Variables bidimensionales: regresión y correlación

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1 Varables bdmesoales: regresó correlacó VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES. Itroduccó.... Dstrbucoes margales Mometos Mometos respecto al orge Mometos respecto a la meda Matrz de covarazas Coceptos de auste regresó El método de los mímos cuadrados Regresó leal Regresó parabólca Regresó polomca Aálss de la correlacó La varaza resdual Coefcete de determacó Coefcete de correlacó leal... ANEXO: El método de los mímos cuadrados e forma matrcal.6 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

2 Varables bdmesoales: regresó correlacó VARIABLES ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES. INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos estudado ua sola característca de cada poblacó. S esa característca era cuattatva a cada dvduo le hacíamos correspoder u úmero obteíamos las varables estadístcas udmesoales. Ahora vamos a estudar coutamete dos característcas de ua poblacó. Los dos caracteres observados o tee porqué ser de la msma clase. Así, se os puede presetar: - Dos caracteres cualtatvos. E.: El seo el color del pelo de ua persoa. - Uo cualtatvo otro cuattatvo. E.: La profesó los años de servco. - Dos caracteres cuattatvos. E.: El peso la edad de ua persoa. A cada dvduo le vamos a hacer correspoder dos úmeros así obteemos las varables estadístcas bdmesoales. S llamamos E a la poblacó, ua varable estadístca bdmesoal es ua aplcacó de E R. A los caracteres les vamos a llamar e, cada uo de ellos presetará varas modaldades,..., r e,..., s respectvamete. Las pareas de valores, así obtedas por observacó couta, puede represetar valores dscretos, cotuos de dstto tpo podrá també repetrse u úmero determado de veces, dado lugar de esta forma a los coceptos de frecueca absoluta couta, paralelos a los a estudados para varables estadístcas udmesoales. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

3 Varables bdmesoales: regresó correlacó Se acostumbra a dspoer los resultados e ua tabla de doble etrada, dode e la prmera columa se coloca los valores valores,..., s,..., de la varable "" e la prmera fla los de la varable "". E la coflueca de la fla de co la columa se coloca la frecueca couta referda al resultado (, ) correspodete, es decr, es el úmero de dvduos que posee coutamete las modaldades e, que llamaremos frecueca absoluta couta del par (, ). r Notaremos por f la frecueca relatva correspodete al par (, ), que vedrá dada por la epresó f =, sedo el úmero total de pares observados. Por cosguete, defmos dstrbucó de frecuecas como el couto de valores que toma la varable bdmesoal co sus respectvas frecuecas absolutas o relatvas. Esta dstrbucó se represeta medate la sguete tabla: s s s s r r r... r... rs r s dode e so los valores de las varables e, o las marcas de clase s está agrupadas,, s = ; =.. = = r verfcádose, r s r s = = =.. = = = = Aálogamete, las frecuecas relatvas: f = f = ; f = s r... = = f = f = ; f = r s... = = Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

4 Varables bdmesoales: regresó correlacó f = ; f = r s. = = Las estadístcas de dos varables suele represetarse e u sstema de ees cartesaos, tomádose los valores de la varable "" e el ee de abscsas los de la varable "" e el de ordeadas señaládose la coflueca e el plao co u puto. El couto de putos así obtedos, e u úmero gual al de observacoes coutas efectuadas, recbe el ombre de dagrama de dspersó o ube de putos. Dagrama de dspers 55 Como e u dagrama de dspersó o puede quedar refleado las veces que se repte u par o u tervalo, podemos establecer putos de tamaño proporcoal a la frecueca, o be, escrbr al lado del puto la correspodete frecueca.també se puede recurrr a ua represetacó e tres dmesoes de (,): os so para la varable bdmesoal ua para epresar las frecuecas.. DISTRIBUCIONES MARGINALES EJEMPLO : Cosderemos 50 alumos a los que se les ha pregutado las calfcacoes obtedas e Físca Matemátcas. Así se ha obtedo pares de resultados (=ota e Físca, =ota e Matemátcas), cua formacó recogemos e la sguete tabla de doble etrada: Físca\Matemátcas Suspeso Aprobado Suspeso 65 5 Aprobado 0 60 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

