad a la que e ecuetra el obeto eterrado. E u epermeto e ha eterrado obeto a metro. E cada dtaca e ha realzado replcacoe. a tabla muetra la meda varaza de cada vel. Nvel Profuddad Num. eda Varaza Deomado µ µ µ 3 µ 4 a la meda de lo vele realza el guete cotrate: H : µ µ µ 3 µ 4 H : µ µ >µ 3 µ 4 upoedo que la obervacoe tee dtrbucó ormal co la mma varaza que o depedete Utlza α.5. Auda. lamado δ µ µ µ 3 µ 4 el cotrate e puede ecrbr como H : δ ; H : δ >. Etma µ µ µ 3 µ 4 co la meda muetral repectva.

223 5.6 U etudo boquímco ha valorado la catdad de tre ácdo a b c e muetra etraída a cuatro terera 3 4 de la mma raza. El aál e batate compleo la determacó clue u error de medda. Se puede aceptar la hpóte de que lo tre ácdo e ecuetra e la mma proporcó e cada amal? Realza el cotrate co vel de gfcacó.5. a varabldad total e a b c eda eda

224 6. Regreó leal Curo 4-5 Etadítca Regreó mple coumo peo de automóvle Núm. Ob. Peo Coumo g ltro/ m Coumo ltro/ Km Peo Kg Regreó eal

225 odelo u u N : parámetro decoocdo Regreó eal 3 Hpóte del modelo ealdad u Normaldad N Homocedatcdad Var [ ] Idepedeca Cov [ ] Parámetro Regreó eal 4

226 5 Regreó eal odelo N u u : Varable depedete : Varable depedete u : Parte aleatora 6 Regreó eal Etmacó d d d d ; var cov

227 7 Regreó eal Etmacó: máma veromltud d d d d l l / ; var cov log log log ep π π 8 Regreó eal Etmacó : máma veromltud d d 4 log log π e e e e R

228 9 Regreó eal Etmacó var cov í ímo cuadrado a / ep π áma veromltud Regreó eal Recta de regreó Pedete

229 Reduo { e 443 { Valor obervado Valor Prevto Reduo e Regreó eal Eemplo: etmacó Núm. Ob. Peo Coumo Predccó Reduo g ltro/ m Coumo ltro/ Km Peo Kg.7.7 ;. 38 R Regreó eal

230 3 Regreó eal Propedade de w w w cov w w w w 4 Regreó eal o v.a. depedete var cov T T T w w w w w w w w Y a Y w Y a

231 5 Regreó eal Dtrbucó de ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ormale de Comb. leal w Var w w Var w Var w w w Var Var w w E E w E w w E w w w E E w w w N N 6 Regreó eal odelo e dfereca a la meda e e e

232 7 Regreó eal Dtrbucó de ] var[ ] [ ] [ ] [ o depedete E E E Normal N N N 8 Regreó eal Dtrbucó de ŝ R R e χ e e e u N u e u χ χ

233 Cotrate prcpal de regreó: depede de? H H : : u u Regreó eal H e falo e etá relacoado H e certo e o etá relacoado 9 Cotrate obre la pedete H H : : t R N N ; t > t ; α / t R Se rechaza Ho Regreó eal

234 Regreó eal : : H H Se rechaza Ho ; / ; > α R t t t N Cotrate: ordeada e el orge Regreó eal Decompocó de la varabldad e regreó { VNE VE VT e u cuadrado umado elevado al retado 443

235 Coefcete de determacó R VE VNE VT VT VE VNE R VE VT R de el porcetae de VT que etá eplcado por el regreor Regreó eal : VE 3 Coef. determacó R R. 8 R.5 R Regreó eal 4

236 Cotrate F H H : : VE χ S H e certo o VNE e R VE VNE o depedete χ VE VE F F VNE/- R F > F α Se rechaza H Regreó eal 5 Regreó co Statgraphc Depedet varable: Coumo Idepedet varable: Peo Stadard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value Itercept Slope Aal of Varace Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Value odel Redual Total Corr Correlato Coeffcet 9859 R-quared 869 percet Stadard Error of Et. 549 Regreó eal 6

237 Eemplo regreó múltple Coumo CC Pot 3 Peo 4 Acel Error Y 3 4 Coumo Cldrada Poteca Peo Aceleracó l/km cc CV g egudo Var. depedete o repueta Var. Idepedete o regreore Regreó eal 7 odelo regreó múltple u N K ealdad E[ ] Normaldad... Normal u : parámetro decoocdo Homocedatcdad Var [... ] Idepedeca Cov [ ] Regreó eal 8

238 9 Regreó eal Notacó matrcal u u u O I U U Y N 3 Regreó eal Etmacó mímo-cuadrátca e Y dode el vector e cumple e mímo e e e e e O

239 3 Regreó eal Para que e ea mímo e tee que er perpedcular al epaco vectoral geerado la columa de e e e e e e O e e T 3 Regreó eal ímo cuadrado Y Y e Y e T T T T T T T T Y Y Y Y e Y Ua decompocó Solucó C

240 33 Regreó eal atrz de proeccó V VY Y VY I e Y VY Y Y Y Y T T Prevto Val. VY I VY Y Y e Reduo T T V Smétrca VV T Idempotete VVV 34 Regreó eal Dtrbucó de probabldad de T T T T T T T T T T T T T T T I Y C C CY C Y C C CY Y I Y ] [ ] [ [] ] [ [] edo T Var Var Var E E Normal N

241 35 Regreó eal Dtrbucó de probabldad de T q q q q q q q q q O Q q N N T dm Q 36 Regreó eal Reduo e e e e O Reduo Prevto Obervado e Y

242 37 Regreó eal Varaza Redual ] [ ] [ χ e E e E e e T e R R e χ 38 Regreó eal : : H H Se rechaza Ho > / ; ; α R R t t q t t q N q q N Cotrate dvdual u

243 39 Regreó eal Decompocó de la varabldad e regreó VNE VE VT e e e e Retado 4 Regreó eal odelo e dfereca a la meda e O { e b Y Y ~ e b Y Y ~

244 4 Regreó eal odelo e dfereca a la meda U b Y ~ ~ ~ ~ b b T N O ~ ~ b b Y Y Y b ~ ~ ~ ~ T T 4 Regreó eal : : alguo e dtto de H H Cotrate geeral de regreó. depedete o e certo H S o χ χ VNE VE VNE VE R / F VNE/- VE F Se rechaza H > α F F u

245 Coefcete de determacó R VE VNE VT VT VE VNE R VE VT R de el porcetae de VT que etá eplcado por lo regreore ~ ~ ~ T T T T T VE Y Y Y Y b b b Y ~ Regreó eal 43 Coef. determacó corregdo R R VE VT VNE VT VT VNE VT R R R VNE / VT / Regreó eal 44

246 Regreó co STATGRAPHICS ultple Regreo Aal Depedet varable: coumo Stadard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value CONSTANT cldrada poteca peo aceleraco Aal of Varace Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Value odel Redual Total Corr R-quared percet R-quared aduted for d.f percet Stadard Error of Et. 666 Iterpretacó cal Cotrate F438 p-valor. Alguo de lo regreore flue gfcatvamete e el coumo. Cotrate dvduale: a poteca el peo flue gfcatvamete pvalor. Para α.5 la cldrada la aceleracó també tee efecto gfcatvo p-valor <.5 El efecto de cualquer regreor e potvo al aumetar cualquera de ello aumeta la varable repueta: coumo. o regreore eplca el 8 % de la varabldad del coumo R Regreó eal 46

247 ultcolealdad Cuado la correlacó etre lo regreore e alta. Preeta grave coveete: Empeora la etmacoe de lo efecto de cada varable : aumeta la varaza de la etmacoe la depedeca de lo etmadore Dfculta la terpretacó de lo parámetro del modelo etmado ver el cao de la aceleracó e el eemplo. Regreó eal 47 Idetfcacó de la multcolealdad: atrz de correlacó de lo regreore. Correlato cldrada poteca peo acelerac cldrada poteca peo aceleraco Regreó eal 48

248 R. mple Gráfco coumo coumo 6 8 coumo peo poteca 4 4 coumo 6 8 coumo cldrada aceleraco Regreó eal 49 Coumo aceleracó Regreo Aal - ear model: Y a b* Depedet varable: coumo Idepedet varable: aceleraco Stadard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value CONSTANT aceleraco R. múltple ultple Regreo Aal Depedet varable: coumo Stadard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value CONSTANT cldrada poteca peo aceleraco Regreó eal 5

249 5 Regreó eal ultcolealdad: efecto e la varaza de lo etmadore ~ ~ ~ ~ var r r r r r r r r r u T T S S S S var r r r r r r 5 Regreó eal Coecueca de la multcolealdad Gra varaza de lo etmadore Cambo mportate e la etmacoe al elmar o clur regreore e el modelo Cambo de lo cotrate al elmar o clur regreore e el modelo. Cotradccoe etre el cotrate F lo cotrate dvduale.

