SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Transcripción

1 Pág. 1 Págna 0 PRACTICA Meda y desvacón típca 1 Las edades de los estudantes de un curso de nformátca son: a) Haz una tabla de frecuencas y representa los datos con un dagrama adecuado. b) Calcula la meda y la desvacón típca. a) La varable representa la edad de los estudantes. Representamos los datos en un dagrama de barras: b) Σ 57 18,9 La meda es de 18,9 años Σ EDADES σ Σ ,9 1,9 σ 1,9 1, Σ 0 La desvacón típca es de 1,. El tempo, en mnutos, que un grupo de estudantes ha empleado en la realzacón de un eamen vene dado en la sguente tabla: a) Representa los datos de la tabla en un dagrama adecuado. b) Halla y σ. TIEMPO N- o DE ESTUDIANTES Undad 1. Estadístca

2 Pág. a) Representamos los datos en un hstograma. Puesto que los ntervalos son de la msma ampltud, la altura de cada barra concdrá con la frecuenca ( ) TIEMPO b) INTERVALO MARCA DE CLASE ( ) Σf Σ 0 σ Σf σ 185 1, Σ 0 La meda es 5 y la desvacón típca 1,. El número de faltas de ortografía que cometeron un grupo de estudantes en un dctado fue: a) D cuál es la varable y de qué tpo es. b) Haz una tabla de frecuencas y representa los datos en un dagrama adecuado. c) Calcula la meda y la desvacón típca. Undad 1. Estadístca

3 Pág. a) Varable: Número de faltas de ortografía. Es una varable cuanttatva dscreta. Llamamos a dcha varable y sus valores son 0, 1,,, y 5. b) Tabla de frecuencas: Dagrama de barras: c) MEDIA: Σf 8 1,7 Σ 0 σ Σf 1 1,7, Σ 0 DESVIACIÓN TÍPICA: σ, 1,57 A un grupo de 0 personas se les ha tomado el número de pulsacones por mnuto (rtmo cardíaco) obtenéndose los sguentes resultados: a) Representa gráfcamente esta dstrbucón agrupando los datos en ntervalos. b) Calcula la meda y la desvacón típca. a) Localzamos los valores etremos: 51 y 90 recorrdo 9 Buscamos un múltplo de (n- o de ntervalos) algo mayor que 9, por ejemplo r'. INTERVALOS MARCAS DE Así, cada ntervalo tendrá una longtud 9,5-5,5 CLASE ( ) de 5,5 -, ,5-70, ,5-77, ,5-8, ,5-91, Undad 1. Estadístca

4 Pág. Puesto que los ntervalos son de la msma longtud, la altura de cada barra en este hstograma concde con la frecuenca ( ). b) MEDIA: Σf 7,7 Σ σ Σf Σ ,7 77,9 0 DESVIACIÓN TÍPICA σ 77,9 8,81 9,5 5,5,5 70,5 77,5 8,5 91,5 N-º DE PULSACIONES POR MINUTO 5 Este gráfco muestra las alturas de los árboles de un parque. Haz la tabla de frecuencas corres-pondente y calcula y σ INTERVALOS MARCA DE CLASE ( ) MEDIA: Σf 5 17,8 Σ 0 σ Σf ,8 80, Σ 0 DESVIACIÓN TÍPICA: σ 80, 8,9 Undad 1. Estadístca

5 Pág. 5 En una materndad se han tomado los pesos (en klogramos) de 50 recén nacdos:,8,,8,5,7,7 1,9,,5,,0, 1,8,,9,1,,8,1,9,9,5,0,1,,,5 1,9,0,9,,,0,,1,,5,9,0,7,9,8,7,1,0,1,8,,9, a) Construye una tabla con los datos agrupados en ntervalos de ampltud 0, kg. b) Representa gráfcamente esta dstrbucón. c) Calcula la meda y la desvacón típca. Localzamos los valores etremos: 1,8 y,9. Recorrdo,9 1,8,1 a) INTERVALOS MARCA DE CLASE ( ) 1,5 -,05 1,85 7, 1,9,05 -,5,5 5 11,5 5,1,5 -,85,5 1,5 91,9,85 -,5, ,85 158,1,5 -,5,5 8 7, 95,,5 -,05,85 11,55,7 50 1,1 8,1 b) Representamos los datos en un hstograma; al ser los ntervalos de la msma ampltud, la altura de cada barra corresponde a la frecuenca ( ) de cada ntervalo. c) 1,1,9 kg 50 σ 8,1,8 0,15 50 σ 0,15 0,9 kg ,5,05,5,85,5,5,05 PESOS (kg) Undad 1. Estadístca