5 Varables bdmesoales: regresó correlacó Podemos respoder a las sguetes pregutas: ) Cuátos alumos ha aprobado Físca? Cuátos ha suspeddo? ) Cuátos alumos ha suspeddo Matemátcas? Cuátos ha aprobado? Soluco: Físca\Matemátcas Suspeso Aprobado Suspeso Aprobado Para la prmera preguta hemos de teer e cueta solamete la varable (Físca). s Suspesos 80 Aprobados 70. = = frecueca margal del valor = Dstrbucó margal de la varable "" so los valores que toma dcha varable co sus respectvas frecuecas r r. =. Para la seguda preguta hemos de proceder de maera aáloga para la varable "". =. Suspesos 75 Aprobados 75. = =.frecueca margal del valor. r = Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

6 Varables bdmesoales: regresó correlacó La tabla represetada co la varable "" co sus frecuecas margales, recbe el ombre de dstrbucó margal de la varable "" s.s A partr de las frecuecas absolutas margales se obtee las frecuecas relatvas margales.. f. = f. = Naturalmete, para cada ua de las dstrbucoes margales puede hallarse las medas, las varazas, las desvacoes típcas cualquer otra medda de las a cosderadas para las estadístcas de ua sola varable.. Medas margales: r r s s X = = f ; Y = = f.... = = = = El puto (X,Y) se llama cetro de gravedad de la dstrbucó bdmesoal o vector de medas. Varazas margales: = = r r ( X). ( X) f. = = Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

7 Varables bdmesoales: regresó correlacó = = s s ( Y). ( Y) f. = = por tato, las desvacoes típcas margales, será: = = r r ( X). ( X) f. = = = = s s ( Y). ( Y) f. = = S e vez de dvdr por se dvde por - obteemos las cuasvarazas margales S S. 3. MOMENTOS 3.. Mometos respecto al orge m r s h k h,k = = = Alguos mometos partculares: m 00 = r s,0.. = = m = = = f = X r s 0,.. = = m = = = f = Y r s m = = f, = = r s,0 = =. =. = = N m f r s 0, = =. =. = = m f Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

8 Varables bdmesoales: regresó correlacó 3.. Mometos respecto a la meda Casos partculares teresates: µ = r s h k h,k ( X) ( Y) = = µ 0, 0 = r s µ = ( X) = X X = 0,0 = = µ 0, = Y Y = 0 r s,0.,0 = = µ = ( X) = ( X) = = m X r s 0,. 0, = = µ = ( Y) = ( Y) = = m Y r s, ( X) ( Y) X Y = = µ = = + + XY = XY = m XY =, recbe el ombre de covaraza, de gra mportaca práctca, se defe como la meda artmétca de los productos de las desvacoes de la varable co respecto a su meda artmétca, X, por las desvacoes de la varable co respecto a la meda artmétca, Y. De la msma forma que e el caso de la varaza, se defe la covaraza muestral por ( X)( Y) S sedo S r s = = = =. Cuado las varables e so depedetes se cumple que la covaraza es ula, e cuo caso se dce que so correladas. El recproco o es certo. S la covaraza es dstta de cero, etoces las varables so depedetes. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 8

9 Varables bdmesoales: regresó correlacó 4. MATRIZ DE COVARIANZAS Llamamos matrz de covarazas, a la matrz cuadrada smétrca que tee e la dagoal prcpal las varazas margales (o cuasvarazas), fuera de la dagoal prcpal las covarazas (o covarazas muestrales), es decr S Σ= S S S ; que es smétrca, pues S = S. O be Se llama varaza geeralzada al valor Σ= SS S 0 (semdefda postva) mde apromadamete el área ocupado por el couto de datos. EJEMPLO : Las calfcacoes obtedas por 30 alumos e los eámees cuatrmestral () fal () de Matemátcas fuero las sguetes: Se pde: a) Dagrama de dspersó. b) Formar ua tabla de doble etrada s agrupar los datos e tervalos. c) Hallar las dstrbucoes margales: meda varaza de las msmas. d) Determar la covaraza. Solucó: a) Calfcacoes Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

10 Varables bdmesoales: regresó correlacó b) Realzado el recueto de pares ordeados se obtee: \ c) Dstrbucoes margales Medas Margales: 7 X= = = 30 Varazas margales:. X ; Y. 77 = = = = = = 5.96 ; =. Y = 5.9 = Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 0

