TEMA. Contenidos UNIDAD I: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

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1 ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE VARIABLES CUANTITATIVAS () Contendos TEMA 4.4. Introduccón 4.5. Dstrbucones de frecuencas de varables cuanttatvas (datos agrupados) 4.6. Propedades de las dstrbucones de varables cuanttatvas en muestras grandes 4.7. Varables dscretas 4.7..Herramentas para el análss gráfco Tablas de dstrbucones de frecuenca Representacones gráfcas 4.7..Herramentas para el análss numérco (estadígrafos) Meddas de poscón Meddas de dspersón Meddas de forma: asmetría y curtoss 4.8. Varables contnuas Herramentas para el análss gráfco Tablas de dstrbucones de frecuencas Representacón gráfca Herramentas para el análss numérco (estadígrafos) Meddas de poscón Meddas de dspersón Meddas de forma: asmetría y curtoss 4.9. Comuncacón y presentacón de resultados 4.4. INTRODUCCIÓN Con este capítulo se cerra la presentacón de la Undad I, destnada al aprendzaje del análss estadístco descrptvo. Se espera que al alumno le haya quedado en claro que este tpo de análss se nca con una prmera fase que persgue la organzacón y depuracón de los datos, contnúa con una segunda donde se aplcan herramentas de análss gráfco y numérco, y concluye con la elaboracón de una comuncacón que contene un resumen sobre la metodología, y la nterpretacón de los resultados acompañada de elementos de presentacón (tablas y representacones gráfcas sgnfcatvas). Además debería quedar clara la etapa preparatora del análss de datos, donde se deberá ser cudadoso para elegr las herramentas que corresponden a las dferentes stuacones (tpo de varable y tamaño muestral). Cuando se dspone de una muestra pequeña de datos cuanttatvos se ha vsto que el análss gráfco y numérco se aplca sobre una dstrbucón smple de frecuencas. Partcularmente en este capítulo se presentará el análss gráfco y numérco relaconado con dstrbucones de frecuencas de datos agrupados, referdos a los dos tpos de varables cuanttatvas: dscreta y contnua. Dado que al tratarse de varables que en muestras de tamaño grande pueden tomar numerosos valores de la varable, la etapa ncal del análss descrptvo estará destnada a obtener tales dstrbucones de frecuencas, y la sguente etapa a aplcar las herramentas gráfcas y numércas que en este caso presentan muchas posbldades DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS DE VARIABLES CUANTITATIVAS En muestras grandes, el objetvo de la organzacón, esencalmente es resumr la cantdad de datos. El crtero a aplcar es: a) agrupar los datos en clases cualtatvas o numércas y, b) contar la cantdad de datos que resulta clasfcado en cada grupo; esos conteos recben el nombre de frecuencas. La sere completa de clases puestas en correspondenca con los conteos o frecuencas, se denomna dstrbucón de frecuencas. El térmno frecuencas es de carácter general, según el objetvo, será el tpo de frecuencas que utlcemos: frecuencas absolutas, frecuencas relatvas, frecuencas acumuladas o frecuencas epresadas en porcentaje. Las dstrbucones de frecuencas de varables cualtatvas y cuanttatvas pueden ser presentadas en forma analítca a través de una tabla de dstrbucón de frecuencas, o ben en forma gráfca a través de representacones gráfcas. En este últmo caso los gráfcos son dferencados. Cuando la varable es cualtatva se utlzarán: dagramas de sectores y dagramas de barras. A las varables Cátedra de Cálculo Estadístco y Bometría Facultad de Cencas Agraras UNCuyo / Cclo 0 53

2 cuanttatvas se les aplcará: a) dagramas de frecuencas o dagramas de líneas (varables dscretas) o b) gráfcos varos: hstograma, polígono de frecuencas o polígonos de frecuencas acumuladas (varables contnuas). Con las dstrbucones de frecuencas, puede decrse, que se cumple la prmer etapa del proceso de dar sentdo a los datos. Una dstrbucón de frecuencas pone en evdenca a dversos aspectos sumamente mportantes, referdos a las propedades de los datos en masa, que permten comprender el comportamento de las varables, las cuales en el capítulo sguente serán cuantfcadas medante las correspondentes meddas descrptvas o estadígrafos. Resulta convenente recordar la estructura que poseen las tablas utlzadas para sntetzar la clasfcacón de una muestra de tamaño n, en el caso de tener los datos de una varable cualtatva y de una cuanttatva (dscreta y contnua), a través del Cuadro 4.. Cuadro 4.. Síntess comparatva de la estructura de los datos agrupados según tpo de varable Caso: Dstrbucón de Caso: Dstrbucón de una varable cuanttatva (clases numércas) una varable cualtatva Tpo I Tpo II (clases categórcas) Clase (a ) a a.. a k Conteo (n ) n n.. n k Valor observado de la varable, ( ).. k Conteo (n ) n n.. n k Intervalos de Clases [, ) [, 3 ).. [ k-, k ) Conteo (n ) En todos los casos el conteo hace referenca al número de observacones o medcones clasfcadas en la clase -ésma de una varable. En el caso de varables cuanttatvas dscretas esa clase es de tpo puntual (valor puntual) mentras que en varables contnuas se trata de un ntervalo de valores. Con la clardad de este sgnfcado, se pasará a formalzar algunos conceptos frecuentstas. n n.. n k Defncón 4.5. La sere de clases (cualtatvas o cuanttatvas) asocadas a sus correspondentes frecuencas, se llama dstrbucón de frecuencas, e ndca como la frecuenca total o cantdad total de datos se reparte entre los k agrupamentos realzados. Según el tpo de frecuenca consderada se tendrá una dstrbucón de frecuencas (absolutas), una dstrbucón de frecuencas relatvas o una dstrbucón de frecuencas acumuladas. Cualquera de ellas, se puede presentar tanto en forma tabular como gráfcamente. Defncón 4.6 En datos agrupados, la frecuenca absoluta de una clase (cualtatva o cuanttatva), o smplemente frecuenca, smbolzada con n, está dada por el número de undades de análss clasfcado en la clase -ésma. La sere de frecuencas absolutas, para las k clases, se ndca como n, n,,n k tanto en el caso de datos categórcos como cuanttatvos Es fácl notar que las frecuencas absolutas cumplen con la sguente propedad: n = n +n + +n k, por tanto, es decr, la suma total de las frecuencas absolutas es gual al tamaño muestral. Defncón 4.7. La proporcón dada por el cocente entre la frecuenca absoluta de la clase -ésma y el tamaño muestral, denotada por, recbe el nombre de frecuenca relatva de la -ésma clase. La sere de frecuencas relatvas, para las k clases, se ndca como f, f,, f k en el caso de datos categórcos como cuanttatvos Las frecuencas relatvas tenen la sguente propedad: su suma es gual a la undad, Con un sentdo práctco suele hablarse de frecuencas porcentuales, cuando las f se las epresa en por cento, y entonces resulta que su suma es gual al 00%. 54

