Para una población dada, se pueden estudiar simultáneamente dos o más caracteres cuantitativos diferentes.

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1 BLOQUE III. VALORACIÓN INMOBILIARIA. SISTEMAS DE LA INFORMACIÓN. GESTIÓN PATRIMONIAL. T E M A 10 Estadístca valoracón urbana (II): Austes por el método de los mínmos cuadrados. Regresón correlacón. Regresón smple regresón múltple. Aplcacones en el campo de la valoracón. Concepto de muestreo. Tpos. Muestreo de poblacones fntas e nfntas. 1. Austes por el método de los mínmos cuadrados. Conceptos prevos. DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Varables estadístcas bdmensonales Para una poblacón dada, se pueden estudar smultáneamente dos o más caracteres cuanttatvos dferentes. De forma general, s se estudan sobre una msma poblacón s se mden por las msmas undades estadístcas un carácter X un carácter Y (ambos cuanttatvos) se obtenen dos seres estadístcas de las varables X e Y. consderando smultáneamente las dos seres, es decr, para cada undad estadístca el par de valores ( ; ) que le corresponde, se suele decr que estamos ante una estadístca de dos dmensones, o de una varable estadístca bdmensonal. Cuando no este relacón entre dos varables, se dce que las varables son ndependentes. Inversamente, cuando la relacón entre dos varables es perfecta, se dce que las varables están relaconadas funconalmente, lo que sgnfca que su relacón puede ser epresada bao la forma = f(). La dstrbucón bdmensonal de dos varables X e Y es (, ; n ), donde e son valores de X e Y, respectvamente, n es la frecuenca absoluta conunta del valor (, ). Una forma de estudar ambas varables es analzando por separado la dstrbucón de X e Y, resumr cada una de ellas por medo de sus meddas característcas. Las dstrbucones undmensonales de X e Y se denomnan dstrbucones margnales. Sn embargo, lo que se pretende es estudar conuntamente ambas varables, es decr, queremos calcular la dstrbucón conunta de las msmas, con el fn de comprobar s este relacón entre ellas en qué grado. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 1

2 Tablas bdmensonales de frecuencas La dstrbucón conunta de las varables se puede representar de un modo elemental epresando sus valores en una sere de flas columnas, es decr en lo que se denomna tablas smples, de tal modo que refleen el comportamento de la varable estadístca bdmensonal (X,Y) a partr de los valores ndvduales que toman cada una de las varables estadístcas undmensonales X e Y. Pero generalmente se suelen dsponer los datos en una tabla de doble entrada en la que en la prmera fla se colocan los valores de la varable X en la prmera columna se colocan los valores de la varable Y. La dstrbucón conunta representada en una tabla de doble entrada, se denomna tabla de contngenca s ha varables cualtatvas se denomna tabla de correlacón s ambas son cuanttatvas. Dagramas de dspersón Acabamos de ver que los valores de una varable estadístca bdmensonal son pares de números reales de la forma (, ). S representamos estos pares en un sstema de ees cartesanos se obtene un conunto de puntos sobre el plano. A este conunto de puntos se lo denomna dagrama de dspersón o nube de puntos. Covaranza de una varable bdmensonal Se llama covaranza de una varable bdmensonal (X, Y) a la meda artmétca de los productos de las desvacones de cada una de las varables respecto a sus medas respectvas. La covaranza se representa por S : S n f ( )( ) = = 1 N BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10

3 O tambén: S = n =1 f N A la covaranza S se la llama tambén varanza conunta de las varables X e Y. INTERPOLACIÓN Y AJUSTE. Dada una sucesón 1,,, n de valores dstntos de una varable X así como los correspondentes de otra varable Y, 1,,, n, se llama nterpolacón al proceso de cálculo por el cual se obtene un valor de la segunda varable que corresponda a otro de la prmera comprenddo entre dos consecutvos de la sucesón. Los pares de valores ( ; ), que consttuen un conunto de puntos aslados u observacones dscontnuas, determnan una funcón que no ha de ser necesaramente algebraca, pero que, s es conocda, reduce el problema a un smple cálculo artmétco. Cuando esa funcón no está determnada, la nterpolacón se basa en el prncpo de contnudad, hacendo pasar una curva por los puntos conocdos atrbuendo a los otros las coordenadas de ésta. Suponendo una certa dependenca funconal entre X e Y, es decr Y = f(x), por lo que todos los puntos ( ; ) deben pertenecer a Y = f(x). Ahora ben, por los dferentes puntos ( ; ) pueden pasar dferentes f(x); de todas éstas se seleccona la más senclla. A esta funcón se la denomna funcón de nterpolacón o nterpolatrz. La determnacón de la funcón de nterpolacón, operacón necesara preva a la nterpolacón, es un problema meramente matemátco. Para ello esten varos métodos, entre los cuales fguran: el método de nterpolacón parabólca, método de apromacones sucesvas, método de Lagrange el método de las dferencas fntas de Newton. Sea (, ; n ) una dstrbucón bdmensonal en la que se supone que este relacón entre las varables X e Y. A dferenca de la nterpolacón, ahora no vamos a suponer que esta dependenca funconal entre las varables, sno dependenca estadístca. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 3