11 Varables bdmesoales: regresó correlacó d) Los calculos correspodetes se detalla e la tabla de doble etrada, añadedo las dos flas sguetes \ Otra forma de calculo sería : = 893 = = co lo cual, m, = = = = La covaraza µ, = = m, XY = = 6.76 La matrz de covarazas : = E las dstrbucoes bdmesoales se preseta dos problemas que da orge a dos teorías:.- Teoría de la regresó: que trata de predecr los valores de ua varable para valores prefados de la otra..- Teoría de la correlacó: que trata de medr la terdepedeca estadístca etre dos varables. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

12 Varables bdmesoales: regresó correlacó 5. CONCEPTOS DE AJUSTE Y REGRESIÓN Etre las varables margales de ua dstrbucó estadístca bdmesoal, puede haber dversos tpos de depedeca. Puede haber ua depedeca fucoal, como por eemplo etre tempo espaco recorrdo por u móvl, a que este ua epresó matemátca que los relacoa. Pero puede haber, també, otra depedeca aleatora e la que coocda ua varable o es posble saber eactamete el valor de la otra, pero sí teer ua dea apromada de la msma, como por eemplo la relacó etre talla peso de u dvduo. El procedmeto a segur es la observacó de ua varable estadístca bdmesoal (,) su represetacó e ua ube de putos o dagrama de dspersó observar s se dstrbue alrededor de ua lea o tedeca. Desde u puto de vsta gráfco, dremos que u auste es la susttucó de u dagrama de dspersó por ua líea, que, s que deba pasar por todos los putos, (*), se adapte lo meor posble a todos ellos;, desde u puto de vsta aalítco, u auste es la susttucó de la depedeca de tpo fucoal o eacto, que mplca la determacó de los parámetros que caracterza a tal fucó aalítca. (*) Obsérvese que la terpolacó cosste e obteer ua curva que pase por los putos. La fucó que pretedemos obteer será ua líea que llamaremos líea de regresó, cua ecuacó puede ser de las formas sguetes: = a + b, recta. etc. = a + b + c, parábola. = a0 + a a, polómca. = c a k, epoecal. =, hpérbola. a + b Depededo de la fucó elegda para el auste, la regresó será leal, parabólca, Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

13 Varables bdmesoales: regresó correlacó El terés de la líea de regresó radca e poder predecr los valores de ua varable para los valores prefados de la otra, lo que costtue el problema geeral de la teoría de la regresó o del auste. S tratamos de predecr coocda, habremos de calcular la líea de regresó de sobre, que será =f(). Recíprocamete =g() será la líea de regresó de sobre. 6. EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Depededo de la forma que adopte la ube de putos sabremos e prcpo s hemos de emplear ua recta, ua parábola, etc. Ua vez elegda la líea hemos de estmar los parámetros correspodetes a la msma a partr de los datos observados. La estmacó o cuatfcacó de los parámetros vee determada por las dsttas codcoes que se establezca prevamete. La codcó más usual de maor utldad práctca es la deomada de mímos cuadrados. Este método de auste se fudameta e cosderar como la meor adaptacó, la de ua líea tal que sea míma la suma de los cuadrados de las dferecas etre los valores observados o empírcos los austados o teórcos, correspodetes a los dsttos valores de la fucó aalítca elegda para los msmos valores de la varable eplcatva. 6.. Regresó leal (Auste por mímos cuadrados, a ua recta). Recta de regresó de sobre. Cosderemos los datos cosegudos epermetalmete: (, ), (, ),...,(, ) Se quere adaptarlos a ua recta =a+b Por cosguete; = a + b = a + b = a + b Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

14 Varables bdmesoales: regresó correlacó S los putos o está sobre ua recta =a+b. Escogeremos a b de tal forma que * = (a + b ) sea mímo. De todas las rectas =a+b buscaremos la recta que hace míma la suma de los cuadrados de las desvacoes que represeta la dstaca vertcal de los datos (,) a los putos (,*) ( ) = ( ) = = m * a b Al depeder de dos parámetros sus dervadas parcales debe ser ulas: a b a b = 0 a b ( ) = 0 a b = 0 a b = 0 a b ( ) = 0 a b = 0 ( ) ( ) ( ) = = = ( ) ( ) ( ) = = = a b = 0 = = = a b 0 = = = = = a + b = = = a + b = = = Que recbe el ombre de Ecuacoes ormales de la recta de regresó de sobre Al dvdr por : = a + b Y = a + bx = a + b = ax+ b = = = = = = = Al despear a e la prmera ecuacó susttur e la seguda = X Y = = = = = ax + b = ( Y bx) + b b = = = Nos dca que el parámetro b de ua recta de regresó puede calcularse medate el cocete etre la covaraza la varaza de la varable que actúa como depedete. X Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