3 Defncón 4.8. Las frecuencas absolutas acumuladas, se defnen como la frecuenca que resulta de la acumulacón, fla por fla, de las correspondentes frecuencas absolutas. La acumulacón puede hacerse de dos formas, y según esto resultan: a) Frecuencas acumuladas ascendentes, smbolzadas por F : para la -ésma clase, la frecuenca acumulada ascendente se obtene sumando a la correspondente frecuenca, las frecuencas de todas las clases que anteceden a la consderada F = n F = n + n, F 3 =n + n + n 3, y así sucesvamente hasta la últma clase F k = n + n n k = Σ n = n, para k < n. b) Frecuencas acumuladas descendentes, smbolzadas por F (que se lee F comlla sub- ): para la - ésma clase, se obtenen restando a la correspondente frecuenca, las frecuencas de todas las clases que anteceden a la consderada F = n F = n n, F 3= n (n + n ) y así sucesvamente hasta la últma clase F k = n (n + n +. + n k- ) Las frecuencas acumuladas ascendentes tambén son llamadas frecuencas menor que, y las descendentes, frecuencas mayor que. Con un crtero análogo se pueden obtener tambén las correspondentes frecuencas relatvas acumuladas. A contnuacón se desarrollará el análss estadístco descrptvo de las dstrbucones de datos cuanttatvos agrupados PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES CUANTITATIVAS EN MUESTRAS GRANDES En el caso de muestras pequeñas de varables cuanttatvas, se vo que las meddas descrptvas estuveron referdas a dos propedades de los colectvos de datos: la poscón y la dspersón. En muestras grandes, el hecho de tener una dstrbucón de datos agrupados, lleva a la utlzacón de un número mayor de propedades. Las msmas se ndcaron en la presentacón ntegrada que se hzo sobre las propedades estadístcas de las varables cuanttatvas. Propedades estadístcas a descrbr en: muestras grandes de datos cuanttatvos Tamaño Propedades Grande Poscón (tendenca central y otra) Dspersón Forma: Asmetría y Curtoss Estas propedades se mden objetvamente a través de los estadígrafos correspondentes: º) Meddas de poscón: apuntan a los datos más típcos de la dstrbucón, como por ejemplo, los que más se repten y los que ocupan los lugares centrales. º) Meddas de dspersón: descrben s los datos son homogéneos o sea s se dferencanpoco entre sí (varacón pequeña) o, s por el contraro, son heterogéneos o muy dspares (varacón grande), y tambén s el patrón de varacón presenta regulardad estadístca o no. 3º) Meddas de asmetría: mden en qué grado las dstrbucones son asmétrcas, a partr de tomar como referenca la meda artmétca y consderar s los datos se reparten análogamente a ambos lados de ella. La falta de smetría lleva a hablar de dstrbucones sesgadas. 4º) Meddas de curtoss: cuantfcan el grado de agudeza o apuntalamento de la dstrbucón en la parte central, dada por una concentracón de los datos (frecuencas más altas) alrededor de la meda, y el grado de alejamento que poseen los valores etremos. En general estas meddas han sdo establecdas procurando que cumplan, lo cual logran en mayor o menor grado, certas condcones entre las cuales se tenen las sguentes: 55

4 POSICIONAMIENTO Central (Promedos) UNIDAD I: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Deben tener una defncón objetva, para que dstntas personas puedan llegar a partr de un msmo conjunto de datos a un msmo resultado numérco y conclusones. Deben basarse en lo posble en todos los datos de la varable, de forma que la medda no sea nestable, esto es que cambe sustancalmente con sólo varar un valor de varable Deben ser fácles de calcular e nterpretar. Cuadro 4.: Síntess de las propedades estadístcas para muestras grandes de datos cuanttatvos Propedad Concepto Ilustracón Medda Propensón de los datos (valores de la varable) a ubcarse en el entorno de un punto central de la Otro (cuantles) DISPERSIÓN dstrbucón, correspondente al recorrdo de la varable, donde se ubca el punto de equlbro. Ubcacón de puntos en la escala correspondente al recorrdo de la varable (valores de varable), relaconados con la partcón de la dstrbucón de datos de modo de dejar en cada una de las partes gual cantdad de datos (comúnmente %, 5%, 0%, 5% o el 50%). Grado de fluctuacón de los datos, referencada a un valor central de la varable, de modo apromado o dstante entre sí. Estadígrafos de tendenca central, por ej.: la meda Estadígrafos de poscón, por ej.: cuartles (/4 = 5% en cada parte) Estadígrafos de dspersón, por ej.: ampltud. Asmetría Forma de dstrbucón de los datos, a ambos lados de un eje ubcado en el centrado de la dstrbucón. Estadígrafos de asmetría, por ej.: coefcente de asmetría. FORMA Curtoss Forma de concentrarse los datos, alrededor del centrado de la dstrbucón, que determna un mayor o menor apuntalamento de la dstrbucón. Estadígrafos de curtoss, por ej.: coefcente de curtoss VARIABLES DISCRETAS Se partrá de un conjunto de datos muestrales, correspondentes a un epermento donde se regstró el número de flores por planta, en 50 plantas selecconadas al azar. Prmeramente se procederá a dentfcar algunos aspectos que defnen las característcas del problema que conducen a la eleccón del camno a segur. Varable observada Nº de flores/planta Undad de muestra y análss Tpo de dato Tamaño muestral planta Cuanttatvo dscreto n=50 56

