LECTURA 09 : MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y DE FORMA (PARTE I) TEMA 18: MEDIDAS DE DISPERSION
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- César Valdéz Escobar
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1 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote LECTURA 09 : MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y DE FORMA (PARTE I) TEMA 8: MEDIDAS DE DISPERSION. DEFINICION La medda de dperón on aquella que cuantfcan el grado de concentracón o de dperón de lo valore de la varable en torno de un valor central, generalmente la meda artmétca. La medda de dperón e utlzan para do propóto báco: a) Para verfcar la confabldad de lo promedo y b) Para que rva como bae para el control de la varacón mma. Tambén podemo decr que lo térmno concentracón y dperón pueden er utlzado ndtntamente, pue e da la relacón. Alta dperón Baja concentracón Baja dperón Alta concentracón La medda de dperón que e utlzan con mayor frecuenca on: Varanza. Devacón etándar. Coefcente de varacón... Varanza E una medda que cuantfca el grado de dperón o de varacón de lo valore de una varable cuanttatva con repecto a u meda artmétca. S lo valore tenden a concentrare alrededor de u meda, la varanza erá pequeña. S lo valore tenen a dtrbure lejo de la meda, la varanza erá grande. La varanza calculada a partr de una muetra e denota por y referda a la poblacón e denota por o V [. La varanza e defne como la meda artmétca de lo cuadrado de la devacone de lo dato repecto a u meda artmétca. La varanza e una medda de dperón con undade de medcón al cuadrado: S/., $, km, etc. La varanza empre e potva. Fecha : Dcembre 04 Verón :
2 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote... La varanza para dato no agrupado: Se utlza la guente fórmula: Para n 30 n ( n ) Para n 30 [varanza de Cochran] n ( ) n Ejemplo : Lo guente dato correponden a una muetra al azar de 8 recén nacdo egún u peo en Kg.: X :.3, 4., 4., 3., 4.4,.,.6, 4.3 Calcular e nterpretar la varanza: Solucón: Para hallar la varanza prmero debemo hallar el promedo de lo dato dado: kg. A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: Fecha : Dcembre 04 Verón :
3 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Tabla N ( ) ( Total ) 8 ( ) 9.80 Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=8 < 30. n ( ) n kg. 7 Interpretacón: La varabldad de lo peo de lo recén nacdo repecto de u valor central e de.4 kg.... La varanza para dato no agrupado: Se utlza la guente formula: m (y - y) f = = ; para n > 30 n m (y - y) f = = ; para n 30 (Varanza de Cochran) n - 3 Fecha : Dcembre 04 Verón :
4 ( y -y) ( y - y) Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo N : Lo guente dato correponden a 40 pacente con problema gatrontetnale egún u número de conulta realzada durante el año paado en una clínca partcular. N de conulta N de pacente y f Total 40 Calcular e nterpretar la varanza. Solucón: Hallando en prmer lugar el promedo: y y f = = 7.8 conulta A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: y f (y - y) f Total = (y - y) f = 839. Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=40 > Fecha : Dcembre 04 Verón :
5 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f (y - y) f = (y - y) f = = = (y - y) f 839. = (y - y) f = 4 conulta. 40 Interpetracón: La varabldad del número de conulta realzada de lo pacente e de 4 conulta repecto de u valor central. Ejemplo 3: La guente tabla correponde a 80 pacente con problema broncopulmonare que e atenderon en una clínca partcular egún u edad en año: Edad en en año LI - LS N de pacente f [ - 30) 40 [30-3) 0 [3-40) 00 [40-4) 0 [4-0) 40 TOTAL 80 Calcular e nterpretar la varanza. Fecha : Dcembre 04 Verón :
6 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Solucón: Hallando en prmer lugar el promedo: y y f = = 37. año A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: L - L y f [ - 30) [30-3) [3-40) [40-4) [4-0) Total = (y - y) f = 000 (y - y) (y - y) (y - y) f Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=40 > 30. (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f (y - y) f = (y - y) f = (y - y) f = = 000 = (y - y) f = 37. año 80 6 Fecha : Dcembre 04 Verón :