4 S representamos gráfcamente en unos ees de coordenadas los pares de valores de las dos varables, el problema del auste consste en la obtencón de la ecuacón de una curva que pase cerca de los puntos dados, que se adapte lo meor posble al conunto de los msmos, cumplendo determnadas condcones. Por lo tanto, cuando se pretende hacer un auste nos encontramos con dos problemas: a) Elegr el tpo de curvas que meor se adapte a los datos dsponbles, es decr, que meor represente la relacón entre X e Y. en esta fase suele ser de gran utldad la representacón gráfca como orentacón para la eleccón. b) Fado el tpo de curva a través de su ecuacón en forma eplícta con un certo número de parámetros, determnar éstos medante las condcones que se mpongan según el procedmento de auste empleado. Para selecconar el tpo de funcón podemos observar su representacón gráfca o nube de puntos de la dstrbucón. Una vez selecconado el tpo de funcón, tendremos que determnar cual de ellas, de las nfntas que ha en el plano, pasa lo más cerca posble de los puntos. AJUSTE POR EL MÉTODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS. Dados los puntos ( 1, 1 ), (, ),, ( m, m ), elegda una funcón de auste defnda por : = f ( ; a, a, K, a 1 n ) En la que ntervenen n parámetros (a 1, a,,a n ), n < m, consderamos la nube de puntos, en donde para cada valor de X,, tenemos dos valores de Y, el observado correspondente a la nube de puntos, otro que vamos a llamar teórco, que se obtene al hacer = en la funcón, para el que emplearemos la notacón de *. Como se puede observar, para cada tenemos una dferenca entre los dos valores de Y, el observado el teórco, que vamos a llamar resduo o error e, tal que: e = BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 4

5 El método de mínmos cuadrados consste en determnar los parámetros a 1, a,, a n de tal forma que el conunto de los resduos sea mínmo. S tomamos la suma de todos los resduos ( ) n Se nos presentarán dos nconvenentes. Prmero, como unos resduos serán unos de sgno postvo otros de sgno negatvo, al sumar se compensan la suma mínma podría ocultar resduos de certa mportanca a ambos lados de la curva austada. Segundo, la determnacón de los parámetros no es únca, a que tendríamos dferentes conuntos de valores de los parámetros que arroarán la msma suma mínma de los resduos. Para obvar lo anterormente epuesto, buscaremos mnmzar la epresón cuadrátca Φ = ( ) n Como los valores teórcos son los obtendos a partr de la curva austada, es claro que = f ( ; a, a, L, a 1 n ) de donde se deberá hacer mínmo Φ = [ f ( ; a, a, K, an ] n 1 ) Para lo cual la condcón necesara es que las prmeras dervadas parcales respecto a cada uno de los parámetros se anulen. Resolvendo el sstema de ecuacones resultante, llamado de ecuacones normales, quedan determnados a 1, a,, a n, así como la correspondente funcón. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 5

6 Algunos austes por mínmos cuadrados Auste de una recta Dada una certa estructura de la nube de puntos se decde austar una recta de la forma: = a + b Para determnar a b haremos mínmo: Φ = Φ = ( ( ) n a b ) = n [ ( a + b )] n = para lo cual las dervadas parcales respecto a a b deberán anularse, es decr: Φ a = ( a b )( 1) n = 0 Φ Φ = ( a b )( ) n = 0 dvdendo ambos membros por -, tendremos: ( a b ) n = 0 ( a b )( ) n = 0 operando traspasando térmnos: n = a n + b n = a n + b n n BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 6

7 que al sumar las frecuencas quedará: n. = an + b n. n = a n. + b n. Resolvendo este sstema, llamado sstema de ecuacones normales como antes dmos, determnaremos los valores de a b de la recta que meor se austa a la nube de puntos dada. Auste de una parábola En este caso, la curva selecconada es: = a + b + c para hallar a, b, c, debemos mnmzar: Φ = ( a b c ) n Para ello las prmeras dervadas, respecto de a, b, c, se deberán anular procedendo de forma análoga al caso de la recta nos quedará el sstema de cua resolucón se obtenen los valores numércos de los parámetros de la meor parábola de segundo grado en el sentdo mínmo cuadrátco para la nube de puntos dada. Por supuesto que esto es generalzable a un polnomo de grado h, del tpo: = a + a + a + K a h h BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 7

8 Auste hperbólco Este tpo de funcones tenen un especal nterés para el economsta. Estas funcones tenen la forma: 1 = b b = sendo b una constante cualquera. Otro tpo de funcón tambén mu corrente es la funcón anteror, pero desplazada una cantdad a = a + b 1 El auste de mínmos cuadrados se reduce al caso de la recta en cuanto realzamos la transformacón z = 1 con lo que quedaría: = a + bz. Esto quere decr que s partmos de una dstrbucón (, ; n ), para austar una hpérbola equlátera debemos austar una recta a la dstrbucón (z, ; n ), donde: z = 1 Auste potencal La forma general de la forma potencal es. = a b Que se puede reducr ala caso general lneal tomando logartmos: log = loga + blog = A + blog BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 8

9 Partendo de (, ; n ), para austar una funcón potencal, habrá que austar una recta a la dstrbucón (z, u ; n ), en donde: z = log u = log Una vez determnados los parámetros, A = log a b en el auste lneal u = A +bz, la potencal será: = a b Donde a = antlog A Auste de una funcón eponencal La ecuacón general es de la forma: = a b Tomando logartmos, lnealzamos la funcón: log = log a + log b es decr, Y = A + B. En este caso, el auste de la recta se hará a la dstrbucón (, donde: ) en Y = log sendo A = log a B = log b los parámetros determnados por mínmos cuadrados, los parámetros de la eponencal serán: a = antlog A b = antlog B BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 9

10 . Regresón correlacón Uno de los obetvos de todo tpo de nvestgador es el de encontrar relacones entre los sucesos que se le presentan dentro de su campo de nvestgacón. El centífco o nvestgador ntenta traducr esas relacones en estructuras maneables, para lo cual hace uso de un lenguae a conocdo, fundamentalmente el estadístco-matemátco, a través del establecmento de relacones funconales en donde un número fnto de magntudes (varables o atrbutos) X 1, X,, X p se supone que están relaconadas con una varable Y a través de la epresón Y = f (X 1, X,, X p ) Ben sea por el desconocmento del nvestgador sobre la verdadera estructura de la relacón entre estas magntudes, ben sea porque esa dependenca no es eactamente matemátca, el tratamento que necesta esta modelzacón no es estrctamente matemátco, sno que requere un análss fundamentalmente estadístco. Desde este punto de vsta, dos son los enfoques con que smultáneamente se puede abordar este problema: El estudo del grado de dependenca estente entre las varables, que será el contendo de la teoría de la correlacón. La determnacón de aquella estructura de dependenca que meor eprese el tpo de relacón de la varable Y con las demás. Precsamente, la REGRESIÓN tene por obeto esta segunda fnaldad, a saber: poner de manfesto, a partr de la nformacón de que se dsponga, la estructura de dependenca que meor eplque el comportamento de la varable Y (varable dependente o eplcada) a través de todo el conunto de varables X 1, X,, X p (varables ndependentes o eplcatvas) con las que se supone que está relaconada. Se ntroducrá en una prmera parte el problema general de la regresón la correlacón para el caso más smple en que tengamos una sola varable eplcatva, más adelante el planteamento de la regresón correlacón múltples, en el que se ntroduce más de una varable eplcatva en el modelo. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 10