5 Tabla aular. Regstros del recuento de flores (datos de campo) Herramentas de análss gráfco Presentacón tabular A contnuacón se presenta la estructura mínma de una tabla de dstrbucón de frecuencas para una varables dscreta (tabla modelo). En ella se pueden reconocer: una prmera columna que muestra los posbles valores de la varable (, donde =,,,k) y otra para los datos de frecuenca absolutas (n ), aunque podrían haberse utlzado las frecuencas relatvas o las porcentuales. Tabla básca de dstrbucón de frecuencas para una varable dscreta n n n.... k n k n A contnuacón se muestra la tabla completa de dstrbucón de frecuencas que se utlzaría para presentar los resultados del trabajo. Nº de flores, () Tabla 4.3. Dstrbucón del número de flores por planta Cantdad de plantas acumulada Cantdad de Proporcón de Proporcón nº menor o nº mayor o plantas () plantas (5) porcentual (6) gual que (3) gual que (4) 50 0,0,0 49 0,0, ,06 6, ,, ,08 8, ,08 8, ,8 8, ,6 6, ,4 4, ,08 8,0 0,06 6, ,00 00,0 Construccón () valores observados de la varable.( ) () frecuenca absoluta (n ). Notar el total, n= 50 (3) frecuencas acumuladas ascendentes ( F ) (4) frecuencas acumuladas descendentes ( F ) (5) frecuencas relatvas (f ). Notar el total, sum (f )= (6) frecuencas relatvas porcentuales (% f ). Notar el total, sum (% f )= 00 Cuál es la nformacón se puede obtener de la tabla de frecuencas así construda? Se puede ver que el número total de datos es 50, que las plantas tuveron entre 0 y 0 flores. Las plantas con menos de 3 flores y con más de 9 son poco frecuentes, que plantas que tenen entre 6 y 8 flores son las típcas (mayores frecuencas), y que el valor más repetdo ha sdo 7. El 8% de las plantas presentaron 6 flores, un % fueron plantas sn flores y un 6% (3 plantas) fueron muy floríferas, para ellas se regstró un valor mámo de 0 flores Un 0% de las plantas tuveron o menos flores, 30% tuvo 4 o menos flores y, cas la mtad de las plantas tuvo entre 0 y 6 flores/planta. 57

6 Se deja al alumno, el ejercco de realzar otras nterpretacones, a partr de la lectura de esta tabla de frecuencas. Realmente etraer esta nformacón a partr de los datos sn procesar, hubera sdo etremadamente dfcultosa. Representacones gráfcas Gráfca de líneas Para el ejemplo de varable dscreta que se está analzando se tene lo sguente: Cantdad de plantas (n) Proporcón de plantas (f) Nº de flores / planta Nº de flores / planta Gráfco de líneas con frecuencas absolutas Gráfco de líneas con frecuencas relatvas Construccón: S en el eje de las abscsas se consderan los dstntos valores que toma la varable y, en el eje de las ordenadas se consderan las frecuencas absolutas (o las frecuencas relatvas) y, por los puntos resultantes se bajan líneas hasta las abscsas, se obtene un gráfco de líneas para frecuencas absolutas (o de frecuencas relatvas). 0,0 0,5 0,0 0,05 Gráfca escalonada Este tambén la posbldad de utlzar representacones que permtan obtener nformacón de tpo ntegral, por ejemplo, que permtan encontrar la respuesta al sguente nterrogante cuántas undades de análss muestrales presentan un valor gual o menor a un certo?. Es decr gráfcas que se basen en los valores de frecuencas acumuladas, que para el caso de una varable dscreta mostrarán un patrón escalonado de frecuencas. Sea por ejemplo, una muestra de datos correspondentes al número de hjos/famla de certa zona rural y la correspondente tabla de frecuencas. Número de hjos ( ) 3 4 Cantdad de famlas (n ) Valor de varable Frec. absolutas Frec. acum. ascendentes Frec. relatvas n F f 0, , , ,50 Total -,000 Cantdad de famlas Cantdad acumulada de famlas o Proporcón de famlas Nº de hjos o Nº de hjos Dagramas de barras para frecuencas absolutas y frecuencas relatvas. Nº de hjos Dagrama de frecuencas acumuladas menor que o dagrama escalonado ascendente o 58

7 Resumen. Gráfcos para dstrbucones de frecuencas de varables estadístcas cuanttatvas dscretas Dagrama de líneas para valores puntuales de la varable observada según su frecuenca. Muestra para cada valor observado ( ) de la varable, la correspondente frecuenca de presentacón en la muestra. Eje y, pueden utlzarse n : frecuencas absolutas f : frecuencas relatvas 00 f : porcentajes Eje y Gráfco (a) Gráfco escalonado. Dstrbucón de frecuencas acumulados: El gráfco (b) de frecuencas ascendentes muestra al producrse el salto en cada escalón la cantdad de undades observadas con valores guales o menores al correspondente. El últmo escalón (qunto escalón) ndca el total de los datos menor o gual al valor mámo observado ( 4 ), por lo que al msmo tempo se refere a todas las undades meddas (n, o 00%). En forma análoga se puede nterpretar un gráfco de frecuencas descendentes. Eje y, pueden utlzarse F : frecuencas absolutas acumuladas ascendentes F : frecuencas absolutas acumuladas descendentes Tambén pueden usarse frecuencas relatvas acumuladas y porcentajes acumulados. Gráfco (b) Herramentas de análss numérco (Estadígrafos) Meddas de poscón Se analzarán a contnuacón las meddas de poscón, recordando que éstas pueden representar la centralzacón en torno a la cual se dstrbuyen la mayoría de las medcones o ben a otras poscones. Entre las prmeras se tenen aquellas que en general recben el nombre de promedos (dferentes tpos de medas) y otras como la medana y la moda. Entre las segundas están meddas que mayortaramente se referen a posconamentos no centrales (cuartles, decles y percentles) Meda artmétca En el caso en que los datos estuvesen agrupados en una tabla de Tpo I, es decr, s esten k valores dstntos de la varable X, esto es,,..., k, se tenen k clases numércas, tales que cada valor se repte n veces, entonces, la epresón para la meda artmétca es: 59

8 Defncón 4.9. La meda muestral de una varable dscreta se calcula como sendo: = : dato observado, n la frecuenca absoluta correspondente de modo que k = n. n k, el número de valores dferentes que toma la varable observada n = k n = y Ejemplo 4.: S medmos el número de hjos de 5 obreros rurales de una certa Industra, y los resultados arrojan la sguente tabla de tpo I, entonces, el número medo de hjos por empleado es: Nº de hjos ( ) Nº de obreros (n ) n Total n=0 Σ=39 k n = = = ( 39 / 0 ) =. 95 hjo s hjos n Debe notarse que en el cálculo de la meda ntervenen todos los valores de la varable, de ahí que resulte por ecelenca la medda promedo que caracterza el lugar central de la dstrbucón Medana A dferenca de la meda, la medana es una medda que trata de caracterzar un posconamento que equlbre la cantdad de frecuencas observadas a uno y otro lado. Para encontrar cual es el valor medano de una dstrbucón de frecuencas dscretas, se trabaja con una tabla de frecuencas acumuladas de menor a mayor. La medana es gual al prmer valor de varable, que acumulando las frecuencas, deja por debajo un 50% de las observacones. En el sguente ejemplo se observa que la medana es gual a : hay 50 fábrcas con valores menores o guales a ella, y tambén 50 fábrcas con valores gual o mayores a ella. Ejemplo 4.: Número de empleados de 00 pequeñas fábrcas Nº de empleados ( ) Nº de fábrcas (n ) F Total n= Esta es, como ya vmos, una medda de poscón, generalmente central, que se fundamenta en las frecuencas de la dstrbucón. Pero, convene en este momento tener una vsón ampla que aclare cuando corresponde utlzarla, por cuanto, muchas veces se la aplca mal. Para ello hay que tener en cuenta el tamaño muestral y el tpo de varable: º) en prncpo, la moda tene no tene sentdo en muestras pequeñas y sí, en muestras grandes, porque su valor es muy nestable º) a su vez, sendo la muestra grande, la moda tene sentdo en los sguentes casos: Moda La moda es el valor de la varable que más se repte. Cuando la varable es dscreta, solo se necesta observar en su dstrbucón de frecuencas cual es el valor de varable que tene la mayor frecuenca absoluta. Determnacón de la moda 60

