Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y A c se les ha asociado los sucesos B y B c.

Transcripción

1 Estadístca robablístca 6. Tablas de contngenca y dagramas de árbol. En los problemas de probabldad y en especal en los de probabldad condconada, resulta nteresante y práctco organzar la nformacón en una tabla de contngenca osbldad de que algo suceda o no sucedao en un dagrama de árbol. Las tablas de contngenca y los dagramas de árbol están íntmamente relaconados, dado uno de ellos podemos construr el otro. Unas veces, los datos del problema permten construr fáclmente uno de ellos y a partr de él podemos construr el otro, que nos ayudará en la solucón del problema Conversón de una tabla en dagrama de árbol Las tablas de contngenca están referdas a dos eventos que presenta cada uno dos o más posbldades. En el caso de los sucesos, c, y c, expresados en frecuencas absolutas, relatvas o probabldades, la tabla adopta la forma adjunta. c TOTL c c c c c c TOTL c 1 Dcha tabla adopta la forma del dagrama de árbol del dbujo. En éste, a cada uno de los sucesos y c se les ha asocado los sucesos y c. c c c c c c c Sobre las ramas del dagrama de árbol se han anotado las probabldades condconadas correspondentes, deducdas de las relacones análogas a: 34 Juan Camlo lzate Echeverr

2 Estadístca robablístca 6.2. Conversón de un dagrama en tabla de contngenca De manera recíproca, dado el dagrama de árbol podemos construr la tabla de contngenca equvalente s más que utlzar la expresón = para calcular las probabldades de las nterseccones de sucesos que forman la tabla. Ejemplo 1 Un taller sabe que por térmno medo acuden por la mañana 3 automóvles con problemas eléctrcos, 8 con problemas mecáncos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas eléctrcos, 3 con problemas mecáncos y 1 con problemas de chapa. a. Calcule el porcentaje de los que acuden por la tarde. b. Calcule el porcentaje de los que acuden por problemas mecáncos. c. Calcule la probabldad de que un automóvl con problemas eléctrcos, acuda por la mañana. Solucón En las tablas de contngenca, con las frecuencas absolutas y los porcentajes, respectvamente, pueden verse recogdos los datos del enuncado. ELÉCTRICOS MECÁNICOS CH TOTL MÑN TRDE TOTL ELÉCTRICOS MECÁNICOS CH TOTL MÑN TRDE TOTL Las respuestas a las cuestones planteadas basta leerlas en las tabla. sí, se obtene: 35 Juan Camlo lzate Echeverr

3 Estadístca robablístca a. El 30% de los automóvles acude al taller por la tarde. b. El porcentaje de vehículos ngresados con problemas mecáncos es el 55%. c. La probabldad buscada es: acuda por la mañanatene problemas eléctrcos = = 35 = 0.6 La probabldad de que un automóvl con problemas eléctrcos, acuda por la mañana es del 60% Teorema de la robabldad Total La probabldad de un evento que se puede dar de varas formas es gual a la suma de los productos de las probabldades de que se den estas formas n, por las probabldades de éste en cada una de esas formas n. n I 1 n n Ejemplo 1 Una poblacón está formada por tres grupos étncos: con un 30%, con un 10% y C con un 6O%. demás se sabe que el porcentaje de personas con ojos claros en cada una de estas poblacones es, respectvamente, del 20%, 40% y 5%. Cuál es la probabldad de que un ndvduo al azar de esta poblacón tenga ojos claros? Solucón or el teorema de la probabldad total, la probabldad de que un ndvduo elegdo al azar de esta poblacón tenga ojos claros es: ojos claros = x ojos claros + x ojos claros + C x 0jos clarosc = 0.3 x x x 0.05 = 0.13 La probabldad de que un ndvduo escogdo al azar de esta poblacón sea de ojos claros es del 13%. Ejemplo 2 Se realzó un censo en la cudad de ellín para saber la cantdad de personas que habta la cudad. Sus resultados fueron que el 0.6 son mujeres y el resto hombres. De las mujeres el 0.65 son menores de edad y el 0.35 son mayores de edad, mentras que en los hombres sucede lo contraro de las mujeres. S se escoge una persona al azar de este estudo, encuentre la probabldad de que sea menor de edad. Solucón 36 Juan Camlo lzate Echeverr