250 Varable cualtatva como regreore Coumo Cldrada Poteca Peo Aceleracó Orge l/km cc CV g egudo Europa Japó USA Europa Japó USA Europa USA USA Japó USA Europa USA Z Z Z JAP USA EUR Orge Europa Japó USA JAPON JAPON USA USA EUROPA EUROPA Coumo CC Pot 3 Peo 4 Acel α JAP Z JAP α USA Z USA Error Regreó eal 53 Varable cualtatva Coumo Cldrada Poteca Peo Aceleracó ZJAP ZUSA ZEUR l/km cc CV g egudo Coumo CC Pot 3 Peo 4 Acel α JAP Z JAP α USA Z USA Error Regreó eal 54

251 Iterpretacó var. cualtatva Coumo CC Pot 3 Peo 4 Acel α JAP Z JAP α USA Z USA Error Coche europeo: Z JAP Z USA REFERENCIA Coumo CC Pot 3 Peo 4 Acel Error Coche apoee: Z JAP Z USA Coumo α JAP CC Pot 3 Peo 4 Acel Error Coche amercao: Z JAP Z USA Coumo α USA CC Pot 3 Peo 4 Acel Error Regreó eal 55 Iterpretacó del modelo α USA Amercao Europeo Japoee Ref. α JAP Regreó eal 56

252 ultple Regreo Aal Depedet varable: coumo Stadard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value CONSTANT cldrada poteca peo aceleraco Zap Zua Aal of Varace Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Value odel Redual Total Corr R-quared 8969 percet R-quared aduted for d.f. 887 percet Stadard Error of Et. 665 Regreó eal 57 Iterpretacó El p-valor del coefcete aocado a Z JAP e.956>.5 e coclue que o ete dfereca gfcatva etre el coumo de lo coche Japoee Europeo mateedo cotate el peo cc pot acel. a mma terpretacó para Z USA. Comparado R 8.9 de ete modelo co el ateror R 8.98 e cofrma que el modelo co la varable de Orge o upoe ua meora eble. Regreó eal 58

253 odelo de regreó co varable cualtatva E geeral para coderar ua varable cualtatva co r vele e troduce e la ecuacó r- varable fctca z vel vel vel vel z zr Y el vel r o utlzado e el que actúa de refereca αz α z α r zr 4 u varable cualtatva vel r vel r Regreó eal 59 Predccó eda m h h Nueva Oberv. h h m h h m h h h ŷ h h Regreó eal 6

254 6 Regreó eal Predccó de la meda m h Regreó mple h h h h m N h m h h ŷ h ] var[ ] ] [ var[ var[ ] var[ ] [ ] h h h h h h h h h h h E m E h m h N h 6 Regreó eal Predccó de la meda m h Regreó múltple h T h h h h h m m N ' h m h ' h ŷ h h T T h hh hh h T T h h T T h h T h h T h T h T h h h h T h T h v E v E E h ' ' ' ] ' var[ ] var[ ' ' ] [ ] ' [ ] ' ' ' ' var[ ' ] [ hh h h v m N

255 63 Regreó eal Epreó alteratva para v hh ~ ~ ~ ~ var[] ] var[ ] var[ ] var[ S S b b b h T h T h T T h h T h h T h h T h S h T h hh v v v hh h hh h / / > 64 Regreó eal Itervalo de cofaza para la meda m h hh R h h hh h h hh h t v m N v m v h m N h ŷ h h hh v R v hh t h h m α / ± S h h T hh v Regreó mple

256 65 Regreó eal Predccó de ua ueva obervacó h reg.mple h h h h m m N h h ŷ h hh h h h h h h h h h hh h h h h v e E E e E e v m N ] var[ ] var[ ] var[ ~ ] [ ] [ ] [ ~ ~ ~ h v hh N e m h h 66 Regreó eal Predccó de ua ueva obervacó h Reg. últple h m h h ŷ h ] var[ ] var[ ] var[ ~ ] [ ] [ ] [ ~ ~ hh h h h h h h h h h hh h h h T h v e E E e E e v m N b ~ h v hh N e h

257 ~ Itervalo de predccó para ua ueva obervacó h vhh eh ~ N eh h h h h N vhh h h t v R hh ŷ h ± t α / R v h h hh h Regreó eal 67 ímte de predccó m ± t α / R v h h hh ± t α / R v h h hh Regreó eal 68

258 69 Regreó eal Dago: Reduo e e e e O Reduo Prevto Obervado e Y 7 Regreó eal Dtrbucó de lo reduo V I V YI V I e V I Y V I e e V VY I e I Y T T var ] var[ ] [ ] [ E E N Normal v N e N V I e

259 Dtaca de ahalaob D T S Dt. de ahalaob de la dtaca de a D D > T T v ' ' T S v o lo elemeto dagoale de la matrz V V T T v vv v v v v v v Regreó eal 7 Reduo etadarzado e N v var e v Cuado etá prómo a v / var e Cuado etá leo de v var e e Reduo etadarzado r R e v Regreó eal 7

260 Hpóte de ormaldad Herrameta de comprobacó: Htograma de reduo Gráfco de probabldad ormal Q-Q plot Cotrate formale Kolmogorov-Smrov Eemplo de coche Reduo probabldad Reduo Regreó eal 73 Comprobacó de la lealdad homocedatcdad Amba hpóte e comprueba coutamete medate gráfco de lo reduo Frete a valore prevto Frete a cada regreor. E mucha ocaoe e corrge la falta de lealdad la heterocedatcdad medate traformacó de la varable. log u log log log u Regreó eal 74

261 Reduo - Valore prevto e eal homocedátco e No leal homocedátco ŷ ŷ e e eal o homocedátco ŷ No leal o homocedátco ŷ Regreó eal 75 Eemplo : Cerezo Negro Se deea cotrur u modelo de regreó para obteer el volume de madera de ua cerezo egro e fucó de la altura del troco del dámetro del mmo a u metro obre el uelo. Se ha tomado ua muetra de 3 árbole. a udade de logtude o pe de volume pe cúbco. Regreó eal 76

262 Cerezo egro: Dato Árbol Dametro Altura Volume Árbol Dametro Altura Volume Regreó eal 77 Gráfco Volume 6 4 Volume Altura Dametro Regreó eal 78

263 Prmer modelo:cerezo egro Volume Dametro Altura Error Stadard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value CONSTANT Altura Dametro Aal of Varace Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Value odel Redual Total Corr R-quared percet R-quared aduted for d.f percet Regreó eal 79 Dago reduo Falta de lealdad reduo Dametro valore prevto Falta de homocedatcdad Regreó eal 8

264 Traformacó vol altura dámetro log vol log altura log dámetro error Depedet varable: logvolume Stadard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value CONSTANT logaltura logdametro Aal of Varace Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Value odel Redual Total Corr R-quared percet R-quared aduted for d.f percet Regreó eal 8 Dago modelo traformado reduo reduo logaltura valore prevto reduo probabldad logdametro Reduo Regreó eal 8

