CAPÍTULO 1: VARIABLES ALEATORIAS Y SUS DISTRIBUCIONES

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1 CAÍTULO : VARIABLES ALEATORIAS SUS DISTRIBUCIONES En este capítulo el alumno debe abordar el conocmento de un mportante concepto el de VARIABLE ALEATORIA tpos de varables aleatoras cómo se dstrbue la funcón de probabldad en estas varables aleatoras. VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL El alumno debe entender ben este nuevo concepto. Una VARIABLE ALEATORIA es una funcón que asgna un valor numérco a cada suceso elemental del espaco muestral. En funcón del número de valores que pueda tomar la varable aleatora dstnguremos dos tpos de varables aleatoras: de tpo dscreto de tpo contnuo. Cuál es la dferenca entre ambas? Una varable aleatora de tpo dscreto es aquella que toma un número fnto de valores e ncluso puede tomar un número nfnto pero sempre que este número nfnto sea numerable. or el contraro una de tpo contnuo tomará sempre un número nfnto NO numerable de valores. Dstrbucón de probabldad en varables aleatoras dscretas Este será el gran problema pues una vez conocda la funcón de probabldad todo estará resuelto a que sabremos cómo se asgna la probabldad a cada uno de los valores de la varable aleatora cualquer otra probabldad que nos puedan pedr será fácl su obtencón. Nosotros vamos a suponer que en la maoría de los casos la nformacón sobre cómo se dstrbue la probabldad de los dversos valores de la varable aleatora va a ser un dato por tanto se nos dará como conocda en cada caso la funcón de probabldad. El cómo se haa obtendo dependerá del fenómeno aleatoro del que proceda de la epermentacón realzada así como de los datos empírcos que sobre epermentacones stuacones smlares se puedan poseer. En las dstrbucones de tpo dscreto esten fundamentalmente dos métodos para asgnar la funcón de probabldad. Éstos son:. La funcón de cuantía. Consste en asgnar a cada valor que tome la varable aleatora la probabldad o «quantum» de probabldad que le corresponde. ello sempre con los requstos a conocdos de que la probabldad asgnada a cada valor ha de ser sempre maor o gual que cero; que el total de la probabldad asgnada a la suma de todos los valores ha de valer uno. Es decr s los valores que toma la varable aleatora dscreta son:... n se deben cumplr las dos sguentes condcones: 0 n =... n. La funcón de dstrbucón. Es un método dferente al anteror consste en asgnar probabldades no a cada valor concreto como hace la funcón de cuantía sno asgnar

2 probabldades a cada valor a todos los valores que están a su zquerda es decr que son menores que él. La funcón de dstrbucón de una varable aleatora dscreta para un valor o punto concreto se representa por se defne así: n Vemos que representa la suma de las probabldades del valor de todos los valores que sean menores que él. El alumno debe razonar vslumbrar cómo este método de asgnar probabldades es un método operatvo [al gual que lo era la funcón de cuantía: = = ] que nos permte calcular la probabldad de cualquer suceso que nos puedan pedr. Dstrbucón de probabldad en varables aleatoras contnuas Una varable aleatora contnua necesaramente ha de tomar una nfndad NO numerable de valores. Al repartr el total de probabldad entre esa nfndad no numerable de valores la probabldad que le corresponderá será necesaramente cero. Es decr: = = =0 ello nos conduce a que el método de la funcón de cuantía no tene sentdo en las dstrbucones de tpo contnuo. Qué se hace entonces? Se ntroduce un nuevo concepto: la densdad de probabldad. Es el cocente -como tal densdad que es- entre la probabldad asgnada a ese punto que hemos vsto que vale cero la ampltud del ntervalo cuando éste tende a cero. La densdad de probabldad desde un punto de vsta conceptual nos daría una ndetermnacón 0/0 para cada valor de la varable que se resolverá tomando el número que corresponda a cada valor en cada problema en cuestón. Insstamos al alumno que la densdad de probabldad NO es una probabldad por tanto puede perfectamente tomar valores maores que uno. Se smbolza por f. robabldad elemental Al multplcar la densdad de probabldad f asgnada a un punto por la epresón dferencal d obtendremos: fd. A esta epresón fd se le llama «probabldad elemental» es la probabldad de que la varable aleatora contnua tome valores comprenddos entre + d. robabldad elemental f d d S sumamos en concepto matemátco «ntegramos» todas las probabldades debemos obtener lógcamente el total de la probabldad que es uno. para sumar utlzamos el símbolo sumatoro: o ben lo epresamos a través de una ntegral: s estamos en una dstrbucón contnua con una nfntud NO numerable de valores. Este es el nuevo

3 método que ntroducmos para las varables aleatoras contnuas que se llama el método de la funcón de densdad.. La funcón de densdad. ara cada valor de una varable aleatora contnua se representa por f. Los dos requstos que necesaramente ha de cumplr f para ser una funcón de densdad son: f 0 f d El alumno debe entender esto con suma clardad. Conocda la funcón de densdad todo está resuelto. Cualquer probabldad que nos pdan estaremos en condcones de poderla hallar. Así por eemplo s nos pden cuál es la probabldad de que la varable aleatora contnua tome valores comprenddos entre a b bastará con sumar «ntegrar» en nuestro caso la probabldad elemental fd entre los valores a b. Es decr: b a b f d a. uncón de dstrbucón. Desgnada por tambén en las dstrbucones contnuas nos servrá -al gual que lo hacía en las dscretas- como funcón de probabldad. En realdad será la probabldad asgnada a todos los valores que están a la zquerda de son menores que. O que van desde - hasta. Se epresa así: f d Como «fd» es la «probabldad elemental» estamos calculando la probabldad de que se nos presentan valores entre -. El alumno debe hacer todo tpo de eerccos con las funcones de probabldad que hemos señalado hasta comprender perfectamente los conceptos. En el teto básco aparecen bastantes de ellos resueltos. Tambén debe entender la representacón gráfca. Dstnguendo mu ben desde la vertente gráfca qué es una probabldad qué sgnfca una gráfca de densdad de probabldad o qué puede representar una ordenada concreta en la gráfca de la funcón de dstrbucón de una determnada varable aleatora. ropedades de la funcón de dstrbucón El alumno debe refleonar comprender las propedades que cumple toda funcón de dstrbucón. resolver conceptual gráfcamente todo tpo de problemas. Relacones entre la densdad de probabldad f la funcón de dstrbucón El alumno debe tener nterorzada la relacón que este entre ambas funcones que es: f d