11 Sea, pues, X e Y dos varables cua dstrbucón conunta de frecuencas es (, ; n ). Llamaremos regresón de Y sobre X a la funcón que eplca la varable Y para cada valor de X. la regresón de X sobre Y nos hablará del comportamento de X para cada valor de Y. CORRELACIÓN De una manera general, llamaremos correlacón a la teoría que trata de estudar la relacón o dependenca que este entre las dos varables que ntervenen en una dstrbucón bdmensonal. Con arreglo a lo que se contempla en los dferentes dagramas de dspersón que se pueden tratar, se dce que: 1. La correlacón es lneal o curvlínea según que el dagrama de puntos se condense en torno a una línea recta o una curva.. La correlacón es postva o drecta cuando a medda que crece una varable la otra tambén crece. 3. La correlacón es negatva o nversa cuando a medda que crece una varable la otra decrece. 4. La correlacón es nula cuando no este nnguna relacón entre ambas varables. En este caso los puntos del dagrama están esparcdos al azar, sn formar nnguna línea, se dce que la varables están ncorreladas. 5. La correlacón es de tpo funconal s este una funcón tal que todos los varables de la dstrbucón la satsfacen. Desde este momento nos centraremos en el estudo de la correlacón lneal. Coefcente de correlacón lneal Una vez que se ha observado por vía ntutva, medante el dagrama de dspersón, la estenca de correlacón lneal entre las varables, tene nterés cuantfcar de la forma más obetva precsa posble esta correlacón. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 11

12 El procedmento más frecuentemente utlzado para asgnar valores a las posbles correlacones entre varables es el coefcente de correlacón de Pearson. El coefcente de correlacón lneal de Pearson se defne medante la sguente epresón: r = S S S en la que: S es la covaranza de la varable bdmensonal (X,Y) S es la desvacón típca de la varable undmensonal X S es la desvacón típca de la varable undmensonal Y Hagamos algunas observacones al coefcente de correlacón que acabamos de defnr: 1. El cálculo practco del coefcente de correlacón lneal r resulta mu sencllo una vez que se sabe calcular la covaranza de la varable (X, Y), así como las desvacones típcas de las varables X e Y.. El sgno del coefcente r vene dado por el sgno de la covaranza, a que las desvacones típcas son sempre postvas. Así pues, el sgno de la covaranza decde el comportamento de la correlacón: S la covaranza es postva la correlacón es drecta. S la covaranza es negatva la correlacón es nversa. S la covaranza es nula no este correlacón. 3. Se demuestra que el coefcente de correlacón lneal es un número real comprenddo entre BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 1

13 Estudo de la dependenca a partr del valor del coefcente de correlacón lneal Analcemos cómo es el grado de dependenca entre las varables X e Y, que componen una varable bdmensonal (X, Y), a partr del valor que toma el coefcente de correlacón lneal. 1. S r = -1 se puede demostrar que todos los valores de la varable bdmensonal (X, Y) se encuentran stuados sobre una recta; en consecuenca satsfacen la ecuacón de una recta. Entonces se dce que entre las varables X e este una dependenca funconal.. S -1 < r < 0 la correlacón es negatva será tanto más fuerte a medda que r se aproma más a -1 tanto más 0. En este caso se dce que las varables X e Y están en dependenca aleatora. 3. S r = 0 entonces no este nngún tpo de relacón entre las dos varables. En este caso se dce que las varables X e Y son aleatoramente ndependentes. 4. S 0 < r < 1 la correlacón es postva será tanto más fuerte a medda que r se aproma más a 1 tanto más débl a medda que se aprome más a 0. En este caso se dce que las varables X e Y están en dependenca aleatora. 5. S r = 1 se puede demostrar que todos los valores de la varable bdmensonal (X, Y) se encuentran stuados sobre una recta; en consecuenca satsfacen la ecuacón de una recta. En este caso se dce que entre las varables X e Y este una dependenca funconal. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 13

14 3. Regresón smple regresón múltple. Aplcacónes en el campo de la valoracón. REGRESIÓN LINEAL Idea ntutva del auste de una línea de regresón a un dagrama de dspersón Supongamos que tenemos un dagrama de dspersón. Ahora tratamos de construr una línea (en este caso una recta) que se aprome lo meor posble a una nube de puntos. Evdentemente, de todas las rectas representadas en el dagrama, parece que la meor cumple la condcón antes descrta es la recta r. ésta será la recta de regresón. Ahora ben, el método para consegur la línea que meor se aprome a una nube de puntos no parece fácl. Como prmera apromacón cabría obtener a oo una línea que se consderase como la más representatva. Es fácl comprender la carenca absoluta de rgurosdad subetvsmo. Posterormente, se va a contemplar, un método analítco que permte obtener la ecuacón de la línea de regresón. La regresón será lneal cuando la curva de regresón obtenda o selecconada sea una recta. Vamos a desarrollar este caso partcular, que es el más empleado, centrándonos a sólo en las rectas mínmocuadrátcas de regresón. Concepto general de regresón Consderemos una varable estadístca bdmensonal (X, Y) para la que se ha comprobado la estenca de una correlacón fuerte entre las varables X e Y. en este caso el análss de la regresón permte obtener la ecuacón de la funcón matemátca que meor se austa al dagrama de dspersón. Ahora ben, qué entendemos por la línea que meor se austa al dagrama de dspersón? Es fácl comprender que se trata de aquella línea que haga que la suma de las desvacones de los puntos de la nube respecto de las BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 14