6 Pág. 7 El número de personas que acuderon a las clases de natacón de una pscna muncpal fueron: a) Haz una tabla de frecuencas agrupando los datos en ntervalos. b) Representa gráfcamente la dstrbucón. c) Halla y σ. Localzamos los valores etremos: y 0. Recorrdo 0 8 Agrupamos los datos en 7 ntervalos. Con el fn de que los etremos de los ntervalos no concdan con nnguno de los datos, tomamos cada ntervalo de longtud 5, en vez de. a) INTERVALOS MARCA DE CLASE ( ) 8,5 -, ,5-8, ,5 -, ,5-8, ,5-5, ,5-58, ,5 -, b) Representamos los datos en un hstograma. La altura de cada rectángulo concdrá con la frecuenca absoluta, por ser los ntervalos de gual ampltud. 9 8,5,5 8,5,5 8,5 5,5 58,5,5 N-º DE PERSONAS Undad 1. Estadístca

7 Pág. 7 c) MEDIA: , 5 σ , 5,8 5 DESVIACIÓN TÍPICA: σ 5,8 7, Págna 0 Medana, cuartles y percentles 8 Las urgencas atenddas durante un mes en un centro de salud fueron: a) Haz una tabla de frecuencas y representa los datos. b) Haz la tabla de frecuencas acumuladas y d cuál es la medana. a) urgencas Representamos los datos en un dagrama de barras: f atenddas F en % 0 1 1, , 7, b) Me p 50 (para, F supera el 50%) N-º DE URGENCIAS 9 La altura, en centímetros, de un grupo de alumnos y alumnas de una msma clase es: 150, 19, 171, 17, 17, 175, , 18, 177, 179, 17, 18, 158 Calcula razonadamente la medana y los cuartles. Colocamos los datos en orden crecente: Hay 1 datos: Undad 1. Estadístca

8 Pág Medana: Me ,5 cm 1,5 Q cm (- o lugar) 1 10,5 Q 181 cm (poscón 11) 10 Calcula la medana y los cuartles de la sguente dstrbucón: Completamos la tabla con las frecuencas acumuladas: 5 F en % , , Me 1, porque para 1 la F supera el 50% Q 1 0, porque para F supera el 5% para 0 Q, porque F supera el 75% para 11 Halla la medana, los cuartles y el percentl 0 en cada una de las sguentes dstrbucones, correspondentes a las notas obtendas en un test que han hecho dos grupos de estudantes: A: B: Colocamos en orden crecente los datos: A Hay 15 datos: La medana es el valor central (poscón 8) Me 5 15,75 Q 1 (- a poscón) 15 11,5 Q 0 (1- a poscón) p 0 será el valor ntermedo de los datos stuados en a y 10- a poscón, es decr: p p 0 7,5 Undad 1. Estadístca

9 Pág. 9 B Hay 1 datos: Los dos valores centrales son y 5 Me + 5 1,5 Q 1 1 (- a poscón) 1 10,5 Q 9 (11- a poscón) 1 0 8, p 0 7 (9- a poscón) En la fabrcacón de certo tpo de bombllas, se han detectado algunas defectuosas. Se han estudado 00 cajas de 100 bombllas cada una, obtenéndose la sguente tabla: Calcula la medana, el cuartl superor y el percentl 0. Hacemos la tabla de frecuencas acumuladas. F en % 1 5 5, , , DEFECTUOSAS N o DE CAJAS Para, F guala el 50%, luego la medana será el valor ntermedo entre y el sguente, 5, esto es, Me,5. Q p 75 p 0 PIENSA Y RESUELVE 1 Deseamos hacer una tabla con datos agrupados a partr de 8 datos, cuyos valores etremos son 19 y 187. a) S queremos que sean 10 ntervalos de ampltud 17, cuáles serán esos ntervalos? b) Haz otra dstrbucón en 1 ntervalos de la ampltud que creas convenente. Recorrdo: r a) Buscamos un número algo mayor que el recorrdo y que sea múltplo de 10. Por ejemplo, r' 170. De este modo, cada ntervalo tendrá una longtud de 17. Undad 1. Estadístca