9 En dstrbucones tpo I con clases numércas: su determnacón es nmedata, solo basta observar el valor o valores de la varable que tengan mámas frecuencas con relacón a las restantes frecuencas de la dstrbucón. Evdentemente, cualquer moda absoluta será, pues, una moda relatva. Sn embargo, lo contraro no es en absoluto sempre certo. Veamos algunos ejemplos lustratvos, utlzando dferentes dstrbucones muestrales de una varable dscreta. Se puede dentfcar lo sguente: Muestra n Muestra n Muestra n Muestra : se destaca una sola frecuenca, la cual es gual a 5, por tanto se tene una moda absoluta gual a 3, Muestra : se tenen dos frecuencas que llaman la atencón, 7 y 35, los valores correspondentes de varable y 4 son modas relatvas, y además 4 es una moda absoluta (dstrbucón bmodal), Muestra 3, se tenen tres modas relatvas que son, y 4, en correspondenca con las frecuencas destacadas en la sere 5 y 8, pero sólo 4 es moda absoluta (dstrbucón trmodal). Nótese que el valor 5, asocado a una frecuenca gual a 5, no es moda porque no se destaca entre los valores contguos. Ejemplo 4.3: Sea el número de salames con prncpo de enrancamento en rstras de tamaño 5, selecconadas aleatoramente de estanterías comercales de almacenes mayorstas. Número de salamnes rancos, Cantdad de salamnes, n Se observa que la dstrbucón tene dos modas relatvas, ya que la máma frecuenca, gual a 8, corresponde tanto al valor de varable como. Meddas de dspersón Ampltud muestral Tambén se denomna rango o recorrdo. Es váldo lo vsto para muestras pequeñas Varanza muestral En el caso de varables dscretas, se tenen k dferentes valores, La fórmula (a) se basa en los cuadrados de k desvíos respecto a la meda _, mentras que la fórmula (b) se basa en los k valores observados de la varable s = k = (a) Procedmento drecto ( ) n n ; sendo =,,,k Fórmula defnconal: suma de cuadrados de desvíos ponderados por las frecuencas absolutas, dvdda por los grados de lbertad. Notar: k = s = (b) Procedmento abrevado k = n k = n. n n ; =,,.,k Σ n suma de k productos, y se ponderan los cuadrados de los valores observados de la varable k Σ n cuadrado de la suma de k productos, y se pon = deran los valores observados de la varable: 6

10 Desvacón típca muestral La desvacón típca, se obtene según ya se ha vsto como la raíz cuadrada postva de la varanza s = + s Coefcente de varacón muestral Es váldo lo vsto para muestras pequeñas: s cv = o ben _ % cv = 00 s _ Meddas de forma: asmetría y curtoss Estas meddas serán desarrolladas en forma ntegrada para el caso de las varables dscretas y contnuas, después de presentar el análss descrptvo de las varables contnuas VARIABLE CONTINUA Herramentas de análss gráfco Presentacón tabular Para descrbr la dstrbucón de frecuenca correspondente a una varable contnua, es ndspensable agrupar los valores regstrados medante un conjunto de ntervalos de clase. Ejemplo 4.4: La sguente es la tabla prmara correspondente a un estudo sobre el perímetro, en centímetros, a la altura de la prmera ramfcacón, de troncos de damasco varedad Royal, de un monte frutal de 4 años, realzado en Lavalle en Trabajando como se vo en el Tema, para esta muestra se tene lo sguente: º) Ampltud muestral, a partr de los límtes reales de la muestra, m = ma - mn = 58 cm - 4 cm = 34 cm º) Número de ntervalos de clase, utlzando la fórmula de Sturges k = + 3,3. log 0 = 7,86 En prncpo, el nº de ntervalos que debería usarse en este caso sería 8. Sn embargo, recordemos que es aconsejable que este número sea mpar, en consecuenca podría decdrse usar 7 ó 9 ntervalos. Se optará por el prmer número porque el tamaño muestral no es grande y además porque 7 se aproma más al valor calculado según la fórmula. 3º) Longtud de los ntervalos de clase = m / k = 34 cm / 7 5 cm 4º) Clasfcacón de los datos 6

11 Tabla 4.4. Tabla aular para la clasfcacón de los datos Intervalo de Clasfcacón del dato Número de clase dscreto troncos (n ) (5-9] //// /// 8 (30-34] //// //// /// 3 (35-39] //// //// //// //// / (40-44] //// //// //// //// //// //// /// 33 (45-49] //// //// //// //// /// 3 (50-54] //// //// /// 3 (55-59] //// //// 9 Defncón 4.0. El valor promedo entre los límtes del ntervalo se llama punto medo del ntervalo o marca de clase. Este valor es un promedo que se usa para representar a todos los datos que se clasfcaron en el ntervalo, por lo tanto, consttuye un valor de varable no observado, pero muy útl para realzar los cálculos posterores. Como es un valor de varable, se lo denota con. La dstrbucón de frecuenca se puede presentar en una tabla básca, donde los ntervalos se ponen en correspondenca con las frecuencas absolutas. Sn embargo, para mejorar el análss, cas sempre es deseable elaborar la dstrbucón de frecuenca relatva o la dstrbucón porcentual, dependendo de s se preferen las proporcones o los porcentajes. Tabla de dstrbucón de frecuencas completa Tabla 4.5. Dstrbucón de frecuencas de perímetros de troncos de damascos (en cm ), varedad Royal, de 4 años. Lavalle, 994. Frec. Acumulada. Frec. Intervalo de Punto Frec. Frec. relatva clase contnuo medo Absoluta Ascen. Desc. relatva acumulada 4,5 9,5 7, ,067 0,067 9,5 34,5 3,0 3 0,08 0,75 34,5 39,5 37, ,75 0,350 39,5 44,5 4, ,75 0,65 44,5 49,5 47, ,9 0,87 49,5 54,5 5,0 3 0,08 0,95 54,5-59,5 57, ,075, ,000 - Tabla de dstrbucón porcentual Como se antcpó, la utldad de la dstrbucón de frecuenca relatva o de la dstrbucón porcentual es grande cuando se comparan muestras dferentes, especalmente s el tamaño muestral no es gual. Se emplean los valores de las frecuencas relatvas multplcados por 00, de modo parcal (Tabla 4.6) o ben acumuladas. Ejemplo 4.5: A partr de los datos del censo naconal agropecuaro se ha analzado la dstrbucón la cantdad de hectáreas ncultas por fnca en una certa zona, con el sguente resultado: Tabla 4.6. Dstrbucón porcentual de las hectáreas ncultas por fnca en certa zona (n=40). Hectáreas ncultas/fnca (n=40) Porcentaje de fncas Tabla 4.7. Dstrbucón porcentual acumulada de las hectáreas ncultas por fnca, menor al valor dado (n=40) Hectáreas ncultas/ fnca Porcentaje de fncas menor que 0,5 a menos de 0,5 48,9 <0,5 48,9 0,5 a menos de 30,5 6,7 <30,5 75,6 30,5 a menos de 40,5,8 <40,5 88,4 40,5 a menos de 50,5 6,4 <50,5 94,8 50,5 a menos de 60,5 3,0 <60,5 97,8 60,5 a menos de 70,5,5 <70,5 99,3 70,5 a menos de 80,5 0,7 <80,5 00,0 Total 00,0 Ref.: el valor mínmo de la varable fue 0,5 hectáreas 63