15 correspondentes de la línea sea lo menor posble. En estas condcones dremos que es la línea que menos se separa de la nube de puntos. A la hora de realzar el auste de una línea de regresón a una nube de puntos este la posbldad de apromar ésta medante una recta una parábola, una cúbca, una eponencal, etc. En lo sucesvo lmtaremos el estudo a la regresón lneal, del msmo modo a como hcmos con la correlacón. Estudo analítco de la regresón lneal Supongamos que una vez estudada la correlacón estente entre las dos varables X e Y que componen una varable bdmensonal (X, Y) se observa que dchas varables están fuertemente correladas que el dagrama de puntos se puede austar medante una recta. Consderemos X como varable ndependente e Y como varable dependente de X. Entonces el problema consste en encontrar la ecuacón de una recta de la forma = a. + b que sea la que meor se auste a la nube de puntos. Así pues, el problema queda reducdo al cálculo de los parámetros a b. para el cálculo de estos parámetros que permten la recta que meor se aproma a la nube de puntos, esten varos métodos, sendo el más utlzado el denomnado mínmos cuadrados. Como a se ha vsto anterormente, basta ndcar, como precsón nteresante, que dcho método se basa en el hecho de que la recta que se obtene se hace mínma la suma de los cuadrados de las dferencas entre los valores observados epermentalmente los teórcos que se obtengan medante la recta. De la aplcacón del método anterormente ctado se obtene que la recta de regresón pasa por el punto (, ), sendo e las medas artmétcas de las varables X e Y, respectvamente. Por tanto, la ecuacón buscada será de la forma: = m ( ) BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 15

16 Donde m recbe el nombre de coefcente de regresón se demuestra que es gual a m = S S Luego la ecuacón de la recta de regresón es: S = S ( ) A esta recta de regresón se la llama recta de regresón de sobre, a que hemos consderado la varable X ndependente la varable Y dependente de X. A partr de esta recta podemos calcular con certa apromacón los valores de conocdos los de, sn más que susttur estos últmos en la ecuacón. A estos cálculos se les suele llamar estmacones o prevsones. Análogamente se puede obtener la recta de regresón de sobre. en este caso la varable ndependente es Y, sendo X la varable dependente de Y. La ecuacón de la recta de regresón de sobre es de la forma: S = S ( ) A partr de esta recta podemos calcular, con certa apromacón, los valores de conocdos los de, sn más que susttur estos últmos en la ecuacón. Qué fabldad podemos conceder a estos cálculos obtendos a través de las rectas de regresón? BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 16

17 Recordando las observacones hechas en el apartado anteror, dedcado a la correlacón, concluremos que la fabldad será tanto maor, cuanto maor sea el coefcente de correlacón lneal en valor absoluto. Así pues: S r es mu pequeño, no tene sentdo realzar nngún tpo de estmacones o prevsones. S r es prómo a -1 o a 1, probablemente los valores reales serán prómos a nuestras estmacones. S r = -1 o r = 1, las estmacones realzadas concdrán con los valores reales. Pero ncluso para valores de r prómos a uno, las estmacones que obtengamos pueden resultar poco fables; por eemplo, cuando se pretenda etrapolar más allá del recorrdo de los datos observados. Es certo que en muchas ocasones es necesaro realzar etrapolacones, pero es convenente tener en cuenta sempre el elevado resgo que se corre de obtener resultados totalmente erróneos. La aplcacón de los métodos de regresón correlacón ege un análss teórco prevo de las posbles relacones entre las varables. El prescndr de esta refleón ncal puede conducr nuestro análss a conclusones absurdas. De hecho, puede ocurrr que se selecconen dos varables cualesquera al azar que dé la casualdad de que, estadístcamente, la correlacón sea perfecta, pero teórcamente no se pueda asgnar nngún tpo de relacón entre ellas. Se deben selecconar varables entre las que la fundamentacón teórca avale algún tpo de relacón, evtando, en lo posble, relacones a través de otra varable prncpal. Por eemplo, el consumo de bebdas puede varar en la msma dreccón que el consumo de gasolna, pero no porque una varable dependa drectamente de la otra, sno porque ambas van en el msmo sentdo que las varacones de la renta, que será la prncpal varable eplcatva. El obetvo últmo de la regresón es la predccón o pronóstco sobre el comportamento de una varable para un valor determnado de la otra. Así, s la recta de regresón de Y sobre X es: BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 17

18 = + S ( ) S la predccón de Y para X = 0 será S ˆ) 0 = + ( 0 S Es claro que la fabldad de esta predccón será tanto maor, en prncpo, cuanto meor sea la correlacón entre las varables. Por tanto, una medda apromatva de la bondad de la predccón podría venr dada por r. REGRESIÓN MÚLTIPLE Dstrbucón p-dmensonal de frecuencas En anterores epígrafes se han estudado las dstrbucones bdmensonales las teorías de la regresón lneal smple de la correlacón, que nos permten relaconar el comportamento de una varable con el de otra. Pero, en la realdad, lo habtual es que una varable venga eplcada por la accón smultánea de otras varas. De aquí el nterés de generalzar el modelo vsto al caso p-dmensonal. Llamaremos dstrbucones p-dmensonales a las procedentes de la observacón de p característcas smultáneamente. Cada una de las característcas observadas da lugar a una varable undmensonal, por lo que son dstrbucones conuntas de p varables. El conunto de observacones se suele denomnar matrz de observacones, a que dchas observacones se pueden representar en una matrz de orden (N p). El subíndce o número de fla corresponde al subíndce de la varable (1,,, p), el número de columna al orden de la observacón (1,,, N). BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 18