15 Varables bdmesoales: regresó correlacó Este parámetro = recbe el ombre de coefcete de regresó de la varable b co respecto a la varable, es la pedete de la recta de sobre, por cosguete, el setdo de crecmeto o decrecmeto, así como el grado de varacó, vee determado por el sgo el valor del coefcete de regresó b. La epresó del parámetro "a" ua vez coocdo el valor b, será: a = Y bx = Y X Susttuedo los valores obtedos e = Y X + de dode Y= ( X) = a + b, se tee: que es la ecuacó de la recta de regresó de sobre. Esta recta permte calcular, apromadamete, los valores de dados los de. Nota: aulado las dervadas se obtee el mímo ( o el mámo) como se puede comprobar co el Hessao. Iterpretacó geométrca. ( ) = ( ) m * a b = = e a b como = = = ( a b ) ( a b ) = e e error vertcal o dstaca vertcal ( teórco) =a+b * e Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

16 Varables bdmesoales: regresó correlacó EJEMPLO 3: Obteer la recta de auste por mímos cuadrados que se adapta a los putos (0,), (,3), (,4) (3,4). Solucó: X = = =, 5 4 ; Y= = = 3 4 ; 4 = X =,5 =, = Y = 3 =, = XY =, 5 3 =, 5 4 La recta de regresó de sobre :, 5 Y = ( X) 3 = (.5), 5 =.5 + Este otra recta de regresó que podemos obteer co los msmo datos. Recta de regresó de sobre : La recta de regresó de sobre o se obtee despeado la de la ecuacó ateror, so reptedo u proceso aálogo. E lugar de tomar las dstacas e sobre las vertcales, se toma sobre las horzotales, (e=*-). Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

17 Varables bdmesoales: regresó correlacó Se demuestra que X= ( Y) es la recta de regresó de sobre, que permte calcular apromadamete los valores de dados los de. Dode b = es la pedete de la recta de regresó de sobre, cuo coefcete de regresó es b. EJEMPLO 3: Obteer la recta de auste por mímos cuadrados que se adapta a los putos (0,), (,3), (,4) (3,4). Solucó: La recta de regresó de sobre :, 5 X = ( Y).5 = ( 3), 5 = 5/6 - Propedades de las rectas de regresó: Las dos rectas de regresó Y = b ( X), X = b ( Y) se corta e u puto, que es precsamete el gravedad de la dstrbucó. ( X, Y), llamado, por su aturaleza de promedo, cetro de Por otra parte, es claro que so sempre postvos, e cosecueca, las pedetes de ambas rectas tee el msmo sgo que la covaraza aparece ítmamete lgadas, lo que ustfca la deomacó de covaraza (varaza couta). Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

18 ω = 0 tgω = 0 b b = b = b Varables bdmesoales: regresó correlacó Ua vez costrudas las rectas de regresó, la pedete de la de sobre es maor que la correspodete a la recta de regresó de sobre. a' = a' + b = tg α= b b b = a+ b tgβ= b teemos que: tg tg( ) b tgα tgβ b b b ω= α β = = = + tgαtgβ + b b + b b () E el caso de que la depedeca leal e estudo sea de tpo eacto o fucoal, las dos rectas so recíprocas. Esto es: b = b de aquí, e cosecueca, s ambas rectas so detcas: ω= 0º tgω= tg0º = 0 b b = 0 = b b Cuato más pequeña sea la tagete del águlo ω formado por la terseccó de las dos rectas, tato más represetatvo será el auste leal efectuado. EJEMPLO 4. Co los datos del eemplo, se pde: a) Calcular ambas rectas de regresó. b) Estmar la ota fal de u alumo que obtuvo u 6 e el parcal. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 8