4 VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL Aquí se abordará el estudo de dos varables aleatoras. Es decr se estudan conuntamente dos característcas de un fenómeno aleatoro. para estudar conuntamente a las dos varables aleatoras es decr la varable aleatora bdmensonal necestaremos conocer cuál es la funcón de probabldad conunta de ambas varables. uncón de probabldad bdmensonal De manera smlar a como sucedía en la varable aleatora undmensonal tambén aquí tendremos varables aleatoras dscretas contnuas. ara las varables aleatoras dscretas tendremos dos formas de representar su funcón de probabldad:. uncón de cuantía:. uncón de dstrbucón: que representa la suma de las probabldades puntuales hasta el valor nclusve de la varable aleatora bdmensonal. ara las varables aleatoras contnuas tendremos al gual que en las varables undmensonales dos formas de cálculo:. uncón de densdad de probabldad. Se representará por f debe cumplr los dos requstos: f 0 f d d. uncón de dstrbucón. Smbolzada por como probabldad acumulada que es debe comprenderse ben que su epres6n es: f d d Qué relacón este entre la f la? S epresamos la funcón de densdad conunta f en funcón de la funcón de dstrbucón el alumno debe comprender ben que la relacón que los lga es:

5 f es decr que la f concde con la dervada parcal segunda respecto a e de la funcón de dstrbucón. la funcón de dstrbucón epresada a través de la f será: d d f Dstrbucones margnales Aquí tambén debe matzarse s nos refermos a una dstrbucón de tpo dscreto o ben de tpo contnuo. En las dstrbucones margnales nos va a nteresar conocer la dstrbucón de probabldad de una sola de las varables pero sn tener en cuenta los posbles valores que pueda tomar la otra es decr «margnando» a la otra varable. ello se hará a partr de la nformacón que nos proporcona la dstrbucón conunta de. Dstngumos s la dstrbucón es dscreta o contnua. Dstrbucones dscretas El alumno debe estar en condcones de comprender: uncones de cuantía margnal. Referdas a e respectvamente venen epresadas por tenen la sguente epres6n: uncones de dstrbucón margnal. Smbolzadas por l ' respectvamente el alumno debe comprender que sus epresones son: Dstrbucones contnuas En este caso el alumno debe entender que tendremos que hablar de las funcones de densdad margnales las funcones de dstrbucón margnales. Al ser dstrbucones «contnuas» deberemos susttur el sgno del sumatoro por el sgno de la ntegral.

6 uncones de densdad margnales. Smbolzadas por f f se epresan así: f f f d f d [Al ntegrar la prmera epresón respecto de el resultado fnal sólo dependerá de. De ahí que en el prmer membro aparezca f.] uncones de dstrbucón margnales. Sus epresones son: f d f d Dstrbucones condconadas En las dstrbucones bdmensonales pueden resultar de nterés el estudar cómo se dstrbue una de las varables cuando a la otra varable se le mpone alguna condcón. Ello nos conducrá al estudo de las dstrbucones condconadas. Tambén aquí deberemos dstngur s estamos en presenca de una varable aleatora de tpo dscreto o de tpo contnuo. Dstrbucones dscretas. El alumno entenderá que tendrá todo el sentdo hablar de: las funcones de cuantía condconadas las funcones de dstrbucón condconadas. uncones de cuantía condconadas se epresan por: / /. uncones de dstrbucón condconadas son: / /. uesto que el alumno a estudó en la Introduccón a la Estadístca el concepto de probabldad condconada no deberá tener dfcultad en comprender las epresones a que equvalen las funcones condconadas anterores. Dstrbucones contnuas. Aquí cabrá hablar de las funcones de densdad condconadas las funcones de dstrbucón condconadas. uncones de densdad condconadas: se epresan por f/ f/. uncones de dstrbucón condconadas: epresadas por / /. Al ser dstrbucones contnuas recordemos que la probabldad egrá sempre «ntegrar» la probabldad elemental «fd». El alumno debe abordar las epresones a que equvalen los conceptos epresados consoldarlos con la realzacón de eerccos práctcos. En el teto básco aparecen desarrollados dversos tpos de problemas.

7 INDEENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS Este concepto guarda paralelsmo con el concepto de ndependenca de sucesos que abordamos en la Introduccón a la Estadístca. Tambén aquí deberá matzarse s hablamos de varables aleatoras dscretas o contnuas. ues en cada caso deberemos emplear la funcón de probabldad que le sea propa. or eemplo el alumno deberá estar totalmente de acuerdo que no tene sentdo hablar de la densdad de probabldad s la dstrbucón es de tpo dscreto. El alumno debe entender el requsto de ndependenca de dos varables aleatoras e. Así en funcón de que se esté utlzando la funcón de cuantía la funcón de dstrbucón o la funcón de densdad de probabldad las varables e serán ndependentes s se cumple que: o ben o ben f f f El alumno debe tener soltura para efectuar eerccos práctcos de este tpo.