19 Regresón múltple Generalzando el concepto de dstrbucón condconada, a vsto anterormente, denomnaremos hpersuperfce de regresón al lugar geométrco de todas las medas condconadas de las varables. Nótese que para cada combnacón de los valores de X, X 3,, X p tendremos una dstrbucón de X 1, para la que obtendremos un valor medo. Formando todas las posbles combnacones de valores de X, X 3,, X p, obtendremos para cada una de ellas una dstrbucón de X 1, con su correspondente valor medo. La hpersuperfce en que se encuentran dchos valores medos es la llamada hpersuperfce de regresón de X 1 sobre X, X 3,, X p. Pudera darse el caso de que las hpersuperfces de regresón fueran hperplanos (planos, para el caso de tres varables). En este caso, los hperplanos (o planos) de regresón concden con los que se obtenen al realzar el auste mínmo-cuadrátco. Gráfcamente, en el caso de tres varables, s representamos la dstrbucón en un sstema trdmensonal de ees cartesanos, obtendremos una nube de puntos. Esta nube de puntos estará dstrbuda alrededor del punto O de coordenadas 1,, 3. Como suponemos que la regresón de X 1 sobre X X 3 es lneal, el plano de regresón concdrá con el plano que austemos a la nube de puntos por el método de mínmos cuadrados. S + 1 = b1 + b13 3 b10 Es la ecuacón del plano que queremos austar, los coefcentes b, b (coefcentes de regresón parcal) b se determnarán con la condcón de que sea mínma la suma de los cuadrados de las dferencas entre los valores observados 1 los calculados medante la ecuacón del plano, * 1. Consderemos el caso en que se seleccone una funcón del tpo lneal, tal como: BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 19

20 = b + b + b + K+ b p p en donde, para maor clardad en la eposcón, a la varable eplcada la representamos por Y, a todas las eplcatvas por X 1, X,, X p. Para austar un hperplano de regresón, la condcón mínmo-cuadrátca es: mín ( ) Donde: son los valores observados, e son los valores teórcos que se obtendrían a través del hperplano. La regresón múltple es un procedmento mu conocdo, que está mplementado en programas nformátcos de uso común, tales como las hoa de cálculo. Es la epresón más nmedata del Método Hedónco, en ella se trata de poner el valor en funcón de las varables medante una ecuacón senclla, de tpo lneal, eponencal, cuadrátca, etc. Las modaldades más utlzadas para el mercado nmoblaro son las sguentes: Regresón adtva Regresón multplcatva Regresón híbrda En la prmera, la ecuacón resultante es del tpo: = a + a + a + K+ a n n Donde es el valor, las varables a los coefcentes establecdos por la regresón. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 0

21 La regresón multplcatva tene dos modaldades: 1 = a0 a1 a L a n n a1 a = a0 1 K a n n La prmera de esta dos modaldades es la que suele aportar meores resultados, es la más utlzada. En cuanto a la regresón híbrda, se llama así por una mezcla de las dos anterores, su ecuacón es del tpo: = a1 a K + K a 1 a 1 n n n 1 n Es decr, que tene dos partes multplcatvas separadas por una suma. La regresón adtva relacona las varables con el valor medante la ecuacón de una línea recta en el espaco de n dmensones, sendo n el número de varables. La contrbucón de cada varable es bastante clara al añadrse medante una suma a las demás. La regresón multplcatva hace lo msmo que la anteror, pero esta vez la ecuacón corresponde a una línea curva de tpo eponencal. Este tpo de regresón permte obtener, por lo general, resultados más precsos que el anteror, esto es así porque la relacón de las varables con el valor no tene por que apromarse a una línea recta, suele tener alguna curvatura. La regresón híbrda recoge ventaas de las dos anterores. Busca la maor precsón de la multplcatva, combnada con la clardad de la contrbucón de las varables de la adtva, s ben aquí son dos grupos de varables. Suele ser frecuente agrupar en uno de los sumandos las varables cuanttatva en el otro las cualtatvas. Cualquera que se a el tpo de regresón que se utlce, su aplcacón al fchero con la muestra de mercado produce el resultado nmedatamente. El resultado es la ecuacón, unto con una sere de ndcadores que srven para estmar su caldad. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 1

22 Lo normal es que la ecuacón de regresón no salga del todo ben a la prmera, los ndcadores muestran como meorarla. Una de las meores ndcacones es la dentfcacón de outlers, que son operacones atípcas, o con datos erróneos que superaron la prmera etapa. Al retrar estas operacones volver a eecutar la regresón los resultados meoran sgnfcatvamente. La regresón se muestra, en general, como un sstema efcaz para construr un modelo matemátco del mercado, son muchos los profesonales que la utlzan para realzar las valoracones admnstratvas en dversos Estados. En un prmer momento fue la regresón de tpo adtvo la que comenzó a usarse, pero en la actualdad las de tpo multplcatvo e híbrdo están ganado terreno por su maor precsón. Sn embargo, la regresón presenta algunas lmtacones que convene apuntar. En prmer lugar no es mu tolerante a fallos, es decr que unas pocas operacones erróneas o atípcas pueden alterar mucho los resultados. Esto puede ser un problema en un mercado como el nmoblaro donde, como a se ha comentado, la nformacón presenta bastantes defcencas. Además, tene problemas para modelzar el mercado cuando las varables se relaconan con el valor de una forma complea, es decr que la relacón no se adapta a una línea recta o una curva senclla. Por ello suele dar buenos resultados cuando se aplca a una urbanzacón o a una cudad pequeña o medana. Pero cuando el terrtoro aumenta, con él la compledad de las varables, los resultados pueden deterorarse. Tambén presenta defcencas para valorar propedades atípcas. De todas formas, conocendo estas lmtacones selecconando adecuadamente las varables las operacones, este método es efcaz, como lo demuestra la etensón de su uso. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10