7 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Interpetracón: La varabldad de la edade de lo pacente con problema de care e de 37. año repecto de u valor central... La devacón etándar o típca Se defne como la raíz cuadrada potva de la varanza: var anza E uno de lo etadígrafo de dperón de mayor uo, la cual e eprea en undade reale de la varable, e decr ya no etán elevada al cuadrado. La devacón etándar, al gual que la varanza, e no negatva ( 0), pueto que e la raíz potva de la varanza. A mayor dperón le correponderá una mayor devacón etándar. Ejemplo 4: Calcular e nterpretar la devacón etándar de lo dato del Ejemplo. Solucón:.4.kg. Interpretacón: Lo peo de lo recén nacdo e dperan o e alejan en promedo de u valor central en. kg. Ejemplo : Calcular e nterpretar la devacón del Ejemplo : Solucón: = 3. conulta Interpretacón: El número de conulta dperan o e alejan en promedo de u valor central en conulta. 7 Fecha : Dcembre 04 Verón :
8 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo 6 : Calcular e nterpretar la devacón del Ejemplo 3: Solucón: = 37. = 6. año. Interpretacón: La edade de lo pacente e dperan o e alejan en promedo de u valor central en 6. año..3. Coefcente de varacón E una medda de dperón relatva eenta de undade y epreada en porcentaje, e utlzan para comparar la varacón de do dtrbucone empre que la varable e epreen en la mma undade de medda y ean apromadamente del mmo tamaño promedo. Sn embargo, a vece e necearo comparar do conjunto de dato epreado en undade dferente (tale como ole y klogramo). En eto cao la medda de dperón aboluta no on comparable y deben utlzare medda de dperón relatva. El coefcente de varacón de un conjunto de dato e denota por c.v. y e eprea como: c.v. 00 y Devacón etándar y Meda artmétca S c.v. %, lo dato on homogéneo, e decr tenen una baja varabldad. S c.v. > %, lo dato on heterogéneo, e decr tenen una alta varabldad. 8 Fecha : Dcembre 04 Verón :
9 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo 7: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo : Solucón: c.v % % 3.3 Interpretacón: La dperone de lo peo de lo recén nacdo repecto de u valor central on heterogéneo, e decr preentan alta varabldad. Ejemplo 8: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo : Solucón:.87 c. v. = 00 = 4.67% > % 7.8 Interpretacón: La dperone del número de conulta de lo pacente con problema gatrontetnale repecto de u valor central on heterogénea. Ejemplo 9: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo 3: Solucón: 6. c. v. = 00 = 6.3% > % 37. Interpretacón: La dperone de la edade de lo pacente con problema broncopulmonare repecto de u valor central on heterogénea. Ejemplo 0: Lo guente dato correponden a una muetra aleatora de lo ngreo menuale en dólare de 7 farmaca comuntara: X : 00, 0, 0, 400, 70, 300, 40 9 Fecha : Dcembre 04 Verón :
10 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote a) Cuánto e la dperón de lo ngreo menuale repecto de u valor central? b) Son lo ngreo menuale homogéneo? Solucón: a) Hallando en prmer lugar el ngreo menual promedo: = = 98.7 dólare. A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: ( ) ( ) Total ( - ) = = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=7 < ( - ) = = dólare. 7-6 Fnalmente hallamo la devacón etándar : La dperón de lo ngreo menuale repecto de u valor cental e: = = 8.94 dólare. 0 Fecha : Dcembre 04 Verón :
11 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote b) Hallando el coefcente de varacón: De acuerdo a la operacone realzada tenemo: = 98.7 dólare. = 8.94 dólare. entonce: 6. c. v. = 00 = 6.3% > % 37. Lo ngreo menuale de la farmaca comuntara no on homogéneo. Ejemplo : Lo guente dato correponden al nvel de trglcerdo en mg/dl de un pacente tomada durante emana: X : 80, 00, 60, 0, 0 El médco de cabecera del pacente aconeja que lo nvele de trglecerdo no on regulare, tendrá que mejorar u deta. Qué decón tomará el pacente? (Hallar coefcente de varacón). Solucón: Solucón: a) Hallando en prmer lugar el nvel de trglcerdo promedo: 40 = = 8 mg / dl Fecha : Dcembre 04 Verón :