10 Pág. 10 Los ntervalos son: [18, 5); [5, 5); [5, 9); [9, 8); [8, 10); [10, 10) [10, 17); [17, 15); [15, 171); [171, 188) b) Buscamos ahora un número que sea múltplo de 1, que es el número de ntervalos en este caso la ampltud de cada ntervalo será 1. Los ntervalos son: [19, ); [, 7); [7, 1); [1, 75); [75, 89); [89, 10) [10, 117); [117, 11); [11, 15); [15, 159); [159, 17); [17, 187) 1 Los gastos mensuales de una empresa A tenen una meda de euros y una desvacón típca de 1500 euros. En otra empresa B la meda es euros y la desvacón típca 500 euros. Calcula el coefcente de varacón y d cuál de las dos tene mayor varacón relatva Empresa A: C.V. σ ,15 o ben 1,5% σ Empresa B: C.V ,1 ) o ben 1,7% σ Tene mayor varacón relatva la empresa B. 15 El peso medo de los alumnos de una clase es 58, kg y su desvacón típca,1 kg. El de las alumnas de esa clase es 5, kg y su desvacón típca es 5,1 kg. Calcula el coefcente de varacón y compara la dspersón de ambos grupos. 58, kg Alumnos C.V.,1 0,05 5,% σ,1 kg 58, 5, kg Alumnas C.V. 5,1 0,097 9,7% σ 5,1 kg 5, El peso medo de las alumnas es más varable que el peso de los alumnos. 1 Se han meddo los pesos y las alturas de personas, obtenéndose los sguentes datos: Calcula el coefcente de varacón y d s están más dspersos los pesos o las alturas. PESOS (kg) ALTURAS (m) 5 1,7 0 1,5 1,7 1,7 8 1,75 8 1,8 Undad 1. Estadístca

11 Pág. 11 PESOS ( ) Σf 87,5 kg Σ σ Σf 5 011,5 8,5 σ 8,5,87 kg Σ C.V. σ,87 0,0 o ben,%,5 ALTURAS (y ) y y 1,5 1 1,5,5 1,7 5,1 8,7 1,75 1 1,75,0 1,8 1 1,8, 10,15 17, Σf y y 10,15 1,9 m Σ σ Σf y y 17, 1,9 0,019 σ 0,019 0,1 m Σ C.V. σ 0,1 0,071 o ben 7,1% y 1,9 Están más dspersas las alturas que los pesos. 17 En una regata de veleros, los tempos, en mnutos, empleados por los partcpantes en hacer el prmer recorrdo han sdo:,7 5 9,5 7,,5 51, 50, 8, 9,8 0, 1, 1,8 5 5,,,8 9 50,8 58 a) Representa gráfcamente los datos. b) Calcula y σ. c) Ordena los datos y calcula la medana y los cuartles. a) El número de valores dstntos que hay es grande; luego, es adecuado agruparlos en ntervalos. Recorrdo 58 9,8 18, Tomamos 7 ntervalos de ampltud. Undad 1. Estadístca

12 Pág , 1,, 7, 50, 5, 5, 59, TIEMPO EMPLEADO (mn) b) INTERVALO MARCA ( ) 8, - 1, 9,9 119,7 77,0 1, -, 5,9 1,5 9 0,05, - 7, 5,9 17,7 0, 7, - 50, 8,9 195, 9 5,8 50, - 5, 51,9 155, ,8 5, - 5, 1 5,9 5,9 01,01 5, - 59, 1 57,9 57,9 5, , MEDIA 9,8 mnutos 0 σ 10,,8 5,9 0 DESVIACIÓN TÍPICA σ 5,9 5,0 mnutos c) Ordenamos los datos: 9,8-0, - 1, - 1,8 -,5 -,8 -, , -, 7, - 8, - 9-9,5-50, - 50,8-51, Hay 0 datos: 0 10 La medana es el valor ntermedo de los valores stuados en las poscones 10 y 11: Me, + 7,, Q 1 es la meda artmétca de,5 y,8, valores stuados en 5- a y - a poscón: Q 1,5 +,8, Q es el valor ntermedo entre 50, y 50,8, valores que ocupan la poscón 15 y 1, respectvamente: Q 50, + 50,8 50,5 Undad 1. Estadístca