23 4. Concepto de muestreo. Tpos. Muestre de poblacones fntas e nfntas. En la práctca ocurre que es mposble estudar todos los elementos de una poblacón, ben por ser esta mu numerosa o ser el estudo mu costoso. Por esta razón, es necesaro utlzar muestras de ellas nferr las característcas de la poblacón. Una muestra perfecta de una poblacón sería una versón a escala de la msma, que reflearía cada una de sus característcas. Por supuesto, una muestra perfecta como ésta no puede estr para poblacones compleas (aunque estera, no sabríamos que es perfecta sn antes medr a toda la poblacón). Sn embargo, una buena muestra reproducrá las característcas de nterés que esten en la poblacón de la manera más cercana posble. Es fundamental llevar a cabo una etapa de dseño de muestreo para obtener una buena muestra elmnar posbles sesgos de seleccón de medcón. Una regla empírca amplamente contrastada es esperar entre un un 5% de observacones con errores de medcón, trascrpcón, etc. Por tanto, antes de utlzar los datos muestrales convene aplcar técncas estadístcas para dentfcar valores anómalos elmnar errores de medcón. Otro factor mportante a tener en cuenta es el denomnado error de muestreo, el cual resulta al consderar una muestra no eamnar a toda la poblacón, representado de forma probablístca. Sesgos de seleccón medcón error de muestreo Veamos prevamente algunos térmnos necesaros para el segumento de la matera a estudar. Denomnamos poblacón obetvo a la coleccón completa de observacones que queremos estudar, la poblacón muestreada será aquella de donde se etrae la muestra, la muestra es, por tanto, un subconunto de la poblacón muestreada formada por undades de observacón, obeto sobre el cual se realza una medcón. En muchas cosas ocasones, la poblacón muestreada es menor que la poblacón obetvo. Ya se ha ndcado anterormente que para obtener una buena muestra, es fundamental llevar a cabo una etapa de dseño del muestreo elmnar posbles sesgos de seleccón de medcón. El sesgo de seleccón ocurre cuando alguna parte de la poblacón no está en la poblacón muestreada. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 3

24 El sesgo de medcón se presenta cuando el nstrumento con el que se mde alguna característca de nterés (por eemplo, alguna varable asocada a las observacones) proporcona que tenden a dferr del valor verdadero. Este sesgo es especalmente preocupante en la realzacón de encuestas, en las que las personas no sempre dcen la verdad n nterpretan ben las preguntas; algunas veces dan dferentes respuestas a dferentes entrevstadores o responden lo que creen que éstos queren escuchar. Como a sabemos, una muestra perfecta de una poblacón sería una versón a escala de ella reflearía cada una de sus característcas. Sn embargo, una muestra perfecta como ésta no puede estr para poblacones compleas, por lo que buscaremos una buena muestra, que reproducrá las característcas de nterés que esten en la poblacón de la manera más cercana posble. Supongamos una poblacón formada por N elementos { 1,,, N } defnmos una característca poblaconal como θ( 1,,, N ), que podría tratarse, por eemplo, del total poblaconal (θ( 1,,, N ) = T = N ) o la meda poblaconal (θ( 1,,, N ) = μ = ( N )/N). Se etrae medante un método de muestreo una muestra de dcha poblacón formada por n elementos { 1,,, N }, sendo n<n. A partr de la muestra etraída se podrán hacer estmacones de las característcas poblaconales, θ. Es evdente que la precsón de las estmacones que realcemos de estas característcas dependerá de la caldad de la muestra, es decr, cuanto más representatva sea la muestra más precsas serán las estmacones que realcemos sobre la poblacón. Las estmacones se realzan a través de funcones matemátcas de la muestra denomnadas estmadores, θˆ = θ(1,,, n ). Al depender el valor de los estmadores de la muestra concreta selecconada, podremos consderarlos como varables aleatoras. Así, la dstrbucón de probabldad de estos estmadores se podría defnr a partr de los posbles valores que puedan adoptar unto con las probabldades de que tomen cada valor, que se defnen como la suma de las probabldades de todas las muestras que lo orgnan. Por eemplo, supongamos que queremos analzar la superfce meda de las vvendas de la CAM. S dspusésemos de las superfces de todas las vvendas, entonces la superfce meda (poblaconal) sería θ = μ = ( N )/N. Tomemos una muestra de vvendas de tamaño n estmemos a partr de ella, medante un estmador, θ( 1,,, n ), el valor de dcha característca poblaconal. Es evdente, que el número de muestras formadas por n vvendas que podemos tomar es frande, para cada una de ellas podremos obtener dstntas estmacones. Por ello, consderamos BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 4

25 el estmador como una varable aleatora de la que nos nteresarán sus característcas de centralzacón dspersón. La precsón de los estmadores se analza en funcón de conceptos como: El error de muestreo o desvacón típca, que cuantfca la concentracón de las estmacones alrededor de su valor medo. El error relatvo de muestreo, que es la razón entre el error de muestreo su valor esperado, es decr, es el cocente de varacón del estmador. El error cuadrátco medo, que cuantfca la concentracón de las estmacones alrededor del verdadero valor del parámetro. El sesgo, que cuantfca la dstanca entre el valor esperado del estmador el verdadero valor. El sesgo que se acaba de presentar no tene nnguna relacón con los sesgos de seleccón medcón que se han vsto en el anterormente. Aunque todos ellos ndcan una desvacón sstemátca con respecto al valor de la poblacón, en este caso sgnfca smplemente que el estmador elegdo produce un sesgo. En la práctca, se consdera que este sesgo no es nfluente cuando el cocente entre el sesgo el error de muestreo es menor que 1/10, en cuo caso hablaremos de estmador nsesgado. La construccón de estmadores no es ndependente del proceso de muestreo que se utlce. Generalmente, para construr estmadores se utlza el prncpo de analogía, es decr se estma un parámetro poblaconal a partr del estmador muestral análogo. Por eemplo, para estmar la meda poblaconal se utlza como estmador su análogo muestral, es decr la meda muestral. Los estmadores por analogía no tenen sempre las propedades más deseables, aunque a veces puede corregrse su sesgo (cuando son sesgados) multplcándolos por una constante convenentemente elegda. De este modo, un estmador de la superfce meda de las vvendas de la CAM a partr de una muestra etraída podría ser: ˆ θ (,, K, ) = = ( + K ) n 1 n 1 + n / Sendo n el tamaño de la muestra. Proporconar un estmador sn ndcar su precsón es de escasa utldad puede resultar engañoso. Anterormente, se han presentado algunas meddas para la precsón de un estmador, en concreto, el error de muestreo, el error relatvo de muestreo, el error cuadrátco medo el sesgo. Otra forma de representar la precsón de un estmador es medante los denomnados ntervalos de confanza. Para su obtencón BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 5