265 Iterpretacó Se comprueba gráfcamete que la dtrbucó de lo reduo e compatble co la hpóte de ormaldad homocedatcdad. El volume etá mu relacoada co la altura el dámetro del árbol R 97.8% El modelo etmado logvol logalt.98 logdam. Error e compatble co la ecuacó vol Alt Dam a varaza redual e.663 e decr R.8 que dca que el error relatvo del modelo e la predccó del volume e del 8.%. Regreó eal 83 Dato olímpco Tempo de lo campeoe olímpco e m 4m 8m 5m. Se pretede cotrur u modelo de regreó co do obetvo: edr la evolucó de eta marca co el tempo. Hacer ua predccó del reultado e ua futura olmpada. Regreó eal 84

266 Eemplo: Carrera olímpca Cudad Alttud Año m 4 m 8 m 5 m Parí Sa u odre Etocolmo Ambere Parí Amterda o Ágele Berlí odre Hel elboure Roma Too eco uch otreal ocú o Ágele Seúl Barceloa Atlata Regreó eal 85 Tempo Año Dtaca Error Depedet varable: Tempo Stadard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value CONSTANT Año Dtaca Aal of Varace Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Value odel Redual Total Corr R-quared percet R-quared aduted for d.f percet Regreó eal 86

267 Dago Reduo Dtaca probabldad reduo reduo Valore prevto Regreó eal 87 Iterpretacó o gráfco de lo reduo co la dtaca co lo valore prevto muetra falta de lealdad heterocedatcdad leve El gráfco Q-Q muetra falta de ormaldad a traformacó /Tempo puede ervr para corregr el problema de heterocedatcdad. E ete cao e má útl modelar la velocdad Velocdad Dtaca / Tempo Regreó eal 88

268 Velocdad Año Dt. Error Depedet varable: Velocdad Stadard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value CONSTANT Año Dtaca Aal of Varace Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Value odel Redual Total Corr R-quared 8983 percet R-quared aduted for d.f percet Regreó eal 89 Dago 8 8 Reduo 4-4 reduo Dtaca Reduo Reduo Valore prevto Regreó eal 9

269 Velocdad Año Dt. 3 Dt. Error Depedet varable: Velocdad Stadard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value CONSTANT Año Dtaca Dtaca^ E Aal of Varace Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Value odel Redual Total Corr R-quared percet R-quared aduted for d.f. 993 percet Regreó eal 9 Dago 5 5 reduo 5-5 reduo Dtaca probabldad Reduo valore prevto Regreó eal 9

270 Iterpretacó El modelo cumple la codcoe de ormaldad homocedatcdad. El coefcete de determacó R 99% da ua medda de la bodad de aute del modelo. El coefcete potvo del AÑO dca que coforme paa lo año e aumeta la velocdad e meora la marca. El térmo domate de la varable DISTANCIA tee coefcete egatvo que dca que la velocdad meda dmue al aumetar la dtaca de la prueba. Se meora lgeramete el modelo co ua ueva varable ATITUD de la cudad dode e dearrolla la olmpada. Regreó eal 93 Vel. Año Dt. 3 Dt. logalterror Depedet varable: Velocdad Stadard T Parameter Etmate Error Stattc P-Value CONSTANT Año Dtaca Dtaca^ E logalttud Aal of Varace Source Sum of Square Df ea Square F-Rato P-Value odel Redual Total Corr R-quared 9965 percet R-quared aduted for d.f percet Regreó eal 94

271 Predccó Sde Predccó para Velocdad - AÑO - SYDNEY Ftted Std. Error ower 95% C Upper 95% C Row Value for Forecat for Forecat for Forecat m m m m Predccó del tempo egudo reultado Sde Itervalo de predccó 95% Reultado Error Error Dtaca ím. If. ím. Sup. Predccó Sde Aboluto Relatvo m % 4 m % 8 m % 5 m % Regreó eal 95

272 Capítulo 6. Regreó leal 6. Co lo dato de la tabla e pde: a Etmar u modelo de regreó mple co como varable depedete como regreor. Idcar el modelo e apropado utfcado la repueta. b Etmar el modelo u. 6. a le de Hubble obre la epaó del uvero etablece que dada do galaa la velocdad de deplazameto de ua repecto a la otra e v Hd edo d u dtaca H la cotate de Hubble. a tabla proporcoa la velocdad la dtaca de vara galaa repecto a la Va áctea. Se pde: Galaa Dtaca Velocdad mlloe año luz 3 m/ Vrgo. Pegao Pereo Coma Berece Oa aor eo Coroa Boreal Gém Oa aor Hdra 6.4 Tabla: Dtaca velocdad de deplazameto de la dtta galaa a la Va actea. Nota: Obérvee que egú el modelo de Hubble la regreó debe paar por el orge. Tómee año luz 3 m/ m. a Etmar por regreó la cotate de Hubble. b Como T d/v d/hd /H la vera de la cotate de Hubble repreeta la edad etmada del Uvero. Cotrur u tervalo de cofaza del 95% para dcha edad. 6.3 Etmar por máma veromltud lo parámetro del modelo u ; u ; N. E qué codcoe lo etmadore obtedo por máma veromltud o guale que lo obtedo por mímo cuadrado? 6.4 Sr Frac Galto 877 etudó la relacó etre la etatura de ua peroa la etatura de u padre obteedo la guete cocluoe:

273 a Etía ua correlacó potva etre la do varable. b a etatura de lo ho cuo padre medía má que la meda era e promedo feror a la de u progetore metra que lo padre co etatura feror a la meda e promedo teía ho má alto que ello calfcado ete hecho como de regreó a la meda. Cotratar α.5 eta do cocluoe co la ecuacó ŷ reultate de etmar u modelo de regreó leal etre la varable e cm. decrta aterormete para ua muetra de tamaño la devacó típca etmada de e Demotrar que e u modelo de regreó mple el etmador de la pedete o depedete. Utlzar eta propedad para calcular la varaza de. 6.6 a matrz de varaza de la varable e Y e Sedo 3 4 Y elúmerodedato.sepde: a Realzar la regreó mple etre Y varable depedete dado el tervalo de cofaza para la pedete de la recta co α.5. Hacer lo mmo co Y. b Realzar la regreó múltple etre Y varable depedete edevacoea la meda. c Idcar lo coefcete de la regreó ateror o gfcatvo. d Calcular R para lo tre modelo cometar lo reultado obtedo e dcar qué modelo elgría por qué. 6.7 Demotrar que el coefcete de correlacó múltple e el modelo geeral de regreó e gual al coefcete de correlacó leal etre la varable obervada la prevta b. 6.8 a reteca a la traccó de ua aleacó metálca e fucó de la temperatura de templado e ha autado co ua ecuacó de regreó para 3 obervacoe reultado: ŷ ŝ R 5.7 R.43 Se puede coclur co ua cofaza del 95% que la temperatura de templado tee efecto gfcatvo e la reteca a la traccó.? 6.9 El coefcete de determacó e u modelo de regreó mple e R.75. S el úmero de obervacoe e cotrata la hpóte H : frete a la alteratva H : 6 α a maa de u crtal de helo depotado e ua cámara a temperatura -5 o Chumedad relatva cotate crece egú la ecuacó αt dode T e el tempo α o parámetro