4 Estadístca robablístca M = {Sea mujer} = {Sea menor de edad} H = {Sea hombre} = {Sea mayor de edad} M=0.65 M=0.6 M=0.35 H=0.4 H=0.35 H=0.65 = M + H = M. M+H. H = 0.6 * * 0.35 = = 0.53 = 53% Es la probabldad de que sean menores de edad. Ejemplo 3 La aerolínea vanca hzo una encuesta a gual número de usuaros en las cudades de ogotá y ellín, con el fn de tener una vsón acerca de cuál es la opnón que tenen los usuaros del servco que se presta. Los resultados se presentan en la sguente tabla: ellín ogotá ueno 24% 22% Regular 47% 36% Malo 29% 42% S un usuaro encuestado es selecconado al azar, encuentre la probabldad de que consdere que el servco de vanca es bueno. Solucón = + tá = * +tá* tá = 0.5 * * 0.22 = = 0.23 La probabldad de que esta persona haya dcho que el servco es bueno es del 23 %. ara una mayor clardad puedes observar el dagrama adjunto. ueno 37 Juan Camlo lzate Echeverr

5 Estadístca robablístca = 0.24 ellín Regular R = 0.47 Inco = 0.5 tá = 0.5 Malo ueno M = 0.29 tá = 0.22 ogotá Regular Rtá = 0.36 Malo Mtá = 0.42 Ejemplo 4 Una compañía dedcada al transporte públco explota tres líneas de una cudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servco de la prmera línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servco de la tercera línea. Se sabe que la probabldad de que, daramente, un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1%, respectvamente, para cada línea. Determna la probabldad de que, en un día, un autobús sufra una avería. Solucón El suceso "sufrr una avería" v puede producrse en las tres líneas, L1, L2, L3. Según el teorema de la probabldad total y tenendo en cuenta las probabldades del dagrama de árbol adjunto, tenemos: v = L1*vL1 + L2*vL2 + L3*vL3 = 0.6* * *0.01 = = La probabldad de que un autobús sufra una avería es del 2.5% 38 Juan Camlo lzate Echeverr

6 Estadístca robablístca 7. Teorema de ayes La técnca más antgua y mejor defnda para manejar la ncertdumbre es la Regla de ayes, la msma que está basada en la teoría clásca de la probabldad. Las hpótess son más o menos probables dependendo de las posbldades de los hechos o evdencas que las sostenen. La probabldades se calculan con base a la fórmula general de la probabldad condconal de ayes o alguna transformacón de la msma. En su esenca, esta regla nos ndca qué nformacón es necesara y el método para nvertr la condcón cuando calculamos una probabldad condconal. S y son eventos y conocemos, c, entonces podemos calcular. La necesdad de calcular éste ultmo valor a partr de la nformacón dsponble es mprescndble para entender las consecuencas de algunas de nuestras decsones. Suponga que en el ejemplo 3 de la págna 36, el cual habla sobre la opnón que tenen los usuaros de ogotá y ellín acerca de la aerolínea vanca, se quere hallar la probabldad de que al escoger una persona al azar del estudo, ésta sea de ellín, dado que djo que el servco era bueno. ueno = 0.24 ellín Regular R = 0.47 Inco = 0.5 tá = 0.5 Malo ueno M = 0.29 tá = 0.22 ogotá Regular Rtá = 0.36 Malo Mtá = 0.42 Solucón Según lo preguntado, deberíamos encontrar la probabldad sguente: 39 Juan Camlo lzate Echeverr