26 se debe especfcar el valor de un parámetro α, denomnándose a 1 α como coefcente de confanza. TIPOS DE MUESTREO Muestreo aleatoro smple El muestreo aleatoro smple (m.a.s.) es la forma más senclla de llevar a cabo un muestreo probablístco proporcona la base teórca de las formas más compleas se dferencan dos tpos de m.a.s.: sn reemplazamento con reemplazamento. En el m.a.s. sn reemplazamento todas las posbles muestras tendrán la msma probabldad de ser selecconadas todos los elementos de la poblacón muestreada tendrán la msma probabldad de estar en la muestra. Se selecconan de la poblacón muestreada, de uno en uno, los elementos de la muestra de forma aleatora sn tener en cuenta el orden de los elementos de la muestra (muestras con los msmos elementos ocupando dstntas poscones se consderan guales) sn reemplazamento (no es posble que haa muestras con elementos repetdos). En m.a.s. con reemplazamento, todas las posbles muestras tendrán la msma probabldad de ser selecconadas, pero es posble que haa muestras con elementos repetdos cualquer elemento de la poblacón puede estar repetdo en la muestra hasta n veces. Se selecconan de la poblacón muestreada, de uno en uno, los elementos de la muestra de forma aleatora sn tener en cuenta el orden de los elementos en ella (muestras con los msmos elementos ocupando dstntas poscones se consderan guales) con reemplazamento (se reponen en la poblacón los elementos prevamente selecconados) Estmacón del tamaño de la muestra A la hora de dseñar el muestreo un paso mu mportante es estmar el tamaño de la muestra que se va etraer. Es lógco pensar que cuanto maor sea el tamaño de la muestra, meor serán las estmacones que se hagan de las característcas poblaconales, pero tambén será maor el coste del estudo. Por ello, debemos decdr la cantdad de error de muestreo en las estmacones que sea tolerable debemos equlbrar la precsón de las estmacones con el coste del estudo. Para estmar el tamaño de la muestra nos debemos preguntar en prmer lugar cuánta precsón necestamos o cual es la cantdad de error tolerable. Un error frecuente es preguntarnos qué porcentae de la poblacón debe nclurse en la muestra a que, ecepto en poblacones pequeñas, la precsón se logra medante el tamaño absoluto de la muestra no con la proporcón de la poblacón cuberta. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 6

27 Muestreo sstemátco En el muestreo sstemátco, s queremos etraer una muestra formada por n elementos, agrupamos los N elementos que componen la poblacón muestreada en n grupos de k elementos de forma que entre todos contengan a todos los elementos de la poblacón, es decr, N = K * n. Se elge de forma aleatora un elemento del prmer grupo, que pasa a formar parte de la muestra, los n 1 elementos restantes de la muestra se obtenen tomando en cada uno de los restantes grupos el elemento que ocupa la msma poscón que la que ocupaba el elemento etraído del prmer grupo. Al contraro que en la muestra aleatora smple, en el muestreo sstemátco cada grupo de k elementos de la poblacón no tene la msma probabldad de ser la muestra a que es mposble que dos elementos del msmo grupo formen parte de la msma. S la poblacón muestreada tene un orden aleatoro, la muestra sstemátca será mu smlar a una muestra aleatora smple. Sn embargo, s la lsta de los elementos de la poblacón tene un orden peródco o cíclco, el muestreo sstemátco no proporconará, necesaramente, una muestra representatva. Muestreo estratfcado En muchas ocasones, dsponemos de nformacón adconal de las varables que nos auda a dseñar una muestra. S una varable en la que estamos nteresados toma dstntos valores promedo en dferentes subpoblacones, podríamos obtener estmacones más precsas de las cantdades de la poblacón al tomar una muestra aleatora estratfcada. En el muestreo estratfcado, una poblacón heterogénea de tamaño N se dvde en L subpoblacones o subgrupos, denomnados estratos, de tamaños N 1, N,, N L respectvamente (N = N 1 + N + + N L ). Los estratos serán lo más homogéneos posbles, tendendo los elementos de cada uno a ser más smlares que los elegdos al azar en la poblacón entera, no solapados, de modo que cada undad de muestreo pertenece a un únco estrato. La muestra estratfcada de tamaño n se obtene etraendo una muestra ndependente n h elementos (h = 1,,, L) de cada uno de los L estratos en los que se subdvde la poblacón. S para cada estrato se obtene se obtene una m.a.s. ndependente, hablaremos de muestreo aleatoro estratfcado, que será con reemplazamento o sn reemplazamento dependendo de s lo ha o no en el muestreo aleatoro de cada estrato. Algunas razones para la utlzacón del muestreo estratfcado son las sguentes: BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 7