274 decoocdo. a relacó ateror e lealza co la traformacó logarítmca etmádoe el guete modelo log logα log T u dode el térmo añaddo u o lo errore epermetale que e codera aleatoro e depedete co dtrbucó ormal N. Dez crtale del mmo tamaño forma e troduero e ua cámara etraédoe ecuecalmete egú uo tempo prevamete etablecdo. Para determar la flueca del tpo de cámara e reptó eáctamete el epermeto e ua eguda cámara. o valore de ŝ R para la cámara o.64.5 repectvamete. o modelo etmado para cada cámara T T o: log log T log log T T µ T µ a Cotratar co vel de gfcacó.5 lo do modelo tee la mma pedete. o mmo para la ordeada e el orge. NOTA.- Aceptar que la varaza de lo do modelo e la mma etmarla como el promedo de la do varaza reduale calculada. b U modelo de regreó múltple Y U e replca e decr e obtee do vectore de varable repueta Y Y para lo mmo regreore matrz. Demotrar que o lo reultado de la etmacó de utlzado por eparado la varable Y e Y ;etoceeletmadorde co todo lo dato e /. c Etmar u úco modelo co lo dato de la do cámara. Sabedo que Y T Y 36.8 dode Y log dar u tervalo de cofaza al 99% para lo do parámetro. 6. Se ha etmado u modelo de regreó para la etatura de u grupo de adulto u etatura alo7 4 año. a devacó típca redual obteda e 5 cm la devacó típca del coefcete de etatura a lo 7 año reulta.4 edo ete efecto o gfcatvo al 95%. S embargo u egudo modelo de regreó que clua ólo a eta varable coduce a ua devacó típca redual de 7 cm a u coefcete de regreó de co devacó típca de. Qué podemo coclur co eto reultado de la correlacó etre? 6. E la tabla e muetra lo reultado de u epermeto e el que e etudaro la pérdda por abraó rozameto de materal de goma empleado e la fabrcacó de eumátco e fucó de la dureza de la goma e grado Shore de u reteca a la teó. Eta últma varable etá repreetada por do úco valore - para la goma co ua reteca máma a la teó meor de 8 g/cm co aquella que preeta ua reteca máma uperor a 8 g/cm.o reultado del modelo de regreó múltple P érdda Dureza Re teca u e muetra e la tabla. a Ha dfereca gfcatva e la pérdda obervada e goma co reteca baa - e goma co reteca alta?. Eplcar el gfcado de coefcete de Reteca dar u tervalo de cofaza de 95% para el mmo. 3

275 b Para comprobar el efecto de la dureza e la pérdda e el mmo para la goma do reteca alta baa e plateó el guete modelo: P érdda Dureza Re teca 3 Dureza Re teca u. Eplcar de forma coca el gfcado de cada uo de lo tre parámetro del modelo. c o reultado de la etmacó del modelo del apartado e proporcoa e la tabla 3 e la fgura guete. Teedo e cueta lo reultado de la tabla 3 elegr el modelo que relacoa la pérdda por rozameto co la varable reteca dureza. Jutfcar la repueta. Por qué camba tato el vel crítco p-value correpodete a la varable Reteca e uo otro modelo?. d E la tabla e proporcoa lo valore prevto lo reduo del modelo ateror. Comprobar la hpóte de homocedatcdad. DATOS RESUTADOS Dureza Reteca Pérdda Predccó Reduo TABA. Dato valore prevto reduo del modelo de regreó: P érdda Dureza Re teca u 4

276 TABA. ultple Regreo Aal Depedet varable: Perdda Parameter Etmate Stadard Error T Stattc P-Value CONSTANT Dureza Reteca Aal of Varace Source Sum of Square Df ea Square F-rato P-Value odel Redual Total Corr. 5 9 R-quared89396 percet R-quared aduted for d.f percet Stadard Error of Et.9848 ea abolute error 946 Durb-Wato tattc54 TABA 3. ultple Regreo Aal Depedet varable: Perdda Parameter Etmate Stadard Error T Stattc P-Value CONSTANT Dureza Reteca Dureza Reteca Aal of Varace Source Sum of Square Df ea Square F-rato P-Value odel Redual Total Corr R-quared percet R-quared aduted for d.f.8855 percet Stadard Error of Et.337 ea abolute error 85 Durb-Wato tattc Se ha etmado u modelo de regreó múltple para etudar el efecto de tre regreore 3 obre la reteca de certa fbra tetle co 5obervacoe reultado: ŷ ŝ R.54 R.9 Realza el cotrate geeral de regreó lo cotrate dvduale α.5 5

277 T o dato motrado o el reultado de u epermeto para caracterzar la duracó de u materal utlzado e u toro de corte de acero e fucó de la velocdad de corte delratode almetacó. Por ecllez la varable e ha ecalado de la guete forma V 9 F e ha etmado el guete modelo V F Y V F Y logy V F 3 V 4 F 5 V F U edo U errore aleatoro co dtrbucó ormal de meda cero varaza cotate. e ha etmado el guete modelo logy V F 3 V 4 F 5 V F U edo U errore aleatoro co dtrbucó ormal de meda cero varaza cotate. reultado prcpale del aál o lo de la guete tabla. o Iterpreta lo reultado del aál de regreó dca de forma epecífca lo reultado de lo cotrate dvduale de lo parámetro del cotrate geeral de regreó e utlza u vel de gfcacó α.. 6

278 Aál de Regreó últple Varable Depedete: OGDuracó Devacó Etadítco Parámetro Etmacó Típca t P-Valor CONSTANTE V F V^ F^ V F Aál de la Varaza Suma de Grado Cuadrado Fuete Cuadrado bertad edo F P-Valor odelo Redual Total Corr E u modelo de regreó mple e ha obtedo u coefcete de correlacó gual a.8. Sel úmero de obervacoe e 5 ȳ la varabldad total e 3. Cotrurutervalo de cofaza al 95% para el valor medo de la varable depedete cuado regreor e gual a. Apromar la dtrbucó t de Studet correpodete por ua dtrbucó ormal Z ; N P Z Sea la altura del troco de u árbol el dámetro del mmo e u parte feror. El volume del troco de árbol puede er calculado apromadamete co el modelo α u egú el cual el volume del troco e proporcoal al volume de u coo co la medda edo α el parámetro decoocdo de proporcoaldad má ua compoete de error aleatoro u. a tabla guete cotee lo dato e metro metro cúbco correpodete a ua muetra aleatora de 5 troco de ua varedad de po. Ob. Ob

279 a Etmar α por máma veromltud upoedo que la varable u tee dtrbucó ormal de meda cero co la mma varaza e depedete. b U troco tee ua altura de metro u dametro de.5 metro dar u tervalo de predccó de u volume 95% de cofaza. a varaza redual del modelo e 58. c E el aál de lo reduo e oberva que la varaza de lo errore crece co el volume del troco. Para obteer homocedatcdad e propoe el guete modelo traformado utlzado logartmo eperao log log log u El reultado de la etmacó e: Parámetro Etmacó b c edo c b b R T e la matrz de lo regreore traformado egú el modelo a traformacó logarítmca del modelo cal α mplcaría que. Cotratar vel de gfcacó.5 eto do valore o aceptable. d Co ete modelo dar u tervalo de predccó 95% de cofaza para el volume del troco del apartado la varaza redual e a emprea de bebda gaeoa CIBEES quere determar la flueca obre la preó tera e lo bote de refreco de do varable cotua del tpo de bebda NARANJA IÓN COA3. Para dtto valore de bote de cada abor ha meddo la preó tera. El tpo de bebda e repreeta por la varable z z z 3 qué detfca el abor NARANJA IÓN COA repectvamete. El modelo etmado de regreó de co repecto a z z 3 e: dode ŷ z 5.5z 3 ; b R 4.3 T a Realzar lo cotrate dvduale co α. dcado la varable que flue gfcatvamete e la preó. Iterpretar el reultado eplcado el gfcado de cada parámetro. b S e realza ua regreó etre la preó tera la do varable cotua e obtee el guete modelo de regreó ŷ ; ŝ R Cotratar α. coutamete que el tpo de bebda o flue. H : α α 3 frete a H : α ó α 3 e dtto de cero. 8

280 c Ete dfereca gfcatva e la preoe tera de lo bote de IÓN COA? α. 6.8 Se ha autado el guete modelo de regreó múltple co ua muetra de 86 vehículo de lo cuale 3 o apoee 4 orteamercao 4 europeo dóde la varable depedete e el coumo lo regreore: Pot poteca etá epreada e udade de Cv el Peo e Toelada Z J toma el valor el coche e apoé cero e lo demá Z E toma el valor para lo coche europeo cero e lo demá. b Pot 3.89 Peo.44 Z J.7 Z E b R.56 R 75.7% T 4.79e 5.54e 3.794e 9.57e 4.68e 5.54e.595e.93e 3.443e 3.6e 3.794e.93e 4.646e 5.e.865e 9.57e 3.443e 3 5.e 6.667e.744e 4.68e.6e.865e.744e 9.759e Dar el tervalo de cofaza para el coumo prevto de u coche orteamercao co ua poteca de Cv 6 g de peo. 6.9 Sea la matrz completa de u deño por eemplo para el cao de 3 e Y el vector de dmeó co lo valore de la varable repueta correpodete al epermeto. El aál etadítco del epermeto e puede realzar medate el modelo de regreó múltple Y U dode... T e el vector de parámetro U u u...u T el vector de varable aleatora depedete co dtrbucó ormal de meda cero devacó típca. Demotrar que para cualquer lavarazade b e / que el error de predccó de ua obervacó ueva e cualquera de lo tratameto tee como varaza. 6. Demuetra que la recta de regreó paa por el puto ȳ que el tervalo de predccó para la meda de la varable repueta cuado el regreor toma el valor gual a e ȳ ± t α/ ŝ R dode e el úmero de obervacoe t α/ e obtee de la dtrbucó t de Studet co grado de lbertad ŝ R e la varaza redual. 9