12 Interpretacones: La tercera fla en la Tabla 4.6 ndca que un,8 % de las 40 fncas poseen una superfce nculta mayor o gual a 30,5 hectáreas y no mayor a 40,5 La tercera fla en la Tabla 4.7 ndca que hay un 75,6% de fncas con una superfce nculta menor a 30,5 hectáreas. En forma análoga, se puede construr una tabla que muestre la dstrbucón porcentual acumulada mayor que el límte nferor de la varable. Tabla 4.8. Dstrbucón porcentual acumulada de las hectáreas ncultas por fnca, mayor al valor dado (n=40) Límte nferor >0,5 00,0 >0.5 5, >30.5 4,4 >40,5,6 >50,5 5, >60,5, >70,5 0,7 > Porcentaje de fncas mayor que Una mportante observacón En las tablas puede observarse que la frecuenca relatva tene dos aspectos de gran nterés: º) epresada en % resulta muy fácl de nterpretar el sgnfcado y además faclta la comparacón entre muestras que tenen dferente tamaño. º) desde un punto de vsta más teórco, se la puede consderar como una estmacón empírca de la probabldad de ocurrenca de algún suceso empírco. Por tratarse de proporcones, una propedad que cumplen las frecuencas relatvas es que sus valores varían en el ntervalo [0 ; ] y, del msmo la funcón probabldad que se estudará en la Undad de Probabldad se defne numércamente en un ntervalo [0 ; ]. En el caso de las probabldades, el 0 ndca que un suceso es mposble (por ejemplo, que al trar un dado de ses caras, resulte una cara con sete puntos) en tanto que el ndca que el suceso va a ocurrr con certeza (por ejemplo, que al trar un dado de ses caras, resulte una cara con a 6 puntos). En la realdad cuanto más probable es que ocurra un suceso, por lo general la frecuenca relatva correspondente a lo observado resultará más cercana a, y cuanto menos probable sea su ocurrenca, por lo general la frecuenca relatva correspondente a lo observado resultará más cercana a 0. La frecuenca relatva, permte ntur algunas fundamentales propedades de la probabldad Representacón gráfca Hstograma Defncón 4... Un hstograma consste en una sere de rectángulos adyacentes (en el dagrama de barras son no adyacentes), cuyo ancho es proporconal al alcance de los datos que se encuentran dentro de una clase, y cuya altura es proporconal al número de elementos que caen dentro de la clase. S las clases que utlzamos en la dstrbucón de frecuencas son del msmo ancho, lo más común, entonces que las barras vertcales del hstograma tambén tengan el msmo ancho. La altura de la barra correspondente a cada clase representa el número de observacones de la clase o frecuenca. Como consecuenca de lo anteror, el área de cada barra del hstograma puede ser: Proporconal a la frecuenca de clase, s en ordenadas se representan las frecuencas (n ) 64

13 A = b. h A =. n n, h Igual a la frecuenca de clase, s en ordenadas se representa la altura o densdad de clase (h ), que es /. A =. h ; h = n / A = (n / ) A= n + Un hstograma que utlza las frecuencas relatvas de los puntos de datos de cada una de las clases, en lugar de usar el número de puntos, se conoce como hstograma de frecuencas relatvas. Este tpo de hstograma tene la msma forma que un hstograma de frecuencas absolutas construdo a partr del msmo conjunto de datos. Esto es así debdo a que en ambos, el tamaño relatvo de cada rectángulo es la frecuenca de esa clase comparada con el número total de observacones. Gráfco 4.. Dstrbucón de frecuencas relatvas de los nveles de produccón, en metros. Ventajas de un hstograma de frecuencas relatvas: Presentar los datos en térmnos de la frecuenca relatva de las observacones, más que en térmnos de la frecuenca absoluta, es de utldad ya que mentras los números absolutos pueden sufrr cambos, la relacón entre las clases permanece estable. Resulta fácl comparar los datos de muestras de dferentes tamaños cuando utlzamos hstogramas de frecuencas relatvas. Sn embargo, cuando se comparan dos o más conjuntos de datos, no es posble construr los dversos hstogramas en la msma gráfca, porque la superposcón de barras vertcales dfculta su nterpretacón. Para ese caso, es necesaro construr polígonos porcentuales o de frecuenca relatva. Polígono de frecuencas Los polígonos de frecuencas son otra forma de representar gráfcamente dstrbucones, tanto de frecuencas smples como relatvas. Construccón. Para construr un polígono de frecuencas, en el eje de abscsas señalamos, como en el hstograma, los valores de la varable pero en este caso corresponde usar los puntos medos. A contnuacón, grafcamos los puntos en correspondenca a las frecuencas de clase (proyectando por sobre el valor del punto medo) y conectamos los puntos resultantes sucesvos con segmentos, de modo que resulta una línea rregular (quebrada) aberta. Fnalmente se cerran los etremos (límte nferor y límte superor) formando un polígono (una fgura con muchos lados). 65