13 Pág. 1 Págna 0 18 El número de errores cometdos en un test por un grupo de personas vene reflejado en la sguente tabla: N o DE ERRORES N o DE PERSONAS a) Halla la medana y los cuartles nferor y superor, y eplca su sgnfcado. b) Cuál es el número medo de errores por persona? Construmos la tabla de frecuencas acumuladas: N- o DE ERRORES N- o DE PERSONAS F EN % ( ) ( ) , ,0 8 1, , , , a) Me. Sgnfca que el 50% de las personas cometen 0, 1 ó errores. Q 1 1. El 5% de las personas comete 1 error o nnguno. Q. El 75% de las personas comente errores o menos de errores. b) Σf 107,1 Σ 51 El número medo de errores por persona es lgeramente superor a. 19 Al preguntar a un grupo de personas cuánto tempo dedcaron a ver televsón durante un fn de semana, se obtuveron estos resultados: TIEMPO NÚMERO (en horas) DE PERSONAS [0; 0,5) 10 [0,5; 1,5) 10 [1,5;,5) 18 [,5; ) 1 [, 8) 1 Dbuja el hstograma correspondente y halla la meda y la desvacón típca. Como los ntervalos no son de la msma longtud, para representar la dstrbucón medante un hstograma pondremos en cada barra una altura tal que el área sea proporconal a la frecuenca: Undad 1. Estadístca

14 Pág. 1 [0; 0,5) a 1 0,5 f 1 10 h ,5 [0,5; 1,5) a 1 f 10 h 10 [1,5;,5) a 1 f 18 h 18 [,5; ) a 1,5 f 1 h 1 8 1,5 [; 8) a 5 f 5 1 h ,5,57 σ 1,75 σ,7 1,9,57,7 TIEMPO MARCA ( ) [0; 0,5) 0,5 10,5 0,5 [0,5; 1,5) [1,5;,5) 18 7 [,5; ), ,75 [; 8) ,5 1, ,5 8 0,5,5 TIEMPO DEDICADO A VER T.V. DURANTE UN FIN DE SEMANA (h) 0 En una poblacón de 5 famlas se ha observado la varable X número de coches que tene la famla y se han obtendo los sguentes datos: a) Construye la tabla de frecuencas de la dstrbucón X. b) Haz el dagrama de barras. c) Calcula la meda y la desvacón típca. d) Halla la medana y los cuartles. Undad 1. Estadístca

15 Pág. 15 a) F en % b) c) 9 1,5 5 σ 8 1,5 0,89 σ 0,89 0,9 5 d)me 1, Q 1 1 y Q N-º DE COCHES 1 Se ha estudado la edad de los usuaros de un vdeojuego y se han obtendo los sguentes datos: Halla la medana y los cuartles superor e nferor, y eplca su sgnfcado. EDAD F EN % , , , , , N-º DE PERSONAS EDAD Me p 50 1 porque para 1, F supera el 50% Q 1 p 5 1 porque para 1, F supera el 5% Q p 75 1 porque para 1, F supera el 75% Sgnfcado: El 5% de los usuaros de vdeojuego tene menos de 1 años; el 50% tene menos de 1 años y el 75% tene menos de 1 años. Un dentsta observa el número de cares en cada uno de los 100 nños de un colego y obtene los resultados resumdos en esta tabla: NÚMERO DE CARIES FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA y 15 0,5 0, z 0,15 0,05 a) Completa la tabla obtenendo, y, z. b) Calcula el número medo de cares. Undad 1. Estadístca