281 6. a maa de u crtal de helo depotado e ua cámara a temperatura -5 o Chumedad relatva cotate crece egú la ecuacó αt dode T e el tempo e hora α o parámetro decoocdo. a relacó ateror e lealza co la traformacó logarítmca etmádoe el guete modelo log logα log T u dode el térmo añaddo u o lo errore epermetale que e codera aleatoro e depedete co dtrbucó ormal N. Dez crtale del mmo tamaño forma e troduero e ua cámara etraédoe ecuecalmete egú uo tempo prevamete etablecdo. El modelo etmado T T o: d log log T ŝ R.64 T µ T µ Predce el crecmeto medo eperado del crtal depué de 3 hora e la cámara co u tervalo al 95% de cofaza. 6. a guete tabla muetra lo dato recogdo e u etudo obre el efecto de dolver azufre e la teó uperfcal del cobre fuddo Varable Obervacoe : % e Peo deazufre Y: Reduccó de Te.Sup do replcacoe Se ha etmado el modelo de regreó leal mple co log como regreor. El reultado del aál de regreó la gráfca del modelo e proporcoa má abao.se ha etmado el modelo de regreó leal mple co log como regreor. El reultado del aál de regreó la gráfca del modelo e proporcoa má abao. Aál de Regreó: odelo ogarítmco Y a b*l Varable depedete: Teó Superfcal Varable Idepedete: Azufre Devacó Etadítco Parámetro Etmacó Típca t P-Valor Cotate Pedete Aal de la Varaza Fuete Suma de Grado Cuadrado Cuadrado bertad edo F P-Va odelo Redual Total Corr. 444

282 Teo_Sup Azufre Utlza el modelo para predecr la reduccó de la teó uperfcal del cobre fuddo co u.8% de azufre duelto. Da u tervalo de cofaza del 95% para la predccó. 6.3 Se ha etmado u modelo de regreó co do varable depedete obervacoe obteédoe la guete ecuacó: b b R a matrz de varaza de lo regreore e µ Teedo e cueta que la matrz de varaza teórca de lo etmadore b [ b b ] T e r r r r r r dode e el úmero de obervacoe r el coefcete de correlacó etre lo regreore la varaza muetrale de lo regreore la varaza del modelo de regreó; realza lo cotrate dvduale de lo do regreore α.5. Iterpreta el reultado de lo do cotrate..

283 .

284 Etadítca Solucoe a lo eercco propueto. Curo 4/5

285 Capítulo. Decrptva r p 8 5/4 5; p / 7.4; 57.9; a / a p 7.4 / / S e poble el reultado z ; z ; /; 4 / / 9..3 ; ; cov cov ; ; ; r r..4 cov b ; b ; r..5 r r r ; r..6 S. Determate. No puede er ua matrz de varaza..7 No. log G ; G e la meda geométrca; G < A ;log G < log A ;.5..8 Q.6; Q medaa..3; Q 3.8; RI.34; I.67; S.69 como el valor mámo muetral e.45 etoce S.45. Capítulo. Probabldad. p.47. a fucó de dedad e f z z z r co <z<r la fucó de dtrbucó e F z z z r.4 log;e[] 5 Var[] ' 5.67 log mv.5 E 3 Tque e depedete de u maa. Fada la temperatura T cualquer ga tee el mmo valor medo de eergía cétca molecular depedetemete de u maa..6 f Y co.7 p R 5 d e.8 E[] R a f d R a degualdad de arov. e /8 f d R a f d ap >a depeado e obtee la.9 3 E[Y ] Var[Y ] ½ c. f Y r >r f r πr r r

286 . a 6;E[p] ; Var[p]. b ³ R.75 6p pdp.83. f U u F ufu.3 a fucó de probabldad para el mámo e: Valor Probabldad /36 3/36 3 5/36 4 7/36 5 9/36 6 /36 a fucó de probabldad para el mímo e: Valor Probabldad /36 9/36 3 7/36 4 5/36 5 3/36 6 /36 a fucó de probabldad para la meda e: Valor Probabldad /36 5 /36 3/36 5 4/36 3 5/ /36 4 5/ /36 5 3/ /36 6 /36.4 f Y 6 f f Y por lo que e Y o o varable aleatora depedete..5 a P Z P P P Y eλ λ P λ λ!! multplcado dvdedo por! utlzado que λ λ P!!! λ λ e obtee que: 3

287 P Z eλ λ λ λ! que e la probabldad de Poo co parámetro λ λ λ. b P Z! ³ λ!! λ λ ³ λ λ λ λ llamamo p λ λ P Z p p que e ua bomal de parámetro p λ λ λ.6 P <.3 Y Sea la varable llegada de clete e ua hora la varable llegada de clete e lo 5 prmero muto de ea hora la varable llegada de clete e lo 45 últmo muto de ea hora. a probabldad pedda: µ P. 4.8 a 8 b P <.5 Y.5 c a varable aleatora e Y o o depedete a que el campo de varacó de depede de Y..9 VarZ. amado al tempo de vda del receptor e Y al tempo de vda del amplfcador P <Y 3.. El úmero medo de año que dura ua máqua e: E[Y ] R T f d T F T. Por lo tato el úmero medo eperado de máqua empleada e u año e: E[Y ] [R T f d T F T ].. Z ρ. a varable o o depedete porque por eemplo P Y Y 6 P Y.4 a f co <<f Y a que f Y f f Y co <<. a varable e Y o depedete b P Y< 4 4

288 .5 F e a ; F Y e a ;. Como F Y F F la varable aleatora e Y o depedete. P <Y e a e b ; P < e a P Y e b..6 P T < T > 3.7 f Y l co.8 p.9 Cov Y E[ EY EY ] E[Y ] E[]E[Y ] e uttue Y U V obteedo: Cov Y E[U V ] E[]E[U V ]E[U] E[]E[U]E[V ] E[]E[V ] Cov UCov V.3 a Sea Y el úmero de prueba a realzar E[Y ] ' b Sea A el uceo de que u dvduo ea portador del vru B el uceo el reultado dela aál ha reultado potvo P A B.5..3 P.3 6/7 µ p p..33 p P a e3 36 6! b e6 63 3! c P 5 9 e9! d e !.35 a fucó de dedad e f W w b a b wb e w a b co a>< b > w > lafucóde dtrbucó e F W w e.36 p.3.37 p.65 µ w.38 a p a b 5

289 b.39 p.75 Sea D el tempo de vda de la depuradora P D <T D >T.49. No depede de T por lo que o etá utfcado reovar la depuradora ate del fallo a que la probabldad de fallo o depede del tempo que ha etado fucoado..4 p e t t.4 Sea el úmero de pece capturado e 5 muto P > λ Sea el úmero de pece capturado e do hora de peca P 5 λ λt.43 Utlzado la apromacó a la ormal a f Y π e co >.45 edaa a.976 b.9 c.999 d..47 a.34 b.9 c peo de caa co obre; Nµ ; 5 5; P >8 φ ; Y peo de caa co 99 obre; Y Nµ ; ; P Y >8 φ Y úmero de vece que ale el úmero elegdo Y B 3;p /6; balace del ugador Y E[] 3/6.5; ale gaado la baca..5 úmero de udade defectuoa de u total de 4 6