12 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: ( - ) = 380 = ( ) ( ) Total Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n= < 30. ( - ) = 380 = 80 mg / dl. - 4 c) Hallando la devacón etándar : = 80 = 8.64 mg / dl. d) Hallando el coefcente de varacón: De acuerdo a la operacone realzada tenemo: = 8mg / dl. = 8.64 mg / dl. entonce: 8.64 c. v. 00 = 34.93% > % 8 Lo nvele de trglcerdo del pacente on heterogéneo; e decr no on regulare. Por lo tanto el pacente tendrá que mejorar u deta. Fecha : Dcembre 04 Verón :
13 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo : Lo guente dato correponden a una muetra aleatora del nvel de ácdo úrco en mlgramo de do grupo de pacente: GRUPO En que grupo lo nvele de ácdo úrco on má etable? (Hallar coefcente de varacón) Solucón: Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: Para el Grupo a) Hallando el nvel promedo de ácdo úrco para el Grupo : = = 3.67 mg. b) Hallando la varanza: ( - ) ( - ) Total ( - ) = = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=6 < Fecha : Dcembre 04 Verón :
14 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote 6 ( - ) = = mg. 6 - c) Luego hallamo la devacón etándar : = = 9.4 mg. d) Fnalmente hallamo el coefcente de varacón: c v = 3.6% < % 3.67 Para el Grupo a) Hallando el nvel promedo de ácdo úrco para el Grupo : = = 4 mg. b) Hallando la varanza: 6 ( - ) = 30 = ( - ) ( - ) Total Fecha : Dcembre 04 Verón :
15 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=6 < ( - ) = 30 = 070 mg. 6 - c) Luego hallamo la devacón etándar : = 070 = 3.7 mg. d) Fnalmente hallamo el coefcente de varacón: c v = 7.9% < % 4 La guente tabla muetra lo reultado obtendo en forma reumda: GRUPO c.v % < % % <% Hacendo la comparacone repectva de lo coefcente de varacón obtendo, e oberva que en el Grupo lo nvele de ácdo úrco on má etable. Ejemplo 3: Lo guente dato correponden a do muetra aleatora de do grupo de trabajadore del ector alud egún u ueldo menual en ole: GRUPO Sueldo menual en ole LI - LS N de trabajadore f [0-60) 40 [60-70) 60 [70-80) 00 Fecha : Dcembre 04 Verón :
16 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote [80-90) 40 [90-00) 0 Total 60 GRUPO Sueldo menual en ole N de trabajadore LI - LS f [70-80) 30 [80-90) 0 [90-00) 80 [00-0) 40 [0-0) 0 TOTAL 0 Qué grupo tene ueldo menuale má homogéneo? Solucón: Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: Para el Grupo a) Hallando en prmer lugar el promedo: y y f = = ole b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: L - L y f (y - y) (y - y) [0-60) [60-70) [70-80) [80-90) [90-00) Total (y - y) f 6 Fecha : Dcembre 04 Verón :
17 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote = (y - y) f = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=60 > 30. (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f (y - y) f = (y - y) f = (y - y) f = (y - y) f = 44.38ole 60 c) Hallando la devacón etándar: = =.00 ole. d) Hallando el coefcente de varacón:.00 c.v 00 = 4.4% < % y Para el Grupo a) Hallando en prmer lugar el promedo: 7 Fecha : Dcembre 04 Verón :
18 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote y y f = = ole b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: L - L y f [ 70-80) [ 80-90) [ 90-00) [00-0) [0-0) Total = (y - y) f = (y - y) (y - y) (y - y) f Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=0 > 30. (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f (y - y) f = (y - y) f = (y - y) f = (y - y) f = ole 0 8 Fecha : Dcembre 04 Verón :
19 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote c) Hallando la devacón etándar: = = ole. d) Hallando el coefcente de varacón: c.v 00 = 0.9% < % y Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: GRUPO c.v % < % % <% Hacendo la comparacone repectva de lo coefcente de varacón obtendo, e oberva que en el Grupo lo ueldo menuale on má homogéneo. 9 Fecha : Dcembre 04 Verón :
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