14 S se compara la fgura que representa un polígono de frecuencas con el gráfco del hstograma anteror, se dará cuenta que se han añaddo dos clases, una en cada etremo de la escala de valores observados. Estas dos nuevas clases contenen cero observacones, pero permten que el polígono alcance el eje horzontal en ambos etremos de la dstrbucón (00% área ). El polígono porcentual se forma hacendo que el punto medo de cada clase represente los datos de esa clase y después conectando la secuenca de sus respectvos porcentajes de clase. Polígonos de frecuenca porcentual Construccón de un polígono de frecuencas relatvas: Un polígono de frecuencas que utlza frecuencas relatvas de puntos de datos en cada una de las clases, en lugar del número real de puntos, se conoce como polígono de frecuencas relatvas. Este polígono tene la msma forma que el polígono de frecuencas construdo a partr del msmo conjunto de datos, pero con una escala dferente en los valores del eje vertcal. Más que el número absoluto de observacones, la escala es el número de observacones de cada clase como una fraccón del número total de observacones. Análss comparatvo de ventajas Hstograma Los rectángulos muestran cada clase de la dstrbucón por separado. El área de cada rectángulo, en relacón con el resto, muestra la proporcón del número total de observacones que se encuentran en esa clase. Polígonos de frecuencas El polígono de frecuenca es más sencllo que su correspondente hstograma. Traza con más clardad el perfl del patrón de los datos. El polígono se vuelve cada vez más lso y parecdo a una curva conforme aumentamos el número de clases y el número de observacones. Polígonos de frecuencas acumuladas u ojvas. Una dstrbucón de frecuencas acumuladas nos permte ver cuántas observacones están por encma, o por debajo, de certos valores. Polígono de frecuencas acumuladas menor que u ojva ascendente: Los puntos representados en la gráfca ndcan la cantdad de datos que tenen un valor de varable gual o menor que el valor correspondente al límte superor del ntervalo de clase (eje de abscsas). Observar lo sguente: el polígono comenza con ordenada cero en el límte superor de un ntervalo magnaro anteror (concde con el nferor del prmer ntervalo de clase para los valores observados) y termna con ordenada gual a n, en el límte superor de la últma clase. Polígono de frecuencas acumuladas mayor que u ojva descendente: Los puntos representados en la gráfca ndcan la cantdad de datos que tenen un valor de varable gual o maqyor que el valor 66

15 correspondente al límte nferor del ntervalo de clase (eje de abscsas). En este caso el polígono comenza con ordenada gual a n en concdenca con el límte nferor de un ntervalo magnaro anteror (concde con el nferor del prmer ntervalo de clase para los valores observados) y termna con ordenada gual a n, en el límte superor de la últma clase. Número acumulado de árboless muestreados Menor que 45, no hay datos Nvel de produccón en klogramos Kg de manzana /árbol Menor que 47 toda la muestra Clasfcacón Cantdad de árboles Dstrbucón de nveles de produccón menor que de una muestra de árboles de manzana En forma análoga podría construrse un polígono de frecuencas relatvas acumuladas mayor que. Gráfcos para dstrbucones de frecuencas de varables estadístcas cuanttatvas contnuas n F Gráfco (a) Varable Gráfco (a) Muestra superpuesta, la slueta del hstograma con el polígono de frecuencas. Notar, ) que las frecuencas corresponden respectvamente a los ntervalos de clase y a los puntos medos, y ) los puntos de cerre del polígono. Gráfco (b) Gráfco (b) Varable Polígono de frecuencas acumuladas menor que, con límtes superores del ntervalo (ojva ascendente) 67

16 Tablas versus gráfcos de dstrbucones de frecuencas Las tablas proporconan datos numércos más eactos, mentras que los gráfcos solo permten una lectura apromada. La nterpretacón de tablas con abundantes datos numércos suele resultar compleja y requere una buena preparacón, en tanto que las representacones gráfcas suelen permtr tomar una dea rápda del fenómeno en estudo. Por ejemplo, la gráfca de una dstrbucón de frecuencas pone en evdenca los patrones de comportamento de los datos muestrales, con mayor facldad que las correspondentes tablas. Las gráfcas de varables contnuas permten tomar rápdamente dea acerca del patrón de la dstrbucón poblaconal (dado que para ésta se tenen nfntos valores de varable, se tendrían nfntos ntervalos de clases, k, y entonces 0). Esto se hace creando una curva de frecuencas, f(), para lo cual se procede a elaborar un polígono de frecuencas relatvas, y luego se le hace un suavzado al trazo rregular del polígono. Fgura II.33. Área para el ejemplo Herramentas de análss numérco: Estadígrafos Meddas de tendenca central y otras Meda artmétca En esta stuacón, sempre haremos la suposcón de que, en cada ntervalo de la tabla la frecuenca que le corresponde, se encontrará repartda de forma unforme a lo largo del ntervalo, lo que, como consecuenca, da lugar a que el valor medo de cada ntervalo concda eactamente con el punto medo del msmo, y que hemos denomnado en un capítulo anteror marca de la clase o del ntervalo correspondente, o ben punto medo. Bajo esta hpótess, la suma del conjunto de valores de un ntervalo dado será, pues, gual al producto de su frecuenca por el valor de su marca de clase, sn más que tener en cuenta la nterpretacón de la meda artmétca para los puntos de tal ntervalo. Así, pues, cuando la tabla de datos es de Tpo II y los datos están repartdos entre k ntervalos contguos, cuyas marcas de clase y frecuencas asocadas son, respectvamente, y n, la meda puede ser obtenda por el sguente procedmento. Defncón 4. La meda en dstrbucones Tpo II, es gual a: Sendo: n = k n = y = k = n. n : punto medo del -ésmo ntervalo 68