290 B 4; p 6 apro Nµ 4 6 4; ; Ha que calcular c tal que φ 4745 c4 c4 5 edecr ; c 6 8 Capítulo 3. Ifereca 3. b 3;bp.. 3. b N. 3.3 b 6 θ 5 ; E[b θ]θ Var[ b θ] θ b θ /. 3.5 P t > P t F T ep/7.4 edo bα / bα 3.7 dθ dθ Ã!; b má{... 3 }. b log θ θ 3 76 θ 3 ; b θ V p logp 95log p; dp dp 3.9 lλ 8 7 ep λ λ ; λ b b θ 3; Var b θ θ. 3. c µ µ ; c ECb 4 4 ;. ;bp bµ t t 4 ; E[µ] µ; Var[µ] 4 Var[t ] 6 Var[t ] 7 64µ. 3.5 P P fallo e u meae P fallo e al meo u bt de lo 8 p 8. E lo últmo meae lectura ha habdo 34 erróeo. P b 34 bp8 ; bp.7. b 3.6 a µ ± t ; α ; µ b b ; χ ;

291 3.7 µ ± t ; α b ; µ greo ± t ; α b ; greo a ampltud e 5. 5; z b α 4.8; al meo 4etacoe. 3.9 a 45.75; b.6 b µ ± t 4; α b ; µ b c ; χ 4 ; d b t 4; α ; > b 6 t 4; α ; >3; p bp ± z α r r bp bp bp bp ; p.3.39;.96 ; r bp bp.96 m ; m 4 8. Ã r! p p.5 3. P bp p.5.95; bp ; N p ; r p p /; θ b b θ θ ± z α T ; b θ 36.5; T 5; θ ;.96 p p.5 ; p 3.3 χ a6 3 λ χ b6 ; λ a bα V r P 3 b bα π ; Varbα c α bα V ± z α ; Varbα V α 6. µ 3π 8 α. r bα V 6 ; α.74 3.; α bα ± z α µ3π a ; B p e λt e /87 ; E[] p 8.9. ; Nµ e λt p e λt e λt. bα ; α b El tervalo e µ ±.96;8.9 ± Se ve que el cocete etre la devacó típca la meda e lo cual dca que la certdumbre del proceo e deprecable. 8

292 c E[] Np Ne λt ; ; Ne b λt ; N b e λt. ; E[ N]e b λt E[ ] e λt Ne λt N; Var Ne b λt Var e λt Ne λt e λt Ne λt e λt. d Ne λt N ; T log λ a t 9 b/ ; t ; t.84; t <t 4;.5.78 o e puede rechazar H : µ 9. b D b ; χ 4 ; D 4.58 < χ o e puede rechazar H :. 3.7 P Error tpo I P > µ.7; P Error tpo II P < µ P 85 ; N < α.5. Co vel de gfcacó α.5 la ueva medca e má efectva que la atgua. 3.9 ½ H : p.3 H : p>.3 ; Z bp p r p p ; N ; Z.4 <Z.5.65 o e puede rechazar H ; Potp Φ.4978 p r p p ; P Error tpo II p.6 Potp a λ ; χ 6 ; 74.4 < χ 6; o e puede rechazar H ; Nvel crítco: P χ P Error tpo II λ 7.5 P µ λ b ½ H : λ λ ; /λ ; F H : λ > λ /λ. Se rechaza H >.74; < Depué de hora 4.54 > No e ecearo egur el eao P bp >c p.85.; P bp >c p.95.99; 8; c O E ; χ 5 E ; 7.58 < χ 5;.5. o e puede rechazar la hpóte de ormaldad O E ; χ 5 E ; E ; 8.5 < χ 5;.5.o ete evdeca para rechazar la hpóte de que el dado etá equlbrado : v.a úmero de epcetro e ua cuadrícula de tamaño m ; P ooλ; P bλ o total de epcetro o total de cuadrícula P epcetro/ m ; 5.44 < χ 3;.5 de epcetro e ua Poo. Nvel crítco: P χ O E E ; χ 3 ; 7.847; o ete evdeca para rechazar la hpóte de que la dtrbucó 9

293 3.35 P error tpo II P > p <.7 p p<.7; P error tpo I P p.7 p.34. El método tee ua probabldad mu alta.34 de dar como meor el apoo uevo cuado e gual que el etete P T Ã χ 4 ;.74 < χ 4; Se rechaza H co α.5. Covee realtar que el cotrate e ulateral co la regó de rechazo a la zquerda úmero de defecto e 9m de tela Pooλ apro Nµ 36; 6; P >5 5 φ ; Y úmero de defecto e 6 hora de fabrcacó Y Pooλ apro Nµ 576; 4; H : λ 576; H : λ > 576; P Y >7 λ 576 φ e ; e rechaza H la evdeca muetral dc que ha habdo u aumeto. Capítulo 4. Aál de la varaza 4. a b µ µ a regó de rechazo e: d >.79 comod.5 o e rechaza la máqua o guale. 4.3 a Se debe elegr el proveedor A. b µ A µ B El valor calculado de la F 9. e compara co el valor de tabla F 6; Como 9.>3.63 e puede coclur que para α.5 ete dfereca gfcatva etre lo tratameto. 4.5 a Se compara el valor obtedo de la F3.99 co el valor de tabla F 45; Como 3.99>.76 e coclue que ete dfereca gfcatva etre lo materale. No e puede coclur que eta u materal co degate gfcatvamete meor. o materale que tee u degate medo gfcatvamete dtto o: B C B A E C. El reto o e puede coderar gfcatvamete dtto. b a El valor de la F obtedo e.5 que e compara co el de tabla F 35; Como3.9 >.5 o puede rechazare la hpóte ula de gualdad de meda. b No el valor 68 del tercer termómetro parece dcordate co lo dema.

294 c El termómetro 4 e dtto al al. a dfereca de la cocluoe provee de que el valor 68 del grupo 3 e atípco dtoroa todo el reultado. 4.7 a Se compara el valor de la F obtedo co el de la tabla F ; Como > 6.9 e rechaza la hpóte ula de que la meda o guale. b El valor que e obtee de la t e.9853 queoetácludoeeltervalo.8.8 co lo que e rechaza la hpóte ula. 4.8 a relacó apromada etre la devacó típca de la varable traformada la orgal e z ' h dode h e la traformacó realzada h e la prmera dervada de la traformacó e e el valor medo de. Utlzado la epreó ateror e oberva que la traformacó que corrge la heterocedarcdad e z log. Capítulo 5. Deño de epermeto 5. Se compara el valor de la F 45.7 co el valor de la tabla F 4; Como 45.7 > 7.7 e rechaza que lo equpo o guale. 5. S o e tee e cueta el bloque el reultado e el mmo que o e tee e cueta. El factor e gfcatvo. E meor el modelo e bloque que el de u factor para cualquer cao. Ya que el bloque o e gfcatvo podemo paar drectamete al modelo co u factor realzar gú cálculopero el bloque e gfcatvo e perde mucho o plateado el modelo e bloque cluo podría uceder que el factor o reultara gfcatvo. 5.3 a Ete evdeca de que el coumo medo o e gual e cada etacó del año. b a etacó de maor coumo e el vero. No e puede hablar de ua etacó de meor coumo a que el coumo medo e otoño prmavera verao o e puede coderar gfcatvamete dtto. o tervalo de cofaza para el coumo medo de la dferete etacoe del año o: µ I µ I µ I µ I c o factore etacó comudad o gfcatvo. d El coumo e vero e gfcatvamete maor que e el reto de la etacoe el coumo e otoño prmavera e gfcatvamete maor que e verao el coumo e prmavera e gfcatvamete maor que e prmavera. Al clur el factor comudad dmue la varaza redual el tet para el vero reulta má gfcatvo permte detectar el efecto de la demá etacoe. 5.4 a No e rechaza H : µ D. El vel crítco del cotrate e.46. b El úmero de vele del factor del bloque e repectvamete I J b P R P P e I J e P e dode e. Para u mmo día J c e e P e P e por lo tato b R F J VE b R µ µ D b D / J b D / t J. J P D D J b D