19 Varables bdmesoales: regresó correlacó Solucó: a) Teíamos calculado: X = 3.9, Y = 5.9, = 5.96, = 9.6, = 6.76 Así pues, las rectas de regresó so: sobre : 59. = ( 39. ) = sobre : 39. = ( 59. ) = b) Esta estmacó se hace a partr de la recta de regresó de sobre, = Como = 6, se tee que = = 8. 6 ota del eame fal. 6.. Regresó parabólca. Vamos a supoer ahora que a la vsta del dagrama de dspersó, es más coveete austar por u polomo de grado dos (parábola), como caso más secllo auque el método empleadoes váldo e geeral para u polomo de grado. = a + b + c Nuestro obetvo es estmar los parámetros a, b, c a partr de los datos observados, empleado també el método de los mímos cuadrados. La fucó a mmzar es: f ( a, b, c) = ( a + b + c ), dervado co respecto a los tres parámetros se obtee: f (a, b,c) = (a + b + c ) = 0 a, f (a, b,c) = (a + b + c ) = 0 b, f (a, b,c) = (a + b + c ) = 0 c, que aplcado las propedades del sumatoro smplfcado se obtee las ecuacoes llamadas ormales de la parábola de regresó. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 9

20 Varables bdmesoales: regresó correlacó Por últmo, dvdedo por N queda:,,, an + b + c = 3 a + b + c = 3 4 a + b + c = a + b m + c m = m a m + b m + c m = m am + b m + c m = m Resolvedo este sstema por la regla de Cramer, se obtee los parámetros a,b,c de la parábola de regresó Regresó polómca. Vamos a supoer ahora que a la vsta del dagrama de dspersó, es más coveete austar por u polomo de grado. Por eemplo, s es ua parábola escogeremos el grado dos. Para u polomo de grado : * = a0 + a a Nuestro obetvo es estmar los parámetros a, =0,,...,, a partr de los datos observados, empleado també el método de los mímos cuadrados. El procedmeto es smlar al ateror plateado las ecuacoes ormales resolvedo el sstema. 7. ANÁLISIS DE LA CORRELACIÓN. Se hace ecesaro, ahora, completar el aálss de la regresó co la obtecó de uas meddas o coefcetes que permta calbrar el grado de depedeca estadístca estete etre las dos varables, o dcho de otro modo, el grado de represetatvdad o bodad del auste realzado. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 0

21 Varables bdmesoales: regresó correlacó Llamaremos correlacó a la teora que trata de estudar la depedeca que este etre las dos varables que tervee e ua dstrbucó bdmesoal. 7.. La varaza resdual Ua vez austada la líea de regresó * a ua ube de putos, observamos que se obtee uas dferecas etre los dsttos valores austados o teórcos *, los correspodetes valores observados o empírcos. e=*- La varaza resdual se defe como la varaza de los errores o resduos E el caso leal: = r ( * ) = r ( * ) Y ( X) ( X) ( Y) = = = = = + = = = ( Y) + ( X) ( X)( Y) = = = = = ( Y) + 4 ( X) ( X)( Y) = = = = = + = 4 Como 0 r es ua medda de dspersó de los datos respecto a la meda. Se puede terpretar como la suma de los errores que cometaramos s estmaramos cada valor por. També se dce varaza o eplcada represeta, la parte de la varacó de Y que o es capaz de eplcar el modelo elegdo, puede terpretarse como ua medda de la bodad del auste, valores grades de la varaza o eplcada dca que el modelo o es adecuado. S embargo, r o es válda para uzgar la bodad del auste, a que, depede de las udades de medda. Ua forma de evtar este problema es dvdr la varaza o eplcada por la varaza total de Y ( ), así pues, utlzaremos el cocete varaza de Y o eplcada por el modelo de regresó. r que represeta la proporcó de Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

22 Varables bdmesoales: regresó correlacó Así, la medda que usaremos para uzgar la bodad del auste es la razó de correlacó, també llamada coefcete de determacó r R = que represeta la proporcó de la varacó de Y eplcada por el modelo de regresó. varaza resdual = = = varaza de Y r varaza eplcada R varaza de Y 7.. Coefcete de determacó. Ua medda de proporcó de la varacó total os la da el coefcete de determacó. Como r 0 R R = = = = b b r r R os mde (e tato por uo) lo que hemos meorado uestra predccó al estmar. por medo de la líea de regresó e vez de por la meda margal Coefcete de correlacó leal. La raíz cuadrada del coefcete de determacó se deoma coefcete de correlacó leal es gual a la meda geométrca de los coefcetes de regresó b b. r = ± b b lo que da lugar a: r = = = b b r =, sedo el sgo(r)=sgo( ). Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C.