17 Es de notar que, en este caso, para poder dsponer de la marca de clase de cada ntervalo, se requere que los ntervalos están perfectamente, determnados por unos etremos concretamente defndos. Así, pues, no podríamos calcular la meda de una dstrbucón de datos que nos mdera el número de habtantes de los muncpos de una provnca, s el grupo de muncpos más poblados estuvese defndo ambguamente, dcendo sólo, por ejemplo, que tene más de habtantes. Ejemplo 4.5: Supongamos que estudamos el salaro anual de los empleados de una fábrca de automóvles y tenemos los datos de dchos salaros recogdos en la sguente tabla de tpo II: Mles de Pesos 50,5 60,5 60,5 70,5 70,5 80,5 80,5 00,5 00,5 0,5 Marcas de clase ( l ) 55,0 65,0 75,0 90,0 30,0 Nº empleados n n= = = 75,857 mles de pesos 70 Precaucón: En adelante nos referremos de forma general con al valor -ésmo de la varable, pero hay que tener en claro que: a) s se trabaja con una dstrbucón smple o con una dstrbucón Tpo I con clases numércas, corresponde a un valor meddo y, b) s se trabaja con datos de una dstrbucón tpo II, corresponde a la marca de clase o punto medo del ntervalo -ésmo. Con esta notacón, la formulacón matemátca de las meddas puede parecer la msma, pero el sgnfcado puede llegar a ser muy dferente Ventajas y desventajas de la meda Ventajas Inconvenentes - Es senclla de calcular -Los valores etremos muy dspares nfluyen de -Está perfectamente defnda de forma objetva, forma notable en su valor, hacéndola menos y es únca representatva. -Tene un claro sgnfcado nterpretatvo -Para su cálculo se utlzan todos los valores de su dstrbucón A pesar de este nconvenente, por sus ventajas, se puede decr que es la medda de poscón central más utlzada. Este una varante mportante de la meda artmétca, de aplcacón en aquellas crcunstancas en las que se conoce que los valores de la varable no tenen todos la msma mportanca para su tratamento, sno que, por el contraro, esten observacones que deben ser consderadas como más representatvas que otras. A esta varante de la meda artmétca se la llama Meda artmétca ponderada. Para su cálculo se le asoca a cada valor de un peso w, que nos medrá su grado de mportanca o representatvdad dentro de la dstrbucón. Estos pesos w serán valores postvos que representarán el número de veces que sus correspondentes valores son más representatvos que un valor que tuvese peso asocado a la undad. Defncón 4.3 La meda artmétca ponderada de una dstrbucón de valores,,, k cuyos pesos o mportancas relatvas w,w, w k respectvamente, se defne como w = k = k w = Obsérvese que la meda artmétca ponderada puede consderarse como una meda artmétca de una dstrbucón hpotétca con los msmos valores que la real, pero en lo que un peso w de un valor correspondería a que ese valor se reptese w veces y, por lo tanto, pesase w veces más que un valor que sólo aparecese una vez. Tal dstrbucón hpotétca estaría, entonces caracterzada por valores,, k con pesos o mportancas w, w,., w k respectvamente. Sn embargo, aunque para comprender ntutvamente el sgnfcado de la meda artmétca ponderada este razonamento es váldo y es por otra parte, mportante remarcar que en él nos hemos referdo al caso partcular en que los pesos w eran números enteros, mentras que en general, dchos pesos pueden ser números reales postvos cualesquera. w 69

18 Ejemplo 4.6: Sea el caso de un vno que durante su añejamento aumenta las cantdades de tannos se tene una partda de vnos de dstntos años, de modo que se pueden otorgar las sguentes mportancas relatvas. Tempo g/l Ponderacón Cantdad de tannos a los 6 meses Cantdad de tannos a los meses Cantdad de tannos a los 5 meses Cantdad de tannos a los años 0,7 0,7 3 5 Como observamos en la tabla, hemos asgnado a los vnos una msma mportanca básca de hasta el año, y una mportanca 5 veces mayor a los dos años. Bajo estos supuestos, s se quere sacar un valor promedo de la cantdad de tanno para una muestra de esas partdas de vno, sería: 0,7 + 0, w = Medana Cuando la dstrbucón se presenta en forma de tabla de tpo II, puesto que para este tpo de tablas se asume que la varable evolucona de una forma contnua y unforme, entonces tendremos que encontrar el valor de la varable al que correspondería la frecuenca n/. Ahora ben, dcho valor se encontrará en el prmer ntervalo en que su frecuenca absoluta acumulada sea gual o supere a n/. Llamemos l (q) al límte nferor de tal ntervalo, al que llamaremos ntervalo medano, y por lo tanto que se lee: Defncón 4.4 La medana, en una dstrbucón de tpo II, es gual al límte nferor del ntervalo medano l (q) más el cocente que resulta de dvdr el valor n/ menos la frecuenca acumulada hasta el ntervalo de clase anteror al medano F (q ), por la frecuenca absoluta del ntervalo medano, n (q), multplcado por la longtud del ntervalo de clase. d l ( q) n / F + n ( q) ( q = ) Ventajas e nconvenentes de la medana Ventajas Inconvenentes Es senclla de calcular No puede epresarse medante una fórmula Es de fácl nterpretacón al ser sempre un valor matemátca senclla que permta realzar grandes propo de la varable desarrollos algebracos con ella No nfluye en ella más que los datos centrales de No ntervenen en su confeccón todos los valores la dstrbucón por lo que se puede calcular aún de la varable, sno sólo los centrales. a pesar de desconocendo los valores etremos de la todo, este últmo nconvenente lo es realmente dstrbucón, sempre que tengamos sufcente cuando todos los valores de la dstrbucón son nformacón acerca de sus frecuencas. conocdos, cosa que no sempre ocurre, y es precsamente en estos casos donde este nconvenente se traduce a la tercera gran ventaja de la medana. La determnacón gráfca puede hacerse rápdamente utlzando el polígono de frecuencas acumuladas, y tenendo en cuenta la defncón de medana. La ordenada máma en este gráfco representa la frecuenca total, o sea n. Dado que la medana se relacona con la mtad de los ndvduos, se ndvdualza el valor correspondente a n/ en el eje vertcal. A partr de ese valor se prolonga una línea paralela al eje de abscsas hasta ntersectar el polígono de frecuencas acumuladas en el punto A. Desde el punto A luego se baja una perpendcular hasta el eje de abscsas, donde se puede leer el valor de la medana. 70

19 Frec.acumullada F F Moda. Cuando los datos están sn agrupar, se puede hablar de la moda en relacón al dato observado con mayor frecuenca, pero cuando los datos están agrupados sólo se puede hablar del ntervalo con mayor frecuenca o ntervalo modal. Una vez que los datos se han clasfcado no es correcto hablar de la moda porque el valor encontrado será teórco, y teórcamente la poblacón es nfnta (N ), en otras palabras la varable toma en cada en cada elemento un valor dferente. Para la varable contnua, como veremos en la Undad de probabldad, la probabldad de ocurrenca de un determnado valor es gual a cero, por tanto, hablar de que un valor de varable contnua es la moda (tene la más alta frecuenca) resulta una sera contradccón. Sn embargo, esto no es reflejado por los datos muestrales, debdo a que la medcón tene error y entonces aparecen datos repetdos. Determnacón de la moda Se dentfca el (o los) ntervalo modal donde se clasfcó el mayor número de datos y podemos referrnos al punto medo de la clase modal, como el valor alrededor del cual se tene el mayor agrupamento o densdad de datos. En el caso de varable contnua, tambén puede hablarse de un ntervalo premodal y uno posmodal, como se muestra en el sguente dagrama: clase premodal clase modal clase postmodal Defncón 4.5 Se llama moda absoluta, representada por m, a aquel valor de la varable cuya frecuenca absoluta no es superada por nngún otro valor de la varable en la muestra. Defncón 4.6 Se llama moda relatva a aquel valor de la varable cuya frecuenca absoluta asocada no es superada por las de sus valores contguos. Ventajas e nconvenentes de la moda Ventajas Es senclla de calcular lo modal. En varables dscretas es de fácl nterpretacón, al ser sempre un valor propo de la varable. Inconvenentes No puede epresarse de forma senclla medante fórmula matemátca que permta operar cómodamente con ella. No detecta nngún cambo en la dstrbucón que se produzca ajeno al valor modal o ntervalo modal. Resulta adecuada una vsón ntegral de las tres meddas descrptas, meda, medana y moda, pero la postergaremos hasta tratar el tema de smetría y sesgo de una dstrbucón. Cuantles o fractles Las meddas que vamos a ver ahora se llaman meddas de poscón no central, porque, aún tratándose de posconar sobre la escala de posbles valores de la varable algún punto característco de la dstrbucón, ese punto de nterés generalmente no es el central. La combnacón de estas meddas de poscón no necesaramente centrales, con las meddas de poscón central, nos permtrá evaluar el 7