295 5.5 El efecto del eo el tpo de de formacó o gfcatvo ademá ete teraccó etre ello. Iterpretaccó: Ete dfereca gfcatva e el úmero medo de errore cometdo etre profeore de ceca profeore de letra.67 má e ceca. També e gfcatva la dfereca etre hombre muere 9 errore má para hombre. 3 Ademá la dfereca obervada etre hombre muere de letra errore má para hombre dfere gfcatvamete de la obervada para lo profeore de ceca 6 errore má para hombre. 5.6 a teraccó etre lo do factore o e gfcatva. Eta cocluó e puede obteer al comparar el valor de la F.6 obtedo co el de la tabla F 4; Como.6>3.4 la teraccó o reulta gfcatva. 5.7 a Se compara el valor de laf.85 co el obtedo e la tabla F 445; Como.85 >.59 e rechaza la hpóte ula de gualdad de meda e coclue que el ídce de octao meddo o e gual para cada fórmula. b a fórmula 3 proporcoa ídce medo de octao gfcatvamete dtto a la fórmula 5 la fórmula 4 e gfcatvamete dtto a la. a demá fórmula o e puede coderar que proporcoe ídce de octao dferete. c El valor de la F.43 correpodete a la teracco e compara co el valor de la tabla F 49; Como.47 >.43 o e puede rechazar que la teraccó ea ula o de otra forma el efecto de la teraccó o e gfcatvo al 95%. 5.8 Para que la teraccó ea gfcatva debe cumplre que.5r >F 49R;.5 dode R e el úmero de replcacoe. El cálculo de R e teratvo. Se rá dado valore hata coegur que la teraccó ea gfcatva. 5.9 VEα.9988 VNE 4.84 el valor correpodete de la F e que e compara co el valor de la tabla F ; Como > 3.89 e rechaza que la teraccó etre lo factore horo temperatura. 5. a El laboratoro 3 tee ua meda gfcatvamete meor que lo otro tre. a dfereca etre la meda de lo laboratoro 4 o o gfcatva. Ete reultado e oberva e la tabla del eucado e la que e marca co u ateríco la dfereca gfcatva etre lo valore medo de lo laboratoro. El tervalo para la meda del tercer laboratoro e: µ 3 3 ± t 6;.5 b R r 3 uttuedo para lo dato obtedo e tee que: b El cotrate µ ±.9 r µ H : H : >

296 e realza co el etadítco Iŝ R que tee dtrbucó de probabldad χ I edo I 4el úmero de laboratoro el úmero de dato. χ Iŝ R que e maor que el valor χ 6. 3 porcogueteerechazalahpóteh ecoclue que la varaza e maor que. c Como reultado del aál del modelo co do factore e oberva que el efecto prcpal día la teraccó etre el laboratoro el día o reulta gfcatva obteedo para ambo cao p-valore repectvamete claramete uperore a.. Por otra parte al hacer la comparacoe para lo laboratoro do a do e oberva que ademá de la dfereca etre laboratoro obtedo e el prmer apartado e apreca ahora ua ueva dfereca gfcatva etre el laboratoro. d Sea la varaza correpodete al día la correpodete al día. El cotrate peddo e: H : H : 6 El cotrate e realza egú: P 4 ŝ R que: 6ŝ R 6ŝ R F 66 dode ŝ R.4875 ŝ R e calcula como e muetra a cotuacó. a varaza redual correpodete al modelo de do factore e: P 4 P P 5 ŝ R r r ȳ. dode I 4e el úmero de laboratoro J e el IJR úmero de día R 5e el úmero de replcacoe. Eta varaza redual e puede ecrbr como: P 5 r r ȳ. P 4 P 5 r r ȳ. 6ŝ R 6ŝ R de dode e obtee 3 3 ŝ R ŝ R ŝ R El valor del etadítco de cotrate e: que perteece al tervalo F 66;.95.6F 66; porlo que o e rechaza la hpóte ula e coclue que o ha habdo u cambo e la varaza de u día a otro. 5. a o reultado del aál de la varaza e puede terpretar de la guete maera: E la tabla 3 e puede ver que el vel crítco de lo tre cotrate e p-valor. éto quere decr que 3

297 co u vel de gfcacó α.5 por eemplo la temperatura el tempo de epocó la teraccó etre amba tee u efecto gfcatvo obre la catdad aborbda. Como la teraccó e gfcatva el efecto de la temperatura del tempo de epocó obre la catdad aborbda debe hacere de forma couta. El gráfco de teracccoe que e proporcoa e el eucado auda a realzar la terpretacó: Para el tempo de epocó E: a aborcó meda e dferete para cada temperatura. a máma aborcó e cogue a T la míma a T. Para el tempo de epocó E: aaborcómedaparacadatemperatura o má parecda. Sólo e dtta la meda de la temperatura T que e maor que la meda de la otra do. Para el tempo de epocó E3: No ete dfereca gfcatva e la aborcó meda de cada temperatura. Para ete tempo de epocó la temperatura o flue e la aborcó. ba tabla de aál de la varaza para el uevo modelo e: Fuete Suma de Grado de Varabldad Cuadrado bertad Varaza F p-valor VE VNE VT c Co lo dato del epermeto e rechazará H cuado z. z. > El tratameto que tee maor meda e el úmero z que e gfcatvamete dtto de todo lo demá alvo del 8 z pero éte a u vez o e puede dtgur del 7 z uego o e puede decr que eta u úco tratameto que proporcoe ua aborcó gfcatvamete maor que el reto. d No e apreca go preocupate de heterocedatcdad. Ucamete cometar que lo reduo correpodete al valor prevto z tee maor varabldad que el reto. Al repreetar lo reduo frete a lo tratameto e oberva que e el tratameto el que preeta maor varabldad. Ete reultado debe er aalzado e detalle: El tratameto que e el que preeta la maor meda de catdad aborbda e també el que preeta ua maor varabldad. Ete reultado tedría que er cometado dcutdo co lo eperto que ha realzado el epermeto. 5. a o reultado del aál de la varaza e puede terpretar de la guete maera: lo factore hdrocarburo e hdrógeo o gfcatvo pero la teraccó etre ello o lo e. a dfereca gfcatva co vel de gfcacó de.5 o: - Para Hdrocarburo: B 6 A B 6 C D 6 A D 6 C. - Para Hdrógeo: b Teedo e cueta que la teraccó o e gfcatva el tratameto que proporcoa el redmeto óptmo e el correpodete al hdrocarburo C el hdrógeo 3. El tervalo de cofaza para el valor medo e ea codcoe e: µ 33. ± t 36;.5 b R 4 µ ± c.secotratalahpóteh : frete a la alteratva H : 6 obteedo u valor de F.39 que e compara co lo valore obtedo e la tabla F. Como oerechazalahpóteula. 4

298 d Teedo e cueta que el etadítco t 3.36 p.38. / Como.38 etá detro del tervalo.7.7 o e rechaza la hpóte ula de gualdad de meda. 5.3 El úmero de parámetro correpodete a efecto prcpale o 4 correpodete a teraccoe de orde o 7 correpodete a teraccoe de orde 3 o 54 correpodete a teraccoe de orde 4 o. Por lo tato el úmero de parámetro totale o a b o efecto prcpale de A B C o gfcatvamete dtto de cero. c El tervalo peddo e:.53 b Suttuedo por u etmador e obtee que.6 b Comotodolovaloredeb perteece al tervalo cotrudo o e puede rechazar la hpóte de homocedatcdad. q 5.5. d 3 4 Nµ µ µ µ 3 µ 4 ; 4 /; bs R 4P 4 4 ; t t4 4 bs R 4/ H : δ ;H : δ > ; Para la muetra t 6 93 >t erechazah Capítulo 6. Regreó leal ½ 6. a b.5876; b H :.544; e el cotrate H : 6 e rechaza H ; b R.69; e el gráfco de lo reduo frete a lo valore prevto e apreca falta de lealdad el modelo o e adecuado. b b b.897 b b 6 6. a El modelo e v Hd u ; la etmacó por mímo cuadradro e realza a partr de P P v Hd ; H b v d P d µp b H H b ± t ;.5 b H; b Var HVar b v d P d P d ; H H b ± t 9;.5 b R q P ; d b R P e ; H egudo; b T b H 57 6 año; T año. 5