23 Varables bdmesoales: regresó correlacó El coefcete de correlacó leal es u úmero abstracto es depedete de las udades utlzadas e las varables, cuo sgo es el de la covaraza, a que las varazas so postvas, compreddo etre - +. E efecto: tgβ Como tgα tgβ r = bb =, r r tgα Iterpretacó del coefcete de correlacó leal. Recordemos que se vo e el epígrafe 6.. al hablar del águlo que formaba las rectas de regresó, la epresó () : bb tgω = b + b PRIMER CASO: S r= la covaraza será postva, las pedetes de las rectas de regresó so postvas; a valores crecetes de correspode valores crecetes de. Es la correlacó perfecta drecta. S r=- la covaraza será egatva, las pedetes de las rectas de regresó so egatvas; a valores crecetes de correspode valores decrecetes de. La correlacó es perfecta e versa. El águlo que forma ambas rectas será de cocdetes. Ha depedeca fucoal recíproca. 0 e ambos casos las rectas so SEGUNDO CASO: Supogamos que r = 0 = 0, o ha correlacó, es decr, a cualquer valor de correspode el msmo, lo que dca la falta absoluta de depedeca etre las varables, se dce que so correladas. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

24 Varables bdmesoales: regresó correlacó Las rectas de regresó será: = Y = X obvamete perpedculares. TERCER CASO: S 0 < r <, ha correlacó postva. El sgo vee caracterzado por la covaraza que cosderaremos postva por tato las pedetes de las rectas de regresó so postvas. S - < r < 0, ha correlacó egatva <0. Las pedetes so egatvas, al aumetar los valores de ua varable, dsmue los de la otra. La correlacó será buea para valores de r prómos a - mala s so prómos a 0. Señalemos, por últmo, que el coefcete de correlacó leal o es propamete ua medda de tpo cuattatvo, so ua medda de tpo cualtatvo que dca úcamete el grado de la tesdad de la relacó leal estete etre las varables. EJEMPLO 5: Calculemos el coefcete de correlacó para el eemplo 4. Solucó: r = = = Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

25 Varables bdmesoales: regresó correlacó Este ua fuerte depedeca aleatora drecta etre las dos varables. Las estmacoes hechas a partr de las rectas de regresó será fables. Por últmo, lustramos los datos co la recta de regresó sobre del eemplo 4 =,343 +,476 R² = 0, Observacoes: El que dos varables tega ua correlacó leal alta (sea postva o egatva) puede o sgfcar ua relacó de causa-efecto etre ellas. Observado la matrz de covaraza r Σ= = r por tato Σ=. S las varables o está correlacoadas etre sí, el determate toma ( r ) 0 su valor mámo. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 5

26 Varables bdmesoales: regresó correlacó ANEXO EL MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS EN FORMA MATRICIAL Cosderemos los datos cosegudos epermetalmete: (, ), (, ),...,(, ) (, ), (, ),...,(, ) Se quere adaptarlos a ua recta =a+b Por cosguete; e forma matrcal: = a + b = a + b = a + b.. a. =. b.. o be = M v dode.. a =., M =., v = b.. S los putos o está sobre ua recta M v 0. Escogeremos a b de tal forma que M v sea mímo. Sea v a = b el vector que mmza la dfereca a la líea = a + b "RECTA DE REGRESIÓN" M so fos, al varar v los vectores Mv forma u subespaco de R, espaco de la columa de M. Gráfcamete, Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 6

27 Varables bdmesoales: regresó correlacó -Mv -Mv* Mv Mv * La solucó míma M v debe ser ortogoal al subespaco t t dode ( ) ( ) Mv Mv v t ( ) ( ) = t t ( ) = t t t ( ) Mv Mv 0 v M Mv 0 v M M Mv = 0 v = t t M M Mv 0 t ( ) t v = MM M M M r M M =,..., o está sobre la vertcal = =.. t M M..... t ( MM) ( ) = = t... t M... = =... Por últmo, Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 7

28 t ( MM) Varables bdmesoales: regresó correlacó t M = = ( ) ( ) = = + m0 Y Xm = = = = m XY ( ) ( ) m Y YX X Y Xm Y X 0 + = a = b EJEMPLO 3: Obteer la recta de auste por mímos cuadrados que se adapta a los putos (0,), (,3), (,4) (3,4). Solucó: 0 M =, Y = 3 3, M t.m = , (M t.m) - = , 0 3 a t ( ) t MM M = = = b =.5 + Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. 8