16 Pág. 1 a) La frecuenca relatva es el cocente entre la frecuenca absoluta y el número total de ndvduos (100, en nuestro caso). 0, y y 5 y z 5 z 0, b) Nº DE CARIES ( ) , El número medo de cares es de 1,55. Este es el polígono de frecuencas correspondente a una dstrbucón de datos agrupados en ntervalos: a) Escrbe la tabla de frecuencas absolutas. b) Calcula la meda y la desvacón típca de la dstrbucón a) INTERVALOS MARCA DE CLASE ( ) [0, 0) [0, 0) [0, 0) [0, 80) [80, 100) b) Σf Σ 5 σ Σf Σ 5 σ 7 7,1 σ 7,1 Undad 1. Estadístca

17 Pág. 17 Completa la sguente tabla estadístca, donde f, F y y fr representan, respectvamente, la frecuenca abso- F luta, la frecuenca absoluta fr 0,08 0,08 0,1 0,1 0,1 0, 0,1 0,1 acumulada y la frecuenca relatva. Recuerda que fr f/n y calcula n. De la prmera fla se obtene fáclmente el valor de n: fr f 0,08 n 50 n n 5 Completa la sguente tabla: a) Calcula F %. 1 b) Halla la medana de la dstrbucón S F 9 equvale al 10%, el 100% será F a) Σf,9,9 Σ 90 b) Me porque para, la F supera al 50%. Págna 05 F % 1, , , , Se ha meddo el nvel de colesterol en cuatro grupos de personas sometdas a dferentes detas. Las medas y las desvacones típcas son las que fguran en esta tabla: DIETA σ A B C D 11, 188, 0, 185 7, 5, 9,1, Las gráfcas son, no respectvamente: Asoca a cada deta la gráfca que le corresponde Undad 1. Estadístca

18 Pág. 18 Fjándonos en las gráfcas, se observa que los grupos 1 y tenen una meda nferor a 00, mentras que las medas de y son superores a ese número. Luego podemos asocar: A y C y B y D 1 y Por otra parte, las personas de tenen el nvel de colesterol más dsperso que las de. Según esto, su desvacón típca será mayor, por lo que C y A. Análogamente, B y D 1. 7 Las estaturas de los 0 alumnos y alumnas de una clase venen dadas en la tabla adjunta. En qué ntervalo estará la medana? El prmer ntervalo cuya F sea mayor que 0 (mtad del número de alumnos) es 17,5-178,5. ALTURA N-º DE ALUMNOS 158,5-1,5 1 1,5-18,5 5 18,5-17, ,5-178, ,5-18,5 18,5-188,5 Concretamente, F Luego la medana estará en el ntervalo 17,5-178,5. 8 Completa la tabla de esta dstrbucón en la que sabemos que su meda es,7. Llamamos z a la frecuenca absoluta del dato. Aplcamos la defncón de la meda: Σf,7 + z Σ 15 + z,7 (15 + z) + z 0,5 +,7z + z 0,7z,5 z S a todos los datos de una dstrbucón le sumamos un msmo número, qué le ocurre a la meda? Y a la desvacón típca? Y s multplcamos todos los datos por un msmo número? Llamamos a al valor sumado a cada dato de la dstrbucón: MEDIA ( 1 + a)f 1 +( + a)f + + ( n + a)f n n 1 f 1 + f + + n f n + a(f 1 + f + + f n ) n Σf Σf + a Σf + a, puesto que n 1 n n n n Undad 1. Estadístca

19 Pág. 19 La nueva meda es el valor de la meda orgnal más el valor que hemos sumado a cada dato. DESVIACIÓN TÍPICA: Σf ( + a) Σf + Σ a ( + a) + Σ a a a Σ Σ Σf + a + a a a Σ Σf Σ La desvacón típca no se ve alterada al sumar a todos los datos de la dstrbucón un msmo número. Supongamos ahora que todos los datos se multplcan por un msmo valor a: a MEDIA 1 f 1 + a f + + a n f n a n la meda queda multplcada por dcho valor. DESVIACIÓN TÍPICA: Σ ( a) Σ ( a) a Σf a a ( Σ ) Σ La varanza quedaría multplcada por a, luego la desvacón típca queda multplcada por a. Σ Undad 1. Estadístca