299 6.3 Como u ; N la etmacó por máma veromltud e equvalete a la etmacó por mímo cuadrado; P " # ; b b W b T W W Y; edo W e Y a ½ H : H : > ; t b b b ; t ; t.75 >t 98;.5.66 e rechaza H. b ½ H : H : < ; t b b b ; t ; t.5 <t 98; e rechaza H. 6.5 S cov b al er amba varable ormale o depedete. cov b h ³ E E b E b edo u. E P u ; b E b P u ; cov b P Eu P. 6.6 a Co : u ; b 83.; b.56; b ± t ;α/ b b ; b b b R ; b R et e ; et e Y T Y b T T Y 8.6;... Co : α α ² ; bα 78.8; bα.53; α bα ± t ;α/ bbα ; bbα b R ; b R ²T ² ; ²T ² Y T Ybα T T Y 58.3; α..85. b E devacoe a la meda: ε ; b à b b! ³ e T e e T e Y c o cotrate dvduale t b ³ b b ; t ; Var d b b e T R e ; b R ε T ε Y e T Y e b T e T Y e 57.; Var d b ε T ε ; t. <t ; t.7 <t Nguo de lo coefcete e gfcatvo. El cotrate couto: 6

300 ½ H : H : Alguo 6 ; F b T e T e b b ; F 7 ; F 6.73 >F 7; Se rechaza H. R Ete multcolealdad provocada por la alta correlacó etre.r cov.9. d Regreó Y : R.49; Regreó Y : R.64; Regreó Y : R3.64. El modelo co do regreore el modelo de regreó mple co o mlare. a eleccó de u modelo u otro depede del obetvo. S el teré e etmar lo coefcete o preferble la regreoe mple. S lo que e pretede e hacer predccoe de Y para valore de e podría uar el modelo de regreó múltple pue la multcolealdad o afecta a la predccoe. µp b / 6.7 Coefcete de correlacó múltple R P b. Coefcete de correlacó leal r P b pp p P b b b. Se demuetra P b P b ; etoce r 6.8 F R b b b R. R. >F 8; El efecto e gfcatvo. 6.9 Coocdo lo valore de R e calcula F 94 ecomparacoelvalorde R tabla F 98; Como 94 > 3.9 erechazalahpóteula. H 6. a : b H : 6 t b ; t ; b T.5743; b T.835 b Y R 6. t.4986 <t 6; No e rechaza H. ½ H : b H : 6 t b.4493; t <t 6;.5. No e rechaza H. b T 8.7 Y Y ; R R ; Y R R U; b T R R T R Y R b b. c Y b log T ; Var d b b R T R R ; b R.58; T R R T ; b ± t 8;.5 b b ;.5 ±.8836; b ± t 8;.5 b b ; 6.5 ± a E la tabla del eucado: b 5.74; p Value.. a varable reteca e gfcatva.sgfcado de : Idepedetemete del valor de la dureza la goma de reteca alta tee por térmo medo ua pérdda uperore e udade a la goma de reteca baa -. E el problema b Eta dfereca e apreca e la gráfca del eucado. Itervalo para b. b ± t 7;.5 b b co lo dato de la tabla [4.44; 63.4]. 7

301 b : Ordeada e el orge. E ete cao o tee teré práctco. 3 : Cuatfca el efecto de la teraccó dureza reteca e la pérdda. de el cambo del efecto de la dureza al utlzar goma co reteca alta o goma co reteca baa. Al obervar la fgura del eucado e puede ver que la flueca de la dureza obre la pérdda o depede de la reteca. E ambo cao al aumetar la dureza la pérdda dmue e ua catdad mu mlar pueto que la recta que determa eta relacó o práctcamete paralela e el rago de varacó de la dureza. Para reteca baa : P érdda 3 Dureza Para reteca alta: P érdda 3 Dureza : Icremeto que e produce e la pérdda al aumetar la dureza u grado Shore mateedo la reteca de la goma cotate. : Iterpretado e el apartado. c Elgríamo el modelo del apartado. Ambo modelo parece adecuado porque e ambo e rechaza el cotrate geeral de regreó. S embargo e la tabla 3 e oberva que la teraccó dureza reteca o e gfcatva. Ademá R modelo > R modelo a varable reteca gfcatva e el modelo dea de erlo al troducr la teraccó dureza reteca. b b crece dede 5.55 modelo hata modelo. Ha multcolealdad etre reteca dureza reteca que tambe ocaoa el cambo e el vel crítco. d El gráfco de reduo frete a valore prevto o preeta aomalía que dque falta de homocedatcdad. 6.3 F R R à F 3;F 4.66 >F 3; Se rechaza H e el cotrate geeral de regreó. ½ H : o cotrate dvduale: H : 6 ; t b à t ; t >t b ;.5.; R q t.8 <.; t 3.49 <.. Solo 3 e gfcatva. 6.4 El cotrate geeral de regreó cotrate de la F proporcoa u vel crítco. p- valor<. el cotrate e por lo tato gfcatvo e rechaza H ; o cotrate dvduale o todo gfcatvo p-valor <. a ecepcó de F V F. 6.5 m h b h ± t ;α/ b R bh ; b h ; b h 5;b R.778; m h ± a Como u à N máma veromltud e equvalete a mímo cuadrado P αz ; bα P z P z.4. Ã! b El error de predccó e h h b h ; e h à N P z h z ; 8

302 c h b h ± t ;α/ b R P z h z.55 ±.636. ½ H : H : 6 ½ H : H : 6 t <t 5;.5.8. No e rechaza H. t ; t <t 5;.5. No e rechaza H. d E geeral h b h ± t b R vhh ; e uetro cao b h logvolume \.45.4 log.86 log.5.634; v hh h T h 49.64; logvolume.634 ± ; volume a b ; bα t ; lo valore t e compara co t 64;.5.68; toda la varable o gfcatva a ecepcó de z. b : e la preó meda de lo bota de araa para.; b : la preó meda aumeta e 77. por cada udad de cremeto e mateedo z z 3 cotate; b : la preó meda dmue e 5.8 por cada udad de cremeto e mateedo z z 3 cotate; bα : la preó meda de lo bote de lmó e uperor e.95 udade a la de lo bote de araa mateedo cotate; bα 3 : la preó meda de lo bote de cola e uperor e 5.5 udade a la de lo bote de araa mateedo cotate. b F VE/ b à F 55 ; F 75.9/ R >F 55;. 5.. Se rechaza H. ½ H : α c α 3 H : α α 3 6 ; t bα bα 3 q à t 55 ; dvarbα bα 3 dvarbα bα 3 Varbα d Varbα d 3 covbα c bα 3.3; t.873 <t 55; No ete dfereca gfcatva etre lo bote de lmó cola. 6.8 h b h ± t b R vhh ; b h ; v hh h T h.639; h.443 ± ; h.443 ± E el modelo de regreó múltple Var b T. E el problema T I dode I e la matrz detdad. T /I luego Var b /. Var bm h Var T b h T h Varb h /; e h h bm h ; Vare h Var h Var bm h. 6. P b b P ; b b P ; b b. 9

303 b R b m h b h ± t ;α/ v ; h ; b h ; m h h ± t ;α/ R. u µ t h 6. m h b h ± t 8;.5 b R vhh v hh h T h.736; m h 4.66 ± ; m h 4.66 ± h b h ± t ;.5 b R r b h ; b h µ h ; h.3;.46;.34; ; b ; b 7.457; b R 53.59; h

304 Tabla Etadítca 4-5

305 TABA Normal Etadar N P Z z z Eemplo. P Z z

306 Dtrbucó ormal etádar cotuacó N P Z z z z Relacó etre Bomal Poo Normal Bomal p p λ p Poo λ p µ / p p p Normal µ λ µ λ λ

307 Tabla χ α χ να ν: grado de lbertad g.l. EJEPO Pχ α g.l