7 Estadístca robablístca Juan Camlo lzate Echeverr 40 De la formula de probabldad condconal tenemos que: tá tá tá Lo que hcmos fue smplemente: aplcar en el segundo paso la regla multplcatva de la probabldad para el numerador y la regla de la probabldad total para el denomnador. hora podemos reemplazar los valores en la últma fórmula pues todos son conocdos * * * 0.24 Lo cual quere decr que la probabldad de que la persona sea de ellín, dado que djo que el servco es bueno, es del 52.2% Deduccón de la Fórmula de ayes ara realzar la deduccón de esta últma fórmula supongamos un espaco muestral que está dvddo en n fuentes de las cuales puede provenr un suceso, así 1, 2, 3,..., n y sea un suceso cualquera del que se conocen las probabldades condconales, luego, la probabldad de que suceda algún evento, dado que sucedó, vene dada por: n n n j j j 1 Teorema de ayes Expresando en palabras este numerador y denomnador, tendríamos que:

8 Estadístca robablístca robabldad... para... el... ca mn o... de y... Suma... de... todas... las... probabldades... para... las... rutas.. a... ara = 1, n : Son llamadas probabldades a pror, ya que están dadas antes de que tengamos cualquer conocmento acerca del resultado de un evento que provene de la fuente. : Es la probabldad condconal típca o normal que trata con la probabldad de un resultado en la segunda etapa después que un resultado en la prmera etapa ha ocurrdo. : Es la probabldad nversa o sea, que trata con la probabldad de un resultado en la prmera etapa dado que un resultado en la segunda etapa ha ocurrdo. Tambén se llama probabldad a posteror, o posteror ya que es encontrada después que el resultado de la prueba es conocdo. En los problemas relaconados con la probabldad, y en partcular con la probabldad condconada, así como con la probabldad total y el teorema de ayes, es aconsejable que, con la nformacón del problemas, construyas una tabla de contngenca o un dagrama de árbol. Ejemplo El gerente de marketng de una frma fabrcante de juguetes planea la ntroduccón de un nuevo juguete al mercado. En el pasado, 40% de los juguetes ntroducdos por esta frma han tendo éxto y 60% no lo han tendo. ntes de lanzar el juguete al mercado, se lleva a cabo una nvestgacón de mercados y se elabora un nforme, favorable o desfavorable. En el pasado, 80% de los juguetes con éxto recberon nformes favorables y 30% de los juguetes sn éxto tambén recberon nformes favorables. El gerente de marketng quería conocer la probabldad de que el nuevo juguete tendrá éxto s recbe un nforme favorable. El teorema de bayes se puede desarrollar a partr de las defncones de probabldad condconal y margnal en la sguente forma: = 1 = 2 Con la ecuacones 1 y 2 se tene De modo que = = 41 Juan Camlo lzate Echeverr

9 Estadístca robablístca = K K El teorema de bayes es: = K K En donde es el -esmo evento de k eventos mutuamente exclusvos. hora se puede usar el teorema de bayes para resolver el problema del fabrcante de juguetes. Sean Evento E = juguete con éxto E c =juguete sn éxto Evento F = nforme favorable F c = nforme desfavorable Y E= 0.40 FE= 0.80 E c = 0.60 F E c = 0.30 Entonces EF= FE E. FE E + F E c E c = = = 0.64 La probabldad de que un juguete tenga éxto, dado que se recbó un nforme favorable, es de por tanto, la probabldad de que un juguete no tenga éxto puesto que recbó un nforme favorable es de 0.36, porque solo hay dos eventos posbles: E c F= 1- EF El denomnador del teorema de ayes representa la probabldad total del evento F, en este caso un nforme favorable de la nvestgacón de mercados. or tanto, la proporcón de juguetes que recben nformes favorables de la nvestgacón de mercados es de Juan Camlo lzate Echeverr