20 comportamento de la dstrbucón de frecuencas desde un punto de vsta general, a lo largo de todos los valores de la varable, y no concentrándonos en unos pocos de ellos que dcen mucho sobre la tendenca central pero nada acerca de las colas de la dstrbucón, esto es, los valores que se posconan por debajo de los centrales y por encma de los centrales). La dea es análoga a la que nos permtó defnr la medana, que, recordemos es un valor de la varable que deja a cada uno de sus lados gual cantdad de datos muestrales (50% por debajo y 50% por encma). Ahora, sempre con los datos de la varable ordenados en forma crecente, nos nteresa encontrar cuál de los, deja a su zquerda (ncluyéndolo a él) certa proporcón generalmente dferente al 50% de la dstrbucón. Un gráfco dará luz a este nuevo concepto. En (a) se ndca el cuantl que deja por debajo (ncluyéndolo a él) un 0% de los valores de la varable X y, por encma (ncluyéndolo a él) un 80%, mentras que en (b) se da la stuacón nversa. Gráfco (a) 80% Gráfco (b) 80% 0% Los cuantles se pueden clasfcar en cuatro clases de meddas, de las cuales en este curso, nos nteresa en especal la prmera y la últma: Cuartles: dvden la dstrbucón en cuatro partes de gual frecuenca (n/4), lo que sgnfca que cada parte contene ¼ del total de datos, es decr, un 5%. Quntles: dvden la dstrbucón en cnco partes de gual frecuenca (n/5), lo que sgnfca que cada parte contene un 0% del total de datos. Decles: dvden la dstrbucón en dez partes de gual frecuenca (n/0), lo que sgnfca que cada parte contene un 0% del total de datos. Percentles: dvden la dstrbucón en cen partes de gual frecuenca (n/00), lo que sgnfca que cada parte contene un % del total de datos. Notar que s los cuantles dvden en k partes, la cantdad de cuantles es gual a k-. Defncón 4.7 Un cuantl, que se representa por q r/c y se lee como cuantl r-ésmo de orden c, es aquel valor de la varable, que en un arreglo de datos ordenados en forma crecente, permte dvdr a la dstrbucón del total de los datos dejando por debajo al menos r/c partes de datos, y por encma al menos las (r/c)/c partes restantes. Por ejemplo: sea el segundo cuantl de orden 4, esto es q /4. Prmeramente entendemos que nos estamos refrendo a una dstrbucón dvdda en 4 partes (cuartos o cuartles), y un valor de varable que deja por debajo de esas 4 partes, es decr, la mtad de los datos y por encma el resto, que son otras de esas 4 partes porque - (/4) = /4. En otras palabras, nos estamos refrendo a aquél valor de varable por, que en un arreglo ordenado de menor a mayor, permte dvdr la dstrbucón de frecuencas dejando por debajo al menos la mtad de los datos de la dstrbucón, y por encma al menos la otra mtad, o sea, que en defntva al segundo cuartl, en símbolo q /4, que es la medana ya conocda por nosotros. En forma análoga a la dada para la medana, se pueden desarrollar fórmulas para el cálculo del prmer y tercer cuartl. Los percentles serán muy utlzados en nferenca estadístca en relacón a conceptos probablístcos. En este conteto, las poblacones de varables contnuas se representan con curvas que se defnen medante funcones f(), una de las cuales es la curva normal o curva campanular. La funcón de la normal, es de gran utldad porque representa a la dstrbucón teórca de muchas varables contnuas de nterés en Agronomía y Bromatología, y ya resulta famlar a quenes han estudado la teoría de errores en Físca. A partr de ella, mostraremos los gráfcos que ndcan los cuartles, decles y percentles: 7

21 q /4 q /4 q 3/4 d /0 d /0 d 3/0 d 4/0 d 5/0 d 6/0 d 7/0 d 8/0 d 9/0 p /00 p 50/00 p 99/00 Cuartles Decles Percentles Ejemplo 4.7: Sea la varable peso de racmos de uva en gramos. S se dce esta varable en la poblacón se puede representar con la curva normal, y que q 3/4,es decr el tercer cuartl (q 3 ) es gual a 450 gramos, sgnfca que el 75% de los valores poblaconales son cuando más gual a 450 gramos, y sólo un 5% toma valores por encma. Nótese la equvalenca entre el q 3/4 y el percentl 75, p 75. Resumen para nterpretar los cuantles Prmer cuartl, q /4 O ben q deja a su zquerda el 5% de la dstrbucón y el 75% a su derecha CUARTILES Segundo q /4 cuartl, o ben q Tercer cuartl, q 3/4 o ben q 3 deja a su zquerda el 50% de la dstrbucón y el 50% a su derecha deja a su zquerda el 75% de la dstrbucón y el 5% a su derecha. Prmer percentl, q /00 o ben p deja a su zquerda el % de la dstrbucón y el 99% a su derecha S Segundo q percentl, deja a su zquerda el % de la dstrbucón y el 98% a su derecha Meddas de dspersón. Las meddas de poscón central, por sí solas sabemos que son nsufcentes para descrbr una varable relaconada con un fenómeno de nterés, de modo que tengamos una correcta comprensón del msmo. Para reforzar esta dea, recordemos la stuacón más smple que se nos puede presentar al estudar una muestra de varables cuanttatvas: el caso de muestras pequeñas. Para ellas, vmos que era oblgatoro utlzar al menos una medda promedo y una medda de la varabldad. Ampltud muestral (recorrdo o rango), m o bén A Es váldo lo vsto para muestras pequeñas. Recorrdo ntercuartílco q o bén RI Para evtar stuacones en que los valores etremos anormales dstorsonan la realdad más común, esta medda de dspersón absoluta se defne como: Defncón 4.8 El rango ntercuartílco es la dferenca entre el tercer cuartl y el prmer cuartl. q = RI = q 3/4 - q /4 Las dos meddas de dspersón descrptas, nsstmos, adolecen de un gran defecto: no consderan la totaldad de los valores observados, con lo cual es fácl que dstrbucones sustancalmente dstntas puedan dar las msmas meddas de dspersón al no acusar éstas cambos en la mayoría de los valores de la varable. 73