28 Evta la posbldad de etraer una muestra mala, es decr, poco representatva de la poblacón. Permte obtener datos de precsón conocda sobre subgrupos de la poblacón. Una muestra estratfcada podría admnstrarse de manera más convenente a un menor coste. Por eemplo, se pueden usar dstntos esquemas de muestreo para los dstntos estratos. Para obtener nuevos datos de una característca de las vvendas no consderada hasta este momento se podría usar un cuestonaro por correo para aquellas que se encuentran en poblacones grandes una vsta personal para aquellas en poblacones pequeñas. El muestreo estratfcado, s se lleva acabo de forma correcta, dará estmacones más precsas (con menor varanza) para toda la poblacón. La forma en la que se reparte el tamaño muestral n entre los dferentes estratos, es decr, la determnacón de los tamaños de n h que verfquen que n 1 + n + + n L = n se denomna afacón. Esten dstntos tpos de afacón, sendo los más sencllos la afacón unforme la proporconal. En la afacón unforme todos los estratos proporconan la msma cantdad de undades a la muestra, k = n/l, dándole la msma mportanca a todos ellos. Este tpo de afacón sólo es convenente cuando los estratos tenen un tamaño parecdo. En la afacón proporconal se asgna a cada estrato un número de undades muestrales proporconal a su tamaño, según la ponderacón W h = N h /N. Por lo tanto, n h = W h * n (h = 1,,, L). Muestreo por métodos ndrectos Esten una sere de métodos que aprovechan nformacón relatva a una varable aular Y (varable de apoo) correlaconada con la varable en estudo X para consegur estmacones más precsas para que las calculadas úncamente a partr de la muestra de la varable que se estuda. Entre los métodos cláscos de estmacón ndrecta más utlzados se encuentran el método de estmacón por razón (basado en la razón entre X e Y), el método de estmacón por regresón (basado en la BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 8

29 regresón entre X e Y), el método de estmacón por dferenca (basado en la dferenca entre X e Y). La forma más senclla de llevar a cabo estmacón por razones consste en etraer un m.a.s. de tamaño n utlzar esta nformacón de X e Y. La estmacón por razones se puede utlzar cuando estamos smplemente nteresados en estudar una razón. S dsponemos de la superfce la valoracón notaral de un conunto de vvendas, podría nteresarnos conocer cual es el valor notaral promedo por metro cuadrado. Sn embargo, no es ésta la únca stuacón en la que se podría utlzar. El método de estmacón por regresón, como su propo nombre ndca, se basa en el concepto de regresón la estmacón por dferenca es un caso especal de la anteror. Muestreo por conglomerados En los procedmentos de muestreo epuestos hasta el momento, se ha supuesto que la poblacón muestreada está dada que lo únco que debemos hacer es etraer una muestra representatva de la msma realzar a partr de ella estmacones de parámetros poblaconales. Supongamos que no es así, es decr, que no dsponemos de una lsta de undades de observacón. S además, la construccón de dcha lsta es dfícl o cara, la poblacón está mu dspersa geográfcamente o aparece en cúmulos naturales, como las famlas o las escuelas, entonces el muestreo por conglomerados se converte en una herramenta mu útl. Por eemplo, supongamos que deseamos conocer el número de electrodoméstcos que ha en una comundad formada por 1500 famlas. Una posbldad sería etraer una m.a.s. de 150 famlas analzar el número d electrodoméstcos en cada una de ellas. Otra consstría en dvdr la comundad en bloques de apromadamente 10 famlas cada uno, selecconar de forma aleatora una sere de bloques analzar las famlas pertenecentes a dchos bloques. A esto últmo es lo que se denomna como muestreo por conglomerados. En el procedmento de muestreo por conglomerados la poblacón muestreada con N elementos se dvde en C conglomerados de forma que no estan solapamentos entre ellos que éstos contengan a todos los elementos de la poblacón. Los conglomerados han de ser lo más heterogéneos posble dentro de ellos lo más homogéneos posble entre ellos, stuacón complementara a la del caso de los estratos. Sn embargo, aunque lo deal sea la heterogenedad dentro de los conglomerados, sempre va a estr un certo grado de homogenedad nevtable que dsmnurá la precsón. Por eemplo, en un bloque de luo, en el que las famlas tenderán a tener un nvel adqustvo alto, el número d electrodoméstcos por famla tenderá a ser maor. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 9

30 Además, al obtener una muestra de todos los elementos que pertenecen al conglomerado, repetmos parcalmente la msma nformacón en lugar de consegur nformacón nueva, lo que mplca una menor precsón para las estmacones poblaconales. Mentras que, por lo general, la estratfcacón aumenta la precsón en relacón con el m.a.s., el muestreo por conglomerados, con frecuenca, la dsmnue. El muestreo por conglomerados se usa en la práctca debdo a que es más barato convenente obtener muestras de esta forma que de forma aleatora sobre la poblacón. Efectvamente, está claro que se ahorra coste tempo al efectuar vstas a las vvendas selecconadas, a que se dsmnue la necesdad de desplazamento, al encontrarse en un número determnado de bloques no desperdgadas por toda la comundad. Los conglomerados se consderan como undades de muestreo de forma que se escoge aleatoramente una muestra de m conglomerados con o sn reemplazamento (suponemos probabldades de seleccón guales para todos los conglomerados), estando compuesta la muestra fnal por todos los elementos pertenecentes a los conglomerados selecconados. El número de elementos que forman parte de un conglomerado se denomna tamaño del conglomerado, pudendo tener todos éstos el msmo tamaño o dstnto. Muestreo por conglomerados en dos etapas En el muestreo por conglomerados en una etapa, una vez escogda aleatoramente una muestra de m conglomerados, la muestra fnal estará formada por todos los elementos pertenecentes a los conglomerados selecconados. Sn embargo, en muchas ocasones los elementos de un conglomerado pueden ser demasado smlares, de modo que el análss de todos los elementos dentro de un conglomerado es un desperdco de recursos. Este nconvenente podría superarse s tomásemos una submuestra dentro los conglomerados selecconados. Supongamos que tenemos conglomerados de dstnto tamaño que se han selecconado aleatoramente m de ellos con tamaños C, = 1,, m. En una segunda etapa se seleccona de forma ndpendente en cada uno de estos conglomerados una submuestra de c undades de entre las C del conglomerado. En ambas etapas la seleccón puede realzarse con o sn reemplazamento, aunque usualmente en la segunda se usa cualquer tpo de muestreo a contemplado, pero generalmente sn reemplazamento probabldades guales. BLOQUE III. ESTADÍSTICA Y VALORACIÓN URBANA. TEMA 10 30